hakkında konuşmaya devam edelim denklem çözme. Bu yazımızda bu konuyu detaylı olarak ele alacağız. rasyonel denklemler ve tek değişkenli rasyonel denklemlerin çözüm ilkeleri. Öncelikle hangi tür denklemlere rasyonel denildiğini bulalım, tam rasyonel ve kesirli rasyonel denklemlerin tanımını verelim ve örnekler verelim. Daha sonra rasyonel denklemleri çözmek için algoritmalar elde edeceğiz ve elbette gerekli tüm açıklamalarla birlikte tipik örneklerin çözümlerini ele alacağız.

Sayfada gezinme.

Belirtilen tanımlara dayanarak, birkaç rasyonel denklem örneği veriyoruz. Örneğin, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, ,'nin tümü rasyonel denklemlerdir.

Gösterilen örneklerden, rasyonel denklemlerin ve diğer türdeki denklemlerin tek değişkenli veya iki, üç vb. olabileceği açıktır. değişkenler. Aşağıdaki paragraflarda tek değişkenli rasyonel denklemlerin çözümünden bahsedeceğiz. İki değişkenli denklemleri çözme ve onları Büyük bir sayıözel ilgiyi hak ediyor.

Rasyonel denklemler bilinmeyen değişken sayısına bölünmenin yanı sıra tamsayı ve kesirli olarak da ayrılırlar. İlgili tanımları verelim.

Tanım.

Rasyonel denklem denir tüm, eğer hem sol hem de sağ tarafları tamsayı rasyonel ifadeler ise.

Tanım.

Rasyonel bir denklemin parçalarından en az biri kesirli bir ifade ise, böyle bir denklem denir. kesirli rasyonel(veya kesirli rasyonel).

Tam denklemlerin bir değişkene göre bölmeyi içermediği açıktır; aksine, kesirli rasyonel denklemler zorunlu olarak bir değişkene (veya paydadaki bir değişkene) bölmeyi içerir. Yani 3 x+2=0 ve (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– bunlar tam rasyonel denklemlerdir, her iki parçası da tam ifadelerdir. A ve x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 kesirli rasyonel denklem örnekleridir.

Bu noktayı bitirirken, şu ana kadar bilinen lineer denklemlerin ve ikinci dereceden denklemlerin tamamen rasyonel denklemler olduğuna dikkat edelim.

Denklemlerin tamamını çözme

Denklemlerin tamamını çözmenin temel yaklaşımlarından biri onları eşdeğer denklemlere indirgemektir. cebirsel denklemler. Bu her zaman denklemin aşağıdaki eşdeğer dönüşümleri gerçekleştirilerek yapılabilir:

• ilk olarak orijinal tamsayı denkleminin sağ tarafındaki ifade ters işaretli olarak sol tarafa aktarılarak sağ tarafta sıfır elde edilir;
• bundan sonra denklemin sol tarafında sonuç standart görünüm.

Sonuç, orijinal tamsayı denklemine eşdeğer bir cebirsel denklemdir. Bu nedenle, en basit durumlarda, denklemlerin tamamının çözülmesi, doğrusal veya ikinci dereceden denklemlerin çözülmesine ve genel durumda, n dereceli bir cebirsel denklemin çözülmesine indirgenir. Açıklık sağlamak için, örneğin çözümüne bakalım.

Örnek.

Tüm denklemin köklerini bulun 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Çözüm.

Tüm bu denklemin çözümünü eşdeğer bir cebirsel denklemin çözümüne indirgeyelim. Bunun için öncelikle ifadeyi sağ taraftan sola aktarıyoruz ve bunun sonucunda denkleme ulaşıyoruz. 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. İkinci olarak sol tarafta oluşan ifadeyi gerekli işlemleri tamamlayarak standart formda bir polinom haline dönüştürüyoruz: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Böylece, orijinal tamsayı denkleminin çözümü ikinci dereceden x 2 −5·x−6=0 denkleminin çözümüne indirgenir.

Diskriminantını hesaplıyoruz D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49 pozitiftir, bu da denklemin iki gerçek kökü olduğu anlamına gelir; bunu ikinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanarak buluruz:

Tamamen emin olmak için hadi yapalım Denklemin bulunan köklerinin kontrol edilmesi. İlk önce kök 6'yı kontrol ederiz, orijinal tamsayı denkleminde x değişkeni yerine onu kullanırız: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3 63=63 aynıdır. Bu geçerli bir sayısal denklemdir, dolayısıyla x=6 aslında denklemin köküdür. Şimdi −1 kökünü kontrol edersek, elimizde 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, buradan, 0=0 . X=−1 olduğunda orijinal denklem de doğru bir sayısal eşitliğe dönüşür, dolayısıyla x=−1 aynı zamanda denklemin köküdür.

Cevap:

6 , −1 .

Burada ayrıca "tüm denklemin derecesi" teriminin, bir denklemin tamamının cebirsel bir denklem biçiminde temsil edilmesiyle ilişkili olduğuna da dikkat edilmelidir. İlgili tanımı verelim:

Tanım.

Tüm denklemin gücü eşdeğer cebirsel denklemin derecesi denir.

Bu tanıma göre denklemin tamamı önceki örnek ikinci derece var.

Bu, tek bir şey olmasa bile, tüm rasyonel denklemleri çözmenin sonu olabilirdi…. Bilindiği gibi derecesi ikinciden yüksek olan cebirsel denklemlerin çözümü önemli zorluklarla ilişkilidir ve derecesi dördüncüden yüksek olan denklemler için herhangi bir çözüm söz konusu değildir. genel formüller kökler Bu nedenle üçüncü, dördüncü ve daha fazla denklemin tamamını çözmek için yüksek derecelerÇoğu zaman başka çözüm yöntemlerine başvurmak zorunda kalırsınız.

