Logaritma denkleminin kökünü bulun. Basit logaritmik denklemleri çözmeyi öğrenme

Bu videoyla logaritmik denklemlerle ilgili uzun bir ders serisine başlıyorum. Şimdi önünüzde en çok çözmeyi öğreneceğimiz üç örnek var. basit görevler buna şöyle denir - tek hücreli hayvan.

log 0,5 (3x − 1) = −3

günlük (x + 3) = 3 + 2 günlük 5

En basit logaritmik denklemin şu olduğunu hatırlatayım:

loga f(x) = b

Bu durumda x değişkeninin yalnızca argümanın içinde, yani yalnızca f(x) fonksiyonunda mevcut olması önemlidir. Ve a ve b sayıları yalnızca sayılardır ve hiçbir durumda x değişkenini içeren işlevler değildir.

Temel çözüm yöntemleri

Bu tür yapıları çözmenin birçok yolu vardır. Örneğin, okuldaki çoğu öğretmen şu yöntemi sunmaktadır: Aşağıdaki formülü kullanarak f(x) fonksiyonunu hemen ifade edin. F ( x) = bir b. Yani en basit yapıyla karşılaştığınızda ek işlemlere ve yapılara gerek kalmadan hemen çözüme geçebilirsiniz.

Evet elbette karar doğru olacaktır. Ancak bu formülle ilgili sorun çoğu öğrencinin anlamıyorum, nereden geliyor ve neden a harfini b harfine yükseltiyoruz?

Sonuç olarak, örneğin bu harflerin yerini değiştirirken sıklıkla çok can sıkıcı hatalar görüyorum. Bu formül ya anlaşılmalıdır ya da sıkıştırılmalıdır ve ikinci yöntem en uygunsuz ve en önemli anlarda hatalara yol açar: sınavlar, testler vb.

Bu yüzden tüm öğrencilerime standart okul formülünü bırakıp bunu kullanmalarını öneriyorum. logaritmik denklemler muhtemelen isminden de tahmin edebileceğiniz gibi ikinci yaklaşıma kanonik form.

Kanonik formun fikri basittir. Sorunumuza tekrar bakalım: solda log a var ve a harfiyle bir sayıyı kastediyoruz ve hiçbir durumda x değişkenini içeren bir fonksiyon değil. Sonuç olarak, bu mektup logaritma bazında uygulanan tüm kısıtlamalara tabidir. yani:

1 ≠ a > 0

Öte yandan aynı denklemden logaritmanın olması gerektiğini görüyoruz. sayıya eşit b ve bu mektuba herhangi bir kısıtlama getirilmemiştir çünkü hem olumlu hem de olumsuz herhangi bir değeri alabilir. Her şey f(x) fonksiyonunun hangi değerleri aldığına bağlıdır.

Ve burada, herhangi bir b sayısının a tabanının a üssü b'nin logaritması olarak temsil edilebileceğine dair harika kuralımızı hatırlıyoruz:

b = log a a b

Bu formülü nasıl hatırlayacağız? Evet, çok basit. Aşağıdaki yapıyı yazalım:

b = b 1 = b log a a

Elbette bu durumda başlangıçta yazdığımız tüm kısıtlamalar ortaya çıkıyor. Şimdi logaritmanın temel özelliğini kullanalım ve b çarpanını a'nın kuvveti olarak tanıtalım. Şunu elde ederiz:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Sonuç olarak orijinal denklem şu şekilde yeniden yazılacaktır:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

İşte bu. Yeni fonksiyon artık logaritma içermiyor ve standart cebirsel teknikler kullanılarak çözülebiliyor.

Elbette birileri şimdi itiraz edecek: Neden bir tür kanonik formül bulmak gerekliydi, orijinal tasarımdan son formüle hemen geçmek mümkünse neden iki gereksiz adım daha uygulayalım? Evet, çoğu öğrencinin bu formülün nereden geldiğini anlamaması ve sonuç olarak onu uygularken düzenli olarak hata yapması nedeniyle.

Ancak üç adımdan oluşan bu eylem dizisi, son formülün nereden geldiğini anlamasanız bile orijinal logaritmik denklemi çözmenize olanak tanır. Bu arada, bu girdiye kanonik formül adı veriliyor:

log a f (x) = log a a b

Kanonik formun rahatlığı aynı zamanda sadece bugün düşündüğümüz en basit olanları değil, çok geniş bir logaritmik denklem sınıfını çözmek için kullanılabilmesi gerçeğinde de yatmaktadır.

Çözüm örnekleri

Şimdi bir göz atalım gerçek örnekler. Öyleyse karar verelim:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Bunu şu şekilde yeniden yazalım:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Pek çok öğrencinin acelesi var ve hemen 0,5 sayısını asıl problemden bize gelen kuvvete yükseltmeye çalışıyor. Aslında, bu tür sorunları çözme konusunda zaten iyi eğitimli olduğunuzda, bu adımı hemen gerçekleştirebilirsiniz.

Ancak şimdi bu konuyu incelemeye yeni başlıyorsanız, saldırgan hatalar yapmaktan kaçınmak için hiçbir yere acele etmemek daha iyidir. Yani kanonik formumuz var. Sahibiz:

3x − 1 = 0,5 −3

Bu artık logaritmik bir denklem değil, x değişkenine göre doğrusaldır. Bunu çözmek için önce 0,5 üssü −3 sayısını ele alalım. 0,5'in 1/2 olduğunu unutmayın.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Tüm ondalık sayılar Logaritmik bir denklemi çözdüğünüzde sıradan olanlara dönüştürün.

Yeniden yazıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

İşte bu, cevabı aldık. İlk sorun çözüldü.

İkinci görev

Gelelim ikinci göreve:

Gördüğümüz gibi, bu denklem artık en basiti değil. Sırf solda bir fark olduğu ve bir tabana göre tek bir logaritma olmadığı için.

Dolayısıyla bir şekilde bu farktan kurtulmamız gerekiyor. Bu durumda her şey çok basittir. Tabanlara daha yakından bakalım: solda kökün altındaki sayı var:

Genel öneri: tüm logaritmik denklemlerde radikallerden (köklü girdilerden) kurtulmaya çalışın ve şuna geçin: güç fonksiyonlarıçünkü bu kuvvetlerin üsleri logaritmanın işaretinden kolayca çıkarılır ve sonuçta böyle bir gösterim hesaplamaları önemli ölçüde basitleştirir ve hızlandırır. Bunu şu şekilde yazalım:

Şimdi logaritmanın dikkate değer özelliğini hatırlayalım: kuvvetler tabandan olduğu gibi argümandan da elde edilebilir. Gerekçe durumunda aşağıdakiler gerçekleşir:

log a k b = 1/k loga b

Yani temel kuvvette olan sayı öne çıkarılır ve aynı zamanda tersine çevrilir, yani karşılıklı sayı haline gelir. Bizim olgumuzda taban derecesi 1/2 idi. Bu nedenle 2/1 olarak çıkarabiliriz. Şunu elde ederiz:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 günlük 5 x − günlük 5 x = 18

Lütfen unutmayın: Bu adımda hiçbir durumda logaritmalardan kurtulmamalısınız. 4.-5. sınıf matematiğini ve işlem sırasını hatırlayın: önce çarpma yapılır, ancak daha sonra toplama ve çıkarma yapılır. Bu durumda 10 elementten aynı elementlerden birini çıkarıyoruz:

9 log 5 x = 18
günlük 5 x = 2

Artık denklemimiz olması gerektiği gibi görünüyor. Bu en basit yapıdır ve bunu kanonik formu kullanarak çözüyoruz:

günlük 5 x = günlük 5 5 2
x = 5 2
x = 25

İşte bu. İkinci sorun çözüldü.

Üçüncü örnek

Gelelim üçüncü göreve:

günlük (x + 3) = 3 + 2 günlük 5

Size şu formülü hatırlatayım:

günlük b = günlük 10 b

Herhangi bir nedenle log b notasyonuyla kafanız karıştıysa, tüm hesaplamaları yaparken log 10 b yazabilirsiniz. Ondalık logaritmalarla diğerleriyle aynı şekilde çalışabilirsiniz: kuvvetleri alın, herhangi bir sayıyı ekleyin ve lg 10 biçiminde temsil edin.

Dersimizin en başında yazdığımız en basit özellik olmadığından, şimdi sorunu çözmek için kullanacağımız bu özelliklerdir.

İlk olarak, lg 5'in önündeki faktör 2'nin tanıtılabileceğine ve 5 tabanındaki bir kuvvet haline gelebileceğine dikkat edin. Ek olarak, serbest terim 3 de logaritma olarak temsil edilebilir - bunu notasyonumuzdan gözlemlemek çok kolaydır.

Kendiniz karar verin: herhangi bir sayı, 10 tabanına göre log olarak temsil edilebilir:

3 = günlük 10 10 3 = günlük 10 3

Elde edilen değişiklikleri dikkate alarak orijinal problemi yeniden yazalım:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
günlük (x - 3) = günlük 25.000

Önümüzde yine kanonik form var ve onu dönüşüm aşamasından geçmeden elde ettik, yani. en basit logaritmik denklem hiçbir yerde görünmedi.

Dersin başında bahsettiğim şey tam olarak buydu. Kanonik form, çoğu okul öğretmeninin verdiği standart okul formülünden daha geniş bir problem sınıfını çözmenize olanak tanır.

İşte bu kadar, ondalık logaritmanın işaretinden kurtuluyoruz ve basit bir doğrusal yapı elde ediyoruz:

x + 3 = 25.000
x = 24,997

Tüm! Sorun çözüldü.

Kapsamla ilgili bir not

Burada tanımın kapsamına ilişkin önemli bir açıklama yapmak istiyorum. Artık mutlaka şöyle diyecek öğrenci ve öğretmenler olacaktır: “Logaritmalı ifadeleri çözerken f(x) argümanının sıfırdan büyük olması gerektiğini unutmamalıyız!” Bu bağlamda mantıksal bir soru ortaya çıkıyor: Ele alınan sorunların hiçbirinde neden bu eşitsizliğin giderilmesini talep etmedik?

Merak etme. Bu durumlarda fazladan kök görünmeyecektir. Bu da çözümü hızlandırmanıza olanak tanıyan bir başka harika numaradır. Sadece şunu bilin: Eğer problemde x değişkeni yalnızca tek bir yerde (veya daha doğrusu, tek bir logaritmanın tek bir argümanında) ortaya çıkıyorsa ve bizim durumumuzda x değişkeni başka hiçbir yerde görünmüyorsa, o zaman tanımın tanım kümesini yazın. gerek yokçünkü otomatik olarak yürütülecektir.

Kendiniz karar verin: ilk denklemde 3x − 1 elde ettik, yani argüman 8'e eşit olmalıdır. Bu otomatik olarak 3x − 1'in sıfırdan büyük olacağı anlamına gelir.

Aynı başarıyla, ikinci durumda x'in 5 2'ye eşit olması gerektiğini, yani kesinlikle sıfırdan büyük olduğunu yazabiliriz. Ve üçüncü durumda, x + 3 = 25.000, yani yine açıkça sıfırdan büyüktür. Başka bir deyişle, kapsam otomatik olarak karşılanır, ancak yalnızca x yalnızca bir logaritmanın argümanında yer alırsa.

En basit sorunları çözmek için bilmeniz gereken tek şey bu. Tek başına bu kural, dönüşüm kurallarıyla birlikte çok geniş bir problem sınıfını çözmenize olanak sağlayacaktır.

