Logaritma tiga kepada asas 2. Logaritma. Definisi logaritma binari, logaritma asli, logaritma perpuluhan; fungsi eksponen exp(x), nombor e. Log, Ln. Formula kuasa dan logaritma. Menggunakan logaritma, desibel

1.1. Menentukan eksponen bagi eksponen integer

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N kali

1.2. Ijazah sifar.

Secara takrifan, secara amnya diterima bahawa kuasa sifar mana-mana nombor ialah 1:

1.3. Ijazah negatif.

X -N = 1/X N

1.4. Kuasa pecahan, akar.

X 1/N = N punca X.

Contohnya: X 1/2 = √X.

1.5. Formula untuk menambah kuasa.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Formula untuk tolak kuasa.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Formula untuk mendarab kuasa.

X N*M = (X N) M

1.8. Formula untuk menaikkan pecahan kepada kuasa.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Nombor e.

Nilai nombor e adalah sama dengan had berikut:

E = lim(1+1/N), sebagai N → ∞.

Dengan ketepatan 17 digit, nombor e ialah 2.71828182845904512.

3. Persamaan Euler.

Kesamaan ini menghubungkan lima nombor yang memainkan peranan khas dalam matematik: 0, 1, e, pi, unit khayalan.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Fungsi eksponen exp(x)

exp(x) = e x

5. Terbitan fungsi eksponen

Fungsi eksponen mempunyai sifat yang luar biasa: derivatif fungsi adalah sama dengan fungsi eksponen itu sendiri:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logaritma.

6.1. Definisi fungsi logaritma

Jika x = b y, maka logaritma ialah fungsinya

Y = Log b(x).

Logaritma menunjukkan berapa kuasa suatu nombor mesti dinaikkan - asas logaritma (b) untuk mendapatkan nombor tertentu (X). Fungsi logaritma ditakrifkan untuk X lebih besar daripada sifar.

Contohnya: Log 10 (100) = 2.

6.2. Logaritma perpuluhan

Ini ialah logaritma kepada asas 10:

Y = Log 10 (x) .

Ditandakan dengan Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Contoh penggunaan logaritma perpuluhan ialah desibel.

6.3. desibel

Item diserlahkan pada halaman yang berasingan Decibel

6.4. Logaritma binari

Ini ialah logaritma asas 2:

Y = Log 2 (x).

Ditandakan dengan Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Logaritma semula jadi

Ini ialah logaritma kepada asas e:

Y = Log e (x) .

Ditandakan dengan Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Logaritma asli ialah fungsi songsang bagi fungsi eksponen exp(X).

6.6. Titik ciri

Loga(1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Formula logaritma produk

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Formula untuk logaritma hasil bagi

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Logaritma formula kuasa

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Formula untuk menukar kepada logaritma dengan asas yang berbeza

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Contoh:

Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formula berguna dalam kehidupan

Selalunya terdapat masalah menukar isipadu kepada luas atau panjang dan masalah songsang - menukarkan kawasan kepada isipadu. Sebagai contoh, papan dijual dalam kiub (meter padu), dan kita perlu mengira berapa luas dinding yang boleh ditutup dengan papan yang terkandung dalam jumlah tertentu, lihat pengiraan papan, berapa banyak papan dalam kiub. Atau, jika dimensi dinding diketahui, anda perlu mengira bilangan bata, lihat pengiraan bata.

Ia dibenarkan untuk menggunakan bahan tapak dengan syarat pautan aktif ke sumber dipasang.

Apabila masyarakat berkembang dan pengeluaran menjadi lebih kompleks, matematik juga berkembang. Pergerakan daripada mudah kepada kompleks. Daripada perakaunan biasa menggunakan kaedah tambah dan tolak, dengan pengulangan berulang, kami sampai kepada konsep pendaraban dan pembahagian. Mengurangkan operasi pendaraban berulang menjadi konsep eksponen. Jadual pertama pergantungan nombor pada asas dan bilangan eksponen telah disusun semula pada abad ke-8 oleh ahli matematik India Varasena. Daripada mereka anda boleh mengira masa berlakunya logaritma.

Lakaran sejarah

Kebangkitan Eropah pada abad ke-16 turut merangsang perkembangan mekanik. T memerlukan jumlah pengiraan yang besar berkaitan dengan pendaraban dan pembahagian nombor berbilang digit. Meja-meja kuno adalah perkhidmatan yang hebat. Mereka memungkinkan untuk menggantikan operasi kompleks dengan yang lebih mudah - penambahan dan penolakan. Satu langkah besar ke hadapan ialah karya ahli matematik Michael Stiefel, yang diterbitkan pada tahun 1544, di mana dia menyedari idea ramai ahli matematik. Ini memungkinkan untuk menggunakan jadual bukan sahaja untuk kuasa dalam bentuk nombor perdana, tetapi juga untuk yang rasional sewenang-wenangnya.

Pada tahun 1614, John Napier Scotsman, mengembangkan idea-idea ini, mula-mula memperkenalkan istilah baru "logaritma nombor." Jadual kompleks baharu telah disusun untuk mengira logaritma sinus dan kosinus, serta tangen. Ini sangat mengurangkan kerja ahli astronomi.

Jadual baru mula muncul, yang berjaya digunakan oleh saintis selama tiga abad. Banyak masa berlalu sebelum operasi baharu dalam algebra memperoleh bentuk siapnya. Takrifan logaritma telah diberikan dan sifatnya dikaji.

Hanya pada abad ke-20, dengan kemunculan kalkulator dan komputer, manusia meninggalkan jadual kuno yang telah berjaya berfungsi sepanjang abad ke-13.

