Kesirli rasyonel denklemlerin tanımı. Kesirli rasyonel denklemler. Çözüm algoritması

\(\bullet\) Rasyonel bir denklem \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] biçiminde temsil edilen bir denklemdir; burada \(P(x), \Q(x)\ ) - polinomlar (çeşitli kuvvetlerdeki “X”lerin toplamı, çeşitli sayılarla çarpılır).
Denklemin sol tarafındaki ifadeye rasyonel ifade denir.
ODZ (bölge kabul edilebilir değerler) rasyonel bir denklemin tüm \(x\) değerleridir ve paydanın kaybolmadığı, yani \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Örneğin denklemler \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] rasyonel denklemlerdir.
İlk denklemde, ODZ'lerin tümü \(x\) öyle ki \(x\ne 3\) (yaz \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); ikinci denklemde – bunların hepsi \(x\) öyle ki \(x\ne -1; x\ne 1\) (yaz \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); ve üçüncü denklemde ODZ üzerinde herhangi bir kısıtlama yoktur, yani ODZ'nin tamamı \(x\)'dir (\(x\in\mathbb(R)\) yazarlar). \(\bullet\) Teoremler:
1) İki faktörün çarpımı ancak ve ancak biri sıfıra eşitse ve diğeri anlamını yitirmiyorsa sıfıra eşittir, dolayısıyla \(f(x)\cdot g(x)=0\ denklemi ) sisteme eşdeğerdir \[\begin(cases) \left[ \begin(toplandı)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(toplandı) \right.\\ \ text(ODZ denklemleri)\end(durumlar)\] 2) Bir kesir ancak ve ancak pay sıfıra eşitse ve payda sıfıra eşit değilse sıfıra eşittir, bu nedenle denklem \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) bir denklem sistemine eşdeğerdir \[\begin(case) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(case)\]\(\bullet\) Birkaç örneğe bakalım.

1) \(x+1=\dfrac 2x\) denklemini çözün. Bu denklemin ODZ'sini bulalım - bu \(x\ne 0\)'dir (çünkü \(x\) paydadadır).
Bu, ODZ'nin şu şekilde yazılabileceği anlamına gelir: .
Tüm terimleri tek bir parçaya taşıyalım ve ortak payda: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( vakalar) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(vakalar)\] Sistemin ilk denkleminin çözümü \(x=-2, x=1\) olacaktır. Her iki kökün de sıfır olmadığını görüyoruz. Bu nedenle cevap şudur: \(x\in \(-2;1\)\) .

2) Denklemi çözün \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\). Bu denklemin ODZ'sini bulalım. \(x\)'in sol tarafının anlam taşımadığı tek değerinin \(x=0\) olduğunu görüyoruz. Yani ODZ şu şekilde yazılabilir: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Dolayısıyla bu denklem sisteme eşdeğerdir:

\[\begin(cases) \left[ \begin(toplandı)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(toplandı) \right. \\ x\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) \left[ \begin(toplanan)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(aligned) \end(toplandı) \right.\\ x\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) \left[ \begin(toplandı)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(hizalanmış) \end(toplandı) \right.\\ x\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(toplandı) \begin(aligned) &x=2\\ &x=1 \end(aligned) \end(gathered) \right.\] Aslında, \(x=0\) ikinci faktörün kökü olmasına rağmen, orijinal denklemde \(x=0\) yerine koyarsanız bu bir anlam ifade etmeyecektir çünkü \(\dfrac 40\) ifadesi tanımlanmadı.
Dolayısıyla bu denklemin çözümü \(x\in \(1;2\)\)'dir.

3) Denklemi çözün \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] Denklemimizde \(4x^2-1\ne 0\) , buradan \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) yani \(x\ne -\frac12; \frac12 \).
Tüm terimleri sola taşıyıp ortak bir paydaya getirelim:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(case) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(toplanan) \begin( hizalanmış) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(hizalanmış)\end(toplandı) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(case) \quad \ Solsağ ok \quad x=-3\)

Cevap: \(x\in \(-3\)\) .

Yorum. Cevap sonlu bir sayı kümesinden oluşuyorsa, önceki örneklerde gösterildiği gibi bunlar küme parantezleri içinde noktalı virgüllerle ayrılmış olarak yazılabilir.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavı'nda her yıl rasyonel denklem çözmeyi gerektiren problemlerle karşılaşılmaktadır, bu nedenle sertifika sınavını geçmeye hazırlanırken mezunların bu konudaki teoriyi mutlaka kendi başlarına tekrarlamaları gerekmektedir. Sınavın hem temel hem de uzmanlık düzeyindeki mezunlarının bu tür görevlerin üstesinden gelebilmesi gerekir. Teoride uzmanlaşan ve "Rasyonel Denklemler" konulu pratik alıştırmalarla ilgilenen öğrenciler, problemleri herhangi bir sayıda eylemle çözebilecek ve Birleşik Devlet Sınavında rekabetçi puanlar almaya güvenebilecekler.

Shkolkovo eğitim portalını kullanarak sınava nasıl hazırlanılır?

Bazen matematik problemlerinin çözümüne ilişkin temel teoriyi tam olarak sunan bir kaynak bulmak oldukça zor olabilir. Ders kitabı elinizin altında olmayabilir. Ve gerekli formülleri bulmak bazen internette bile oldukça zor olabiliyor.

Shkolkovo eğitim portalı sizi arama ihtiyacından kurtaracak gerekli malzeme ve sertifikasyon testini geçmek için iyi hazırlanmanıza yardımcı olacaktır.

