Hvad kommer mekanisk arbejde til udtryk i? Mekanisk arbejde: hvad det er, og hvordan det bruges

Hvad betyder det?

I fysik er "mekanisk arbejde" arbejdet med en eller anden kraft (tyngdekraft, elasticitet, friktion osv.) på en krop, som et resultat af hvilken kroppen bevæger sig.

Ofte er ordet "mekanisk" simpelthen ikke skrevet.
Nogle gange kan du støde på udtrykket "kroppen har udført arbejde", som i princippet betyder "kraften, der virker på kroppen, har udført arbejde."

Jeg tror - jeg arbejder.

Jeg går - jeg arbejder også.

Hvor er det mekaniske arbejde her?

Hvis et legeme bevæger sig under påvirkning af en kraft, udføres mekanisk arbejde.

De siger, at kroppen virker.
Eller mere præcist vil det være sådan: arbejdet udføres af kraften, der virker på kroppen.

Arbejde karakteriserer resultatet af en kraft.

De kræfter, der virker på en person, udfører mekanisk arbejde på ham, og som et resultat af disse kræfters påvirkning bevæger personen sig.

Job - fysisk mængde, lig med produktet af den kraft, der virker på legemet, og den bane, legemet laver under påvirkning af kraften i retning af denne kraft.

A - mekanisk arbejde,
F - styrke,
S - tilbagelagt afstand.

Der arbejdes, hvis 2 betingelser er opfyldt samtidigt: en kraft virker på kroppen og den
bevæger sig i kraftens retning.

Intet arbejde udføres(dvs. lig med 0), hvis:
1. Kraften virker, men kroppen bevæger sig ikke.

For eksempel: vi udøver kraft på en sten, men kan ikke flytte den.

2. Kroppen bevæger sig, og kraften er nul, eller alle kræfter kompenseres (dvs. resultanten af ​​disse kræfter er 0).
For eksempel: når man bevæger sig ved inerti, udføres der intet arbejde.
3. Kraftens retning og kroppens bevægelsesretning er indbyrdes vinkelrette.

For eksempel: når et tog bevæger sig vandret, virker tyngdekraften ikke.

Arbejdet kan være positivt og negativt

1. Hvis kraftretningen og kroppens bevægelsesretning falder sammen, udføres der positivt arbejde.

For eksempel: Tyngdekraften, der virker på en vanddråbe, der falder ned, virker positivt.

2. Hvis kroppens kraft- og bevægelsesretning er modsat, udføres der negativt arbejde.

For eksempel: tyngdekraften, der virker på en stigning ballon, gør negativt arbejde.

Hvis flere kræfter virker på en krop, så fuldtidsjob af alle kræfter er lig med arbejdet udført af den resulterende kraft.

Arbejdsenheder

Til ære for den engelske videnskabsmand D. Joule fik arbejdsenheden navnet 1 Joule.

I internationalt system enheder (SI):
[A] = J = Nm
1J = 1N 1m

Mekanisk arbejde er lig med 1 J, hvis legemet under påvirkning af en kraft på 1 N bevæger sig 1 m i retning af denne kraft.

Når man flyver fra tommelfinger mands hænder på indekset
myggen virker - 0.000 000 000 000 000 000 000 000 001 J.

Det menneskelige hjerte udfører cirka 1 J arbejde per sammentrækning, hvilket svarer til det arbejde, der udføres, når en byrde, der vejer 10 kg, løftes til en højde på 1 cm.

KOM AT ARBEJDE, VENNER!

Mekanisk arbejde er en energi karakteristisk for fysiske kroppes bevægelse, som har en skalar form. Det er lig med modulet af kraften, der virker på kroppen, multipliceret med modulet af forskydningen forårsaget af denne kraft og med cosinus af vinklen mellem dem.

Formel 1 - Mekanisk arbejde.

F - Kraft, der virker på kroppen.

s - Kropsbevægelse.

cosa - Cosinus af vinklen mellem kraft og forskydning.

Denne formel har generel form. Hvis vinklen mellem den påførte kraft og forskydningen er nul, så er cosinus lig med 1. Følgelig vil arbejdet kun være lig med produktet af kraften og forskydningen. Kort sagt, hvis et legeme bevæger sig i retning af påføring af kraft, så er mekanisk arbejde lig med produktet af kraft og forskydning.

