Apa yang dipanggil akar ke-n. Fungsi kuasa dan punca - definisi, sifat dan formula

Ijazah akar n daripada nombor nyata a, Di mana n - nombor asli, ini dipanggil nombor sebenar x, n darjah ke- yang sama dengan a.

Ijazah akar n daripada nombor a ditunjukkan oleh simbol. Mengikut definisi ini.

Mencari akar n-ijazah ke- dari kalangan a dipanggil pengekstrakan akar. Nombor A dipanggil nombor radikal (ungkapan), n- penunjuk akar. Untuk ganjil n ada akar n-kuasa ke- untuk sebarang nombor nyata a. Apabila genap n ada akar n-ijazah ke hanya untuk tidak nombor negatifa. Untuk menyahkaburkan akar n-ijazah ke- dari kalangan a, konsep punca aritmetik diperkenalkan n-ijazah ke- dari kalangan a.

Konsep punca aritmetik darjah N

Jika n- nombor asli, lebih besar 1 , maka terdapat, dan hanya satu, nombor bukan negatif X, supaya kesaksamaan dipenuhi. Nombor ini X dipanggil punca aritmetik n kuasa ke bagi nombor bukan negatif A dan ditetapkan. Nombor A dipanggil nombor radikal, n- penunjuk akar.

Jadi, mengikut takrifan, notasi , di mana , bermakna, pertama, itu dan, kedua, itu, i.e. .

Konsep ijazah dengan eksponen rasional

Darjah dengan eksponen semula jadi: biarkan A ialah nombor nyata, dan n- nombor asli lebih besar daripada satu, n-kuasa ke- nombor A panggil kerja n faktor, setiap satunya adalah sama A, iaitu . Nombor A- asas ijazah, n- eksponen. Kuasa dengan eksponen sifar: mengikut takrifan, jika , maka . Kuasa sifar nombor 0 tidak masuk akal. Ijazah dengan eksponen integer negatif: diandaikan mengikut takrifan jika dan n ialah nombor asli, maka . Ijazah dengan eksponen pecahan: ia diandaikan mengikut takrifan jika dan n- nombor asli, m ialah integer, maka .

Operasi dengan akar.

Dalam semua formula di bawah, simbol bermaksud punca aritmetik (ungkapan radikal adalah positif).

1. Punca hasil darab beberapa faktor adalah sama dengan hasil darab punca faktor ini:

2. Punca nisbah adalah sama dengan nisbah punca dividen dan pembahagi:

3. Apabila menaikkan akar kepada kuasa, sudah cukup untuk menaikkan nombor radikal kepada kuasa ini:

4. Jika anda meningkatkan darjah akar n kali dan pada masa yang sama menaikkan nombor radikal kepada kuasa ke-n, maka nilai akar tidak akan berubah:

5. Jika anda mengurangkan darjah akar sebanyak n kali dan pada masa yang sama mengeluarkan punca ke-n nombor radikal, maka nilai punca tidak akan berubah:

Memperluaskan konsep ijazah. Setakat ini kami telah mempertimbangkan darjah hanya dengan eksponen semula jadi; tetapi operasi dengan kuasa dan punca juga boleh membawa kepada eksponen negatif, sifar dan pecahan. Semua eksponen ini memerlukan definisi tambahan.

Ijazah dengan eksponen negatif. Kuasa nombor tertentu dengan eksponen negatif (integer) ditakrifkan sebagai satu dibahagikan dengan kuasa nombor yang sama dengan eksponen sama dengan nilai mutlak eksponen negatif:

Sekarang formula a m: a n = a m - n boleh digunakan bukan sahaja untuk m lebih besar daripada n, tetapi juga untuk m kurang daripada n.

CONTOH a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Jika kita mahu formula a m: a n = a m - n sah untuk m = n, kita memerlukan takrifan darjah sifar.

Ijazah dengan indeks sifar. Kuasa mana-mana nombor bukan sifar dengan eksponen sifar ialah 1.

