Cari hasil tambah 19 nombor pertama janjang aritmetik itu. Jumlah sebutan-n pertama suatu janjang aritmetik

27.09.2019

Atau aritmetik ialah sejenis jujukan berangka tersusun, yang sifatnya dipelajari dalam kursus algebra sekolah. Artikel ini membincangkan secara terperinci persoalan bagaimana mencari jumlah janjang aritmetik.

Apakah jenis perkembangan ini?

Sebelum beralih kepada soalan (bagaimana untuk mencari jumlah janjang aritmetik), adalah wajar memahami apa yang kita bicarakan.

Sebarang urutan nombor nyata, yang diperoleh dengan menambah (menolak) beberapa nilai daripada setiap nombor sebelumnya, dipanggil janjang algebra (aritmetik). Takrifan ini, apabila diterjemahkan ke dalam bahasa matematik, mengambil bentuk:

Di sini i ialah nombor siri bagi elemen baris a i. Oleh itu, mengetahui hanya satu nombor permulaan, anda boleh memulihkan keseluruhan siri dengan mudah. Parameter d dalam formula dipanggil perbezaan janjang.

Ia boleh ditunjukkan dengan mudah bahawa untuk siri nombor yang dipertimbangkan persamaan berikut berlaku:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Iaitu, untuk mencari nilai elemen ke-n mengikut tertib, anda harus menambah perbezaan d kepada elemen pertama a 1 n-1 kali.

Berapakah jumlah janjang aritmetik: formula

Sebelum memberikan formula untuk jumlah yang ditunjukkan, ia patut mempertimbangkan kes khas yang mudah. Memandangkan janjang nombor asli dari 1 hingga 10, anda perlu mencari jumlahnya. Oleh kerana terdapat beberapa istilah dalam janjang (10), adalah mungkin untuk menyelesaikan masalah secara langsung, iaitu, jumlahkan semua elemen mengikut tertib.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Satu perkara yang patut dipertimbangkan perkara yang menarik: oleh kerana setiap sebutan berbeza daripada yang seterusnya dengan nilai yang sama d = 1, maka penjumlahan berpasangan bagi yang pertama dengan yang kesepuluh, yang kedua dengan yang kesembilan, dan seterusnya akan memberikan hasil yang sama. sungguh:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Seperti yang anda lihat, terdapat hanya 5 daripada jumlah ini, iaitu, tepat dua kali kurang daripada bilangan elemen siri. Kemudian mendarabkan bilangan jumlah (5) dengan hasil setiap jumlah (11), anda akan sampai pada hasil yang diperoleh dalam contoh pertama.

Jika kita umumkan hujah-hujah ini, kita boleh menulis ungkapan berikut:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Ungkapan ini menunjukkan bahawa tidak perlu sama sekali untuk menjumlahkan semua elemen dalam satu baris; cukup untuk mengetahui nilai a 1 dan yang terakhir a n , serta jumlah bilangan n istilah.

Adalah dipercayai bahawa Gauss adalah orang pertama yang memikirkan kesamarataan ini apabila dia mencari penyelesaian kepada masalah yang diberikan. guru sekolah tugasan: jumlahkan 100 integer pertama.

Jumlah unsur dari m hingga n: formula

Formula yang diberikan dalam perenggan sebelumnya menjawab persoalan bagaimana untuk mencari jumlah janjang aritmetik (elemen pertama), tetapi selalunya dalam masalah adalah perlu untuk menjumlahkan satu siri nombor di tengah-tengah janjang. Bagaimana untuk melakukan ini?

Cara paling mudah untuk menjawab soalan ini adalah dengan mempertimbangkan contoh berikut: biarlah perlu untuk mencari jumlah sebutan dari b hingga ke n. Untuk menyelesaikan masalah, anda harus membentangkan segmen yang diberikan dari m hingga n janjang dalam bentuk siri nombor baharu. Dalam ini perwakilan ke-m sebutan a m akan menjadi yang pertama, dan a n akan bernombor n-(m-1). Dalam kes ini, menggunakan formula standard untuk jumlah, ungkapan berikut akan diperolehi:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Contoh penggunaan formula

Mengetahui cara mencari jumlah janjang aritmetik, adalah wajar mempertimbangkan contoh mudah menggunakan formula di atas.

Di bawah ialah urutan berangka, anda harus mencari jumlah sebutannya, bermula dari ke-5 dan berakhir dengan ke-12:

Nombor yang diberikan menunjukkan bahawa perbezaan d adalah sama dengan 3. Menggunakan ungkapan untuk unsur ke-n, anda boleh mencari nilai sebutan ke-5 dan ke-12 bagi janjang itu. Ternyata:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Mengetahui nilai nombor di hujung yang diberi janjang algebra, dan juga mengetahui nombor dalam baris yang mereka duduki, anda boleh menggunakan formula untuk jumlah yang diperoleh dalam perenggan sebelumnya. Ia akan menjadi:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Perlu diingat bahawa nilai ini boleh diperoleh secara berbeza: mula-mula cari jumlah 12 elemen pertama menggunakan formula piawai, kemudian hitung jumlah 4 elemen pertama menggunakan formula yang sama, kemudian tolak jumlah kedua daripada jumlah pertama.

Jenis pelajaran: mempelajari bahan baharu.

Objektif pelajaran:

mengembangkan dan mendalami pemahaman pelajar tentang masalah yang diselesaikan menggunakan janjang aritmetik; mengatur aktiviti pencarian pelajar apabila memperoleh formula bagi hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik;
membangunkan keupayaan untuk memperoleh pengetahuan baharu secara bebas dan menggunakan pengetahuan yang telah diperoleh untuk mencapai tugas yang diberikan;
mengembangkan keinginan dan keperluan untuk menyamaratakan fakta yang diperoleh, mengembangkan kemerdekaan.

