അവിഭാജ്യ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വരികളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഈ ലേഖനത്തിൽ നിങ്ങൾ പഠിക്കും. ഹൈസ്കൂളിൽ ആദ്യമായി ഇത്തരമൊരു പ്രശ്നത്തിൻ്റെ രൂപീകരണം ഞങ്ങൾ നേരിടുന്നു, ഞങ്ങൾ നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെ പഠനം പൂർത്തിയാക്കുകയും പ്രായോഗികമായി നേടിയ അറിവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ആരംഭിക്കേണ്ട സമയമാണിത്.

അതിനാൽ, ഇൻ്റഗ്രലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം വിജയകരമായി പരിഹരിക്കാൻ എന്താണ് വേണ്ടത്:

• സമർത്ഥമായ ഡ്രോയിംഗുകൾ നിർമ്മിക്കാനുള്ള കഴിവ്;
• അറിയപ്പെടുന്ന ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ ഘടകത്തെ പരിഹരിക്കാനുള്ള കഴിവ്;
• കൂടുതൽ ലാഭകരമായ ഒരു പരിഹാര ഓപ്ഷൻ "കാണാനുള്ള" കഴിവ് - അതായത്. ഒരു കേസിൽ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്നിൽ സംയോജനം നടത്തുന്നത് എങ്ങനെ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാകുമെന്ന് മനസ്സിലായോ? x-അക്ഷം (OX) അല്ലെങ്കിൽ y-അക്ഷം (OY) അരികിലാണോ?
• ശരി, ശരിയായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഇല്ലാതെ നമ്മൾ എവിടെയായിരിക്കും?) മറ്റ് തരത്തിലുള്ള ഇൻ്റഗ്രലുകൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്നും സംഖ്യാ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ശരിയാക്കാമെന്നും മനസ്സിലാക്കുന്നത് ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

1. ഞങ്ങൾ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുന്നു. ഇത് ഒരു ചെക്കർ പേപ്പറിൽ, വലിയ തോതിൽ ചെയ്യുന്നതാണ് അഭികാമ്യം. ഓരോ ഗ്രാഫിനും മുകളിൽ പെൻസിൽ ഉപയോഗിച്ച് ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ പേര് ഞങ്ങൾ ഒപ്പിടുന്നു. ഗ്രാഫുകളിൽ ഒപ്പിടുന്നത് കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ സൗകര്യത്തിന് വേണ്ടി മാത്രമാണ്. ആവശ്യമുള്ള ചിത്രത്തിൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് ലഭിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, മിക്ക കേസുകളിലും സംയോജനത്തിൻ്റെ ഏത് പരിധിയാണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടതെന്ന് ഉടനടി വ്യക്തമാകും. ഇങ്ങനെയാണ് ഞങ്ങൾ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി. എന്നിരുന്നാലും, പരിധികളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഭിന്നമോ യുക്തിരഹിതമോ ആണ്. അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് അധിക കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താം, രണ്ടാം ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുക.

2. സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ വ്യക്തമായി വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, ഗ്രാഫുകൾ പരസ്പരം ഛേദിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി ഞങ്ങളുടെ ഗ്രാഫിക് പരിഹാരംവിശകലനവുമായി.

3. അടുത്തതായി, നിങ്ങൾ ഡ്രോയിംഗ് വിശകലനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ എങ്ങനെയാണ് ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത് എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച്, ഉണ്ട് വ്യത്യസ്ത സമീപനങ്ങൾഒരു രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ. നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം വ്യത്യസ്ത ഉദാഹരണങ്ങൾഇൻ്റഗ്രലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിൽ.

3.1. വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ട സമയത്താണ് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ക്ലാസിക്, ലളിത പതിപ്പ്. എന്താണ് വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ്? ഇത് x-അക്ഷത്താൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ഫ്ലാറ്റ് ഫിഗർ ആണ് (y = 0), ഋജുവായത് x = a, x = bമുതൽ ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി ഏതെങ്കിലും വക്രം എമുമ്പ് ബി. മാത്രമല്ല, ഈ കണക്ക് നെഗറ്റീവ് അല്ല, അത് x-അക്ഷത്തിന് താഴെയല്ല സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കിയ ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിന് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണ് കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം:

ഉദാഹരണം 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

ഏത് വരികളാണ് ചിത്രം പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്? ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പരവലയമുണ്ട് y = x2 – 3x + 3, അച്ചുതണ്ടിന് മുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു ഓ, ഇത് നെഗറ്റീവ് അല്ല, കാരണം ഈ പരവലയത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും ഉണ്ട് പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ. അടുത്തതായി, നേർരേഖകൾ നൽകി x = 1ഒപ്പം x = 3, അത് അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു ഒ.യു, ഇടതുവശത്തും വലത്തിലുമുള്ള ചിത്രത്തിൻ്റെ അതിർത്തിരേഖകളാണ്. നന്നായി y = 0, ഇത് x-അക്ഷം കൂടിയാണ്, അത് താഴെ നിന്ന് ചിത്രം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ചിത്രം ഷേഡുള്ളതാണ്, ഇടതുവശത്തുള്ള ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും. IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഉടൻ തന്നെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങാം. ഒരു വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം ഞങ്ങളുടെ മുമ്പിലുണ്ട്, അത് ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

3.2. മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡിക 3.1-ൽ, ഒരു വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് x-അക്ഷത്തിന് മുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ കേസ് പരിശോധിച്ചു. ഫംഗ്‌ഷൻ x-അക്ഷത്തിന് കീഴിലാണെന്നതൊഴിച്ചാൽ, പ്രശ്‌നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥകൾ സമാനമാകുമ്പോൾ ഇപ്പോൾ കേസ് പരിഗണിക്കുക. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുലയിൽ ഒരു മൈനസ് ചേർത്തു. അത്തരമൊരു പ്രശ്നം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ ചുവടെ പരിഗണിക്കും.