CONTOH. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Darjah dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan nombor nyata a kepada kuasa m / n, anda perlu mengekstrak punca ke-n bagi kuasa ke-m bagi nombor a ini:

Tentang ungkapan yang tiada makna. Terdapat beberapa ungkapan sedemikian.

Kes 1.

Di mana a ≠ 0 tidak wujud.

Malah, jika kita menganggap bahawa x ialah nombor tertentu, maka mengikut definisi operasi bahagi kita ada: a = 0 x, i.e. a = 0, yang bercanggah dengan syarat: a ≠ 0

Kes 2.

Sebarang nombor.

Malah, jika kita mengandaikan bahawa ungkapan ini adalah sama dengan nombor x tertentu, maka mengikut definisi operasi bahagi yang kita ada: 0 = 0 · x. Tetapi kesamaan ini berlaku untuk sebarang nombor x, yang mana perlu dibuktikan.

sungguh,

Penyelesaian. Mari kita pertimbangkan tiga kes utama:

1) x = 0 – nilai ini tidak memenuhi persamaan ini

2) untuk x > 0 kita dapat: x / x = 1, i.e. 1 = 1, yang bermaksud bahawa x ialah sebarang nombor; tetapi mengambil kira bahawa dalam kes kami x > 0, jawapannya ialah x > 0;

3) pada x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

dalam kes ini tiada penyelesaian. Oleh itu x > 0.

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menghantar permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda E-mel dan lain-lain.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentangnya tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, prosiding undang-undang, dan/atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada Agensi-agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Skrip pelajaran untuk gred 11 mengenai topik:

« Akar ijazah ke-n daripada nombor nyata. »

Tujuan pelajaran: Pembentukan pelajar pemahaman holistik tentang akar umbi n-darjah ke dan punca aritmetik darjah ke, pembentukan kemahiran pengiraan, sedar dan penggunaan rasional sifat akar apabila menyelesaikan pelbagai tugas mengandungi radikal. Semak tahap kefahaman pelajar terhadap soalan topik.

Subjek:mewujudkan keadaan yang bermakna dan organisasi untuk menguasai bahan mengenai topik " berangka dan ungkapan literal» pada tahap persepsi, kefahaman dan hafalan utama; membangunkan keupayaan untuk menggunakan maklumat ini apabila mengira punca ke-n bagi nombor nyata;

Subjek meta: menggalakkan pembangunan kemahiran pengkomputeran; keupayaan untuk menganalisis, membandingkan, membuat generalisasi, membuat kesimpulan;

Peribadi: memupuk keupayaan untuk menyatakan pandangan seseorang, mendengar jawapan orang lain, mengambil bahagian dalam dialog, dan mengembangkan keupayaan untuk kerjasama yang positif.

Hasil yang dirancang.

Subjek: boleh menggunakan dalam situasi sebenar sifat punca ke-n bagi nombor nyata apabila mengira punca dan menyelesaikan persamaan.

Peribadi: untuk mengembangkan perhatian dan ketepatan dalam pengiraan, sikap menuntut terhadap diri sendiri dan kerja seseorang, dan untuk memupuk rasa tolong-menolong.

Jenis pelajaran: pelajaran tentang mengkaji dan pada mulanya menyatukan pengetahuan baharu

Motivasi untuk aktiviti pendidikan:

Kebijaksanaan Timur berkata: "Anda boleh membawa kuda ke air, tetapi anda tidak boleh memaksanya untuk minum." Dan adalah mustahil untuk memaksa seseorang untuk belajar dengan baik jika dia sendiri tidak berusaha untuk belajar lebih banyak dan tidak mempunyai keinginan untuk mengusahakan perkembangan mentalnya. Lagipun, ilmu hanyalah pengetahuan apabila ia diperoleh melalui usaha pemikiran seseorang, dan bukan melalui ingatan sahaja.

Pelajaran kami akan diadakan di bawah moto: "Kami akan menakluki mana-mana puncak jika kami berusaha untuk itu." Semasa pelajaran, anda dan saya perlu mempunyai masa untuk mengatasi beberapa puncak, dan setiap daripada anda mesti meletakkan semua usaha anda untuk menakluki puncak ini.