Ancak dürüst olalım: Bu tekniği nihayet anlamak için, logaritmik denklemin kanonik formunun nasıl uygulanacağını öğrenmek için sadece bir video dersi izlemek yeterli değildir. Bu yüzden şu anda seçenekleri indirin bağımsız karar Bu video dersine ekli olan ve bu iki bağımsız çalışmadan en az birini çözmeye başlayan.

Kelimenin tam anlamıyla birkaç dakikanızı alacak. Ancak böyle bir eğitimin etkisi, bu video dersini izlemiş olmanızdan çok daha yüksek olacaktır.

Umarım bu ders logaritmik denklemleri anlamanıza yardımcı olur. Kanonik formu kullanın, logaritmalarla çalışma kurallarını kullanarak ifadeleri basitleştirin; herhangi bir sorundan korkmayacaksınız. Bugünlük elimde olan tek şey bu.

Tanım alanı dikkate alınarak

Şimdi logaritmik fonksiyonun tanım alanından ve bunun logaritmik denklemlerin çözümünü nasıl etkilediğinden bahsedelim. Formun bir yapısını düşünün

loga f(x) = b

Böyle bir ifadeye en basit denir - yalnızca bir işlev içerir ve a ve b sayıları yalnızca sayılardır ve hiçbir durumda x değişkenine bağlı bir işlev değildir. Çok basit bir şekilde çözülebilir. Sadece formülü kullanmanız gerekir:

b = log a a b

Bu formül logaritmanın temel özelliklerinden biridir ve orijinal ifademizi yerine koyarken aşağıdakileri elde ederiz:

log a f (x) = log a a b

f(x) = a b

Bu okul ders kitaplarından tanıdık bir formüldür. Pek çok öğrencinin muhtemelen bir sorusu olacaktır: Orijinal ifadede f(x) fonksiyonu log işaretinin altında olduğundan, ona aşağıdaki kısıtlamalar getirilmiştir:

f(x) > 0

Bu sınırlama geçerlidir çünkü logaritması negatif sayılar mevcut değil. Peki belki de bu sınırlamanın bir sonucu olarak cevaplara yönelik bir kontrol getirilmeli? Belki de kaynağa eklenmeleri gerekiyor?

Hayır, en basit logaritmik denklemlerde ek kontrole gerek yoktur. İşte nedeni. Son formülümüze bir göz atın:

f(x) = a b

Gerçek şu ki, a sayısı her durumda 0'dan büyüktür - bu gereklilik aynı zamanda logaritma tarafından da dayatılmaktadır. A sayısı tabandır. Bu durumda b sayısına herhangi bir kısıtlama getirilmemektedir. Ancak bu önemli değil, çünkü pozitif bir sayıyı hangi kuvvete yükseltirsek yükseltelim, çıktıda yine de pozitif bir sayı elde edeceğiz. Böylece f(x) > 0 şartı otomatik olarak karşılanır.

Gerçekten kontrol etmeye değer olan şey, log işaretinin altındaki fonksiyonun etki alanıdır. Oldukça fazla olabilir basit tasarımlar ve karar sürecinde bunların izlenmesi gerekir. Görelim.

İlk görev:

İlk adım: Sağdaki kesri dönüştürün. Şunu elde ederiz:

Logaritma işaretinden kurtuluruz ve olağan ir'yi elde ederiz rasyonel denklem:

Elde edilen köklerden sadece birincisi bize uygundur çünkü ikinci kök sıfırdan küçüktür. Tek cevap 9 rakamı olacaktır. İşte bu, sorun çözüldü. Logaritma işaretinin altındaki ifadenin 0'dan büyük olduğundan emin olmak için ek bir kontrole gerek yoktur çünkü sadece 0'dan büyük değil, denklemin koşuluna göre 2'ye eşittir. Dolayısıyla “sıfırdan büyük” şartı ” otomatik olarak karşılanır.

Gelelim ikinci göreve:

Burada her şey aynı. Üçlüyü değiştirerek yapıyı yeniden yazıyoruz:

Logaritma işaretlerinden kurtuluruz ve irrasyonel denklem:

Kısıtlamaları dikkate alarak her iki tarafın karesini alırız ve şunu elde ederiz:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x 2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Ortaya çıkan denklemi diskriminant aracılığıyla çözüyoruz:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Ancak x = −6 bize uymuyor çünkü bu sayıyı eşitsizliğimizde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

−6 + 4 = −2 < 0

Bizim durumumuzda 0'dan büyük veya aşırı durumlarda eşit olması gerekiyor. Fakat x = −1 bize uyar:

−1 + 4 = 3 > 0

Bizim durumumuzda tek cevap x = −1 olacaktır. Çözüm bu. Hesaplamalarımızın en başına dönelim.

Bu dersten çıkan ana sonuç, basit logaritmik denklemlerde bir fonksiyon üzerindeki kısıtlamaları kontrol etmenize gerek olmadığıdır. Çünkü çözüm sürecinde tüm kısıtlar otomatik olarak karşılanır.

Ancak bu hiçbir şekilde kontrol etmeyi tamamen unutabileceğiniz anlamına gelmez. Logaritmik bir denklem üzerinde çalışma sürecinde, bugün iki farklı örnekte gördüğümüz sağ taraf için kendi kısıtlamaları ve gereksinimleri olacak irrasyonel bir denklem haline gelebilir.

Bu tür sorunları çözmekten çekinmeyin ve tartışmanın bir kökü varsa özellikle dikkatli olun.

Farklı tabanlara sahip logaritmik denklemler

Logaritmik denklemleri incelemeye devam ediyoruz ve daha karmaşık yapıları çözmenin moda olduğu iki ilginç tekniğe daha bakıyoruz. Ama önce en basit sorunların nasıl çözüldüğünü hatırlayalım:

loga f(x) = b

Bu gösterimde a ve b sayılardır ve f(x) fonksiyonunda x değişkeni mevcut olmalıdır ve yalnızca orada, yani x yalnızca argümanda bulunmalıdır. Bu tür logaritmik denklemleri kanonik formu kullanarak dönüştüreceğiz. Bunu yapmak için şunu unutmayın

b = log a a b

Üstelik a b tam olarak bir argümandır. Bu ifadeyi şu şekilde yeniden yazalım:

log a f (x) = log a a b

Bizim de ulaşmaya çalıştığımız şey tam olarak budur, yani a'yı hem sol hem de sağ temel alan bir logaritma vardır. Bu durumda mecazi anlamda log işaretlerinin üzerini çizebiliriz ve matematiksel açıdan argümanları basitçe eşitlediğimizi söyleyebiliriz:

f(x) = a b

Sonuç olarak çözülmesi çok daha kolay olacak yeni bir ifade elde edeceğiz. Bu kuralı bugünkü sorunlarımıza uygulayalım.

Yani ilk tasarım:

Öncelikle sağda paydası log olan bir kesir olduğunu belirteyim. Bunun gibi bir ifade gördüğünüzde logaritmanın harika bir özelliğini hatırlamak iyi bir fikirdir:

Rusçaya çevrildiğinde bu, herhangi bir logaritmanın herhangi bir c tabanına sahip iki logaritmanın bölümü olarak temsil edilebileceği anlamına gelir. tabii ki 0< с ≠ 1.

Yani: bu formülde c değişkeninin değişkene eşit olduğu harika bir özel durum vardır. B. Bu durumda şöyle bir yapı elde ederiz:

Bu tam olarak denklemimizin sağındaki işarette gördüğümüz yapıdır. Bu yapıyı log a b ile değiştirelim, şunu elde ederiz:

Başka bir deyişle, orijinal göreve kıyasla argümanı ve logaritmanın tabanını değiştirdik. Bunun yerine kesri tersine çevirmek zorunda kaldık.

Aşağıdaki kurala göre herhangi bir derecenin tabandan türetilebileceğini hatırlıyoruz:

Başka bir deyişle bazın kuvveti olan k katsayısı ters kesir olarak ifade edilir. Bunu ters kesir olarak gösterelim:

Kesirli faktör önde bırakılamaz çünkü bu durumda bu gösterimi kanonik formda gösteremeyeceğiz (sonuçta kanonik formda ikinci logaritmadan önce ek bir faktör yoktur). Bu nedenle argümana 1/4 kesirini kuvvet olarak ekleyelim:

Şimdi tabanları aynı olan (ve tabanlarımız gerçekten aynı olan) argümanları eşitliyoruz ve şunu yazıyoruz:

x + 5 = 1

x = −4

İşte bu. İlk logaritmik denklemin cevabını bulduk. Lütfen unutmayın: orijinal problemde, x değişkeni yalnızca bir günlükte görünür ve argümanında görünür. Bu nedenle tanım kümesini kontrol etmeye gerek yoktur ve x = −4 sayımız aslında cevaptır.

Şimdi ikinci ifadeye geçelim:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Burada olağan logaritmalara ek olarak log f(x) ile çalışmamız gerekecek. Böyle bir denklem nasıl çözülür? Hazırlıksız bir öğrenciye bu zor bir görev gibi görünebilir, ancak aslında her şey basit bir şekilde çözülebilir.

lg 2 log 2 7 terimine yakından bakın. Bu konuda ne söyleyebiliriz? Log ve lg'nin temelleri ve argümanları aynıdır ve bu bazı fikirler vermelidir. Logaritmanın işaretinin altındaki kuvvetlerin nasıl çıkarıldığını bir kez daha hatırlayalım:

log a b n = nlog a b

Başka bir deyişle, argümanda b'nin kuvveti olan şey log'un önünde bir faktör haline gelir. Bu formülü lg 2 log 2 7 ifadesine uygulayalım. lg 2'den korkmayın - bu en yaygın ifadedir. Aşağıdaki şekilde yeniden yazabilirsiniz:

Herhangi bir logaritmaya uygulanan kuralların tümü onun için de geçerlidir. Özellikle öndeki faktör argümanın derecesine eklenebilir. Bunu yazalım:

Çoğu zaman öğrenciler bu eylemi doğrudan görmezler çünkü bir günlüğe diğerinin işareti altında girmek iyi değildir. Aslında bunda suç teşkil edecek bir durum yok. Üstelik önemli bir kuralı hatırlarsanız hesaplaması kolay bir formül elde ederiz:

Bu formül hem tanım olarak hem de onun özelliklerinden biri olarak düşünülebilir. Her durumda, eğer logaritmik bir denklemi dönüştürüyorsanız, herhangi bir sayının log gösterimini bildiğiniz gibi bu formülü de bilmeniz gerekir.

Görevimize dönelim. Eşittir işaretinin sağındaki ilk terimin lg 7'ye eşit olacağı gerçeğini dikkate alarak yeniden yazıyoruz. Elimizde:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

LG 7'yi sola kaydıralım, şunu elde ederiz:

lg 56 − log 7 = −3lg (x + 4)

Tabanları aynı olduğundan soldaki ifadeleri çıkarıyoruz:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Şimdi elde ettiğimiz denkleme daha yakından bakalım. Pratikte kanonik formdur, ancak sağda −3 çarpanı vardır. Bunu sağ lg argümanına ekleyelim:

log 8 = log (x + 4) −3

Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var, bu yüzden lg işaretlerinin üstünü çiziyoruz ve argümanları eşitliyoruz:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

İşte bu! İkinci logaritmik denklemi çözdük. Bu durumda hiçbir ek kontrole gerek yoktur çünkü orijinal problemde x yalnızca bir bağımsız değişkende mevcuttu.

Bu dersin önemli noktalarını tekrar sıralayayım.

