Contoh terbitan bagi fungsi kompleks. Terbitan fungsi kompleks. Contoh penyelesaian

Fungsi jenis kompleks tidak selalu sesuai dengan definisi fungsi kompleks. Jika terdapat fungsi bentuk y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, maka ia tidak boleh dianggap kompleks, tidak seperti y = sin 2 x.

Artikel ini akan menunjukkan konsep fungsi kompleks dan pengenalannya. Mari kita bekerja dengan formula untuk mencari derivatif dengan contoh penyelesaian dalam kesimpulan. Penggunaan jadual terbitan dan peraturan pembezaan dengan ketara mengurangkan masa untuk mencari terbitan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Definisi asas

Definisi 1

Fungsi kompleks ialah fungsi yang hujahnya juga merupakan fungsi.

Ia dilambangkan dengan cara ini: f (g (x)). Kami mempunyai bahawa fungsi g (x) dianggap sebagai hujah f (g (x)).

Definisi 2

Jika terdapat fungsi f dan ialah fungsi kotangen, maka g(x) = ln x ialah fungsi itu logaritma semula jadi. Kami mendapati bahawa fungsi kompleks f (g (x)) akan ditulis sebagai arctg(lnx). Atau fungsi f, yang merupakan fungsi dinaikkan kepada kuasa ke-4, di mana g (x) = x 2 + 2 x - 3 dianggap sebagai keseluruhan fungsi rasional, kita memperoleh bahawa f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Jelas sekali g(x) boleh menjadi kompleks. Daripada contoh y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 adalah jelas bahawa nilai g mempunyai punca kubus bagi pecahan itu. Ungkapan ini boleh dilambangkan sebagai y = f (f 1 (f 2 (x))). Dari mana kita mempunyai bahawa f ialah fungsi sinus, dan f 1 ialah fungsi yang terletak di bawah punca kuasa dua, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - fungsi rasional pecahan.

Definisi 3

Tahap bersarang ditentukan oleh mana-mana nombor asli dan ditulis sebagai y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))))) .

Definisi 4

Konsep gubahan fungsi merujuk kepada bilangan fungsi bersarang mengikut keadaan masalah. Untuk menyelesaikan, gunakan formula untuk mencari terbitan bagi fungsi kompleks bentuk

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Contoh

Contoh 1

Cari terbitan bagi fungsi kompleks dalam bentuk y = (2 x + 1) 2.

Penyelesaian

Keadaan menunjukkan bahawa f ialah fungsi kuasa dua, dan g(x) = 2 x + 1 dianggap sebagai fungsi linear.

Mari gunakan formula terbitan untuk fungsi kompleks dan tulis:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Ia adalah perlu untuk mencari terbitan dengan bentuk asal yang dipermudahkan bagi fungsi tersebut. Kami mendapat:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Dari sini kita ada itu

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Hasilnya adalah sama.

Apabila menyelesaikan masalah jenis ini, adalah penting untuk memahami di mana fungsi bentuk f dan g (x) akan ditempatkan.

Contoh 2

Anda harus mencari terbitan bagi fungsi kompleks dalam bentuk y = sin 2 x dan y = sin x 2.

Penyelesaian

Notasi fungsi pertama mengatakan bahawa f ialah fungsi kuasa dua dan g(x) ialah fungsi sinus. Kemudian kita mendapat itu

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Catatan kedua menunjukkan bahawa f ialah fungsi sinus, dan g(x) = x 2 dilambangkan fungsi kuasa. Ia berikutan bahawa kita menulis hasil darab fungsi kompleks sebagai

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formula untuk terbitan y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) akan ditulis sebagai y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . . )) )) · . . . fn "(x)

Contoh 3

Cari terbitan bagi fungsi y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Penyelesaian

Contoh ini menunjukkan kesukaran menulis dan menentukan lokasi fungsi. Kemudian y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) menandakan di mana f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) ialah fungsi sinus, fungsi menaikkan hingga 3 darjah, fungsi dengan logaritma dan asas e, arctangent dan fungsi linear.

