Bir fonksiyon örneğinin en küçük değerini bulun. Bir fonksiyonun grafiğini incelemek

29.09.2019

Bu hizmetle şunları yapabilirsiniz: bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulmaÇözümün Word'de biçimlendirildiği bir f(x) değişkeni. Dolayısıyla f(x,y) fonksiyonu verilmişse, iki değişkenli fonksiyonun ekstremumunu bulmak gerekir. Artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını da bulabilirsiniz.

İşlev girme kuralları:

Tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için gerekli koşul

f" 0 (x *) = 0 denklemi gerekli kondisyon tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu, yani x* noktasında fonksiyonun birinci türevi sıfır olmalıdır. Fonksiyonun artmadığı veya azalmadığı sabit x c noktalarını tanımlar.

Tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşul

f 0 (x), D kümesine ait x'e göre iki kez türevlenebilir olsun. Eğer x * noktasında koşul karşılanırsa:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

O halde x * noktası, fonksiyonun yerel (global) minimum noktasıdır.

Eğer x * noktasında koşul karşılanırsa:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

O halde x* noktası yerel (global) bir maksimumdur.

Örnek No.1. En büyüğünü bulun ve en küçük değer işlevler: segmentte .
Çözüm.

Kritik nokta bir x 1 = 2'dir (f'(x)=0). Bu nokta segmente aittir. (0∉ olduğundan x=0 noktası kritik değildir).
Fonksiyonun değerlerini segmentin uçlarında ve kritik noktada hesaplıyoruz.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Cevap: x=2'de f min = 5/2; f maks =9, x=1'de

Örnek No.2. Daha yüksek dereceli türevleri kullanarak y=x-2sin(x) fonksiyonunun ekstremumunu bulun.
Çözüm.
Fonksiyonun türevini bulun: y'=1-2cos(x) . Kritik noktaları bulalım: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. y''=2sin(x)'i buluruz, hesaplarız, yani x= π / 3 +2πk, k∈Z fonksiyonun minimum noktalarıdır; , yani x=- π / 3 +2πk, k∈Z fonksiyonun maksimum noktalarıdır.

Örnek No. 3. x=0 noktası civarındaki ekstremum fonksiyonunu inceleyin.
Çözüm. Burada fonksiyonun ekstremumunu bulmak gerekir. Eğer ekstremum x=0 ise tipini bulun (minimum veya maksimum). Bulunan noktalar arasında x = 0 yoksa f(x=0) fonksiyonunun değerini hesaplayın.
Belirli bir noktanın her iki tarafındaki türev işaretini değiştirmediğinde, türevlenebilir fonksiyonlar için bile olası durumların tükenmediğine dikkat edilmelidir: noktanın bir tarafındaki keyfi olarak küçük bir komşuluk için x 0 veya her iki tarafta türevin işareti değişir. Bu noktalarda fonksiyonları uç noktada incelemek için başka yöntemler kullanmak gerekir.

Ve bunu çözmek için konu hakkında minimum bilgiye ihtiyacınız olacak. Bir okul yılı daha bitiyor, herkes tatile gitmek istiyor, bu anı yakınlaştırmak için hemen asıl konuya geçeceğim:

Bölgeyle başlayalım. Koşulda belirtilen alan sınırlı kapalı bir düzlem üzerindeki noktalar kümesi. Örneğin, TAM üçgen de dahil olmak üzere bir üçgenin sınırladığı noktalar kümesi (Eğer itibaren sınırlar en az bir noktayı "dikerseniz" bölge artık kapatılmayacaktır). Uygulamada dikdörtgen, yuvarlak ve biraz daha karmaşık şekillerde alanlar da vardır. Matematiksel analiz teorisinde katı tanımların verildiğine dikkat edilmelidir. sınırlamalar, izolasyon, sınırlar vb., ancak herkesin bu kavramların sezgisel düzeyde farkında olduğunu düşünüyorum ve artık daha fazlasına gerek yok.

Düz bir bölge standart olarak harfle gösterilir ve kural olarak analitik olarak birkaç denklemle belirtilir. (mutlaka doğrusal olması gerekmez); daha az sıklıkla eşitsizlikler. Tipik laf kalabalığı: “kapalı alan, çizgilerle sınırlı ».

Söz konusu görevin ayrılmaz bir parçası, çizimdeki bir alanın inşasıdır. Nasıl yapılır? Listelenen tüm çizgileri çizmeniz gerekir (içinde bu durumda 3 dümdüz) ve olanları analiz edin. Aranan alan genellikle hafif gölgelidir ve sınırları kalın bir çizgiyle işaretlenir:

Aynı alan da ayarlanabilir doğrusal eşitsizlikler: , bazı nedenlerden dolayı genellikle numaralandırılmış bir liste olarak yazılır. sistem.
Sınır bölgeye ait olduğundan tüm eşitsizlikler elbette gevşek.