Ana formül Bu sayfadaki tüm derslerde işlenen, çözüme adanmış logaritmik denklemler kanonik formdur. Ve çoğu okul ders kitabının size bu tür sorunları farklı şekilde çözmeyi öğrettiği gerçeğinden korkmayın. Bu araç çok etkili bir şekilde çalışır ve dersimizin başında incelediğimiz en basit sorunlardan çok daha geniş bir sorun sınıfını çözmenize olanak tanır.

Ayrıca logaritmik denklemlerin çözümünde temel özelliklerin bilinmesi yararlı olacaktır. Yani:

1. Tek tabana geçme formülü ve logu ters çevirdiğimizdeki özel durum (bu ilk problemde bizim için çok yararlıydı);
2. Logaritma işaretinden kuvvetlerin eklenmesi ve çıkarılması için formül. Burada birçok öğrenci takılıp kalıyor ve alınan ve tanıtılan derecenin kendisinin log f (x) içerebileceğini göremiyor. Bunda yanlış bir şey yok. Bir kütüğü diğerinin işaretine göre tanıtabiliriz ve aynı zamanda ikinci durumda gözlemlediğimiz gibi sorunun çözümünü önemli ölçüde basitleştirebiliriz.

Sonuç olarak, bu durumların her birinde tanım alanını kontrol etmenin gerekli olmadığını eklemek isterim, çünkü x değişkeni her yerde log'un yalnızca bir işaretinde mevcuttur ve aynı zamanda onun argümanındadır. Sonuç olarak kapsamın tüm gereklilikleri otomatik olarak yerine getirilir.

Değişken tabanla ilgili sorunlar

Bugün birçok öğrenci için tamamen çözülemez olmasa da standart dışı görünen logaritmik denklemlere bakacağız. Rakamlara değil, değişkenlere ve hatta fonksiyonlara dayalı ifadelerden bahsediyoruz. Bu tür yapıları standart tekniğimizi, yani kanonik formu kullanarak çözeceğiz.

Öncelikle sıradan sayılara dayanarak en basit problemlerin nasıl çözüldüğünü hatırlayalım. Yani en basit yapıya denir

loga f(x) = b

Bu tür problemleri çözmek için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:

b = log a a b

Orijinal ifademizi yeniden yazarsak şunu elde ederiz:

log a f (x) = log a a b

Sonra argümanları eşitliyoruz, yani şunu yazıyoruz:

f(x) = a b

Böylece log işaretinden kurtulup alışılagelmiş sorunu çözmüş oluyoruz. Bu durumda çözümden elde edilen kökler orijinal logaritmik denklemin kökleri olacaktır. Ayrıca hem sol hem de sağın aynı logaritmada ve aynı tabanda olduğu kayıtlara kanonik form adı verilir. Öyle bir rekora varıyoruz ki, bugünün tasarımlarını azaltmaya çalışacağız. Öyleyse gidelim.

İlk görev:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

1'i log x − 2 (x − 2) 1 ile değiştirin. Argümanda gözlemlediğimiz derece aslında eşittir işaretinin sağında bulunan b sayısıdır. Böylece ifademizi yeniden yazalım. Şunu elde ederiz:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Ne görüyoruz? Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var, bu yüzden argümanları güvenli bir şekilde eşitleyebiliriz. Şunu elde ederiz:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Ancak çözüm burada bitmiyor çünkü bu denklem orijinaline eşdeğer değil. Sonuçta ortaya çıkan yapı, sayı doğrusunda tanımlanan fonksiyonlardan oluşur ve orijinal logaritmalarımız her zaman ve her yerde tanımlanmaz.

Bu nedenle tanım alanını ayrıca yazmamız gerekir. Saçmalamayalım ve önce tüm gereksinimleri yazalım:

İlk olarak, logaritmaların her birinin argümanı 0'dan büyük olmalıdır:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

İkincisi, tabanın yalnızca 0'dan büyük olması değil aynı zamanda 1'den farklı olması gerekir:

x - 2 ≠ 1

Sonuç olarak, sistemi elde ediyoruz:

Ancak paniğe kapılmayın: logaritmik denklemleri işlerken böyle bir sistem önemli ölçüde basitleştirilebilir.

Kendiniz karar verin: Bir yandan ikinci dereceden fonksiyonun sıfırdan büyük olması gerekiyor, diğer yandan bu ikinci dereceden fonksiyon belirli bir doğrusal ifadeye eşitleniyor ve bunun da sıfırdan büyük olması gerekiyor.

Bu durumda, x − 2 > 0 olmasını istersek, 2x 2 − 13x + 18 > 0 gereksinimi otomatik olarak karşılanacaktır. Bu nedenle, içeren eşitsizliğin üzerini güvenle çizebiliriz. ikinci dereceden fonksiyon. Böylece sistemimizde yer alan ifade sayısı üçe düşecektir.

Tabii ki, üstünü çizebiliriz doğrusal eşitsizlik yani x − 2 > 0'ın üzerini çizin ve 2x 2 − 13x + 18 > 0 olmasını talep edin. Ancak, en basit doğrusal eşitsizliği çözmenin ikinci dereceden denklemden çok daha hızlı ve daha kolay olduğunu kabul etmelisiniz, hatta tüm denklemi çözmenin bir sonucu olsa bile bu sistemde aynı kökleri alacağız.

Genel olarak mümkün olduğunca hesaplamaları optimize etmeye çalışın. Logaritmik denklemler söz konusu olduğunda en zor eşitsizliklerin üzerini çizin.

Sistemimizi yeniden yazalım:

Burada üç ifadeden oluşan bir sistem var, bunlardan ikisini daha önce ele almıştık. Bunu ayrı ayrı yazalım ikinci dereceden denklem ve çözelim:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Bizden önce verilen ikinci dereceden üç terimli ve bu nedenle Vieta'nın formüllerini kullanabiliriz. Şunu elde ederiz:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Şimdi sistemimize dönüyoruz ve x = 2'nin bize uymadığını görüyoruz çünkü x'in kesinlikle 2'den büyük olması gerekiyor.

Ancak x = 5 bize çok yakışıyor: 5 sayısı 2'den büyüktür ve aynı zamanda 5, 3'e eşit değildir. Dolayısıyla bu sistemin tek çözümü x = 5 olacaktır.

İşte bu, ODZ dikkate alınarak sorun çözüldü. İkinci denkleme geçelim. Burada bizi daha ilginç ve bilgilendirici hesaplamalar bekliyor:

İlk adım: Geçen seferki gibi, tüm bu konuyu kanonik forma getiriyoruz. Bunun için 9 sayısını şu şekilde yazabiliriz:

Kök ile tabana dokunmanıza gerek yok, ancak argümanı dönüştürmek daha iyidir. Rasyonel bir üsle kökten kuvvete doğru ilerleyelim. Hadi yazalım:

Büyük logaritmik denklemimizin tamamını yeniden yazmama izin verin, ancak hemen argümanları eşitleyelim:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Önümüzde yeni indirgenmiş ikinci dereceden bir trinomial var, Vieta formüllerini kullanıp yazalım:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Yani kökleri bulduk ama kimse bize bunların orijinal logaritmik denkleme uyacağını garanti etmedi. Sonuçta, log işaretleri ek kısıtlamalar getirmektedir (burada sistemi yazmamız gerekirdi, ancak tüm yapının hantal doğası nedeniyle tanım alanını ayrı olarak hesaplamaya karar verdim).

Her şeyden önce, argümanların 0'dan büyük olması gerektiğini unutmayın; yani:

Bunlar tanımın kapsamının gerektirdiği gerekliliklerdir.

Hemen belirtelim ki sistemin ilk iki ifadesini birbirine eşitlediğimiz için herhangi birinin üzerini çizebiliriz. İlkinin üzerini çizelim çünkü ikincisinden daha tehditkar görünüyor.

Ek olarak, ikinci ve üçüncü eşitsizliklerin çözümünün aynı kümeler olacağını unutmayın (eğer bu sayının kendisi sıfırdan büyükse, bir sayının küpü sıfırdan büyüktür; benzer şekilde, üçüncü derecenin köküyle - bu eşitsizlikler) tamamen benzer olduğundan üzerini çizebiliriz).

Ancak üçüncü eşitsizlikte bu işe yaramayacaktır. Her iki parçayı da küp haline getirerek soldaki kök işaretinden kurtulalım. Şunu elde ederiz:

Böylece aşağıdaki gereksinimleri alıyoruz:

− 2 ≠ x > −3

Köklerimizden hangisi: x 1 = −3 veya x 2 = −1 bu gereksinimleri karşılıyor? Açıkçası, yalnızca x = −1, çünkü x = −3 ilk eşitsizliği sağlamaz (eşitsizliğimiz katı olduğundan). Yani problemimize dönersek bir kök elde ederiz: x = −1. İşte bu, sorun çözüldü.

Bir kez daha, bu görevin kilit noktaları:

1. Kanonik formu kullanarak logaritmik denklemleri uygulamaktan ve çözmekten çekinmeyin. Böyle bir gösterim yapan öğrenciler, doğrudan orijinal problemden log a f(x) = b gibi bir yapıya geçmek yerine, hesaplamaların ara adımlarını atlayarak bir yere acele eden öğrencilere göre çok daha az hata yaparlar;
2. Logaritmada değişken bir taban ortaya çıktığı anda problem en basit olmaktan çıkar. Bu nedenle, çözerken tanım alanını hesaba katmak gerekir: argümanlar sıfırdan büyük olmalı ve tabanlar yalnızca 0'dan büyük olmamalı, aynı zamanda 1'e eşit olmamalıdır.

Nihai gereksinimler, nihai cevaplara farklı şekillerde uygulanabilir. Örneğin tanım alanına ait tüm gereksinimleri içeren bir sistemin tamamını çözebilirsiniz. Öte yandan, önce problemin kendisini çözebilir, sonra tanım alanını hatırlayabilir, bunu bir sistem şeklinde ayrı ayrı çözebilir ve elde edilen köklere uygulayabilirsiniz.

Belirli bir logaritmik denklemi çözerken hangi yöntemi seçeceğiniz size kalmış. Her durumda cevap aynı olacaktır.

Logaritmik denklemlerin çözümüyle ilgili uzun ders serisinin son videoları. Bu sefer öncelikle logaritmanın ODZ'si ile çalışacağız - bu tür problemleri çözerken çoğu hatanın ortaya çıkmasının nedeni tam olarak tanım alanının yanlış değerlendirilmesinden (veya hatta göz ardı edilmesinden) kaynaklanmaktadır.

Bu kısa video dersinde logaritmalarda toplama ve çıkarma formüllerinin kullanımına bakacağız ve ayrıca birçok öğrencinin sorun yaşadığı kesirli rasyonel denklemleri de ele alacağız.

Ne hakkında konuşacağız? Anlamak istediğim ana formül şuna benziyor:

log a (f g ) = log a f + log a g

Bu, çarpımdan logaritma toplamına ve geriye doğru standart bir geçiştir. Muhtemelen bu formülü logaritma çalışmaya başladığınızdan beri biliyorsunuzdur. Ancak bir aksaklık var.

a, f ve g değişkenleri sıradan sayılar olduğu sürece herhangi bir sorun ortaya çıkmaz. Bu formül harika çalışıyor.