Det andet specielle tilfælde er, når vinklen mellem den kraft, der virker på kroppen og dens forskydning, er 90 grader. I dette tilfælde er cosinus på 90 grader lig med nul, så arbejdet vil være lig nul. Og det, der sker, er, at vi anvender kraft i én retning, og kroppen bevæger sig vinkelret på den. Det vil sige, at kroppen tydeligvis ikke bevæger sig under indflydelse af vores kraft. Således er det arbejde, som vores kraft udfører for at bevæge kroppen, nul.

Figur 1 - Kræfternes arbejde ved bevægelse af en krop.

Hvis mere end én kraft virker på et legeme, beregnes den samlede kraft, der virker på kroppen. Og så erstattes det i formlen som den eneste kraft. Et legeme under påvirkning af kraft kan bevæge sig ikke kun retlinet, men også langs en vilkårlig bane. I dette tilfælde beregnes arbejdet for en lille sektion af bevægelse, som kan betragtes som retlinet, og opsummeres derefter langs hele stien.

Arbejdet kan være både positivt og negativt. Det vil sige, at hvis forskydningen og kraften falder sammen i retning, så er arbejdet positivt. Og hvis en kraft påføres i én retning, og kroppen bevæger sig i en anden, så vil arbejdet være negativt. Et eksempel på negativt arbejde er arbejdet med en friktionskraft. Da friktionskraften er rettet mod bevægelsen. Forestil dig en krop, der bevæger sig langs et fly. En kraft påført et legeme skubber det i en bestemt retning. Denne kraft gør positivt arbejde for at bevæge kroppen. Men samtidig gør friktionskraften negativt arbejde. Den bremser kroppens bevægelse og er rettet mod dens bevægelse.

Figur 2 - Bevægelseskraft og friktion.

Mekanisk arbejde måles i Joule. Én Joule er det arbejde, der udføres af en kraft på én Newton, når man bevæger et legeme en meter. Ud over kroppens bevægelsesretning kan størrelsen af ​​den påførte kraft også ændre sig. For eksempel, når en fjeder komprimeres, vil den kraft, der påføres den, stige i forhold til den tilbagelagte afstand. I dette tilfælde beregnes arbejdet ved hjælp af formlen.

Formel 2 - Arbejde med kompression af en fjeder.

k er fjederstivheden.

x - bevægende koordinat.

Energi- en universel målestok for forskellige former for bevægelse og interaktion. En ændring i kroppens mekaniske bevægelse er forårsaget af kræfter, der handler på det fra andre organer. magtværker - processen med energiudveksling mellem interagerende kroppe.

Hvis der er bevægelse på kroppen lige frem gyldig konstant kraft F, som danner en vis vinkel  med bevægelsesretningen, så er denne krafts arbejde lig med produktet af kraftens projektion F s med bevægelsesretningen ganget med bevægelsen af ​​kraftpåvirkningspunktet: (1)

Generelt kan kraften derfor ændre sig både i størrelse og retning skalar værdi e elementært arbejde kræfter F på forskydning dr:

hvor  er vinklen mellem vektorerne F og dr; ds = |dr| - elementær vej; F s - projektion af vektor F på vektor dr Fig. 1

Kraftarbejde på baneafsnittet fra punktet 1 til sagen 2 svarende til algebraisk sum elementært arbejde på individuelle infinitesimale sektioner af sporet: (2)

Hvor s- passeret gennem kroppen. Hvornår </2 работа силы положительна, если >/2 arbejdet udført af kraften er negativt. Når =/2 (kraften er vinkelret på forskydningen), er arbejdet udført af kraften nul.

Arbejdsenhed - joule(J): arbejde udført af en kraft på 1 N langs en bane på 1 m (1 J = 1 N  m).

Strøm– værdien af ​​arbejdshastigheden: (3)

I tiden d t kraft F virker Fdr, og kraften udviklet af denne kraft er dette øjeblik bælte: (4)

dvs. den er lig med skalarproduktet af kraftvektoren og hastighedsvektoren, hvormed denne krafts påføringspunkt bevæger sig; N- størrelse skalar.

Effektenhed - watt(W): effekt, ved hvilken 1J arbejde udføres på 1s (1W = 1J/s).

Kinetisk og potentiel energi

Kinetisk energi mekanisk system - energien af ​​mekanisk bevægelse af dette system.