Bu gibi durumlarda rasyonel denklemlerin tamamının çözümüne dayalı bir yaklaşım çarpanlara ayırma yöntemi. Bu durumda aşağıdaki algoritmaya uyulur:

• Öncelikle denklemin sağ tarafında sıfır olmasını sağlarlar, bunun için denklemin tamamının sağ tarafındaki ifadeyi sola aktarırlar;
• daha sonra sol tarafta ortaya çıkan ifade, birkaç faktörün çarpımı olarak sunulur ve bu da birkaç basit denklem dizisine geçmemize olanak tanır.

Bir denklemin tamamını çarpanlara ayırma yoluyla çözmek için verilen algoritma, bir örnek kullanılarak ayrıntılı bir açıklama gerektirir.

Örnek.

Denklemin tamamını çöz (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Çözüm.

Öncelikle her zamanki gibi ifadeyi denklemin sağ tarafından sol tarafına aktarıyoruz, işareti değiştirmeyi unutmadan, şunu elde ediyoruz: (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Burada, ortaya çıkan denklemin sol tarafını standart formda bir polinom haline dönüştürmenin tavsiye edilmeyeceği oldukça açıktır, çünkü bu, formun dördüncü derecesinin cebirsel bir denklemini verecektir. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0 bunun çözümü zordur.

Öte yandan, ortaya çıkan denklemin sol tarafında x 2 −10 x+13'ü bir çarpım olarak sunabileceğimiz açıktır. Sahibiz (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ortaya çıkan denklem orijinal denklemin tamamına eşdeğerdir ve bu da iki ikinci dereceden denklem x 2 −10·x+13=0 ve x 2 −2·x−1=0 ile değiştirilebilir. Bir diskriminant aracılığıyla bilinen kök formüllerini kullanarak köklerini bulmak zor değildir; kökler eşittir. Bunlar orijinal denklemin istenen kökleridir.

Cevap:

Ayrıca rasyonel denklemlerin tamamını çözmek için de faydalıdır yeni bir değişken ekleme yöntemi. Bazı durumlarda derecesi orijinal denklemin tamamının derecesinden daha düşük olan denklemlere geçmenize olanak tanır.

Örnek.

Rasyonel bir denklemin gerçek köklerini bulun (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Çözüm.

En hafif deyimle, bu rasyonel denklemin tamamını cebirsel bir denkleme indirgemek pek iyi bir fikir değil, çünkü bu durumda dördüncü dereceden denklemi çözme ihtiyacı duyacağız. rasyonel kökler. Bu nedenle başka bir çözüm aramanız gerekecek.

Burada yeni bir y değişkeni tanıtabileceğinizi ve x 2 +3·x ifadesini bununla değiştirebileceğinizi görmek kolaydır. Bu değiştirme bizi tüm (y+1) 2 +10=−2·(y−4) denklemine götürür; bu, −2·(y−4) ifadesini sol tarafa taşıdıktan ve ardından ifadeyi dönüştürdükten sonra burada oluşan ikinci derece denklem y 2 +4·y+3=0'a indirgenir. Bu denklemin y=−1 ve y=−3 köklerini bulmak kolaydır, örneğin Vieta teoreminin tersi olan teoreme göre seçilebilirler.

Şimdi yeni bir değişken ekleme yönteminin ikinci kısmına, yani ters değiştirme işlemine geçiyoruz. Ters değiştirme işlemini gerçekleştirdikten sonra, x 2 +3 x=−1 ve x 2 +3 x=−3 olmak üzere iki denklem elde ederiz; bunlar x 2 +3 x+1=0 ve x 2 +3 x+3 olarak yeniden yazılabilir. =0 . İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanarak ilk denklemin köklerini buluruz. Ve ikinci ikinci dereceden denklem Diskriminantı negatif olduğundan gerçek kökleri yoktur (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Cevap:

Genel olarak, yüksek dereceli denklemlerin tamamıyla uğraşırken, bunları çözmek için her zaman standart olmayan bir yöntem veya yapay bir teknik aramaya hazırlıklı olmalıyız.

Kesirli rasyonel denklemleri çözme

İlk olarak, p(x) ve q(x)'in tamsayı rasyonel ifadeler olduğu kesirli rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini anlamak faydalı olacaktır. Daha sonra diğer kesirli rasyonel denklemlerin çözümünün belirtilen türdeki denklemlerin çözümüne nasıl indirgeneceğini göstereceğiz.

Denklemi çözmeye yönelik bir yaklaşım şu ifadeye dayanmaktadır: v'nin sıfır olmayan bir sayı olduğu u/v sayısal kesri (aksi takdirde tanımsız olan ile karşılaşırız), ancak ve ancak payının şu şekilde olması durumunda sıfıra eşittir: sıfıra eşitse, ancak ve ancak u=0 ise olur. Bu ifade sayesinde denklemin çözümü, p(x)=0 ve q(x)≠0 olmak üzere iki koşulun yerine getirilmesine indirgenir.

Bu sonuç aşağıdakilere karşılık gelir kesirli rasyonel denklemi çözmek için algoritma. Formun kesirli rasyonel denklemini çözmek için ihtiyacınız olan şey

• p(x)=0 rasyonel denkleminin tamamını çözün;
• ve bulunan her kök için q(x)≠0 koşulunun karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin;
• eğer doğruysa bu kök orijinal denklemin köküdür;
• eğer karşılanmazsa bu kök yabancıdır, yani orijinal denklemin kökü değildir.

Kesirli bir rasyonel denklemi çözerken duyurulan algoritmayı kullanmanın bir örneğine bakalım.

Örnek.

Denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

Bu kesirli rasyonel bir denklemdir ve şu şekildedir: p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Bu tür kesirli rasyonel denklemlerin çözümüne yönelik algoritmaya göre, öncelikle 3 x−2=0 denklemini çözmemiz gerekir. Bu Doğrusal Denklem, kökü x=2/3'tür.

Geriye bu kökü kontrol etmek, yani 5 x 2 −2≠0 koşulunu karşılayıp karşılamadığını kontrol etmek kalıyor. 5 x 2 −2 ifadesinde x yerine 2/3 sayısını koyarsak ve elde ederiz. Koşul karşılanmıştır, dolayısıyla x=2/3 orijinal denklemin köküdür.

Cevap:

2/3 .

Kesirli bir rasyonel denklemin çözümüne biraz farklı bir açıdan yaklaşabilirsiniz. Bu denklem, orijinal denklemin x değişkeni üzerindeki p(x)=0 tamsayı denklemine eşdeğerdir. Yani buna bağlı kalabilirsiniz kesirli rasyonel denklemi çözmek için algoritma :

• p(x)=0 denklemini çözün;
• x değişkeninin ODZ'sini bulun;
• bölgeye ait kökleri almak kabul edilebilir değerler, - bunlar orijinal kesirli rasyonel denklemin istenen kökleridir.

Örneğin bu algoritmayı kullanarak kesirli bir rasyonel denklemi çözelim.

Örnek.

Denklemi çözün.

Çözüm.

Öncelikle ikinci dereceden x 2 −2·x−11=0 denklemini çözüyoruz. Kökleri çift ikinci katsayı için kök formülü kullanılarak hesaplanabilir, elimizdeki D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Ve .

İkinci olarak, orijinal denklem için x değişkeninin ODZ'sini buluyoruz. x 2 +3·x≠0 olan ve x·(x+3)≠0 ile aynı olan tüm sayılardan oluşur; dolayısıyla x≠0, x≠−3.

Geriye ilk adımda bulunan köklerin ODZ'ye dahil edilip edilmediğini kontrol etmek kalıyor. Açıkçası evet. Bu nedenle, orijinal kesirli rasyonel denklemin iki kökü vardır.

Cevap:

ODZ'nin bulunması kolaysa bu yaklaşımın ilkinden daha karlı olduğunu ve özellikle p(x) = 0 denkleminin köklerinin irrasyonel veya rasyonel olması ancak oldukça büyük bir paya sahip olması durumunda özellikle faydalı olduğunu unutmayın. /veya payda, örneğin, 127/1101 ve −31/59. Bunun nedeni, bu tür durumlarda q(x)≠0 koşulunun kontrol edilmesinin önemli miktarda hesaplama çabası gerektirmesi ve ODZ kullanılarak yabancı köklerin hariç tutulmasının daha kolay olmasıdır.

Diğer durumlarda, denklemi çözerken, özellikle p(x) = 0 denkleminin kökleri tamsayı olduğunda, verilen algoritmalardan ilkini kullanmak daha karlı olur. Yani, p(x)=0 denkleminin tamamının köklerini hemen bulmak ve ardından ODZ'yi bulup denklemi çözmek yerine q(x)≠0 koşulunun onlar için karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmek tavsiye edilir. Bu ODZ'de p(x)=0. Bunun nedeni, bu gibi durumlarda kontrol etmenin genellikle DZ'yi bulmaktan daha kolay olmasıdır.

Belirtilen nüansları göstermek için iki örneğin çözümünü ele alalım.

Örnek.

Denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

İlk önce tüm denklemin köklerini bulalım (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, kesrin payı kullanılarak oluşturulur. Bu denklemin sol tarafı bir çarpım, sağ tarafı ise sıfırdır, dolayısıyla denklemleri çarpanlara ayırma yöntemine göre bu denklem dört denklemden oluşan bir sete eşdeğerdir 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Bu denklemlerden üçü doğrusal, biri ikinci derecedendir; bunları çözebiliriz. İlk denklemden x=1/2, ikinciden - x=6, üçüncüden - x=7, x=−2, dördüncüden - x=−1 buluyoruz.

Bulunan köklerle, orijinal denklemin sol tarafındaki kesirin paydasının kaybolup kaybolmadığını kontrol etmek oldukça kolaydır, ancak tam tersine ODZ'yi belirlemek o kadar basit değildir, çünkü bunun için çözmeniz gerekecek beşinci derecenin cebirsel denklemi. Bu nedenle, kökleri kontrol etmek adına ODZ'yi bulmayı bırakacağız. Bunu yapmak için ifadedeki x değişkeni yerine bunları birer birer değiştiriyoruz. x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, değiştirmeden sonra elde edilenleri sıfırla karşılaştırın: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Dolayısıyla, 1/2, 6 ve −2 orijinal kesirli rasyonel denklemin istenen kökleridir ve 7 ve −1 ise yabancı köklerdir.

Cevap:

1/2 , 6 , −2 .

Örnek.

Kesirli bir rasyonel denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

İlk önce denklemin köklerini bulalım (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Bu denklem iki denklemden oluşan bir diziye eşdeğerdir: kare 5 x 2 −7 x−1=0 ve doğrusal x−2=0. İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülünü kullanarak iki kök buluruz ve ikinci denklemden x=2 elde ederiz.

X'in bulunan değerlerinde paydanın sıfıra gidip gitmediğini kontrol etmek oldukça tatsızdır. Ve orijinal denklemde x değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığını belirlemek oldukça basittir. Bu nedenle ODZ üzerinden hareket edeceğiz.