"Hari ini kita mempunyai pelajaran di mana kita mesti membiasakan diri dengan konsep baharu: "Akar ke-9" dan belajar cara menggunakan konsep ini kepada transformasi pelbagai ungkapan.

Matlamat anda adalah berdasarkan pelbagai bentuk bekerja untuk mengaktifkan pengetahuan sedia ada, menyumbang kepada kajian bahan dan mendapat gred yang baik"
Kami mengkaji punca kuasa dua nombor nyata dalam gred 8. Punca kuasa dua berkaitan dengan fungsi bentuk y=x 2. Kawan-kawan, adakah anda masih ingat bagaimana kami mengira punca kuasa dua, dan apakah sifat yang ada padanya?
a) tinjauan individu:

apa jenis ungkapan ini

apa yang dipanggil punca kuasa dua

apa yang dipanggil punca kuasa dua aritmetik

senaraikan sifat punca kuasa dua

b) bekerja secara berpasangan: mengira.

-

2. Mengemas kini pengetahuan dan mewujudkan situasi masalah: Selesaikan persamaan x 4 =1. Bagaimana kita boleh menyelesaikannya? (Analitikal dan grafik). Mari selesaikan secara grafik. Untuk melakukan ini, dalam satu sistem koordinat kita akan membina graf bagi fungsi y = x 4 garis lurus y = 1 (Rajah 164 a). Mereka bersilang pada dua titik: A (-1;1) dan B(1;1). Abscissas titik A dan B, i.e. x 1 = -1,

x 2 = 1 ialah punca-punca persamaan x 4 = 1.
Penaakulan dengan cara yang sama, kita dapati punca-punca persamaan x 4 =16: Sekarang mari kita cuba selesaikan persamaan x 4 =5; ilustrasi geometri ditunjukkan dalam Rajah. 164 b. Jelas bahawa persamaan mempunyai dua punca x 1 dan x 2, dan nombor-nombor ini, seperti dalam dua kes sebelumnya, adalah saling bertentangan. Tetapi untuk dua persamaan pertama, akar ditemui tanpa kesukaran (ia boleh didapati tanpa menggunakan graf), tetapi dengan persamaan x 4 = 5 terdapat masalah: dari lukisan kita tidak dapat menunjukkan nilai akar, tetapi kita hanya boleh menetapkan bahawa satu punca terletak di sebelah kiri titik -1, dan yang kedua adalah di sebelah kanan titik 1.

x 2 = - (baca: “ punca keempat daripada lima”).

Kita bercakap tentang persamaan x 4 = a, di mana a 0. Kita juga boleh bercakap tentang persamaan x 4 = a, di mana a 0, dan n ialah sebarang nombor asli. Sebagai contoh, menyelesaikan secara grafik persamaan x 5 = 1, kita dapati x = 1 (Rajah 165); menyelesaikan persamaan x 5 "= 7, kami menetapkan bahawa persamaan mempunyai satu punca x 1, yang terletak pada paksi x sedikit di sebelah kanan titik 1 (lihat Rajah 165). Untuk nombor x 1, kami memperkenalkan tatatanda .

Definisi 1. Punca ke-n bagi nombor bukan negatif a (n = 2, 3,4, 5,...) ialah nombor bukan negatif yang, apabila dinaikkan kepada kuasa n, menghasilkan nombor a.

Nombor ini dilambangkan, nombor a dipanggil nombor radikal, dan nombor n ialah eksponen punca.
Jika n=2, maka mereka biasanya tidak menyebut "akar kedua", tetapi menyebut "akar kuasa dua." Dalam kes ini, mereka tidak menulis ini. Ini adalah kes khas yang anda pelajari secara khusus dalam kursus algebra gred 8 .

Jika n = 3, maka bukannya "akar darjah ketiga" mereka sering menyebut "akar kubus". Perkenalan pertama anda dengan punca kubus juga berlaku dalam kursus algebra gred 8. Kami menggunakan punca kubus dalam algebra gred 9.