Daripada formula untuk mentakrifkan fungsi kompleks kita mempunyai itu

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Kami mendapat apa yang kami perlu cari

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) sebagai terbitan sinus mengikut jadual terbitan, kemudian f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (). x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) sebagai terbitan bagi fungsi kuasa, kemudian f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) sebagai terbitan logaritma, kemudian f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3" (f 4 (x)) sebagai terbitan arctangent, kemudian f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Apabila mencari terbitan f 4 (x) = 2 x, keluarkan 2 daripada tanda terbitan menggunakan formula untuk terbitan fungsi kuasa dengan eksponen bersamaan dengan 1, kemudian f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Kami menggabungkan keputusan pertengahan dan mendapatkannya

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analisis fungsi sedemikian mengingatkan anak patung bersarang. Peraturan pembezaan tidak boleh selalu digunakan secara eksplisit menggunakan jadual terbitan. Selalunya anda perlu menggunakan formula untuk mencari derivatif fungsi kompleks.

Terdapat beberapa perbezaan antara rupa kompleks dan fungsi kompleks. Dengan keupayaan yang jelas untuk membezakan ini, mencari derivatif akan menjadi sangat mudah.

Contoh 4

Ia adalah perlu untuk mempertimbangkan untuk memberikan contoh sedemikian. Jika terdapat fungsi bentuk y = t g 2 x + 3 t g x + 1, maka ia boleh dianggap sebagai fungsi kompleks bentuk g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Adalah jelas bahawa perlu menggunakan formula untuk derivatif kompleks:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Fungsi bentuk y = t g x 2 + 3 t g x + 1 tidak dianggap kompleks, kerana ia mempunyai hasil tambah t g x 2, 3 t g x dan 1. Walau bagaimanapun, t g x 2 dianggap sebagai fungsi kompleks, maka kita memperoleh fungsi kuasa dalam bentuk g (x) = x 2 dan f, iaitu fungsi tangen. Untuk melakukan ini, bezakan mengikut jumlah. Kami dapat itu

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Mari kita teruskan untuk mencari terbitan bagi fungsi kompleks (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Kami mendapat bahawa y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Fungsi jenis kompleks boleh dimasukkan ke dalam fungsi kompleks, dan fungsi kompleks itu sendiri boleh menjadi komponen fungsi jenis kompleks.

Contoh 5

Sebagai contoh, pertimbangkan fungsi kompleks dalam bentuk y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Fungsi ini boleh diwakili sebagai y = f (g (x)), di mana nilai f ialah fungsi logaritma asas 3, dan g (x) dianggap hasil tambah dua fungsi bentuk h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 dan k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Jelas sekali, y = f (h (x) + k (x)).

Pertimbangkan fungsi h(x). Ini ialah nisbah l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 kepada m (x) = e x 2 + 3 3

Kita mempunyai bahawa l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) ialah hasil tambah dua fungsi n (x) = x 2 + 7 dan p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , dengan p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) ialah fungsi kompleks dengan pekali berangka 3, dan p 1 ialah fungsi kubus, p 2 oleh fungsi kosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 oleh fungsi linear.

Kami mendapati bahawa m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) ialah hasil tambah dua fungsi q (x) = e x 2 dan r (x) = 3 3, di mana q (x) = q 1 (q 2 (x)) ialah fungsi kompleks, q 1 ialah fungsi dengan eksponen, q 2 (x) = x 2 ialah fungsi kuasa.

Ini menunjukkan bahawa h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Apabila berpindah ke ungkapan bentuk k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) = s (x) t (x), jelas bahawa fungsi itu dibentangkan dalam bentuk kompleks s (x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) dengan integer rasional t (x) = x 2 + 1, dengan s 1 ialah fungsi kuasa dua, dan s 2 (x) = ln x ialah logaritma dengan asas e .