Hari ini kita memanggil logaritma b untuk asas a nombor x iaitu kuasa a untuk membuat b. Ini ditulis sebagai formula: x = log a(b).

Sebagai contoh, log 3(9) akan bersamaan dengan 2. Ini jelas jika anda mengikut definisi. Jika kita menaikkan 3 kepada kuasa 2, kita mendapat 9.

Oleh itu, definisi yang dirumus menetapkan hanya satu sekatan: nombor a dan b mestilah nyata.

Jenis-jenis logaritma

Takrif klasik dipanggil logaritma sebenar dan sebenarnya merupakan penyelesaian kepada persamaan a x = b. Pilihan a = 1 adalah sempadan dan tidak menarik. Perhatian: 1 kepada mana-mana kuasa adalah sama dengan 1.

Nilai sebenar logaritma ditakrifkan hanya apabila asas dan hujah lebih besar daripada 0, dan asas tidak boleh sama dengan 1.

Tempat istimewa dalam bidang matematik mainkan logaritma, yang akan dinamakan bergantung pada saiz pangkalannya:

Peraturan dan sekatan

Sifat asas logaritma ialah peraturan: logaritma produk adalah sama dengan jumlah logaritma. log abp = log a(b) + log a(p).

Sebagai varian pernyataan ini akan ada: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), fungsi hasil adalah sama dengan perbezaan fungsi.

Daripada dua peraturan sebelumnya adalah mudah untuk melihat bahawa: log a(b p) = p * log a(b).

Harta lain termasuk:

Komen. Jangan buat kesilapan biasa - logaritma jumlahnya tidak sama dengan jumlah logaritma.

Selama berabad-abad, operasi mencari logaritma adalah tugas yang agak memakan masa. Ahli matematik menggunakan formula yang terkenal bagi teori logaritma pengembangan polinomial:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), di mana n - nombor asli lebih besar daripada 1, yang menentukan ketepatan pengiraan.

Logaritma dengan tapak lain dikira menggunakan teorem tentang peralihan dari satu tapak ke tapak yang lain dan sifat logaritma hasil darab.

Oleh kerana kaedah ini sangat intensif buruh dan semasa menyelesaikan masalah praktikal sukar untuk dilaksanakan, kami menggunakan jadual logaritma yang telah disusun sebelumnya, yang mempercepatkan semua kerja dengan ketara.

Dalam sesetengah kes, graf logaritma yang direka khas telah digunakan, yang memberikan kurang ketepatan, tetapi dengan ketara mempercepatkan carian untuk nilai yang dikehendaki. Lengkung fungsi y = log a(x), dibina di atas beberapa titik, membolehkan anda menggunakan pembaris biasa untuk mencari nilai fungsi pada mana-mana titik lain. Untuk masa yang lama, jurutera menggunakan kertas graf yang dipanggil untuk tujuan ini.

Pada abad ke-17, keadaan pengkomputeran analog tambahan pertama muncul, yang abad ke-19 memperoleh rupa yang telah siap. Peranti yang paling berjaya dipanggil peraturan slaid. Walaupun kesederhanaan peranti, penampilannya dengan ketara mempercepatkan proses semua pengiraan kejuruteraan, dan ini sukar untuk dipandang tinggi. Pada masa ini, beberapa orang biasa dengan peranti ini.

Kemunculan kalkulator dan komputer menjadikan penggunaan mana-mana peranti lain menjadi sia-sia.

Persamaan dan ketaksamaan

Untuk menyelesaikan pelbagai persamaan dan ketaksamaan menggunakan logaritma, formula berikut digunakan:

• Peralihan dari satu pangkalan ke pangkalan lain: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Akibat daripada pilihan sebelumnya: log a(b) = 1 / log b(a).

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan adalah berguna untuk mengetahui:

• Nilai logaritma akan menjadi positif hanya jika asas dan hujah kedua-duanya lebih besar atau kurang daripada satu; jika sekurang-kurangnya satu syarat dilanggar, nilai logaritma akan menjadi negatif.
• Jika fungsi logaritma digunakan pada bahagian kanan dan kiri ketaksamaan, dan asas logaritma lebih besar daripada satu, maka tanda ketaksamaan itu dikekalkan; jika tidak ia berubah.

Masalah contoh

Mari kita pertimbangkan beberapa pilihan untuk menggunakan logaritma dan sifatnya. Contoh dengan menyelesaikan persamaan:

Pertimbangkan pilihan untuk meletakkan logaritma dalam kuasa:

• Masalah 3. Kira 25^log 5(3). Penyelesaian: dalam keadaan masalah, entri adalah serupa dengan yang berikut (5^2)^log5(3) atau 5^(2 * log 5(3)). Mari kita tuliskannya secara berbeza: 5^log 5(3*2), atau kuasa dua nombor sebagai hujah fungsi boleh ditulis sebagai kuasa dua bagi fungsi itu sendiri (5^log 5(3))^2. Menggunakan sifat logaritma, ungkapan ini bersamaan dengan 3^2. Jawapan: hasil pengiraan kita dapat 9.

Penggunaan praktikal

Sebagai alat matematik semata-mata, ia kelihatan jauh dari kehidupan sebenar bahawa logaritma tiba-tiba diperolehi sangat penting untuk menerangkan objek dunia sebenar. Sukar untuk mencari ilmu yang tidak digunakan. Ini terpakai sepenuhnya bukan sahaja untuk alam semula jadi, tetapi juga untuk bidang pengetahuan kemanusiaan.