Ancak f ve g yerine fonksiyonlar ortaya çıktığı anda, hangi yönde dönüşüm yapılacağına bağlı olarak tanım alanının genişletilmesi veya daraltılması sorunu ortaya çıkar. Kendiniz karar verin: Solda yazılı logaritmada tanım alanı aşağıdaki gibidir:

fg > 0

Ancak sağda yazılan miktarda tanım alanı zaten biraz farklıdır:

f > 0

g > 0

Bu gereksinimler dizisi orijinal gereksinimlerden daha katıdır. İlk durumda f seçeneğinden memnun olacağız.< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 yürütülür).

Yani sol yapıdan sağa doğru gidildiğinde tanım alanının daralması söz konusudur. İlk başta bir toplamımız olsaydı ve onu bir çarpım biçiminde yeniden yazarsak, o zaman tanım alanı genişler.

Başka bir deyişle, ilk durumda köklerimizi kaybedebilir, ikincisinde ise fazladan kök alabiliriz. Gerçek logaritmik denklemleri çözerken bu dikkate alınmalıdır.

Yani, ilk görev:

[Resmin başlığı]

Solda aynı tabanı kullanan logaritmaların toplamını görüyoruz. Bu nedenle bu logaritmalar toplanabilir:

[Resmin başlığı]

Gördüğünüz gibi sağdaki formülü kullanarak sıfırı değiştirdik:

a = log b b a

Denklemimizi biraz daha düzenleyelim:

günlük 4 (x - 5) 2 = günlük 4 1

Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var; log işaretinin üstünü çizebilir ve argümanları eşitleyebiliriz:

(x - 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Lütfen dikkat: Modül nereden geldi? Tam karenin kökünün modüle eşit olduğunu hatırlatmama izin verin:

[Resmin başlığı]

Daha sonra modüllü klasik denklemi çözeriz:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x2 = 5 + 1 = 6

İşte iki aday cevabı. Bunlar orijinal logaritmik denklemin çözümü mü? Hayır, hiçbir durumda!

Her şeyi böyle bırakıp cevabı yazmaya hakkımız yok. Logaritmaların toplamını argümanların çarpımının bir logaritması ile değiştirdiğimiz adıma bir göz atın. Sorun şu ki, orijinal ifadelerde fonksiyonlarımız var. Bu nedenle aşağıdakilere ihtiyacınız olmalıdır:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Ürünü dönüştürüp tam bir kare elde ettiğimizde gereksinimler değişti:

(x - 5) 2 > 0

Bu gereksinim ne zaman karşılanır? Evet, neredeyse her zaman! x − 5 = 0 durumu hariç. Yani eşitsizlik tek bir delinmiş noktaya indirgenecek:

x - 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Gördüğünüz gibi tanımın kapsamı genişledi, dersin başında da bundan bahsetmiştik. Sonuç olarak, ekstra kökler görünebilir.

Bu ekstra köklerin ortaya çıkmasını nasıl önleyebilirsiniz? Çok basit: Elde ettiğimiz köklere bakıyoruz ve bunları orijinal denklemin tanım alanıyla karşılaştırıyoruz. Hadi sayalım:

x (x - 5) > 0

Aralık yöntemini kullanarak çözeceğiz:

x (x - 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Ortaya çıkan sayıları satırda işaretliyoruz. Eşitsizlik katı olduğundan tüm noktalar eksik. 5'ten büyük herhangi bir sayıyı alın ve yerine şunu koyun:

[Resmin başlığı]

(−∞; 0) ∪ (5; ∞) aralıklarıyla ilgileniyoruz. Köklerimizi segment üzerinde işaretlersek x = 4'ün bize uymadığını görürüz çünkü bu kök orijinal logaritmik denklemin tanım bölgesinin dışında kalır.

Bütünlüğe dönüyoruz, x = 4 kökünün üzerini çiziyoruz ve cevabı yazıyoruz: x = 6. Bu, orijinal logaritmik denklemin son cevabıdır. İşte bu, sorun çözüldü.

İkinci logaritmik denkleme geçelim:

[Resmin başlığı]

Hadi çözelim. İlk terimin bir kesir olduğunu ve ikincisinin aynı kesir olduğunu ancak ters çevrildiğini unutmayın. lgx ifadesinden korkmayın - bu sadece ondalık bir logaritmadır, şunu yazabiliriz:

lgx = günlük 10 x

Tersine çevrilmiş iki kesirimiz olduğundan, yeni bir değişken eklemeyi öneriyorum:

[Resmin başlığı]

Bu nedenle denklemimiz şu şekilde yeniden yazılabilir:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t - 1) 2 /t = 0.

Gördüğünüz gibi kesrin payı tam karedir. Bir kesirin payı sıfır ve paydası sıfırdan farklı olduğunda sıfıra eşittir:

(t - 1) 2 = 0; t ≠ 0

İlk denklemi çözelim:

t - 1 = 0;

t = 1.

Bu değer ikinci şartı karşılamaktadır. Dolayısıyla denklemimizi tamamen çözdüğümüzü söyleyebiliriz, ancak yalnızca t değişkenine göre. Şimdi t’nin ne olduğunu hatırlayalım:

[Resmin başlığı]

Oranı bulduk:

lgx = 2 lgx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

Bu denklemi kanonik formuna getiriyoruz:

logx = log 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Sonuç olarak, teoride orijinal denklemin çözümü olan tek bir kök elde ettik. Ancak yine de işi riske atalım ve orijinal denklemin tanım tanım kümesini yazalım:

[Resmin başlığı]

Bu nedenle kökümüz tüm gereksinimleri karşılıyor. Orijinal logaritmik denklemin çözümünü bulduk. Cevap: x = 0,1. Sorun çözüldü.

Bugünkü dersimizde tek bir kilit nokta var: Bir çarpımdan toplama ve geriye doğru geçiş formülünü kullanırken, geçişin hangi yöne yapıldığına bağlı olarak tanımın kapsamının daraltılabileceğini veya genişleyebileceğini mutlaka dikkate alın.

Ne olduğunu nasıl anlayabilirim: daralma mı yoksa genişleme mi? Çok basit. Daha önce işlevler bir aradaysa ve şimdi ayrıysa, tanımın kapsamı daralmıştır (çünkü daha fazla gereksinim vardır). Başlangıçta işlevler ayrı ayrı duruyorsa ve şimdi bir aradaysa, o zaman tanım alanı genişletilir (ürüne bireysel faktörlere göre daha az gereksinim dayatılır).

Bu açıklamayı dikkate alarak, ikinci logaritmik denklemin bu dönüşümleri hiç gerektirmediğini, yani argümanları hiçbir yere eklemediğimizi veya çarpmadığımızı belirtmek isterim. Ancak burada, çözümü önemli ölçüde basitleştirebilecek başka bir harika tekniğe dikkatinizi çekmek istiyorum. Bir değişkenin değiştirilmesiyle ilgilidir.

Ancak hiçbir ikamenin bizi tanımın kapsamından kurtarmadığını unutmayın. Bu nedenle tüm kökler bulunduktan sonra tembel olmadık ve ODZ'sini bulmak için orijinal denkleme geri döndük.

Çoğunlukla bir değişkeni değiştirirken öğrenciler t değerini bulup çözümün tamamlandığını düşündüklerinde can sıkıcı bir hata ortaya çıkar. Hayır, hiçbir durumda!

T'nin değerini bulduktan sonra orijinal denkleme dönüp bu harfle tam olarak ne demek istediğimizi görmeniz gerekir. Sonuç olarak, orijinalinden çok daha basit olacak bir denklemi daha çözmemiz gerekiyor.

Yeni bir değişkenin tanıtılmasının amacı tam olarak budur. Orijinal denklemi, her birinin çok daha basit bir çözümü olan iki ara denkleme ayırdık.

"İç içe geçmiş" logaritmik denklemler nasıl çözülür?

Bugün logaritmik denklemleri incelemeye devam edeceğiz ve bir logaritmanın başka bir logaritmanın işareti altında olduğu durumları analiz edeceğiz. Her iki denklemi de kanonik formu kullanarak çözeceğiz.

Bugün logaritmik denklemleri incelemeye devam ediyoruz ve bir logaritmanın diğerinin işareti altında olduğu durumları analiz edeceğiz. Her iki denklemi de kanonik formu kullanarak çözeceğiz. Log a f (x) = b şeklinde basit bir logaritmik denklemimiz varsa, böyle bir denklemi çözmek için aşağıdaki adımları uyguladığımızı hatırlatmama izin verin. Öncelikle b sayısını değiştirmemiz gerekiyor:

b = log a a b

Not: a b bir argümandır. Benzer şekilde orijinal denklemde argüman f(x) fonksiyonudur. Sonra denklemi yeniden yazar ve şu yapıyı elde ederiz:

log a f (x) = log a a b

Daha sonra üçüncü adımı gerçekleştirebiliriz - logaritma işaretinden kurtulun ve basitçe şunu yazın:

f(x) = a b

Sonuç olarak yeni bir denklem elde ederiz. Bu durumda f(x) fonksiyonuna herhangi bir kısıtlama getirilmemektedir. Mesela onun yerine de olabilir logaritmik fonksiyon. Ve sonra yine logaritmik bir denklem elde edeceğiz ve bunu yine en basit haline indirip kanonik form aracılığıyla çözeceğiz.

Ancak şarkı sözleri yeterli. Asıl sorunu çözelim. Yani, görev numarası 1:

günlük 2 (1 + 3 günlük 2 x ) = 2

Gördüğünüz gibi basit bir logaritmik denklemimiz var. F (x)'in rolü 1 + 3 log 2 x yapısıdır ve b sayısının rolü 2 sayısıdır (a'nın rolü de iki tarafından oynanır). Bu ikisini şu şekilde yeniden yazalım:

İlk iki ikinin bize logaritmanın tabanından geldiğini anlamak önemlidir; yani orijinal denklemde 5 olsaydı, o zaman 2 = log 5 5 2 elde ederdik. Genel olarak taban yalnızca problemde başlangıçta verilen logaritmaya bağlıdır. Ve bizim durumumuzda bu 2 sayısıdır.

Sağdaki ikisinin de aslında bir logaritma olduğunu dikkate alarak logaritmik denklemimizi yeniden yazalım. Şunu elde ederiz:

günlük 2 (1 + 3 günlük 2 x ) = günlük 2 4

Hadi devam edelim son adım planımız - kanonik formdan kurtuluyoruz. Basitçe kütük işaretlerinin üzerini çizdiğimizi söyleyebilirsiniz. Bununla birlikte, matematiksel açıdan bakıldığında, "günlüğün üzerini çizmek" imkansızdır - argümanları basitçe eşitlediğimizi söylemek daha doğru olacaktır:

1 + 3 log 2 x = 4

Buradan 3 log 2 x'i kolaylıkla bulabiliriz:

3 log 2 x = 3

günlük 2 x = 1

Yine en basit logaritmik denklemi elde ettik, tekrar kanonik forma getirelim. Bunu yapmak için aşağıdaki değişiklikleri yapmamız gerekiyor:

1 = günlük 2 2 1 = günlük 2 2

Üssünde neden iki tane var? Çünkü soldaki kanonik denklemimizde tam olarak 2 tabanına göre bir logaritma var. Bu gerçeği dikkate alarak problemi yeniden yazıyoruz:

günlük 2 x = günlük 2 2

Yine logaritma işaretinden kurtuluyoruz, yani basitçe argümanları eşitliyoruz. Tabanlar aynı olduğundan ve sağda veya solda başka hiçbir ek eylem gerçekleştirilmediğinden bunu yapma hakkımız var:

İşte bu! Sorun çözüldü. Logaritmik denklemin çözümünü bulduk.