Ve şimdi görevin özü. Eksenin orijinden doğrudan size doğru çıktığını hayal edin. Şöyle bir fonksiyon düşünün sürekli her birinde alan noktası. Bu fonksiyonun grafiği bazı şeyleri temsil eder. yüzey Ve küçük mutluluk, günümüzün sorununu çözmek için bu yüzeyin neye benzediğini bilmemize gerek olmamasıdır. Daha yükseğe, daha aşağıya yerleştirilebilir, düzlemle kesişebilir - bunların hepsi önemli değil. Ve aşağıdakiler önemlidir: göre Weierstrass'ın teoremleri, sürekli V sınırlı kapalı fonksiyonun en büyük değerine ulaştığı alan (en yüksek") ve en az (en düşük") bulunması gereken değerler. Bu değerlere ulaşıldı veya V sabit noktalar, bölgeye aitD , veya bu alanın sınırında kalan noktalarda. Bu, basit ve şeffaf bir çözüm algoritmasına yol açar:

örnek 1

Sınırlı olarak kapalı alan

Çözüm: Öncelikle çizimdeki alanı tasvir etmeniz gerekiyor. Maalesef sorunun etkileşimli bir modelini yapmak benim için teknik olarak zor ve bu nedenle araştırma sırasında bulunan tüm "şüpheli" noktaları gösteren son çizimi hemen sunacağım. Genellikle keşfedildiklerinde birbiri ardına listelenirler:

Giriş kısmına dayanarak, karar rahatlıkla iki noktaya ayrılabilir:

I) Durağan noktaları bulun. Bu, sınıfta tekrar tekrar uyguladığımız standart bir eylemdir. birkaç değişkenin ekstremumları hakkında:

Bulunan sabit nokta ait alanlar: (çizim üzerinde işaretleyin) Bu, fonksiyonun değerini belirli bir noktada hesaplamamız gerektiği anlamına gelir:

- makalede olduğu gibi Bir fonksiyonun bir segmentteki en büyük ve en küçük değerleriÖnemli sonuçları kalın harflerle vurgulayacağım. Bunları bir defterde kalemle takip etmek uygundur.

İkinci mutluluğumuza dikkat edin - kontrol etmenin bir anlamı yok bir ekstremum için yeterli koşul. Neden? Fonksiyonun ulaştığı bir noktada bile, örneğin, yerel minimum, o zaman bu, elde edilen değerin şu şekilde olacağı anlamına gelmez: en az bölge genelinde (bkz: dersin başlangıcı koşulsuz aşırılıklar hakkında) .

Sabit nokta alana ait DEĞİLSE ne yapmalı? Hemen hemen hiçbir şey! Bunu not edip bir sonraki noktaya geçmek gerekiyor.

II) Bölgenin sınırlarını araştırıyoruz.

Kenarlık bir üçgenin kenarlarından oluştuğu için çalışmayı 3 alt bölüme ayırmak uygun olacaktır. Ama yine de bunu yapmamak daha iyidir. Benim bakış açıma göre, öncelikle koordinat eksenlerine paralel olan bölümleri ve her şeyden önce eksenlerin üzerinde yer alan bölümleri dikkate almak daha avantajlıdır. Eylemlerin tüm sırasını ve mantığını kavramak için, "tek nefeste" sonunu incelemeye çalışın:

1) Üçgenin alt tarafını ele alalım. Bunu yapmak için doğrudan işlevin yerine şunu yazın:

Alternatif olarak bunu şu şekilde de yapabilirsiniz:

Geometrik olarak bu şu anlama gelir: koordinat uçağı (bu aynı zamanda denklemde de verilmektedir)"oymak" yüzeyler Tepesi hemen şüphe konusu olan "uzaysal" bir parabol. Hadi bulalım o nerede:

– ortaya çıkan değer alana “düştü” ve bu noktada pekala ortaya çıkabilir (çizimde işaretlenmiştir) fonksiyon tüm bölgedeki en büyük veya en küçük değere ulaşır. Öyle ya da böyle, hesaplamaları yapalım:

Diğer “adaylar” ise elbette segmentin sonları. Fonksiyonun değerlerini noktalarda hesaplayalım (çizimde işaretlenmiştir):

Bu arada burada, "sadeleştirilmiş" bir versiyonu kullanarak sözlü bir mini kontrol yapabilirsiniz:

2) Üçgenin sağ tarafını incelemek için onu fonksiyona yerleştirin ve "işleri düzene koyun":

Burada, segmentin önceden işlenmiş ucunu "çaldırarak" hemen kaba bir kontrol gerçekleştireceğiz:
, Harika.

