Raskite mažiausią funkcijos pavyzdžių reikšmę. Funkcijos grafiko studijavimas

29.09.2019

Su šia paslauga galite Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę vienas kintamasis f(x) su Word formatu suformatuotu sprendimu. Jei duota funkcija f(x,y), tai reikia rasti dviejų kintamųjų funkcijos ekstremumą. Taip pat galite rasti funkcijų didinimo ir mažėjimo intervalus.

Funkcijų įvedimo taisyklės:

Vieno kintamojo funkcijos ekstremumo būtina sąlyga

Lygtis f" 0 (x *) = 0 yra būtina sąlyga vieno kintamojo funkcijos ekstremumas, t.y. taške x * pirmoji funkcijos išvestinė turi išnykti. Jis nustato stacionarius taškus x c, kuriuose funkcija nedidėja arba nemažėja.

Pakankama vieno kintamojo funkcijos ekstremumo sąlyga

Tegu f 0 (x) yra du kartus diferencijuojamas aibei D priklausančio x atžvilgiu. Jei taške x * įvykdoma sąlyga:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Tada taškas x * yra lokalus (pasaulinis) funkcijos minimumas.

Jei taške x * įvykdoma sąlyga:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Tada taškas x * yra vietinis (pasaulinis) maksimumas.

1 pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausia vertė funkcijos: segmente .
Sprendimas.

Kritinis taškas yra vienas x 1 = 2 (f’(x)=0). Šis taškas priklauso segmentui. (Taškas x=0 nėra kritinis, nes 0∉).
Apskaičiuojame funkcijos reikšmes segmento galuose ir kritiniame taške.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Atsakymas: f min = 5/2, kai x=2; f max = 9 ties x = 1

2 pavyzdys. Naudodami aukštesnės eilės išvestines, raskite funkcijos y=x-2sin(x) ekstremumą.
Sprendimas.
Raskite funkcijos išvestinę: y’=1-2cos(x) . Raskime kritinius taškus: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Randame y’’=2sin(x), apskaičiuojame , o tai reiškia, kad x= π / 3 +2πk, k∈Z yra funkcijos minimalūs taškai; , o tai reiškia, kad x=- π / 3 +2πk, k∈Z yra didžiausi funkcijos taškai.

3 pavyzdys. Ištirkite ekstremumo funkciją taško x=0 aplinkoje.
Sprendimas. Čia reikia rasti funkcijos kraštutinumą. Jei ekstremumas x=0, tada išsiaiškinkite jo tipą (minimalus arba maksimalus). Jei tarp rastų taškų nėra x = 0, tada apskaičiuokite funkcijos f(x=0) reikšmę.
Pažymėtina, kad kai išvestinė kiekvienoje duoto taško pusėje nekeičia savo ženklo, galimos situacijos nėra išnaudotos net diferencijuojamoms funkcijoms: gali atsitikti taip, kad savavališkai mažai kaimynystėje vienoje taško pusėje x 0 arba abiejose pusėse išvestinės keičiasi ženklas. Šiuose taškuose būtina naudoti kitus metodus, kad būtų galima ištirti ekstremumo funkcijas.

Ir norint ją išspręsti, jums reikės minimalių žinių apie temą. Baigiasi dar vieni mokslo metai, visi nori atostogauti, o norėdama priartinti šią akimirką, iškart pereisiu prie reikalo:

Pradėkime nuo srities. Sąlygoje nurodytas plotas yra ribotas uždaryta taškų rinkinys plokštumoje. Pavyzdžiui, taškų, apribotų trikampiu, rinkinys, įskaitant VISĄ trikampį (jei iš sienų„išskirkite“ bent vieną tašką, tada regionas nebebus uždarytas). Praktiškai taip pat yra stačiakampių, apvalių ir šiek tiek sudėtingesnių formų sričių. Pažymėtina, kad matematinės analizės teorijoje pateikiami griežti apibrėžimai apribojimai, izoliacija, ribos ir kt., bet manau, kad visi žino šias sąvokas intuityviu lygmeniu, ir dabar nieko daugiau nereikia.

Plokščia sritis paprastai žymima raide ir, kaip taisyklė, nurodoma analitiškai – keliomis lygtimis (nebūtinai linijinis); rečiau nelygybės. Tipiškas veiksmažodis: „uždara zona, apribotas linijomis ».

Neatsiejama nagrinėjamos užduoties dalis yra ploto sukūrimas brėžinyje. Kaip tai padaryti? Turite nubrėžti visas išvardytas linijas (in tokiu atveju 3 tiesiai) ir analizuoti, kas atsitiko. Ieškoma sritis paprastai būna švelniai užtamsinta, o jos riba pažymėta stora linija:

Taip pat galima nustatyti tą pačią sritį tiesinės nelygybės: , kurie dėl tam tikrų priežasčių dažnai rašomi kaip išvardintas sąrašas, o ne kaip sistema.
Kadangi riba priklauso regionui, tada visos nelygybės, žinoma, atsainiai.