Tugasan:

meringkaskan dan sistematikkan pengetahuan sedia ada mengenai topik "Janjang aritmetik";
terbitkan formula untuk mengira hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik;
ajar cara mengaplikasikan formula yang diperoleh semasa menyelesaikan pelbagai tugas;
menarik perhatian pelajar kepada prosedur mencari nilai ungkapan berangka.

peralatan:

kad dengan tugas untuk bekerja dalam kumpulan dan berpasangan;
lembaran markah;
pembentangan “Janjang aritmetik”.

I. Pengemaskinian pengetahuan asas.

1. Kerja bebas secara berpasangan.

Pilihan pertama:

Tentukan janjang aritmetik. Tulis formula ulangan yang mentakrifkan janjang aritmetik. Sila berikan contoh janjang aritmetik dan nyatakan perbezaannya.

pilihan ke-2:

Tuliskan formula bagi sebutan ke-n suatu janjang aritmetik. Cari sebutan ke-100 janjang aritmetik ( a n}: 2, 5, 8 …
Pada masa ini, dua orang pelajar bahagian belakang papan sedang menyediakan jawapan kepada soalan yang sama ini.
Pelajar menilai hasil kerja pasangan mereka dengan menyemaknya di papan tulis. (Lembaran dengan jawapan diserahkan.)

2. Detik permainan.

Tugasan 1.

cikgu. Saya memikirkan beberapa janjang aritmetik. Tanya saya hanya dua soalan supaya selepas jawapan anda boleh menamakan penggal ke-7 janjang ini dengan cepat. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Soalan daripada pelajar.

Apakah sebutan keenam janjang itu dan apakah perbezaannya?
Apakah sebutan kelapan janjang itu dan apakah perbezaannya?

Sekiranya tidak ada lagi soalan, maka guru boleh merangsangnya - "larangan" pada d (perbezaan), iaitu, tidak dibenarkan bertanya apakah perbezaan itu sama. Anda boleh bertanya soalan: apakah sebutan ke-6 janjang itu bersamaan dan apakah sebutan ke-8 janjang itu bersamaan?

Tugasan 2.

Terdapat 20 nombor yang tertulis di papan tulis: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Guru berdiri membelakangi papan. Pelajar memanggil nombor itu, dan guru serta-merta memanggil nombor itu sendiri. Terangkan bagaimana saya boleh melakukan ini?

Guru mengingati rumus penggal ke-n a n = 3n – 2 dan, menggantikan nilai yang ditentukan n, mencari nilai yang sepadan a n.

II. Menetapkan tugas pembelajaran.

Saya bercadang untuk menyelesaikan masalah purba sejak alaf ke-2 SM, yang ditemui dalam papirus Mesir.

Tugasan:“Hendaklah dikatakan kepadamu: Bagilah 10 takar barli kepada 10 orang, selisih antara setiap orang dengan jirannya ialah 1/8 dari takaran”.

Bagaimanakah masalah ini berkaitan dengan janjang aritmetik topik? (Setiap orang seterusnya menerima 1/8 daripada ukuran lebih, yang bermaksud perbezaannya ialah d=1/8, 10 orang, yang bermaksud n=10.)
Pada pendapat anda, apakah maksud ukuran nombor 10? (Jumlah semua sebutan janjang.)
Apa lagi yang anda perlu tahu untuk memudahkan dan mudah membahagikan barli mengikut keadaan masalah? (Penggal pertama kemajuan.)

Objektif Pelajaran– mendapatkan pergantungan jumlah syarat janjang pada bilangannya, sebutan pertama dan perbezaannya, dan menyemak sama ada masalah itu telah diselesaikan dengan betul pada zaman dahulu.

Sebelum kita menyimpulkan formula, mari kita lihat bagaimana orang Mesir kuno menyelesaikan masalah itu.

Dan mereka menyelesaikannya seperti berikut:

1) 10 ukuran: 10 = 1 ukuran – bahagian purata;
2) 1 sukatan ∙ = 2 sukatan – digandakan purata kongsi.
Berganda purata syer ialah jumlah syer orang ke-5 dan ke-6.
3) 2 sukatan – 1/8 sukatan = 1 7/8 sukatan – dua kali ganda bahagian orang kelima.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – pecahan seperlima; dan seterusnya, anda boleh mencari bahagian setiap orang sebelumnya dan seterusnya.

Kami mendapat urutan:

III. Menyelesaikan masalah.

1. Bekerja dalam kumpulan

Kumpulan I: Cari hasil tambah 20 nombor asli berturut-turut: S 20 =(20+1)∙10 =210.

DALAM pandangan umum

Kumpulan II: Cari jumlah nombor asli dari 1 hingga 100 (The Legend of Little Gauss).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Kesimpulan:

Kumpulan III: Cari hasil tambah nombor asli dari 1 hingga 21.

Penyelesaian: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Kesimpulan:

Kumpulan IV: Cari hasil tambah nombor asli dari 1 hingga 101.

Kesimpulan:

Kaedah menyelesaikan masalah yang dipertimbangkan ini dipanggil "Kaedah Gauss".