Geometrik durum bir önceki noktayla ilgilidir:

– ortaya çıkan değer aynı zamanda “çıkar alanlarımıza da girdi”, yani ortaya çıkan noktadaki fonksiyonun neye eşit olduğunu hesaplamamız gerekiyor:

Segmentin ikinci ucunu inceleyelim:

Fonksiyonun kullanılması , bir kontrol kontrolü gerçekleştirelim:

3) Muhtemelen herkes geri kalan tarafı nasıl keşfedeceğini tahmin edebilir. Bunu fonksiyona yerleştiriyoruz ve basitleştirmeler yapıyoruz:

Segmentin sonları zaten araştırıldı, ancak taslakta hala işlevi doğru bulup bulmadığımızı kontrol ediyoruz :
– 1. alt paragrafın sonucuyla çakıştı;
– 2. alt paragrafın sonucuyla çakıştı.

Segmentte ilginç bir şey olup olmadığını öğrenmek için kalıyor:

- Orada! Düz çizgiyi denklemde yerine koyarsak, bu "ilginçliğin" ordinatını elde ederiz:

Çizimde bir noktayı işaretliyoruz ve fonksiyonun karşılık gelen değerini buluyoruz:

Hesaplamaları “bütçe” versiyonunu kullanarak kontrol edelim :
, emir.

Ve son adım: Tüm “cesur” sayıları DİKKATLİCE inceliyoruz, hatta yeni başlayanlara tek bir liste yapmalarını öneriyorum:

buradan en büyük ve en küçük değerleri seçiyoruz. Cevap Bulma problemi tarzında yazalım bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri:

Her ihtimale karşı tekrar yorum yapacağım geometrik anlamı sonuç:
– burası bölgedeki yüzeyin en yüksek noktası;
– burası bölgedeki yüzeyin en alçak noktasıdır.

Analiz edilen görevde 7 "şüpheli" nokta belirledik ancak bunların sayısı görevden göreve değişiyor. Üçgensel bir bölge için minimum “araştırma seti” üç noktadan oluşur. Bu, örneğin fonksiyon şunu belirttiğinde meydana gelir: uçak– hiçbir durağan noktanın olmadığı ve fonksiyonun maksimum/en küçük değerlerine yalnızca üçgenin köşelerinde ulaşabileceği tamamen açıktır. Ancak yalnızca bir veya iki benzer örnek var; genellikle bazılarıyla uğraşmanız gerekir. 2. dereceden yüzey.

Bu tür görevleri biraz çözmeye çalışırsanız üçgenler başınızı döndürebilir, bu yüzden sizin için hazırladım sıradışı örnekler böylece kare olur :))

Örnek 2

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma çizgilerle sınırlanmış kapalı bir alanda

Örnek 3

Sınırlı kapalı bir bölgedeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun.

Özel dikkat Hesaplama hatalarını neredeyse tamamen önleyecek olan ara kontrol zincirinin yanı sıra, bölgenin sınırını incelemenin rasyonel düzenine ve tekniğine dikkat edin. Genel olarak konuşursak, bunu istediğiniz şekilde çözebilirsiniz, ancak bazı problemlerde, örneğin Örnek 2'de, hayatınızı çok daha zorlaştırma şansı her şekilde vardır. Dersin sonundaki final ödevlerinin yaklaşık bir örneği.

Çözüm algoritmasını sistematize edelim, aksi halde benim bir örümcek olarak gösterdiğim titizlik nedeniyle, 1. örneğin uzun yorum dizisinde bir şekilde kaybolup gitti:

– İlk adımda bir alan oluşturuyoruz, onu gölgelemeniz ve sınırı kalın bir çizgiyle vurgulamanız tavsiye edilir. Çözüm sırasında çizimde işaretlenmesi gereken noktalar ortaya çıkacaktır.

– Durağan noktaları bulun ve fonksiyonun değerlerini hesaplayın sadece onlardan olanlarda bölgeye aittir. Ortaya çıkan değerleri metinde vurgularız (örneğin, bunları bir kalemle daire içine alın). Eğer sabit bir nokta bölgeye ait DEĞİLSE bu durumu bir ikonla veya sözlü olarak işaretliyoruz. Hiç sabit nokta yoksa, bunların bulunmadığına dair yazılı bir sonuca varırız. Ne olursa olsun bu nokta atlanamaz!