Jadi, jika a ≥0, n= 2,3,4,5,…, maka 1) ≥ 0; 2) () n = a.

Secara umum, =b dan b n =a adalah hubungan yang sama antara nombor bukan negatif a dan b, tetapi hanya nombor kedua diterangkan lebih dalam bahasa mudah(menggunakan aksara yang lebih mudah) daripada yang pertama.

Operasi mencari punca nombor bukan negatif biasanya dipanggil pengekstrakan akar. Operasi ini adalah kebalikan daripada menaikkan kepada kuasa yang sesuai. Bandingkan:

Sila ambil perhatian sekali lagi: hanya nombor positif muncul dalam jadual, kerana ini ditetapkan dalam Definisi 1. Dan walaupun, sebagai contoh, (-6) 6 = 36 ialah kesamaan yang betul, pergi darinya ke tatatanda menggunakan punca kuasa dua, i.e. tulis bahawa ia adalah mustahil. Mengikut definisi, nombor positif bermakna = 6 (bukan -6). Dengan cara yang sama, walaupun 2 4 =16, t (-2) 4 =16, bergerak ke tanda-tanda akar, kita mesti menulis = 2 (dan pada masa yang sama ≠-2).

Kadang-kadang ungkapan itu dipanggil radikal (dari perkataan Latin gadix - "akar"). Dalam bahasa Rusia, istilah radikal digunakan agak kerap, sebagai contoh, "perubahan radikal" - ini bermaksud "perubahan radikal". Ngomong-ngomong, sebutan akar itu mengingatkan pada perkataan gadix: simbolnya adalah huruf r yang bergaya.

Operasi mengekstrak akar juga ditentukan untuk nombor radikal negatif, tetapi hanya dalam kes eksponen punca ganjil. Dalam erti kata lain, kesamaan (-2) 5 = -32 boleh ditulis semula dalam bentuk yang setara sebagai =-2. Definisi berikut digunakan.

Definisi 2. Punca ganjil n bagi nombor negatif a (n = 3.5,...) ialah nombor negatif yang, apabila dinaikkan kepada kuasa n, menghasilkan nombor a.

Nombor ini, seperti dalam Takrif 1, dilambangkan dengan , nombor a ialah nombor radikal, dan nombor n ialah eksponen punca.
Jadi, jika a , n=,5,7,…, maka: 1) 0; 2) () n = a.

Oleh itu, akar genap mempunyai makna (iaitu, ditakrifkan) hanya untuk ungkapan radikal bukan negatif; akar ganjil masuk akal untuk sebarang ungkapan radikal.

5. Penyatuan pengetahuan utama:

1. Kira: No. 33.5; 33.6; 33.74 33.8 secara lisan a); b); V); G).

d) Tidak seperti contoh sebelumnya kita tidak boleh menunjukkan nilai tepat nombor tersebut. Ia hanya jelas bahawa ia lebih besar daripada 2, tetapi kurang daripada 3, kerana 2 4 = 16 (ini kurang daripada 17), dan 3 4 = 81 (ini lebih daripada 17 ). Kami ambil perhatian bahawa 24 adalah lebih hampir kepada 17 daripada 34, jadi ada sebab untuk menggunakan tanda kesamaan anggaran:
2. Cari maksud bagi ungkapan berikut.

Letakkan huruf yang sepadan di sebelah contoh.

Sedikit maklumat tentang saintis hebat itu. Rene Descartes (1596-1650) bangsawan Perancis, ahli matematik, ahli falsafah, ahli fisiologi, pemikir. Rene Descartes meletakkan asas geometri analitik dan memperkenalkan sebutan huruf x 2, y 3. Semua orang tahu Koordinat Cartesan, mentakrifkan fungsi pembolehubah.