ഉദാഹരണം 2 . വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ നമുക്ക് ഒരു പരവലയമുണ്ട് y = x2 + 6x + 2, അത് അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്ന് ഉത്ഭവിക്കുന്നു ഓ, ഋജുവായത് x = -4, x = -1, y = 0. ഇവിടെ y = 0മുകളിൽ നിന്ന് ആവശ്യമുള്ള ചിത്രം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു. നേരിട്ട് x = -4ഒപ്പം x = -1ഇവയാണ് നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത കണക്കാക്കുന്ന അതിരുകൾ. ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വം ഉദാഹരണം നമ്പർ 1 മായി പൂർണ്ണമായും യോജിക്കുന്നു. നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രവർത്തനം പോസിറ്റീവ് അല്ല, മാത്രമല്ല ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി തുടരുകയും ചെയ്യുന്നു എന്നതാണ് വ്യത്യാസം. [-4; -1] . പോസിറ്റീവ് അല്ല എന്ന് നിങ്ങൾ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നത് പോലെ, നൽകിയിരിക്കുന്ന x-കൾക്കുള്ളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ചിത്രത്തിന് "നെഗറ്റീവ്" കോർഡിനേറ്റുകൾ മാത്രമാണുള്ളത്, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നമ്മൾ കാണേണ്ടതും ഓർമ്മിക്കേണ്ടതും ഇതാണ്. ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം തിരയുന്നു, തുടക്കത്തിൽ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം മാത്രം.

ലേഖനം പൂർത്തിയായിട്ടില്ല.

പ്രശ്നം 1(വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച്).

കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റമായ xOy-ൽ, x അക്ഷം, നേർരേഖകൾ x = a, x = b (a curvilinear trapezoid) കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രം നൽകിയിരിക്കുന്നു (ചിത്രം കാണുക). ട്രപസോയിഡ്.
പരിഹാരം.ബഹുഭുജങ്ങളുടെ വിസ്തൃതികളും ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ ചില ഭാഗങ്ങളും (സെക്ടർ, സെഗ്‌മെൻ്റ്) കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പാചകക്കുറിപ്പുകൾ ജ്യാമിതി നമുക്ക് നൽകുന്നു. ജ്യാമിതീയ പരിഗണനകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ആവശ്യമായ പ്രദേശത്തിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം മാത്രമേ നമുക്ക് കണ്ടെത്താൻ കഴിയൂ, ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ന്യായവാദം ചെയ്യുന്നു.

നമുക്ക് സെഗ്മെൻ്റ് വിഭജിക്കാം [a; b] (വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം) n തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി; ഈ പാർട്ടീഷൻ x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 എന്നീ പോയിൻ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്. y-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി ഈ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ നമുക്ക് നേർരേഖകൾ വരയ്ക്കാം. അപ്പോൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന curvilinear trapezoid n ഭാഗങ്ങളായി, n ഇടുങ്ങിയ നിരകളായി വിഭജിക്കപ്പെടും. മുഴുവൻ ട്രപസോയിഡിൻ്റെയും വിസ്തീർണ്ണം നിരകളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

നമുക്ക് k-th കോളം പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കാം, അതായത്. വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ്, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റാണ്. f(x k) ന് തുല്യമായ അതേ അടിത്തറയും ഉയരവുമുള്ള ഒരു ദീർഘചതുരം ഉപയോഗിച്ച് അതിനെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം (ചിത്രം കാണുക). ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \) തുല്യമാണ്, ഇവിടെ \(\Delta x_k \) എന്നത് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യമാണ്; തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നത്തെ kth നിരയുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യമായി കണക്കാക്കുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്.

ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ മറ്റെല്ലാ നിരകളുമായും ഇതുതന്നെ ചെയ്താൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ എത്തിച്ചേരും: നൽകിയിരിക്കുന്ന കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം n ദീർഘചതുരങ്ങൾ കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച ഒരു സ്റ്റെപ്പ് ഫിഗറിൻ്റെ S n ഏരിയയ്ക്ക് ഏകദേശം തുല്യമാണ് (ചിത്രം കാണുക):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
ഇവിടെ, നൊട്ടേഷൻ്റെ ഏകീകൃതതയ്ക്കായി, a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ നീളം, \(\Delta x_1 \) - സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ നീളം മുതലായവ; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ മുകളിൽ സമ്മതിച്ചതുപോലെ, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

അതിനാൽ, \(S \ approx S_n \), ഈ ഏകദേശ തുല്യത കൂടുതൽ കൃത്യമാണ്, വലുത് n.
നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ ആവശ്യമായ വിസ്തീർണ്ണം ശ്രേണിയുടെ (S n) പരിധിക്ക് തുല്യമാണെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

പ്രശ്നം 2(ഒരു പോയിൻ്റ് നീക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച്)
ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിൻ്റ് ഒരു നേർരേഖയിൽ നീങ്ങുന്നു. സമയത്തെ വേഗതയുടെ ആശ്രിതത്വം v = v(t) എന്ന ഫോർമുലയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിൽ ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ ചലനം കണ്ടെത്തുക [a; ബി].
പരിഹാരം.ചലനം ഏകതാനമാണെങ്കിൽ, പ്രശ്നം വളരെ ലളിതമായി പരിഹരിക്കപ്പെടും: s = vt, അതായത്. s = v(b-a). അസമമായ ചലനത്തിനായി, മുമ്പത്തെ പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള അതേ ആശയങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
1) സമയ ഇടവേള വിഭജിക്കുക [a; b] n തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി.
2) ഒരു കാലഘട്ടം പരിഗണിക്കുക, ഈ കാലയളവിലെ വേഗത സ്ഥിരമായിരുന്നെന്ന് കരുതുക, സമയം ടി കെ. അതിനാൽ v = v(t k) എന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു.
3) ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിൽ പോയിൻ്റിൻ്റെ ചലനത്തിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം; ഈ ഏകദേശ മൂല്യം ഞങ്ങൾ s k ആയി സൂചിപ്പിക്കും
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) സ്ഥാനചലനത്തിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:
\(s \ approx S_n \) എവിടെ
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) ആവശ്യമായ സ്ഥാനചലനം അനുക്രമത്തിൻ്റെ പരിധിക്ക് തുല്യമാണ് (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം. പരിഹാരങ്ങൾ വിവിധ ജോലികൾഅതേ ഗണിത മാതൃകയിലേക്ക് ചുരുക്കി. ശാസ്ത്ര സാങ്കേതിക വിദ്യയുടെ വിവിധ മേഖലകളിൽ നിന്നുള്ള പല പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ ഒരേ മാതൃകയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം ഈ ഗണിത മാതൃക പ്രത്യേകം പഠിക്കണം എന്നാണ്.

ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ ആശയം

y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനായി പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന മൂന്ന് പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ നിർമ്മിച്ച മോഡലിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര വിവരണം നമുക്ക് നൽകാം, ഇടവേളയിൽ [a; b]:
1) സെഗ്മെൻ്റ് വിഭജിക്കുക [a; b] n തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി;
2) $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ കണക്കാക്കുക

ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൽ, തുടർച്ചയായ (അല്ലെങ്കിൽ കഷണങ്ങളായി തുടർച്ചയായ) ഫംഗ്ഷൻ്റെ കാര്യത്തിൽ ഈ പരിധി നിലവിലുണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടു. അവൻ വിളിക്കപ്പെടുന്നു y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ ഘടകം [a; b]കൂടാതെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
a, b എന്നീ സംഖ്യകളെ സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു (യഥാക്രമം താഴെയും മുകളിലും).

മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത ജോലികളിലേക്ക് മടങ്ങാം. പ്രശ്നം 1-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഏരിയയുടെ നിർവചനം ഇപ്പോൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
ഇവിടെ S എന്നത് മുകളിലെ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണമാണ്. ഇതാണ് ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

പ്രശ്നം 2-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന t = a മുതൽ t = b വരെയുള്ള കാലയളവിൽ v = v(t) വേഗതയിൽ നേർരേഖയിൽ ചലിക്കുന്ന ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ സ്ഥാനചലനത്തിൻ്റെ നിർവചനം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

ന്യൂട്ടൺ - ലെബ്നിസ് ഫോർമുല

ആദ്യം, നമുക്ക് ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാം: നിശ്ചിത അവിഭാജ്യവും ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം എന്താണ്?

പ്രശ്നം 2-ൽ ഉത്തരം കണ്ടെത്താം. ഒരു വശത്ത്, t = a മുതൽ t = b വരെയുള്ള കാലയളവിൽ v = v(t) വേഗതയിൽ ഒരു നേർരേഖയിൽ ചലിക്കുന്ന ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ സ്ഥാനചലനം കണക്കാക്കുന്നത് ഫോർമുല
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

മറുവശത്ത്, ഒരു ചലിക്കുന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് വേഗതയ്‌ക്കുള്ള ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ് - നമുക്ക് അത് സൂചിപ്പിക്കാം s(t); s = s(b) - s(a) എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സ്ഥാനചലനം s പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
ഇവിടെ s(t) എന്നത് v(t) യുടെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.
സിദ്ധാന്തം. ഫംഗ്ഷൻ y = f(x) ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി ആണെങ്കിൽ [a; b], അപ്പോൾ ഫോർമുല സാധുവാണ്
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
ഇവിടെ F(x) എന്നത് f(x)ൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവാണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫോർമുലയെ സാധാരണയായി വിളിക്കുന്നു ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുലഇംഗ്ലീഷ് ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഐസക് ന്യൂട്ടൻ്റെയും (1643-1727) ജർമ്മൻ തത്ത്വചിന്തകനായ ഗോട്ട്ഫ്രൈഡ് ലീബ്നിസിൻ്റെയും (1646-1716) ബഹുമാനാർത്ഥം അത് പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമായും ഏതാണ്ട് ഒരേ സമയത്തും സ്വീകരിച്ചു.

പ്രായോഗികമായി, F(b) - F(a) എഴുതുന്നതിനുപകരം, അവർ \(\ഇടത്. F(x)\right|_a^b \) എന്ന നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു (ഇതിനെ ചിലപ്പോൾ വിളിക്കാറുണ്ട്. ഇരട്ട പകരം വയ്ക്കൽ) കൂടാതെ, അതനുസരിച്ച്, ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഈ രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതുക:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \ഇടത്. F(x)\right|_a^b \)

ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ആദ്യം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക, തുടർന്ന് ഇരട്ട പകരം വയ്ക്കൽ നടത്തുക.

ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുലയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് ഗുണങ്ങൾ ലഭിക്കും.

സ്വത്ത് 1.പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സംയോജനം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്ഇൻ്റഗ്രലുകൾ:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

പ്രോപ്പർട്ടി 2.അവിഭാജ്യ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് സ്ഥിരമായ ഘടകം പുറത്തെടുക്കാൻ കഴിയും:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് പ്ലെയിൻ ഫിഗറുകളുടെ ഏരിയകൾ കണക്കാക്കുന്നു

ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡുകളുടെ മാത്രമല്ല, പരന്ന രൂപങ്ങളുടെയും പ്രദേശങ്ങൾ കണക്കാക്കാം. സങ്കീർണ്ണമായ തരം, ഉദാഹരണത്തിന് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഒന്ന്. x = a, x = b എന്ന നേർരേഖകളും y = f(x), y = g(x) എന്നീ തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളും സെഗ്‌മെൻ്റിൽ [a; b] അസമത്വം \(g(x) \leq f(x) \) നിലനിർത്തുന്നു. അത്തരമൊരു ചിത്രത്തിൻ്റെ ഏരിയ എസ് കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ തുടരും:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

അതിനാൽ, x = a, x = b എന്നീ നേർരേഖകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ ഏരിയ S, y = f(x), y = g(x) എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളും, സെഗ്‌മെൻ്റിൽ തുടർച്ചയായും സെഗ്‌മെൻ്റിൽ നിന്നുള്ള ഏത് x-നും [എ; b] അസമത്വം \(g(x) \leq f(x) \) സംതൃപ്തമാണ്, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

ചില ഫംഗ്ഷനുകളുടെ അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെ (ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ) പട്ടിക

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

ടാസ്ക് നമ്പർ 3. ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കുക, വരികളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക

പ്രയോഗിച്ച പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിന് സമഗ്രതയുടെ പ്രയോഗം

ഏരിയ കണക്കുകൂട്ടൽ

തുടർച്ചയായ നോൺ-നെഗറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർദിഷ്ട സംയോജനം f(x) സംഖ്യാപരമായി ഇതിന് തുല്യമാണ് y = f(x), O x അക്ഷം, x = a, x = b എന്നീ നേർരേഖകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം. ഇതിന് അനുസൃതമായി, ഏരിയ ഫോർമുല ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

വിമാന കണക്കുകളുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ടാസ്ക് നമ്പർ 1. y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 എന്നീ വരികളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പ്രദേശം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കേണ്ട ഒരു ചിത്രം നമുക്ക് നിർമ്മിക്കാം.

y = x 2 + 1 എന്നത് ഒരു പരവലയമാണ്, അതിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ O y അക്ഷവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ പരവലയത്തെ ഒരു യൂണിറ്റ് മുകളിലേക്ക് മാറ്റുന്നു (ചിത്രം 1).