– Bölgenin sınırlarını araştırıyoruz. Öncelikle koordinat eksenlerine paralel olan düz çizgileri anlamakta fayda var. (eğer varsa). Ayrıca “şüpheli” noktalarda hesaplanan fonksiyon değerlerini de ön plana çıkarıyoruz. Yukarıda çözüm tekniği hakkında çok şey söylendi ve aşağıda başka bir şey daha söylenecek - okuyun, yeniden okuyun, derinlemesine araştırın!

– Seçilen sayılardan en büyük ve en küçük değerleri seçin ve cevabı verin. Bazen bir fonksiyonun aynı anda birkaç noktada bu tür değerlere ulaşması mümkündür - bu durumda tüm bu noktaların cevaba yansıtılması gerekir. Örneğin, ve bunun en küçük değer olduğu ortaya çıktı. Sonra bunu yazıyoruz

Son örnekler başkalarına ithaf edilmiştir faydalı fikirler pratikte faydalı olacaktır:

Örnek 4

Kapalı bir bölgedeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun .

Alanın şu şekilde verildiği yazarın formülasyonunu korudum. çifte eşitsizlik. Bu durum, eşdeğer bir sistemle veya bu problem için daha geleneksel bir biçimde yazılabilir:

şunu hatırlatırım doğrusal olmayan eşitsizliklerle karşılaştık ve eğer gösterimin geometrik anlamını anlamıyorsanız lütfen gecikmeyin ve durumu hemen açıklayın;-)

Çözüm, her zaman olduğu gibi, bir tür “taban”ı temsil eden bir alan inşa etmekle başlar:

Hmm, bazen sadece bilimin granitini çiğnemek zorunda kalmazsın...

I) Durağan noktaları bulun:

Sistem bir aptalın hayalidir :)

Sabit bir nokta bölgeye aittir, yani sınırında yer alır.

Ve böylece sorun yok... ders iyi geçti - doğru çayı içmenin anlamı budur =)

II) Bölgenin sınırlarını araştırıyoruz. Daha fazla uzatmadan x ekseniyle başlayalım:

1) Eğer öyleyse

Parabolün tepe noktasının nerede olduğunu bulalım:
– böyle anların kıymetini bilin – her şeyin zaten net olduğu noktaya kadar “vurdunuz”. Ancak yine de kontrol etmeyi unutmuyoruz:

Segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayalım:

2) "Tek oturuşta" "tabanın" alt kısmını ele alalım - herhangi bir kompleks olmadan onu fonksiyona yerleştireceğiz ve sadece segmentle ilgileneceğiz:

Kontrol:

Bu zaten tırtıklı pistteki monoton sürüşe biraz heyecan katıyor. Kritik noktaları bulalım:

Haydi karar verelim ikinci dereceden denklem, bununla ilgili başka bir şey hatırlıyor musun? ...Ancak unutmayın tabi ki yoksa bu satırları okumuyor olurdunuz =) Eğer iki önceki örnekler hesaplamalar uygundu ondalık sayılar(ki bu arada nadirdir), o zaman burada olağan olanlar bizi bekliyor ortak kesirler. "X" köklerini buluyoruz ve "aday" noktaların karşılık gelen "oyun" koordinatlarını belirlemek için denklemi kullanıyoruz:

Fonksiyonun değerlerini bulunan noktalarda hesaplayalım:

İşlevi kendiniz kontrol edin.

Şimdi kazanılan kupaları dikkatlice inceliyoruz ve yazıyoruz cevap:

Bunlar “aday”, bunlar “aday”!

Kendiniz çözmek için:

Örnek 5

Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulma kapalı bir alanda

Kıvrımlı parantezlerin olduğu bir giriş şu şekilde okunur: "şöyle bir nokta kümesi."

Bazen bu tür örneklerde kullanırlar Lagrange çarpanı yöntemi, ancak onu kullanmaya gerçek bir ihtiyaç olması pek olası değildir. Yani, örneğin, aynı alana sahip bir "de" fonksiyonu verilirse, o zaman onun yerine başka bir şey koyduktan sonra türevi hiçbir zorluk olmadan; Üstelik üst ve alt yarım daireleri ayrı ayrı dikkate almaya gerek kalmadan her şey “tek satırda” (işaretlerle) çizilmiştir. Ancak elbette Lagrange fonksiyonunun olmadığı daha karmaşık durumlar da vardır. (örneğin bir dairenin denkleminin aynı olduğu yer) Geçinmek zor - tıpkı iyice dinlenmeden idare etmenin zor olduğu gibi!