Dikkat etmek! Her ne kadar argümanda x değişkeni görünse de (yani tanım alanı için gereksinimler mevcutsa), herhangi bir ek gereksinim yapmayacağız.

Yukarıda söylediğim gibi, değişken yalnızca bir logaritmanın yalnızca bir argümanında görünüyorsa bu kontrol gereksizdir. Bizim durumumuzda x gerçekte yalnızca argümanda ve yalnızca bir log işareti altında görünür. Bu nedenle ek kontrollere gerek yoktur.

Ancak güvenmiyorsanız bu yöntem, o zaman x = 2'nin gerçekten bir kök olduğunu kolayca doğrulayabilirsiniz. Bu sayıyı orijinal denklemde değiştirmek yeterlidir.

Şimdi ikinci denkleme geçelim, biraz daha ilginç:

log 2 (log 1/2 (2x - 1) + log 2 4) = 1

Büyük logaritmanın içindeki ifadeyi f(x) fonksiyonuyla gösterirsek, bugünkü video dersimize başladığımız en basit logaritmik denklemi elde ederiz. Bu nedenle, birimi log 2 2 1 = log 2 2 formunda temsil etmeniz gereken kanonik formu uygulayabilirsiniz.

Büyük denklemimizi yeniden yazalım:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Argümanları eşitleyerek logaritmanın işaretinden uzaklaşalım. Bunu yapmaya hakkımız var çünkü hem solda hem de sağda tabanlar aynı. Ayrıca log 2 4 = 2'ye dikkat edin:

log 1/2 (2x - 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x - 1) = 0

Önümüzde yine log a f (x) = b formunun en basit logaritmik denklemi var. Kanonik forma geçelim yani sıfırı log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1 formunda temsil ediyoruz.

Denklemimizi yeniden yazıyoruz ve argümanları eşitleyerek log işaretinden kurtuluyoruz:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x - 1 = 1

Yine hemen yanıt aldık. Orijinal denklemde fonksiyonu bağımsız değişken olarak yalnızca bir logaritma içerdiğinden ek kontrollere gerek yoktur.

Bu nedenle ek kontrollere gerek yoktur. Bu denklemin tek kökünün x = 1 olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.

Ancak ikinci logaritmada dört yerine x'in bir fonksiyonu varsa (veya 2x argümanda değil tabandaysa), o zaman tanım alanını kontrol etmek gerekir. Aksi halde fazladan köklerle karşılaşma ihtimaliniz yüksektir.

Bu ekstra kökler nereden geliyor? Bu noktanın çok iyi anlaşılması gerekiyor. Orijinal denklemlere bir göz atın: x fonksiyonu her yerde logaritma işaretinin altındadır. Sonuç olarak, log 2 x'i yazdığımız için, gereksinimi otomatik olarak x > 0 olarak belirledik. Aksi takdirde, bu girişin hiçbir anlamı yoktur.

Ancak logaritmik denklemi çözdükçe tüm log işaretlerinden kurtulur ve basit yapılar elde ederiz. Doğrusal fonksiyon x'in herhangi bir değeri için tanımlandığından burada herhangi bir kısıtlama yoktur.

Son fonksiyonun her yerde ve her zaman tanımlandığı, ancak orijinal fonksiyonun her yerde ve her zaman tanımlanmadığı bu sorun, logaritmik denklemlerin çözümünde sıklıkla ekstra köklerin ortaya çıkmasının nedenidir.

Ancak bir kez daha tekrar ediyorum: Bu yalnızca fonksiyonun birden fazla logaritmada veya bunlardan birinin tabanında olması durumunda gerçekleşir. Bugün ele aldığımız problemlerde prensip olarak tanım alanının genişletilmesinde herhangi bir sorun yoktur.

Farklı gerekçelerle davalar

Bu ders daha fazlasına adanmıştır karmaşık yapılar. Günümüzün denklemlerindeki logaritmalar artık hemen çözülmeyecek; önce bazı dönüşümlerin yapılması gerekecek.

Birbirinin tam kuvvetleri olmayan tamamen farklı tabanlara sahip logaritmik denklemleri çözmeye başlıyoruz. Bu tür sorunların sizi korkutmasına izin vermeyin; bunları çözmek, yukarıda tartıştığımız en basit tasarımlardan daha zor değil.

Ancak doğrudan sorunlara geçmeden önce, size en basit logaritmik denklemleri kanonik formu kullanarak çözme formülünü hatırlatmama izin verin. Bunun gibi bir sorunu düşünün:

loga f(x) = b

f(x) fonksiyonunun sadece bir fonksiyon olması ve a ve b sayılarının rolünün (herhangi bir x değişkeni olmadan) sayılar olması önemlidir. Elbette, kelimenin tam anlamıyla bir dakika içinde a ve b değişkenleri yerine fonksiyonların olduğu bu tür durumlara bakacağız, ancak bu şimdi bununla ilgili değil.

Hatırladığımız gibi, b sayısının, soldaki aynı a tabanına göre bir logaritma ile değiştirilmesi gerekir. Bu çok basit bir şekilde yapılır:

b = log a a b

Elbette “herhangi bir sayı b” ve “herhangi bir sayı a” kelimeleri tanım kapsamını karşılayan değerler anlamına gelir. Özellikle bu denklemde hakkında konuşuyoruz yalnızca a > 0 ve a ≠ 1 tabanı.

Bununla birlikte, bu gereklilik otomatik olarak yerine getirilir, çünkü orijinal problem zaten a tabanına göre bir logaritma içerir - bu kesinlikle 0'dan büyük olacaktır ve 1'e eşit olmayacaktır. Bu nedenle logaritmik denklemi çözmeye devam ediyoruz:

log a f (x) = log a a b

Böyle bir gösterime kanonik form denir. Kolaylığı, argümanları eşitleyerek log işaretinden hemen kurtulabilmemizde yatmaktadır:

f(x) = a b

Şimdi değişken tabanlı logaritmik denklemleri çözmek için kullanacağımız bu tekniktir. Öyleyse gidelim!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Sırada ne var? Birisi şimdi doğru logaritmayı hesaplamanız veya bunları aynı tabana indirmeniz veya başka bir şey yapmanız gerektiğini söyleyecektir. Ve aslında, şimdi her iki tabanı da aynı forma getirmemiz gerekiyor - ya 2 ya da 0,5. Ama gelin şu kuralı kesin olarak öğrenelim:

Logaritmik bir denklemde ondalık sayılar varsa, bu kesirleri ondalık gösterimden ortak gösterime dönüştürdüğünüzden emin olun. Bu dönüşüm çözümü büyük ölçüde basitleştirebilir.

Böyle bir geçiş, herhangi bir eylem veya dönüşüm gerçekleştirilmeden önce bile hemen gerçekleştirilmelidir. Görelim:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8

Böyle bir kayıt bize ne verir? 1/2 ve 1/8'i negatif üslü kuvvetler olarak temsil edebiliriz:

[Resmin başlığı]

Önümüzde kanonik form var. Argümanları eşitliyoruz ve klasik ikinci dereceden denklemi elde ediyoruz:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Önümüzde Vieta formülleri kullanılarak kolayca çözülebilecek aşağıdaki ikinci dereceden denklem var. Lisede benzer görüntüleri kelimenin tam anlamıyla sözlü olarak görmelisiniz:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

İşte bu! Orijinal logaritmik denklem çözüldü. İki kökümüz var.

Bu durumda tanım kümesini belirlemeye gerek olmadığını hatırlatmama izin verin, çünkü x değişkenli fonksiyon yalnızca bir argümanda mevcuttur. Bu nedenle tanım kapsamı otomatik olarak gerçekleştirilir.

Böylece ilk denklem çözülür. Gelelim ikincisine:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Şimdi birinci logaritmanın argümanının negatif üssü olan bir kuvvet olarak da yazılabileceğine dikkat edin: 1/2 = 2 −1. Daha sonra denklemin her iki tarafındaki kuvvetleri çıkarıp her şeyi -1'e bölebilirsiniz:

[Resmin başlığı]

Ve şimdi çok şey başardık önemli adım Logaritmik bir denklemin çözümünde. Belki birisi bir şeyi fark etmemiştir o yüzden açıklamama izin verin.

Denklemimize bakın: hem solda hem de sağda bir log işareti var, ancak solda 2 tabanına göre bir logaritma var ve sağda 3 tabanına göre bir logaritma var. Üç, bir tamsayı kuvveti değildir. iki ve tam tersine 2'nin 3 olduğunu tamsayı derece cinsinden yazamazsınız.

Sonuç olarak bunlar, yalnızca kuvvetlerin eklenmesiyle birbirine indirgenemeyen, farklı tabanlara sahip logaritmalardır. Bu tür problemleri çözmenin tek yolu bu logaritmaların birinden kurtulmaktır. Bu durumda, hala oldukça basit problemleri ele aldığımız için, sağdaki logaritma basitçe hesaplandı ve en basit denklemi elde ettik - tam da bugünkü dersin başında bahsettiğimiz denklemin aynısı.

Sağdaki 2 sayısını log 2 2 2 = log 2 4 olarak temsil edelim. Sonra logaritma işaretinden kurtuluruz ve elimizde ikinci dereceden bir denklem kalır:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x - 2 = 0

Önümüzde sıradan bir ikinci dereceden denklem var, ancak x 2'nin katsayısı birden farklı olduğu için indirgenmiyor. Bu nedenle bunu bir diskriminant kullanarak çözeceğiz:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

İşte bu! Her iki kökü de bulduk, bu da orijinal logaritmik denklemin çözümünü elde ettiğimiz anlamına geliyor. Aslında orijinal problemde x değişkenli fonksiyon yalnızca bir argümanda mevcuttur. Sonuç olarak, tanım alanı üzerinde hiçbir ek kontrole gerek yoktur; bulduğumuz her iki kök de kesinlikle tüm olası kısıtlamaları karşılamaktadır.

Bu, bugünkü video dersinin sonu olabilir, ancak sonuç olarak tekrar söylemek isterim: logaritmik denklemleri çözerken tüm ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürdüğünüzden emin olun. Çoğu durumda bu, çözümlerini büyük ölçüde basitleştirir.

Nadiren, çok nadiren, ondalık kesirlerden kurtulmanın yalnızca hesaplamaları zorlaştırdığı sorunlarla karşılaşırsınız. Ancak bu tür denklemlerde kural olarak ondalık kesirlerden kurtulmaya gerek olmadığı başlangıçta açıktır.

Diğer birçok durumda (özellikle logaritmik denklemleri çözmeye yeni başlıyorsanız), ondalık sayılardan kurtulmaktan ve bunları sıradan sayılara dönüştürmekten çekinmeyin. Çünkü uygulama, bu şekilde sonraki çözümü ve hesaplamaları önemli ölçüde basitleştireceğinizi gösteriyor.

Çözümün incelikleri ve püf noktaları

Bugün daha karmaşık problemlere geçiyoruz ve sayıya değil fonksiyona dayanan logaritmik bir denklemi çözeceğiz.

Ve bu fonksiyon doğrusal olsa bile, çözüm şemasında küçük değişiklikler yapılması gerekecektir; bunun anlamı, logaritmanın tanım alanına dayatılan ek gerekliliklere indirgenmektedir.

Karmaşık görevler

Bu eğitim oldukça uzun olacak. İçinde birçok öğrencinin hata yaptığı iki ciddi logaritmik denklemi çözerken analiz edeceğiz. Matematik öğretmeni olarak çalışmalarım sırasında sürekli olarak iki tür hatayla karşılaştım:

1. Logaritmanın tanım alanının genişlemesi nedeniyle ekstra köklerin ortaya çıkması. Bu tür rahatsız edici hatalardan kaçınmak için her dönüşümü dikkatle izleyin;
2. Öğrencinin bazı "ince" durumları dikkate almayı unutması nedeniyle kök kaybı - bugün odaklanacağımız durumlar bunlardır.