Kebergantungan logaritma

Berikut ialah beberapa contoh kebergantungan berangka:

Mekanik dan fizik

Dari segi sejarah, mekanik dan fizik sentiasa berkembang menggunakan kaedah penyelidikan matematik dan pada masa yang sama berfungsi sebagai insentif untuk pembangunan matematik, termasuk logaritma. Teori kebanyakan undang-undang fizik ditulis dalam bahasa matematik. Mari kita berikan hanya dua contoh untuk menerangkan hukum fizik menggunakan logaritma.

Masalah pengiraan kuantiti yang kompleks seperti kelajuan roket boleh diselesaikan dengan menggunakan formula Tsiolkovsky, yang meletakkan asas bagi teori penerokaan angkasa lepas:

V = I * ln (M1/M2), di mana

• V ialah kelajuan akhir pesawat.
• I – impuls spesifik enjin.
• M 1 – jisim awal roket.
• M 2 – jisim akhir.

Satu lagi contoh penting- ini digunakan dalam formula seorang lagi saintis hebat Max Planck, yang berfungsi untuk menilai keadaan keseimbangan dalam termodinamik.

S = k * ln (Ω), di mana

• S – sifat termodinamik.
• k – Pemalar Boltzmann.
• Ω ialah berat statistik bagi keadaan yang berbeza.

Kimia

Kurang jelas ialah penggunaan formula dalam kimia yang mengandungi nisbah logaritma. Mari kita berikan hanya dua contoh:

• Persamaan Nernst, keadaan potensi redoks medium berhubung dengan aktiviti bahan dan pemalar keseimbangan.
• Pengiraan pemalar seperti indeks autolisis dan keasidan larutan juga tidak boleh dilakukan tanpa fungsi kita.

Psikologi dan biologi

Dan ia sama sekali tidak jelas apa kaitan psikologi dengannya. Ternyata kekuatan sensasi digambarkan dengan baik oleh fungsi ini sebagai nisbah songsang nilai intensiti rangsangan kepada nilai intensiti yang lebih rendah.

Selepas contoh di atas, tidak hairan lagi topik logaritma digunakan secara meluas dalam biologi. Keseluruhan jilid boleh ditulis tentang bentuk biologi yang sepadan dengan lingkaran logaritma.

Kawasan lain

Nampaknya kewujudan dunia adalah mustahil tanpa kaitan dengan fungsi ini, dan ia memerintah semua undang-undang. Lebih-lebih lagi apabila undang-undang alam berkaitan dengan janjang geometri. Perlu beralih ke laman web MatProfi, dan terdapat banyak contoh seperti itu kawasan berikut aktiviti:

Senarai itu boleh menjadi tidak berkesudahan. Setelah menguasai prinsip asas fungsi ini, anda boleh terjun ke dunia kebijaksanaan yang tidak terhingga.

Logaritma nombor b (b > 0) kepada asas a (a > 0, a ≠ 1)– eksponen yang nombor a mesti dinaikkan untuk mendapatkan b.

Logaritma asas 10 b boleh ditulis sebagai log(b), dan logaritma kepada asas e (logaritma semula jadi) ialah ln(b).

Selalunya digunakan semasa menyelesaikan masalah dengan logaritma:

Sifat logaritma

Terdapat empat utama sifat logaritma.

Biarkan a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0.

Sifat 1. Logaritma hasil

Logaritma produk sama dengan jumlah logaritma:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Harta 2. Logaritma hasil bagi

Logaritma hasil bagi sama dengan perbezaan logaritma:

log a (x / y) = log a x – log a y

Harta 3. Logaritma kuasa

Logaritma darjah sama dengan hasil darab kuasa dan logaritma:

Jika asas logaritma adalah dalam darjah, maka formula lain digunakan:

Sifat 4. Logaritma punca

Sifat ini boleh didapati daripada sifat logaritma kuasa, kerana punca ke-n kuasa adalah sama dengan kuasa 1/n:

Formula untuk menukar daripada logaritma dalam satu asas kepada logaritma dalam asas lain

Formula ini juga sering digunakan semasa menyelesaikan pelbagai tugasan pada logaritma:

Kes istimewa:

Membandingkan logaritma (ketaksamaan)

Mari kita mempunyai 2 fungsi f(x) dan g(x) di bawah logaritma dengan asas yang sama dan di antara mereka terdapat tanda ketaksamaan:

Untuk membandingkannya, anda perlu terlebih dahulu melihat asas logaritma a:

• Jika a > 0, maka f(x) > g(x) > 0
• Jika 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Bagaimana untuk menyelesaikan masalah dengan logaritma: contoh

Masalah dengan logaritma termasuk dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik untuk gred 11 dalam tugasan 5 dan tugasan 7, anda boleh mencari tugasan dengan penyelesaian di laman web kami di bahagian yang sesuai. Juga, tugasan dengan logaritma ditemui dalam bank tugas matematik. Anda boleh mencari semua contoh dengan mencari tapak.

Apakah itu logaritma

Logaritma sentiasa dipertimbangkan topik yang kompleks dalam kursus matematik sekolah. Terdapat banyak definisi logaritma yang berbeza, tetapi atas sebab tertentu kebanyakan buku teks menggunakan yang paling kompleks dan tidak berjaya.

Kami akan mentakrifkan logaritma dengan mudah dan jelas. Untuk melakukan ini, mari buat jadual:

Jadi, kita ada kuasa dua.