ചിത്രം 1. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് y = x 2 + 1

ടാസ്‌ക് നമ്പർ 2. 0 മുതൽ 1 വരെയുള്ള ശ്രേണിയിൽ y = x 2 - 1, y = 0 എന്നീ വരികളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പ്രദേശം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് മുകളിലേക്ക് നയിക്കുന്ന ശാഖകളുടെ ഒരു പരവലയമാണ്, കൂടാതെ പരവലയം O y അക്ഷവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു യൂണിറ്റ് താഴേക്ക് മാറ്റുന്നു (ചിത്രം 2).

ചിത്രം 2. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് y = x 2 – 1

ടാസ്ക് നമ്പർ 3. ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കുക, വരികളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക

y = 8 + 2x – x 2, y = 2x – 4.

പരിഹാരം.ഈ രണ്ട് വരികളിൽ ആദ്യത്തേത് ഒരു പരവലയമാണ്, അതിൻ്റെ ശാഖകൾ താഴേക്ക് നയിക്കുന്നു, കാരണം x 2 ൻ്റെ ഗുണകം നെഗറ്റീവ് ആണ്, രണ്ടാമത്തെ വരി രണ്ട് കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളെയും വിഭജിക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖയാണ്.

ഒരു പരവലയം നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, അതിൻ്റെ ശീർഷകത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: y'=2 - 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - ശീർഷത്തിൻ്റെ abscissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 എന്നത് അതിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റ് ആണ്, N(1;9) എന്നത് ശീർഷകമാണ്.

സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം പരിഹരിച്ച് നമുക്ക് പരവലയത്തിൻ്റെയും നേർരേഖയുടെയും വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താം:

ഇടത് വശങ്ങൾ തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലത് വശങ്ങൾ തുല്യമാക്കുന്നു.

നമുക്ക് 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 അല്ലെങ്കിൽ x 2 – 12 = 0, എവിടെ നിന്ന് ലഭിക്കും .

അതിനാൽ, പോയിൻ്റുകൾ ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെയും ഒരു നേർരേഖയുടെയും കവല പോയിൻ്റുകളാണ് (ചിത്രം 1).

ചിത്രം 3 ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ y = 8 + 2x – x 2, y = 2x – 4

നമുക്ക് ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കാം y = 2x – 4. ഇത് കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലെ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ (0;-4), (2;0) കടന്നുപോകുന്നു.

ഒരു പരാബോള നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് 0x അക്ഷം ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളും ഉപയോഗിക്കാം, അതായത് 8 + 2x – x 2 = 0 അല്ലെങ്കിൽ x 2 – 2x – 8 = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, ഇത് എളുപ്പമാണ്. അതിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ: x 1 = 2, x 2 = 4.

ചിത്രം 3 ഈ ലൈനുകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രം (പാരാബോളിക് സെഗ്മെൻ്റ് M 1 N M 2) കാണിക്കുന്നു.

ഈ ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ രണ്ടാം ഭാഗം. ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യഘടകം ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താം .

ലേക്ക് അപേക്ഷിച്ചു ഈ അവസ്ഥ, നമുക്ക് ഇൻ്റഗ്രൽ ലഭിക്കുന്നു:

2 ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ശരീരത്തിൻ്റെ അളവിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ

O x അക്ഷത്തിന് ചുറ്റുമുള്ള y = f(x) എന്ന വക്രത്തിൻ്റെ ഭ്രമണത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

O y അക്ഷത്തിന് ചുറ്റും കറങ്ങുമ്പോൾ, ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ടാസ്ക് നമ്പർ 4. O x അക്ഷത്തിന് ചുറ്റും x = 0 x = 3, കർവ് y = എന്നീ നേർരേഖകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ ഭ്രമണത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഒരു ചിത്രം വരയ്ക്കാം (ചിത്രം 4).

ചിത്രം 4. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് y =

ആവശ്യമായ വോളിയം ആണ്

ടാസ്ക് നമ്പർ 5. O y അക്ഷത്തിന് ചുറ്റുമുള്ള y = x 2, y = 0, y = 4 എന്നീ നേർരേഖകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ ഭ്രമണത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഉണ്ട്:

ചോദ്യങ്ങൾ അവലോകനം ചെയ്യുക

ഫംഗ്‌ഷൻ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തതും ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായതുമായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ, ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം അനുസരിച്ച്, ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ മുകളിൽ, അച്ചുതണ്ടിൽ താഴെ, ഇടത്തും വലത്തും നേർരേഖകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം (ചിത്രം 2 കാണുക) ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു

ഉദാഹരണം 9.ഒരു വരയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക അച്ചുതണ്ടും.

പരിഹാരം. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ശാഖകൾ താഴേക്ക് നയിക്കുന്ന പരവലയമാണ്. നമുക്ക് അത് നിർമ്മിക്കാം (ചിത്രം 3). സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധി നിർണ്ണയിക്കാൻ, അച്ചുതണ്ടുമായി (നേർരേഖ) രേഖയുടെ (പാരാബോള) വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: , എവിടെ ,; അതിനാൽ,,.

അരി. 3

ഫോർമുല (5) ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നു:

സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ പോസിറ്റീവ് അല്ലാത്തതും തുടർച്ചയായതുമാണെങ്കിൽ, ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ താഴെ, മുകളിൽ അച്ചുതണ്ട്, ഇടത്തും വലത്തും നേർരേഖകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നു ഫോർമുല

. (6)

ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൽ തുടർച്ചയായിരിക്കുകയും പരിമിതമായ പോയിൻ്റുകളിൽ അടയാളം മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, ഷേഡുള്ള ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം (ചിത്രം 4) തുല്യമാണ് ബീജഗണിത തുകഅനുബന്ധ നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലുകൾ:

അരി. 4

ഉദാഹരണം 10.അച്ചുതണ്ടിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണവും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫും കണക്കാക്കുക.

അരി. 5

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം (ചിത്രം 5). ആവശ്യമുള്ള ഏരിയ എന്നത് ഏരിയകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്. ഈ ഓരോ മേഖലയും നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ആദ്യം, സിസ്റ്റം പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധി ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു,. അതിനാൽ:

;

.