Kraft F, der virker på en krop i hvile og får den til at bevæge sig, virker, og energien i den bevægende krop ændres (d T) stiger med mængden af ​​forbrugt arbejde d EN. Det vil sige, dA = dT

Ved hjælp af Newtons anden lov (F=mdV/dt) og en række andre transformationer får vi

(5) - kinetisk energi af et legeme med masse m, der bevæger sig med hastighed v.

Kinetisk energi afhænger kun af kroppens masse og hastighed.

I forskellige inertisystemer referencer, der bevæger sig i forhold til hinanden, vil kroppens hastighed, og derfor dens kinetiske energi, ikke være den samme. Kinetisk energi afhænger således af valget af referenceramme.

Potentiel energi- mekanisk energi af et system af legemer, bestemt af deres relative position og arten af ​​vekselvirkningskræfterne mellem dem.

Når legemerne interagerer gennem kraftfelter (felter af elastiske, tyngdekræfter), afhænger arbejdet udført af de virkende kræfter, når kroppen bevæger sig, ikke af denne bevægelses bane, men afhænger kun af kroppens indledende og endelige positioner. Sådanne felter kaldes potentiel, og de kræfter, der virker i dem er konservative. Hvis arbejdet udført af en kraft afhænger af kroppens bane, der bevæger sig fra et punkt til et andet, så kaldes en sådan kraft dissipative(friktionskraft). Et legeme, der er i et potentielt felt af kræfter, har potentiel energi P. Arbejdet med konservative kræfter med en elementær (uendelig) ændring i systemets konfiguration er lig med stigningen af ​​potentiel energi taget med et minustegn: dA = - dP (6)

arbejde d EN- skalarproduktet af kraft F og forskydning dr og udtryk (6) kan skrives: Fdr= -dП (7)

Ved beregning betragtes den potentielle energi af et legeme i en bestemt position lig med nul (nulreferenceniveauet er valgt), og kroppens energi i andre positioner måles ift. nul niveau.

Den specifikke form for funktionen P afhænger af kraftfeltets natur. For eksempel den potentielle energi af et masselegeme T, hævet til en højde h over Jordens overflade er lig med (8)

hvor er højden h tælles fra nulniveauet, for hvilket P 0 =0.

Da oprindelsen er valgt vilkårligt, kan den potentielle energi have en negativ værdi (kinetisk energi er altid positiv!). Hvis vi tager den potentielle energi af et legeme, der ligger på jordens overflade, som nul, så er den potentielle energi af et legeme placeret i bunden af ​​minen (dybde h" ), P= - mgh".

Et systems potentielle energi er en funktion af systemets tilstand. Det afhænger kun af systemets konfiguration og dets position i forhold til eksterne organer.

Systemets samlede mekaniske energi lig med summen af ​​kinetiske og potentielle energier: E=T+P.

Hvis en kraft virker på en krop, så virker denne kraft for at flytte denne krop. Før vi definerer arbejde under krum bevægelse af et materialepunkt, lad os overveje specielle tilfælde:

I dette tilfælde det mekaniske arbejde EN er lig med:

EN= F Scos=
,

eller A = Fcos× s = F S × s,

HvorF S – projektion styrke at flytte. I dette tilfælde F s = konst, Og geometrisk betydning arbejde EN er arealet af rektanglet konstrueret i koordinater F S , , s.

Lad os plotte projektionen af ​​kraft på bevægelsesretningen F S som funktion af forskydning s. Lad os repræsentere den samlede forskydning som summen af ​​n små forskydninger
. Til små jeg -th bevægelse
arbejde er ligeværdigt

eller området af den skraverede trapez i figuren.

Fuldfør mekanisk arbejde for at flytte fra et punkt 1 Nemlig 2 vil være lig med:

.

Værdien under integralet vil repræsentere det elementære arbejde med infinitesimal forskydning
:

- grundlæggende arbejde.

Vi opdeler et materielt punkts bane i infinitesimale bevægelser og magtarbejde ved at flytte et materielt punkt fra et punkt 1 Nemlig 2 defineret som et krumlinet integral:

–arbejde i buet bevægelse.

Eksempel 1: Tyngdekraftens arbejde
under krum bevægelse af et materialepunkt.

.

Yderligere som en konstant værdi kan tages ud af integraletegnet, og integralet ifølge figuren vil repræsentere den fulde forskydning . .

Hvis vi betegner højden af ​​et punkt 1 fra jordens overflade igennem , og punktets højde 2 igennem , At

Vi ser, at i dette tilfælde er arbejdet bestemt af det materielle punkts position i de indledende og sidste tidspunkter og afhænger ikke af banens eller stiens form. Arbejdet udført af tyngdekraften langs en lukket bane er nul:
.