Logaritma - sifat, formula, cara menyelesaikan

Jika anda mengambil nombor dari baris bawah, anda boleh dengan mudah mencari kuasa yang anda perlu menaikkan dua untuk mendapatkan nombor ini. Sebagai contoh, untuk mendapatkan 16, anda perlu menaikkan dua kepada kuasa keempat. Dan untuk mendapatkan 64, anda perlu menaikkan dua kepada kuasa keenam. Ini boleh dilihat dari jadual.

Dan sekarang - sebenarnya, takrifan logaritma:

asas a bagi hujah x ialah kuasa yang nombor a mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor x.

Penetapan: log a x = b, di mana a ialah asas, x ialah hujah, b ialah logaritma sebenarnya sama dengannya.

Contohnya, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (logaritma asas 2 bagi 8 ialah tiga kerana 2 3 = 8). Dengan kejayaan yang sama, log 2 64 = 6, kerana 2 6 = 64.

Operasi mencari logaritma nombor kepada asas tertentu dipanggil. Jadi, mari tambah baris baharu pada jadual kami:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Malangnya, tidak semua logaritma dikira dengan begitu mudah. Sebagai contoh, cuba cari log 2 5. Nombor 5 tiada dalam jadual, tetapi logik menentukan bahawa logaritma akan terletak di suatu tempat pada selang. Kerana 2 2< 5 < 2 3 , а чем lebih ijazah dua, lebih besar bilangannya.

Nombor sedemikian dipanggil tidak rasional: nombor selepas titik perpuluhan boleh ditulis ad infinitum, dan ia tidak pernah berulang. Jika logaritma ternyata tidak rasional, lebih baik biarkan seperti itu: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Adalah penting untuk memahami bahawa logaritma ialah ungkapan dengan dua pembolehubah (asas dan hujah). Pada mulanya, ramai yang keliru di mana asasnya dan di mana hujahnya. Untuk mengelakkan salah faham yang menjengkelkan, lihat sahaja gambar:

Di hadapan kita tidak lebih daripada definisi logaritma. Ingat: logaritma ialah kuasa, di mana pangkalan mesti dibina untuk mendapatkan hujah. Ia adalah pangkalan yang dinaikkan kepada kuasa - ia diserlahkan dengan warna merah dalam gambar. Ternyata asasnya sentiasa di bawah! Saya memberitahu pelajar saya peraturan indah ini pada pelajaran pertama - dan tiada kekeliruan timbul.

Cara mengira logaritma

Kami telah mengetahui definisinya - yang tinggal hanyalah mempelajari cara mengira logaritma, i.e. buang tanda "log". Sebagai permulaan, kami perhatikan bahawa dua fakta penting mengikuti dari definisi:

1. Hujah dan asas mestilah sentiasa lebih besar daripada sifar. Ini berikutan daripada takrifan darjah oleh eksponen rasional, yang mana takrifan logaritma dikurangkan.
2. Asas mestilah berbeza daripada satu, kerana satu hingga mana-mana darjah masih kekal satu. Oleh sebab itu, persoalan "kepada apa kuasa seseorang mesti dibangkitkan untuk mendapat dua" tidak bermakna. Tidak ada ijazah seperti itu!

Sekatan sedemikian dipanggil wilayah nilai yang boleh diterima (ODZ). Ternyata ODZ logaritma kelihatan seperti ini: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Ambil perhatian bahawa tiada sekatan pada nombor b (nilai logaritma). Sebagai contoh, logaritma mungkin negatif: log 2 0.5 = −1, kerana 0.5 = 2 −1.

Walau bagaimanapun, kini kami hanya mempertimbangkan ungkapan berangka, di mana ia tidak diperlukan untuk mengetahui VA logaritma. Semua sekatan telah diambil kira oleh pengarang masalah. Tetapi apabila persamaan logaritma dan ketaksamaan berlaku, keperluan DL akan menjadi wajib. Lagipun, asas dan hujah mungkin mengandungi pembinaan yang sangat kuat yang tidak semestinya sepadan dengan sekatan di atas.

Sekarang mari kita lihat skema umum untuk mengira logaritma. Ia terdiri daripada tiga langkah:

1. Nyatakan asas a dan hujah x sebagai kuasa dengan kemungkinan asas minimum yang lebih besar daripada satu. Sepanjang perjalanan, lebih baik untuk menyingkirkan perpuluhan;
2. Selesaikan persamaan bagi pembolehubah b: x = a b ;
3. Nombor b yang terhasil akan menjadi jawapannya.

Itu sahaja! Jika logaritma ternyata tidak rasional, ini akan kelihatan pada langkah pertama. Keperluan bahawa asas lebih besar daripada satu adalah sangat penting: ini mengurangkan kemungkinan ralat dan sangat memudahkan pengiraan. Sama dengan perpuluhan: jika anda segera menukarnya kepada yang biasa, akan terdapat banyak ralat yang lebih sedikit.

Mari lihat bagaimana skema ini berfungsi menggunakan contoh khusus:

Tugasan. Kira logaritma: log 5 25

1. Mari kita bayangkan asas dan hujah sebagai kuasa lima: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Mari buat dan selesaikan persamaan:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Kami menerima jawapan: 2.

Tugasan. Kira logaritma:

Tugasan. Kira logaritma: log 4 64

1. Mari kita bayangkan asas dan hujah sebagai kuasa dua: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Mari buat dan selesaikan persamaan:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Kami menerima jawapan: 3.

Tugasan. Kira logaritma: log 16 1

1. Mari kita bayangkan asas dan hujah sebagai kuasa dua: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Mari buat dan selesaikan persamaan:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Kami menerima jawapan: 0.

