Sebagai contoh, urutan \(2\); \(5\); \(8\); \(sebelas\); \(14\)... ialah janjang aritmetik kerana setiap satu elemen seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan tiga (boleh diperoleh daripada yang sebelumnya dengan menambah tiga):

Dalam janjang ini, perbezaan \(d\) adalah positif (sama dengan \(3\)), dan oleh itu setiap sebutan seterusnya adalah lebih besar daripada yang sebelumnya. Perkembangan sedemikian dipanggil semakin meningkat.

Walau bagaimanapun, \(d\) juga boleh nombor negatif. Sebagai contoh, dalam janjang aritmetik \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... perbezaan janjang \(d\) adalah sama dengan tolak enam.

Dan dalam kes ini, setiap elemen seterusnya akan menjadi lebih kecil daripada yang sebelumnya. Perkembangan ini dipanggil semakin berkurangan.

tatatanda janjang aritmetik

Kemajuan ditunjukkan oleh huruf Latin kecil.

Nombor yang membentuk janjang dipanggil ahli(atau unsur-unsur).

Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan janjang aritmetik, tetapi dengan indeks berangka yang sama dengan bilangan elemen dalam susunan.

Sebagai contoh, janjang aritmetik \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) terdiri daripada unsur \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dan seterusnya.

Dalam erti kata lain, untuk janjang \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Menyelesaikan masalah janjang aritmetik

Pada dasarnya, maklumat yang dibentangkan di atas sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah janjang aritmetik (termasuk yang ditawarkan di OGE).

Contoh (OGE). Janjang aritmetik diberikan oleh syarat \(b_1=7; d=4\). Cari \(b_5\).
Penyelesaian:

Jawapan: \(b_5=23\)

Contoh (OGE). Tiga sebutan pertama suatu janjang aritmetik diberikan: \(62; 49; 36…\) Cari nilai sebutan negatif pertama janjang ini..
Penyelesaian:

	Kami diberi elemen pertama jujukan dan mengetahui bahawa ia adalah janjang aritmetik. Iaitu, setiap elemen berbeza daripada jirannya dengan nombor yang sama. Mari kita ketahui yang mana satu dengan menolak yang sebelumnya daripada elemen seterusnya: \(d=49-62=-13\).
	Sekarang kita boleh memulihkan perkembangan kita kepada elemen (negatif pertama) yang kita perlukan.
	sedia. Anda boleh menulis jawapan.

Jawapan: \(-3\)

Contoh (OGE). Diberi beberapa unsur berturutan bagi janjang aritmetik: \(…5; x; 10; 12.5...\) Cari nilai unsur yang ditetapkan oleh huruf \(x\).
Penyelesaian:

	Untuk mencari \(x\), kita perlu tahu berapa banyak unsur seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya, dengan kata lain, perbezaan janjang. Mari cari daripada dua unsur jiran yang diketahui: \(d=12.5-10=2.5\).
	Dan kini kita boleh mencari dengan mudah apa yang kita cari: \(x=5+2.5=7.5\).
	sedia. Anda boleh menulis jawapan.

Jawapan: \(7,5\).

Contoh (OGE). Janjang aritmetik ditakrifkan oleh keadaan berikut: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Cari hasil tambah enam sebutan pertama janjang ini.
Penyelesaian:

Kita perlu mencari jumlah enam sebutan pertama janjang itu. Tetapi kita tidak tahu maknanya; kita hanya diberikan unsur pertama. Oleh itu, kita mula-mula mengira nilai satu demi satu, menggunakan apa yang diberikan kepada kita: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Dan setelah mengira enam elemen yang kita perlukan, kita dapati jumlahnya.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Jumlah yang diperlukan telah ditemui.

Jawapan: \(S_6=9\).

Contoh (OGE). Dalam janjang aritmetik \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Cari perbezaan janjang ini.
Penyelesaian:

Jawapan: \(d=7\).

Formula penting untuk janjang aritmetik

Seperti yang anda lihat, banyak masalah mengenai janjang aritmetik boleh diselesaikan hanya dengan memahami perkara utama - bahawa janjang aritmetik ialah rantai nombor, dan setiap elemen berikutnya dalam rantai ini diperoleh dengan menambah nombor yang sama kepada yang sebelumnya ( perbezaan perkembangan).

Walau bagaimanapun, kadangkala terdapat situasi apabila membuat keputusan "head-on" adalah sangat menyusahkan. Sebagai contoh, bayangkan bahawa dalam contoh pertama kita perlu mencari bukan elemen kelima \(b_5\), tetapi tiga ratus lapan puluh enam \(b_(386)\). Patutkah kita menambah empat \(385\) kali? Atau bayangkan bahawa dalam contoh terakhir anda perlu mencari jumlah tujuh puluh tiga elemen pertama. Anda akan penat mengira...

Oleh itu, dalam kes sedemikian, mereka tidak menyelesaikan perkara secara "secara langsung", tetapi menggunakan formula khas yang diperoleh untuk janjang aritmetik. Dan yang utama ialah formula untuk sebutan ke-n janjang dan formula untuk jumlah \(n\) sebutan pertama.

Formula bagi \(n\) sebutan ke: \(a_n=a_1+(n-1)d\), dengan \(a_1\) ialah sebutan pertama janjang;
\(n\) – nombor elemen yang diperlukan;
\(a_n\) – sebutan janjang dengan nombor \(n\).

Formula ini membolehkan kita mencari dengan cepat walaupun elemen tiga ratus atau sejuta, hanya mengetahui yang pertama dan perbezaan janjang.

Contoh. Janjang aritmetik ditentukan oleh syarat: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Cari \(b_(246)\).
Penyelesaian:

Jawapan: \(b_(246)=1850\).