3 . Selesaikan persamaan: a) = -2; b) = 1; c) = -4

Penyelesaian: a) Jika = -2, maka y = -8. Malah, kita mesti mengkubus kedua-dua belah persamaan yang diberikan. Kami dapat: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) Penaakulan seperti dalam contoh a), kita tingkatkan kedua-dua belah persamaan kepada kuasa keempat. Kami dapat: x=1.

c) Tidak perlu menaikkannya kepada kuasa keempat; persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian. kenapa? Kerana, mengikut definisi 1, punca genap ialah nombor bukan negatif.
Beberapa tugas ditawarkan untuk perhatian anda. Apabila anda menyelesaikan tugasan ini, anda akan mengetahui nama dan nama keluarga ahli matematik yang hebat itu. Saintis ini adalah yang pertama memperkenalkan tanda akar pada tahun 1637.

6. Mari kita berehat sedikit.

Kelas mengangkat tangan - ini adalah "satu".

Kepala menoleh - ia adalah "dua".

Tangan ke bawah, lihat ke hadapan - ini adalah "tiga".

Tangan bertukar lebih lebar ke sisi kepada "empat"

Menekan mereka dengan kuat ke tangan anda adalah "lima tinggi".

Semua lelaki perlu duduk - ini "enam".

7. Kerja bebas:

pilihan: pilihan 2:

b) 3-. b)12 -6.

2. Selesaikan persamaan: a) x 4 = -16; b) 0.02x 6 -1.28=0; a) x 8 = -3; b)0.3x 9 – 2.4=0;

c) = -2; c) = 2

8. Pengulangan: Cari punca persamaan = - x. Jika persamaan mempunyai lebih daripada satu punca, tulis jawapan dengan punca yang lebih kecil.

9. Refleksi: Apakah yang anda pelajari dalam pelajaran? Apa yang menarik? Apa yang sukar?

Objektif pelajaran:

Pendidikan: mewujudkan keadaan untuk pembentukan dalam pelajar idea holistik akar ke-n, kemahiran penggunaan sedar dan rasional sifat-sifat akar apabila menyelesaikan pelbagai masalah.

Perkembangan: mewujudkan keadaan untuk pembangunan algoritma, pemikiran kreatif, membangunkan kemahiran kawalan diri.

Pendidikan: menggalakkan perkembangan minat dalam subjek, aktiviti, memupuk ketepatan dalam kerja, keupayaan untuk menyatakan pendapat sendiri, dan memberi cadangan.

Semasa kelas

1. Detik organisasi.

Selamat petang Jam yang baik!

Saya sangat gembira melihat anda.

Loceng sudah pun berbunyi

Pelajaran bermula.

Kami tersenyum. Kami mengejar.

Kami berpandangan antara satu sama lain

Dan mereka duduk dengan senyap bersama.

2. Motivasi pelajaran.

Ahli falsafah dan saintis Perancis yang terkenal Blaise Pascal berhujah: "Kehebatan seseorang terletak pada keupayaannya untuk berfikir." Hari ini kita akan cuba berasa seperti orang yang hebat dengan mencari ilmu sendiri. Moto untuk pelajaran hari ini adalah kata-kata ahli matematik Yunani kuno Thales:

Apa yang lebih daripada segala-galanya di dunia? - Angkasa.

Apa yang paling cepat? - Fikiran.

Apakah perkara yang paling bijak? - Masa.

Apa bahagian yang terbaik? - Mencapai apa yang anda mahu.

Saya ingin setiap daripada anda mencapai hasil yang diingini dalam pelajaran hari ini.