Tüm gerekli teori“Rasyonel Denklemler” konusunda uzmanlarımız en erişilebilir biçimde hazırlayıp sundu. Sunulan bilgileri inceledikten sonra öğrenciler bilgideki boşlukları doldurabileceklerdir.

Birleşik Devlet Sınavına başarılı bir şekilde hazırlanmak için mezunların yalnızca “Rasyonel Denklemler” konusundaki temel teorik materyal hafızasını tazelemeleri değil, aynı zamanda bu konudaki görevleri tamamlama pratiği yapmaları da gerekiyor. spesifik örnekler. Geniş seçim görevler “Katalog” bölümünde sunulmaktadır.

Sitedeki her alıştırma için uzmanlarımız bir çözüm algoritması yazmış ve doğru cevabı işaretlemiştir. Öğrenciler beceri düzeylerine bağlı olarak değişen zorluk derecelerindeki problemleri çözme pratiği yapabilirler. İlgili bölümdeki görevlerin listesi sürekli olarak desteklenmekte ve güncellenmektedir.

“Rasyonel Denklemler” konusunda teorik materyal çalışın ve problem çözme becerilerinizi geliştirin. Birleşik Devlet Sınavı testleri, çevrimiçi olarak yapılabilir. Gerekirse sunulan görevlerden herhangi biri “Favoriler” bölümüne eklenebilir. Bir lise öğrencisi, "Rasyonel Denklemler" konusundaki temel teoriyi bir kez daha tekrarladıktan sonra, gelecekte bir cebir dersinde öğretmeniyle çözümünün ilerleyişini tartışmak için probleme dönebilecek.

“Polinomlu rasyonel denklemler” testlerde en sık karşılaşılan konulardan biridir. Birleşik Devlet Sınavı atamaları matematik. Bu nedenle tekrar etmekte fayda var Özel dikkat. Pek çok öğrenci diskriminant bulma, göstergeleri sağdan sola aktarma ve denklemi ortak paydaya getirme sorunuyla karşı karşıya kalıyor ve bu nedenle bu tür görevleri tamamlamak zorluklara neden oluyor. Çözüm rasyonel denklemler Web sitemizdeki Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken, her türlü karmaşıklıktaki görevlerle hızlı bir şekilde başa çıkmanıza ve testi başarıyla geçmenize yardımcı olacaktır.

Birleşik Matematik Sınavına başarıyla hazırlanmak için Shkolkovo eğitim portalını seçin!

Bilinmeyenleri hesaplama kurallarını bilmek ve kolayca elde etmek doğru sonuçlar, çevrimiçi hizmetimizi kullanın. Shkolkovo portalı, hazırlık için gerekli her şeyi içeren türünün tek örneği bir platformdur. Birleşik Devlet Sınavı materyalleri. Öğretmenlerimiz tüm matematik kurallarını sistematize edip anlaşılır bir biçimde sundular. Ek olarak, okul çocuklarını, temeli sürekli güncellenen ve genişletilen standart rasyonel denklemleri çözme konusunda ellerini denemeye davet ediyoruz.

Teste daha etkili bir hazırlık için, özel yöntemimizi izlemenizi ve kuralları tekrarlayıp basit problemleri çözerek başlamanızı, yavaş yavaş daha karmaşık problemlere geçmenizi öneririz. Böylece mezun kendisi için en zor konuları belirleyebilecek ve bunları incelemeye odaklanabilecektir.

Bugün Shkolkovo ile son teste hazırlanmaya başlayın, sonuçların gelmesi uzun sürmeyecek! En çok seç kolay örnekönerilenlerden. İfadeyi hızlı bir şekilde öğrendiyseniz daha fazlasına geçin. zor görev. Bu şekilde bilginizi matematikteki USE görevlerini uzmanlık düzeyinde çözme noktasına kadar geliştirebilirsiniz.

Eğitim yalnızca Moskova'dan mezun olanlar için değil, diğer şehirlerden gelen okul çocukları için de geçerlidir. Örneğin, günde birkaç saatinizi portalımızda çalışarak geçirin; çok yakında her türlü karmaşıklıktaki denklemlerle başa çıkabileceksiniz!

hakkında konuşmaya devam edelim denklem çözme. Bu yazımızda bu konuyu detaylı olarak ele alacağız. rasyonel denklemler ve tek değişkenli rasyonel denklemlerin çözüm ilkeleri. Öncelikle hangi tür denklemlere rasyonel denildiğini bulalım, tam rasyonel ve kesirli rasyonel denklemlerin tanımını verelim ve örnekler verelim. Daha sonra rasyonel denklemleri çözmek için algoritmalar elde edeceğiz ve elbette gerekli tüm açıklamalarla birlikte tipik örneklerin çözümlerini ele alacağız.

Sayfada gezinme.

Belirtilen tanımlara dayanarak, birkaç rasyonel denklem örneği veriyoruz. Örneğin, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, ,'nin tümü rasyonel denklemlerdir.

Gösterilen örneklerden, rasyonel denklemlerin ve diğer türdeki denklemlerin tek değişkenli veya iki, üç vb. olabileceği açıktır. değişkenler. Aşağıdaki paragraflarda tek değişkenli rasyonel denklemlerin çözümünden bahsedeceğiz. İki değişkenli denklemleri çözme ve onları Büyük bir sayıözel ilgiyi hak ediyor.

Rasyonel denklemler bilinmeyen değişken sayısına bölünmenin yanı sıra tamsayı ve kesirli olarak da ayrılırlar. İlgili tanımları verelim.

Tanım.

Rasyonel denklem denir tüm, eğer hem sol hem de sağ tarafları tamsayı rasyonel ifadeler ise.

Tanım.