അങ്ങനെ, ഷേഡുള്ള രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം

(ചതുരശ്ര യൂണിറ്റുകൾ).

അരി. 6

അവസാനമായി, സെഗ്‌മെൻ്റിലെ തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളാൽ കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിനെ മുകളിലും താഴെയുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കട്ടെ, ,
ഇടത്തും വലത്തും - നേർരേഖകളും (ചിത്രം 6). അപ്പോൾ അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു

. (8)

ഉദാഹരണം 11.വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.ഈ ചിത്രം ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 7. ഫോർമുല (8) ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ ഏരിയ കണക്കാക്കാം. ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു, ; അതിനാൽ,,. സെഗ്‌മെൻ്റിൽ നമുക്കുണ്ട്: . ഇതിനർത്ഥം ഫോർമുലയിൽ (8) നമ്മൾ എടുക്കുന്നു എന്നാണ് x, ഒരു ഗുണമേന്മയായി - . നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(ചതുരശ്ര യൂണിറ്റുകൾ).

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ജോലികൾചിത്രത്തെ വിഭജിക്കാത്ത ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ച് ഈ ഭാഗങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ആകെത്തുകയായി മുഴുവൻ ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണവും കണക്കാക്കിയാണ് ഏരിയകളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ പരിഹരിക്കുന്നത്.

അരി. 7

ഉദാഹരണം 12.വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക, , .

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം (ചിത്രം 8). ഈ കണക്ക് ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡായി കണക്കാക്കാം, താഴെ നിന്ന് അച്ചുതണ്ട്, ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും - നേർരേഖകളാലും മുകളിൽ നിന്ന് - ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളാലും. രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളാൽ ചിത്രം പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഈ നേർരേഖയെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു (1 എന്നത് വരികളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റിൻ്റെ അബ്‌സിസ്സയും ). ഈ ഓരോ ഭാഗത്തിൻ്റെയും വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല (4) ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു:

(ചതുരശ്ര യൂണിറ്റുകൾ); (ചതുരശ്ര യൂണിറ്റുകൾ). അതിനാൽ:

(ചതുരശ്ര യൂണിറ്റുകൾ).

അരി. 8

എക്സ്= j( ചെയ്തത്)

അരി. 9

ഉപസംഹാരമായി, ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡ് നേർരേഖകളാലും , അച്ചുതണ്ടും വക്രത്തിൽ തുടർച്ചയായും പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ (ചിത്രം 9), അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുലയിലൂടെ കണ്ടെത്തുമെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

വിപ്ലവത്തിൻ്റെ ഒരു ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ്

ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൽ തുടർച്ചയായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ്, ഒരു അച്ചുതണ്ട്, നേർരേഖകൾ എന്നിവയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ്, അക്ഷത്തിന് ചുറ്റും കറങ്ങട്ടെ (ചിത്രം 10). തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭ്രമണ ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു

. (9)

ഉദാഹരണം 13.ഒരു ഹൈപ്പർബോള, നേർരേഖകൾ, അച്ചുതണ്ട് എന്നിവയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും കറക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം (ചിത്രം 11).

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു, . ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (9) നമുക്ക് ലഭിക്കും

.

അരി. 10

അരി. പതിനൊന്ന്

ഒരു അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും ഭ്രമണം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് ഒ.യുനേർരേഖകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് y = cഒപ്പം y = d, അച്ചുതണ്ട് ഒ.യുഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൽ തുടർച്ചയായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫും (ചിത്രം 12), ഫോർമുലയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു

. (10)

എക്സ്= j( ചെയ്തത്)

അരി. 12

ഉദാഹരണം 14. ഒരു അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും കറക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിച്ച ശരീരത്തിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കുക ഒ.യുവരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് എക്സ് 2 = 4ചെയ്തത്, y = 4, x = 0 (ചിത്രം 13).

പരിഹാരം. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് അനുസൃതമായി, സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: , . ഫോർമുല (10) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അരി. 13

ഒരു വിമാന വളവിൻ്റെ ആർക്ക് നീളം

സമവാക്യം നൽകുന്ന വക്രം , എവിടെ , വിമാനത്തിൽ കിടക്കട്ടെ (ചിത്രം 14).

അരി. 14

നിർവ്വചനം. ഈ കമാനത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന തകർന്ന വരയുടെ നീളം എത്രത്തോളം നീളുന്നുവോ, തകർന്ന വരയുടെ ലിങ്കുകളുടെ എണ്ണം അനന്തതയിലേക്കും ഏറ്റവും വലിയ ലിങ്കിൻ്റെ ദൈർഘ്യം പൂജ്യത്തിലേക്കും നീങ്ങുമ്പോൾ, ആർക്കിൻ്റെ നീളം മനസ്സിലാക്കപ്പെടുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷനും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും സെഗ്‌മെൻ്റിൽ തുടർച്ചയായി ആണെങ്കിൽ, വക്രത്തിൻ്റെ ആർക്ക് നീളം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു

. (11)

ഉദാഹരണം 15. പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന വക്രത്തിൻ്റെ ആർക്ക് നീളം കണക്കാക്കുക .

പരിഹാരം. നമുക്കുള്ള പ്രശ്നസാഹചര്യങ്ങളിൽ നിന്ന് . ഫോർമുല (11) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

.

4. അനുചിതമായ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ
സംയോജനത്തിൻ്റെ അനന്തമായ പരിധികളോടെ

ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിക്കുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തികരമാണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെട്ടു:

a) സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധി എഅവ പരിമിതമാണ്;

b) ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് ഇടവേളയിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

ഈ വ്യവസ്ഥകളിലൊന്നെങ്കിലും തൃപ്തികരമല്ലെങ്കിൽ, അവിഭാജ്യമെന്ന് വിളിക്കുന്നു നിങ്ങളുടേതല്ല.

സംയോജനത്തിൻ്റെ അനന്തമായ പരിധികളുള്ള അനുചിതമായ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ നമുക്ക് ആദ്യം പരിഗണിക്കാം.

നിർവ്വചനം. ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കുകയും ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായിരിക്കുകയും ചെയ്യട്ടെവലതുവശത്ത് പരിധിയില്ലാത്തതും (ചിത്രം 15).