3. Mengemas kini pengetahuan.

1. Namakan operasi algebra salingan pada nombor. (Tambahan dan penolakan, pendaraban dan pembahagian)

2. Adakah selalu boleh melakukan operasi algebra seperti bahagi? (Tidak, anda tidak boleh membahagi dengan sifar)

3. Apakah operasi lain yang boleh anda lakukan dengan nombor? (Eksponensiasi)

4. Apakah pembedahan yang akan menjadi kebalikannya? (Pengeluaran akar)

5. Apakah tahap akar yang boleh anda ekstrak? (Akar kedua)

6. Apakah sifat punca kuasa dua yang anda tahu? (Mengekstrak punca kuasa dua produk, daripada hasil bagi, daripada punca, menaikkan kepada kuasa)

7. Cari maksud ungkapan:

Dari sejarah. Malah 4000 tahun yang lalu, saintis Babylon menyusun, bersama dengan jadual dan jadual pendaraban timbal balik(dengan bantuannya pembahagian nombor dikurangkan kepada pendaraban) jadual petak nombor dan punca kuasa dua nombor. Pada masa yang sama, mereka dapat mencari nilai anggaran punca kuasa dua sebarang integer.

4. Mempelajari bahan baharu.

Jelas sekali, selaras dengan sifat asas darjah dengan eksponen semula jadi, daripada mana-mana nombor positif terdapat dua nilai berlawanan bagi punca genap, contohnya, nombor 4 dan -4 ialah punca kuasa dua bagi 16, kerana (-4)2 = 42 = 16, dan nombor 3 dan -3 ialah punca keempat bagi 81 , sejak (-3)4 = 34 = 81.

Juga, tiada punca genap bagi nombor negatif kerana kuasa genap mana-mana nombor nyata adalah bukan negatif. Bagi punca darjah ganjil, untuk sebarang nombor nyata hanya terdapat satu punca darjah ganjil daripada nombor ini. Sebagai contoh, 3 ialah punca ketiga bagi 27, kerana 33 = 27, dan -2 ialah punca kelima bagi -32, kerana (-2)5 = 32.

Oleh kerana kewujudan dua punca darjah genap daripada nombor positif, kami memperkenalkan konsep punca aritmetik untuk menghapuskan kekaburan punca ini.

Nilai bukan negatif bagi punca ke-n bagi nombor bukan negatif dipanggil punca aritmetik.

Jawatan: - akar ke- darjah.

Nombor n dipanggil kuasa punca aritmetik. Jika n = 2, maka darjah akar tidak ditunjukkan dan ditulis. Punca darjah kedua biasanya dipanggil punca kuasa dua, dan punca darjah ketiga dipanggil punca padu.

B, b2 = a, a ≥ 0, b ≥ 0

B, bп = a, p - genap a ≥ 0, b ≥ 0

n - ganjil a, b - mana-mana

Hartanah

1. , a ≥ 0, b ≥ 0

2. , a ≥ 0, b >0

3. , a ≥ 0

4. , m, n, k - nombor asli

5. Penyatuan bahan baharu.

Kerja lisan

a) Ungkapan manakah yang masuk akal?

b) Untuk nilai apakah pembolehubah a apakah ungkapan itu masuk akal?

Selesaikan No. 3, 4, 7, 9, 11.

6. Minit pendidikan jasmani.

Kesederhanaan diperlukan dalam semua perkara,

Biarkan ia menjadi peraturan utama.

Lakukan gimnastik, kerana anda telah berfikir untuk masa yang lama,

Gimnastik tidak meletihkan badan,

Tetapi ia membersihkan badan sepenuhnya!

Pejam mata, rilekskan badan,

Bayangkan - anda adalah burung, anda tiba-tiba terbang!

Sekarang anda berenang di lautan seperti ikan lumba-lumba,

Sekarang anda sedang memetik epal masak di taman.

Kiri, kanan, melihat sekeliling,

Buka mata anda dan kembali berniaga!

7. Kerja bebas.

Bekerja secara berpasangan dengan. 178 No. 1, No. 2.

8. D/z. Pelajari item 10 (ms 160-161), selesaikan No. 5, 6, 8, 12, 16(1, 2).

9. Ringkasan pelajaran. Refleksi aktiviti.

Adakah pelajaran itu mencapai matlamatnya?

Apa yang telah anda pelajari?

Sifat asas fungsi kuasa diberikan, termasuk formula dan sifat akar. Derivatif, kamiran, pengembangan dalam siri kuasa dan perwakilan melalui nombor kompleks fungsi kuasa.