Rasyonel bir denklemin parçalarından en az biri kesirli bir ifade ise, böyle bir denklem denir. kesirli rasyonel(veya kesirli rasyonel).

Tam denklemlerin bir değişkene göre bölmeyi içermediği açıktır; aksine, kesirli rasyonel denklemler zorunlu olarak bir değişkene (veya paydadaki bir değişkene) bölmeyi içerir. Yani 3 x+2=0 ve (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– bunlar tam rasyonel denklemlerdir, her iki parçası da tam ifadelerdir. A ve x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 kesirli rasyonel denklem örnekleridir.

Bu noktayı bitirirken, şu ana kadar bilinen lineer denklemlerin ve ikinci dereceden denklemlerin tamamen rasyonel denklemler olduğuna dikkat edelim.

Denklemlerin tamamını çözme

Denklemlerin tamamını çözmenin temel yaklaşımlarından biri onları eşdeğer denklemlere indirgemektir. cebirsel denklemler. Bu her zaman denklemin aşağıdaki eşdeğer dönüşümleri gerçekleştirilerek yapılabilir:

• ilk olarak orijinal tamsayı denkleminin sağ tarafındaki ifade ters işaretli olarak sol tarafa aktarılarak sağ tarafta sıfır elde edilir;
• bundan sonra denklemin sol tarafında sonuç standart görünüm.

Sonuç, orijinal tamsayı denklemine eşdeğer bir cebirsel denklemdir. Bu nedenle, en basit durumlarda, denklemlerin tamamının çözülmesi, doğrusal veya ikinci dereceden denklemlerin çözülmesine ve genel durumda, n dereceli bir cebirsel denklemin çözülmesine indirgenir. Açıklık sağlamak için, örneğin çözümüne bakalım.

Örnek.

Tüm denklemin köklerini bulun 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Çözüm.

Tüm bu denklemin çözümünü eşdeğer bir cebirsel denklemin çözümüne indirgeyelim. Bunun için öncelikle ifadeyi sağ taraftan sola aktarıyoruz ve bunun sonucunda denkleme ulaşıyoruz. 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. İkinci olarak sol tarafta oluşan ifadeyi gerekli işlemleri tamamlayarak standart formda bir polinom haline dönüştürüyoruz: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Böylece, orijinal tamsayı denkleminin çözümü ikinci dereceden x 2 −5·x−6=0 denkleminin çözümüne indirgenir.

Diskriminantını hesaplıyoruz D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49 pozitiftir, bu da denklemin iki gerçek kökü olduğu anlamına gelir; bunu ikinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanarak buluruz:

Tamamen emin olmak için hadi yapalım Denklemin bulunan köklerinin kontrol edilmesi. İlk önce kök 6'yı kontrol ederiz, orijinal tamsayı denkleminde x değişkeni yerine onu kullanırız: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3 63=63 aynıdır. Bu geçerli bir sayısal denklemdir, dolayısıyla x=6 aslında denklemin köküdür. Şimdi −1 kökünü kontrol edersek, elimizde 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, buradan, 0=0 . X=−1 olduğunda orijinal denklem de doğru bir sayısal eşitliğe dönüşür, dolayısıyla x=−1 aynı zamanda denklemin köküdür.

Cevap:

6 , −1 .

Burada ayrıca "tüm denklemin derecesi" teriminin, bir denklemin tamamının cebirsel bir denklem biçiminde temsil edilmesiyle ilişkili olduğuna da dikkat edilmelidir. İlgili tanımı verelim:

Tanım.

Tüm denklemin gücü eşdeğer cebirsel denklemin derecesi denir.

Bu tanıma göre denklemin tamamı önceki örnek ikinci derece var.

Bu, tek bir şey olmasa bile, tüm rasyonel denklemleri çözmenin sonu olabilirdi…. Bilindiği gibi derecesi ikinciden yüksek olan cebirsel denklemlerin çözümü önemli zorluklarla ilişkilidir ve derecesi dördüncüden yüksek olan denklemler için herhangi bir çözüm söz konusu değildir. genel formüller kökler Bu nedenle üçüncü, dördüncü ve daha fazla denklemin tamamını çözmek için yüksek derecelerÇoğu zaman başka çözüm yöntemlerine başvurmak zorunda kalırsınız.

Bu gibi durumlarda rasyonel denklemlerin tamamının çözümüne dayalı bir yaklaşım çarpanlara ayırma yöntemi. Bu durumda aşağıdaki algoritmaya uyulur:

• Öncelikle denklemin sağ tarafında sıfır olmasını sağlarlar, bunun için denklemin tamamının sağ tarafındaki ifadeyi sola aktarırlar;
• daha sonra sol tarafta ortaya çıkan ifade, birkaç faktörün çarpımı olarak sunulur ve bu da birkaç basit denklem dizisine geçmemize olanak tanır.

Bir denklemin tamamını çarpanlara ayırma yoluyla çözmek için verilen algoritma, bir örnek kullanılarak ayrıntılı bir açıklama gerektirir.

Örnek.

Denklemin tamamını çöz (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Çözüm.

Öncelikle her zamanki gibi ifadeyi denklemin sağ tarafından sol tarafına aktarıyoruz, işareti değiştirmeyi unutmadan, şunu elde ediyoruz: (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Burada, ortaya çıkan denklemin sol tarafını standart formda bir polinom haline dönüştürmenin tavsiye edilmeyeceği oldukça açıktır, çünkü bu, formun dördüncü derecesinin cebirsel bir denklemini verecektir. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0 bunun çözümü zordur.