Kræfter, hvis arbejde på en lukket vej er nul, kaldeskonservative .

Eksempel 2 : Arbejde udført af friktionskraft.

Dette er et eksempel på en ikke-konservativ kraft. For at vise dette er det nok at overveje friktionskraftens elementære arbejde:

,

de der. Arbejdet udført af friktionskraften er altid en negativ størrelse og kan ikke være lig med nul på en lukket bane. Det udførte arbejde pr. tidsenhed kaldes strøm. Hvis i løbet af tiden
der arbejdes
, så er magten lig

–mekanisk kraft.

Tager
som

,

vi får udtrykket for magt:

.

SI-enheden for arbejde er joule:
= 1 J = 1 N 1 m, og effektenheden er watt: 1 W = 1 J/s.

Mekanisk energi.

Energi er et generelt kvantitativt mål for bevægelsen af ​​interaktion mellem alle typer stof. Energi forsvinder ikke og opstår ikke af ingenting: den kan kun gå fra en form til en anden. Begrebet energi forbinder alle fænomener i naturen. I overensstemmelse med de forskellige former for bevægelse af stof betragtes forskellige typer energi - mekanisk, intern, elektromagnetisk, nuklear osv.

Begreberne energi og arbejde er tæt forbundet med hinanden. Det er kendt, at der arbejdes på grund af energireserven, og omvendt kan du ved at udføre arbejde øge energireserven i enhver enhed. Med andre ord er arbejde et kvantitativt mål for energiændring:

.

Energi, ligesom arbejde, måles i SI i joule: [ E]=1 J.

Mekanisk energi er af to typer - kinetisk og potentiel.

Kinetisk energi (eller bevægelsesenergi) bestemmes af de pågældende legemers masser og hastigheder. Overvej et materielt punkt, der bevæger sig under påvirkning af en kraft . Denne krafts arbejde øger den kinetiske energi af et materialepunkt
. Lad os i dette tilfælde beregne den lille stigning (differential) kinetisk energi:

Ved beregning
Newtons anden lov blev brugt
, og
- modul for materialepunktets hastighed. Derefter
kan repræsenteres som:

-

- kinetisk energi af et bevægeligt materialepunkt.

At gange og dividere dette udtryk med
, og givet det
, vi får

-

- forbindelse mellem momentum og kinetisk energi af et bevægeligt materialepunkt.

Potentiel energi ( eller energien af ​​kroppens position) bestemmes af virkningen af ​​konservative kræfter på kroppen og afhænger kun af kroppens position .

Vi har set, at arbejdet udføres af tyngdekraften
med krum bevægelse af et materialepunkt
kan repræsenteres som forskellen i funktionsværdier
, taget på punktet 1 og på punktet 2 :

.

Det viser sig, at når kræfterne er konservative, arbejder disse kræfter på vejen 1
2 kan repræsenteres som:

.

Fungere , som kun afhænger af kroppens position kaldes potentiel energi.

Så til elementært arbejde får vi

–arbejde er lig med tab af potentiel energi.

Ellers kan vi sige, at arbejdet udføres på grund af reserven af ​​potentiel energi.

Størrelse , lig med summen af ​​partiklens kinetiske og potentielle energier, kaldes kroppens samlede mekaniske energi:

–kroppens samlede mekaniske energi.

Afslutningsvis bemærker vi, at man bruger Newtons anden lov
, kinetisk energiforskel
kan repræsenteres som:

.

Potentiel energiforskel
, som angivet ovenfor, er lig med:

.

Således, hvis kraften – konservativ kraft og ingen andre ydre kræfter, At , dvs. i dette tilfælde bevares kroppens samlede mekaniske energi.

1.5. MEKANISK ARBEJDE OG KINETISK ENERGI

Begrebet energi. Mekanisk energi. Arbejde er et kvantitativt mål for energiændringer. Arbejde af resulterende kræfter. Kræfternes arbejde i mekanik. Begrebet magt. Kinetisk energi som et mål for mekanisk bevægelse. Kommunikationsændring ki netisk energi med arbejde af indre og ydre kræfter.Kinetisk energi af et system i forskellige referencesystemer.Koenigs sætning.