Bizim durumumuzda, orijinal kesirli rasyonel denklemin x değişkeninin ODZ'si, x 2 +5·x−14=0 koşulunun karşılandığı sayılar dışındaki tüm sayılardan oluşur. Bu ikinci dereceden denklemin kökleri x=−7 ve x=2'dir ve bundan ODZ hakkında bir sonuç çıkarıyoruz: tüm x'lerden oluşur, öyle ki .

Geriye bulunan köklerin ve x=2'nin kabul edilebilir değerler aralığına ait olup olmadığını kontrol etmek kalır. Kökler aittir, dolayısıyla orijinal denklemin kökleridir ve x=2 ait değildir, dolayısıyla yabancı bir köktür.

Cevap:

Ayrıca, kesirli bir rasyonel denklemde payda bir sayının olduğu, yani p(x)'in bir sayı ile temsil edildiği durumlar üzerinde ayrı ayrı durmak faydalı olacaktır. burada

• eğer bu sayı sıfır değilse, o zaman denklemin kökleri yoktur, çünkü bir kesir ancak ve ancak payı sıfıra eşitse sıfıra eşittir;
• bu sayı sıfırsa denklemin kökü ODZ'den herhangi bir sayıdır.

Örnek.

Çözüm.

Denklemin sol tarafındaki kesrin payı sıfırdan farklı bir sayı içerdiğinden herhangi bir x için bu kesrin değeri sıfır olamaz. Dolayısıyla bu denklemin kökleri yoktur.

Cevap:

kök yok.

Örnek.

Denklemi çözün.

Çözüm.

Bu kesirli rasyonel denklemin sol tarafındaki kesrin payı sıfır içerir, dolayısıyla bu kesrin değeri, anlamlı olduğu herhangi bir x için sıfırdır. Başka bir deyişle, bu denklemin çözümü bu değişkenin ODZ'sinden herhangi bir x değeridir.

Geriye bu kabul edilebilir değer aralığını belirlemek kalıyor. x 4 +5 x 3 ≠0 olan tüm x değerlerini içerir. x 4 +5 x 3 =0 denkleminin çözümleri 0 ve −5'tir, çünkü bu denklem x 3 (x+5)=0 denklemine eşdeğerdir ve bu da iki x denkleminin birleşimine eşdeğerdir 3 =0 ve x +5=0, bu köklerin görülebildiği yerden. Bu nedenle kabul edilebilir değerlerin istenilen aralığı x=0 ve x=−5 dışında herhangi bir x'tir.

Dolayısıyla, kesirli bir rasyonel denklemin sıfır ve eksi beş dışında herhangi bir sayıdan oluşan sonsuz sayıda çözümü vardır.

Cevap:

Son olarak, keyfi biçimdeki kesirli rasyonel denklemlerin çözümü hakkında konuşmanın zamanı geldi. r(x)=s(x) şeklinde yazılabilirler; burada r(x) ve s(x) rasyonel ifadelerdir ve bunlardan en az biri kesirlidir. İleriye baktığımızda, çözümlerinin bize zaten tanıdık gelen formdaki denklemleri çözmeye bağlı olduğunu varsayalım.

Bir terimin denklemin bir kısmından ters işaretli diğer kısmına aktarılmasının eşdeğer bir denklem oluşturduğu bilinmektedir, dolayısıyla r(x)=s(x) denklemi r(x)−s(x) denklemine eşdeğerdir. )=0.

Ayrıca bu ifadeye eşit olan herhangi bir ifadenin mümkün olduğunu da biliyoruz. Böylece r(x)−s(x)=0 denkleminin sol tarafındaki rasyonel ifadeyi her zaman formun özdeş eşit rasyonel kesrine dönüştürebiliriz.

Dolayısıyla, orijinal kesirli rasyonel denklem r(x)=s(x)'ten denkleme geçiyoruz ve bunun çözümü, yukarıda öğrendiğimiz gibi, p(x)=0 denkleminin çözümüne indirgeniyor.

Ancak burada, r(x)−s(x)=0 ile ve ardından p(x)=0 ile değiştirilirken, x değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığının genişleyebileceği gerçeğini hesaba katmak gerekir. .

Sonuç olarak, ulaştığımız orijinal r(x)=s(x) denklemi ile p(x)=0 denklemi eşit olmayabilir ve p(x)=0 denklemini çözerek kökleri elde edebiliriz. bunlar orijinal r(x)=s(x) denkleminin yabancı kökleri olacaktır. Bir kontrol yaparak veya bunların orijinal denklemin ODZ'sine ait olup olmadığını kontrol ederek yabancı kökleri tanımlayabilir ve cevaba dahil etmeyebilirsiniz.

Bu bilgileri şöyle özetleyelim r(x)=s(x) kesirli rasyonel denklemini çözmek için algoritma. Kesirli rasyonel denklem r(x)=s(x)'i çözmek için şunlara ihtiyacınız vardır:

• İfadeyi sağ taraftan ters işaretle hareket ettirerek sağdaki sıfırı alın.
• Denklemin sol tarafında kesirler ve polinomlarla işlemler gerçekleştirin, böylece onu formun rasyonel bir kesirine dönüştürün.
• p(x)=0 denklemini çözün.
• Yabancı kökleri orijinal denklemde değiştirerek veya orijinal denklemin ODZ'sine ait olduklarını kontrol ederek tanımlayın ve ortadan kaldırın.

Daha fazla netlik sağlamak için, kesirli rasyonel denklemlerin çözüm zincirinin tamamını göstereceğiz:
.

Birkaç örnekle çözümlerine bakalım detaylı açıklama Verilen bilgi bloğunu açıklığa kavuşturmak için çözümün ilerleyişi.

Örnek.

Kesirli rasyonel denklemi çözün.

Çözüm.