Formula untuk jumlah n sebutan pertama: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana

\(a_n\) – sebutan terakhir yang dijumlahkan;

Contoh (OGE). Janjang aritmetik ditentukan oleh keadaan \(a_n=3.4n-0.6\). Cari hasil tambah bagi sebutan \(25\) pertama bagi janjang ini.
Penyelesaian:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Untuk mengira jumlah bagi dua puluh lima sebutan pertama, kita perlu mengetahui nilai sebutan pertama dan dua puluh lima. Kemajuan kami diberikan oleh formula sebutan ke-n bergantung pada bilangannya (untuk butiran lanjut, lihat). Mari kita hitung elemen pertama dengan menggantikan satu untuk \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		Sekarang mari kita cari sebutan kedua puluh lima dengan menggantikan dua puluh lima bukannya \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		Nah, sekarang kita boleh mengira jumlah yang diperlukan dengan mudah.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Jawapannya sudah sedia.

Jawapan: \(S_(25)=1090\).

Untuk jumlah \(n\) sebutan pertama, anda boleh mendapatkan formula lain: anda hanya perlu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) bukannya \(a_n\) gantikan formula untuknya \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kita mendapatkan:

Formula untuk hasil tambah n sebutan pertama: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana

\(S_n\) – jumlah yang diperlukan bagi \(n\) elemen pertama;
\(a_1\) – sebutan penjumlahan pertama;
\(d\) – perbezaan janjang;
\(n\) – bilangan elemen secara keseluruhan.

Contoh. Cari hasil tambah bagi sebutan \(33\)-ex pertama bagi janjang aritmetik: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Penyelesaian:

Jawapan: \(S_(33)=-231\).

Masalah janjang aritmetik yang lebih kompleks

Kini anda mempunyai semua maklumat yang anda perlukan untuk menyelesaikan hampir semua masalah janjang aritmetik. Mari kita selesaikan topik dengan mempertimbangkan masalah di mana anda bukan sahaja perlu menggunakan formula, tetapi juga berfikir sedikit (dalam matematik ini boleh berguna ☺)

Contoh (OGE). Cari hasil tambah semua sebutan negatif janjang itu: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Penyelesaian:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Tugas ini sangat serupa dengan yang sebelumnya. Kita mula menyelesaikan perkara yang sama: mula-mula kita dapati \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Sekarang saya ingin menggantikan \(d\) ke dalam formula untuk jumlah... dan di sini satu nuansa kecil muncul - kita tidak tahu \(n\). Dalam erti kata lain, kita tidak tahu berapa banyak istilah yang perlu ditambah. Bagaimana untuk mengetahui? Mari berfikir. Kami akan berhenti menambah elemen apabila kami mencapai elemen positif pertama. Iaitu, anda perlu mengetahui bilangan elemen ini. Bagaimana? Mari tuliskan formula untuk mengira mana-mana unsur janjang aritmetik: \(a_n=a_1+(n-1)d\) untuk kes kami.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		Kita memerlukan \(a_n\) untuk menjadi lebih besar daripada sifar. Mari kita ketahui apa \(n\) ini akan berlaku.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Kami membahagikan kedua-dua belah ketaksamaan dengan \(0.3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Kami memindahkan tolak satu, tidak lupa untuk menukar tanda-tanda
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Jom kira...
\(n>65,333…\)		...dan ternyata unsur positif pertama akan mempunyai nombor \(66\). Oleh itu, yang terakhir negatif mempunyai \(n=65\). Untuk berjaga-jaga, mari kita semak ini.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		Jadi kita perlu menambah elemen \(65\) pertama.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Jawapannya sudah sedia.

Jawapan: \(S_(65)=-630.5\).

Contoh (OGE). Janjang aritmetik ditentukan oleh syarat: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Cari hasil tambah daripada \(26\)th hingga \(42\) elemen inklusif.
Penyelesaian:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Dalam masalah ini anda juga perlu mencari jumlah elemen, tetapi bukan bermula dari yang pertama, tetapi dari \(26\)th. Untuk kes sedemikian kami tidak mempunyai formula. Bagaimana untuk membuat keputusan? Mudah sahaja - untuk mendapatkan jumlah dari \(26\)th hingga \(42\)th, anda mesti mencari jumlah dari \(1\)th hingga \(42\)th, dan kemudian tolak daripadanya jumlah dari pertama hingga \(25\)th (lihat gambar).
	Untuk perkembangan kami \(a_1=-33\), dan perbezaan \(d=4\) (lagipun, empat yang kami tambahkan pada elemen sebelumnya untuk mencari yang seterusnya). Mengetahui ini, kita dapati jumlah unsur \(42\)-y yang pertama.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Sekarang jumlah unsur \(25\) pertama.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Dan akhirnya, kami mengira jawapannya.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Jawapan: \(S=1683\).

Untuk janjang aritmetik, terdapat beberapa lagi formula yang tidak kami pertimbangkan dalam artikel ini kerana kegunaan praktikalnya yang rendah. Walau bagaimanapun, anda boleh mencari mereka dengan mudah.

Masalah tentang janjang aritmetik telah pun wujud pada zaman dahulu. Mereka muncul dan menuntut penyelesaian kerana mereka mempunyai keperluan praktikal.

Jadi, dalam salah satu papirus Mesir Purba", yang mempunyai kandungan matematik - papirus Rhind (abad ke-19 SM) - mengandungi tugas berikut: membahagikan sepuluh sukat roti di antara sepuluh orang, dengan syarat perbezaan antara setiap satu daripada mereka adalah satu perlapan daripada sukatan."