Öte yandan, ortaya çıkan denklemin sol tarafında x 2 −10 x+13'ü bir çarpım olarak sunabileceğimiz açıktır. Sahibiz (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ortaya çıkan denklem orijinal denklemin tamamına eşdeğerdir ve bu da iki ikinci dereceden denklem x 2 −10·x+13=0 ve x 2 −2·x−1=0 ile değiştirilebilir. Bir diskriminant aracılığıyla bilinen kök formüllerini kullanarak köklerini bulmak zor değildir; kökler eşittir. Bunlar orijinal denklemin istenen kökleridir.

Cevap:

Ayrıca rasyonel denklemlerin tamamını çözmek için de faydalıdır yeni bir değişken ekleme yöntemi. Bazı durumlarda derecesi orijinal denklemin tamamının derecesinden daha düşük olan denklemlere geçmenize olanak tanır.

Örnek.

Rasyonel bir denklemin gerçek köklerini bulun (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Çözüm.

En hafif deyimle, bu rasyonel denklemin tamamını cebirsel bir denkleme indirgemek pek iyi bir fikir değil, çünkü bu durumda dördüncü dereceden denklemi çözme ihtiyacı duyacağız. rasyonel kökler. Bu nedenle başka bir çözüm aramanız gerekecek.

Burada yeni bir y değişkeni tanıtabileceğinizi ve x 2 +3·x ifadesini bununla değiştirebileceğinizi görmek kolaydır. Bu değiştirme bizi tüm (y+1) 2 +10=−2·(y−4) denklemine götürür; bu, −2·(y−4) ifadesini sol tarafa taşıdıktan ve ardından ifadeyi dönüştürdükten sonra burada oluşan ikinci derece denklem y 2 +4·y+3=0'a indirgenir. Bu denklemin y=−1 ve y=−3 köklerini bulmak kolaydır, örneğin Vieta teoreminin tersi olan teoreme göre seçilebilirler.

Şimdi yeni bir değişken ekleme yönteminin ikinci kısmına, yani ters değiştirme işlemine geçiyoruz. Ters değiştirme işlemini gerçekleştirdikten sonra, x 2 +3 x=−1 ve x 2 +3 x=−3 olmak üzere iki denklem elde ederiz; bunlar x 2 +3 x+1=0 ve x 2 +3 x+3 olarak yeniden yazılabilir. =0 . İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanarak ilk denklemin köklerini buluruz. Ve ikinci ikinci dereceden denklemin diskriminantı negatif olduğundan gerçek kökleri yoktur (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Cevap:

Genel olarak, yüksek dereceli denklemlerin tamamıyla uğraşırken her zaman araştırmaya hazır olmalıyız. standart dışı yöntem veya bunları çözmek için yapay bir yöntem.

Kesirli rasyonel denklemleri çözme

İlk olarak, p(x) ve q(x)'in tamsayı rasyonel ifadeler olduğu kesirli rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini anlamak faydalı olacaktır. Daha sonra diğer kesirli rasyonel denklemlerin çözümünün belirtilen türdeki denklemlerin çözümüne nasıl indirgeneceğini göstereceğiz.

Denklemi çözmeye yönelik bir yaklaşım şu ifadeye dayanmaktadır: v'nin sıfır olmayan bir sayı olduğu u/v sayısal kesri (aksi takdirde tanımsız olan ile karşılaşırız), ancak ve ancak payının şu şekilde olması durumunda sıfıra eşittir: sıfıra eşitse, ancak ve ancak u=0 ise olur. Bu ifade sayesinde denklemin çözümü, p(x)=0 ve q(x)≠0 olmak üzere iki koşulun yerine getirilmesine indirgenir.

Bu sonuç aşağıdakilere karşılık gelir kesirli rasyonel denklemi çözmek için algoritma. Formun kesirli rasyonel denklemini çözmek için ihtiyacınız olan şey

• p(x)=0 rasyonel denkleminin tamamını çözün;
• ve bulunan her kök için q(x)≠0 koşulunun karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin;
• eğer doğruysa bu kök orijinal denklemin köküdür;
• eğer karşılanmazsa bu kök yabancıdır, yani orijinal denklemin kökü değildir.

Kesirli bir rasyonel denklemi çözerken duyurulan algoritmayı kullanmanın bir örneğine bakalım.

Örnek.

Denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

Bu kesirli rasyonel bir denklemdir ve şu şekildedir: p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Bu tür kesirli rasyonel denklemlerin çözümüne yönelik algoritmaya göre, öncelikle 3 x−2=0 denklemini çözmemiz gerekir. Bu Doğrusal Denklem, kökü x=2/3'tür.

Geriye bu kökü kontrol etmek, yani 5 x 2 −2≠0 koşulunu karşılayıp karşılamadığını kontrol etmek kalıyor. 5 x 2 −2 ifadesinde x yerine 2/3 sayısını koyarsak ve elde ederiz. Koşul karşılanmıştır, dolayısıyla x=2/3 orijinal denklemin köküdür.

Cevap:

2/3 .

Kesirli bir rasyonel denklemin çözümüne biraz farklı bir açıdan yaklaşabilirsiniz. Bu denklem, orijinal denklemin x değişkeni üzerindeki p(x)=0 tamsayı denklemine eşdeğerdir. Yani buna bağlı kalabilirsiniz kesirli rasyonel denklemi çözmek için algoritma :

• p(x)=0 denklemini çözün;
• x değişkeninin ODZ'sini bulun;
• kabul edilebilir değerlerin bölgesine ait kökleri alın - bunlar orijinal kesirli rasyonel denklemin istenen kökleridir.

Örneğin bu algoritmayı kullanarak kesirli bir rasyonel denklemi çözelim.