Tugasan. Kira logaritma: log 7 14

1. Mari kita bayangkan asas dan hujah sebagai kuasa tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak boleh diwakili sebagai kuasa tujuh, sejak 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Daripada perenggan sebelumnya, logaritma tidak dikira;
3. Jawapannya tiada perubahan: log 7 14.

Nota kecil pada contoh terakhir. Bagaimanakah anda boleh memastikan bahawa nombor bukan kuasa tepat nombor lain? Ia sangat mudah - hanya masukkannya ke dalam faktor utama. Jika pengembangan mempunyai sekurang-kurangnya dua faktor berbeza, bilangannya bukanlah kuasa yang tepat.

Tugasan. Ketahui sama ada nombor adalah kuasa yang tepat: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - darjah tepat, kerana hanya ada satu pengganda;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - bukan kuasa yang tepat, kerana terdapat dua faktor: 3 dan 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - darjah tepat;
35 = 7 · 5 - sekali lagi bukan kuasa yang tepat;
14 = 7 · 2 - sekali lagi bukan darjah yang tepat;

Mari kita perhatikan juga bahawa kita sendiri nombor perdana sentiasa mempunyai darjah yang tepat bagi diri mereka sendiri.

Logaritma perpuluhan

Sesetengah logaritma adalah sangat biasa sehingga mereka mempunyai nama dan simbol khas.

daripada hujah x ialah logaritma kepada asas 10, i.e. Kuasa yang nombor 10 mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor x. Jawatan: lg x.

Sebagai contoh, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - dsb.

Mulai sekarang, apabila frasa seperti "Cari lg 0.01" muncul dalam buku teks, ketahui bahawa ini bukan kesilapan menaip. Ini ialah logaritma perpuluhan. Walau bagaimanapun, jika anda tidak biasa dengan notasi ini, anda sentiasa boleh menulis semula:
log x = log 10 x

Semua yang benar untuk logaritma biasa adalah benar untuk logaritma perpuluhan.

Logaritma semula jadi

Terdapat satu lagi logaritma yang mempunyai sebutan tersendiri. Dalam beberapa cara, ia lebih penting daripada perpuluhan. Ia mengenai tentang logaritma semula jadi.

daripada hujah x ialah logaritma kepada asas e, i.e. kuasa yang nombor e mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor x. Jawatan: ln x.

Ramai orang akan bertanya: apakah nombor e? Ini adalah nombor tidak rasional; nilai tepatnya tidak dapat ditemui dan ditulis. Saya hanya akan memberikan angka pertama:
e = 2.718281828459…

Kami tidak akan menerangkan secara terperinci tentang nombor ini dan mengapa ia diperlukan. Ingatlah bahawa e ialah asas logaritma asli:
ln x = log e x

Oleh itu ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - dsb. Sebaliknya, ln 2 ialah nombor tak rasional. Secara amnya, logaritma semula jadi mana-mana nombor rasional tidak rasional. Kecuali, sudah tentu, untuk satu: ln 1 = 0.

Untuk logaritma asli, semua peraturan yang benar untuk logaritma biasa adalah sah.

Lihat juga:

Logaritma. Sifat logaritma (kuasa logaritma).

Bagaimana untuk mewakili nombor sebagai logaritma?

Kami menggunakan definisi logaritma.

Logaritma ialah eksponen yang asasnya mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor di bawah tanda logaritma.

Oleh itu, untuk mewakili nombor c tertentu sebagai logaritma kepada asas a, anda perlu meletakkan kuasa dengan asas yang sama dengan asas logaritma di bawah tanda logaritma, dan tulis nombor c ini sebagai eksponen:

Semestinya sebarang nombor boleh diwakili sebagai logaritma - positif, negatif, integer, pecahan, rasional, tidak rasional:

Untuk tidak mengelirukan a dan c dalam keadaan tertekan ujian atau peperiksaan, anda boleh menggunakan peraturan hafalan berikut:

yang di bawah turun, yang di atas naik.

Sebagai contoh, anda perlu mewakili nombor 2 sebagai logaritma kepada asas 3.

Kami mempunyai dua nombor - 2 dan 3. Nombor ini adalah asas dan eksponen, yang akan kami tulis di bawah tanda logaritma. Ia kekal untuk menentukan yang mana antara nombor ini harus ditulis, ke pangkal darjah, dan yang mana - ke atas, ke eksponen.

Asas 3 dalam tatatanda logaritma berada di bahagian bawah, yang bermaksud bahawa apabila kita mewakili dua sebagai logaritma kepada asas 3, kita juga akan menulis 3 ke pangkalan.

2 lebih tinggi daripada tiga. Dan dalam notasi darjah dua kita tulis di atas tiga, iaitu, sebagai eksponen:

Logaritma. Tahap pertama.

Logaritma

Logaritma nombor positif b berdasarkan a, Di mana a > 0, a ≠ 1, dipanggil eksponen yang nombor itu mesti dinaikkan a, Untuk mendapatkan b.

Definisi logaritma boleh ditulis secara ringkas seperti ini:

Persamaan ini sah untuk b > 0, a > 0, a ≠ 1. Ia biasanya dipanggil identiti logaritma.
Tindakan mencari logaritma nombor dipanggil dengan logaritma.

Sifat logaritma:

Logaritma produk:

Logaritma hasil bagi:

Menggantikan asas logaritma:

Logaritma darjah:

Logaritma akar:

Logaritma dengan asas kuasa:

Logaritma perpuluhan dan semula jadi.