Dan dalam karya matematik orang Yunani kuno terdapat teorem elegan yang berkaitan dengan janjang aritmetik. Oleh itu, Hypsicles of Alexandria (abad ke-2, yang menyusun banyak masalah menarik dan menambah buku keempat belas kepada Elemen Euclid), merumuskan idea: "Dalam janjang aritmetik yang mempunyai bilangan sebutan genap, jumlah sebutan separuh ke-2 adalah lebih besar daripada jumlah sebutan yang pertama pada kuasa dua 1/2 nombor ahli."

Urutan itu dilambangkan dengan an. Nombor jujukan dipanggil ahlinya dan biasanya dilambangkan dengan huruf dengan indeks yang menunjukkan nombor siri ahli ini (a1, a2, a3 ... berbunyi: "a 1", "a 2nd", "a 3rd" dan seterusnya).

Urutan boleh menjadi tidak terhingga atau terhingga.

Apakah janjang aritmetik? Dengan itu kita maksudkan yang diperoleh dengan menambah sebutan sebelumnya (n) dengan nombor d yang sama, iaitu perbezaan janjang.

Jika d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, maka perkembangan ini dianggap meningkat.

Janjang aritmetik dipanggil terhingga jika hanya beberapa sebutan pertamanya diambil kira. Pada sangat kuantiti yang besar ahli sudah menjadi kemajuan yang tidak berkesudahan.

Sebarang janjang aritmetik ditakrifkan oleh formula berikut:

an =kn+b, manakala b dan k ialah beberapa nombor.

Pernyataan yang bertentangan adalah benar: jika jujukan diberikan oleh formula yang sama, maka ia adalah janjang aritmetik yang mempunyai sifat:

1. Setiap sebutan janjang ialah min aritmetik bagi sebutan sebelumnya dan yang berikutnya.
2. Berbalik: jika, bermula dari ke-2, setiap sebutan ialah min aritmetik bagi sebutan sebelumnya dan yang berikutnya, i.e. jika syarat dipenuhi, maka jujukan ini ialah janjang aritmetik. Kesaksamaan ini juga merupakan tanda kemajuan, itulah sebabnya ia biasanya dipanggil sifat ciri kemajuan.
   Dengan cara yang sama, teorem yang mencerminkan sifat ini adalah benar: jujukan ialah janjang aritmetik hanya jika kesamaan ini benar untuk mana-mana sebutan jujukan, bermula dengan ke-2.

Sifat ciri bagi mana-mana empat nombor janjang aritmetik boleh dinyatakan dengan formula an + am = ak + al, jika n + m = k + l (m, n, k ialah nombor janjang).

Dalam janjang aritmetik, sebarang sebutan yang diperlukan (Nth) boleh didapati menggunakan formula berikut:

Contohnya: sebutan pertama (a1) dalam janjang aritmetik diberikan dan sama dengan tiga, dan beza (d) adalah sama dengan empat. Anda perlu mencari sebutan keempat puluh lima janjang ini. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) membolehkan kita menentukan penggal ke- suatu janjang aritmetik melalui mana-mana sebutan kthnya, dengan syarat ia diketahui.

Jumlah sebutan janjang aritmetik (bermaksud n sebutan pertama janjang terhingga) dikira seperti berikut:

Sn = (a1+an) n/2.

Jika sebutan pertama juga diketahui, maka formula lain adalah sesuai untuk pengiraan:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Jumlah janjang aritmetik yang mengandungi n sebutan dikira seperti berikut:

Pilihan formula untuk pengiraan bergantung kepada keadaan masalah dan data awal.

Siri semula jadi sebarang nombor, seperti 1,2,3,...,n,...- contoh paling mudah janjang aritmetik.

Sebagai tambahan kepada janjang aritmetik, terdapat juga janjang geometri, yang mempunyai sifat dan ciri tersendiri.

Sesetengah orang menganggap perkataan "kemajuan" dengan berhati-hati, sebagai istilah yang sangat kompleks daripada bahagian tersebut matematik yang lebih tinggi. Sementara itu, janjang aritmetik yang paling mudah ialah kerja meter teksi (di mana ia masih wujud). Dan memahami intipati (dan dalam matematik tidak ada yang lebih penting daripada "memahami intipati") bagi urutan aritmetik tidaklah begitu sukar, setelah menganalisis beberapa konsep asas.

Urutan nombor matematik

Urutan berangka biasanya dipanggil satu siri nombor, setiap satu daripadanya mempunyai nombor sendiri.

a 1 ialah ahli pertama bagi jujukan;

dan 2 ialah sebutan kedua bagi jujukan;

dan 7 ialah ahli ketujuh bagi jujukan;

dan n ialah ahli ke-n bagi jujukan;

Walau bagaimanapun, tidak ada set nombor dan nombor sewenang-wenangnya yang menarik minat kami. Kami akan menumpukan perhatian kami pada jujukan berangka di mana nilai sebutan ke-n dikaitkan dengan nombor ordinalnya melalui hubungan yang boleh dirumuskan secara matematik dengan jelas. Dalam erti kata lain: nilai berangka nombor ke-n ialah beberapa fungsi n.

a ialah nilai ahli bagi jujukan berangka;

n ialah nombor sirinya;

f(n) ialah fungsi, di mana nombor ordinal dalam jujukan berangka n ialah hujah.

Definisi

Janjang aritmetik biasanya dipanggil jujukan berangka di mana setiap sebutan berikutnya adalah lebih besar (kurang) daripada yang sebelumnya dengan nombor yang sama. Formula bagi sebutan ke-n bagi jujukan aritmetik adalah seperti berikut:

a n - nilai ahli semasa janjang aritmetik;

a n+1 - formula nombor seterusnya;

d - perbezaan (nombor tertentu).