Bu logaritmik denklemlerle ilgili son derstir. Uzun olacak, karmaşık logaritmik denklemleri analiz edeceğiz. Rahat olun, kendinize bir çay yapın ve başlayalım.

İlk denklem oldukça standart görünüyor:

log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)

Her iki logaritmanın da birbirinin ters kopyaları olduğunu hemen belirtelim. Harika formülü hatırlayalım:

log a b = 1/log b a

Bununla birlikte, bu formülün a ve b sayıları yerine x değişkeninin fonksiyonları olması durumunda ortaya çıkan bir takım sınırlamaları vardır:

b > 0

1 ≠ a > 0

Bu gereksinimler logaritmanın tabanı için geçerlidir. Öte yandan, bir kesirde 1 ≠ a > 0 olması gerekir, çünkü yalnızca a değişkeni logaritmanın argümanında yer almakla kalmaz (dolayısıyla a > 0), logaritmanın kendisi de kesirin paydasındadır. . Ancak log b 1 = 0 ve paydanın sıfırdan farklı olması gerekir, yani a ≠ 1.

Yani a değişkeni üzerindeki kısıtlamalar devam ediyor. Peki b değişkenine ne olur? Bir yandan taban b > 0'ı, diğer yandan b ≠ 1 değişkenini ifade eder, çünkü logaritmanın tabanı 1'den farklı olmalıdır. Toplamda, formülün sağ tarafından 1 ≠ sonucu çıkar. b > 0.

Ancak sorun şu: Sol logaritmayla ilgili olan birinci eşitsizlikte ikinci koşul (b ≠ 1) eksik. Başka bir deyişle, bu dönüşümü gerçekleştirirken yapmamız gerekenler ayrı ayrı kontrol edin, b argümanının birden farklı olduğunu!

Öyleyse kontrol edelim. Formülümüzü uygulayalım:

[Resmin başlığı]

1 ≠ x - 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Yani orijinal logaritmik denklemden, hem a'nın hem de b'nin 0'dan büyük olması ve 1'e eşit olmaması gerektiğini zaten anladık. Bu, logaritmik denklemi kolayca tersine çevirebileceğimiz anlamına gelir:

Yeni bir değişken tanıtmayı öneriyorum:

log x + 1 (x - 0,5) = t

Bu durumda inşaatımız şu şekilde yeniden yazılacaktır:

(t 2 - 1)/t = 0

Payda kareler farkına sahip olduğumuzu unutmayın. Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak karelerin farkını ortaya çıkarıyoruz:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Bir kesrin payı sıfır ve paydası sıfırdan farklı olduğunda kesir sıfıra eşittir. Ancak pay bir çarpım içerdiğinden her faktörü sıfıra eşitliyoruz:

t1 = 1;

t2 = −1;

t ≠ 0.

Görüldüğü gibi t değişkeninin her iki değeri de bize uygundur. Ancak çözüm burada bitmiyor çünkü t'yi değil x'in değerini bulmamız gerekiyor. Logaritmaya dönersek şunu elde ederiz:

log x + 1 (x - 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Bu denklemlerin her birini kanonik forma koyalım:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

İlk durumda logaritma işaretinden kurtuluruz ve argümanları eşitleriz:

x - 0,5 = x + 1;

x - x = 1 + 0,5;

Böyle bir denklemin kökleri yoktur, dolayısıyla ilk logaritmik denklemin de kökleri yoktur. Ancak ikinci denklemde her şey çok daha ilginç:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Orantıyı çözersek şunu elde ederiz:

(x − 0,5)(x + 1) = 1

Logaritmik denklemleri çözerken tüm ondalık kesirleri sıradan kesirler olarak kullanmanın çok daha uygun olduğunu hatırlatmama izin verin, o yüzden denklemimizi şu şekilde yeniden yazalım:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

Önümüzde aşağıdaki ikinci dereceden denklem var, Vieta formülleri kullanılarak kolayca çözülebilir:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 = −1,5;

x2 = 1.

İki kökümüz var - bunlar orijinal logaritmik denklemi çözmeye adaylar. Cevapta gerçekte hangi köklerin yer alacağını anlamak için asıl soruna dönelim. Şimdi her bir kökümüzün tanım alanına uyup uymadığını kontrol edeceğiz:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

Bu gereksinimler çifte eşitsizliğe eşdeğerdir:

1 ≠ x > 0,5

Buradan x = −1,5 kökünün bize uymadığını, ancak x = 1'in oldukça uyduğunu hemen görüyoruz. Bu nedenle x = 1 logaritmik denklemin son çözümüdür.

Gelelim ikinci göreve:

günlük x 25 + günlük 125 x 5 = günlük 25 x 625

İlk bakışta tüm logaritmalar öyle görünebilir farklı nedenler ve farklı argümanlar. Bu tür yapılarla ne yapmalı? Öncelikle 25, 5 ve 625 sayılarının 5'in kuvvetleri olduğuna dikkat edin:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Şimdi logaritmanın harika özelliğinden yararlanalım. Önemli olan, bir argümandan güçleri faktörler biçiminde çıkarabilmenizdir:

log a b n = n ∙ log a b

Bu dönüşüm, b'nin bir fonksiyonla değiştirilmesi durumunda da kısıtlamalara tabidir. Ancak bizim için b yalnızca bir sayıdır ve hiçbir ek kısıtlama ortaya çıkmaz. Denklemimizi yeniden yazalım:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Log işaretini içeren üç terimli bir denklem elde ettik. Ayrıca her üç logaritmanın argümanları eşittir.

Logaritmaları ters çevirerek aynı tabana (5) getirmenin zamanı geldi. b değişkeni bir sabit olduğundan tanım alanında herhangi bir değişiklik meydana gelmez. Hemen yeniden yazıyoruz:

[Resmin başlığı]

Beklendiği gibi paydada da aynı logaritmalar ortaya çıktı. Değişkeni değiştirmenizi öneririm:

log 5 x = t

Bu durumda denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

Payı yazıp parantezleri açalım:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Kesirimize dönelim. Pay sıfır olmalıdır:

[Resmin başlığı]

Ve payda sıfırdan farklıdır:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Son gereksinimler otomatik olarak yerine getirilir çünkü bunların tümü tam sayılara "bağlıdır" ve tüm yanıtlar irrasyoneldir.

Bu yüzden, kesirli rasyonel denklemçözüldükten sonra t değişkeninin değerleri bulunur. Logaritmik denklemi çözmeye dönelim ve t'nin ne olduğunu hatırlayalım:

[Resmin başlığı]

Bu denklemi kanonik forma indirgeyerek derecesi irrasyonel olan bir sayı elde ederiz. Bunun kafanızı karıştırmasına izin vermeyin; bu tür argümanlar bile eşitlenebilir:

[Resmin başlığı]

İki kökümüz var. Daha doğrusu, adayların iki yanıtı var; bunların tanım alanına uygunluğu açısından kontrol edelim. Logaritmanın tabanı x değişkeni olduğundan aşağıdakilere ihtiyacımız var:

1 ≠ x > 0;

Aynı başarıyla x ≠ 1/125 olduğunu iddia ediyoruz, aksi takdirde ikinci logaritmanın tabanı birliğe dönecektir. Son olarak üçüncü logaritma için x ≠ 1/25.

Toplamda dört kısıtlama aldık:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Şimdi soru şu: Köklerimiz bu gereksinimleri karşılıyor mu? Tabii ki tatmin ediyorlar! Çünkü 5'in herhangi bir kuvveti sıfırdan büyük olacaktır ve x > 0 gereksinimi otomatik olarak karşılanır.

Öte yandan, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3 yani köklerimiz için bu kısıtlamalar (ki bunun üssünde irrasyonel bir sayı olduğunu hatırlatayım) da tatmin olmuşlardır ve her iki cevap da sorunun çözümüdür.

Yani son cevabımız var. Bu görevde iki önemli nokta var:

1. Argüman ve taban yer değiştirdiğinde logaritmayı çevirirken dikkatli olun. Bu tür dönüşümler tanımın kapsamına gereksiz kısıtlamalar getirmektedir.
2. Logaritmaları dönüştürmekten korkmayın: bunlar yalnızca tersine çevrilmekle kalmaz, aynı zamanda toplam formülü kullanılarak genişletilebilir ve genellikle logaritmik ifadeleri çözerken üzerinde çalıştığınız formüller kullanılarak değiştirilebilir. Ancak şunu asla unutmayın: Bazı dönüşümler tanımın kapsamını genişletir, bazıları ise daraltır.

Logaritmik denklemler. Basitten karmaşığa.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Logaritmik denklem nedir?

Bu logaritmalı bir denklemdir. Şaşırdım, değil mi?) O zaman açıklığa kavuşturacağım. Bu bilinmeyenlerin (x'lerin) ve onlarla ifadelerin bulunduğu bir denklemdir Logaritmaların içinde. Ve sadece orada! Bu önemli.

İşte bazı örnekler logaritmik denklemler:

günlük 3 x = günlük 3 9

günlük 3 (x 2 -3) = günlük 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Peki, anlıyorsun... )

Dikkat etmek! X'li en çeşitli ifadeler bulunur yalnızca logaritmalar dahilinde. Eğer aniden denklemin bir yerinde bir X belirirse dıştan, Örneğin:

log 2 x = 3+x,

bu zaten karma tipte bir denklem olacak. Bu tür denklemlerin çözümü için açık kurallar yoktur. Şimdilik bunları dikkate almayacağız. Bu arada, logaritmaların içinde olduğu denklemler var sadece sayılar. Örneğin:

Ne söyleyebilirim? Bununla karşılaşırsan şanslısın! Sayılarla logaritma bir miktar. Hepsi bu. Böyle bir denklemi çözmek için logaritmanın özelliklerini bilmek yeterlidir. Özel kurallar bilgisi ve özellikle çözüme uyarlanmış teknikler logaritmik denklemler, burada gerekli değil.

Bu yüzden, logaritmik denklem nedir- çözdük.

Logaritmik denklemler nasıl çözülür?

Çözüm logaritmik denklemler- olay aslında çok basit değil. Yani bölümümüz dört... İlgili her türlü konu hakkında yeterli miktarda bilgi gereklidir. Ayrıca bu denklemlerin bir özelliği daha var. Ve bu özellik o kadar önemlidir ki, logaritmik denklemlerin çözümünde güvenle ana problem olarak adlandırılabilir. Bir sonraki dersimizde bu sorunu ayrıntılı olarak ele alacağız.

Şimdilik endişelenmeyin. Doğru yola gideceğiz basitten karmaşığa. Açık spesifik örnekler. Önemli olan basit şeyleri araştırmak ve bağlantıları takip etmekte tembel olmayın, onları oraya koymamın bir nedeni var... Ve her şey sizin için yoluna girecek. Mutlaka.

En temel, en basit denklemlerle başlayalım. Bunları çözmek için logaritma hakkında bir fikre sahip olmanız tavsiye edilir, ancak daha fazlası değil. Hiçbir fikrim yok logaritma, bir karar almak logaritmik denklemler - bir şekilde garip bile... Çok cesur diyebilirim).

En basit logaritmik denklemler.