Logaritma perpuluhan nombor memanggil logaritma nombor ini kepada asas 10 dan tulis   lg b
Logaritma semula jadi nombor dipanggil logaritma nombor itu kepada asas e, Di mana e- nombor tak rasional lebih kurang sama dengan 2.7. Pada masa yang sama mereka menulis ln b.

Nota lain mengenai algebra dan geometri

Sifat asas logaritma

Sifat asas logaritma

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan diubah dalam semua cara. Tetapi kerana logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan di sini, yang dipanggil sifat utama.

Anda pastinya perlu mengetahui peraturan ini - tanpanya, tiada satu masalah logaritma yang serius boleh diselesaikan. Di samping itu, terdapat sangat sedikit daripada mereka - anda boleh mempelajari segala-galanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulakan.

Menambah dan menolak logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: log a x dan log a y. Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Jadi, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma hasil darab, dan perbezaannya adalah sama dengan logaritma hasil bagi. Sila ambil perhatian: perkara utama di sini ialah alasan yang sama. Jika alasannya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!

Formula ini akan membantu anda mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apakah itu logaritma"). Lihat contoh dan lihat:

Log 6 4 + log 6 9.

Oleh kerana logaritma mempunyai asas yang sama, kami menggunakan formula jumlah:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 2 48 − log 2 3.

Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 3 135 − log 3 5.

Sekali lagi pangkalannya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang anda lihat, ungkapan asal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dikira secara berasingan. Tetapi selepas transformasi, nombor normal sepenuhnya diperolehi. Banyak yang dibina atas fakta ini kertas ujian. Ya, ungkapan seperti ujian ditawarkan dalam semua kesungguhan (kadangkala hampir tiada perubahan) pada Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Mengeluarkan eksponen daripada logaritma

Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas. Bagaimana jika asas atau hujah logaritma ialah kuasa? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Adalah mudah untuk melihat bahawa peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu lagi perkara: belajar menggunakan semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya , iaitu Anda boleh memasukkan nombor sebelum logaritma masuk ke dalam logaritma itu sendiri.

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma

Inilah yang paling kerap diperlukan.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 7 49 6 .

Mari kita buang darjah dalam hujah menggunakan formula pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Perhatikan bahawa penyebutnya mengandungi logaritma, asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Kami ada:

Saya rasa contoh terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Ke mana perginya logaritma? Sehingga saat terakhir kita bekerja hanya dengan penyebut. Kami membentangkan asas dan hujah logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk kuasa dan mengeluarkan eksponen - kami mendapat pecahan "tiga tingkat".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pengangka dan penyebut mengandungi nombor yang sama: log 2 7. Oleh kerana log 2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal dalam penyebut. Mengikut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, iaitu apa yang telah dilakukan. Hasilnya ialah jawapan: 2.

Peralihan kepada asas baharu

Bercakap tentang peraturan untuk menambah dan menolak logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa ia hanya berfungsi dengan asas yang sama. Bagaimana jika sebabnya berbeza? Bagaimana jika mereka bukan kuasa tepat nombor yang sama?

Formula untuk peralihan kepada asas baharu datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorem:

Biarkan logaritma log a x diberikan. Kemudian untuk sebarang nombor c supaya c > 0 dan c ≠ 1, kesamaan adalah benar:

Khususnya, jika kita menetapkan c = x, kita mendapat:

Daripada formula kedua ia mengikuti bahawa asas dan hujah logaritma boleh ditukar, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma muncul dalam penyebut.

Formula ini jarang ditemui dalam konvensional ungkapan berangka. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya dengan membuat keputusan persamaan logaritma dan ketidaksamaan.

Namun, terdapat masalah yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita lihat beberapa perkara ini:

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 5 16 log 2 25.

Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma mengandungi kuasa yang tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sekarang mari kita "terbalikkan" logaritma kedua:

Oleh kerana produk tidak berubah apabila menyusun semula faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian menangani logaritma.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 9 100 lg 3.

Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tulis ini dan singkirkan penunjuk:

Sekarang mari kita buang logaritma perpuluhan dengan berpindah ke pangkalan baharu:

Identiti logaritma asas

Selalunya dalam proses penyelesaian adalah perlu untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu.

Dalam kes ini, formula berikut akan membantu kami:

Dalam kes pertama, nombor n menjadi eksponen dalam hujah. Nombor n boleh menjadi apa-apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Itulah namanya: .

Sebenarnya, apakah yang berlaku jika nombor b dinaikkan kepada kuasa sedemikian sehingga nombor b kepada kuasa ini memberikan nombor a? Betul: hasilnya adalah nombor yang sama a. Baca perenggan ini dengan teliti sekali lagi - ramai orang terjebak padanya.

Seperti formula untuk peralihan ke pangkalan baru, yang utama identiti logaritma kadang-kadang ia adalah satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Perhatikan bahawa log 25 64 = log 5 8 - hanya mengambil kuasa dua daripada asas dan hujah logaritma. Dengan mengambil kira peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kami mendapat:

Jika ada yang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu :)

Unit logaritma dan sifar logaritma

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang hampir tidak boleh dipanggil sifat - sebaliknya, ia adalah akibat daripada takrifan logaritma. Mereka sentiasa muncul dalam masalah dan, secara mengejutkan, mencipta masalah walaupun untuk pelajar "maju".

1. log a a = 1 ialah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a asas itu sendiri adalah sama dengan satu.
2. log a 1 = 0 ialah. Asas a boleh menjadi apa-apa, tetapi jika hujah mengandungi satu, logaritma adalah sama dengan sifar! Kerana 0 = 1 adalah akibat langsung dari definisi.

Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya! Muat turun helaian panduan pada permulaan pelajaran, cetak dan selesaikan masalah.

log a r b r =log a b atau log a b= log a r b r

Nilai logaritma tidak akan berubah jika asas logaritma dan nombor di bawah tanda logaritma dinaikkan kepada kuasa yang sama.

Di bawah tanda logaritma hanya boleh ada nombor positif, dan asas logaritma tidak sama dengan satu.

Contoh.

1) Bandingkan log 3 9 dan log 9 81.

log 3 9=2, kerana 3 2 =9;

log 9 81=2, kerana 9 2 =81.

Jadi log 3 9=log 9 81.

Perhatikan bahawa asas logaritma kedua adalah sama dengan kuasa dua tapak logaritma pertama: 9=3 2, dan nombor di bawah tanda logaritma kedua adalah sama dengan kuasa dua nombor di bawah tanda pertama. logaritma: 81=9 2. Ternyata kedua-dua nombor dan asas logaritma pertama log 3 9 dinaikkan kepada kuasa kedua, dan nilai logaritma tidak berubah daripada ini:

Seterusnya, sejak mengekstrak akar n ijazah ke- dari kalangan A ialah peningkatan nombor A ke tahap ( 1/n), kemudian daripada log 9 81 anda boleh mendapatkan log 3 9 dengan mengambil punca kuasa dua nombor dan pangkal logaritma:

2) Semak kesamaan: log 4 25=log 0.5 0.2.

Mari kita lihat logaritma pertama. Jom ekstrak Punca kuasa dua dari pangkalan 4 dan dari kalangan 25 ; kita dapat: log 4 25=log 2 5.

Mari kita lihat logaritma kedua. Asas logaritma: 0.5= 1/2. Nombor di bawah tanda logaritma ini: 0.2= 1/5. Mari kita tingkatkan setiap nombor ini kepada kuasa tolak pertama:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Jadi log 0.5 0.2=log 2 5. Kesimpulan: persamaan ini adalah benar.

Selesaikan persamaan:

log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Mari kita kurangkan logaritma dari kiri ke pangkalan 2 .

log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Ambil punca kuasa dua nombor dan pangkal logaritma pertama. Keluarkan punca keempat nombor dan pangkal logaritma kedua.

log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Tukarkan hasil tambah logaritma kepada logaritma hasil darab.

3x 2 =5x+2. Diterima selepas potentiation.

3x 2 -5x-2=0. Mari buat keputusan persamaan kuadratik Oleh formula am untuk persamaan kuadratik lengkap:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 akar sebenar.

Peperiksaan.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;

log 2 (4∙3)=log 2 12;

log 2 12=log 2 12;

log a n b=(1/ n)∙ log a b

Logaritma sesuatu nombor b berdasarkan a n sama dengan hasil darab pecahan itu 1/ n kepada logaritma sesuatu nombor b berdasarkan a.

Cari:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , jika diketahui bahawa log 2 3=b,log 5 2=c.

Penyelesaian.

Selesaikan persamaan:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5.25.

Penyelesaian.

Mari kita kurangkan logaritma ini kepada asas 2. Guna formula: log a n b=(1/ n)∙ log a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5.25;

log 2 x+0.5log 2 x+0.25log 2 x=5.25. Berikut adalah istilah yang serupa:

(1+0.5+0.25) log 2 x=5.25;

1.75 log 2 x=5.25 |:1.75

log 2 x=3. Mengikut takrifan logaritma:

2) 0.5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0.25.

Penyelesaian. Mari kita tukar logaritma kepada asas 16 kepada asas 4.

0.5log 4 (x-2)+0.5log 4 (x-3)=0.25 |:0.5

log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0.5. Mari kita tukarkan jumlah logaritma kepada logaritma hasil darab.

log 4 ((x-2)(x-3))=0.5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0.5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0.5. Mengikut takrifan logaritma:

x 2 -5x+4=0. Menurut teorem Vieta:

x 1 =1; x 2 =4. Nilai pertama x tidak akan berfungsi, kerana pada x = 1 logaritma kesamaan ini tidak wujud, kerana Hanya nombor positif boleh berada di bawah tanda logaritma.

Mari kita semak persamaan ini di x=4.

Peperiksaan.

0.5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0.25

0.5log 4 2+log 16 1=0.25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Logaritma sesuatu nombor b berdasarkan A sama dengan logaritma nombor itu b atas dasar baru Dengan, dibahagikan dengan logaritma asas lama A atas dasar baru Dengan.

Contoh:

1) log 2 3=lg3/lg2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Kira:

1) log 5 7, jika diketahui bahawa lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / log c a.

log 5 7=log7/log5≈0.8451:0.6990≈1.2090.

Jawapan: log 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) log 5 7 , jika diketahui bahawa ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Penyelesaian. Gunakan formula: log a b =log c b / log c a.

log 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091.

Jawapan: log 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Cari x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Kami menggunakan formula: log c b / log c a = log a b . Kita mendapatkan:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x=log 3 (4∙6∙8);

log 3 x=log 3 192;

x=192 .

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Kami menggunakan formula: log c b / log c a = log a b . Kita mendapatkan:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=lg143-lg (11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

Muka surat 1 daripada 1 1

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan diubah dalam semua cara. Tetapi kerana logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan di sini, yang dipanggil sifat utama.