Az önce elde edilen çözüm algoritmasına göre hareket edeceğiz. Ve önce terimleri denklemin sağ tarafından sola kaydırıyoruz, sonuç olarak denkleme geçiyoruz.

İkinci adımda, ortaya çıkan denklemin sol tarafındaki kesirli rasyonel ifadeyi kesir formuna dönüştürmemiz gerekiyor. Bunu yapmak için rasyonel kesirleri ortak bir paydaya indiririz ve ortaya çıkan ifadeyi basitleştiririz: . Böylece denkleme geliyoruz.

Bir sonraki adımda −2·x−1=0 denklemini çözmemiz gerekiyor. x=−1/2'yi buluyoruz.

Bulunan −1/2 sayısının orijinal denklemin yabancı bir kökü olup olmadığını kontrol etmek kalır. Bunu yapmak için orijinal denklemdeki x değişkeninin VA'sını kontrol edebilir veya bulabilirsiniz. Her iki yaklaşımı da gösterelim.

Kontrol ederek başlayalım. Orijinal denklemde x değişkeni yerine −1/2 sayısını koyarsak aynı şeyi elde ederiz: −1=−1. Değiştirme doğru sayısal eşitliği verir, dolayısıyla x=−1/2 orijinal denklemin köküdür.

Şimdi algoritmanın son noktasının ODZ üzerinden nasıl gerçekleştirildiğini göstereceğiz. Orijinal denklemin izin verilen değerlerinin aralığı -1 ve 0 dışındaki tüm sayıların kümesidir (x=−1 ve x=0'da kesirlerin paydaları kaybolur). Önceki adımda bulunan x=−1/2 kökü ODZ'ye aittir, dolayısıyla x=−1/2 orijinal denklemin köküdür.

Cevap:

−1/2 .

Başka bir örneğe bakalım.

Örnek.

Denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

Kesirli bir rasyonel denklemi çözmemiz gerekiyor, hadi algoritmanın tüm adımlarını izleyelim.

İlk önce terimi sağ taraftan sola kaydırırız, şunu elde ederiz.

İkinci olarak sol tarafta oluşan ifadeyi dönüştürüyoruz: . Sonuç olarak x=0 denklemine ulaşıyoruz.

Kökü bellidir; sıfırdır.

Dördüncü adımda, bulunan kökün orijinal kesirli rasyonel denkleme yabancı olup olmadığını bulmaya devam ediyor. Orijinal denklemde yerine konulduğunda ifade elde edilir. Açıkçası sıfıra bölmeyi içerdiği için mantıklı değil. Buradan 0'ın yabancı bir kök olduğu sonucuna vardık. Bu nedenle orijinal denklemin kökleri yoktur.

7, bu da Denklem'e yol açar. Buradan, sol taraftaki paydadaki ifadenin sağ taraftaki paydadaki ifadeye eşit olması gerektiği sonucuna varabiliriz. Şimdi üçlünün her iki tarafından da çıkarıyoruz: . Benzetme yoluyla, nereden ve daha ileri.

Kontrol, bulunan her iki kökün de orijinal kesirli rasyonel denklemin kökleri olduğunu gösterir.

Cevap:

Kaynakça.

• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkoviç A.G. Cebir. 8. sınıf. Saat 14.00'te 1. Bölüm: Öğrenciler için ders kitabı Eğitim Kurumları/ A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Cebir: 9. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2009. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-021134-5.

T. Kosyakova,
80 Nolu Okul, Krasnodar

Karenin çözümü ve kesirli rasyonel denklemler parametreler içeren

Ders 4

Ders konusu:

Dersin amacı: Parametre içeren kesirli rasyonel denklemleri çözme becerisini geliştirmek.

Ders türü: yeni malzemenin tanıtılması.

1. (Sözlü olarak) Denklemleri çözün:

örnek 1. Denklemi çözün

Çözüm.

Geçersiz değerleri bulalım A:

Cevap. Eğer Eğer A = – 19 , o zaman kök yoktur.

Örnek 2. Denklemi çözün

Çözüm.

Geçersiz parametre değerlerini bulalım A :

10 – A = 5, A = 5;

10 – A = A, A = 5.

Cevap. Eğer A = 5 A № 5 , O x=10– A .

Örnek 3. Hangi parametre değerlerinde B denklem Şunlara sahiptir:

a) iki kök; b) tek kök mü?

Çözüm.

1) Geçersiz parametre değerlerini bulun B :

x = B, B 2 (B 2 – 1) – 2B 3 + B 2 = 0, B 4 – 2B 3 = 0,
B= 0 veya B = 2;
x = 2, 4( B 2 – 1) – 4B 2 + B 2 = 0, B 2 – 4 = 0, (B – 2)(B + 2) = 0,
B= 2 veya B = – 2.

2) Denklemi çözün x 2 ( B 2 – 1) – 2B 2x+ B 2 = 0:

D=4 B 4 – 4B 2 (B 2 – 1), D = 4 B 2 .

A)

Geçersiz parametre değerlerini hariç tutma B denklemin iki kökü olduğunu buluruz, eğer B № – 2, B № – 1, B № 0, B № 1, B № 2 .

B) 4B 2 = 0, B = 0, ancak bu geçersiz bir parametre değeridir B ; Eğer B 2 –1=0 yani B=1 veya.

Cevap: a) eğer B № –2 , B № –1, B № 0, B № 1, B № 2 , sonra iki kök; b) eğer B=1 veya b=–1 , o zaman tek kök.

Bağımsız iş

seçenek 1

Denklemleri çözün:

seçenek 2

Denklemleri çözün:

Yanıtlar

1'DE. ve eğer A=3 , o zaman kök yoktur; Eğer b) eğer A № 2 , o zaman kök yoktur.