Adalah mudah untuk menentukan bahawa jika perbezaan adalah positif (d>0), maka setiap ahli berikutnya bagi siri yang sedang dipertimbangkan akan lebih besar daripada yang sebelumnya dan janjang aritmetik sedemikian akan meningkat.

Dalam graf di bawah adalah mudah untuk melihat mengapa urutan nombor dipanggil "meningkat".

Dalam kes di mana perbezaannya negatif (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Nilai ahli yang ditentukan

Kadangkala adalah perlu untuk menentukan nilai sebarang sebutan arbitrari bagi suatu janjang aritmetik. Ini boleh dilakukan dengan mengira secara berurutan nilai semua ahli janjang aritmetik, bermula dari yang pertama hingga yang dikehendaki. Walau bagaimanapun, laluan ini tidak selalu boleh diterima jika, sebagai contoh, adalah perlu untuk mencari nilai penggal lima ribu atau lapan juta. Pengiraan tradisional akan mengambil banyak masa. Walau bagaimanapun, janjang aritmetik tertentu boleh dikaji menggunakan formula tertentu. Terdapat juga formula untuk sebutan ke-n: nilai sebarang sebutan janjang aritmetik boleh ditentukan sebagai hasil tambah sebutan pertama janjang dengan perbezaan janjang itu, didarab dengan bilangan sebutan yang dikehendaki, dikurangkan dengan satu.

Formula adalah universal untuk meningkatkan dan mengurangkan perkembangan.

Contoh pengiraan nilai istilah tertentu

Mari kita selesaikan masalah berikut untuk mencari nilai sebutan ke-n suatu janjang aritmetik.

Keadaan: terdapat janjang aritmetik dengan parameter:

Sebutan pertama bagi jujukan ialah 3;

Perbezaan dalam siri nombor ialah 1.2.

Tugasan: anda perlu mencari nilai 214 sebutan

Penyelesaian: untuk menentukan nilai istilah tertentu, kami menggunakan formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Menggantikan data daripada pernyataan masalah ke dalam ungkapan, kami mempunyai:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Jawapan: Sebutan ke-214 bagi jujukan itu bersamaan dengan 258.6.

Kelebihan kaedah pengiraan ini adalah jelas - keseluruhan penyelesaian mengambil masa tidak lebih daripada 2 baris.

Jumlah bilangan sebutan tertentu

Selalunya, dalam siri aritmetik tertentu, adalah perlu untuk menentukan jumlah nilai beberapa segmennya. Untuk melakukan ini, anda juga tidak perlu mengira nilai setiap istilah dan kemudian menambahnya. Kaedah ini boleh digunakan jika bilangan istilah yang jumlahnya perlu dicari adalah kecil. Dalam kes lain, lebih mudah untuk menggunakan formula berikut.

Jumlah sebutan bagi janjang aritmetik dari 1 hingga n adalah sama dengan hasil tambah sebutan pertama dan ke-n, didarab dengan bilangan sebutan n dan dibahagikan dengan dua. Jika dalam formula nilai istilah ke-n digantikan dengan ungkapan dari perenggan sebelumnya artikel, kita dapat:

Contoh pengiraan

Sebagai contoh, mari kita selesaikan masalah dengan syarat berikut:

Sebutan pertama bagi jujukan ialah sifar;

Perbezaannya ialah 0.5.

Masalahnya memerlukan penentuan jumlah terma siri dari 56 hingga 101.

Penyelesaian. Mari kita gunakan formula untuk menentukan jumlah kemajuan:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Pertama, kami menentukan jumlah nilai 101 sebutan janjang dengan menggantikan syarat yang diberikan masalah kami ke dalam formula:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Jelas sekali, untuk mengetahui jumlah terma janjang dari ke-56 hingga ke-101, adalah perlu untuk menolak S 55 daripada S 101.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

Oleh itu, jumlah janjang aritmetik untuk contoh ini ialah:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

Contoh aplikasi amali janjang aritmetik

Pada akhir artikel, mari kita kembali kepada contoh jujukan aritmetik yang diberikan dalam perenggan pertama - pengukur taksi (meter kereta teksi). Mari kita pertimbangkan contoh ini.

Menaiki teksi (termasuk 3 km perjalanan) berharga 50 rubel. Setiap kilometer berikutnya dibayar pada kadar 22 rubel/km. Jarak perjalanan ialah 30 km. Kira kos perjalanan.

1. Mari kita buang 3 km pertama, yang harganya termasuk dalam kos pendaratan.

30 - 3 = 27 km.

2. Pengiraan selanjutnya tidak lebih daripada menghuraikan siri nombor aritmetik.

Nombor ahli - bilangan kilometer yang dilalui (tolak tiga yang pertama).

Nilai ahli ialah jumlah.

Istilah pertama dalam masalah ini akan sama dengan 1 = 50 rubel.

Perbezaan kemajuan d = 22 r.

nombor yang kita minati ialah nilai sebutan (27+1) bagi janjang aritmetik - bacaan meter pada penghujung kilometer ke-27 ialah 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Pengiraan data kalendar untuk tempoh yang panjang sewenang-wenangnya adalah berdasarkan formula yang menerangkan jujukan berangka tertentu. Dalam astronomi, panjang orbit bergantung secara geometri pada jarak jasad angkasa ke bintang. Selain itu, pelbagai siri nombor berjaya digunakan dalam statistik dan bidang gunaan matematik yang lain.