Örnek.

Denklemi çözün.

Çözüm.

Öncelikle ikinci dereceden x 2 −2·x−11=0 denklemini çözüyoruz. Kökleri çift ikinci katsayı için kök formülü kullanılarak hesaplanabilir, elimizdeki D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Ve .

İkinci olarak, orijinal denklem için x değişkeninin ODZ'sini buluyoruz. x 2 +3·x≠0 olan ve x·(x+3)≠0 ile aynı olan tüm sayılardan oluşur; dolayısıyla x≠0, x≠−3.

Geriye ilk adımda bulunan köklerin ODZ'ye dahil edilip edilmediğini kontrol etmek kalıyor. Açıkçası evet. Bu nedenle, orijinal kesirli rasyonel denklemin iki kökü vardır.

Cevap:

ODZ'nin bulunması kolaysa bu yaklaşımın ilkinden daha karlı olduğunu ve özellikle p(x) = 0 denkleminin köklerinin irrasyonel veya rasyonel olması ancak oldukça büyük bir paya sahip olması durumunda özellikle faydalı olduğunu unutmayın. /veya payda, örneğin, 127/1101 ve −31/59. Bunun nedeni, bu tür durumlarda q(x)≠0 koşulunun kontrol edilmesinin önemli miktarda hesaplama çabası gerektirmesi ve ODZ kullanılarak yabancı köklerin hariç tutulmasının daha kolay olmasıdır.

Diğer durumlarda, denklemi çözerken, özellikle p(x) = 0 denkleminin kökleri tamsayı olduğunda, verilen algoritmalardan ilkini kullanmak daha karlı olur. Yani, p(x)=0 denkleminin tamamının köklerini hemen bulmak ve ardından ODZ'yi bulup denklemi çözmek yerine q(x)≠0 koşulunun onlar için karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmek tavsiye edilir. Bu ODZ'de p(x)=0. Bunun nedeni, bu gibi durumlarda kontrol etmenin genellikle DZ'yi bulmaktan daha kolay olmasıdır.

Belirtilen nüansları göstermek için iki örneğin çözümünü ele alalım.

Örnek.

Denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

İlk önce tüm denklemin köklerini bulalım (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, kesrin payı kullanılarak oluşturulur. Bu denklemin sol tarafı bir çarpım, sağ tarafı ise sıfırdır, dolayısıyla denklemleri çarpanlara ayırma yöntemine göre bu denklem dört denklemden oluşan bir sete eşdeğerdir 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Bu denklemlerden üçü doğrusal, biri ikinci derecedendir; bunları çözebiliriz. İlk denklemden x=1/2, ikinciden - x=6, üçüncüden - x=7, x=−2, dördüncüden - x=−1 buluyoruz.

Bulunan köklerle, orijinal denklemin sol tarafındaki kesirin paydasının kaybolup kaybolmadığını kontrol etmek oldukça kolaydır, ancak tam tersine ODZ'yi belirlemek o kadar basit değildir, çünkü bunun için çözmeniz gerekecek beşinci derecenin cebirsel denklemi. Bu nedenle, kökleri kontrol etmek adına ODZ'yi bulmayı bırakacağız. Bunu yapmak için ifadedeki x değişkeni yerine bunları birer birer değiştiriyoruz. x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, değiştirmeden sonra elde edilenleri sıfırla karşılaştırın: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Dolayısıyla, 1/2, 6 ve −2 orijinal kesirli rasyonel denklemin istenen kökleridir ve 7 ve −1 ise yabancı köklerdir.

Cevap:

1/2 , 6 , −2 .

Örnek.

Kesirli bir rasyonel denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

İlk önce denklemin köklerini bulalım (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Bu denklem iki denklemden oluşan bir diziye eşdeğerdir: kare 5 x 2 −7 x−1=0 ve doğrusal x−2=0. İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanarak iki kök buluruz ve ikinci denklemden x=2 elde ederiz.

X'in bulunan değerlerinde paydanın sıfıra gidip gitmediğini kontrol etmek oldukça tatsızdır. Ve orijinal denklemde x değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığını belirlemek oldukça basittir. Bu nedenle ODZ üzerinden hareket edeceğiz.

Bizim durumumuzda, orijinal kesirli rasyonel denklemin x değişkeninin ODZ'si, x 2 +5·x−14=0 koşulunun karşılandığı sayılar dışındaki tüm sayılardan oluşur. Bu ikinci dereceden denklemin kökleri x=−7 ve x=2'dir ve bundan ODZ hakkında bir sonuç çıkarıyoruz: tüm x'lerden oluşur, öyle ki .

Geriye bulunan köklerin ve x=2'nin kabul edilebilir değerler aralığına ait olup olmadığını kontrol etmek kalır. Kökler aittir, dolayısıyla orijinal denklemin kökleridir ve x=2 ait değildir, dolayısıyla yabancı bir köktür.

Cevap:

Ayrıca, kesirli bir rasyonel denklemde payda bir sayının olduğu, yani p(x)'in bir sayı ile temsil edildiği durumlar üzerinde ayrı ayrı durmak faydalı olacaktır. burada

• eğer bu sayı sıfır değilse, o zaman denklemin kökleri yoktur, çünkü bir kesir ancak ve ancak payı sıfıra eşitse sıfıra eşittir;
• bu sayı sıfırsa denklemin kökü ODZ'den herhangi bir sayıdır.

Örnek.

Çözüm.

Denklemin sol tarafındaki kesrin payı sıfırdan farklı bir sayı içerdiğinden herhangi bir x için bu kesrin değeri sıfır olamaz. Dolayısıyla bu denklemin kökleri yoktur.