O dabar užduoties esmė. Įsivaizduokite, kad ašis išeina tiesiai į jus nuo pradžios. Apsvarstykite funkciją, kuri tęstinis kiekviename ploto taškas. Šios funkcijos grafikas parodo kai kuriuos paviršius, o maža laimė yra ta, kad norint išspręsti šiandieninę problemą, mums nereikia žinoti, kaip atrodo šis paviršius. Jis gali būti aukščiau, žemiau, kirsti plokštumą - visa tai nesvarbu. Ir svarbu tai: pagal Weierstrasso teoremos, tęstinis V ribotas uždarytas srityje funkcija pasiekia didžiausią vertę (aukščiausias") ir mažiausiai (mažiausias") vertybes, kurias reikia rasti. Tokios vertybės pasiekiamos arba V stacionarūs taškai, priklausantis regionuiD , arba taškuose, kurie yra ant šios srities ribos. Tai veda prie paprasto ir skaidraus sprendimo algoritmo:

1 pavyzdys

Ribotu būdu uždara zona

Sprendimas: Visų pirma, piešinyje turite pavaizduoti sritį. Deja, man techniškai sunku padaryti interaktyvų problemos modelį, todėl iš karto pateiksiu galutinę iliustraciją, kurioje matyti visi tyrimo metu rasti „įtartini“ taškai. Paprastai jie pateikiami vienas po kito, kai jie atrandami:

Remiantis preambule, sprendimą galima patogiai suskirstyti į du punktus:

I) Raskite stacionarius taškus. Tai yra standartinis veiksmas, kurį pakartotinai atlikome klasėje. apie kelių kintamųjų ekstremumus:

Rastas stacionarus taškas priklauso sritys: (pažymėkite ant piešinio), tai reiškia, kad turėtume apskaičiuoti funkcijos reikšmę tam tikrame taške:

- kaip straipsnyje Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmės segmente, svarbius rezultatus paryškinsiu paryškintu šriftu. Juos patogu pieštuku atsekti sąsiuvinyje.

Atkreipkite dėmesį į mūsų antrąją laimę – nėra prasmės tikrinti pakankama sąlyga ekstremumui. Kodėl? Net jei funkcija tam tikru momentu pasiekia, pvz. vietinis minimumas, tada tai NEREIKIA, kad gauta reikšmė bus minimalus visame regione (žr. pamokos pradžią apie besąlyginius kraštutinumus) .

Ką daryti, jei stacionarus taškas nepriklauso regionui? Beveik nieko! Reikėtų tai pastebėti ir pereiti prie kito punkto.

II) Tiriame regiono sieną.

Kadangi kraštinė susideda iš trikampio kraštinių, studiją patogu suskirstyti į 3 poskyrius. Bet geriau to nedaryti. Mano požiūriu, pirmiausia naudingiau nagrinėti atkarpas, lygiagrečias koordinačių ašims, o pirmiausia gulinčias ant pačių ašių. Norėdami suvokti visą veiksmų seką ir logiką, pabandykite ištirti pabaigą „vienu įkvėpimu“:

1) Panagrinėkime apatinę trikampio kraštinę. Norėdami tai padaryti, pakeiskite tiesiai į funkciją:

Arba galite tai padaryti taip:

Geometriškai tai reiškia koordinačių plokštuma (kuri taip pat pateikiama lygtyje)"išraižo" iš paviršiai„erdvinė“ parabolė, kurios viršūnė iškart kyla įtarimų. Išsiaiškinkime kur ji yra:

– gauta vertė „įkrito“ į sritį, ir gali pasirodyti, kad taške (pažymėta brėžinyje) funkcija pasiekia didžiausią arba mažiausią reikšmę visame regione. Vienaip ar kitaip, atlikime skaičiavimus:

Kiti „kandidatai“, žinoma, yra segmento galai. Apskaičiuokime funkcijos reikšmes taškuose (pažymėta brėžinyje):

Čia, beje, galite atlikti žodinį mini patikrinimą naudodami „nuplėštą“ versiją:

2) Norėdami ištirti dešinę trikampio pusę, pakeiskite ją funkcija ir „sutvarkykite dalykus“:

Čia mes iš karto atliksime grubų patikrinimą, „paskambinsime“ jau apdorotą segmento galą:
, Puiku.

Geometrinė situacija yra susijusi su ankstesniu tašku:

– gauta reikšmė taip pat „pateko į mūsų interesų sritį“, o tai reiškia, kad turime apskaičiuoti, kam lygi funkcija atsiradusiame taške:

Panagrinėkime antrąjį segmento galą:

Naudojant funkciją , atlikime kontrolinį patikrinimą:

3) Turbūt kiekvienas gali atspėti, kaip ištirti likusią pusę. Mes jį pakeičiame į funkciją ir atliekame supaprastinimus:

Segmento galai jau buvo ištirtos, bet juodraštyje vis tiek tikriname, ar teisingai radome funkciją :
– sutapo su 1 pastraipos rezultatu;
– sutapo su 2 pastraipos rezultatu.

Belieka išsiaiškinti, ar segmente yra kažkas įdomaus:

- Yra! Pakeitę tiesę į lygtį, gauname šio „įdomumo“ ordinatę:

Pažymime tašką brėžinyje ir randame atitinkamą funkcijos reikšmę:

Patikrinkime skaičiavimus naudodami „biudžeto“ versiją :
, įsakymas.

Ir paskutinis žingsnis: Atidžiai peržiūrime visus „paryškintus“ skaičius, pradedantiesiems rekomenduoju sudaryti net vieną sąrašą:

iš kurių parenkame didžiausias ir mažiausias reikšmes. Atsakymas Užsirašykime suradimo problemos stiliumi didžiausios ir mažiausios segmento funkcijos reikšmės:

Bet kokiu atveju dar kartą pakomentuosiu geometrine prasme rezultatas:
– čia yra aukščiausias paviršiaus taškas regione;
– čia yra žemiausias paviršiaus taškas šioje srityje.