Energi - det er et universelt mål for forskellige former for bevægelse og interaktion. M mekanisk energi beskriver beløbet potentielOgkinetisk energi, tilgængelig i komponenterne mekanisk system . Mekanisk energi- dette er energien forbundet med bevægelsen af ​​et objekt eller dets position, evnen til at udføre mekanisk arbejde.

magtarbejde - dette er en kvantitativ karakteristik af processen med energiudveksling mellem vekselvirkende legemer.

Lad en partikel under påvirkning af en kraft bevæge sig langs en bestemt bane 1-2 (fig. 5.1). Generelt kraften i processen

Bevægelsen af ​​en partikel kan ændre sig både i størrelse og i retning. Lad os betragte, som vist i fig. 5.1, en elementær forskydning, inden for hvilken kraften kan betragtes som konstant.

Effekten af ​​kraft på forskydning er karakteriseret ved en værdi lig med skalarproduktet, som kaldes grundlæggende arbejde bevægende kræfter. Det kan præsenteres i en anden form:

,

hvor er vinklen mellem vektorerne og er den elementære vej, er projektionen af ​​vektoren på vektoren angivet (fig. 5.1).

Altså det elementære kraftværk på forskydning

.

Størrelsen er algebraisk: afhængig af vinklen mellem kraftvektorerne og eller fortegnet for kraftvektorens projektion på forskydningsvektoren, kan den være enten positiv eller negativ og især lig nul, hvis dvs. . SI-enheden for arbejde er Joule, forkortet J.

Ved at summere (integrere) udtryk (5.1) over alle elementære sektioner af stien fra punkt 1 til punkt 2, finder vi det arbejde, som kraften udfører på en given forskydning:

det er klart, at det elementære arbejde A er numerisk lig med arealet af den skraverede strimmel, og arbejdet A på stien fra punkt 1 til punkt 2 er arealet af figuren afgrænset af kurven, ordinater 1 og 2 og s-aksen. I dette tilfælde tages arealet af figuren over s-aksen med et plustegn (det svarer til positivt arbejde), og arealet af figuren under s-aksen tages med et minustegn ( det svarer til negativt arbejde).

Lad os se på eksempler på, hvordan man beregner arbejde. Arbejde med elastisk kraft hvor er radiusvektoren for partikel A i forhold til punkt O (fig. 5.3).

Lad os flytte partikel A, som påvirkes af denne kraft, langs en vilkårlig vej fra punkt 1 til punkt 2. Lad os først finde det elementære kraftværk på elementær forskydning:

.

Skalært produkt hvor er projektionen af ​​forskydningsvektoren på vektoren. Denne projektion er lig med stigningen af ​​vektorens modul. Derfor,

Lad os nu beregne arbejdet udført af denne kraft langs hele stien, dvs. integrere det sidste udtryk fra punkt 1 til punkt 2:

Lad os beregne arbejdet udført af gravitationskraften (eller den matematisk analoge Coulomb-kraft). Lad der være en stationær punktmasse (punktladning) i begyndelsen af ​​vektoren (fig. 5.3). Lad os bestemme det arbejde, som gravitationskraften (Coulomb) udfører, når partikel A bevæger sig fra punkt 1 til punkt 2 langs en vilkårlig bane. Kraften, der virker på partikel A, kan repræsenteres som følger:

hvor parameteren for gravitationsinteraktionen er lig , og for Coulomb-interaktionen er dens værdi lig . Lad os først beregne denne krafts elementære arbejde ved forskydning

Som i det foregående tilfælde er det skalære produkt derfor

.

Denne krafts arbejde hele vejen fra punkt 1 til punkt 2

Lad os nu betragte arbejdet med en ensartet tyngdekraft. Lad os skrive denne kraft på den form, hvor enhedsenheden for den lodrette akse z med en positiv retning er angivet (fig. 5.4). Elementært tyngdearbejde ved forskydning

Skalært produkt hvor projektionen på enhedsenheden er lig med stigningen af ​​z-koordinaten. Derfor tager udtrykket for arbejde formen

Arbejdet udført af en given kraft hele vejen fra punkt 1 til punkt 2

De betragtede kræfter er interessante i den forstand, at deres arbejde, som det kan ses af formlerne (5.3) - (5.5), ikke afhænger af formen på stien mellem punkt 1 og 2, men kun afhænger af positionen af ​​disse punkter. . Denne meget vigtige egenskab ved disse kræfter er imidlertid ikke iboende for alle kræfter. For eksempel har friktionskraften ikke denne egenskab: denne krafts arbejde afhænger ikke kun af placeringen af ​​start- og slutpunkterne, men også af formen på vejen mellem dem.

