Janjang aritmetik cara menyelesaikan contoh. Janjang aritmetik

Pelajaran dan pembentangan tentang topik: "Jujukan nombor. Janjang aritmetik"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Alat bantu mengajar di kedai dalam talian "Integral" untuk buku teks gred 9
Makarycheva Yu.N. Alimova Sh.A. Mordkovich A.G. Muravina G.K.

Jadi apakah janjang aritmetik?

Urutan berangka di mana setiap ahli, bermula dari yang kedua, sama dengan jumlah nombor sebelumnya dan beberapa nombor tetap dipanggil janjang aritmetik.

Janjang aritmetik ialah janjang berangka yang ditakrifkan secara berulang.

Mari tuliskan borang berulang: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, nombor d – perbezaan janjang. a dan d ialah nombor tertentu yang diberi.

Contoh. 1,4,7,10,13,16... Janjang aritmetik dengan $a=1, d=3$.

Contoh. 3,0,-3,-6,-9... Janjang aritmetik dengan $a=3, d=-3$.

Contoh. 5,5,5,5,5... Janjang aritmetik dengan $a=5, d=0$.

Janjang aritmetik mempunyai sifat monotonisitas: jika perbezaan janjang itu lebih besar daripada sifar, maka jujukan itu meningkat, jika perbezaan janjang itu kurang daripada sifar, maka jujukan itu berkurangan.

Jika dalam janjang aritmetik bilangan unsur adalah terhingga, maka janjang itu dipanggil janjang aritmetik terhingga.

Jika urutan $a_(n)$ diberikan, dan ia adalah janjang aritmetik, maka lazimnya untuk menandakan: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.

Formula untuk sebutan ke-n suatu janjang aritmetik

Janjang aritmetik juga boleh ditentukan dalam bentuk analisis. Mari lihat bagaimana untuk melakukan ini:
$a_(1)=a_(1)$.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(3)=a_(2)+d=a_(1)+d+d=a_(1)+2d$.
$a_(4)=a_(3)+d=a_(1)+3d$.
$a_(5)=a_(4)+d=a_(1)+4d$.
Kami dengan mudah melihat corak: $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$.
Formula kami dipanggil formula sebutan ke-n suatu janjang aritmetik.

Mari kita kembali kepada contoh kami dan tuliskan formula kami untuk setiap contoh.

Contoh. 1,4,7,10,13,16... Janjang aritmetik, yang mana a=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.

Contoh. 3,0,-3,-6,-9... Janjang aritmetik, yang mana a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

Contoh. Diberi janjang aritmetik: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
a) Diketahui bahawa $a_(1)=5$, $d=3$. Cari $a_(23)$.
b) Diketahui bahawa $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$. Cari n.
c) Diketahui bahawa $d=-1$, $a_(22)=15$. Cari $a_(1)$.
d) Diketahui bahawa $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$. Cari d.
Penyelesaian.
a) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
b) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
c) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
d) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.

Contoh. Apabila membahagi sebutan kesembilan suatu janjang aritmetik dengan sebutan kedua, hasil bahagi kekal 7, dan apabila bahagi sebutan kesembilan dengan yang kelima, hasil bahagi ialah 2, dan selebihnya ialah 5. Cari sebutan ketiga puluh janjang itu.
Penyelesaian.
Mari kita tulis secara berurutan formula 2,5 dan 9 sebutan janjang kita.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
Kami juga tahu dari syarat:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
Atau:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
Mari kita buat sistem persamaan:
$\mulakan(kes)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\tamat(kes)$.
$\mulakan(kes)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\tamat(kes)$.
Setelah menyelesaikan sistem yang kita dapat: $d=6, a_(1)=1$.
Mari cari $a_(30)$.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.

Jumlah janjang aritmetik terhingga

Marilah kita mempunyai janjang aritmetik terhingga. Persoalannya timbul: adakah mungkin untuk mengira jumlah semua ahlinya?
Mari cuba memahami isu ini.
Biarkan janjang aritmetik terhingga diberikan: $a_(1),a_(2),…a_(n-1),a_(n)$.
Mari kita perkenalkan notasi untuk jumlah sebutannya: $S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
Mari kita lihat contoh khusus, berapakah jumlahnya?

Mari kita diberi janjang aritmetik 1,2,3,4,5...100.
Marilah kita membentangkan jumlah ahlinya seperti ini:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Tetapi formula yang serupa boleh digunakan untuk sebarang janjang aritmetik:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
Mari tulis formula kami dalam kes umum: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, di mana $k<1$.
Mari terbitkan formula untuk mengira jumlah sebutan bagi janjang aritmetik, tulis formula dua kali dalam susunan yang berbeza:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
Mari kita tambah formula ini bersama-sama:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$.
Terdapat n istilah di sebelah kanan kesamaan kita, dan kita tahu bahawa setiap daripadanya adalah sama dengan $a_(1)+a_(n)$.
Kemudian:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$.
Formula kami juga boleh ditulis semula dalam bentuk: sejak $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
maka $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
Selalunya adalah lebih mudah untuk menggunakan formula khusus ini, jadi adalah baik untuk mengingatinya!

Contoh. Janjang aritmetik terhingga diberikan.
Cari:
a) $s_(22), jika a_(1)=7, d=2$.
b) d, jika $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
Penyelesaian.
a) Mari kita gunakan formula jumlah kedua $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 =$616.
b) Dalam contoh ini, kita akan menggunakan formula pertama: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
$144=36+4a_(8)$.
$a_(8)=27$.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.

Contoh. Cari hasil tambah semua nombor dua digit ganjil.
Penyelesaian.
Syarat janjang kami ialah: $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
Mari cari nombor penggal terakhir janjang:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
$99=11+2(n-1)$.
$n=45$.
Sekarang mari kita cari jumlahnya: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$.

Contoh. Lelaki itu pergi mendaki. Adalah diketahui bahawa pada jam pertama mereka berjalan 500 m, selepas itu mereka mula berjalan 25 meter kurang daripada pada jam pertama. Berapa jamkah masa yang diperlukan mereka untuk menutup 2975 meter?
Penyelesaian.
Laluan yang dilalui dalam setiap jam boleh diwakili sebagai janjang aritmetik:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$.
Perbezaan janjang aritmetik ialah $d=-25$.
Jarak yang diliputi dalam 2975 meter ialah jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik.
$S_(n)=2975$, dengan n ialah jam yang dibelanjakan dalam perjalanan.
Kemudian:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
$1000n-25(n-1)n=$5950.
Bahagikan kedua belah pihak dengan 25.
$40n-(n-1)n=$238.
$n^2-41n+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
Jelas sekali, adalah lebih logik untuk memilih $n=7$.
Jawab. Lelaki itu berada di jalan raya selama 7 jam.