2. Setiap kumpulan membentangkan penyelesaian masalah di papan tulis.

3. Generalisasi penyelesaian yang dicadangkan untuk janjang aritmetik arbitrari:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Mari cari jumlah ini menggunakan alasan yang sama:

4. Adakah kita telah menyelesaikan masalah tersebut?(Ya.)

IV. Pemahaman utama dan penggunaan formula yang diperoleh semasa menyelesaikan masalah.

1. Menyemak penyelesaian kepada masalah purba menggunakan formula.

2. Aplikasi formula dalam menyelesaikan pelbagai masalah.

3. Latihan untuk mengembangkan kebolehan menggunakan formula semasa menyelesaikan masalah.

A) No. 613

Diberi: ( a n) - janjang aritmetik;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Cari: S 1500

Penyelesaian: , a 1 = 1, dan 1500 = 1500,

B) Diberi: ( a n) - janjang aritmetik;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Cari: n
Penyelesaian:

V. Kerja bebas dengan pengesahan bersama.

Denis mula bekerja sebagai kurier. Pada bulan pertama gajinya ialah 200 rubel, pada setiap bulan berikutnya ia meningkat sebanyak 30 rubel. Berapakah jumlah pendapatannya dalam setahun?

Diberi: ( a n) - janjang aritmetik;
a 1 = 200, d=30, n=12
Cari: S 12
Penyelesaian:

Jawapan: Denis menerima 4380 rubel untuk tahun ini.

VI. Arahan kerja rumah.

Bahagian 4.3 – pelajari terbitan formula.
№№ 585, 623 .
Cipta masalah yang boleh diselesaikan menggunakan rumus untuk hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik.

VII. Merumuskan pelajaran.

1. Lembaran markah

2. Sambung ayat

Hari ini dalam kelas saya belajar...
Formula yang dipelajari...
Saya percaya bahawa...

3. Bolehkah anda mencari jumlah nombor dari 1 hingga 500? Apakah kaedah yang akan anda gunakan untuk menyelesaikan masalah ini?

Rujukan.

1. Algebra, darjah 9. Tutorial untuk institusi pendidikan. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: "Pencerahan", 2009.

Janjang aritmetik dan geometri

Maklumat teori

Maklumat teori

	Janjang aritmetik	Janjang geometri
Definisi	Janjang aritmetik a n ialah urutan di mana setiap ahli, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan ahli sebelumnya yang ditambah kepada nombor yang sama d (d- perbezaan perkembangan)	Janjang geometri b n ialah urutan nombor bukan sifar, setiap sebutan yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan sebutan sebelumnya didarab dengan nombor yang sama q (q- penyebut janjang)
Formula berulang	Untuk mana-mana semula jadi n a n + 1 = a n + d	Untuk mana-mana semula jadi n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula penggal ke-	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Ciri ciri
Jumlah n sebutan pertama

Contoh tugasan dengan ulasan

Tugasan 1

Dalam janjang aritmetik ( a n) a 1 = -6, a 2

Mengikut formula sebutan ke-n:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d

Mengikut syarat:

a 1= -6, maka a 22= -6 + 21 h .

Ia adalah perlu untuk mencari perbezaan janjang:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Jawapan: a 22 = -48.

Tugasan 2

Cari sebutan kelima janjang geometri: -3; 6;....

Kaedah pertama (menggunakan formula jangka-n)

Mengikut formula bagi sebutan ke-n suatu janjang geometri:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Kerana b 1 = -3,

Kaedah kedua (menggunakan formula berulang)

Oleh kerana penyebut janjang itu ialah -2 (q = -2), maka:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Jawapan: b 5 = -48.

Tugasan 3

Dalam janjang aritmetik ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Cari sebutan ketujuh puluh lima janjang ini.

Untuk janjang aritmetik, sifat ciri mempunyai bentuk .

Daripada ini ia berikut:

Mari kita gantikan data ke dalam formula:

Jawapan: 95.

Tugasan 4

Dalam janjang aritmetik ( a n ) a n= 3n - 4. Cari hasil tambah tujuh belas sebutan pertama.

Untuk mencari hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik, dua formula digunakan:

Manakah antara mereka yang lebih senang digunakan dalam kes ini?

Mengikut syarat, formula bagi sebutan ke-n bagi janjang asal diketahui ( a n) a n= 3n - 4. Anda boleh mencari serta-merta dan a 1, Dan a 16 tanpa menemui d. Oleh itu, kami akan menggunakan formula pertama.

Jawapan: 368.

Tugasan 5

Dalam janjang aritmetik( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Cari sebutan dua puluh dua janjang itu.

Mengikut formula sebutan ke-n:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21h.

Dengan syarat, jika a 1= -6, maka a 22= -6 + 21d . Ia adalah perlu untuk mencari perbezaan janjang:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Jawapan: a 22 = -48.

Tugasan 6

Beberapa sebutan berturut-turut bagi janjang geometri ditulis:

Cari sebutan janjang yang ditunjukkan oleh x.

Apabila menyelesaikan, kami akan menggunakan formula untuk sebutan ke-n b n = b 1 ∙ q n - 1 Untuk janjang geometri. Penggal pertama kemajuan. Untuk mencari penyebut janjang q, anda perlu mengambil mana-mana sebutan janjang yang diberikan dan bahagikan dengan yang sebelumnya. Dalam contoh kita, kita boleh mengambil dan membahagikan dengan. Kami memperoleh bahawa q = 3. Daripada n, kami menggantikan 3 dalam formula, kerana ia adalah perlu untuk mencari sebutan ketiga bagi janjang geometri yang diberikan.

Menggantikan nilai yang ditemui ke dalam formula, kami mendapat:

Jawapan : .

Tugasan 7

Daripada janjang aritmetik yang diberikan oleh formula sebutan ke-n, pilih satu yang syaratnya dipenuhi a 27 > 9:

Oleh kerana syarat yang diberikan mesti dipenuhi untuk sebutan ke-27 janjang, kami menggantikan 27 dan bukannya n dalam setiap empat janjang. Dalam perkembangan ke-4 kita mendapat:

Jawapan: 4.