Definisi

Definisi
Fungsi kuasa dengan eksponen p ialah fungsi f (x) = x p, nilai yang pada titik x adalah sama dengan nilai fungsi eksponen dengan asas x pada titik p.
Selain itu, f (0) = 0 p = 0 untuk p > 0 .

Untuk nilai semula jadi eksponen, fungsi kuasa ialah hasil darab n nombor bersamaan dengan x:
.
Ia ditakrifkan untuk semua yang sah.

Untuk nilai rasional positif eksponen, fungsi kuasa ialah hasil darab n punca darjah m nombor x:
.
Untuk m ganjil, ia ditakrifkan untuk semua x nyata. Untuk m genap, fungsi kuasa ditakrifkan untuk fungsi bukan negatif.

Untuk negatif , fungsi kuasa ditentukan oleh formula:
.
Oleh itu, ia tidak ditakrifkan pada titik itu.

Untuk nilai tidak rasional eksponen p, fungsi kuasa ditentukan oleh formula:
,
di mana a ialah nombor positif arbitrari tidak sama dengan satu: .
Bila , ia ditakrifkan untuk .
Apabila , fungsi kuasa ditakrifkan untuk .

Kesinambungan. Fungsi kuasa adalah berterusan dalam domain definisinya.

Sifat dan formula fungsi kuasa untuk x ≥ 0

Di sini kita akan mempertimbangkan sifat-sifat fungsi kuasa untuk tidak nilai negatif hujah x. Seperti yang dinyatakan di atas, untuk nilai tertentu eksponen p, fungsi kuasa juga ditakrifkan untuk nilai negatif x. Dalam kes ini, sifatnya boleh didapati daripada sifat , menggunakan genap atau ganjil. Kes-kes ini dibincangkan dan digambarkan secara terperinci pada halaman "".

Fungsi kuasa, y = x p, dengan eksponen p mempunyai sifat berikut:
(1.1) ditakrifkan dan berterusan pada set
pada ,
pada ;
(1.2) mempunyai banyak makna
pada ,
pada ;
(1.3) meningkat dengan tegas dengan ,
menurun dengan tegas sebagai ;
(1.4) pada ;
pada ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Bukti sifat diberikan pada halaman "Fungsi kuasa (bukti kesinambungan dan sifat)"

Akar - definisi, formula, sifat

Definisi
Punca nombor x darjah n ialah nombor yang apabila dinaikkan kepada kuasa n memberikan x:
.
Di sini n = 2, 3, 4, ... - nombor asli lebih daripada satu.

Anda juga boleh mengatakan bahawa punca nombor x darjah n ialah punca (iaitu penyelesaian) persamaan
.
Perhatikan bahawa fungsi tersebut adalah songsang bagi fungsi tersebut.

Punca kuasa dua daripada nombor x ialah punca darjah 2: .

Punca kubus bagi x ialah punca darjah 3: .

Malah ijazah

Untuk kuasa genap n = 2 m, punca ditakrifkan untuk x ≥ 0 . Formula yang sering digunakan adalah sah untuk x positif dan negatif:
.
Untuk punca kuasa dua:
.

Urutan di mana operasi dilakukan adalah penting di sini - iaitu, pertama kuasa dua dilakukan, menghasilkan nombor bukan negatif, dan kemudian punca diambil daripadanya (punca kuasa dua boleh diambil daripada nombor bukan negatif ). Jika kita menukar susunan: , maka untuk negatif x puncanya akan tidak ditentukan, dan dengannya keseluruhan ungkapan akan tidak ditentukan.

Ijazah ganjil

Untuk kuasa ganjil, punca ditakrifkan untuk semua x:
;
.

Sifat dan formula akar

Punca x ialah fungsi kuasa:
.
Apabila x ≥ 0 formula berikut digunakan:
;
;
, ;
.

Formula ini juga boleh digunakan untuk nilai negatif pembolehubah. Anda hanya perlu memastikan bahawa ekspresi radikal kuasa genap tidak negatif.