Analizuojamoje užduotyje nustatėme 7 „įtartinus“ taškus, tačiau jų skaičius įvairiose užduotyse skiriasi. Trikampio regiono minimalų „tyrimų rinkinį“ sudaro trys taškai. Taip atsitinka, kai, pavyzdžiui, funkcija nurodo lėktuvas– visiškai aišku, kad stacionarių taškų nėra, o didžiausias/mažiausias reikšmes funkcija gali pasiekti tik trikampio viršūnėse. Tačiau yra tik vienas ar du panašūs pavyzdžiai – dažniausiai tenka susidurti su kai kuriais 2 eilės paviršius.

Jei bandysite tokias užduotis šiek tiek išspręsti, tada trikampiai gali priversti galvą suktis, todėl aš jums pasiruošiau neįprasti pavyzdžiai kad taptų kvadratas :))

2 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes uždaroje zonoje, kurią riboja linijos

3 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes ribotame uždarame regione.

Ypatingas dėmesys Atkreipkite dėmesį į racionalią regiono ribos tyrimo tvarką ir techniką, taip pat į tarpinių patikrinimų grandinę, kuri beveik visiškai išvengs skaičiavimo klaidų. Paprastai tariant, galite tai išspręsti bet kokiu būdu, tačiau kai kuriose problemose, pavyzdžiui, 2 pavyzdyje, yra visos galimybės gerokai apsunkinti jūsų gyvenimą. Apytikslis baigiamųjų užduočių pavyzdys pamokos pabaigoje.

Susisteminkime sprendimo algoritmą, kitu atveju su mano, kaip voro, darbštumu jis kažkaip pasiklydo ilgoje 1-ojo pavyzdžio komentarų gijoje:

– Pirmuoju žingsniu statome plotą, patartina jį nuspalvinti ir paryškinti kraštą paryškinta linija. Sprendimo metu atsiras taškai, kuriuos reikia pažymėti brėžinyje.

– Raskite stacionarius taškus ir apskaičiuokite funkcijos reikšmes tik tuose iš jų kurie priklauso regionui. Tekste paryškiname gautas reikšmes (pavyzdžiui, apibraukite jas pieštuku). Jei stacionarus taškas NEPRIklauso regionui, tai pažymime šį faktą piktograma arba žodžiu. Jei stacionarių taškų iš viso nėra, darome raštišką išvadą, kad jų nėra. Bet kokiu atveju šio punkto negalima praleisti!

– Tiriame regiono sieną. Pirma, pravartu suprasti tiesias linijas, kurios yra lygiagrečios koordinačių ašims (jei tokių iš viso yra). Taip pat pabrėžiame funkcijų reikšmes, apskaičiuotas „įtartiniuose“ taškuose. Aukščiau daug pasakyta apie sprendimo techniką, o kai kas dar bus pasakyta žemiau – skaitykite, skaitykite dar kartą, gilinkitės į tai!

– Iš pasirinktų skaičių pasirinkite didžiausią ir mažiausią reikšmes ir pateikite atsakymą. Kartais atsitinka taip, kad funkcija pasiekia tokias reikšmes keliuose taškuose vienu metu - šiuo atveju visi šie taškai turėtų atsispindėti atsakyme. Tegu pvz. ir paaiškėjo, kad tai mažiausia vertė. Tada mes tai užrašome

Paskutiniai pavyzdžiai skirti kitiems naudingų idėjų kuris bus naudingas praktikoje:

4 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes uždarame regione .

Išlaikiau autoriaus formuluotę, kurioje sritis pateikta formoje dviguba nelygybė. Ši sąlyga gali būti parašyta lygiaverte sistema arba tradicine šios problemos forma:

Primenu, kad su netiesinis susidūrėme su nelygybėmis, o jei nesuprantate žymėjimo geometrinės reikšmės, prašome nedelsti ir išsiaiškinti situaciją jau dabar;-)

Sprendimas, kaip visada, pradedama sukonstruoti sritį, kuri atstovauja tam tikrą „padą“:

Hmm, kartais tenka kramtyti ne tik mokslo granitą...

I) Raskite stacionarius taškus:

Sistema yra idiotų svajonė :)

Nejudantis taškas priklauso regionui, ty yra ant jo ribos.

Ir taip, viskas gerai... pamoka praėjo puikiai – štai ką reiškia gerti tinkamą arbatą =)

II) Tiriame regiono sieną. Be daugiau dėmesio, pradėkime nuo x ašies:

1) Jei , tada

Raskime, kur yra parabolės viršūnė:
– vertink tokias akimirkas – „pataikai“ tiesiai iki taško, nuo kurio viskas jau aišku. Tačiau vis tiek nepamirštame patikrinti:

Apskaičiuokime funkcijos reikšmes segmento galuose:

2) Apsvarstykime apatinę „pado“ dalį „vienu prisėdimu“ - be jokių kompleksų ją pakeičiame į funkciją, o mus domina tik segmentas:

Kontrolė:

Tai jau suteikia jaudulio monotoniškam važiavimui raižyta trasa. Raskime kritinius taškus:

Nuspręskime kvadratinė lygtis, ar prisimeni dar ką nors apie tai? ...Tačiau, žinoma, atminkite, kitaip jūs neskaitytumėte šių eilučių =) Jei dviese ankstesni pavyzdžiai skaičiavimai buvo patogūs po kablelio(kas, beje, reta), tada čia mūsų laukia įprasti bendrosios trupmenos. Mes randame „X“ šaknis ir naudojame lygtį, norėdami nustatyti atitinkamas „kandidatų“ taškų „žaidimo“ koordinates:

Apskaičiuokime funkcijos reikšmes rastuose taškuose:

Patikrinkite funkciją patys.

Dabar atidžiai studijuojame laimėtus trofėjus ir užrašome atsakyti:

Tai yra „kandidatai“, tai yra „kandidatai“!