Ciri ciri janjang aritmetik

Kawan-kawan, diberi janjang aritmetik, mari kita pertimbangkan tiga sebutan berturut-turut bagi janjang itu: $a_(n-1)$, $a_(n)$, $a_(n+1)$.
Kami tahu bahawa:
$a_(n-1)=a_(n)-d$.
$a_(n+1)=a_(n)+d$.
Mari kita satukan ungkapan kita:
$a_(n-1)+a_(n+1)=2a_(n)$.
$a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.

Jika janjang adalah terhingga, maka kesamaan ini berlaku untuk semua istilah kecuali yang pertama dan terakhir.
Jika tidak diketahui terlebih dahulu apakah bentuk jujukan itu, tetapi diketahui bahawa: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
Kemudian kita boleh dengan selamat mengatakan bahawa ini adalah janjang aritmetik.

Urutan berangka ialah janjang aritmetik apabila setiap ahli janjang ini sama dengan min aritmetik dua ahli janjang yang berjiran dengan janjang kita (jangan lupa bahawa untuk janjang terhingga keadaan ini tidak dipenuhi untuk ahli janjang pertama dan terakhir) .

Contoh. Cari x sehingga $3x+2$; $x-1$; $4x+3$ – tiga sebutan berturut-turut bagi janjang aritmetik.
Penyelesaian. Mari gunakan formula kami:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1.4$.
Mari kita semak, ungkapan kita akan mengambil bentuk: -2,2; -2.4; -2.6.
Jelas sekali, ini adalah sebutan janjang aritmetik dan $d=-0.2$.

Masalah untuk diselesaikan secara bebas

1. Cari sebutan kedua puluh satu janjang aritmetik 38;30;22…
2. Cari sebutan kelima belas janjang aritmetik 10,21,32...
3. Diketahui bahawa $a_(1)=7$, $d=8$. Cari $a_(31)$.
4. Diketahui bahawa $a_(1)=8$, $d=-2$, $a_(n)=-54$. Cari n.
5. Cari hasil tambah tujuh belas sebutan pertama janjang aritmetik 3;12;21….
6. Cari x sedemikian sehingga $2x-1$; $3x+1$; $5x-7$ – tiga sebutan berturut-turut bagi janjang aritmetik.

Jumlah janjang aritmetik.

Jumlah janjang aritmetik adalah perkara yang mudah. Baik dari segi makna mahupun dalam formula. Tetapi terdapat pelbagai tugas mengenai topik ini. Dari asas kepada agak kukuh.

Pertama, mari kita fahami maksud dan formula jumlahnya. Dan kemudian kita akan membuat keputusan. Untuk kesenangan anda sendiri.) Maksud jumlah itu semudah moo. Untuk mencari jumlah janjang aritmetik, anda hanya perlu menambah semua istilahnya dengan teliti. Jika syarat ini sedikit, anda boleh menambah tanpa sebarang formula. Tetapi jika terdapat banyak, atau banyak... penambahan adalah menjengkelkan.) Dalam kes ini, formula datang untuk menyelamatkan.

Formula untuk jumlahnya adalah mudah:

Mari kita fikirkan jenis huruf yang termasuk dalam formula. Ini akan membersihkan banyak perkara.

S n - jumlah janjang aritmetik. Hasil penambahan semua orang ahli, dengan pertama Oleh terakhir. Ini penting. Mereka menambah tepat Semua ahli berturut-turut, tanpa ponteng atau ponteng. Dan, tepatnya, bermula dari pertama. Dalam masalah seperti mencari jumlah sebutan ketiga dan kelapan, atau jumlah sebutan kelima hingga kedua puluh, penggunaan formula secara langsung akan mengecewakan.)

a 1 - pertama ahli kemajuan. Semuanya jelas di sini, ia mudah pertama nombor baris.

a n- terakhir ahli kemajuan. Nombor terakhir siri ini. Nama yang tidak begitu biasa, tetapi apabila digunakan pada jumlah itu, ia sangat sesuai. Kemudian anda akan melihat sendiri.

n - nombor ahli terakhir. Adalah penting untuk memahami bahawa dalam formula nombor ini bertepatan dengan bilangan istilah tambahan.

Mari kita tentukan konsepnya terakhir ahli a n. Soalan rumit: ahli mana yang akan yang terakhir jika diberi tidak berkesudahan janjang aritmetik?)

Untuk menjawab dengan yakin, anda perlu memahami maksud asas janjang aritmetik dan... baca tugasan dengan teliti!)

Dalam tugas mencari jumlah janjang aritmetik, sebutan terakhir sentiasa muncul (secara langsung atau tidak langsung), yang sepatutnya terhad. Jika tidak, jumlah muktamad, tertentu langsung tidak wujud. Untuk penyelesaian, tidak kira sama ada perkembangan diberikan: terhingga atau tidak terhingga. Tidak kira bagaimana ia diberikan: satu siri nombor, atau formula untuk sebutan ke-n.

Perkara yang paling penting ialah memahami bahawa formula berfungsi dari sebutan pertama janjang kepada istilah dengan nombor n. Sebenarnya, nama penuh formula kelihatan seperti ini: hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik. Bilangan ahli pertama ini, i.e. n, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam tugas, semua maklumat berharga ini sering disulitkan, ya... Tetapi tidak mengapa, dalam contoh di bawah kami mendedahkan rahsia ini.)

Contoh tugasan pada jumlah janjang aritmetik.

Pertama sekali, maklumat berguna:

Kesukaran utama dalam tugasan yang melibatkan jumlah janjang aritmetik terletak pada penentuan yang betul bagi unsur-unsur formula.

Penulis tugas menyulitkan unsur-unsur ini dengan imaginasi yang tidak terbatas.) Perkara utama di sini ialah jangan takut. Memahami intipati unsur-unsur, cukup untuk menguraikannya. Mari kita lihat beberapa contoh secara terperinci. Mari kita mulakan dengan tugas berdasarkan GIA sebenar.

1. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a n = 2n-3.5. Cari hasil tambah 10 sebutan pertamanya.

Kerja bagus. Mudah.) Untuk menentukan jumlah menggunakan formula, apakah yang perlu kita ketahui? Ahli pertama a 1, penggal lepas a n, ya nombor ahli terakhir n.

Di mana saya boleh mendapatkan nombor ahli terakhir? n? Ya, di sana, dengan syarat! Ia berkata: cari jumlahnya 10 ahli pertama. Nah, nombor apa yang akan ada? terakhir, ahli kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nombornya adalah kesepuluh!) Oleh itu, bukannya a n Kami akan menggantikan ke dalam formula a 10, dan sebaliknya n- sepuluh. Saya ulangi, bilangan ahli terakhir bertepatan dengan bilangan ahli.

Ia kekal untuk menentukan a 1 Dan a 10. Ini mudah dikira menggunakan formula untuk sebutan ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak tahu bagaimana untuk melakukan ini? Hadiri pelajaran sebelumnya, tanpa ini tidak mungkin.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

a 10=2·10 - 3.5 =16.5

S n = S 10.

Kami telah mengetahui maksud semua unsur formula untuk jumlah janjang aritmetik. Yang tinggal hanyalah menggantikannya dan mengira:

Itu sahaja. Jawapan: 75.

Satu lagi tugas berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:

2. Diberi janjang aritmetik (a n), bezanya ialah 3.7; a 1 =2.3. Cari hasil tambah 15 sebutan pertamanya.

Kami segera menulis formula jumlah:

Formula ini membolehkan kita mencari nilai sebarang istilah dengan nombornya. Kami mencari penggantian mudah:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

Ia kekal untuk menggantikan semua elemen ke dalam formula untuk jumlah janjang aritmetik dan mengira jawapannya:

Jawapan: 423.

By the way, jika dalam formula jumlah bukannya a n Kami hanya menggantikan formula untuk sebutan ke-n dan dapatkan:

Mari kita bentangkan yang serupa dan dapatkan formula baharu bagi jumlah sebutan bagi suatu janjang aritmetik:

Seperti yang anda lihat, ia tidak diperlukan di sini penggal ke- a n. Dalam sesetengah masalah formula ini banyak membantu, ya... Anda boleh ingat formula ini. Atau anda boleh memaparkannya pada masa yang betul, seperti di sini. Lagipun, anda perlu sentiasa ingat formula untuk jumlah dan formula untuk sebutan ke-n.)

Sekarang tugas dalam bentuk penyulitan pendek):

3. Cari hasil tambah semua nombor dua digit positif yang merupakan gandaan tiga.

Wah! Baik ahli pertama anda, mahupun terakhir anda, mahupun kemajuan sama sekali... Bagaimana untuk hidup!?

Anda perlu berfikir dengan kepala anda dan mengeluarkan semua unsur jumlah janjang aritmetik daripada keadaan. Kita tahu apa itu nombor dua digit. Mereka terdiri daripada dua nombor.) Apakah nombor dua digit pertama? 10, mungkin.) A terakhir nombor dua digit? 99, sudah tentu! Tiga angka akan mengikutinya...

Gandaan tiga... Hm... Ini adalah nombor yang boleh dibahagi dengan tiga, di sini! Sepuluh tidak boleh dibahagikan dengan tiga, 11 tidak boleh bahagi... 12... boleh bahagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah boleh menulis satu siri mengikut keadaan masalah:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Adakah siri ini akan menjadi janjang aritmetik? Sudah tentu! Setiap istilah berbeza daripada yang sebelumnya dengan ketat tiga. Jika anda menambah 2 atau 4 pada istilah, katakan, hasilnya, i.e. nombor baharu tidak lagi boleh dibahagikan dengan 3. Anda boleh segera menentukan perbezaan janjang aritmetik: d = 3. Ia akan berguna!)

Jadi, kita boleh menulis beberapa parameter kemajuan dengan selamat:

Apakah nombor itu? n ahli terakhir? Sesiapa yang berpendapat bahawa 99 adalah tersilap maut... Nombor sentiasa berturut-turut, tetapi ahli kami melompat melebihi tiga. Mereka tidak sepadan.

Terdapat dua penyelesaian di sini. Salah satu cara adalah untuk yang sangat rajin. Anda boleh menuliskan janjang, keseluruhan siri nombor, dan mengira bilangan ahli dengan jari anda.) Cara kedua adalah untuk mereka yang berfikir. Anda perlu ingat formula untuk penggal ke-n. Jika kita menggunakan formula untuk masalah kita, kita dapati bahawa 99 ialah sebutan ketiga puluh bagi janjang itu. Itu. n = 30.

Mari kita lihat formula untuk jumlah janjang aritmetik:

Kami melihat dan bergembira.) Kami mengeluarkan semua yang diperlukan dari penyata masalah untuk mengira jumlahnya:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Yang tinggal hanyalah aritmetik asas. Kami menggantikan nombor ke dalam formula dan mengira:

Jawapan: 1665

Satu lagi jenis teka-teki popular:

4. Diberi janjang aritmetik:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Cari hasil tambah sebutan dari kedua puluh hingga tiga puluh empat.

Kami melihat formula untuk jumlah dan... kami kecewa.) Formula, biar saya ingatkan anda, mengira jumlah dari yang pertama ahli. Dan dalam masalah anda perlu mengira jumlahnya sejak dua puluh... Formula tidak akan berfungsi.

Anda boleh, sudah tentu, menulis keseluruhan perkembangan dalam satu siri, dan menambah istilah dari 20 hingga 34. Tetapi... entah bagaimana ia bodoh dan mengambil masa yang lama, bukan?)

Terdapat penyelesaian yang lebih elegan. Mari bahagikan siri kami kepada dua bahagian. Bahagian pertama akan menjadi dari penggal pertama hingga kesembilan belas. Bahagian kedua - dari dua puluh hingga tiga puluh empat. Adalah jelas bahawa jika kita mengira jumlah syarat bahagian pertama S 1-19, mari tambahkannya dengan jumlah syarat bahagian kedua S 20-34, kita mendapat jumlah janjang dari penggal pertama hingga ke tiga puluh empat S 1-34. seperti ini:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Daripada ini kita dapat melihat bahawa mencari jumlah S 20-34 boleh dilakukan dengan penolakan mudah

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Kedua-dua jumlah di sebelah kanan dipertimbangkan dari yang pertama ahli, i.e. formula jumlah standard agak terpakai kepada mereka. Jom mulakan?