Satu lagi jenis urutan nombor ialah geometri

Janjang geometri dicirikan oleh kadar perubahan yang lebih besar berbanding janjang aritmetik. Bukan kebetulan bahawa dalam politik, sosiologi, dan perubatan, untuk menunjukkan kelajuan tinggi penyebaran fenomena tertentu, sebagai contoh, penyakit semasa wabak, mereka mengatakan bahawa proses itu berkembang dalam perkembangan geometri.

Sebutan N bagi siri nombor geometri berbeza daripada yang sebelumnya kerana ia didarab dengan beberapa nombor tetap - penyebutnya, sebagai contoh, sebutan pertama ialah 1, penyebutnya bersamaan dengan 2, kemudian:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - nilai istilah semasa janjang geometri;

b n+1 - formula sebutan seterusnya bagi janjang geometri;

q ialah penyebut janjang geometri (nombor tetap).

Jika graf janjang aritmetik ialah garis lurus, maka janjang geometri melukis gambar yang sedikit berbeza:

Seperti dalam kes aritmetik, janjang geometri mempunyai formula untuk nilai sebutan arbitrari. Mana-mana sebutan ke-n suatu janjang geometri adalah sama dengan hasil darab sebutan pertama dan penyebut janjang kepada kuasa n dikurangkan dengan satu:

Contoh. Kami mempunyai janjang geometri dengan sebutan pertama sama dengan 3 dan penyebut janjang itu sama dengan 1.5. Mari cari sebutan ke-5 janjang itu

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

Jumlah bilangan sebutan yang diberikan juga dikira menggunakan formula khas. Jumlah n sebutan pertama suatu janjang geometri adalah sama dengan perbezaan antara hasil darab sebutan ke-n janjang itu dan penyebutnya dan sebutan pertama janjang itu, dibahagikan dengan penyebut yang dikurangkan dengan satu:

Jika b n digantikan menggunakan formula yang dibincangkan di atas, nilai jumlah n sebutan pertama siri nombor yang sedang dipertimbangkan akan berbentuk:

Contoh. Janjang geometri bermula dengan sebutan pertama bersamaan dengan 1. Penyebutnya ditetapkan kepada 3. Mari cari hasil tambah bagi lapan sebutan pertama.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Jumlah janjang aritmetik.

Jumlah janjang aritmetik adalah perkara yang mudah. Baik dari segi makna mahupun dalam formula. Tetapi terdapat pelbagai tugas mengenai topik ini. Dari asas kepada agak kukuh.

Pertama, mari kita fahami maksud dan formula jumlahnya. Dan kemudian kita akan membuat keputusan. Untuk kesenangan anda sendiri.) Maksud jumlah itu semudah moo. Untuk mencari jumlah janjang aritmetik, anda hanya perlu menambah semua istilahnya dengan teliti. Jika syarat ini sedikit, anda boleh menambah tanpa sebarang formula. Tetapi jika terdapat banyak, atau banyak... penambahan adalah menjengkelkan.) Dalam kes ini, formula datang untuk menyelamatkan.

Formula untuk jumlahnya adalah mudah:

Mari kita fikirkan jenis huruf yang termasuk dalam formula. Ini akan membersihkan banyak perkara.

S n - jumlah janjang aritmetik. Hasil penambahan semua orang ahli, dengan pertama Oleh terakhir. Ia penting. Mereka menambah tepat Semua ahli berturut-turut, tanpa melangkau atau melangkau. Dan, tepatnya, bermula dari pertama. Dalam masalah seperti mencari jumlah sebutan ketiga dan kelapan, atau jumlah sebutan kelima hingga kedua puluh, penggunaan formula secara langsung akan mengecewakan.)

a 1 - pertama ahli kemajuan. Semuanya jelas di sini, ia mudah pertama nombor baris.

a n- terakhir ahli kemajuan. Nombor terakhir siri ini. Nama yang tidak begitu biasa, tetapi apabila digunakan pada jumlah itu, ia sangat sesuai. Kemudian anda akan melihat sendiri.

n - nombor ahli terakhir. Adalah penting untuk memahami bahawa dalam formula nombor ini bertepatan dengan bilangan istilah tambahan.

Mari kita tentukan konsepnya terakhir ahli a n. Soalan rumit: ahli mana yang akan menjadi yang terakhir jika diberi tidak berkesudahan janjang aritmetik?)

Untuk menjawab dengan yakin, anda perlu memahami maksud asas janjang aritmetik dan... baca tugasan dengan teliti!)

Dalam tugas mencari jumlah janjang aritmetik, sebutan terakhir sentiasa muncul (secara langsung atau tidak langsung), yang sepatutnya terhad. Jika tidak, jumlah muktamad, tertentu langsung tidak wujud. Untuk penyelesaian, tidak kira sama ada perkembangan diberikan: terhingga atau tidak terhingga. Tidak kira bagaimana ia diberikan: satu siri nombor, atau formula untuk sebutan ke-n.

Perkara yang paling penting ialah memahami bahawa formula berfungsi dari sebutan pertama janjang kepada istilah dengan nombor n. Sebenarnya, nama penuh formula kelihatan seperti ini: hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik. Bilangan ahli pertama ini, i.e. n, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam tugas, semua maklumat berharga ini sering disulitkan, ya... Tetapi tidak mengapa, dalam contoh di bawah kami mendedahkan rahsia ini.)

Contoh tugasan pada jumlah janjang aritmetik.

Pertama sekali, maklumat berguna:

Kesukaran utama dalam tugasan yang melibatkan jumlah janjang aritmetik terletak pada penentuan yang betul bagi unsur-unsur formula.

Penulis tugas menyulitkan unsur-unsur ini dengan imaginasi yang tidak terbatas.) Perkara utama di sini ialah jangan takut. Memahami intipati unsur-unsur, cukup untuk menguraikannya. Mari lihat beberapa contoh secara terperinci. Mari kita mulakan dengan tugas berdasarkan GIA sebenar.

1. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a n = 2n-3.5. Cari hasil tambah 10 sebutan pertamanya.

Syabas. Mudah.) Untuk menentukan jumlah menggunakan formula, apakah yang perlu kita ketahui? Ahli pertama a 1, terma akhir a n, ya nombor ahli terakhir n.

Di mana saya boleh mendapatkan nombor ahli terakhir? n? Ya, di sana, dengan syarat! Ia berkata: cari jumlahnya 10 ahli pertama. Nah, nombor apa yang akan ada? terakhir, ahli kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nombornya adalah kesepuluh!) Oleh itu, bukannya a n Kami akan menggantikan ke dalam formula a 10, dan sebaliknya n- sepuluh. Saya ulangi, bilangan ahli terakhir bertepatan dengan bilangan ahli.

Ia kekal untuk menentukan a 1 Dan a 10. Ini mudah dikira menggunakan formula untuk sebutan ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak tahu bagaimana untuk melakukan ini? Hadiri pelajaran sebelumnya, tanpa ini tidak mungkin.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

a 10=2·10 - 3.5 =16.5

S n = S 10.

Kami telah mengetahui maksud semua unsur formula untuk jumlah janjang aritmetik. Yang tinggal hanyalah menggantikannya dan mengira:

Itu sahaja. Jawapan: 75.

Satu lagi tugas berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:

2. Diberi janjang aritmetik (a n), bezanya ialah 3.7; a 1 =2.3. Cari hasil tambah 15 sebutan pertamanya.

Kami segera menulis formula jumlah:

Formula ini membolehkan kita mencari nilai sebarang istilah dengan nombornya. Kami mencari penggantian mudah:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

Ia kekal untuk menggantikan semua elemen ke dalam formula untuk jumlah janjang aritmetik dan mengira jawapannya:

Jawapan: 423.

By the way, jika dalam formula jumlah bukannya a n Kami hanya menggantikan formula untuk sebutan ke-n dan dapatkan:

Mari kita bentangkan yang serupa dan dapatkan formula baharu untuk jumlah sebutan bagi janjang aritmetik:

Seperti yang anda lihat, istilah ke-n tidak diperlukan di sini a n. Dalam sesetengah masalah formula ini banyak membantu, ya... Anda boleh ingat formula ini. Atau anda boleh memaparkannya pada masa yang betul, seperti di sini. Lagipun, anda perlu sentiasa ingat formula untuk jumlah dan formula untuk sebutan ke-n.)

Sekarang tugas dalam bentuk penyulitan pendek):

3. Cari hasil tambah semua nombor dua digit positif yang merupakan gandaan tiga.

Wah! Baik ahli pertama anda, mahupun terakhir anda, mahupun kemajuan sama sekali... Bagaimana untuk hidup!?

Anda perlu berfikir dengan kepala anda dan mengeluarkan semua unsur jumlah janjang aritmetik daripada keadaan. Kita tahu apa itu nombor dua digit. Mereka terdiri daripada dua nombor.) Apakah nombor dua digit pertama? 10, mungkin.) A perkara terakhir nombor dua digit? 99, sudah tentu! Tiga angka akan mengikutinya...

Gandaan tiga... Hm... Ini adalah nombor yang boleh dibahagi dengan tiga, di sini! Sepuluh tidak boleh dibahagikan dengan tiga, 11 tidak boleh bahagi... 12... boleh bahagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah boleh menulis satu siri mengikut keadaan masalah:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Adakah siri ini akan menjadi janjang aritmetik? Sudah tentu! Setiap istilah berbeza daripada yang sebelumnya dengan ketat tiga. Jika anda menambah 2 atau 4 pada istilah, katakan, hasilnya, i.e. nombor baharu tidak lagi boleh dibahagikan dengan 3. Anda boleh segera menentukan perbezaan janjang aritmetik: d = 3. Ia akan berguna!)

Jadi, kita boleh menulis beberapa parameter kemajuan dengan selamat:

Apakah nombor itu? n ahli terakhir? Sesiapa yang berpendapat bahawa 99 adalah tersilap maut... Nombor sentiasa berturut-turut, tetapi ahli kami melompat melebihi tiga. Mereka tidak sepadan.

Terdapat dua penyelesaian di sini. Salah satu cara adalah untuk yang sangat rajin. Anda boleh menuliskan janjang, keseluruhan siri nombor, dan mengira bilangan ahli dengan jari anda.) Cara kedua adalah untuk mereka yang berfikir. Anda perlu ingat formula untuk penggal ke-n. Jika kita menggunakan formula untuk masalah kita, kita dapati bahawa 99 ialah sebutan ketiga puluh bagi janjang itu. Itu. n = 30.

Mari kita lihat formula untuk jumlah janjang aritmetik:

Kami melihat dan bergembira.) Kami mengeluarkan semua yang diperlukan dari penyata masalah untuk mengira jumlahnya:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Yang tinggal hanyalah aritmetik asas. Kami menggantikan nombor ke dalam formula dan mengira:

Jawapan: 1665

Satu lagi jenis teka-teki popular:

4. Diberi janjang aritmetik:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Cari hasil tambah sebutan dari kedua puluh hingga tiga puluh empat.

Kami melihat formula untuk jumlah dan... kami kecewa.) Formula, biar saya ingatkan anda, mengira jumlah dari yang pertama ahli. Dan dalam masalah anda perlu mengira jumlahnya sejak dua puluh... Formula tidak akan berfungsi.