Norėdami tai išspręsti patys:

5 pavyzdys

Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes uždaroje teritorijoje

Įrašas su garbanotomis petnešomis skamba taip: „taškų rinkinys toks“.

Kartais tokiuose pavyzdžiuose jie naudojasi Lagranžo daugiklio metodas, tačiau vargu ar tikrai reikės jį naudoti. Taigi, pavyzdžiui, jei duota funkcija su ta pačia sritimi „de“, tai po pakeitimo į ją – su išvestine iš be sunkumų; Be to, viskas surašyta „vienoje eilutėje“ (su ženklais), nereikia atskirai apsvarstyti viršutinio ir apatinio puslankių. Bet, žinoma, yra ir sudėtingesnių atvejų, kai be Lagrange funkcijos (kur, pavyzdžiui, yra ta pati apskritimo lygtis) Sunku išsiversti – kaip ir be gero poilsio!

Visiems gero laiko ir iki greito pasimatymo kitame sezone!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas: Pavaizduokime sritį brėžinyje:

Šiame straipsnyje kalbėsiu apie didžiausios ir mažiausios reikšmės paieškos algoritmas funkcijos, minimalūs ir didžiausi taškai.

Teoriškai tai mums tikrai bus naudinga išvestinė lentelė Ir diferenciacijos taisyklės. Viskas šioje plokštelėje:

Algoritmas ieškant didžiausių ir mažiausių verčių.

Man patogiau paaiškinti konkretus pavyzdys. Apsvarstykite:

Pavyzdys: Raskite didžiausią funkcijos y=x^5+20x^3–65x reikšmę atkarpoje [–4;0].

1 žingsnis. Imame išvestinę.

Y" = (x^5 + 20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

2 žingsnis. Ekstremalumo taškų paieška.

Ekstremalus taškas vadiname tuos taškus, kuriuose funkcija pasiekia didžiausią arba mažiausią reikšmę.

Norėdami rasti ekstremumo taškus, funkcijos išvestinę turite prilyginti nuliui (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Dabar išspręskime šį bi kvadratinė lygtis o rastos šaknys yra mūsų ekstremumo taškai.

Tokias lygtis išsprendžiu pakeisdamas t = x^2, tada 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Sumažinkime lygtį 5, gausime: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 – 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + kvadratas (196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - kvadratas (196)) / 2 = (-12 - 14) / 2 = -13

Atliekame atvirkštinį pakeitimą x^2 = t:

X_(1 ir 2) = ± kvadratas (1) = ±1
x_(3 ir 4) = ±sqrt(-13) (atmetame, negali būti neigiami skaičiai, nebent, žinoma, kalbame apie kompleksinius skaičius)

Iš viso: x_(1) = 1 ir x_(2) = -1 – tai mūsų ekstremumo taškai.

3 veiksmas. Nustatykite didžiausią ir mažiausią vertę.

Pakeitimo metodas.

Esant sąlygai, mums buvo suteiktas segmentas [b][–4;0]. Taškas x=1 į šį segmentą neįtrauktas. Taigi mes to nesvarstome. Tačiau be taško x=-1, mes taip pat turime atsižvelgti į kairiąją ir dešiniąją mūsų atkarpos ribas, ty taškus -4 ir 0. Norėdami tai padaryti, visus šiuos tris taškus pakeičiame pradine funkcija. Atkreipkite dėmesį, kad pirminis yra tas, kuris pateiktas sąlygoje (y=x^5+20x^3–65x), kai kurie žmonės pradeda jį pakeisti išvestiniu...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024-1280 + 260 = -2044

Tai reiškia, kad didžiausia funkcijos reikšmė yra [b]44 ir ji pasiekiama taške [b]-1, kuris vadinamas maksimaliu funkcijos tašku atkarpoje [-4; 0].

Nusprendėme ir gavome atsakymą, mes puikūs, galite atsipalaiduoti. Bet sustok! Ar nemanote, kad apskaičiuoti y(-4) yra kažkaip per sunku? Riboto laiko sąlygomis geriau naudoti kitą metodą, aš jį vadinu taip:

Per ženklų pastovumo intervalus.

Šie intervalai randami funkcijos išvestinei, tai yra mūsų bikvadratinei lygčiai.

Aš tai darau taip. Nupiešiu nukreiptą segmentą. Aš dedu taškus: -4, -1, 0, 1. Nepaisant to, kad 1 nėra įtrauktas į pateiktą segmentą, vis tiek reikia įsidėmėti, kad būtų galima teisingai nustatyti ženklo pastovumo intervalus. Paimkime kokį nors skaičių, daug kartų didesnį už 1, tarkime 100, ir mintyse pakeiskime jį į mūsų bikvadratinę lygtį 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Net ir nieko neskaičiuojant tampa akivaizdu, kad 100 taške funkcija turi pliuso ženklą. Tai reiškia, kad intervalams nuo 1 iki 100 jis turi pliuso ženklą. Eidami per 1 (einame iš dešinės į kairę), funkcija pakeis ženklą į minusą. Einant per tašką 0, funkcija išsaugos savo ženklą, nes tai tik atkarpos riba, o ne lygties šaknis. Perėjus per -1, funkcija vėl pakeis ženklą į pliusą.

Iš teorijos žinome, kad kur yra funkcijos išvestinė (ir mes tai nubrėžėme būtent jai) pakeičia ženklą iš pliuso į minusą (mūsų atveju taškas -1) funkcija pasiekia jo vietinis maksimumas (y(-1) = 44, kaip apskaičiuota anksčiau)šiame segmente (logiškai labai suprantama, funkcija nustojo didėti, nes pasiekė maksimumą ir pradėjo mažėti).