Kami mengekstrak parameter kemajuan daripada penyataan masalah:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

Untuk mengira jumlah bagi 19 dan 34 sebutan pertama, kita memerlukan sebutan ke-19 dan ke-34. Kami mengira mereka menggunakan formula untuk sebutan ke-n, seperti dalam masalah 2:

a 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

a 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

Tiada apa yang tinggal. Daripada jumlah 34 sebutan, tolak jumlah 19 sebutan:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

Jawapan: 262.5

Satu nota penting! Terdapat helah yang sangat berguna dalam menyelesaikan masalah ini. Daripada pengiraan langsung apa yang anda perlukan (S 20-34), kami mengira sesuatu yang nampaknya tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka bertekad S 20-34, membuang yang tidak perlu daripada hasil yang lengkap. "Tipuan dengan telinga anda" semacam ini sering menyelamatkan anda dalam masalah jahat.)

Dalam pelajaran ini, kita melihat masalah yang cukup untuk memahami maksud jumlah janjang aritmetik. Nah, anda perlu tahu beberapa formula.)

Nasihat praktikal:

Apabila menyelesaikan sebarang masalah yang melibatkan jumlah janjang aritmetik, saya mengesyorkan segera menulis dua formula utama daripada topik ini.

Formula untuk penggal ke-n:

Formula ini akan segera memberitahu anda apa yang perlu dicari dan ke arah mana untuk difikirkan untuk menyelesaikan masalah. Membantu.

Dan kini tugas untuk penyelesaian bebas.

5. Cari hasil tambah semua nombor dua digit yang tidak boleh dibahagi dengan tiga.

Hebat?) Petunjuk tersembunyi dalam nota kepada masalah 4. Nah, masalah 3 akan membantu.

6. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. Cari hasil tambah 24 sebutan pertamanya.

Luar biasa?) Ini adalah formula berulang. Anda boleh membaca tentangnya dalam pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan pautan itu, masalah seperti itu sering dijumpai di Akademi Sains Negeri.

7. Vasya menyimpan wang untuk percutian. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang kegemaran saya (diri saya) beberapa hari kebahagiaan). Hiduplah dengan indah tanpa menafikan diri sendiri. Belanja 500 rubel pada hari pertama, dan pada setiap hari berikutnya belanjakan 50 rubel lebih daripada yang sebelumnya! Sampai duit habis. Berapa hari kebahagiaan yang dimiliki Vasya?

Sukar?) Formula tambahan daripada masalah 2 akan membantu.

Jawapan (bercelaru): 7, 3240, 6.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Konsep urutan nombor membayangkan bahawa setiap nombor asli sepadan dengan beberapa nilai sebenar. Siri nombor sedemikian boleh sama ada sewenang-wenangnya atau mempunyai sifat tertentu - janjang. Dalam kes kedua, setiap elemen (ahli) seterusnya bagi jujukan boleh dikira menggunakan yang sebelumnya.

Janjang aritmetik ialah jujukan nilai berangka di mana ahli jirannya berbeza antara satu sama lain dengan nombor yang sama (semua elemen siri, bermula dari ke-2, mempunyai sifat yang serupa). Nombor ini - perbezaan antara sebutan sebelumnya dan seterusnya - adalah malar dan dipanggil perbezaan janjang.

Perbezaan kemajuan: definisi

Pertimbangkan jujukan yang terdiri daripada nilai j A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j tergolong dalam set nombor asli N. Suatu aritmetik janjang, mengikut takrifnya, ialah urutan , di mana a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Nilai d ialah perbezaan yang dikehendaki bagi janjang ini.

d = a(j) – a(j-1).

Serlahkan:

• Kemajuan yang semakin meningkat, dalam hal ini d > 0. Contoh: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Mengurangkan perkembangan, kemudian d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Perkembangan perbezaan dan unsur arbitrarinya

Jika 2 sebutan arbitrari bagi janjang itu diketahui (i-th, k-th), maka perbezaan untuk urutan tertentu boleh ditentukan berdasarkan hubungan:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, yang bermaksud d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Perbezaan janjang dan sebutan pertamanya

Ungkapan ini akan membantu menentukan nilai yang tidak diketahui hanya dalam kes di mana bilangan unsur jujukan diketahui.

Perbezaan kemajuan dan jumlahnya

Jumlah bagi sesuatu janjang ialah hasil tambah sebutannya. Untuk mengira jumlah nilai unsur j pertamanya, gunakan formula yang sesuai:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, tetapi sejak a(j) = a(1) + d(j – 1), kemudian S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Apabila belajar algebra dalam sekolah menengah(darjah 9) satu daripada topik penting ialah kajian tentang jujukan nombor, yang merangkumi janjang - geometri dan aritmetik. Dalam artikel ini kita akan melihat janjang aritmetik dan contoh dengan penyelesaian.

Apakah janjang aritmetik?

Untuk memahami perkara ini, adalah perlu untuk menentukan perkembangan yang dimaksudkan, serta menyediakan formula asas yang akan digunakan kemudian dalam menyelesaikan masalah.

Adalah diketahui bahawa dalam beberapa janjang algebra sebutan pertama adalah sama dengan 6, dan sebutan ke-7 adalah sama dengan 18. Ia adalah perlu untuk mencari perbezaan dan memulihkan jujukan ini kepada sebutan ke-7.

Mari kita gunakan formula untuk menentukan istilah yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Mari kita gantikan data yang diketahui dari keadaan ke dalamnya, iaitu, nombor a 1 dan 7, kita ada: 18 = 6 + 6 * d. Daripada ungkapan ini anda boleh mengira perbezaan dengan mudah: d = (18 - 6) /6 = 2. Oleh itu, kami telah menjawab bahagian pertama masalah.

Untuk memulihkan urutan kepada sebutan ke-7, anda harus menggunakan definisi janjang algebra, iaitu a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d dan seterusnya. Akibatnya, kami memulihkan keseluruhan urutan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Contoh No. 3: membuat janjang

Mari kita rumitkan lagi keadaan yang lebih kuat tugasan. Sekarang kita perlu menjawab persoalan bagaimana untuk mencari janjang aritmetik. Contoh berikut boleh diberikan: dua nombor diberikan, contohnya - 4 dan 5. Ia adalah perlu untuk mencipta janjang algebra supaya tiga lagi sebutan diletakkan di antara ini.