Cevap:

kök yok.

Örnek.

Denklemi çözün.

Çözüm.

Bu kesirli rasyonel denklemin sol tarafındaki kesrin payı sıfır içerir, dolayısıyla bu kesrin değeri, anlamlı olduğu herhangi bir x için sıfırdır. Başka bir deyişle, bu denklemin çözümü bu değişkenin ODZ'sinden herhangi bir x değeridir.

Geriye bu kabul edilebilir değer aralığını belirlemek kalıyor. x 4 +5 x 3 ≠0 olan tüm x değerlerini içerir. x 4 +5 x 3 =0 denkleminin çözümleri 0 ve −5'tir, çünkü bu denklem x 3 (x+5)=0 denklemine eşdeğerdir ve bu da iki x denkleminin birleşimine eşdeğerdir 3 =0 ve x +5=0, bu köklerin görülebildiği yerden. Bu nedenle kabul edilebilir değerlerin istenilen aralığı x=0 ve x=−5 dışında herhangi bir x'tir.

Dolayısıyla, kesirli bir rasyonel denklemin sıfır ve eksi beş dışında herhangi bir sayıdan oluşan sonsuz sayıda çözümü vardır.

Cevap:

Son olarak, keyfi biçimdeki kesirli rasyonel denklemlerin çözümü hakkında konuşmanın zamanı geldi. r(x)=s(x) şeklinde yazılabilirler; burada r(x) ve s(x) rasyonel ifadelerdir ve bunlardan en az biri kesirlidir. İleriye baktığımızda, çözümlerinin bize zaten tanıdık gelen formdaki denklemleri çözmeye bağlı olduğunu varsayalım.

Bir terimin denklemin bir kısmından ters işaretli diğer kısmına aktarılmasının eşdeğer bir denklem oluşturduğu bilinmektedir, dolayısıyla r(x)=s(x) denklemi r(x)−s(x) denklemine eşdeğerdir. )=0.

Ayrıca bu ifadeye eşit olan herhangi bir ifadenin mümkün olduğunu da biliyoruz. Böylece r(x)−s(x)=0 denkleminin sol tarafındaki rasyonel ifadeyi her zaman formun özdeş eşit rasyonel kesrine dönüştürebiliriz.

Dolayısıyla, orijinal kesirli rasyonel denklem r(x)=s(x)'ten denkleme geçiyoruz ve bunun çözümü, yukarıda öğrendiğimiz gibi, p(x)=0 denkleminin çözümüne indirgeniyor.

Ancak burada, r(x)−s(x)=0 ile ve ardından p(x)=0 ile değiştirilirken, x değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığının genişleyebileceği gerçeğini hesaba katmak gerekir. .

Sonuç olarak, ulaştığımız orijinal r(x)=s(x) denklemi ile p(x)=0 denklemi eşit olmayabilir ve p(x)=0 denklemini çözerek kökleri elde edebiliriz. bunlar orijinal r(x)=s(x) denkleminin yabancı kökleri olacaktır. Bir kontrol yaparak veya bunların orijinal denklemin ODZ'sine ait olup olmadığını kontrol ederek yabancı kökleri tanımlayabilir ve cevaba dahil etmeyebilirsiniz.

Bu bilgileri şöyle özetleyelim r(x)=s(x) kesirli rasyonel denklemini çözmek için algoritma. Kesirli rasyonel denklem r(x)=s(x)'i çözmek için şunlara ihtiyacınız vardır:

• İfadeyi sağ taraftan ters işaretle hareket ettirerek sağdaki sıfırı alın.
• Denklemin sol tarafında kesirler ve polinomlarla işlemler gerçekleştirin, böylece onu formun rasyonel bir kesirine dönüştürün.
• p(x)=0 denklemini çözün.
• Yabancı kökleri orijinal denklemde değiştirerek veya orijinal denklemin ODZ'sine ait olduklarını kontrol ederek tanımlayın ve ortadan kaldırın.

Daha fazla netlik sağlamak için, kesirli rasyonel denklemlerin çözüm zincirinin tamamını göstereceğiz:
.

Birkaç örnekle çözümlerine bakalım detaylı açıklama Verilen bilgi bloğunu açıklığa kavuşturmak için çözümün ilerleyişi.

Örnek.

Kesirli rasyonel denklemi çözün.

Çözüm.

Az önce elde edilen çözüm algoritmasına göre hareket edeceğiz. Ve önce terimleri denklemin sağ tarafından sola kaydırıyoruz, sonuç olarak denkleme geçiyoruz.

İkinci adımda, ortaya çıkan denklemin sol tarafındaki kesirli rasyonel ifadeyi kesir formuna dönüştürmemiz gerekiyor. Bunu yapmak için rasyonel kesirleri ortak bir paydaya indiririz ve ortaya çıkan ifadeyi basitleştiririz: . Böylece denkleme geliyoruz.

Bir sonraki adımda −2·x−1=0 denklemini çözmemiz gerekiyor. x=−1/2'yi buluyoruz.

Bulunan −1/2 sayısının orijinal denklemin yabancı bir kökü olup olmadığını kontrol etmek kalır. Bunu yapmak için orijinal denklemdeki x değişkeninin VA'sını kontrol edebilir veya bulabilirsiniz. Her iki yaklaşımı da gösterelim.

Kontrol ederek başlayalım. Orijinal denklemde x değişkeni yerine −1/2 sayısını koyarsak aynı şeyi elde ederiz: −1=−1. Değiştirme doğru sayısal eşitliği verir, dolayısıyla x=−1/2 orijinal denklemin köküdür.