അനുചിതമായ ഇൻ്റഗ്രൽ ഒത്തുചേരുകയാണെങ്കിൽ, ഈ പ്രദേശം പരിമിതമാണ്; അനുചിതമായ ഇൻ്റഗ്രൽ വ്യതിചലിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ പ്രദേശം അനന്തമാണ്.

അരി. 15

സംയോജനത്തിൻ്റെ അനന്തമായ താഴ്ന്ന പരിധിയുള്ള അനുചിതമായ ഇൻ്റഗ്രൽ സമാനമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:

. (13)

സമത്വത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള പരിധി (13) നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, ഈ അവിഭാജ്യത ഒത്തുചേരുന്നു; അല്ലാത്തപക്ഷം അവിഭാജ്യമായത് വ്യത്യസ്‌തമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

രണ്ട് അനന്തമായ സംയോജന പരിധികളുള്ള ഒരു അനുചിതമായ ഇൻ്റഗ്രൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:

, (14)

ഇവിടെ с എന്നത് ഇടവേളയുടെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദു ആണ്. സമത്വത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള രണ്ട് അവിഭാജ്യങ്ങളും കൂടിച്ചേർന്നാൽ മാത്രമേ ഇൻ്റഗ്രൽ ഒത്തുചേരുകയുള്ളൂ (14).

;

ജി) = [ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുക: ] = [പകരം:

] =

ഇതിനർത്ഥം അനുചിതമായ ഇൻ്റഗ്രൽ ഒത്തുചേരുകയും അതിൻ്റെ മൂല്യം തുല്യമാണ് എന്നാണ്.

ഇൻ്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസിൻ്റെ പ്രയോഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം. ഈ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ സാധാരണവും ഏറ്റവും സാധാരണവുമായ ചുമതല വിശകലനം ചെയ്യും ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നു. അവസാനമായി, എല്ലാവരും അർത്ഥത്തിനായി തിരയുന്നു ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം- അവർ അവനെ കണ്ടെത്തട്ടെ. നിങ്ങൾക്കറിയില്ല. ജീവിതത്തിൽ നാം അതിനെ കൂടുതൽ അടുപ്പിക്കണം രാജ്യത്തിൻ്റെ കോട്ടേജ് ഏരിയഎലിമെൻ്ററി ഫംഗ്‌ഷനുകൾ കൂടാതെ ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ ഏരിയ കണ്ടെത്തുക.

മെറ്റീരിയൽ വിജയകരമായി മാസ്റ്റർ ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യണം:

1) കുറഞ്ഞത് ഒരു ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് തലത്തിലെങ്കിലും അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ മനസ്സിലാക്കുക. അതിനാൽ, ഡമ്മികൾ ആദ്യം പാഠം വായിക്കണം അല്ല.

2) ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാനും കൃത്യമായ ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കാനും കഴിയും. ഊഷ്മളമായി സജ്ജമാക്കുക സൗഹൃദ ബന്ധങ്ങൾകൃത്യമായ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ പേജിൽ കാണാം നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ. "ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഏരിയ കണക്കാക്കുക" എന്ന ടാസ്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുന്നതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു, അതുകൊണ്ടാണ് കാലികപ്രശ്നംഡ്രോയിംഗിൽ നിങ്ങളുടെ അറിവും കഴിവും ഉണ്ടാകും. കുറഞ്ഞത്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നേർരേഖ, പരാബോള, ഹൈപ്പർബോള എന്നിവ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയണം.

ഒരു വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് എന്നത് ചില ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു പരന്ന രൂപമാണ് വൈ = എഫ്(x), അക്ഷം OXവരികളും x = എ; x = ബി.

ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം സംഖ്യാപരമായി ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്

ഏതൊരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിനും (നിലവിലുള്ളത്) വളരെ നല്ല ജ്യാമിതീയ അർത്ഥമുണ്ട്. പാഠത്തിൽ നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യഘടകം ഒരു സംഖ്യയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ പറഞ്ഞു. ഇപ്പോൾ മറ്റൊരു ഉപയോഗപ്രദമായ വസ്തുത പ്രസ്താവിക്കാനുള്ള സമയമായി. ജ്യാമിതിയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ, കൃത്യമായ അവിഭാജ്യഘടകം AREA ആണ്. അതാണ്, നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ (അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ) ജ്യാമിതീയമായി ഒരു നിശ്ചിത രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തൃതിയുമായി യോജിക്കുന്നു. നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത പരിഗണിക്കുക

ഇൻ്റഗ്രാൻഡ്

വിമാനത്തിൽ ഒരു വക്രം നിർവചിക്കുന്നു (ആവശ്യമെങ്കിൽ അത് വരയ്ക്കാം), നിശ്ചിത അവിഭാജ്യഘടകം തന്നെ സംഖ്യാപരമായതാണ് പ്രദേശത്തിന് തുല്യമാണ്അനുയോജ്യമായ വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ്.

ഉദാഹരണം 1

, , , .

ഇതൊരു സാധാരണ അസൈൻമെൻ്റ് പ്രസ്താവനയാണ്. ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട പോയിൻ്റ്പരിഹാരങ്ങൾ - ഡ്രോയിംഗ്. മാത്രമല്ല, ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കണം വലത്.

ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന ക്രമം ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു: ആദ്യംഎല്ലാ നേർരേഖകളും (അവ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ) നിർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് പിന്നെ- പരാബോളകൾ, ഹൈപ്പർബോളുകൾ, മറ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ. പോയിൻ്റ്-ബൈ-പോയിൻ്റ് നിർമ്മാണ സാങ്കേതികത റഫറൻസ് മെറ്റീരിയലിൽ കാണാം ഗ്രാഫുകളും ഗുണങ്ങളും പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ . ഞങ്ങളുടെ പാഠത്തിനായി വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ മെറ്റീരിയലും അവിടെ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും - ഒരു പരവലയം എങ്ങനെ വേഗത്തിൽ നിർമ്മിക്കാം.

ഈ പ്രശ്നത്തിൽ, പരിഹാരം ഇതുപോലെയാകാം.

നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് ചെയ്യാം (സമവാക്യം ശ്രദ്ധിക്കുക വൈ= 0 അക്ഷം വ്യക്തമാക്കുന്നു OX):

ഞങ്ങൾ ഒരു വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിന് തണലേകില്ല; ഇവിടെ ഏത് പ്രദേശം വ്യക്തമാണ് ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത്. പരിഹാരം ഇതുപോലെ തുടരുന്നു:

സെഗ്മെൻ്റിൽ [-2; 1] ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് വൈ = x 2 + 2 സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു അച്ചുതണ്ടിന് മുകളിൽOX, അതുകൊണ്ടാണ്:

ഉത്തരം: .

കൃത്യമായ ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുന്നതിലും ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നതിലും ആർക്കാണ് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളത്

,

പ്രഭാഷണം റഫർ ചെയ്യുക നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ. ടാസ്ക് പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം, ഡ്രോയിംഗ് നോക്കി ഉത്തരം യഥാർത്ഥമാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഉപയോഗപ്രദമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, "കണ്ണുകൊണ്ട്" ഡ്രോയിംഗിലെ സെല്ലുകളുടെ എണ്ണം ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു - ശരി, ഏകദേശം 9 ഉണ്ടാകും, അത് ശരിയാണെന്ന് തോന്നുന്നു. നമുക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചാൽ, പറയുക: 20 ചതുരശ്ര യൂണിറ്റുകൾ, എവിടെയോ ഒരു തെറ്റ് സംഭവിച്ചുവെന്നത് വ്യക്തമാണ് - 20 സെല്ലുകൾ സംശയാസ്പദമായ കണക്കുമായി യോജിക്കുന്നില്ല, പരമാവധി ഒരു ഡസൻ. ഉത്തരം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ചുമതലയും തെറ്റായി പരിഹരിച്ചു.

ഉദാഹരണം 2

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക xy = 4, x = 2, x= 4 ഒപ്പം അച്ചുതണ്ട് OX.

ഇത് ഒരു ഉദാഹരണമാണ് സ്വതന്ത്ര തീരുമാനം. സമ്പൂർണ്ണ പരിഹാരംപാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം ഉത്തരവും.

വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യണം അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ കീഴിൽOX?

ഉദാഹരണം 3

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക വൈ = e-x, x= 1 ഒപ്പം കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളും.

പരിഹാരം: നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡ് ആണെങ്കിൽ പൂർണ്ണമായും അച്ചുതണ്ടിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു OX , അപ്പോൾ അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

.

ശ്രദ്ധ! രണ്ട് തരത്തിലുള്ള ജോലികൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്:

1) നിങ്ങളോട് ഒന്നുമില്ലാതെ ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ ഘടകം പരിഹരിക്കാൻ ആവശ്യപ്പെട്ടാൽ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം, അപ്പോൾ അത് നെഗറ്റീവ് ആകാം.

2) ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടാൽ, ആ പ്രദേശം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആണ്! അതുകൊണ്ടാണ് ഇപ്പോൾ ചർച്ച ചെയ്ത ഫോർമുലയിൽ മൈനസ് പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നത്.

പ്രായോഗികമായി, മിക്കപ്പോഴും ചിത്രം മുകളിലും താഴെയുമുള്ള അർദ്ധ-തലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അതിനാൽ, ലളിതമായ സ്കൂൾ പ്രശ്നങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ അർത്ഥവത്തായ ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

ഉദാഹരണം 4

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക വൈ = 2x – x 2 , വൈ = -x.

പരിഹാരം: ആദ്യം നിങ്ങൾ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കണം. ഏരിയ പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ലൈനുകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ താൽപ്പര്യമുണ്ട്. നമുക്ക് പരവലയത്തിൻ്റെ കവല പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താം വൈ = 2x – x 2 നേരെയും വൈ = -x. ഇത് രണ്ട് തരത്തിൽ ചെയ്യാം. ആദ്യ രീതി വിശകലനമാണ്. ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

ഇതിനർത്ഥം ഏകീകരണത്തിൻ്റെ താഴ്ന്ന പരിധി എന്നാണ് എ= 0, സംയോജനത്തിൻ്റെ ഉയർന്ന പരിധി ബി= 3. പോയിൻ്റ് ബൈ പോയിൻ്റ് ലൈനുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നത് പലപ്പോഴും കൂടുതൽ ലാഭകരവും വേഗവുമാണ്, കൂടാതെ സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ "സ്വയം" വ്യക്തമാകും. എന്നിരുന്നാലും, ഗ്രാഫ് ആവശ്യത്തിന് വലുതാണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ വിശദമായ നിർമ്മാണം സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ വെളിപ്പെടുത്തിയില്ലെങ്കിൽ (അവ ഭിന്നമോ യുക്തിരഹിതമോ ആകാം) പരിധികൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വിശകലന രീതി ചിലപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് നമ്മുടെ ടാസ്ക്കിലേക്ക് മടങ്ങാം: ആദ്യം ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കുന്നത് കൂടുതൽ യുക്തിസഹമാണ്, അതിനുശേഷം മാത്രമേ ഒരു പരവലയമുള്ളൂ. നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

പോയിൻ്റ്‌വൈസ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ "യാന്ത്രികമായി" നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് ആവർത്തിക്കാം.

ഇപ്പോൾ പ്രവർത്തന സൂത്രവാക്യം:

വിഭാഗത്തിലാണെങ്കിൽ [ എ; ബി] ചില തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനം എഫ്(x) അതിലും വലുതോ തുല്യമോചില തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനം ജി(x), തുടർന്ന് സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് അനുബന്ധ രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താനാകും:

ചിത്രം എവിടെയാണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നതെന്ന് ഇവിടെ നിങ്ങൾ ഇനി ചിന്തിക്കേണ്ടതില്ല - അക്ഷത്തിന് മുകളിലോ അക്ഷത്തിന് താഴെയോ, പക്ഷേ ഏത് ഗ്രാഫ് ഉയർന്നതാണ് എന്നത് പ്രധാനമാണ്(മറ്റൊരു ഗ്രാഫുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്), കൂടാതെ ഏതാണ് താഴെയുള്ളത്.

പരിഗണനയിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, സെഗ്‌മെൻ്റിൽ പരവലയം നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിലായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുവെന്നത് വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ 2 മുതൽ x – x 2 കുറയ്ക്കണം - x.

പൂർത്തിയായ പരിഹാരം ഇതുപോലെയാകാം:

ആവശ്യമുള്ള ചിത്രം ഒരു പരവലയത്താൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു വൈ = 2x – x 2 മുകളിലും നേരെയും വൈ = -xതാഴെ.