Sebelum anda mula menyelesaikan masalah ini, anda perlu memahami tempat yang akan diduduki oleh nombor yang diberikan dalam perkembangan masa depan. Oleh kerana akan ada tiga lagi istilah di antara mereka, maka 1 = -4 dan 5 = 5. Setelah menetapkan ini, kita beralih kepada masalah, yang serupa dengan yang sebelumnya. Sekali lagi, untuk istilah ke-n kita menggunakan formula, kita dapat: a 5 = a 1 + 4 * d. Daripada: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Apa yang kami dapat di sini bukanlah nilai integer bagi perbezaan, tetapi ia adalah nombor rasional, jadi formula untuk janjang algebra kekal sama.

Sekarang mari tambahkan perbezaan yang ditemui pada 1 dan pulihkan istilah janjang yang hilang. Kami mendapat: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, yang bertepatan dengan keadaan masalah.

Contoh No. 4: penggal pertama janjang

Mari kita terus memberikan contoh janjang aritmetik dengan penyelesaian. Dalam semua masalah sebelumnya, nombor pertama janjang algebra diketahui. Sekarang mari kita pertimbangkan masalah jenis yang berbeza: biarkan dua nombor diberikan, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Ia adalah perlu untuk mencari nombor yang jujukan ini bermula.

Formula yang digunakan setakat ini menganggap pengetahuan tentang a 1 dan d. Dalam pernyataan masalah, tiada apa yang diketahui tentang nombor ini. Namun begitu, kami akan menulis ungkapan untuk setiap istilah mengenai maklumat yang tersedia: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami menerima dua persamaan di mana terdapat 2 kuantiti yang tidak diketahui (a 1 dan d). Ini bermakna bahawa masalah dikurangkan kepada menyelesaikan sistem persamaan linear.

Cara paling mudah untuk menyelesaikan sistem ini ialah dengan menyatakan 1 dalam setiap persamaan dan kemudian membandingkan ungkapan yang terhasil. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Menyamakan ungkapan ini, kita dapat: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, dari mana perbezaan d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (hanya 3 tempat perpuluhan diberikan).

Mengetahui d, anda boleh menggunakan mana-mana daripada 2 ungkapan di atas untuk 1. Contohnya, pertama: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

Jika anda mempunyai keraguan tentang hasil yang diperoleh, anda boleh menyemaknya, sebagai contoh, tentukan penggal ke-43 perkembangan, yang dinyatakan dalam syarat. Kami mendapat: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Ralat kecil adalah disebabkan fakta bahawa pembundaran kepada perseribu telah digunakan dalam pengiraan.

Contoh No. 5: jumlah

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh dengan penyelesaian untuk jumlah janjang aritmetik.

Biarkan janjang berangka bagi bentuk berikut diberikan: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana untuk mengira jumlah 100 nombor ini?

Terima kasih kepada perkembangan teknologi komputer, adalah mungkin untuk menyelesaikan masalah ini, iaitu, menambah semua nombor secara berurutan, yang akan dilakukan oleh komputer sebaik sahaja seseorang menekan kekunci Enter. Walau bagaimanapun, masalah itu boleh diselesaikan secara mental jika anda memberi perhatian bahawa siri nombor yang dibentangkan adalah janjang algebra, dan perbezaannya adalah sama dengan 1. Menggunakan formula untuk jumlah, kita mendapat: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa masalah ini dipanggil "Gaussian" kerana pada awal abad ke-18 orang Jerman yang terkenal, yang masih berusia 10 tahun, dapat menyelesaikannya di kepalanya dalam beberapa saat. Budak itu tidak tahu formula untuk jumlah janjang algebra, tetapi dia perasan bahawa jika anda menambah nombor di hujung urutan secara berpasangan, anda sentiasa mendapat keputusan yang sama, iaitu, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan kerana jumlah ini akan menjadi tepat 50 (100/2), maka untuk mendapatkan jawapan yang betul sudah cukup untuk mendarabkan 50 dengan 101.

Contoh No. 6: jumlah sebutan dari n hingga m

Lagi satu contoh tipikal jumlah janjang aritmetik adalah seperti berikut: diberi satu siri nombor: 3, 7, 11, 15, ..., anda perlu mencari jumlah sebutannya dari 8 hingga 14 akan sama dengan.

Masalah diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan mencari istilah yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Oleh kerana terdapat beberapa istilah, kaedah ini tidak begitu intensif buruh. Namun begitu, adalah dicadangkan untuk menyelesaikan masalah ini menggunakan kaedah kedua, iaitu lebih universal.

Ideanya adalah untuk mendapatkan formula bagi jumlah janjang algebra antara sebutan m dan n, dengan n > m ialah integer. Untuk kedua-dua kes, kami menulis dua ungkapan untuk jumlah:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Oleh kerana n > m, adalah jelas bahawa jumlah ke-2 termasuk yang pertama. Kesimpulan terakhir bermakna jika kita mengambil perbezaan antara jumlah ini dan menambah istilah a m kepadanya (dalam kes mengambil perbezaan, ia ditolak daripada jumlah S n), kita akan memperoleh jawapan yang diperlukan untuk masalah itu. Kami mempunyai: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Ia adalah perlu untuk menggantikan formula untuk a n dan a m ke dalam ungkapan ini. Kemudian kita dapat: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Formula yang terhasil agak rumit, walau bagaimanapun, jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kes kita, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Menggantikan nombor ini, kita mendapat: S mn = 301.

Seperti yang dapat dilihat daripada penyelesaian di atas, semua masalah adalah berdasarkan pengetahuan tentang ungkapan untuk sebutan ke-n dan formula untuk jumlah set sebutan pertama. Sebelum mula menyelesaikan mana-mana masalah ini, adalah disyorkan agar anda membaca dengan teliti syarat itu, memahami dengan jelas apa yang anda perlukan untuk mencari, dan hanya kemudian meneruskan penyelesaiannya.