Şimdi algoritmanın son noktasının ODZ üzerinden nasıl gerçekleştirildiğini göstereceğiz. Orijinal denklemin izin verilen değerlerinin aralığı -1 ve 0 dışındaki tüm sayıların kümesidir (x=−1 ve x=0'da kesirlerin paydaları kaybolur). Önceki adımda bulunan x=−1/2 kökü ODZ'ye aittir, dolayısıyla x=−1/2 orijinal denklemin köküdür.

Cevap:

−1/2 .

Başka bir örneğe bakalım.

Örnek.

Denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

Kesirli bir rasyonel denklemi çözmemiz gerekiyor, hadi algoritmanın tüm adımlarını izleyelim.

İlk önce terimi sağ taraftan sola kaydırırız, şunu elde ederiz.

İkinci olarak sol tarafta oluşan ifadeyi dönüştürüyoruz: . Sonuç olarak x=0 denklemine ulaşıyoruz.

Kökü bellidir; sıfırdır.

Dördüncü adımda, bulunan kökün orijinal kesirli rasyonel denkleme yabancı olup olmadığını bulmaya devam ediyor. Orijinal denklemde yerine konulduğunda ifade elde edilir. Açıkçası sıfıra bölmeyi içerdiği için mantıklı değil. Buradan 0'ın yabancı bir kök olduğu sonucuna vardık. Bu nedenle orijinal denklemin kökleri yoktur.

7, bu da Denklem'e yol açar. Buradan, sol taraftaki paydadaki ifadenin sağ taraftaki paydadaki ifadeye eşit olması gerektiği sonucuna varabiliriz. Şimdi üçlünün her iki tarafından da çıkarıyoruz: . Benzetme yoluyla, nereden ve daha ileri.

Kontrol, bulunan her iki kökün de orijinal kesirli rasyonel denklemin kökleri olduğunu gösterir.

Cevap:

Kaynakça.

• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkoviç A.G. Cebir. 8. sınıf. Saat 14.00'te 1. Bölüm: Öğrenciler için ders kitabı Eğitim Kurumları/ A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Cebir: 9. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2009. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Bu denklemi basitleştirmek için en düşük ortak payda kullanılır. Bu yöntem, belirli bir denklemi denklemin her iki tarafında bir rasyonel ifadeyle yazamadığınız (ve çapraz çarpma yöntemini kullanamadığınız) durumlarda kullanılır. Bu yöntem, size 3 veya daha fazla kesirli rasyonel bir denklem verildiğinde kullanılır (iki kesirli olması durumunda çapraz çarpımı kullanmak daha iyidir).

Kesirlerin en küçük ortak paydasını (veya en küçük ortak katını) bulun. NOZ: en küçük sayı, her paydaya eşit olarak bölünebilir.

• Bazen NPD bariz bir sayıdır. Örneğin x/3 + 1/2 = (3x +1)/6 denklemi verilirse 3, 2 ve 6 sayılarının en küçük ortak katının 6 olduğu açıktır.
• BOH açık değilse, en büyük paydanın katlarını yazın ve bunların arasından diğer paydaların katı olacak olanı bulun. Çoğunlukla NOD basitçe iki paydanın çarpılmasıyla bulunabilir. Örneğin denklem x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 olarak verilirse NOS = 8*9 = 72 olur.
• Bir veya daha fazla payda bir değişken içeriyorsa süreç biraz daha karmaşık hale gelir (ancak imkansız değildir). Bu durumda NOC, her paydaya bölünen bir ifadedir (bir değişken içerir). Örneğin, 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) denkleminde, çünkü bu ifade her paydaya bölünür: 3x(x-1)/(x) -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Her kesrin hem payını hem de paydasını, NOC'yi her kesrin karşılık gelen paydasına bölmenin sonucuna eşit bir sayı ile çarpın. Hem payı hem de paydayı aynı sayıyla çarptığınız için kesri etkili bir şekilde 1 ile çarpmış olursunuz (örneğin, 2/2 = 1 veya 3/3 = 1).

• Örneğimizde, 2x/6 elde etmek için x/3'ü 2/2 ile çarpın ve 3/6 elde etmek için 1/2'yi 3/3 ile çarpın (3x +1/6 kesrinin çarpılmasına gerek yoktur çünkü bu kesir payda 6'dır).
• Değişken paydada olduğunda da benzer şekilde ilerleyin. İkinci örneğimizde, NOZ = 3x(x-1), dolayısıyla 5(3x)/(3x)(x-1) elde etmek için 5/(x-1)'i (3x)/(3x) ile çarpın; 1/x 3(x-1)/3(x-1) ile çarpıldığında 3(x-1)/3x(x-1) elde edilir; 2/(3x) (x-1)/(x-1) ile çarpıldığında 2(x-1)/3x(x-1) elde edilir.

x'i bulun. Artık kesirleri ortak bir paydaya indirdiğinize göre paydadan kurtulabilirsiniz. Bunu yapmak için denklemin her iki tarafını ortak paydayla çarpın. Daha sonra ortaya çıkan denklemi çözün, yani "x" i bulun. Bunu yapmak için değişkeni denklemin bir tarafında izole edin.

• Örneğimizde: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Aynı paydaya sahip 2 kesir toplayabilirsiniz, dolayısıyla denklemi şu şekilde yazın: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Denklemin her iki tarafını da 6 ile çarpın ve paydalardan kurtulun: 2x+3 = 3x +1. Çözün ve x = 2 elde edin.
• İkinci örneğimizde (paydasında bir değişken varken), denklem şöyle görünür (ortak bir paydaya indirildikten sonra): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Denklemin her iki tarafını da N3 ile çarparak paydadan kurtulursunuz ve şunu elde edersiniz: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) veya 15x = 3x - 3 + 2x -2 veya 15x = x - 5 Çözün ve şunu elde edin: x = -5/14.