Herkese iyi eğlenceler, gelecek sezon görüşmek üzere!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2: Çözüm: Çizimdeki alanı gösterelim:

Bu yazımda bunlardan bahsedeceğim en büyük ve en küçük değeri bulma algoritması fonksiyonlar, minimum ve maksimum noktalar.

Teorik olarak kesinlikle bizim için faydalı olacaktır türev tablosu Ve farklılaşma kuralları. Hepsi bu tabakta:

En büyük ve en küçük değerleri bulma algoritması.

Açıklamak benim için daha uygun spesifik örnek. Dikkate almak:

Örnek:[–4;0] segmentinde y=x^5+20x^3–65x fonksiyonunun en büyük değerini bulun.

Aşama 1. Türevini alıyoruz.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Adım 2. Ekstrem noktaları bulma.

Ekstrem nokta fonksiyonun en büyük veya minimum değerine ulaştığı noktalara denir.

Ekstrem noktaları bulmak için fonksiyonun türevini sıfıra eşitlemeniz gerekir (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Şimdi bu bi'yi çözelim ikinci dereceden denklem ve bulunan kökler uç noktalarımızdır.

Bu tür denklemleri t = x^2'yi, ardından 5t^2 + 60t - 65 = 0'ı değiştirerek çözüyorum.

Denklemi 5 azaltalım, şunu elde ederiz: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Ters değişimi x^2 = t olarak yaparız:

X_(1 ve 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 ve 4) = ±sqrt(-13) (hariç tutuyoruz, olamaz negatif sayılar, tabii ki karmaşık sayılardan bahsetmiyorsak)

Toplam: x_(1) = 1 ve x_(2) = -1 - bunlar bizim uç noktalarımızdır.

Aşama 3. En büyük ve en küçük değeri belirleyin.

İkame yöntemi.

Bu koşulda bize [b][–4;0] segmenti verildi. x=1 noktası bu parçaya dahil değildir. Bu yüzden bunu dikkate almıyoruz. Ancak x=-1 noktasına ek olarak parçamızın sol ve sağ sınırlarını, yani -4 ve 0 noktalarını da dikkate almamız gerekir. Bunu yapmak için bu üç noktanın tamamını orijinal fonksiyonda yerine koyarız. Orijinal olanın (y=x^5+20x^3–65x) koşulunda verilen olduğuna dikkat edin, bazı insanlar onu türevin yerine koymaya başlar...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Bu, fonksiyonun en büyük değerinin [b]44 olduğu ve fonksiyonun [-4; parçası üzerindeki maksimum noktası olarak adlandırılan [b]-1 noktasında elde edildiği anlamına gelir; 0].

Karar verdik ve bir cevap aldık, harikayız, rahatlayabilirsiniz. Ama dur! Y(-4)'ü hesaplamanın bir şekilde çok zor olduğunu düşünmüyor musunuz? Sınırlı süre koşullarında başka bir yöntem kullanmak daha iyidir, ben buna şöyle derim:

İşaret tutarlılığı aralıkları boyunca.

Bu aralıklar fonksiyonun türevi için yani iki ikinci dereceden denklemimiz için bulunur.

Ben böyle yapıyorum. Yönlendirilmiş bir bölüm çiziyorum. Noktaları koyuyorum: -4, -1, 0, 1. Her ne kadar verilen parçaya 1 dahil olmasa da işaretin değişmezlik aralıklarını doğru bir şekilde belirlemek için yine de not edilmelidir. 1'den kat kat büyük bir sayı alalım, örneğin 100 ve bunu zihinsel olarak iki ikinci dereceden denklemimiz olan 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65'e koyalım. Hiçbir şeyi saymasak bile, 100 noktasında fonksiyonun artı işareti vardır. Bu, 1'den 100'e kadar olan aralıklar için artı işaretine sahip olduğu anlamına gelir. 1'den geçerken (sağdan sola gidiyoruz) fonksiyon işareti eksiye çevirecektir. 0 noktasından geçerken fonksiyon işaretini koruyacaktır çünkü bu sadece parçanın sınırıdır ve denklemin kökü değildir. -1'den geçerken fonksiyon işareti tekrar artıya çevirecektir.

Teoriden fonksiyonun türevinin nerede olduğunu biliyoruz (ve bunu tam olarak bunun için çizdik) işareti artıdan eksiye değiştirir (bizim durumumuzda -1 noktası) fonksiyon ulaşır yerel maksimum (y(-1)=44, daha önce hesaplandığı gibi) bu segmentte (bu mantıksal olarak çok anlaşılır, fonksiyon maksimuma ulaştığı için artmayı bıraktı ve azalmaya başladı).