Anda boleh, sudah tentu, menulis keseluruhan perkembangan dalam satu siri, dan menambah istilah dari 20 hingga 34. Tetapi... entah bagaimana ia bodoh dan mengambil masa yang lama, bukan?)

Terdapat penyelesaian yang lebih elegan. Mari bahagikan siri kami kepada dua bahagian. Bahagian pertama akan menjadi dari penggal pertama hingga kesembilan belas. Bahagian kedua - dari dua puluh hingga tiga puluh empat. Adalah jelas bahawa jika kita mengira jumlah syarat bahagian pertama S 1-19, mari tambahkannya dengan jumlah syarat bahagian kedua S 20-34, kita mendapat jumlah janjang dari penggal pertama hingga ke tiga puluh empat S 1-34. seperti ini:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Daripada ini kita dapat melihat bahawa mencari jumlah S 20-34 boleh dilakukan dengan penolakan mudah

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Kedua-dua jumlah di sebelah kanan dipertimbangkan dari yang pertama ahli, i.e. formula jumlah standard agak terpakai kepada mereka. Mari kita mulakan?

Kami mengekstrak parameter kemajuan daripada penyataan masalah:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

Untuk mengira jumlah bagi 19 dan 34 sebutan pertama, kita memerlukan sebutan ke-19 dan ke-34. Kami mengira mereka menggunakan formula untuk sebutan ke-n, seperti dalam masalah 2:

a 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

a 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

Tiada apa yang tinggal. Daripada jumlah 34 sebutan, tolak jumlah 19 sebutan:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

Jawapan: 262.5

Satu nota penting! Terdapat helah yang sangat berguna dalam menyelesaikan masalah ini. Daripada pengiraan langsung apa yang anda perlukan (S 20-34), kami mengira sesuatu yang nampaknya tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka bertekad S 20-34, membuang yang tidak perlu daripada hasil yang lengkap. “Tipuan dengan telinga anda” semacam ini sering menyelamatkan anda dalam masalah jahat.)

Dalam pelajaran ini kita melihat masalah yang cukup untuk memahami maksud jumlah janjang aritmetik. Nah, anda perlu tahu beberapa formula.)

Nasihat praktikal:

Apabila menyelesaikan sebarang masalah yang melibatkan jumlah janjang aritmetik, saya mengesyorkan segera menulis dua formula utama daripada topik ini.

Formula untuk penggal ke-n:

Formula ini akan segera memberitahu anda apa yang perlu dicari dan ke arah mana untuk difikirkan untuk menyelesaikan masalah. Membantu.

Dan kini tugas untuk penyelesaian bebas.

5. Cari hasil tambah semua nombor dua digit yang tidak boleh dibahagi dengan tiga.

Hebat?) Petunjuk tersembunyi dalam nota kepada masalah 4. Nah, masalah 3 akan membantu.

6. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. Cari hasil tambah 24 sebutan pertamanya.

Luar biasa?) Ini adalah formula berulang. Anda boleh membaca tentangnya dalam pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan pautan itu, masalah seperti itu sering dijumpai di Akademi Sains Negeri.

7. Vasya menyimpan wang untuk percutian. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang kegemaran saya (diri saya) beberapa hari kebahagiaan). Hiduplah dengan indah tanpa menafikan diri sendiri. Belanja 500 rubel pada hari pertama, dan pada setiap hari berikutnya belanjakan 50 rubel lebih daripada yang sebelumnya! Sampai duit habis. Berapa hari kebahagiaan yang dimiliki Vasya?

Adakah sukar?) Formula tambahan daripada tugasan 2 akan membantu.

Jawapan (bercelaru): 7, 3240, 6.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Kalkulator dalam talian.
Menyelesaikan janjang aritmetik.
Diberi: a n , d, n
Cari: a 1

Atur cara matematik ini mencari \(a_1\) janjang aritmetik berdasarkan nombor yang ditentukan pengguna \(a_n, d\) dan \(n\).
Nombor \(a_n\) dan \(d\) boleh ditentukan bukan sahaja sebagai integer, tetapi juga sebagai pecahan. Selain itu, nombor pecahan boleh dimasukkan dalam bentuk pecahan perpuluhan (\(2.5\)) dan dalam bentuk pecahan biasa (\(-5\frac(2)(7)\)).

Program ini bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, tetapi juga memaparkan proses mencari penyelesaian.

Kalkulator dalam talian ini boleh berguna untuk pelajar sekolah menengah di sekolah menengah semasa membuat persediaan untuk ujian dan peperiksaan, semasa menguji pengetahuan sebelum Peperiksaan Negeri Bersepadu, dan untuk ibu bapa mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baharu? Atau adakah anda hanya mahu menyiapkan kerja rumah matematik atau algebra anda secepat mungkin? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Dengan cara ini, anda boleh menjalankan latihan dan/atau latihan adik-adik anda sendiri, manakala tahap pendidikan dalam bidang penyelesaian masalah meningkat.

Jika anda tidak biasa dengan peraturan untuk memasukkan nombor, kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Peraturan untuk memasukkan nombor

Nombor \(a_n\) dan \(d\) boleh ditentukan bukan sahaja sebagai integer, tetapi juga sebagai pecahan.
Nombor \(n\) hanya boleh menjadi integer positif.

Peraturan untuk memasukkan pecahan perpuluhan.
Bahagian integer dan pecahan dalam pecahan perpuluhan boleh dipisahkan sama ada dengan noktah atau koma.
Sebagai contoh, anda boleh memasukkan pecahan perpuluhan seperti 2.5 atau seperti 2.5

Peraturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya nombor bulat boleh bertindak sebagai pengangka, penyebut dan bahagian integer bagi pecahan.

Penyebut tidak boleh negatif.