Bunlar formun denklemleridir:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Çözüm süreci herhangi bir logaritmik denklem logaritmalı bir denklemden logaritmasız bir denkleme geçişten oluşur. En basit denklemlerde bu geçiş tek adımda gerçekleştirilir. Bu yüzden en basitleridir.)

Ve bu tür logaritmik denklemlerin çözülmesi şaşırtıcı derecede kolaydır. Kendiniz görün.

İlk örneği çözelim:

günlük 3 x = günlük 3 9

Bu örneği çözmek için neredeyse hiçbir şey bilmenize gerek yok, evet… Tamamen sezgi!) Neye ihtiyacımız var? özellikle bu örneği beğenmediniz mi? Ne-ne... Logaritmalardan hoşlanmıyorum! Sağ. Öyleyse onlardan kurtulalım. Örneğe yakından baktığımızda içimizde doğal bir istek doğuyor... Kesinlikle karşı konulmaz! Logaritmaları tamamen alın ve atın. Ve iyi olan şu ki Olabilmek Yapmak! Matematik izin verir. Logaritmalar kayboluyor cevap:

Harika, değil mi? Bu her zaman yapılabilir (ve yapılmalıdır). Logaritmaları bu şekilde ortadan kaldırmak, logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözmenin ana yollarından biridir. Matematikte bu işleme denir potansiyelizasyon. Elbette bu tür tasfiyelerin kuralları var ama sayıları az. Hatırlamak:

Aşağıdaki durumlarda logaritmaları korkmadan ortadan kaldırabilirsiniz:

a) aynı sayısal tabanlar

c) soldan sağa logaritmalar saftır (herhangi bir katsayı olmadan) ve muhteşem bir izolasyondadır.

Son noktaya açıklık getireyim. Denklemde diyelim ki

log 3 x = 2 log 3 (3x-1)

Logaritmalar kaldırılamaz. Sağdaki ikisi buna izin vermiyor. Katsayı, bilirsiniz... Örnekte

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Denklemin kuvvetlendirilmesi de imkansızdır. Sol tarafta yalnız logaritma yoktur. İki tane var.

Kısacası denklem şu şekilde görünüyorsa ve yalnızca şu şekilde ise logaritmaları kaldırabilirsiniz:

log a (.....) = log a (.....)

Üç noktanın bulunduğu parantez içinde şunlar olabilir: herhangi bir ifade. Basit, süper karmaşık, her türden. Her neyse. Önemli olan logaritmaları ortadan kaldırdıktan sonra elimizde kalan şey daha basit bir denklem. Elbette doğrusal, ikinci dereceden, kesirli, üstel ve diğer denklemleri logaritma olmadan nasıl çözeceğinizi zaten bildiğiniz varsayılmaktadır.)

Artık ikinci örneği kolayca çözebilirsiniz:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Aslında akılda kararlaştırılmıştır. Potansiyelleştiririz, şunu elde ederiz:

Peki çok mu zor?) Gördüğünüz gibi, logaritmik Denklemin çözümünün bir kısmı sadece logaritmaların ortadan kaldırılmasında... Ve sonra onlarsız kalan denklemin çözümü geliyor. Önemsiz bir mesele.

Üçüncü örneği çözelim:

log 7 (50x-1) = 2

Sol tarafta bir logaritma olduğunu görüyoruz:

Bu logaritmanın, sublogaritmik bir ifade elde etmek için tabanının yükseltilmesi gereken (yani yedi) bir sayı olduğunu hatırlayalım; (50x-1).

Ama bu sayı iki! Denklem'e göre. Bu yüzden:

Temelde hepsi bu. Logaritma ortadan kayboldu, Geriye zararsız bir denklem kalıyor:

Bu logaritmik denklemi yalnızca logaritmanın anlamına dayanarak çözdük. Logaritmaları ortadan kaldırmak hala daha kolay mı?) Katılıyorum. Bu arada ikiden logaritma yaparsanız bu örneği yok etme yoluyla çözebilirsiniz. Herhangi bir sayı logaritmaya dönüştürülebilir. Üstelik ihtiyacımız olan şekilde. Çok faydalı numara logaritmik denklemleri ve (özellikle!) eşitsizlikleri çözmede.

Bir sayıdan logaritmayı nasıl çıkaracağınızı bilmiyor musunuz? Önemli değil. Bölüm 555 bu tekniği ayrıntılı olarak açıklamaktadır. Bu konuda ustalaşabilir ve sonuna kadar kullanabilirsiniz! Hata sayısını büyük ölçüde azaltır.

Dördüncü denklem tamamen benzer bir şekilde çözülür (tanım gereği):

İşte bu.

Bu dersi özetleyelim. Örnekleri kullanarak en basit logaritmik denklemlerin çözümüne baktık. Bu çok önemli. Ve sadece bu tür denklemler testlerde ve sınavlarda göründüğü için değil. Gerçek şu ki, en kötü ve karmaşık denklemler bile mutlaka en basitine indirgenir!

Aslında en basit denklemler çözümün son kısmıdır herhangi denklemler. Ve bu son kısım kesinlikle anlaşılmalıdır! Ve bir şey daha. Bu sayfayı sonuna kadar okuduğunuzdan emin olun. Orada bir sürpriz var...)

Artık kendimiz karar veriyoruz. Tabiri caizse iyileşelim...)

Denklemlerin kökünü (veya birden fazla varsa köklerin toplamını) bulun:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

günlük 2 (x 2 +32) = günlük 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

günlük 2 (14x) = günlük 2 7 + 2

Cevaplar (tabii ki darmadağın): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

Ne, her şey yolunda gitmiyor mu? Olur. Merak etme! Bölüm 555, tüm bu örneklerin çözümünü açık ve ayrıntılı bir şekilde açıklamaktadır. Kesinlikle orada çözeceksin. Ayrıca faydalı pratik teknikleri de öğreneceksiniz.

Her şey yolunda gitti!? Tüm “bir tane kaldı” örnekleri?) Tebrikler!

Acı gerçeği size açıklamanın zamanı geldi. Bu örneklerin başarılı bir şekilde çözülmesi, diğer tüm logaritmik denklemlerin çözümünde başarıyı garanti etmez. Bunun gibi en basit olanları bile. Ne yazık ki.

Gerçek şu ki, herhangi bir logaritmik denklemin çözümü (en temel olanı bile!) aşağıdakilerden oluşur: iki eşit parça. Denklemin çözümü ve ODZ ile çalışma. Bir kısımda uzmanlaştık; denklemin çözümü. O kadar da zor değil Sağ?

Bu ders için DL'nin cevabı hiçbir şekilde etkilemediği örnekleri özel olarak seçtim. Ama herkes benim kadar nazik değil, değil mi?...)

Bu nedenle diğer kısma hakim olmak zorunludur. ODZ. Logaritmik denklemlerin çözümündeki temel problem budur. Ve zor olduğu için değil - bu kısım ilkinden bile daha kolay. Ama çünkü insanlar ODZ'yi unutuyorlar. Veya bilmiyorlar. Veya her ikisi de). Ve birdenbire düşüyorlar...

Bir sonraki derste bu problemle ilgileneceğiz. O zaman güvenle karar verebilirsiniz herhangi basit logaritmik denklemler ve oldukça sağlam görevlere yaklaşma.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Talimatlar

Verilen logaritmik ifadeyi yazınız. İfade 10'un logaritmasını kullanıyorsa gösterimi kısaltılır ve şu şekilde görünür: lg b ondalık logaritmadır. Logaritmanın tabanında e sayısı varsa, şu ifadeyi yazın: ln b – doğal logaritma. Herhangi birinin sonucunun, b sayısını elde etmek için temel sayının yükseltilmesi gereken kuvvet olduğu anlaşılmaktadır.

İki fonksiyonun toplamını bulurken, tek tek türevlerini alıp sonuçları eklemeniz yeterlidir: (u+v)" = u"+v";

İki fonksiyonun çarpımının türevini bulurken, birinci fonksiyonun türevini ikinciyle çarpmak ve ikinci fonksiyonun türevinin birinci fonksiyonla çarpımını eklemek gerekir: (u*v)" = u"*v +v"*u;

İki fonksiyonun bölümünün türevini bulmak için, bölen fonksiyonu ile bölünen türevinin çarpımından bölen türevinin çarpımı ile bölünen fonksiyonun çarpımını çıkarmak ve bölmek gerekir. tüm bunlar bölen fonksiyonunun karesine göre. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Karmaşık bir fonksiyon verilirse, iç fonksiyonun türevi ile dış fonksiyonun türevinin çarpılması gerekir. y=u(v(x)) olsun, sonra y"(x)=y"(u)*v"(x) olsun.

Yukarıda elde edilen sonuçları kullanarak hemen hemen her işlevi ayırt edebilirsiniz. O halde birkaç örneğe bakalım:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *X));
Bir noktadaki türevin hesaplanmasıyla ilgili problemler de vardır. y=e^(x^2+6x+5) fonksiyonu verilsin, x=1 noktasında fonksiyonun değerini bulmanız gerekiyor.
1) Fonksiyonun türevini bulun: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Belirli bir y"(1)=8*e^0=8 noktasında fonksiyonun değerini hesaplayın

Konuyla ilgili video

Faydalı tavsiyeler

Temel türevler tablosunu öğrenin. Bu önemli ölçüde zaman kazandıracaktır.

Kaynaklar:

• bir sabitin türevi

Peki irrasyonel bir denklem ile rasyonel bir denklem arasındaki fark nedir? Bilinmeyen değişken işaretin altındaysa karekök ise denklemin irrasyonel olduğu kabul edilir.

Talimatlar

Bu tür denklemleri çözmenin ana yöntemi her iki tarafı da oluşturma yöntemidir. denklemler bir kareye. Fakat. bu doğaldır, yapmanız gereken ilk şey tabeladan kurtulmaktır. Bu yöntem teknik olarak zor değildir ancak bazen sıkıntılara yol açabilmektedir. Örneğin denklem v(2x-5)=v(4x-7) şeklindedir. Her iki tarafın karesini alırsak 2x-5=4x-7 elde ederiz. Böyle bir denklemi çözmek zor değil; x=1. Ama 1 rakamı verilmeyecek denklemler. Neden? Denklemde x'in değeri yerine bir koyarsak sağ ve sol taraflarda anlamsız ifadeler yer alır. Bu değer karekök için geçerli değildir. Bu nedenle 1 yabancı bir köktür ve bu nedenle bu denklemin kökleri yoktur.

Yani irrasyonel bir denklem her iki tarafının karesi alma yöntemi kullanılarak çözülür. Denklemi çözdükten sonra yabancı kökleri kesmek gerekir. Bunu yapmak için bulunan kökleri orijinal denklemde değiştirin.

Başka bir tane düşünün.
2х+vх-3=0
Elbette bu denklem bir önceki denklemin aynısı kullanılarak çözülebilir. Bileşikleri Taşı denklemler Karekökü olmayan , sağ tarafa ve ardından kare alma yöntemini kullanın. Ortaya çıkan rasyonel denklemi ve köklerini çözer. Ama aynı zamanda daha zarif bir tane daha. Yeni bir değişken girin; vх=y. Buna göre 2y2+y-3=0 formunda bir denklem elde edeceksiniz. Yani sıradan bir ikinci dereceden denklem. Köklerini bulun; y1=1 ve y2=-3/2. Sonra iki tanesini çöz denklemler vх=1; vх=-3/2. İkinci denklemin kökleri yoktur; birinciden x=1 olduğunu buluruz. Kökleri kontrol etmeyi unutmayın.