Atitinkamai, kur funkcijos išvestinė pakeičia ženklą iš minuso į pliusą, pasiektas funkcijos lokalus minimumas. Taip, taip, mes taip pat nustatėme, kad vietinis minimalus taškas yra 1, o y(1) yra mažiausia funkcijos reikšmė atkarpoje, tarkime, nuo -1 iki +∞. Atminkite, kad tai tik VIETINIS MINIMALUMAS, ty minimumas tam tikrame segmente. Kadangi realusis (pasaulinis) funkcijos minimumas pasieks kažkur ten, ties -∞.

Mano nuomone, pirmasis metodas yra paprastesnis teoriškai, o antrasis – paprastesnis iš požiūrio taško aritmetines operacijas, bet daug sudėtingesnis teoriniu požiūriu. Juk kartais pasitaiko atvejų, kai eidama pro lygties šaknį funkcija nekeičia ženklo ir apskritai gali susipainioti su šiomis lokalinėmis, globaliomis maksimumomis ir minimumais, nors vis tiek teks tai gerai įsisavinti, jei planuoji stoti į technikos universitetą (o kam dar laikyti profilinį vieningą valstybinį egzaminą ir išspręsti šią užduotį). Tačiau praktika ir tik praktika išmokys tokias problemas išspręsti kartą ir visiems laikams. Ir jūs galite treniruotis mūsų svetainėje. čia .

Jei turite klausimų ar kažkas neaišku, būtinai klauskite. Mielai jums atsakysiu ir pakeisiu bei papildysiu straipsnį. Atminkite, kad šią svetainę kuriame kartu!

Praktikoje gana įprasta naudoti išvestinę, kad būtų galima apskaičiuoti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę. Šį veiksmą atliekame tada, kai sugalvojame, kaip sumažinti išlaidas, padidinti pelną, paskaičiuoti optimali apkrova gamybai ir pan., tai yra tais atvejais, kai reikia nustatyti optimalią parametro reikšmę. Norėdami teisingai išspręsti tokias problemas, turite gerai suprasti, kokios yra didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Paprastai šias reikšmes apibrėžiame per tam tikrą intervalą x, kuris savo ruožtu gali atitikti visą funkcijos sritį arba jos dalį. Tai gali būti kaip atkarpa [a; b ] , ir atvirasis intervalas (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), begalinis intervalas (a ; b), (a ; b ], [a ; b) arba begalinis intervalas - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Šioje medžiagoje mes jums pasakysime, kaip apskaičiuoti didžiausias ir mažiausias aiškiai apibrėžtos funkcijos reikšmes su vienu kintamuoju y=f(x) y = f (x) .

Pagrindiniai apibrėžimai

Pradėkime, kaip visada, nuo pagrindinių apibrėžimų formulavimo.

1 apibrėžimas

Didžiausia funkcijos y = f (x) reikšmė tam tikrame intervale x yra reikšmė m a x y = f (x 0) x ∈ X, kuri bet kuriai reikšmei x x ∈ X, x ≠ x 0 sudaro nelygybę f (x) ≤ f (x) galioja 0) .

2 apibrėžimas

Mažiausia funkcijos y = f (x) reikšmė tam tikrame intervale x yra reikšmė m i n x ∈ X y = f (x 0) , kuri bet kuriai reikšmei x ∈ X, x ≠ x 0 sudaro nelygybę f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Šie apibrėžimai yra gana akivaizdūs. Dar paprasčiau, galime pasakyti taip: didžiausia funkcijos vertė yra jos didžiausia didelę reikšmęžinomame intervale ties abscisėmis x 0, o mažiausia yra mažiausia priimtina reikšmė tame pačiame intervale ties x 0.

3 apibrėžimas

Stacionarieji taškai yra tos funkcijos argumento reikšmės, kai jos išvestinė tampa 0.

Kodėl turime žinoti, kas yra stacionarūs taškai? Norėdami atsakyti į šį klausimą, turime prisiminti Ferma teoremą. Iš to išplaukia, kad stacionarus taškas yra taškas, kuriame yra diferencijuojamos funkcijos ekstremumas (t. y. jos vietinis minimumas arba maksimumas). Vadinasi, funkcija įgaus mažiausią arba didžiausią reikšmę tam tikru intervalu būtent viename iš stacionarių taškų.

Funkcija taip pat gali įgyti didžiausią arba mažiausią reikšmę tuose taškuose, kuriuose pati funkcija yra apibrėžta ir neegzistuoja pirmoji jos išvestinė.

Pirmas klausimas, kylantis studijuojant šią temą: ar visais atvejais galime nustatyti didžiausią ar mažiausią funkcijos reikšmę duotame intervale? Ne, mes negalime to padaryti, kai tam tikro intervalo ribos sutampa su apibrėžimo srities ribomis arba jei turime reikalą su begaliniu intervalu. Taip pat atsitinka, kad funkcija tam tikrame segmente arba begalybėje bus be galo maža arba be galo maža didelės vertės. Tokiais atvejais neįmanoma nustatyti didžiausios ir (arba) mažiausios vertės.

Šie taškai taps aiškesni, kai bus pavaizduoti diagramose:

Pirmajame paveikslėlyje pavaizduota funkcija, kuri stacionariuose taškuose, esančiuose atkarpoje [-6 ; 6].

Išsamiai panagrinėkime antroje diagramoje nurodytą atvejį. Pakeiskime atkarpos reikšmę į [ 1 ; 6] ir mes nustatome, kad didžiausia funkcijos reikšmė bus pasiekta taške, kurio abscisė yra dešinėje intervalo riboje, o mažiausia - ties stacionarus taškas.