Ia berikutan bahawa ungkapan itu akan mengambil bentuk k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Kemudian kita mendapat itu

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Berdasarkan struktur fungsi, ia menjadi jelas bagaimana dan apakah formula yang perlu digunakan untuk memudahkan ungkapan apabila membezakannya. Untuk membiasakan diri dengan masalah sedemikian dan untuk konsep penyelesaiannya, adalah perlu untuk beralih ke titik membezakan fungsi, iaitu, mencari derivatifnya.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Definisi. Biarkan fungsi \(y = f(x)\) ditakrifkan dalam selang tertentu yang mengandungi titik \(x_0\) di dalamnya. Mari kita berikan hujah kenaikan \(\Delta x \) supaya ia tidak meninggalkan selang ini. Mari cari kenaikan yang sepadan bagi fungsi \(\Delta y \) (apabila bergerak dari titik \(x_0 \) ke titik \(x_0 + \Delta x \)) dan gubah hubungan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Jika terdapat had kepada nisbah ini pada \(\Delta x \rightarrow 0\), maka had yang ditentukan dipanggil terbitan bagi suatu fungsi\(y=f(x) \) pada titik \(x_0 \) dan menandakan \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbol y sering digunakan untuk menunjukkan terbitan Perhatikan bahawa y" = f(x) ialah fungsi baharu, tetapi secara semula jadi berkaitan dengan fungsi y = f(x), ditakrifkan pada semua titik x di mana had di atas wujud . Fungsi ini dipanggil seperti ini: terbitan bagi fungsi y = f(x).

Makna geometri terbitan adalah seperti berikut. Jika boleh melukis tangen pada graf fungsi y = f(x) pada titik dengan absis x=a, yang tidak selari dengan paksi-y, maka f(a) menyatakan kecerunan tangen. :
\(k = f"(a)\)

Oleh kerana \(k = tg(a) \), maka kesamaan \(f"(a) = tan(a) \) adalah benar.

Sekarang mari kita tafsirkan definisi terbitan dari sudut kesamaan anggaran. Biarkan fungsi \(y = f(x)\) mempunyai terbitan pada titik tertentu \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ini bermakna berhampiran titik x kesamaan anggaran \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \lebih kurang f"(x) \), iaitu \(\Delta y \lebih kurang f"(x) \cdot\ Delta x\). Maksud bermakna kesamaan anggaran yang terhasil adalah seperti berikut: kenaikan fungsi adalah "hampir berkadar" dengan kenaikan hujah, dan pekali kekadaran ialah nilai terbitan pada titik x tertentu. Sebagai contoh, untuk fungsi \(y = x^2\) anggaran kesamaan \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) adalah sah. Jika kita menganalisis dengan teliti definisi derivatif, kita akan mendapati bahawa ia mengandungi algoritma untuk mencarinya.

Mari kita rumuskan.

Bagaimana untuk mencari terbitan bagi fungsi y = f(x)?

1. Betulkan nilai \(x\), cari \(f(x)\)
2. Berikan hujah \(x\) kenaikan \(\Delta x\), pergi ke titik baharu \(x+ \Delta x \), cari \(f(x+ \Delta x) \)
3. Cari kenaikan fungsi: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Cipta hubungan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kira $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Had ini ialah terbitan bagi fungsi pada titik x.

Jika fungsi y = f(x) mempunyai terbitan pada titik x, maka ia dipanggil boleh dibezakan pada titik x. Prosedur untuk mencari terbitan bagi fungsi y = f(x) dipanggil pembezaan fungsi y = f(x).

Mari kita bincangkan soalan berikut: bagaimanakah kesinambungan dan kebolehbezaan fungsi pada satu titik berkaitan antara satu sama lain?

Biarkan fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik x. Kemudian tangen boleh dilukis pada graf fungsi pada titik M(x; f(x)), dan, ingat, pekali sudut tangen adalah sama dengan f "(x). Graf sedemikian tidak boleh "pecah" pada titik M, iaitu fungsi mesti selanjar pada titik x.

Ini adalah hujah "hands-on". Mari kita berikan alasan yang lebih tegas. Jika fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik x, maka kesamaan anggaran \(\Delta y \anggaran f"(x) \cdot \Delta x\) dipegang. Jika dalam kesamaan ini \(\Delta x \) cenderung kepada sifar, maka \(\Delta y \) akan cenderung kepada sifar, dan ini adalah syarat untuk kesinambungan fungsi pada satu titik.