Tugasan 8

Dalam janjang aritmetik a 1= 3, d = -1.5. Nyatakan nilai tertinggi n yang mana ketidaksamaan berlaku a n > -6.

Arahan

Janjang aritmetik ialah jujukan bentuk a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Nombor d langkah kemajuan.Adalah jelas bahawa am bagi sebutan ke-n arbitrari bagi aritmetik kemajuan mempunyai bentuk: An = A1+(n-1)d. Kemudian mengenali salah seorang ahli kemajuan, ahli kemajuan dan langkah kemajuan, anda boleh, iaitu, bilangan ahli kemajuan. Jelas sekali, ia akan ditentukan oleh formula n = (An-A1+d)/d.

Biar sekarang istilah ke-1 diketahui kemajuan dan ahli lain kemajuan- nth, tetapi n , seperti dalam kes sebelumnya, tetapi diketahui bahawa n dan m tidak bertepatan kemajuan boleh dikira menggunakan formula: d = (An-Am)/(n-m). Kemudian n = (An-Am+md)/d.

Jika hasil tambah beberapa unsur persamaan aritmetik diketahui kemajuan, serta yang pertama dan yang terakhir, maka bilangan unsur ini juga boleh ditentukan Jumlah aritmetik kemajuan akan sama dengan: S = ((A1+An)/2)n. Kemudian n = 2S/(A1+An) - chdenov kemajuan. Menggunakan fakta bahawa An = A1+(n-1)d, formula ini boleh ditulis semula sebagai: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Daripada ini kita boleh menyatakan n dengan menyelesaikan persamaan kuadratik.

Jujukan aritmetik ialah set nombor tersusun, setiap ahlinya, kecuali yang pertama, berbeza daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama. Nilai malar ini dipanggil perbezaan janjang atau langkahnya dan boleh dikira daripada sebutan janjang aritmetik yang diketahui.

Arahan

Jika nilai bagi yang pertama dan kedua atau mana-mana pasangan istilah bersebelahan yang lain diketahui daripada syarat masalah, untuk mengira perbezaan (d) hanya tolak yang sebelumnya daripada sebutan berikutnya. Nilai yang terhasil boleh sama ada positif atau nombor negatif- ia bergantung kepada sama ada perkembangan meningkat. Dalam bentuk umum, tulis penyelesaian untuk pasangan arbitrari (aᵢ dan aᵢ₊₁) sebutan jiran janjang seperti berikut: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Untuk sepasang sebutan bagi janjang sedemikian, satu daripadanya ialah yang pertama (a₁), dan satu lagi ialah mana-mana yang lain yang dipilih secara sewenang-wenangnya, ia juga mungkin untuk mencipta formula untuk mencari perbezaan (d). Walau bagaimanapun, dalam kes ini, nombor siri (i) ahli jujukan yang dipilih sewenang-wenangnya mesti diketahui. Untuk mengira perbezaan, tambah kedua-dua nombor dan bahagikan hasil yang terhasil dengan nombor ordinal bagi sebutan arbitrari yang dikurangkan dengan satu. Secara umum, tulis formula ini seperti berikut: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Jika, sebagai tambahan kepada ahli arbitrari janjang aritmetik dengan nombor ordinal i, ahli lain dengan nombor ordinal u diketahui, tukar formula dari langkah sebelumnya dengan sewajarnya. Dalam kes ini, perbezaan (d) janjang itu ialah hasil tambah kedua-dua sebutan ini dibahagikan dengan perbezaan di antaranya nombor siri: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formula untuk mengira perbezaan (d) menjadi agak rumit jika keadaan masalah memberikan nilai sebutan pertamanya (a₁) dan hasil tambah (Sᵢ) bagi nombor tertentu (i) sebutan pertama jujukan aritmetik. Untuk mendapatkan nilai yang diingini, bahagikan jumlah dengan bilangan sebutan yang membentuknya, tolak nilai nombor pertama dalam jujukan, dan gandakan hasilnya. Bahagikan nilai yang terhasil dengan bilangan istilah yang membentuk jumlah, dikurangkan dengan satu. Secara umum, tulis formula untuk mengira diskriminasi seperti berikut: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Ya, ya: janjang aritmetik bukan mainan untuk anda :)

Nah, kawan-kawan, jika anda membaca teks ini, maka bukti had dalaman memberitahu saya bahawa anda belum tahu apa itu janjang aritmetik, tetapi anda benar-benar (tidak, seperti ini: SOOOOO!) ingin tahu. Oleh itu, saya tidak akan menyeksa anda dengan perkenalan yang panjang dan akan terus ke intinya.

Pertama, beberapa contoh. Mari kita lihat beberapa set nombor:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Apakah persamaan kesemua set ini? Pada pandangan pertama, tiada apa-apa. Tetapi sebenarnya ada sesuatu. Iaitu: setiap elemen seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan nombor yang sama.

Nilailah sendiri. Set pertama hanyalah nombor berturut-turut, setiap seterusnya adalah satu lebih daripada yang sebelumnya. Dalam kes kedua, perbezaan antara nombor bersebelahan sudah lima, tetapi perbezaan ini masih tetap. Dalam kes ketiga, terdapat akar sama sekali. Walau bagaimanapun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dan $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. dan dalam kes ini, setiap elemen seterusnya hanya meningkat sebanyak $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahawa nombor ini tidak rasional).

Jadi: semua jujukan tersebut dipanggil janjang aritmetik. Mari kita berikan definisi yang ketat:

Definisi. Urutan nombor di mana setiap nombor seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama dipanggil janjang aritmetik. Jumlah perbezaan nombor dipanggil perbezaan janjang dan paling kerap dilambangkan dengan huruf $d$.

Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ ialah janjang itu sendiri, $d$ ialah perbezaannya.

Dan hanya beberapa nota penting. Pertama, kemajuan hanya dipertimbangkan dipesan urutan nombor: mereka dibenarkan untuk dibaca dengan ketat mengikut urutan yang ditulis - dan tidak ada yang lain. Nombor tidak boleh disusun semula atau ditukar.

Kedua, urutan itu sendiri boleh menjadi sama ada terhingga atau tidak terhingga. Sebagai contoh, set (1; 2; 3) jelas merupakan janjang aritmetik terhingga. Tetapi jika anda menulis sesuatu dalam semangat (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah menjadi perkembangan yang tidak terhingga. Elipsis selepas empat nampaknya membayangkan bahawa terdapat beberapa lagi nombor yang akan datang. Tidak terhingga banyak, contohnya.

Saya juga ingin ambil perhatian bahawa perkembangan boleh meningkat atau berkurangan. Kami telah melihat peningkatan - set yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut ialah contoh perkembangan menurun:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Okay, okay: contoh terakhir mungkin kelihatan terlalu rumit. Tetapi yang lain, saya fikir, anda faham. Oleh itu, kami memperkenalkan definisi baharu:

Definisi. Janjang aritmetik dipanggil:

meningkat jika setiap elemen seterusnya lebih besar daripada yang sebelumnya;

menurun jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya adalah kurang daripada yang sebelumnya.

Di samping itu, terdapat urutan yang dipanggil "pegun" - ia terdiri daripada nombor berulang yang sama. Contohnya, (3; 3; 3; ...).

Hanya satu soalan yang tinggal: bagaimana untuk membezakan kemajuan yang semakin meningkat daripada yang semakin berkurangan? Nasib baik, segala-galanya di sini hanya bergantung pada tanda nombor $d$, i.e. perbezaan perkembangan:

Jika $d \gt 0$, maka janjang meningkat;
Jika $d \lt 0$, maka kemajuan itu jelas berkurangan;
Akhir sekali, terdapat kes $d=0$ - dalam kes ini keseluruhan janjang dikurangkan kepada urutan pegun nombor yang sama: (1; 1; 1; 1; ...), dsb.

Mari kita cuba mengira perbezaan $d$ untuk tiga janjang menurun yang diberikan di atas. Untuk melakukan ini, cukup untuk mengambil mana-mana dua elemen bersebelahan (contohnya, yang pertama dan kedua) dan tolak nombor di sebelah kiri dari nombor di sebelah kanan. Ia akan kelihatan seperti ini:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Seperti yang kita lihat, dalam semua tiga kes perbezaan sebenarnya ternyata negatif. Dan sekarang setelah kita mengetahui lebih kurang definisinya, tiba masanya untuk mengetahui cara perkembangan diterangkan dan sifat yang dimilikinya.

Istilah kemajuan dan formula berulang

Oleh kerana unsur-unsur jujukan kami tidak boleh ditukar, ia boleh dinomborkan:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \kanan$\]

Unsur individu set ini dipanggil ahli janjang. Mereka ditunjukkan oleh nombor: ahli pertama, ahli kedua, dsb.

Di samping itu, seperti yang telah kita ketahui, istilah jiran kemajuan dikaitkan dengan formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Anak panah kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Ringkasnya, untuk mencari sebutan $n$th bagi sesuatu janjang, anda perlu mengetahui sebutan $n-1$th dan perbezaan $d$. Formula ini dipanggil berulang, kerana dengan bantuannya anda boleh mencari sebarang nombor hanya dengan mengetahui yang sebelumnya (dan sebenarnya, semua yang sebelumnya). Ini sangat menyusahkan, jadi terdapat formula yang lebih licik yang mengurangkan sebarang pengiraan kepada sebutan pertama dan perbezaan:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]

Anda mungkin telah menemui formula ini. Mereka suka memberikannya dalam semua jenis buku rujukan dan buku masalah. Dan dalam mana-mana buku teks matematik yang masuk akal ia adalah salah satu yang pertama.

Namun, saya cadangkan anda berlatih sedikit.

Tugasan No 1. Tuliskan tiga sebutan pertama janjang aritmetik $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.

Penyelesaian. Jadi, kita tahu sebutan pertama $((a)_(1))=8$ dan perbezaan janjang $d=-5$. Mari kita gunakan formula yang baru diberikan dan gantikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Jawapan: (8; 3; −2)

Itu sahaja! Sila ambil perhatian: perkembangan kami semakin berkurangan.

Sudah tentu, $n=1$ tidak boleh digantikan - istilah pertama sudah diketahui oleh kami. Walau bagaimanapun, dengan menggantikan perpaduan, kami yakin bahawa walaupun untuk penggal pertama formula kami berfungsi. Dalam kes lain, semuanya bermuara kepada aritmetik cetek.

Tugasan No. 2. Tuliskan tiga sebutan pertama suatu janjang aritmetik jika sebutan ketujuhnya bersamaan dengan −40 dan sebutan ketujuh belasnya bersamaan dengan −50.

Penyelesaian. Mari tulis keadaan masalah dalam istilah biasa:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \betul.\]

Saya meletakkan tanda sistem kerana keperluan ini mesti dipenuhi serentak. Sekarang mari kita ambil perhatian bahawa jika kita menolak yang pertama daripada persamaan kedua (kita mempunyai hak untuk melakukan ini, kerana kita mempunyai sistem), kita mendapat ini:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Begitulah mudahnya untuk mencari perbezaan kemajuan! Apa yang tinggal ialah menggantikan nombor yang ditemui ke dalam mana-mana persamaan sistem. Sebagai contoh, dalam yang pertama:

\[\begin(matriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriks)\]

Sekarang, mengetahui sebutan pertama dan perbezaannya, ia masih perlu mencari sebutan kedua dan ketiga:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

sedia! Masalah selesai.