Buna göre fonksiyonun türevi işareti eksiden artıya değiştirir, elde edilir bir fonksiyonun yerel minimumu. Evet, evet, ayrıca yerel minimum noktanın 1 olduğunu ve y(1)'in segment üzerindeki fonksiyonun minimum değeri olduğunu, örneğin -1'den +∞'a kadar olduğunu bulduk. Lütfen bunun yalnızca YEREL MİNİMUM, yani belirli bir segmentteki minimum olduğunu unutmayın. Çünkü fonksiyonun gerçek (global) minimumu orada bir yere, -∞'a ulaşacaktır.

Bana göre ilk yöntem teorik olarak daha basit, ikincisi ise bakış açısından daha basittir. Aritmetik işlemler ancak teorik açıdan çok daha karmaşıktır. Sonuçta, bazen fonksiyonun denklemin kökünden geçerken işareti değiştirmediği durumlar vardır ve genel olarak bu yerel, global maksimumlar ve minimumlarla kafanız karışabilir, ancak yine de bu konuda iyi ustalaşmanız gerekecektir. teknik bir üniversiteye girmeyi planlıyoruz (ve başka neden için Birleşik Devlet Sınavı profiline girip bu görevi çözelim). Ancak pratik ve sadece pratik size bu tür sorunları kesin olarak çözmeyi öğretecektir. Ve web sitemizde eğitim alabilirsiniz. Burada .

Herhangi bir sorunuz varsa veya net olmayan bir şey varsa sormayı unutmayın. Size cevap vermekten ve makalede değişiklik ve eklemeler yapmaktan mutluluk duyacağım. Bu siteyi birlikte oluşturduğumuzu unutmayın!

Pratikte bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini hesaplamak için türevi kullanmak oldukça yaygındır. Bu eylemi maliyetleri nasıl en aza indireceğimizi, karı nasıl artıracağımızı, hesaplamayı nasıl yapacağımızı bulduğumuzda gerçekleştiririz. optimum yüküretim vb. için, yani bir parametrenin optimal değerinin belirlenmesinin gerekli olduğu durumlarda. Bu tür problemleri doğru bir şekilde çözebilmek için bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerinin ne olduğunu iyi anlamanız gerekir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tipik olarak bu değerleri belirli bir x aralığı içinde tanımlarız; bu da fonksiyonun tüm alanına veya bir kısmına karşılık gelebilir. Bir segment [a; b ] ve açık aralık (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), sonsuz aralık (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) veya sonsuz aralık - ∞ ; bir , (- ∞ ; bir ] , [ bir ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Bu materyalde size tek değişkenli y=f(x) y = f (x) ile açıkça tanımlanmış bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini nasıl hesaplayacağınızı anlatacağız.

Temel tanımlar

Her zaman olduğu gibi temel tanımların formülasyonuyla başlayalım.

Tanım 1

Belirli bir x aralığında y = f (x) fonksiyonunun en büyük değeri, m a x y = f (x 0) x ∈ X değeridir; bu, herhangi bir x x ∈ X değeri için, x ≠ x 0, f (x) eşitsizliğini yapar ≤ f(x) geçerli 0) .

Tanım 2

Belirli bir x aralığında y = f (x) fonksiyonunun en küçük değeri, m ben n x ∈ X y = f (x 0) değeridir; bu, herhangi bir x ∈ X değeri için x ≠ x 0, f(X f eşitsizliğini yapar) (x) ≥ f(x0) .

Bu tanımlar oldukça açıktır. Daha da basit olarak şunu söyleyebiliriz: Bir fonksiyonun en büyük değeri onun en büyük değeridir. büyük önem apsis x 0'da bilinen bir aralıkta ve en küçüğü aynı aralıkta x 0'da kabul edilen en küçük değerdir.

Tanım 3

Durağan noktalar, türevinin 0 olduğu bir fonksiyonun argümanının değerleridir.

Durağan noktaların ne olduğunu neden bilmemiz gerekiyor? Bu soruyu cevaplamak için Fermat teoremini hatırlamamız gerekiyor. Bundan, durağan bir noktanın türevlenebilir fonksiyonun ekstremumunun (yani yerel minimum veya maksimum) bulunduğu nokta olduğu sonucu çıkar. Sonuç olarak, fonksiyon belirli bir aralıkta tam olarak durağan noktalardan birinde en küçük veya en büyük değeri alacaktır.

Bir fonksiyon, kendisinin tanımlandığı ve birinci türevinin bulunmadığı noktalarda da en büyük veya en küçük değeri alabilir.