Jadi, jika fungsi boleh dibezakan pada titik x, maka ia berterusan pada titik itu.

Pernyataan sebaliknya adalah tidak benar. Contohnya: fungsi y = |x| adalah selanjar di mana-mana, khususnya pada titik x = 0, tetapi tangen kepada graf fungsi pada "titik simpang" (0; 0) tidak wujud. Jika pada satu ketika tangen tidak boleh ditarik ke graf fungsi, maka terbitan tidak wujud pada titik itu.

Contoh lain. Fungsi \(y=\sqrt(x)\) adalah selanjar pada keseluruhan garis nombor, termasuk pada titik x = 0. Dan tangen kepada graf fungsi wujud pada mana-mana titik, termasuk pada titik x = 0 Tetapi pada ketika ini tangen bertepatan dengan paksi-y, iaitu, ia berserenjang dengan paksi absis, persamaannya mempunyai bentuk x = 0. Pekali cerun baris sedemikian tidak mempunyai, yang bermaksud bahawa \(f"(0) \) tidak wujud sama ada

Jadi, kami berkenalan dengan sifat baharu sesuatu fungsi - kebolehbezaan. Bagaimanakah seseorang boleh membuat kesimpulan daripada graf fungsi bahawa ia boleh dibezakan?

Jawapan sebenarnya diberikan di atas. Jika pada satu ketika adalah mungkin untuk melukis tangen pada graf fungsi yang tidak berserenjang dengan paksi absis, maka pada ketika ini fungsi itu boleh dibezakan. Jika pada satu ketika tangen kepada graf fungsi tidak wujud atau ia berserenjang dengan paksi absis, maka pada ketika ini fungsi itu tidak boleh dibezakan.

Peraturan pembezaan

Operasi mencari derivatif dipanggil pembezaan. Apabila melakukan operasi ini, anda selalunya perlu bekerja dengan hasil bagi, hasil tambah, hasil darab fungsi, serta "fungsi fungsi," iaitu fungsi kompleks. Berdasarkan definisi derivatif, kita boleh memperoleh peraturan pembezaan yang memudahkan kerja ini. Jika C ialah nombor tetap dan f=f(x), g=g(x) ialah beberapa fungsi boleh dibezakan, maka yang berikut adalah benar peraturan pembezaan:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \kanan) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Terbitan bagi fungsi kompleks:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Jadual terbitan beberapa fungsi

$$ \kiri(\frac(1)(x) \kanan) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \kiri(x^a \kanan) " = a x^(a-1) $$ $$ \kiri(a^x \kanan) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \kiri(e^x \kanan) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Jika anda mengikut takrifan, maka terbitan fungsi pada satu titik ialah had nisbah pertambahan fungsi Δ y kepada pertambahan hujah Δ x:

Semuanya nampak jelas. Tetapi cuba gunakan formula ini untuk mengira, katakan, terbitan fungsi f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x dosa x. Jika anda melakukan segala-galanya mengikut definisi, maka selepas beberapa halaman pengiraan anda hanya akan tertidur. Oleh itu, terdapat cara yang lebih mudah dan berkesan.

Sebagai permulaan, kita perhatikan bahawa daripada keseluruhan pelbagai fungsi kita boleh membezakan apa yang dipanggil fungsi asas. Ini adalah ungkapan yang agak mudah, derivatifnya telah lama dikira dan dijadualkan. Fungsi sedemikian agak mudah diingat - bersama dengan terbitannya.

Terbitan bagi fungsi asas

Fungsi asas adalah semua yang disenaraikan di bawah. Derivatif fungsi ini mesti diketahui dengan hati. Lebih-lebih lagi, tidak sukar untuk menghafalnya - itulah sebabnya mereka masih rendah.