Trečiame paveiksle taškų abscisės žymi atkarpos ribinius taškus [ - 3 ; 2]. Jie atitinka didžiausią ir mažiausią tam tikros funkcijos reikšmę.

Dabar pažiūrėkime į ketvirtą paveikslėlį. Jame funkcija ima m a x y (didžiausia reikšmė) ir m i n y (mažiausią reikšmę) atviro intervalo stacionariuose taškuose (- 6; 6).

Jei imtume intervalą [ 1 ; 6), tada galime pasakyti, kad mažiausia joje esančios funkcijos reikšmė bus pasiekta stacionariame taške. Didžiausia vertybė mums bus nežinoma. Funkcija gali gauti didžiausią reikšmę, kai x yra lygi 6, jei x = 6 priklausytų intervalui. Būtent toks atvejis parodytas 5 diagramoje.

6 grafike ši funkcija mažiausią reikšmę įgyja ties dešiniąja intervalo riba (- 3; 2 ] ir negalime daryti konkrečių išvadų apie didžiausią reikšmę.

7 paveiksle matome, kad funkcija m a x y stacionariame taške, kurio abscisė lygi 1. Funkcija pasieks mažiausią vertę ties intervalo riba dešinėje pusėje. Esant minus begalybei, funkcijos reikšmės asimptotiškai priartės prie y = 3.

Jei imtume intervalą x ∈ 2 ; + ∞ , tada pamatysime, kad duotoji funkcija neužims nei mažiausios, nei didžiausios reikšmės. Jei x linkęs į 2, tada funkcijos reikšmės bus linkusios atėmus begalybę, nes tiesė x = 2 yra vertikali asimptotė. Jei abscisė linkusi padidinti begalybę, tada funkcijos reikšmės asimptotiškai priartės prie y = 3. Būtent toks atvejis parodytas 8 paveiksle.

Šioje pastraipoje pateiksime veiksmų, kuriuos reikia atlikti, norint rasti didžiausią arba mažiausią tam tikro segmento funkcijos reikšmę, seką.

Pirmiausia suraskime funkcijos apibrėžimo sritį. Patikrinkime, ar sąlygoje nurodytas segmentas į jį įtrauktas.
Dabar apskaičiuokime taškus, esančius šiame segmente, kuriuose nėra pirmosios išvestinės. Dažniausiai juos galima rasti funkcijose, kurių argumentas parašytas po modulio ženklu arba in galios funkcijos, kurio eksponentas yra trupmeninis racionalusis skaičius.
Toliau išsiaiškinsime, kurie stacionarūs taškai pateks duotoje atkarpoje. Norėdami tai padaryti, turite apskaičiuoti funkcijos išvestinę, tada prilyginti ją 0 ir išspręsti gautą lygtį, o tada pasirinkti atitinkamas šaknis. Jei negauname nė vieno stacionaraus taško arba jie nepatenka į nurodytą segmentą, pereiname prie kito žingsnio.
Nustatome, kokias reikšmes funkcija įgis tam tikruose stacionariuose taškuose (jei yra), arba tuose taškuose, kuriuose nėra pirmosios išvestinės (jei yra), arba apskaičiuojame x = a ir reikšmes. x = b.
5. Turime keletą funkcijų reikšmių, iš kurių dabar turime pasirinkti didžiausią ir mažiausią. Tai bus didžiausios ir mažiausios funkcijos, kurią turime rasti, reikšmės.

Pažiūrėkime, kaip teisingai pritaikyti šį algoritmą sprendžiant problemas.

1 pavyzdys

Būklė: pateikta funkcija y = x 3 + 4 x 2. Nustatykite jo didžiausias ir mažiausias reikšmes segmentuose [1; 4 ] ir [ - 4 ; -1].

Sprendimas:

Pradėkime nuo nurodytos funkcijos apibrėžimo srities. Tokiu atveju ji turės daug visų realūs skaičiai, išskyrus 0. Kitaip tariant, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Abu sąlygoje nurodyti segmentai bus apibrėžimo srityje.

Dabar apskaičiuojame funkcijos išvestinę pagal trupmenų diferenciacijos taisyklę:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Sužinojome, kad funkcijos išvestinė egzistuos visuose atkarpų taškuose [1; 4 ] ir [ - 4 ; -1].

Dabar turime nustatyti stacionarius funkcijos taškus. Padarykime tai naudodami lygtį x 3 – 8 x 3 = 0. Jis turi tik vieną tikrą šaknį, kuri yra 2. Tai bus stacionarus funkcijos taškas ir pateks į pirmąjį segmentą [1; 4].

Apskaičiuokime funkcijos reikšmes pirmojo segmento galuose ir šiame taške, t.y. jei x = 1, x = 2 ir x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Mes nustatėme, kad didžiausia funkcijos m a x y x ∈ reikšmė [1; 4 ] = y (2) = 3 bus pasiektas esant x = 1, o mažiausias m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – kai x = 2.

Antrasis segmentas neapima vieno stacionaraus taško, todėl funkcijų reikšmes turime apskaičiuoti tik nurodyto segmento galuose:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Tai reiškia m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Atsakymas: Segmentui [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 atkarpai [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Žiūrėti paveikslėlį:

Prieš studijuojant šis metodas, patariame peržvelgti, kaip teisingai apskaičiuoti vienpusę ribą ir ribą begalybėje, taip pat išmokti pagrindinius jų radimo būdus. Norėdami rasti didžiausią ir (arba) mažiausią funkcijos reikšmę atvirame arba begaliniame intervale, nuosekliai atlikite šiuos veiksmus.