Petua lain ialah berusaha untuk kesederhanaan, iaitu, jika anda boleh menjawab soalan tanpa menggunakan pengiraan matematik yang rumit, maka anda perlu berbuat demikian, kerana dalam kes ini kemungkinan membuat kesilapan adalah kurang. Sebagai contoh, dalam contoh janjang aritmetik dengan penyelesaian No. 6, seseorang boleh berhenti pada formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, dan bahagikan masalah keseluruhan kepada subtugas yang berasingan (V dalam kes ini cari dahulu sebutan a n dan a m).

Jika anda mempunyai keraguan tentang keputusan yang diperoleh, adalah disyorkan untuk menyemaknya, seperti yang dilakukan dalam beberapa contoh yang diberikan. Kami mengetahui cara mencari janjang aritmetik. Jika anda memikirkannya, ia tidak begitu sukar.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Janjang aritmetik ialah satu siri nombor di mana setiap nombor lebih besar (atau kurang) daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Topik ini sering kelihatan rumit dan tidak dapat difahami. Indeks huruf, sebutan ke-n janjang, perbezaan janjang - semua ini entah bagaimana mengelirukan, ya... Mari kita fikirkan maksud janjang aritmetik dan semuanya akan menjadi lebih baik serta-merta.)

Konsep janjang aritmetik.

Janjang aritmetik adalah konsep yang sangat mudah dan jelas. Adakah anda mempunyai sebarang keraguan? Sia-sia.) Tengok sendiri.

Saya akan menulis siri nombor yang belum selesai:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bolehkah anda melanjutkan siri ini? Apakah nombor yang akan datang selepas lima? Semua orang... eh..., pendek kata, semua orang akan sedar bahawa nombor 6, 7, 8, 9, dan lain-lain akan datang seterusnya.

Mari kita rumitkan tugas. Saya memberi anda siri nombor yang belum selesai:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Anda akan dapat menangkap corak, melanjutkan siri dan nama ketujuh nombor baris?

Jika anda menyedari bahawa nombor ini adalah 20, tahniah! Bukan sahaja anda rasa perkara utama janjang aritmetik, tetapi juga berjaya menggunakannya dalam perniagaan! Jika anda belum memahaminya, baca terus.

Sekarang mari menterjemahkan perkara utama daripada sensasi ke dalam matematik.)

Perkara utama pertama.

Janjang aritmetik berkaitan dengan siri nombor. Ini mengelirukan pada mulanya. Kami sudah biasa menyelesaikan persamaan, melukis graf dan semua itu... Tetapi di sini kami memanjangkan siri, cari nombor siri itu...

Tidak mengapa. Cuma perkembangan adalah kenalan pertama dengan cabang matematik baharu. Bahagian ini dipanggil "Siri" dan berfungsi secara khusus dengan siri nombor dan ungkapan. Biasakan diri.)

Perkara utama kedua.

Dalam janjang aritmetik, sebarang nombor adalah berbeza daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Dalam contoh pertama, perbezaan ini adalah satu. Walau apa pun nombor yang anda ambil, ia lebih satu daripada yang sebelumnya. Dalam kedua - tiga. Sebarang nombor adalah tiga lebih daripada yang sebelumnya. Sebenarnya, detik inilah yang memberi kita peluang untuk memahami corak dan mengira nombor seterusnya.

Perkara utama ketiga.

Momen ini tidak menarik, ya... Tetapi ia sangat-sangat penting. Inilah dia: setiap satu nombor kemajuan berdiri di tempatnya. Ada nombor pertama, ada ketujuh, ada empat puluh lima, dsb. Jika anda mencampurkannya secara rawak, corak akan hilang. Janjang aritmetik juga akan hilang. Yang tinggal hanyalah siri nombor.

Itulah keseluruhannya.

Sudah tentu, istilah dan sebutan baharu muncul dalam topik baharu. Anda perlu mengenali mereka. Jika tidak, anda tidak akan memahami tugas itu. Sebagai contoh, anda perlu memutuskan sesuatu seperti:

Tulis enam sebutan pertama janjang aritmetik (a n), jika a 2 = 5, d = -2.5.

Menginspirasikan?) Surat, beberapa indeks... Dan tugas, dengan cara itu, tidak boleh menjadi lebih mudah. Anda hanya perlu memahami maksud terma dan sebutan. Sekarang kita akan menguasai perkara ini dan kembali kepada tugas.

Terma dan sebutan.

Janjang aritmetik ialah satu siri nombor di mana setiap nombor adalah berbeza daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Kuantiti ini dipanggil . Mari kita lihat konsep ini dengan lebih terperinci.

Perbezaan janjang aritmetik.

Perbezaan janjang aritmetik ialah amaun yang menggunakan sebarang nombor kemajuan lebih yang sebelumnya.

Satu perkara penting. Sila beri perhatian kepada perkataan itu "lebih". Secara matematik, ini bermakna setiap nombor janjang adalah dengan menambah perbezaan janjang aritmetik dengan nombor sebelumnya.

Untuk mengira, katakan kedua nombor siri, anda perlu pertama nombor tambah perbezaan janjang aritmetik ini. Untuk pengiraan kelima- perbezaan itu perlu tambah Kepada keempat, baik, dll.

Perbezaan janjang aritmetik Boleh jadi positif, maka setiap nombor dalam siri itu akan menjadi nyata lebih daripada yang sebelumnya. Perkembangan ini dipanggil semakin meningkat. Contohnya:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Di sini setiap nombor diperolehi dengan menambah nombor positif, +5 kepada yang sebelumnya.

Perbezaannya mungkin negatif, maka setiap nombor dalam siri itu akan menjadi kurang daripada yang sebelumnya. Perkembangan ini dipanggil (anda tidak akan percaya!) semakin berkurangan.

Contohnya:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Di sini setiap nombor juga diperolehi dengan menambah kepada yang sebelumnya, tetapi sudah nombor negatif, -5.

Dengan cara ini, apabila bekerja dengan kemajuan, sangat berguna untuk menentukan sifatnya dengan segera - sama ada ia meningkat atau menurun. Ini banyak membantu untuk menavigasi keputusan, mengesan kesilapan anda dan membetulkannya sebelum terlambat.

Perbezaan janjang aritmetik biasanya dilambangkan dengan huruf d.

Bagaimana untuk mencari d? Sangat mudah. Ia adalah perlu untuk menolak daripada sebarang nombor dalam siri sebelumnya nombor. Tolak. Dengan cara ini, hasil penolakan dipanggil "perbezaan".)