Jadi, derivatif fungsi asas:

Nama	Fungsi	Derivatif
tetap	f(x) = C, C ∈ R	0 (ya, sifar!)
Kuasa dengan eksponen rasional	f(x) = x n	n · x n − 1
Resdung	f(x) = dosa x	cos x
kosinus	f(x) = cos x	−dosa x(tolak sinus)
Tangen	f(x) = tg x	1/kos 2 x
Kotangen	f(x) = ctg x	− 1/dosa 2 x
Logaritma semula jadi	f(x) = log x	1/x
Logaritma sewenang-wenangnya	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Fungsi eksponen	f(x) = e x	e x(tiada apa yang berubah)

Jika fungsi asas didarabkan dengan pemalar arbitrari, maka terbitan fungsi baharu juga mudah dikira:

(C · f)’ = C · f ’.

Secara umum, pemalar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan. Contohnya:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Jelas sekali, fungsi asas boleh ditambah antara satu sama lain, didarab, dibahagikan - dan banyak lagi. Beginilah cara fungsi baharu akan muncul, bukan lagi asas, tetapi juga dibezakan mengikut peraturan tertentu. Peraturan ini dibincangkan di bawah.

Terbitan jumlah dan perbezaan

Biarkan fungsi diberikan f(x) Dan g(x), derivatif yang diketahui oleh kami. Sebagai contoh, anda boleh mengambil fungsi asas yang dibincangkan di atas. Kemudian anda boleh mencari derivatif jumlah dan perbezaan fungsi ini:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Jadi, terbitan hasil tambah (perbezaan) dua fungsi adalah sama dengan jumlah (perbezaan) derivatif. Mungkin ada lagi istilah. Contohnya, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Tegasnya, tiada konsep "tolak" dalam algebra. Terdapat konsep "elemen negatif". Oleh itu perbezaannya f − g boleh ditulis semula sebagai jumlah f+ (−1) g, dan kemudian hanya tinggal satu formula - terbitan hasil tambah.

f(x) = x 2 + dosa x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Fungsi f(x) ialah jumlah dua fungsi asas, oleh itu:

f ’(x) = (x 2 + dosa x)’ = (x 2)’ + (dosa x)’ = 2x+ cos x;

Kami membuat alasan yang sama untuk fungsi tersebut g(x). Hanya sudah ada tiga istilah (dari sudut pandangan algebra):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Jawapan:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivatif produk

Matematik adalah sains logik, begitu ramai orang percaya bahawa jika terbitan jumlah adalah sama dengan jumlah terbitan, maka terbitan hasil mogok">sama dengan hasil derivatif. Tetapi kacau anda! Derivatif produk dikira menggunakan formula yang sama sekali berbeza. Iaitu:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formulanya mudah, tetapi ia sering dilupakan. Dan bukan sahaja pelajar sekolah, tetapi juga pelajar. Hasilnya adalah masalah diselesaikan secara salah.

Tugasan. Cari derivatif fungsi: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Fungsi f(x) ialah hasil daripada dua fungsi asas, jadi semuanya mudah:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (kos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− dosa x) = x 2 (3 cos x − x dosa x)

Fungsi g(x) pengganda pertama adalah sedikit lebih rumit, tetapi skema umum tidak berubah. Jelas sekali, faktor pertama fungsi g(x) ialah polinomial dan terbitannya ialah terbitan hasil tambah. Kami ada:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Jawapan:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x dosa x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Sila ambil perhatian bahawa pada langkah terakhir terbitan difaktorkan. Secara rasmi, ini tidak perlu dilakukan, tetapi kebanyakan derivatif tidak dikira sendiri, tetapi untuk memeriksa fungsi. Ini bermakna bahawa derivatif selanjutnya akan disamakan dengan sifar, tanda-tandanya akan ditentukan, dan seterusnya. Untuk kes sedemikian, adalah lebih baik untuk mempunyai ungkapan yang difaktorkan.