Pirmiausia turite patikrinti, ar duotas intervalas bus nurodytos funkcijos srities poaibis.
Nustatykime visus taškus, esančius reikiamame intervale ir kuriuose nėra pirmosios išvestinės. Paprastai jie atsiranda funkcijoms, kurių argumentas yra modulio ženkle, ir laipsnio funkcijoms su trupmeniniu racionaliuoju rodikliu. Jei šių taškų trūksta, galite pereiti prie kito veiksmo.
Dabar nustatykime, kurie stacionarūs taškai pateks į nurodytą intervalą. Pirmiausia išvestinę prilyginame 0, išsprendžiame lygtį ir pasirenkame tinkamas šaknis. Jei neturime nė vieno stacionaraus taško arba jie nepatenka į nurodytą intervalą, tada iš karto einame į tolesni veiksmai. Jie nustatomi pagal intervalo tipą.

Jei intervalas yra [ a ; b) , tada reikia apskaičiuoti funkcijos reikšmę taške x = a ir vienpusę ribą lim x → b - 0 f (x) .
Jei intervalas turi formą (a; b ], tada reikia apskaičiuoti funkcijos reikšmę taške x = b ir vienpusę ribą lim x → a + 0 f (x).
Jei intervalas turi formą (a; b), tada turime apskaičiuoti vienpuses ribas lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
Jei intervalas yra [ a ; + ∞), tada turime apskaičiuoti reikšmę taške x = a ir ribą plius begalybėje lim x → + ∞ f (x) .
Jei intervalas atrodo taip (- ∞ ; b ] , apskaičiuojame reikšmę taške x = b ir ribą minus begalybėje lim x → - ∞ f (x) .
Jei - ∞ ; b , tada atsižvelgsime į vienpusę ribą lim x → b - 0 f (x) ir ribą minus begalybėje lim x → - ∞ f (x)
Jei - ∞; + ∞ , tada atsižvelgiame į minuso ir pliuso begalybės ribas lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

Pabaigoje, remiantis gautomis funkcijų reikšmėmis ir ribomis, reikia padaryti išvadą. Čia yra daug variantų. Taigi, jei vienpusė riba yra lygi minus begalybei arba plius begalybei, tada iš karto aišku, kad nieko negalima pasakyti apie mažiausias ir didžiausias funkcijos reikšmes. Žemiau apžvelgsime vieną tipinis pavyzdys. Išsamūs aprašymai padės suprasti, kas yra kas. Jei reikia, galite grįžti prie 4 - 8 paveikslų pirmoje medžiagos dalyje.

2 pavyzdys

Sąlyga: duota funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Apskaičiuokite jo didžiausią ir mažiausią reikšmę intervaluose - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2 ), 2 ; + ∞, [4; + ∞) .

Sprendimas

Pirmiausia randame funkcijos apibrėžimo sritį. Trupmenos vardiklyje yra kvadratinis trinaris, kuris neturėtų eiti į 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Gavome funkcijos apibrėžimo sritį, kuriai priklauso visi sąlygoje nurodyti intervalai.

Dabar atskirkime funkciją ir gaukime:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 × + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Vadinasi, funkcijos išvestiniai egzistuoja visoje jos apibrėžimo srityje.

Pereikime prie stacionarių taškų paieškos. Funkcijos išvestinė tampa 0, kai x = - 1 2 . Tai stacionarus taškas, esantis intervaluose (- 3 ; 1 ] ir (- 3 ; 2).

Apskaičiuokime funkcijos reikšmę esant x = - 4 intervalui (- ∞ ; - 4 ], taip pat ribą minus begalybėje:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Kadangi 3 e 1 6 - 4 > - 1, tai reiškia, kad m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Tai neleidžia vienareikšmiškai nustatyti mažiausios Galime tik daryti išvadą, kad yra apribojimas žemiau – 1, nes būtent iki šios reikšmės funkcija asimptotiškai artėja prie minus begalybės.

Antrojo intervalo ypatumas yra tas, kad jame nėra nei vieno stacionaraus taško, nei vienos griežtos ribos. Vadinasi, negalėsime apskaičiuoti nei didžiausios, nei mažiausios funkcijos reikšmės. Apibrėžę ribą minus begalybėje ir argumentui link - 3 kairėje pusėje, gauname tik reikšmių intervalą:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Tai reiškia, kad funkcijų reikšmės bus intervale - 1; +∞

Norėdami rasti didžiausią funkcijos reikšmę trečiajame intervale, nustatome jos reikšmę stacionariame taške x = - 1 2, jei x = 1. Taip pat turėsime žinoti vienpusę ribą tuo atveju, kai argumentas linkęs į - 3 dešinėje:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Paaiškėjo, kad funkcija įgaus didžiausią reikšmę stacionariame taške m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Kalbant apie mažiausią reikšmę, mes negalime jos nustatyti. Viskas, ką mes žinome , yra apatinės ribos iki -4 buvimas.

Intervalui (- 3 ; 2) paimkite ankstesnio skaičiavimo rezultatus ir dar kartą apskaičiuokite, kam lygi vienpusė riba, kai kairėje pusėje linkstama į 2:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Tai reiškia, kad m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, o mažiausia reikšmė negali būti nustatyta, o funkcijos reikšmes iš apačios riboja skaičius - 4 .

Remdamiesi tuo, ką gavome atlikdami du ankstesnius skaičiavimus, galime pasakyti, kad intervale [1; 2) funkcija įgis didžiausią reikšmę, kai x = 1, bet neįmanoma rasti mažiausios.