Bu konuyu incelerken ortaya çıkan ilk soru: Her durumda, belirli bir aralıkta bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini belirleyebilir miyiz? Hayır, belirli bir aralığın sınırları tanım alanının sınırlarıyla çakıştığında veya sonsuz bir aralıkla karşı karşıya olduğumuzda bunu yapamayız. Aynı zamanda, belirli bir parçadaki veya sonsuzdaki bir fonksiyonun sonsuz küçük veya sonsuz zaman alması da mümkündür. büyük değerler. Bu durumlarda en büyük ve/veya en küçük değeri belirlemek mümkün değildir.

Bu noktalar grafiklerde gösterildikten sonra daha da netleşecektir:

İlk şekil bize [ - 6 ; 6].

İkinci grafikte belirtilen durumu detaylı olarak inceleyelim. Segmentin değerini [ 1 ; 6 ] ve fonksiyonun en büyük değerinin apsisin aralığın sağ sınırında olduğu noktada, en küçüğünün ise aralığın sağ sınırında elde edileceğini buluyoruz. sabit nokta.

Üçüncü şekilde noktaların apsisleri doğru parçasının sınır noktalarını temsil etmektedir [-3; 2]. Belirli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelirler.

Şimdi dördüncü resme bakalım. Burada fonksiyon m a xy'yi (en büyük değer) ve mi n y'yi (en küçük değer) açık aralıktaki (- 6; 6) sabit noktalarda alır.

[ 1 ; 6), o zaman üzerinde fonksiyonun en küçük değerine durağan bir noktada ulaşılacağını söyleyebiliriz. En büyük değer bizim için bilinmiyor olacak. Eğer x = 6 aralığa aitse fonksiyon maksimum değerini x'in 6'ya eşit olduğu noktada alabilir. Bu tam olarak grafik 5'te gösterilen durumdur.

Grafik 6'da bu fonksiyon en küçük değerini (-3; 2 ] aralığının sağ sınırında elde eder ve en büyük değer hakkında kesin çıkarımlara varamayız.

Şekil 7'de fonksiyonun apsisi 1'e eşit olan sabit bir noktada m a xy'ye sahip olacağını görüyoruz. Fonksiyon minimum değerine sağ taraftaki aralığın sınırında ulaşacaktır. Eksi sonsuzda fonksiyon değerleri asimptotik olarak y = 3'e yaklaşacaktır.

x ∈ 2 aralığını alırsak; + ∞ ise verilen fonksiyonun ne en küçük ne de en büyük değeri almayacağını göreceğiz. Eğer x 2'ye yöneliyorsa, o zaman fonksiyonun değerleri eksi sonsuza yönelecektir, çünkü x = 2 düz çizgisi dikey bir asimptottur. Eğer apsis artı sonsuza eğilim gösteriyorsa, o zaman fonksiyon değerleri asimptotik olarak y = 3'e yaklaşacaktır. Bu tam olarak Şekil 8'de gösterilen durumdur.

Bu paragrafta, belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak için yapılması gereken eylemlerin sırasını sunacağız.

Öncelikle fonksiyonun tanım tanım kümesini bulalım. Koşulda belirtilen segmentin koşula dahil olup olmadığını kontrol edelim.
Şimdi bu parçada yer alan ve birinci türevin bulunmadığı noktaları hesaplayalım. Çoğu zaman argümanları modül işareti altında yazılan fonksiyonlarda veya güç fonksiyonlarıüssü kesirli rasyonel bir sayıdır.
Daha sonra verilen segmentte hangi sabit noktaların düşeceğini öğreneceğiz. Bunu yapmak için, fonksiyonun türevini hesaplamanız, ardından onu 0'a eşitlemeniz ve elde edilen denklemi çözmeniz ve ardından uygun kökleri seçmeniz gerekir. Eğer tek bir durağan nokta bulamazsak veya verilen segmente girmiyorsa bir sonraki adıma geçiyoruz.
Verilen durağan noktalarda (varsa) veya birinci türevin bulunmadığı noktalarda (varsa) fonksiyonun hangi değerleri alacağını belirleriz veya x = a ve değerlerini hesaplarız. x = b.
5. Artık en büyüğünü ve en küçüğünü seçmemiz gereken bir dizi fonksiyon değerimiz var. Bunlar bulmamız gereken fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri olacak.

Sorunları çözerken bu algoritmanın nasıl doğru şekilde uygulanacağını görelim.

örnek 1

Durum: y = x 3 + 4 x 2 fonksiyonu verilmiştir. Segmentlerdeki en büyük ve en küçük değerlerini belirleyin [ 1 ; 4 ] ve [ - 4 ; -1] .