Kimlikleri çözmek oldukça basittir. Bunu yapmak için, belirlenen hedefe ulaşılıncaya kadar aynı dönüşümlerin gerçekleştirilmesi gerekir. Böylece, en basitinin yardımıyla aritmetik işlemler eldeki görev çözülecektir.

İhtiyacın olacak

• - kağıt;
• - dolma kalem.

Talimatlar

Bu tür dönüşümlerin en basiti cebirsel kısaltılmış çarpmalardır (toplamın karesi (fark), kareler farkı, toplam (fark), toplamın küpü (fark) gibi). Ayrıca çok sayıda var ve trigonometrik formüller Bunlar aslında aynı kimliklerdir.

Aslında iki terimin toplamının karesi kareye eşit birinci artı birincinin ikinciyle çarpımının iki katı ve artı ikincinin karesi, yani (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.

Her ikisini de basitleştirin

Çözümün genel ilkeleri

Ders kitabını matematiksel analizle ilgili tekrarlayın veya yüksek matematik belirli bir integraldir. Bilindiği gibi belirli bir integralin çözümü, türevi bir integral verecek olan bir fonksiyondur. Bu fonksiyona antiderivatif denir. Bu prensibe dayanarak temel integraller inşa edilir.
Bu durumda tablo integrallerinden hangisinin uygun olduğunu integralin türüne göre belirleyin. Bunu hemen belirlemek her zaman mümkün olmuyor. Çoğu zaman tablo biçimi ancak integrandın basitleştirilmesi için yapılan birkaç dönüşümden sonra fark edilebilir hale gelir.

Değişken Değiştirme Yöntemi

İntegral fonksiyonu ise trigonometrik fonksiyon Argümanı bazı polinomlar içeren değişkeni değiştirme yöntemini kullanmayı deneyin. Bunu yapmak için integralin argümanındaki polinomu yeni bir değişkenle değiştirin. Yeni ve eski değişkenler arasındaki ilişkiye dayanarak entegrasyonun yeni sınırlarını belirleyin. Bu ifadenin türevini alarak yeni diferansiyeli bulun. Yani alacaksın yeni görünümönceki integralin herhangi bir tablodaki integrale yakın veya hatta karşılık gelen.

İkinci Tür İntegrallerin Çözülmesi

İntegral ikinci türden bir integral ise, integralin vektör biçimi ise, o zaman bu integrallerden skaler olanlara geçiş için kuralları kullanmanız gerekecektir. Böyle bir kural Ostrogradsky-Gauss ilişkisidir. Bu yasa, belirli bir vektör fonksiyonunun rotor akısından, belirli bir vektör alanının diverjansı üzerinden üçlü integrale geçmemize izin verir.

Entegrasyon limitlerinin değiştirilmesi

Antiderivatifi bulduktan sonra integralin limitlerini yerine koymak gerekir. İlk olarak, üst limitin değerini ters türev ifadesinde değiştirin. Bir numara alacaksınız. Daha sonra, elde edilen sayıdan alt limitten elde edilen başka bir sayıyı antiderivatife çıkarın. İntegral limitlerinden biri sonsuzluk ise, bunu yerine koyarken antiderivatif fonksiyon sınıra gitmek ve ifadenin neyi hedeflediğini bulmak gerekiyor.
İntegral iki boyutlu veya üç boyutlu ise, integralin nasıl değerlendirileceğini anlamak için integralin sınırlarını geometrik olarak temsil etmeniz gerekecektir. Aslında, örneğin üç boyutlu bir integral durumunda, integralin sınırları, entegre edilen hacmi sınırlayan tüm düzlemler olabilir.

giriiş

Logaritmalar hesaplamaları hızlandırmak ve basitleştirmek için icat edildi. Logaritma fikri yani sayıları aynı tabanın kuvvetleri olarak ifade etme fikri Mikhail Stiefel'e aittir. Ancak Stiefel'in zamanında matematik bu kadar gelişmemişti ve logaritma fikri de gelişmemişti. Logaritmalar daha sonra İskoç bilim adamı John Napier (1550-1617) ve İsviçreli Jobst Burgi (1552-1632) tarafından aynı anda ve birbirinden bağımsız olarak icat edildi ve bu çalışmayı 1614'te yayınlayan ilk kişi Napier oldu. “Muhteşem bir logaritma tablosunun açıklaması” başlığı altında, Napier'in logaritma teorisi oldukça eksiksiz bir ciltte verildi, logaritma hesaplama yöntemi en basit olarak verildi, bu nedenle Napier'in logaritmanın icadındaki değeri Bürgi'ninkinden daha büyüktü . Burgi, Napier ile aynı zamanda tablolar üzerinde çalıştı, ancak bunları uzun süre gizli tuttu ve ancak 1620'de yayınladı. Napier, 1594 civarında logaritma fikrinde ustalaştı. tablolar 20 yıl sonra yayınlanmış olmasına rağmen. İlk başta logaritmalarına "yapay sayılar" adını verdi ve ancak daha sonra bu "yapay sayılara" tek kelimeyle "logaritma" adını vermeyi önerdi; bu, Yunancadan çevrildiğinde, biri aritmetik ilerlemeden, diğeri ise bir aritmetik ilerlemeden alınan "bağıntılı sayılar" anlamına gelir. Bunun için özel olarak seçilmiş geometrik ilerleme. Rusça'daki ilk tablolar 1703'te yayınlandı. 18. yüzyılın harika bir öğretmeninin katılımıyla. L. F. Magnitsky. Logaritma teorisinin geliştirilmesinde büyük değer Petersburglu akademisyen Leonhard Euler'in çalışmaları vardı. Logaritmayı bir kuvvete yükseltmenin tersi olarak düşünen ilk kişi oydu; "logaritma tabanı" ve "mantis" terimlerini tanıttı. Briggs, 10 tabanlı logaritma tabloları derledi. Ondalık tablolar pratik kullanım için daha uygundur, onların teorisi Napier'in logaritmasından daha basittir. Bu nedenle ondalık logaritmalara bazen Briggs logaritmaları da denir. "Karakterizasyon" terimi Briggs tarafından tanıtıldı.

Bilgelerin bilinmeyen miktarlar içeren eşitlikler hakkında ilk kez düşünmeye başladıkları o uzak zamanlarda, muhtemelen madeni para veya cüzdan yoktu. Ancak bilinmeyen sayıda öğeyi tutabilecek depolama önbelleklerinin rolü için mükemmel olan yığınların yanı sıra tencere ve sepetler de vardı. Mezopotamya'nın, Hindistan'ın, Çin'in, Yunanistan'ın eski matematik problemlerinde bilinmeyen nicelikler, bahçedeki tavus kuşlarının sayısını, sürüdeki boğaların sayısını ve mal paylaşımında dikkate alınan şeylerin toplamını ifade ediyordu. Hesap bilimi konusunda iyi eğitimli katipler, yetkililer ve inisiyeler gizli bilgi Rahipler bu tür görevlerle oldukça başarılı bir şekilde başa çıktılar.

Bize ulaşan kaynaklar, eski bilim adamlarının bazı genel teknikler Bilinmeyen miktarlarla ilgili problemleri çözme. Ancak tek bir papirüs veya kil tablette bu tekniklerin açıklaması yer almıyor. Yazarlar sadece ara sıra sayısal hesaplamalarına "Bak!", "Bunu yap!", "Doğru olanı buldun" gibi kısa yorumlarda bulundular. Bu anlamda istisna, Yunan matematikçi İskenderiyeli Diophantus'un (III. Yüzyıl) “Aritmetiği”dir - çözümlerinin sistematik bir sunumuyla denklem oluşturmaya yönelik bir problemler koleksiyonu.

Ancak sorunları çözmeye yönelik yaygın olarak bilinen ilk el kitabı, 9. yüzyıldaki Bağdatlı bilim adamının çalışmasıydı. Muhammed bin Musa el-Harezmi. Bu risalenin Arapça ismi olan "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Restorasyon ve muhalefet kitabı") olan "el-cebr" kelimesi zamanla çok iyi bilinen "cebir" kelimesine dönüştü ve el- Khwarizmi'nin çalışması denklem çözme biliminin gelişiminde başlangıç ​​noktasını oluşturdu.

Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler

1. Logaritmik denklemler

Logaritma işareti altında veya tabanında bir bilinmeyen içeren denklemlere logaritmik denklem denir.

En basit logaritmik denklem, formun bir denklemidir

kayıt A X = B . (1)

Açıklama 1. Eğer A > 0, A≠ 1, herhangi bir gerçek için denklem (1) B benzersiz bir çözümü var X = bir b .

Örnek 1. Denklemleri çözün:

a)günlük 2 X= 3, b) log 3 X= -1, c)

Çözüm. İfade 1'i kullanarak şunu elde ederiz: a) X= 2 3 veya X= 8; B) X= 3 -1 veya X= 1/3; C)

veya X = 1.

Logaritmanın temel özelliklerini sunalım.

P1. Temel logaritmik kimlik:

Nerede A > 0, A≠ 1 ve B > 0.

P2. Pozitif faktörlerin çarpımının logaritması, bu faktörlerin logaritmasının toplamına eşittir:

kayıt A N 1 · N 2 = günlük A N 1 + günlük A N 2 (A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Yorum. Eğer N 1 · N 2 > 0 ise P2 özelliği şu formu alır:

kayıt A N 1 · N 2 = günlük A |N 1 | + günlük A |N 2 | (A > 0, A ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. İki pozitif sayının bölümünün logaritması, bölünen ile bölenin logaritmaları arasındaki farka eşittir

(A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Yorum. Eğer

, (bu eşdeğerdir N 1 N 2 > 0) o zaman P3 özelliği şu şekli alır (A > 0, A ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Derecenin logaritması pozitif sayıüssün çarpımına ve bu sayının logaritmasına eşittir:

kayıt A N k = k kayıt A N (A > 0, A ≠ 1, N > 0).

Yorum. Eğer k- çift sayı ( k = 2S), O

kayıt A N 2S = 2S kayıt A |N | (A > 0, A ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Başka bir üsse geçmenin formülü:

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, B ≠ 1, N > 0),

özellikle eğer N = B, alıyoruz

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, B ≠ 1). (2)

P4 ve P5 özelliklerini kullanarak aşağıdaki özellikleri elde etmek kolaydır

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (3) (A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (4) (A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (5)

ve eğer (5)'te ise C- çift sayı ( C = 2N), tutar

(B > 0, A ≠ 0, |A | ≠ 1). (6)

Logaritmik fonksiyonun temel özelliklerini listeleyelim F (X) = günlük A X :

1. Logaritmik bir fonksiyonun tanım alanı pozitif sayılar kümesidir.

2. Logaritmik fonksiyonun değer aralığı gerçek sayılar kümesidir.

3. Ne zaman A> 1 logaritmik fonksiyon kesinlikle artıyor (0< X 1 < X 2 günlük A X 1 < logA X 2) ve 0'da< A < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2 günlük A X 1 > günlük A X 2).

4. günlük A 1 = 0 ve log A A = 1 (A > 0, A ≠ 1).

5. Eğer A> 1 ise logaritmik fonksiyon negatiftir: X(0;1) ve pozitif X(1;+∞) ve eğer 0 ise< A < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) ve negatif X (1;+∞).

6. Eğer A> 1 ise logaritmik fonksiyon yukarıya doğru dışbükeydir ve eğer A(0;1) - aşağı doğru dışbükey.

Logaritmik denklemleri çözerken aşağıdaki ifadeler (örneğin bkz.) kullanılır.