2'DE. Eğer A=2 , o zaman kök yoktur; Eğer A=0 , o zaman kök yoktur; Eğer
b) eğer A=– 1 o zaman denklem anlamsız hale gelir; kök yoksa;
Eğer

Ev ödevi.

Denklemleri çözün:

Cevaplar: a) Eğer A № –2 , O x= A ; Eğer A=–2 , o zaman hiçbir çözüm yoktur; b) eğer A № –2 , O x=2; Eğer A=–2 , o zaman hiçbir çözüm yoktur; c) eğer A=–2 , O X– hariç herhangi bir sayı 3 ; Eğer A № –2 , O x=2; d) eğer A=–8 , o zaman kök yoktur; Eğer A=2 , o zaman kök yoktur; Eğer

Ders 5

Ders konusu:"Parametreler içeren kesirli rasyonel denklemlerin çözülmesi."

Dersin Hedefleri:

standart dışı koşullarla denklem çözme eğitimi;
cebirsel kavramların ve bunlar arasındaki bağlantıların öğrenciler tarafından bilinçli olarak özümsenmesi.

Ders türü: Sistemleştirme ve genelleme.

Ev ödevlerini kontrol ediyorum.

örnek 1. Denklemi çözün

a) x'e göre; b) y'ye göre.

Çözüm.

a) Geçersiz değerleri bulun sen: y=0, x=y, y 2 =y 2 –2y,

y=0– geçersiz parametre değeri sen.

Eğer sen№ 0 , O x=y–2; Eğer y=0 olursa denklem anlamsız hale gelir.

b) Geçersiz parametre değerlerini bulun X: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– geçersiz parametre değeri X; y(2+x–y)=0, y=0 veya y=2+x;

y=0 koşulu karşılamıyor y(y–x)№ 0 .

Cevap: a) eğer y=0 o zaman denklem anlamsız hale gelir; Eğer sen№ 0 , O x=y–2; b) eğer x=0 X№ 0 , O y=2+x .

Örnek 2. A parametresinin hangi tamsayı değerleri denklemin kökleridir? aralığa ait

D = (3 A + 2) 2 – 4A(A+ 1) 2 = 9 A 2 + 12A + 4 – 8A 2 – 8A,

D = ( A + 2) 2 .

Eğer A № 0 veya A № – 1 , O

Cevap: 5 .

Örnek 3. Nispeten bulun X Denklemin tamsayı çözümleri

Cevap. Eğer y=0 o zaman denklemin bir anlamı kalmaz; Eğer y=–1, O X– sıfır dışında herhangi bir tam sayı; Eğer y№ 0, y№ – 1, o zaman hiçbir çözüm yoktur.

Örnek 4. Denklemi çözün parametrelerle A Ve B .

Eğer A№ -B , O

Cevap. Eğer a= 0 veya b= 0 o zaman denklem anlamsız hale gelir; Eğer A№ 0, b№ 0, a=–b , O X– sıfır dışında herhangi bir sayı; Eğer A№ 0, b№ 0, bir№ -B, O x=–a, x=–b .

Örnek 5. n parametresinin sıfır dışındaki herhangi bir değeri için denklemin eşit tek bir kökü var - N .

Çözüm.

yani. x=–n Kanıtlanması gereken şey buydu.

Ev ödevi.

1. Denklemin tamsayı çözümlerini bulun

2. Hangi parametre değerlerinde C denklem Şunlara sahiptir:
a) iki kök; b) tek kök mü?

3. Denklemin tüm tamsayı köklerini bulun Eğer A HAKKINDA N .

4. Denklemi çözün 3xy – 5x + 5y = 7: a) göreceli olarak sen; b) göreceli olarak X .

1. Denklem, sıfır dışında x ve y'nin herhangi bir tamsayı eşit değeriyle sağlanır.
2.a) Ne zaman
b) veya
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Eğer kök yoksa; Eğer
b) eğer o zaman kök yoksa; Eğer

Ölçek

seçenek 1

1. Denklemin türünü belirleyin 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 zaman) c=–3; B) c=2; V) c=4 .

2. Denklemleri çözün: a) x 2 –bx=0 ; B) cx 2 –6x+1=0; V)

3. Denklemi çözün 3x–xy–2y=1:

a) göreceli olarak X ;
b) göreceli olarak sen .

nx2 – 26x + n = 0, n parametresinin yalnızca tam sayı değerlerini kabul ettiğini bilerek.

5. Denklem hangi b değerleri için yapılır? Şunlara sahiptir:

a) iki kök;
b) tek kök mü?

seçenek 2

1. Denklemin türünü belirleyin 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 zaman) c=–4 ; B) c=7; V) c=1 .

2. Denklemleri çözün: a) y2 +cy=0 ; B) ny 2 –8y+2=0 ; V)

3. Denklemi çözün 6x–xy+2y=5:

a) göreceli olarak X ;
b) göreceli olarak sen .

4. Denklemin tamsayı köklerini bulun nx2 –22x+2n=0 , n parametresinin yalnızca tam sayı değerlerini kabul ettiğini bilerek.

5. A parametresinin hangi değerleri için denklem yapılır Şunlara sahiptir:

a) iki kök;
b) tek kök mü?

Yanıtlar

1'DE. 1. a) Doğrusal denklem;
b) eksik ikinci dereceden denklem; c) ikinci dereceden denklem.
2.a) Eğer b=0, O x=0; Eğer b№ 0, O x=0, x=b;
B) Eğer cО (9;+Ґ ), o zaman kök yoktur;
c) eğer A=–4 o zaman denklem anlamsız hale gelir; Eğer A№ –4 , O x=– A .
3.a) Eğer y=3, o zaman kök yoktur; Eğer);
B) A=–3, A=1.