Jika terdapat dua fungsi f(x) Dan g(x), dan g(x) ≠ 0 pada set yang kita minati, kita boleh menentukan fungsi baru h(x) = f(x)/g(x). Untuk fungsi sedemikian, anda juga boleh mencari derivatif:

Tidak lemah, bukan? Dari mana datangnya tolak? kenapa g 2? Dan begitulah! Ini adalah antara yang paling banyak formula kompleks- Anda tidak boleh memikirkannya tanpa botol. Oleh itu, adalah lebih baik untuk mengkajinya contoh khusus.

Tugasan. Cari derivatif fungsi:

Pengangka dan penyebut setiap pecahan mengandungi fungsi asas, jadi yang kita perlukan hanyalah formula untuk terbitan hasil bagi:

Menurut tradisi, mari kita memfaktorkan pengangka - ini akan memudahkan jawapannya:

Fungsi kompleks tidak semestinya formula sepanjang setengah kilometer. Sebagai contoh, sudah cukup untuk mengambil fungsi f(x) = dosa x dan menggantikan pembolehubah x, katakan, pada x 2 + ln x. Ia akan berjaya f(x) = dosa ( x 2 + ln x) - ini adalah fungsi yang kompleks. Ia juga mempunyai terbitan, tetapi tidak akan dapat mencarinya menggunakan peraturan yang dibincangkan di atas.

Apa yang patut saya buat? Dalam kes sedemikian, menggantikan pembolehubah dan formula untuk terbitan fungsi kompleks membantu:

f ’(x) = f ’(t) · t', Jika x digantikan dengan t(x).

Sebagai peraturan, situasi dengan memahami formula ini adalah lebih menyedihkan daripada dengan terbitan hasil bagi. Oleh itu, adalah lebih baik untuk menerangkannya dengan contoh-contoh khusus, dengan penerangan terperinci setiap langkah.

Tugasan. Cari derivatif fungsi: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = dosa ( x 2 + ln x)

Perhatikan bahawa jika dalam fungsi f(x) bukannya ungkapan 2 x+ 3 akan menjadi mudah x, maka ia akan berjaya fungsi asas f(x) = e x. Oleh itu, kami membuat penggantian: biarkan 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Kami mencari derivatif fungsi kompleks menggunakan formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Dan sekarang - perhatian! Kami melakukan penggantian terbalik: t = 2x+ 3. Kami mendapat:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Sekarang mari kita lihat fungsinya g(x). Jelas sekali ia perlu diganti x 2 + ln x = t. Kami ada:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (dosa t)’ · t’ = cos t · t ’

Penggantian terbalik: t = x 2 + ln x. Kemudian:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Itu sahaja! Seperti yang dapat dilihat daripada ungkapan terakhir, keseluruhan masalah telah dikurangkan kepada pengiraan jumlah terbitan.

Jawapan:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Selalunya dalam pelajaran saya, bukannya istilah "terbitan", saya menggunakan perkataan "utama." Sebagai contoh, perdana daripada jumlah sama dengan jumlah pukulan. Adakah itu lebih jelas? Nah, itu bagus.

Oleh itu, pengiraan derivatif adalah untuk menyingkirkan pukulan yang sama ini mengikut peraturan yang dibincangkan di atas. Sebagai contoh terakhir, mari kita kembali kepada kuasa terbitan dengan eksponen rasional:

(x n)’ = n · x n − 1

Hanya sedikit orang yang tahu bahawa dalam peranan n boleh bertindak nombor pecahan. Sebagai contoh, akarnya ialah x 0.5. Bagaimana jika ada sesuatu yang mewah di bawah akarnya? Sekali lagi, hasilnya akan menjadi fungsi yang kompleks - mereka suka memberikan pembinaan sedemikian ujian dan peperiksaan.

Tugasan. Cari terbitan bagi fungsi:

Pertama, mari kita tulis semula akar sebagai kuasa dengan eksponen rasional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sekarang kita buat pengganti: biarkan x 2 + 8x − 7 = t. Kami mencari derivatif menggunakan formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)’ · t’ = 0.5 · t−0.5 · t ’.