Jawapan: (−34; −35; −36)

Perhatikan sifat janjang yang menarik yang kami temui: jika kita mengambil sebutan $n$th dan $m$th dan menolaknya antara satu sama lain, kami mendapat perbezaan janjang yang didarab dengan nombor $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]

Simple tapi sangat harta yang berguna, yang pasti anda perlu tahu - dengan bantuannya anda boleh mempercepatkan penyelesaian banyak masalah perkembangan dengan ketara. Berikut adalah contoh yang jelas tentang ini:

Tugasan No. 3. Sebutan kelima suatu janjang aritmetik ialah 8.4, dan sebutan kesepuluhnya ialah 14.4. Cari sebutan kelima belas janjang ini.

Penyelesaian. Oleh kerana $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kami perlu mencari $((a)_(15))$, kami perhatikan berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Tetapi dengan syarat $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, oleh itu $5d=6$, dari mana kita mempunyai:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(align)\]

Jawapan: 20.4

Itu sahaja! Kami tidak perlu mencipta sebarang sistem persamaan dan mengira sebutan pertama dan perbezaan - semuanya diselesaikan hanya dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita lihat satu lagi jenis masalah - mencari istilah negatif dan positif bagi sesuatu janjang. Bukan rahsia lagi bahawa jika janjang meningkat, dan sebutan pertamanya negatif, maka lambat laun istilah positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: syarat perkembangan yang semakin berkurangan lambat laun akan menjadi negatif.

Pada masa yang sama, ia tidak selalu mungkin untuk mencari detik ini secara "head-on" dengan meneliti elemen secara berurutan. Selalunya, masalah ditulis sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui formula, pengiraan akan mengambil beberapa helai kertas—kita hanya akan tertidur semasa kita menemui jawapannya. Oleh itu, mari cuba selesaikan masalah ini dengan lebih pantas.

Tugasan No. 4. Berapakah bilangan sebutan negatif yang terdapat dalam janjang aritmetik −38.5; −35.8; ...?

Penyelesaian. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, dari mana kita segera mencari perbezaannya:

Ambil perhatian bahawa perbezaan adalah positif, jadi perkembangan meningkat. Penggal pertama adalah negatif, jadi sememangnya pada satu ketika kita akan tersandung pada nombor positif. Satu-satunya persoalan ialah bila ini akan berlaku.

Mari cuba ketahui: sampai bila (iaitu sampai apa nombor asli$n$) negatif syarat-syarat itu dipelihara:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \kiri| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \kiri(n-1 \kanan) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\maks ))=15. \\ \end(align)\]

Baris terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Jadi kita tahu bahawa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Sebaliknya, kami berpuas hati dengan hanya nilai integer nombor (lebih-lebih lagi: $n\in \mathbb(N)$), jadi nombor terbesar yang dibenarkan adalah tepat $n=15$, dan dalam kes tidak 16 .

Tugasan No. 5. Dalam janjang aritmetik $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Cari nombor sebutan positif pertama bagi janjang ini.

Ini akan menjadi masalah yang sama seperti yang sebelumnya, tetapi kami tidak tahu $((a)_(1))$. Tetapi istilah jiran diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, jadi kita boleh mencari perbezaan janjang itu dengan mudah:

Di samping itu, mari kita cuba untuk menyatakan sebutan kelima melalui yang pertama dan perbezaan menggunakan formula standard:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Sekarang kita meneruskan dengan analogi dengan tugas sebelumnya. Mari kita ketahui pada titik mana dalam urutan nombor positif kita akan muncul:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Anak panah kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Penyelesaian integer minimum untuk ketaksamaan ini ialah nombor 56.

Sila ambil perhatian: dalam tugasan terakhir semuanya berpunca daripada ketidaksamaan yang ketat, jadi pilihan $n=55$ tidak sesuai dengan kami.

Sekarang kita telah belajar bagaimana untuk menyelesaikan masalah mudah, mari kita beralih kepada yang lebih kompleks. Tetapi pertama, mari kita kaji satu lagi sifat janjang aritmetik yang sangat berguna, yang akan menjimatkan banyak masa dan sel yang tidak sama pada masa hadapan :).

Min aritmetik dan lekukan sama

Mari kita pertimbangkan beberapa sebutan berturut-turut bagi janjang aritmetik yang semakin meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari cuba tandakan mereka pada garis nombor:

Istilah janjang aritmetik pada garis nombor

Saya secara khusus menandakan istilah arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan bukan beberapa $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, dsb. Kerana peraturan yang saya akan beritahu anda sekarang berfungsi sama untuk mana-mana "segmen".

Dan peraturannya sangat mudah. Mari kita ingat formula berulang dan tuliskannya untuk semua istilah yang ditanda:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Walau bagaimanapun, persamaan ini boleh ditulis semula secara berbeza:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Jadi apa? Dan hakikat bahawa istilah $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini bersamaan dengan $d$. Perkara yang sama boleh dikatakan mengenai istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - ia juga dikeluarkan daripada $((a)_(n) )$ pada jarak yang sama bersamaan dengan $2d$. Kita boleh meneruskan iklan infinitum, tetapi maknanya digambarkan dengan baik oleh gambar

Istilah janjang terletak pada jarak yang sama dari pusat

Apakah maknanya bagi kita? Ini bermakna $((a)_(n))$ boleh didapati jika nombor jiran diketahui:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kami telah memperoleh pernyataan yang sangat baik: setiap sebutan janjang aritmetik adalah sama dengan min aritmetik bagi sebutan jirannya! Selain itu: kita boleh berundur dari $((a)_(n))$ kami ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $k$ langkah - dan formulanya masih betul:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Itu. kita boleh mencari beberapa $((a)_(150))$ dengan mudah jika kita tahu $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, kerana $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Pada pandangan pertama, nampaknya fakta ini tidak memberi kita apa-apa yang berguna. Walau bagaimanapun, dalam amalan, banyak masalah disesuaikan khas untuk menggunakan min aritmetik. Lihatlah:

Tugasan No. 6. Cari semua nilai $x$ yang mana nombor $-6((x)^(2))$, $x+1$ dan $14+4((x)^(2))$ ialah sebutan berturut-turut bagi janjang aritmetik (dalam susunan yang ditunjukkan).