Mari kita tentukan, sebagai contoh, d untuk meningkatkan janjang aritmetik:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Kami mengambil sebarang nombor dalam siri yang kami mahu, sebagai contoh, 11. Kami menolak daripadanya nombor sebelumnya mereka. 8:

Ini adalah jawapan yang betul. Untuk janjang aritmetik ini, perbezaannya ialah tiga.

Anda boleh mengambilnya sebarang nombor kemajuan, kerana untuk perkembangan tertentu d-sentiasa sama. Sekurang-kurangnya di suatu tempat di awal baris, sekurang-kurangnya di tengah, sekurang-kurangnya di mana-mana. Anda tidak boleh mengambil nombor pertama sahaja. Hanya kerana nombor pertama tiada yang sebelumnya.)

By the way, mengetahui itu d=3, mencari nombor ketujuh janjang ini adalah sangat mudah. Mari tambah 3 kepada nombor kelima - kita dapat nombor keenam, ia akan menjadi 17. Mari tambah tiga kepada nombor keenam, kita dapat nombor ketujuh - dua puluh.

Mari kita tentukan d untuk janjang aritmetik menurun:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Saya mengingatkan anda bahawa, tanpa mengira tanda-tanda, untuk menentukan d perlukan daripada sebarang nombor ambil yang sebelumnya. Pilih mana-mana nombor kemajuan, contohnya -7. Nombornya sebelum ini ialah -2. Kemudian:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Perbezaan janjang aritmetik boleh menjadi sebarang nombor: integer, pecahan, tidak rasional, sebarang nombor.

Terma dan sebutan lain.

Setiap nombor dalam siri dipanggil ahli janjang aritmetik.

Setiap ahli perkembangan mempunyai nombor sendiri. Nombornya betul-betul teratur, tanpa sebarang helah. Pertama, kedua, ketiga, keempat, dsb. Sebagai contoh, dalam janjang 2, 5, 8, 11, 14, ... dua adalah sebutan pertama, lima adalah kedua, sebelas adalah keempat, baik, anda faham...) Harap faham dengan jelas - nombor itu sendiri boleh menjadi apa-apa sahaja, keseluruhan, pecahan, negatif, apa sahaja, tetapi penomboran nombor- betul-betul teratur!

Bagaimana untuk menulis perkembangan dalam pandangan umum? Tiada soalan! Setiap nombor dalam siri ditulis sebagai huruf. Untuk menunjukkan janjang aritmetik, huruf biasanya digunakan a. Nombor ahli ditunjukkan oleh indeks di bahagian bawah sebelah kanan. Kami menulis istilah yang dipisahkan dengan koma (atau titik bertitik), seperti ini:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- ini adalah nombor pertama, a 3- ketiga, dsb. Tiada yang mewah. Siri ini boleh ditulis secara ringkas seperti ini: (a n).

Kemajuan berlaku terhingga dan tidak terhingga.

muktamad perkembangan mempunyai bilangan ahli yang terhad. Lima, tiga puluh lapan, apa sahaja. Tetapi ia adalah nombor terhingga.

tak terhingga perkembangan - mempunyai bilangan ahli yang tidak terhingga, seperti yang anda fikirkan.)

Anda boleh menulis janjang akhir melalui siri seperti ini, semua istilah dan titik pada penghujung:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Atau seperti ini, jika terdapat ramai ahli:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

Dalam entri pendek anda perlu menunjukkan bilangan ahli tambahan. Contohnya (untuk dua puluh ahli), seperti ini:

(a n), n = 20

Perkembangan tak terhingga boleh dikenali dengan elipsis di hujung baris, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini.

Kini anda boleh menyelesaikan tugasan. Tugas-tugasnya mudah, semata-mata untuk memahami maksud janjang aritmetik.

Contoh tugas tentang janjang aritmetik.

Mari kita lihat tugas yang diberikan di atas secara terperinci:

1. Tulis enam sebutan pertama janjang aritmetik (a n), jika a 2 = 5, d = -2.5.

Kami menterjemah tugasan ke dalam bahasa yang mudah difahami. Janjang aritmetik tak terhingga diberikan. Nombor kedua perkembangan ini diketahui: a 2 = 5. Perbezaan perkembangan diketahui: d = -2.5. Kita perlu mencari sebutan pertama, ketiga, keempat, kelima dan keenam bagi janjang ini.

Untuk kejelasan, saya akan menulis satu siri mengikut keadaan masalah. Enam sebutan pertama, di mana sebutan kedua ialah lima:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

a 3 = a 2 + d

Gantikan kepada ungkapan a 2 = 5 Dan d = -2.5. Jangan lupa tentang tolak!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Penggal ketiga ternyata kurang daripada penggal kedua. Semuanya logik. Jika bilangannya lebih besar daripada yang sebelumnya negatif nilai, yang bermaksud nombor itu sendiri akan kurang daripada yang sebelumnya. Kemajuan semakin berkurangan. Baiklah, mari kita ambil kira.) Kami mengira sebutan keempat siri kami:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Jadi, sebutan dari ketiga hingga keenam telah dikira. Hasilnya ialah siri berikut:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Ia kekal untuk mencari penggal pertama a 1 mengikut detik yang terkenal. Ini adalah langkah ke arah lain, ke kiri.) Jadi, perbezaan janjang aritmetik d tidak boleh ditambah kepada a 2, A bawa pergi:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Itu sahaja. Jawapan tugasan:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Secara sepintas lalu, saya ingin ambil perhatian bahawa kami telah menyelesaikan tugasan ini berulang cara. Perkataan yang mengerikan ini hanya bermaksud mencari ahli perkembangan mengikut nombor sebelumnya (bersebelahan). Kami akan melihat cara lain untuk bekerja dengan kemajuan di bawah.

Satu kesimpulan penting boleh dibuat daripada tugasan mudah ini.

Ingat:

Jika kita mengetahui sekurang-kurangnya satu sebutan dan perbezaan janjang aritmetik, kita boleh mencari sebarang sebutan janjang ini.

Adakah anda ingat? Kesimpulan mudah ini membolehkan anda menyelesaikan kebanyakan masalah kursus sekolah mengenai topik ini. Semua tugas berkisar tiga utama parameter: ahli janjang aritmetik, perbezaan janjang, nombor anggota janjang itu. Semua.