Mari lakukan penggantian terbalik: t = x 2 + 8x− 7. Kami ada:

f ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Akhirnya, kembali ke akar umbi:

Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang konsep matematik yang penting sebagai fungsi kompleks, dan belajar cara mencari terbitan bagi fungsi kompleks.

Sebelum belajar mencari terbitan bagi fungsi kompleks, mari kita fahami konsep fungsi kompleks, apakah itu, "dengan apa ia dimakan," dan "cara memasaknya dengan betul."

Pertimbangkan fungsi sewenang-wenangnya, sebagai contoh, yang ini:

Ambil perhatian bahawa hujah di sebelah kanan dan kiri persamaan fungsi ialah nombor atau ungkapan yang sama.

Daripada pembolehubah, kita boleh meletakkan, sebagai contoh, ungkapan berikut: . Dan kemudian kita mendapat fungsi

Mari kita panggil ungkapan sebagai hujah perantaraan, dan fungsi sebagai fungsi luar. Ini bukan konsep matematik yang ketat, tetapi ia membantu memahami maksud konsep fungsi kompleks.

Takrifan ketat konsep fungsi kompleks berbunyi seperti ini:

Biarkan fungsi ditakrifkan pada set dan menjadi set nilai fungsi ini. Biarkan set (atau subsetnya) menjadi domain takrifan fungsi. Mari kita berikan nombor kepada setiap daripada mereka. Oleh itu, fungsi akan ditakrifkan pada set. Ia dipanggil komposisi fungsi atau fungsi kompleks.

Dalam takrifan ini, jika kita menggunakan istilah kita, fungsi luaran ialah hujah perantaraan.

Terbitan bagi fungsi kompleks didapati mengikut peraturan berikut:

Untuk menjadikannya lebih jelas, saya suka menulis peraturan ini seperti berikut:

Dalam ungkapan ini, menggunakan menandakan fungsi perantaraan.

Jadi. Untuk mencari terbitan bagi fungsi kompleks, anda perlukan

1. Tentukan fungsi luar dan cari terbitan yang sepadan daripada jadual terbitan.

2. Tentukan hujah perantaraan.

Dalam prosedur ini, kesukaran yang paling besar ialah mencari fungsi luaran. Algoritma mudah digunakan untuk ini:

A. Tuliskan persamaan fungsi tersebut.

b. Bayangkan anda perlu mengira nilai fungsi untuk beberapa nilai x. Untuk melakukan ini, anda menggantikan nilai x ini ke dalam persamaan fungsi dan menghasilkan operasi aritmetik. Tindakan terakhir yang anda lakukan ialah fungsi luaran.

Sebagai contoh, dalam fungsi

Tindakan terakhir ialah eksponen.

Mari cari terbitan bagi fungsi ini. Untuk melakukan ini, kami menulis hujah perantaraan

Bukti formula untuk terbitan fungsi kompleks diberikan. Kes apabila fungsi kompleks bergantung pada satu atau dua pembolehubah dipertimbangkan secara terperinci. Generalisasi dibuat kepada kes bilangan pembolehubah yang sewenang-wenangnya.

Di sini kami menyediakan terbitan formula berikut untuk terbitan fungsi kompleks.
Jika , maka
.
Jika , maka
.
Jika , maka
.

Terbitan fungsi kompleks daripada satu pembolehubah

Biarkan fungsi pembolehubah x diwakili sebagai fungsi kompleks dalam bentuk berikut:
,
di mana terdapat beberapa fungsi. Fungsi ini boleh dibezakan untuk beberapa nilai pembolehubah x.
Fungsi ini boleh dibezakan pada nilai pembolehubah.
(1) .

Kemudian fungsi kompleks (komposit) boleh dibezakan pada titik x dan terbitannya ditentukan oleh formula:
;
.

Formula (1) juga boleh ditulis seperti berikut:

Bukti
;
.
Mari kita perkenalkan notasi berikut.

Di sini terdapat fungsi pembolehubah dan , terdapat fungsi pembolehubah dan .
;
.