സെഗ്മെൻ്റ് 2 ൽ x – x 2 ≥ -x. അനുബന്ധ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്:

ഉത്തരം: .

വാസ്തവത്തിൽ, താഴത്തെ അർദ്ധതലത്തിലെ ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനായുള്ള സ്കൂൾ ഫോർമുല (ഉദാഹരണ നമ്പർ 3 കാണുക) ഫോർമുലയുടെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്.

.

കാരണം അച്ചുതണ്ട് OXസമവാക്യം നൽകിയത് വൈ= 0, കൂടാതെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ജി(x) അക്ഷത്തിന് താഴെ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു OX, അത്

.

നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം പരിഹാരത്തിനായി ഇപ്പോൾ കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 5

ഉദാഹരണം 6

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഏരിയ കണക്കാക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ചിലപ്പോൾ രസകരമായ ഒരു സംഭവം സംഭവിക്കുന്നു. ഡ്രോയിംഗ് ശരിയായി, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ശരിയായിരുന്നു, പക്ഷേ അശ്രദ്ധ കാരണം ... തെറ്റായ രൂപത്തിൻ്റെ പ്രദേശം കണ്ടെത്തി.

ഉദാഹരണം 7

ആദ്യം നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ട പ്രദേശം ഷേഡുള്ള നീലയാണ്(അവസ്ഥ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കുക - കണക്ക് എങ്ങനെ പരിമിതമാണ്!). എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി, ശ്രദ്ധക്കുറവ് കാരണം, ഷേഡുള്ള രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തണമെന്ന് അവർ പലപ്പോഴും തീരുമാനിക്കുന്നു. പച്ച!

ഈ ഉദാഹരണം ഉപയോഗപ്രദമാണ്, കാരണം ഇത് രണ്ട് കൃത്യമായ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നു. ശരിക്കും:

1) സെഗ്മെൻ്റിൽ [-1; 1] അക്ഷത്തിന് മുകളിൽ OXഗ്രാഫ് നേരെ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു വൈ = x+1;

2) അക്ഷത്തിന് മുകളിലുള്ള ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൽ OXഒരു ഹൈപ്പർബോളയുടെ ഗ്രാഫ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു വൈ = (2/x).

പ്രദേശങ്ങൾ ചേർക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് വളരെ വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 8

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക

നമുക്ക് "സ്കൂൾ" രൂപത്തിൽ സമവാക്യങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കാം

പോയിൻ്റ്-ബൈ-പോയിൻ്റ് ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കുക:

ഞങ്ങളുടെ ഉയർന്ന പരിധി "നല്ലത്" ആണെന്ന് ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്: ബി = 1.

എന്നാൽ കുറഞ്ഞ പരിധി എന്താണ്?! ഇതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്, പക്ഷേ അതെന്താണ്?

ഒരുപക്ഷേ, എ=(-1/3)? എന്നാൽ ഡ്രോയിംഗ് തികഞ്ഞ കൃത്യതയോടെയാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് എന്നതിൻ്റെ ഉറപ്പ് എവിടെയാണ്, അത് മാറിയേക്കാം എ=(-1/4). നമ്മൾ ഗ്രാഫ് തെറ്റായി നിർമ്മിച്ചാലോ?

അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, നിങ്ങൾ കൂടുതൽ സമയം ചെലവഴിക്കുകയും സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ വിശകലനപരമായി വ്യക്തമാക്കുകയും വേണം.

ഗ്രാഫുകളുടെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

.

അതിനാൽ, എ=(-1/3).

ഇനിയുള്ള പരിഹാരം നിസ്സാരമാണ്. പകരം വയ്ക്കലുകളിലും അടയാളങ്ങളിലും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകരുത് എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം. ഇവിടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമല്ല. വിഭാഗത്തിൽ

, ,

അനുബന്ധ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്:

ഉത്തരം:

പാഠം അവസാനിപ്പിക്കാൻ, രണ്ട് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ജോലികൾ കൂടി നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 9

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക

പരിഹാരം: ഈ ചിത്രം ഡ്രോയിംഗിൽ ചിത്രീകരിക്കാം.

ഒരു പോയിൻ്റ്-ബൈ-പോയിൻ്റ് ഡ്രോയിംഗ് വരയ്ക്കാൻ നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം രൂപം sinusoids. പൊതുവേ, എല്ലാ പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും ഗ്രാഫുകളും ചില സൈൻ മൂല്യങ്ങളും അറിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. അവ മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ കാണാം ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ . ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ), ഒരു സ്കീമാറ്റിക് ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും, അതിൽ ഗ്രാഫുകളും സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികളും അടിസ്ഥാനപരമായി ശരിയായി പ്രദർശിപ്പിക്കണം.

ഇവിടെ സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധിയിൽ പ്രശ്നങ്ങളൊന്നുമില്ല; അവ വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു:

- "x" പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് "പൈ" ആയി മാറുന്നു. നമുക്ക് കൂടുതൽ തീരുമാനമെടുക്കാം:

ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് വൈ= പാപം 3 xഅക്ഷത്തിന് മുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു OX, അതുകൊണ്ടാണ്:

(1) സൈനുകളും കോസൈനുകളും വിചിത്ര ശക്തികളിൽ എങ്ങനെ സംയോജിപ്പിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പാഠത്തിൽ കാണാൻ കഴിയും ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സംയോജനം. ഞങ്ങൾ ഒരു സൈനസ് പിഞ്ച് ചെയ്യുന്നു.

(2) ഫോമിൽ ഞങ്ങൾ പ്രധാന ത്രികോണമിതി ഐഡൻ്റിറ്റി ഉപയോഗിക്കുന്നു

(3) നമുക്ക് വേരിയബിൾ മാറ്റാം ടി=കോസ് x, പിന്നെ: അച്ചുതണ്ടിന് മുകളിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്, അതിനാൽ:

.

.

കുറിപ്പ്:ക്യൂബിലെ സ്‌പർശകത്തിൻ്റെ അവിഭാജ്യഘടകം എങ്ങനെയാണ് എടുക്കുന്നതെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക; പ്രധാനമായതിൻ്റെ ഒരു പരിണിതഫലമാണ് ഇവിടെ ഉപയോഗിക്കുന്നത് ത്രികോണമിതി ഐഡൻ്റിറ്റി

.