Konuyla ilgili sunum ve ders: "Rasyonel denklemler. Algoritma ve rasyonel denklem çözme örnekleri"

Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

8. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
Makarychev Yu.N.'nin ders kitabı için bir kılavuz. Mordkovich A.G.'nin ders kitabı kılavuzu.

İrrasyonel Denklemlere Giriş

Arkadaşlar çözmeyi öğrendik. ikinci dereceden denklemler. Ancak matematik sadece bunlarla sınırlı değildir. Bugün rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz. Rasyonel denklemler kavramı birçok yönden bu kavrama benzer. rasyonel sayılar. Yalnızca sayılara ek olarak, şimdi bazı $x$ değişkenlerini de ekledik. Böylece toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve tamsayıya çıkarma işlemlerinin yer aldığı bir ifade elde etmiş oluyoruz.

$r(x)$ olsun rasyonel ifade. Böyle bir ifade, $x$ değişkenindeki basit bir polinom veya polinomların oranı olabilir (rasyonel sayılarda olduğu gibi bir bölme işlemi uygulanır).
$r(x)=0$ denklemine denir rasyonel denklem.
$p(x)=q(x)$ formundaki herhangi bir denklem (burada $p(x)$ ve $q(x)$ rasyonel ifadelerdir) de şu şekilde olacaktır: rasyonel denklem.

Rasyonel denklemleri çözme örneklerine bakalım.

Örnek 1.
Denklemi çözün: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Çözüm.
Tüm ifadeleri sol tarafa taşıyalım: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Denklemin sol tarafı sıradan sayılarla temsil edilseydi, iki kesri ortak bir paydaya indirirdik.
Hadi şunu yapalım: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Denklemi elde ettik: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Bir kesir, ancak ve ancak kesrin payının sıfır olması ve paydasının sıfırdan farklı olması durumunda sıfıra eşittir. Daha sonra payı ayrı ayrı sıfıra eşitleyip payın köklerini buluyoruz.
$3(x^2+2x-3)=0$ veya $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Şimdi kesrin paydasını kontrol edelim: $(x-3)*x≠0$.
İki sayının çarpımı, bu sayılardan en az biri sıfıra eşit olduğunda sıfıra eşittir. Sonra: $x≠0$ veya $x-3≠0$.
$x≠0$ veya $x≠3$.
Pay ve paydada elde edilen kökler çakışmıyor. Bu yüzden cevapta payın her iki kökünü de yazıyoruz.
Cevap: $x=1$ veya $x=-3$.

Payın köklerinden biri aniden paydanın köküyle çakışırsa, hariç tutulmalıdır. Bu tür köklere yabancı denir!

Rasyonel denklemleri çözmek için algoritma:

1. Denklemin içerdiği tüm ifadeleri eşittir işaretinin sol tarafına taşıyın.
2. Denklemin bu kısmını şuna dönüştürün: cebirsel kesir: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Ortaya çıkan payı sıfıra eşitleyin, yani $p(x)=0$ denklemini çözün.
4. Paydayı sıfıra eşitleyin ve elde edilen denklemi çözün. Paydanın kökleri payın kökleriyle çakışıyorsa cevaptan çıkarılmalıdır.

Örnek 2.
Denklemi çözün: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Çözüm.
Algoritmanın noktalarına göre çözelim.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Payı sıfıra eşitleyin: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Paydayı sıfıra eşitleyin:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ ve $x=-1$.
$x=1$ köklerinden biri payın köküne denk geliyorsa bunu cevaba yazmayız.
Cevap: $x=-1$.

Değişkenlerin değişimi yöntemini kullanarak rasyonel denklemleri çözmek uygundur. Bunu gösterelim.

Örnek 3.
Denklemi çözün: $x^4+12x^2-64=0$.

Çözüm.
Değiştirmeyi tanıtalım: $t=x^2$.
O zaman denklemimiz şu şekli alacaktır:
$t^2+12t-64=0$ - sıradan ikinci dereceden denklem.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 dolar.
Ters yerine koymayı tanıtalım: $x^2=4$ veya $x^2=-16$.
İlk denklemin kökleri bir çift sayıdır $x=±2$. İkincisi ise köklerinin olmamasıdır.
Cevap: $x=±2$.

Örnek 4.
Denklemi çözün: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Çözüm.
Yeni bir değişken tanıtalım: $t=x^2+x+1$.
O zaman denklem şu şekli alacaktır: $t=\frac(15)(t+2)$.
Daha sonra algoritmaya göre ilerleyeceğiz.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 dolar.
4. $t≠-2$ - kökler çakışmıyor.
Ters ikameyi tanıtalım.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Her denklemi ayrı ayrı çözelim:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - hayır kökler
Ve ikinci denklem: $x^2+x-2=0$.
Bu denklemin kökleri $x=-2$ ve $x=1$ sayıları olacaktır.
Cevap: $x=-2$ ve $x=1$.

Örnek 5.
Denklemi çözün: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Çözüm.
Değiştirmeyi tanıtalım: $t=x+\frac(1)(x)$.
Daha sonra:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ veya $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Denklemi elde ettik: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Bu denklemin kökleri çifttir:
$t=-3$ ve $t=2$.
Ters ikameyi tanıtalım:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Ayrı ayrı karar vereceğiz.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
İkinci denklemi çözelim:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Bu denklemin kökü $x=1$ sayısıdır.
Cevap: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

Denklemleri çözün:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.