Anda pastinya perlu mengetahui peraturan ini - tanpanya, tiada satu masalah logaritma yang serius boleh diselesaikan. Di samping itu, terdapat sangat sedikit daripada mereka - anda boleh mempelajari segala-galanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulakan.

Menambah dan menolak logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: log a x dan log a y. Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:

1. log a x+ log a y= log a (x · y);
2. log a x− log a y= log a (x : y).

Jadi, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma hasil darab, dan perbezaannya adalah sama dengan logaritma hasil bagi. Sila ambil perhatian: perkara utama di sini ialah alasan yang sama. Jika alasannya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!

Formula ini akan membantu anda mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apakah itu logaritma"). Lihat contoh dan lihat:

Log 6 4 + log 6 9.

Oleh kerana logaritma mempunyai asas yang sama, kami menggunakan formula jumlah:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 2 48 − log 2 3.

Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 3 135 − log 3 5.

Sekali lagi pangkalannya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang anda lihat, ungkapan asal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dikira secara berasingan. Tetapi selepas transformasi, nombor normal sepenuhnya diperolehi. Banyak ujian berdasarkan fakta ini. Ya, ungkapan seperti ujian ditawarkan dalam semua kesungguhan (kadangkala hampir tiada perubahan) pada Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Mengeluarkan eksponen daripada logaritma

Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas. Bagaimana jika asas atau hujah logaritma ialah kuasa? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Adalah mudah untuk melihat bahawa peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Dan satu lagi perkara: belajar menggunakan semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, i.e. Anda boleh memasukkan nombor sebelum logaritma masuk ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling kerap diperlukan.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 7 49 6 .

Mari kita buang darjah dalam hujah menggunakan formula pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

[Kapsyen untuk gambar]

Perhatikan bahawa penyebutnya mengandungi logaritma, asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Kami ada:

[Kapsyen untuk gambar]

Saya rasa contoh terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Ke mana perginya logaritma? Sehingga saat terakhir kita bekerja hanya dengan penyebut. Kami membentangkan asas dan hujah logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk kuasa dan mengeluarkan eksponen - kami mendapat pecahan "tiga tingkat".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pengangka dan penyebut mengandungi nombor yang sama: log 2 7. Oleh kerana log 2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal dalam penyebut. Mengikut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, iaitu apa yang telah dilakukan. Hasilnya ialah jawapan: 2.

Peralihan kepada asas baharu

Bercakap tentang peraturan untuk menambah dan menolak logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa ia hanya berfungsi dengan asas yang sama. Bagaimana jika sebabnya berbeza? Bagaimana jika mereka bukan kuasa tepat nombor yang sama?

Formula untuk peralihan kepada asas baharu datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorem:

Biarkan log logaritma diberikan a x. Kemudian untuk sebarang nombor c seperti itu c> 0 dan c≠ 1, kesamaan adalah benar:

[Kapsyen untuk gambar]

Khususnya, jika kita meletakkan c = x, kita mendapatkan:

[Kapsyen untuk gambar]

Daripada formula kedua ia mengikuti bahawa asas dan hujah logaritma boleh ditukar, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma muncul dalam penyebut.

Formula ini jarang ditemui dalam ungkapan berangka biasa. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya apabila menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan.

Namun, terdapat masalah yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita lihat beberapa perkara ini:

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 5 16 log 2 25.

Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma mengandungi kuasa yang tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sekarang mari kita "terbalikkan" logaritma kedua:

[Kapsyen untuk gambar]

Oleh kerana produk tidak berubah apabila menyusun semula faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian menangani logaritma.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 9 100 lg 3.

Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tulis ini dan singkirkan penunjuk:

[Kapsyen untuk gambar]

Sekarang mari kita buang logaritma perpuluhan dengan berpindah ke pangkalan baharu:

[Kapsyen untuk gambar]

Identiti logaritma asas

Selalunya dalam proses penyelesaian adalah perlu untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu. Dalam kes ini, formula berikut akan membantu kami:

Dalam kes pertama, nombor n menjadi penunjuk darjah berdiri dalam hujah. Nombor n boleh jadi apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Itulah yang dipanggil: identiti logaritma asas.

Malah, apa yang akan berlaku jika nombor b meningkatkan kuasa sehingga bilangan b kepada kuasa ini memberikan nombor a? Betul: anda mendapat nombor yang sama ini a. Baca perenggan ini dengan teliti sekali lagi - ramai orang terjebak padanya.

Seperti formula untuk berpindah ke pangkalan baharu, identiti logaritma asas kadangkala merupakan satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

[Kapsyen untuk gambar]

Perhatikan bahawa log 25 64 = log 5 8 - hanya mengambil kuasa dua daripada asas dan hujah logaritma. Dengan mengambil kira peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kami mendapat:

[Kapsyen untuk gambar]

Jika ada yang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu :)

Unit logaritma dan sifar logaritma

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang hampir tidak boleh dipanggil sifat - sebaliknya, ia adalah akibat daripada takrifan logaritma. Mereka sentiasa muncul dalam masalah dan, secara mengejutkan, mencipta masalah walaupun untuk pelajar "maju".

1. log a a= 1 ialah unit logaritma. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a dari asas ini adalah sama dengan satu.
2. log a 1 = 0 ialah sifar logaritma. Pangkalan a boleh jadi apa-apa, tetapi jika hujah mengandungi satu, logaritma adalah sama dengan sifar! Kerana a 0 = 1 adalah akibat langsung daripada definisi.

Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya! Muat turun helaian panduan pada permulaan pelajaran, cetak dan selesaikan masalah.