Apabila memasukkan pecahan berangka, pengangka dipisahkan daripada penyebut dengan tanda bahagi: /
Input:
Keputusan: \(-\frac(2)(3)\)

Seluruh bahagian dipisahkan daripada pecahan oleh tanda ampersand: &
Input:
Keputusan: \(-1\frac(2)(3)\)

Masukkan nombor a n , d, n

Cari 1

Telah didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.

JavaScript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.
Untuk penyelesaian muncul, anda perlu mendayakan JavaScript.
Berikut ialah arahan tentang cara mendayakan JavaScript dalam penyemak imbas anda.

Kerana Terdapat ramai orang yang bersedia untuk menyelesaikan masalah, permintaan anda telah beratur.
Dalam beberapa saat penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...

Jika awak perasan ralat dalam penyelesaian, maka anda boleh menulis tentang perkara ini dalam Borang Maklum Balas.
Jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.

Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Urutan nombor

Dalam amalan harian, penomboran pelbagai objek sering digunakan untuk menunjukkan susunan di mana ia disusun. Sebagai contoh, rumah di setiap jalan bernombor. Di perpustakaan, langganan pembaca dinomborkan dan kemudian disusun mengikut susunan nombor yang ditetapkan dalam fail kad khas.

Dalam bank simpanan, menggunakan nombor akaun peribadi pendeposit, anda boleh mencari akaun ini dengan mudah dan melihat deposit yang ada padanya. Biarkan akaun No. 1 mengandungi deposit a1 rubel, akaun No. 2 mengandungi deposit a2 rubel, dll. Ternyata urutan nombor
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
di mana N ialah nombor semua akaun. Di sini, setiap nombor asli n dari 1 hingga N dikaitkan dengan nombor a n.

Juga belajar dalam matematik urutan nombor tak terhingga:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Nombor a 1 dipanggil sebutan pertama bagi urutan itu, nombor a 2 - sebutan kedua bagi urutan itu, nombor a 3 - sebutan ketiga bagi urutan itu dan lain-lain.
Nombor a n dipanggil ahli ke- (nth) bagi jujukan, dan nombor asli n ialahnya nombor.

Contohnya, dalam urutan segi empat sama nombor asli 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... dan 1 = 1 ialah sebutan pertama bagi jujukan; dan n = n 2 ialah sebutan ke-n bagi jujukan; a n+1 = (n + 1) 2 ialah sebutan (n + 1)th (n tambah pertama) bagi jujukan. Selalunya urutan boleh ditentukan oleh formula sebutan ke-nnya. Sebagai contoh, formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) mentakrifkan jujukan \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Janjang aritmetik

Panjang tahun adalah kira-kira 365 hari. Nilai yang lebih tepat ialah \(365\frac(1)(4)\) hari, jadi setiap empat tahun ralat satu hari terkumpul.

Untuk mengambil kira ralat ini, satu hari ditambahkan pada setiap tahun keempat, dan tahun lanjutan dipanggil tahun lompat.

Sebagai contoh, dalam alaf ketiga, tahun lompat ialah tahun 2004, 2008, 2012, 2016, ....

Dalam urutan ini, setiap ahli, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, ditambah dengan nombor 4 yang sama. Urutan sedemikian dipanggil janjang aritmetik.

Definisi.
Urutan nombor a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... dipanggil janjang aritmetik, jika untuk semua semula jadi n kesaksamaan
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
di mana d ialah beberapa nombor.

Daripada formula ini ia mengikuti bahawa a n+1 - a n = d. Nombor d dipanggil perbezaan janjang aritmetik.

Mengikut takrifan janjang aritmetik kita mempunyai:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
di mana
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), di mana \(n>1 \)

Oleh itu, setiap sebutan janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik bagi dua sebutan yang bersebelahan. Ini menerangkan nama janjang "aritmetik".

Ambil perhatian bahawa jika a 1 dan d diberikan, maka baki sebutan janjang aritmetik boleh dikira menggunakan formula berulang a n+1 = a n + d. Dengan cara ini, tidak sukar untuk mengira beberapa sebutan pertama janjang, bagaimanapun, sebagai contoh, 100 sudah memerlukan banyak pengiraan. Biasanya, formula istilah ke-n digunakan untuk ini. Mengikut takrifan janjang aritmetik
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
dan lain-lain.
sama sekali,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
kerana sebutan ke-n suatu janjang aritmetik diperoleh daripada sebutan pertama dengan menambah (n-1) kali nombor d.
Formula ini dipanggil formula bagi sebutan ke-n suatu janjang aritmetik.

Jumlah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik

Cari hasil tambah semua nombor asli dari 1 hingga 100.
Mari tulis jumlah ini dalam dua cara:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Mari tambah istilah kesamaan ini mengikut istilah:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Jumlah ini mempunyai 100 istilah
Oleh itu, 2S = 101 * 100, maka S = 101 * 50 = 5050.

Sekarang mari kita pertimbangkan janjang aritmetik sewenang-wenangnya
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Biarkan S n ialah hasil tambah n sebutan pertama janjang ini:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Kemudian hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik adalah sama dengan
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Oleh kerana \(a_n=a_1+(n-1)d\), kemudian menggantikan a n dalam formula ini kita mendapat formula lain untuk mencari hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Buku (buku teks) Abstrak Peperiksaan Negeri Bersatu dan ujian Peperiksaan Negeri Bersatu dalam talian Permainan, teka-teki Mencatat graf fungsi Kamus ejaan bahasa Rusia Kamus slanga belia Katalog sekolah Rusia Katalog institusi pendidikan menengah Rusia Katalog universiti Rusia Senarai daripada tugasan