Tetapi kita akan meninggalkan hujah-hujah fungsi ini supaya tidak mengacaukan pengiraan.
.
Oleh kerana fungsi dan boleh dibezakan pada titik x dan , masing-masing, maka pada titik ini terdapat terbitan bagi fungsi ini, iaitu had berikut:
.
Pertimbangkan fungsi berikut:
.

Untuk nilai tetap pembolehubah u, ialah fungsi .
.
Pertimbangkan fungsi berikut:
.

Ia adalah jelas bahawa

.

Kemudian

Oleh kerana fungsi itu ialah fungsi boleh dibezakan pada titik itu, ia berterusan pada titik itu. sebab tu

Sekarang kita dapati derivatifnya.
,
Formulanya terbukti.
.
Akibat

Jika fungsi pembolehubah x boleh diwakili sebagai fungsi kompleks bagi fungsi kompleks
maka terbitannya ditentukan oleh formula
.
Di sini , dan terdapat beberapa fungsi yang boleh dibezakan.
.
Untuk membuktikan formula ini, kita mengira secara berurutan derivatif menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks.
.
Di sini , dan terdapat beberapa fungsi yang boleh dibezakan.
.

Pertimbangkan fungsi kompleks

Derivatifnya Pertimbangkan fungsi asal.

Terbitan fungsi kompleks daripada dua pembolehubah
,
Sekarang biarkan fungsi kompleks bergantung pada beberapa pembolehubah. Mula-mula mari kita lihat
kes fungsi kompleks dua pembolehubah
Biarkan fungsi bergantung pada pembolehubah x diwakili sebagai fungsi kompleks dua pembolehubah dalam bentuk berikut:
(2) .

Formula (1) juga boleh ditulis seperti berikut:

di mana
;
.
dan terdapat fungsi boleh beza untuk beberapa nilai pembolehubah x;
;
.
- fungsi dua pembolehubah, boleh dibezakan pada titik , .
;
.

Kemudian fungsi kompleks ditakrifkan dalam kejiranan tertentu titik dan mempunyai derivatif, yang ditentukan oleh formula:
(3) .
dan terdapat fungsi boleh beza untuk beberapa nilai pembolehubah x;

Oleh kerana fungsi dan boleh dibezakan pada titik, ia ditakrifkan dalam kejiranan tertentu pada titik ini, adalah berterusan pada titik, dan terbitannya wujud pada titik, iaitu had berikut:
;

- terbitan separa bagi fungsi berkenaan dengan pembolehubah dan .
Untuk nilai tetap dan , dan merupakan fungsi pembolehubah dan .
;
.
Mereka cenderung kepada sifar pada dan:
;
.

Sejak dan , kemudian

. :
.
Kenaikan fungsi:



.

Kemudian

Mari kita gantikan (3):

Terbitan fungsi kompleks daripada beberapa pembolehubah

Kesimpulan di atas dengan mudah boleh digeneralisasikan kepada kes apabila bilangan pembolehubah fungsi kompleks adalah lebih daripada dua. Contohnya, jika f ialah fungsi tiga pembolehubah
,
Sekarang biarkan fungsi kompleks bergantung pada beberapa pembolehubah. Mula-mula mari kita lihat
, Itu
, dan terdapat fungsi boleh dibezakan untuk beberapa nilai pembolehubah x;
- fungsi boleh beza bagi tiga pembolehubah pada titik , , .
(4)
.
Kemudian, daripada definisi kebolehbezaan fungsi, kita mempunyai:
; ; ,
Kerana, kerana kesinambungan,
;
;
.

Itu
.

Membahagikan (4) dengan dan melepasi had, kami memperoleh: Dan akhirnya, mari kita pertimbangkan.
kes yang paling umum
,
Sekarang biarkan fungsi kompleks bergantung pada beberapa pembolehubah. Mula-mula mari kita lihat
Biarkan fungsi pembolehubah x diwakili sebagai fungsi kompleks bagi n pembolehubah dalam bentuk berikut:
terdapat fungsi boleh beza untuk beberapa nilai pembolehubah x;
, , ... , .
Pertimbangkan fungsi berikut:
.