Intervale (2 ; + ∞) funkcija nepasieks nei didžiausios, nei mažiausios reikšmės, t.y. jis paims vertes iš intervalo - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0-4 = -1

Apskaičiavę, kuriai funkcijos reikšmė bus lygi, kai x = 4, sužinome, kad m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , o duotoji funkcija plius begalybėje asimptotiškai priartės prie tiesės y = - 1 .

Palyginkime tai, ką gavome kiekviename skaičiavime, su pateiktos funkcijos grafiku. Paveiksle asimptotės pavaizduotos punktyrinėmis linijomis.

Tai viskas, ką norėjome jums pasakyti apie didžiausių ir mažiausių funkcijos verčių radimą. Mūsų pateiktos veiksmų sekos padės kuo greičiau ir paprasčiau atlikti reikiamus skaičiavimus. Tačiau atminkite, kad dažnai pravartu pirmiausia išsiaiškinti, kokiais intervalais funkcija mažės, o kokiais didės, o po to galite padaryti tolesnes išvadas. Taip galite tiksliau nustatyti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes bei pagrįsti gautus rezultatus.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Tegul funkcija y =f(X) yra nuolatinis intervale [ a, b]. Kaip žinoma, tokia funkcija šiame segmente pasiekia maksimalias ir minimalias reikšmes. Funkcija gali gauti šias reikšmes arba vidiniame atkarpos taške [ a, b] arba ant atkarpos ribos.

Norėdami rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente [ a, b] būtina:

1) suraskite kritinius funkcijos taškus intervale ( a, b);

2) apskaičiuokite funkcijos reikšmes rastuose kritiniuose taškuose;

3) apskaičiuokite funkcijos reikšmes segmento galuose, tai yra, kada x=A ir x = b;

4) iš visų apskaičiuotų funkcijos reikšmių pasirinkite didžiausią ir mažiausią.

Pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes

segmente.

Kritinių taškų paieška:

Šie taškai yra segmento viduje; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

taške x= 3 ir taške x= 0.

Išgaubtumo ir vingio taško funkcijos tyrimas.

Funkcija y = f (x) paskambino išgaubtas tarp (a, b) , jei jo grafikas yra po liestine, nubrėžta bet kuriame šio intervalo taške, ir yra vadinamas išgaubtas žemyn (įgaubtas), jei jo grafikas yra virš liestinės.

Taškas, per kurį išgaubtumas pakeičiamas įdubimu arba atvirkščiai, vadinamas Vingio taškas.

Išgaubtumo ir vingio taško tyrimo algoritmas:

1. Raskite antrosios rūšies kritinius taškus, tai yra taškus, kuriuose antroji išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.

2. Nubrėžkite kritinius taškus skaičių tiesėje, padalydami jį intervalais. Kiekviename intervale raskite antrosios išvestinės ženklą; jei , tada funkcija yra išgaubta į viršų, jei, tada funkcija yra išgaubta žemyn.

3. Jei, einant per antrosios rūšies kritinį tašką, ženklas pasikeičia ir šioje vietoje antroji išvestinė lygi nuliui, tai šis taškas yra vingio taško abscisė. Raskite jo ordinates.

Funkcijos grafiko asimptotės. Asimptotų funkcijos tyrimas.

Apibrėžimas. Funkcijos grafiko asimptote vadinama tiesiai, kuri turi savybę, kad atstumas nuo bet kurio grafiko taško iki šios linijos linkęs į nulį, nes taškas grafike neribotai juda nuo pradžios.

Yra trys asimptotų tipai: vertikaliai, horizontaliai ir nuožulniai.

Apibrėžimas. Tiesi linija vadinama vertikali asimptota funkcinė grafika y = f(x), jei bent viena iš vienpusių funkcijos ribų šiame taške yra lygi begalybei, tai yra

kur yra funkcijos nepertraukiamumo taškas, tai yra, ji nepriklauso apibrėžimo sričiai.

Pavyzdys.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – lūžio taškas.

Apibrėžimas. Tiesiai y =A paskambino horizontalioji asimptote funkcinė grafika y = f(x) adresu , jei

Pavyzdys.

x
y

Apibrėžimas. Tiesiai y =kx +b (k≠ 0) vadinamas įstrižas asimptotas funkcinė grafika y = f(x) kur

Bendra funkcijų tyrimo ir grafikų sudarymo schema.

Funkcijų tyrimo algoritmasy = f(x) :

1. Raskite funkcijos sritį D (y).

2. Raskite (jei įmanoma) grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis (jei x= 0 ir at y = 0).

3. Ištirkite funkcijos lygumą ir nelygumą ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritetas; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ nelyginis).

4. Raskite funkcijos grafiko asimptotes.

5. Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus.

6. Raskite funkcijos kraštutinumą.

7. Raskite funkcijos grafiko išgaubimo (įgaubtumo) ir vingio taškų intervalus.

8. Remdamiesi atliktais tyrimais, sukonstruokite funkcijos grafiką.

Pavyzdys. Ištirkite funkciją ir sukurkite jos grafiką.

1) D (y) =

x= 4 – lūžio taškas.

2) Kada x = 0,

(0; ‒ 5) – susikirtimo taškas su Oi.

At y = 0,

3) y(‒ x)= funkcija bendras vaizdas(nei lyginis, nei nelyginis).

4) Mes tiriame asimptotus.

a) vertikaliai

b) horizontaliai

c) suraskite pasvirusius asimptotus kur

‒pasviroji asimptotės lygtis

5) Šioje lygtyje nebūtina rasti funkcijos monotoniškumo intervalų.

Šie kritiniai taškai padalija visą funkcijos apibrėžimo sritį į intervalą (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ir (10; +∞). Patogu gautus rezultatus pateikti šios lentelės forma.