Nilai peribadi

Punca 0 ialah 0: .
Akar 1 bersamaan dengan 1: .
Punca kuasa dua bagi 0 ialah 0: .
Punca kuasa dua bagi 1 ialah 1: .

Contoh. Akar akar

Mari kita lihat contoh punca kuasa dua punca:
.
Mari kita ubah punca kuasa dua dalam menggunakan formula di atas:
.
Sekarang mari kita ubah akar asal:
.
Jadi,
.

y = x p untuk nilai berbeza bagi eksponen p.

Berikut ialah graf fungsi untuk nilai bukan negatif argumen x. Graf fungsi kuasa yang ditakrifkan untuk nilai negatif x diberikan pada halaman "Fungsi kuasa, sifat dan grafnya"

Fungsi songsang

Songsangan bagi fungsi kuasa dengan eksponen p ialah fungsi kuasa dengan eksponen 1/p.

Jika, maka.

Terbitan fungsi kuasa

Terbitan urutan ke-n:
;

Rumus terbitan > > >

Integral bagi fungsi kuasa

P ≠ - 1 ;
.

Pengembangan siri kuasa

Pada - 1 < x < 1 penguraian berikut berlaku:

Ungkapan menggunakan nombor kompleks

Pertimbangkan fungsi pembolehubah kompleks z:
f (z) = z t.
Mari kita nyatakan pembolehubah kompleks z dalam sebutan modulus r dan hujah φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Kami mewakili nombor kompleks t dalam bentuk bahagian nyata dan khayalan:
t = p + i q .
Kami ada:

Seterusnya, kami mengambil kira bahawa hujah φ tidak ditakrifkan secara unik:
,

Mari kita pertimbangkan kes apabila q = 0 , iaitu eksponen ialah nombor nyata, t = p. Kemudian
.

Jika p ialah integer, maka kp ialah integer. Kemudian, disebabkan oleh keberkalaan fungsi trigonometri:
.
Itu dia fungsi eksponen untuk eksponen integer, untuk z tertentu, hanya mempunyai satu nilai dan oleh itu tidak jelas.

Jika p tidak rasional, maka hasil kp bagi sebarang k tidak menghasilkan integer. Memandangkan k melalui siri nilai tak terhingga k = 0, 1, 2, 3, ..., maka fungsi z p mempunyai banyak nilai yang tidak terhingga. Setiap kali hujah z ditambah 2π(satu pusingan), kita beralih ke cawangan baru fungsi.

Jika p adalah rasional, maka ia boleh diwakili sebagai:
, Di mana m, n- keseluruhan, tidak mengandungi pembahagi biasa. Kemudian
.
Nilai n pertama, dengan k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, berikan n makna yang berbeza kp:
.
Walau bagaimanapun, nilai seterusnya memberikan nilai yang berbeza daripada yang sebelumnya dengan integer. Contohnya, apabila k = k 0+n kami ada:
.
Fungsi trigonometri, yang hujahnya berbeza dengan nilai yang merupakan gandaan 2π, mempunyai nilai yang sama. Oleh itu, dengan peningkatan selanjutnya dalam k, kita memperoleh nilai z p yang sama seperti untuk k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Oleh itu, fungsi eksponen dengan eksponen rasional adalah berbilang nilai dan mempunyai n nilai (cawangan). Setiap kali hujah z ditambah 2π(satu pusingan), kita beralih ke cawangan baru fungsi. Selepas revolusi sebegitu, kami kembali ke cawangan pertama dari mana kira detik bermula.

Khususnya, punca darjah n mempunyai nilai n. Sebagai contoh, pertimbangkan punca ke-n bagi nombor positif nyata z = x. Dalam kes ini φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Jadi, untuk punca kuasa dua, n = 2 ,
.
Untuk k genap, (- 1 ) k = 1. Untuk k ganjil, (- 1 ) k = - 1.
Iaitu, punca kuasa dua mempunyai dua makna: + dan -.

Rujukan:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Panduan matematik untuk jurutera dan pelajar kolej, "Lan", 2009.