Ek görevler

Denklemleri çözün:

Edebiyat

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. En başından beri parametreler hakkında. – Öğretmen, No. 2/1991, s. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Gerekli koşullar parametrelerle ilgili problemlerde. – Kvant, No. 11/1991, s. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavay V.V. Problem çözme parametreler içerir. Bölüm 2. – M., Perspektif, 1990, s. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Parametrelerle ilgili beş yüz on dört problem. – Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Parametrelerle ilgili sorunlar. – M., Eğitim, 1986.

Kesirli denklemler zor değildir ve çok ilginçtir. Kesirli denklem türlerine ve bunların nasıl çözüleceğine bakalım.

Payda x olan kesirli denklemler nasıl çözülür?

Payda bilinmeyenin bulunduğu kesirli bir denklem verilirse, çözüm ek koşul gerektirmez ve olmadan çözülür. gereksiz güçlük. Genel form böyle bir denklem x/a + b = c'dir; burada x bilinmeyendir, a, b ve c sıradan sayılardır.

X'i bulun: x/5 + 10 = 70.

Denklemi çözmek için kesirlerden kurtulmanız gerekir. Denklemdeki her terimi 5 ile çarpın: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x ve 5 sadeleştirilir, 10 ve 70 5 ile çarpılır ve şunu elde ederiz: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

X'i bulun: x/5 + x/10 = 90.

Bu örnek, ilkinin biraz daha karmaşık bir versiyonudur. Burada iki olası çözüm var.

• Seçenek 1: Denklemin tüm terimlerini daha büyük bir paydayla yani 10 ile çarparak kesirlerden kurtuluruz: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = >x=300.
• Seçenek 2: Denklemin sol tarafını ekleyin. x/5 + x/10 = 90. Ortak payda 10. 10'u 5'e bölüp x ile çarparsak 2x elde ederiz. 10'u 10'a bölüp x ile çarparsak x: 2x+x/10 = 90 elde ederiz. Dolayısıyla 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Sıklıkla bulunur kesirli denklemler X'lerin bulunduğu yer farklı taraflar eşittir işareti. Bu gibi durumlarda X'li tüm kesirleri bir tarafa, sayıları da diğer tarafa taşımak gerekir.

• X'i bulun: 3x/5 = 130 – 2x/5.
• 2x/5'i ters işaretle sağa doğru hareket ettirin: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• 5x/5'i azaltırsak x = 130 elde ederiz.

Paydada x olan kesirli bir denklem nasıl çözülür?

Bu tür kesirli denklemler ek koşulların yazılmasını gerektirir. Bu koşulların belirtilmesi zorunlu ve ayrılmaz bir parçasıdır. doğru karar. Bunları eklemeyerek riske girersiniz çünkü cevap (doğru olsa bile) sayılmayabilir.

X'in paydada olduğu kesirli denklemlerin genel formu şöyledir: a/x + b = c, burada x bilinmeyendir, a, b, c sıradan sayılardır. Lütfen x'in herhangi bir sayı olmayabileceğini unutmayın. Örneğin x, 0'a bölünemediği için sıfıra eşit olamaz. Bu tam olarak belirtmemiz gereken ek koşuldur. Buna izin verilen değerler aralığı denir ve VA olarak kısaltılır.

x'i bulun: 15/x + 18 = 21.

Hemen x: x ≠ 0 için ODZ'yi yazıyoruz. Artık ODZ belirtildiğine göre, denklemi standart şemaya göre kesirlerden kurtularak çözüyoruz. Denklemin tüm terimlerini x ile çarpın. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Çoğu zaman paydanın yalnızca x'i değil aynı zamanda onunla toplama veya çıkarma gibi başka işlemleri de içerdiği denklemler vardır.

x: 15/(x-3) + 18 = 21'i bulun.

Paydanın sıfıra eşit olamayacağını zaten biliyoruz, bu da x-3 ≠ 0 anlamına gelir. -3'ü sağa kaydırıp "-" işaretini "+" olarak değiştiririz ve x ≠ 3 sonucunu elde ederiz. ODZ, belirtilen.

Denklemi çözüyoruz, her şeyi x-3 ile çarpıyoruz: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

X'leri sağa, sayıları sola hareket ettirin: 24 = 3x => x = 8.

Kesirli denklemler. ODZ.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Denklemlere hakim olmaya devam ediyoruz. Doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerle nasıl çalışılacağını zaten biliyoruz. Kalan son görünüm – kesirli denklemler. Veya çok daha saygın bir şekilde çağrılırlar - kesirli rasyonel denklemler. Bu aynı.

Kesirli denklemler.

Adından da anlaşılacağı gibi bu denklemlerin mutlaka kesirler içermesi gerekir. Ama sadece kesirler değil, aynı zamanda sahip olan kesirler paydada bilinmiyor. En azından birinde. Örneğin:

Size şunu hatırlatmama izin verin, eğer paydalar sadece sayılar bunlar doğrusal denklemlerdir.

Nasıl karar verilir? kesirli denklemler? Öncelikle kesirlerden kurtulun! Bundan sonra denklem çoğunlukla doğrusal veya ikinci dereceden hale gelir. Sonra da ne yapacağımızı biliyoruz... Bazı durumlarda 5=5 gibi bir özdeşliğe veya 7=2 gibi yanlış bir ifadeye dönüşebiliyor. Ancak bu nadiren olur. Aşağıda buna değineceğim.

Ama kesirlerden nasıl kurtuluruz!? Çok basit. Aynı özdeş dönüşümlerin uygulanması.