Sudah tentu, semua algebra sebelumnya tidak dibatalkan.) Ketaksamaan, persamaan dan perkara lain dilampirkan pada janjang. Tetapi mengikut perkembangan itu sendiri- semuanya berkisar pada tiga parameter.

Sebagai contoh, mari kita lihat beberapa tugasan popular mengenai topik ini.

2. Tulis janjang aritmetik terhingga sebagai satu siri jika n=5, d = 0.4, dan a 1 = 3.6.

Semuanya mudah di sini. Semuanya sudah diberikan. Anda perlu ingat bagaimana sebutan janjang aritmetik dikira, mengiranya dan menuliskannya. Adalah dinasihatkan untuk tidak terlepas perkataan dalam syarat tugas: "akhir" dan " n=5". Supaya tidak dikira sehingga anda benar-benar biru di muka.) Terdapat hanya 5 (lima) ahli dalam perkembangan ini:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

Ia kekal untuk menulis jawapan:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Tugas lain:

3. Tentukan sama ada nombor 7 akan menjadi ahli janjang aritmetik (a n), jika a 1 = 4.1; d = 1.2.

Hmm... Siapa tahu? Bagaimana untuk menentukan sesuatu?

Bagaimana-bagaimana... Tuliskan perkembangan dalam bentuk siri dan lihat sama ada akan ada tujuh di sana atau tidak! Kami mengira:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Kini jelas kelihatan bahawa kami baru bertujuh tergelincir antara 6.5 dan 7.7! Tujuh tidak termasuk dalam siri nombor kami, dan, oleh itu, tujuh tidak akan menjadi ahli janjang yang diberikan.

Jawapan: tidak.

Berikut adalah masalah berdasarkan pilihan sebenar GIA:

4. Beberapa sebutan berturut-turut janjang aritmetik ditulis:

...; 15; X; 9; 6; ...

Berikut adalah siri yang ditulis tanpa akhir dan permulaan. Tiada nombor ahli, tiada perbezaan d. Tidak mengapa. Untuk menyelesaikan masalah, cukup memahami maksud janjang aritmetik. Mari lihat dan lihat apa yang mungkin untuk mengetahui dari siri ini? Apakah tiga parameter utama?

Nombor ahli? Tiada satu pun nombor di sini.

Tetapi terdapat tiga nombor dan - perhatian! - perkataan "konsisten" dalam keadaan. Ini bermakna bahawa nombor-nombor itu betul-betul teratur, tanpa jurang. Adakah terdapat dua dalam baris ini? jiran nombor yang diketahui? Ya, saya ada! Ini adalah 9 dan 6. Oleh itu, kita boleh mengira perbezaan janjang aritmetik! Tolak daripada enam sebelumnya nombor, i.e. sembilan:

Ada perkara kecil yang tinggal. Apakah nombor yang akan menjadi nombor sebelumnya untuk X? lima belas. Ini bermakna X boleh didapati dengan mudah dengan penambahan mudah. Tambahkan beza janjang aritmetik kepada 15:

Itu sahaja. Jawapan: x=12

Kami menyelesaikan sendiri masalah berikut. Nota: masalah ini bukan berdasarkan formula. Semata-mata untuk memahami maksud janjang aritmetik.) Kami hanya menulis satu siri nombor dan huruf, melihat dan memikirkannya.

5. Cari sebutan positif pertama janjang aritmetik jika a 5 = -3; d = 1.1.

6. Adalah diketahui bahawa nombor 5.5 adalah ahli janjang aritmetik (a n), di mana a 1 = 1.6; d = 1.3. Tentukan nombor n bagi sebutan ini.

7. Adalah diketahui bahawa dalam janjang aritmetik a 2 = 4; a 5 = 15.1. Cari 3 .

8. Beberapa sebutan berturut-turut janjang aritmetik ditulis:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Cari sebutan janjang yang ditunjukkan oleh huruf x.

9. Kereta api mula bergerak dari stesen, meningkatkan kelajuan secara seragam sebanyak 30 meter seminit. Berapakah kelajuan kereta api itu selepas lima minit? Berikan jawapan anda dalam km/jam.

10. Adalah diketahui bahawa dalam janjang aritmetik a 2 = 5; a 6 = -5. Cari 1.

Jawapan (berantakan): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

Adakah semuanya berjaya? Hebat! Anda boleh menguasai janjang aritmetik untuk lebih banyak lagi tahap tinggi, dalam pelajaran berikut.

Tidakkah semuanya berjaya? Tiada masalah. Dalam Seksyen Khas 555, semua masalah ini diselesaikan sekeping demi sekeping.) Dan, sudah tentu, teknik praktikal yang mudah diterangkan yang segera menyerlahkan penyelesaian kepada tugas-tugas tersebut dengan jelas, jelas, sepintas lalu!

By the way, dalam teka-teki kereta api terdapat dua masalah yang orang sering tersandung. Satu adalah semata-mata dari segi perkembangan, dan yang kedua adalah umum untuk sebarang masalah dalam matematik, dan juga fizik. Ini adalah terjemahan dimensi dari satu ke satu sama lain. Ia menunjukkan bagaimana masalah ini harus diselesaikan.

Dalam pelajaran ini kita melihat makna asas janjang aritmetik dan parameter utamanya. Ini cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah mengenai topik ini. Tambah d kepada nombor, tulis satu siri, semuanya akan diselesaikan.

Penyelesaian jari berfungsi dengan baik untuk kepingan baris yang sangat pendek, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini. Jika sirinya lebih panjang, pengiraan menjadi lebih rumit. Sebagai contoh, jika dalam masalah 9 dalam soalan kita ganti "lima minit" pada "tiga puluh lima minit" masalah akan menjadi lebih teruk.)

Dan terdapat juga tugas yang mudah pada dasarnya, tetapi tidak masuk akal dari segi pengiraan, sebagai contoh:

Satu janjang aritmetik (a n) diberikan. Cari 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.

Jadi apa, adakah kita akan menambah 1/6 banyak, banyak kali?! Awak boleh bunuh diri!?

Anda boleh.) Jika anda tidak tahu formula mudah yang anda boleh menyelesaikan tugasan tersebut dalam satu minit. Formula ini akan ada dalam pelajaran seterusnya. Dan masalah ini diselesaikan di sana. Dalam satu minit.)

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.