Indtil nu har vi talt om én styrkes arbejde. Hvis flere kræfter virker på en partikel i bevægelsesprocessen, hvis resultant er, så er det let at vise, at arbejdet af den resulterende kraft på en bestemt forskydning er lig med den algebraiske sum af arbejdet udført af hver af kræfterne separat på samme forskydning. Virkelig,

Lad os introducere en ny mængde i betragtning - magt. Det bruges til at karakterisere den hastighed, hvormed arbejdet udføres. Strøm , a-priory, - er det arbejde, der udføres af en kraft pr. tidsenhed . Hvis en kraft virker over en periode, så er kraften udviklet af denne kraft på et givet tidspunkt i betragtning af, at vi får

SI-enheden for effekt er Watt, forkortet til W.

Således er kraften udviklet af kraft lig med skalarproduktet af kraftvektoren og hastighedsvektoren, hvormed denne krafts påføringspunkt bevæger sig. Ligesom arbejde er magt en algebraisk størrelse.

Når du kender kraftens kraft, kan du finde arbejdet udført af denne kraft over en periode t. Faktisk præsenterer integranden i (5.2) som vi får

Du bør også være opmærksom på en meget væsentlig omstændighed. Når man taler om arbejde (eller magt), er det nødvendigt i hvert enkelt tilfælde tydeligt at angive eller forestille sig arbejdet hvilken slags styrke(eller kræfter) menes. Ellers er misforståelser som regel uundgåelige.

Lad os overveje konceptet partikel kinetisk energi. Lad en partikel af masse T bevæger sig under påvirkning af en eller anden kraft (i det generelle tilfælde kan denne kraft være resultatet af flere kræfter). Lad os finde det elementære arbejde, som denne kraft udfører på en elementær forskydning. Husk at og , vi skriver

.

Skalært produkt hvor er projektionen af ​​vektoren på vektorens retning. Denne projektion er lig med stigningen af ​​størrelsen af ​​hastighedsvektoren. Derfor er det elementære arbejde

Heraf er det klart, at den resulterende krafts arbejde går ud på at øge en vis værdi i parentes, som kaldes kinetisk energi partikler.

og ved endelig flytning fra punkt 1 til punkt 2

(5. 10 )

dvs. stigningen i en partikels kinetiske energi ved en vis forskydning er lig med den algebraiske sum af alle kræfters arbejde, der virker på partiklen ved samme forskydning. Hvis så, det vil sige, den kinetiske energi af partiklen stiger; hvis det er, så falder den kinetiske energi.

Ligning (5.9) kan præsenteres i en anden form ved at dividere begge sider med det tilsvarende tidsinterval dt:

(5. 11 )

Dette betyder, at den afledte af en partikels kinetiske energi i forhold til tid er lig med kraften N af den resulterende kraft, der virker på partiklen.

Lad os nu introducere konceptet systemets kinetiske energi . Lad os betragte et vilkårligt system af partikler i en bestemt referenceramme. Lad en partikel i systemet have kinetisk energi på et givet tidspunkt. Tilvæksten i hver partikels kinetiske energi er ifølge (5.9) lig med arbejdet af alle kræfter, der virker på denne partikel: Lad os finde det elementære arbejde udført af alle kræfter, der virker på alle partikler i systemet:

hvor er systemets samlede kinetiske energi. Bemærk, at systemets kinetiske energi er mængden tilsætningsstof : den er lig med summen af ​​de kinetiske energier i de enkelte dele af systemet, uanset om de interagerer med hinanden eller ej.

Så, stigningen i systemets kinetiske energi er lig med arbejdet udført af alle de kræfter, der virker på alle partikler i systemet. Med den elementære bevægelse af alle partikler

(5.1 2 )

og ved sidste sats

dvs. den tidsafledte af systemets kinetiske energi er lig med den samlede effekt af alle kræfter, der virker på alle systemets partikler,

Koenigs sætning: kinetisk energi K systemer af partikler kan repræsenteres som summen af ​​to led: a) kinetisk energi mV c 2 /2 et imaginært materialepunkt, hvis masse er lig med hele systemets masse, og hvis hastighed falder sammen med massecentrets hastighed; b) kinetisk energi K rel system af partikler beregnet i massecentersystemet.