Penyelesaian. Oleh kerana nombor ini adalah ahli janjang, keadaan min aritmetik dipenuhi untuk mereka: unsur pusat $x+1$ boleh dinyatakan dalam sebutan unsur jiran:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Hasilnya ialah persamaan kuadratik klasik. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawapannya.

Jawapan: −3; 2.

Tugasan No. 7. Cari nilai $$ yang mana nombor $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk janjang aritmetik (dalam susunan itu).

Penyelesaian. Mari kita ungkapkan sekali lagi sebutan tengah melalui min aritmetik bagi sebutan jiran:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Persamaan kuadratik sekali lagi. Dan sekali lagi terdapat dua punca: $x=6$ dan $x=1$.

Jawapan: 1; 6.

Jika dalam proses menyelesaikan masalah anda menghasilkan beberapa nombor yang kejam, atau anda tidak pasti sepenuhnya tentang ketepatan jawapan yang ditemui, maka terdapat teknik hebat yang membolehkan anda menyemak: adakah kami telah menyelesaikan masalah dengan betul?

Katakan dalam masalah No. 6 kita menerima jawapan −3 dan 2. Bagaimanakah kita boleh menyemak bahawa jawapan ini betul? Mari kita pasangkannya ke dalam keadaan asal dan lihat apa yang berlaku. Biar saya ingatkan anda bahawa kita mempunyai tiga nombor ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang mesti membentuk janjang aritmetik. Mari kita gantikan $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Kami mendapat nombor −54; −2; 50 yang berbeza dengan 52 sudah pasti merupakan janjang aritmetik. Perkara yang sama berlaku untuk $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Sekali lagi perkembangan, tetapi dengan perbezaan 27. Oleh itu, masalah itu telah diselesaikan dengan betul. Mereka yang ingin boleh menyemak masalah kedua sendiri, tetapi saya akan katakan dengan segera: semuanya betul di sana juga.

Secara umum, semasa menyelesaikan masalah terakhir, kami terjumpa satu lagi fakta menarik, yang juga perlu diingat:

Jika tiga nombor adalah sedemikian sehingga kedua adalah tengah aritmetik dahulu dan terakhir, maka nombor ini membentuk janjang aritmetik.

Pada masa hadapan, memahami penyataan ini akan membolehkan kita "membina" secara literal perkembangan yang diperlukan berdasarkan keadaan masalah. Tetapi sebelum kita terlibat dalam "pembinaan" sedemikian, kita harus memberi perhatian kepada satu lagi fakta, yang secara langsung mengikuti apa yang telah dibincangkan.

Mengumpul dan menjumlahkan elemen

Mari kembali ke paksi nombor semula. Mari kita perhatikan terdapat beberapa ahli perkembangan, antara yang, mungkin. bernilai banyak ahli lain:

Terdapat 6 elemen yang ditanda pada garis nombor

Mari cuba ungkapkan “ekor kiri” melalui $((a)_(n))$ dan $d$, dan “ekor kanan” melalui $((a)_(k))$ dan $d$. Ia sangat mudah:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Sekarang ambil perhatian bahawa jumlah berikut adalah sama:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Ringkasnya, jika kita menganggap sebagai permulaan dua elemen janjang, yang secara keseluruhannya adalah sama dengan beberapa nombor $S$, dan kemudian mula melangkah dari unsur-unsur ini ke dalam sisi bertentangan(ke arah satu sama lain atau sebaliknya untuk menjauh), kemudian jumlah elemen yang akan kita temui juga akan sama$S$. Ini boleh diwakili dengan paling jelas secara grafik:

Lekukan yang sama memberikan jumlah yang sama

Kefahaman fakta ini akan membolehkan kita menyelesaikan masalah secara lebih asas tahap tinggi kesukaran daripada yang kami pertimbangkan di atas. Sebagai contoh, ini:

Tugasan No. 8. Tentukan beza janjang aritmetik di mana sebutan pertama ialah 66, dan hasil darab sebutan kedua dan kedua belas adalah terkecil yang mungkin.

Penyelesaian. Mari kita tulis semua yang kita tahu:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Jadi, kita tidak tahu perbezaan kemajuan $d$. Sebenarnya, keseluruhan penyelesaian akan dibina di sekeliling perbezaan, kerana produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ boleh ditulis semula seperti berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Bagi mereka yang berada di dalam tangki: Saya mengambil jumlah pengganda 11 daripada kurungan kedua. Oleh itu, hasil darab yang dikehendaki ialah fungsi kuadratik berkenaan dengan pembolehubah $d$. Oleh itu, pertimbangkan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafnya akan menjadi parabola dengan cawangan ke atas, kerana jika kita mengembangkan kurungan, kita mendapat:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Seperti yang anda lihat, pekali istilah tertinggi ialah 11 - ini nombor positif, jadi kita benar-benar berurusan dengan parabola dengan cabang ke atas:

jadual fungsi kuadratik- parabola
Sila ambil perhatian: parabola ini mengambil nilai minimumnya pada puncaknya dengan abscissa $((d)_(0))$. Sudah tentu, kita boleh mengira absis ini menggunakan skema standard (terdapat formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi lebih munasabah untuk diperhatikan bahawa bucu yang dikehendaki terletak pada simetri paksi parabola, oleh itu titik $((d)_(0))$ adalah sama jarak dari punca persamaan $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Itulah sebabnya saya tidak tergesa-gesa untuk membuka kurungan: dalam bentuk asalnya, akarnya sangat, sangat mudah dicari. Oleh itu, absis adalah sama dengan min nombor aritmetik−66 dan −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Apakah yang diberikan oleh nombor yang ditemui kepada kita? Dengan itu, produk yang diperlukan mengambil nilai terkecil(by the way, kami tidak pernah mengira $((y)_(\min ))$ - ini tidak diperlukan daripada kami). Pada masa yang sama, nombor ini adalah perbezaan janjang asal, i.e. kami jumpa jawapannya.

Jawapan: −36

Tugasan No. 9. Antara nombor $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ masukkan tiga nombor supaya bersama-sama nombor ini membentuk satu janjang aritmetik.

Penyelesaian. Pada asasnya, kita perlu membuat urutan lima nombor, dengan nombor pertama dan terakhir sudah diketahui. Mari kita nyatakan nombor yang hilang oleh pembolehubah $x$, $y$ dan $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Ambil perhatian bahawa nombor $y$ ialah "tengah" jujukan kami - ia adalah sama jarak dari nombor $x$ dan $z$, dan daripada nombor $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan jika dari nombor $x$ dan $z$ kita masuk pada masa ini kita tidak boleh mendapatkan $y$, maka keadaannya berbeza dengan penghujung perkembangan. Mari kita ingat maksud aritmetik:

Sekarang, dengan mengetahui $y$, kita akan mencari nombor yang tinggal. Ambil perhatian bahawa $x$ terletak di antara nombor $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ yang baru kami temui. sebab tu

Dengan menggunakan penaakulan yang sama, kita dapati nombor yang tinggal:

sedia! Kami mendapati ketiga-tiga nombor itu. Mari kita tuliskannya dalam jawapan dalam susunan yang harus disisipkan di antara nombor asal.

Jawapan: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tugasan No. 10. Di antara nombor 2 dan 42, masukkan beberapa nombor yang, bersama-sama dengan nombor ini, membentuk janjang aritmetik, jika anda tahu bahawa jumlah nombor pertama, kedua dan terakhir nombor yang dimasukkan ialah 56.

Penyelesaian. Lebih-lebih lagi tugas yang sukar, yang, bagaimanapun, diselesaikan mengikut skema yang sama seperti yang sebelumnya - melalui min aritmetik. Masalahnya ialah kita tidak tahu dengan tepat berapa banyak nombor yang perlu dimasukkan. Oleh itu, mari kita anggap untuk kepastian bahawa selepas memasukkan semua akan ada tepat $n$ nombor, dan yang pertama daripada mereka ialah 2, dan yang terakhir ialah 42. Dalam kes ini, janjang aritmetik yang diperlukan boleh diwakili dalam bentuk:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Walau bagaimanapun, ambil perhatian bahawa nombor $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh daripada nombor 2 dan 42 di tepi dengan satu langkah ke arah satu sama lain, iaitu . ke tengah urutan. Dan ini bermakna

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Tetapi ungkapan yang ditulis di atas boleh ditulis semula seperti berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita boleh mencari perbezaan janjang itu dengan mudah:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kiri(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Anak panah kanan d=5. \\ \end(align)\]

Apa yang tinggal ialah mencari istilah yang tinggal:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Oleh itu, sudah pada langkah ke-9 kita akan tiba di hujung kiri urutan - nombor 42. Secara keseluruhan, hanya 7 nombor yang perlu dimasukkan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawapan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Masalah perkataan dengan janjang

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa masalah yang agak mudah. Nah, semudah itu: bagi kebanyakan pelajar yang belajar matematik di sekolah dan belum membaca apa yang ditulis di atas, masalah ini mungkin kelihatan sukar. Walau bagaimanapun, ini adalah jenis masalah yang muncul dalam OGE dan Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik, jadi saya mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Tugasan No. 11. Pasukan itu menghasilkan 62 bahagian pada bulan Januari, dan setiap bahagian bulan depan menghasilkan 14 bahagian lebih daripada yang sebelumnya. Berapa banyak bahagian yang dihasilkan oleh pasukan pada bulan November?

Penyelesaian. Jelas sekali, bilangan bahagian yang disenaraikan mengikut bulan akan mewakili janjang aritmetik yang semakin meningkat. Selain itu:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November ialah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Oleh itu, 202 bahagian akan dikeluarkan pada bulan November.

Tugasan No. 12. Bengkel penjilidan buku telah mengikat 216 buku pada bulan Januari, dan pada setiap bulan berikutnya ia menjilid 4 buku lagi daripada yang sebelumnya. Berapakah bilangan buku yang diikat oleh bengkel itu pada bulan Disember?

Penyelesaian. Semuanya sama:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 4. \\ \end(align)$

Disember ialah bulan ke-12 yang terakhir dalam tahun ini, jadi kami mencari $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ini jawapannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Disember.

Nah, jika anda telah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan tahniah kepada anda: anda telah berjaya menyelesaikan "kursus pejuang muda" dalam janjang aritmetik. Anda boleh beralih ke pelajaran seterusnya dengan selamat, di mana kita akan mengkaji formula untuk jumlah kemajuan, serta akibat penting dan sangat berguna daripadanya.