Denklemin tamamını aynı ifadeyle çarpmamız gerekiyor. Böylece tüm paydalar azaltılır! Her şey hemen kolaylaşacak. Bir örnekle açıklayayım. Denklemi çözmemiz gerekiyor:

İlkokulda nasıl eğitildiniz? Her şeyi bir tarafa taşıyoruz, ortak bir paydaya getiriyoruz vb. Kötü bir rüya gibi unut gitsin! Kesirleri eklerken veya çıkarırken yapmanız gereken şey budur. Veya eşitsizliklerle çalışırsınız. Ve denklemlerde, hemen her iki tarafı da bize tüm paydaları azaltma fırsatı verecek bir ifadeyle çarpıyoruz (yani özünde, ortak payda). Peki bu ifade nedir?

Sol tarafta, paydayı azaltmak için şununla çarpılması gerekir: x+2. Sağda ise 2 ile çarpmak gerekiyor, bu da denklemin şu şekilde çarpılması gerektiği anlamına geliyor: 2(x+2). Çarpmak:

Bu, kesirlerin yaygın bir çarpımıdır, ancak bunu ayrıntılı olarak açıklayacağım:

Braketi henüz açmadığımı lütfen unutmayın (x + 2)! O yüzden tamamını yazıyorum:

Sol tarafta tamamen kasılır (x+2), ve sağda 2. Gereken de buydu! İndirgemeden sonra elde ederiz doğrusal denklem:

Ve herkes bu denklemi çözebilir! x = 2.

Biraz daha karmaşık olan başka bir örneği çözelim:

3 = 3/1 olduğunu hatırlarsak ve 2x = 2x/ 1, şunu yazabiliriz:

Ve yine gerçekten sevmediğimiz şeylerden - kesirlerden - kurtuluyoruz.

Paydayı X ile azaltmak için kesri şununla çarpmamız gerektiğini görüyoruz: (x – 2). Ve birkaçı bizim için engel değil. Peki çarpalım. Tüm sol taraf ve Tümü Sağ Taraf:

Tekrar parantez (x – 2) Açıklamıyorum. Parantezle bir bütün olarak sanki tek bir sayıymış gibi çalışıyorum! Bu her zaman yapılmalıdır, aksi takdirde hiçbir şey azalmayacaktır.

Derin bir tatmin duygusuyla azaltıyoruz (x – 2) ve cetvelle kesir içermeyen bir denklem elde ediyoruz!

Şimdi parantezleri açalım:

Benzerlerini getiriyoruz, her şeyi sol tarafa taşıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Ancak ondan önce diğer sorunları çözmeyi öğreneceğiz. Faiz üzerine. Bu arada bu bir tırmık!

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Kesirli rasyonel denklemleri çözme

Başvuru Kılavuzu

Rasyonel denklemler hem sol hem de sağ taraflarının rasyonel ifadeler olduğu denklemlerdir.

(Unutmayın: rasyonel ifadeler, toplama, çıkarma, çarpma veya bölme işlemlerini de içeren kök içermeyen tamsayı ve kesirli ifadelerdir - örneğin: 6x; (m – n)2; x/3y, vb.)

Kesirli rasyonel denklemler genellikle şu şekle indirgenir:

Nerede P(X) Ve Q(X) polinomlardır.

Bu tür denklemleri çözmek için denklemin her iki tarafını da Q(x) ile çarpın; bu, yabancı köklerin ortaya çıkmasına neden olabilir. Bu nedenle kesirli rasyonel denklemleri çözerken bulunan kökleri kontrol etmek gerekir.

Rasyonel bir denklem, değişken içeren bir ifadeye bölünmüyorsa bütün veya cebirsel olarak adlandırılır.

Tam bir rasyonel denklemin örnekleri:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Rasyonel bir denklemde (x) değişkenini içeren bir ifadeye bölünme varsa, o zaman denklem kesirli rasyonel olarak adlandırılır.

Kesirli rasyonel denklem örneği:

15
x + - = 5x – 17
X

Kesirli rasyonel denklemler genellikle aşağıdaki şekilde çözülür:

1) kesirlerin ortak paydasını bulun ve denklemin her iki tarafını da bununla çarpın;

2) ortaya çıkan denklemin tamamını çözün;

3) kesirlerin ortak paydasını sıfıra indirenleri köklerinden hariç tutun.

Tamsayılı ve kesirli rasyonel denklemlerin çözümüne örnekler.

Örnek 1. Denklemin tamamını çözelim

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Çözüm:

En düşük ortak paydayı bulma. Bu 6'dır. 6'yı paydaya bölün ve elde edilen sonucu her kesrin payı ile çarpın. Buna eşdeğer bir denklem elde ederiz:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Sol ve sağ taraflar aynı paydaya sahip olduğundan ihmal edilebilir. O zaman daha basit bir denklem elde ederiz:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Parantezleri açıp benzer terimleri birleştirerek çözüyoruz:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Örnek çözüldü.

Örnek 2. Kesirli bir rasyonel denklemi çözün

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

Ortak bir payda bulmak. Bu x(x – 5). Bu yüzden:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Artık tüm ifadeler için aynı olduğundan paydadan tekrar kurtuluyoruz. Benzer terimleri azaltıyoruz, denklemi sıfıra eşitliyoruz ve ikinci dereceden bir denklem elde ediyoruz:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

İkinci dereceden denklemi çözdükten sonra köklerini buluruz: –2 ve 5.

Bu sayıların orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol edelim.

x = –2'de, x(x – 5) ortak paydası kaybolmaz. Bu –2'nin orijinal denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

x = 5 olduğunda ortak payda sıfıra gider ve üç ifadeden ikisi anlamsız hale gelir. Bu, 5 sayısının orijinal denklemin kökü olmadığı anlamına gelir.

Cevap: x = –2

Daha fazla örnek

Örnek 1.

x 1 =6, x 2 = - 2,2.

Cevap: -2,2;6.

Örnek 2.