Çözüm:

Belirli bir fonksiyonun tanım tanım kümesini bularak başlayalım. Bu durumda, herkesten çok olacak gerçek sayılar 0 hariç. Başka bir deyişle, D(y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Koşulda belirtilen her iki segment de tanım alanının içinde olacaktır.

Şimdi fonksiyonun türevini kesir türevi kuralına göre hesaplıyoruz:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Bir fonksiyonun türevinin doğru parçalarının her noktasında bulunacağını öğrendik [ 1 ; 4 ] ve [ - 4 ; -1] .

Şimdi fonksiyonun durağan noktalarını belirlememiz gerekiyor. Bunu x 3 - 8 x 3 = 0 denklemini kullanarak yapalım. Tek bir gerçek kökü vardır, o da 2'dir. Fonksiyonun durağan bir noktası olacak ve ilk segmente düşecektir [1; 4 ] .

Birinci parçanın uçlarındaki ve bu noktada fonksiyonun değerlerini hesaplayalım; x = 1, x = 2 ve x = 4 için:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, x = 1'de elde edilecektir ve en küçük m ben n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2'de.

İkinci bölüm tek bir durağan nokta içermediğinden, yalnızca verilen bölümün uçlarındaki fonksiyon değerlerini hesaplamamız gerekir:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Bunun anlamı m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ben n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Cevap: Segment için [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m ben n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ben n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Resmi görmek:

Çalışmadan önce Bu method, tek taraflı limiti ve sonsuzdaki limiti nasıl doğru bir şekilde hesaplayacağınızı gözden geçirmenizi ve bunları bulmanın temel yöntemlerini öğrenmenizi tavsiye ederiz. Açık veya sonsuz bir aralıkta bir fonksiyonun en büyük ve/veya en küçük değerini bulmak için aşağıdaki adımları sırayla uygulayın.

Öncelikle verilen aralığın verilen fonksiyonun tanım kümesinin bir alt kümesi olup olmayacağını kontrol etmeniz gerekir.
İstenilen aralıkta yer alan ve birinci türevin bulunmadığı tüm noktaları belirleyelim. Genellikle argümanın modül işareti içine alındığı fonksiyonlarda ve kesirli rasyonel üssü olan kuvvet fonksiyonlarında ortaya çıkarlar. Bu noktalar eksikse bir sonraki adıma geçebilirsiniz.
Şimdi hangi durağan noktaların verilen aralığa düşeceğini belirleyelim. Öncelikle türevi 0'a eşitliyoruz, denklemi çözüyoruz ve uygun kökleri seçiyoruz. Tek bir durağan noktamız yoksa veya verilen aralığa girmiyorlarsa hemen gideriz. daha fazla eylemler. Aralık türüne göre belirlenirler.

Aralık [ a ; b) ise fonksiyonun x = a noktasındaki değerini ve tek taraflı limiti lim x → b - 0 f(x)'i hesaplamamız gerekir.
Aralık (a; b ] biçimindeyse, o zaman fonksiyonun x = b noktasındaki değerini ve tek taraflı limit lim x → a + 0 f(x)'i hesaplamamız gerekir.
Aralık (a; b) biçimindeyse, tek taraflı limitleri lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) hesaplamamız gerekir.
Aralık [ a ; + ∞), o zaman x = a noktasındaki değeri ve artı sonsuz lim x → + ∞ f(x) noktasındaki limiti hesaplamamız gerekir.
Aralık (- ∞ ; b ] gibi görünüyorsa, x = b noktasındaki değeri ve eksi sonsuzdaki limiti lim x → - ∞ f(x) hesaplarız.
Eğer - ∞ ise; b ise tek taraflı limiti lim x → b - 0 f(x) ve eksi sonsuzdaki limiti lim x → - ∞ f(x) olarak ele alırız
Eğer - ∞ ise; + ∞ , sonra eksi ve artı sonsuzun limitlerini dikkate alırız lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

Sonunda elde edilen fonksiyon değerlerine ve limitlere dayanarak bir sonuç çıkarmanız gerekiyor. Burada birçok seçenek mevcut. Dolayısıyla, tek taraflı limit eksi sonsuza veya artı sonsuza eşitse, fonksiyonun en küçük ve en büyük değerleri hakkında hiçbir şey söylenemeyeceği hemen anlaşılır. Aşağıda birine bakacağız tipik örnek. Detaylı Açıklamalar neyin ne olduğunu anlamanıza yardımcı olacaktır. Gerekirse malzemenin ilk kısmındaki Şekil 4 - 8'e dönebilirsiniz.

Örnek 2

Koşul: verilen fonksiyon y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . - ∞ ; aralıklarındaki en büyük ve en küçük değerini hesaplayın; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Çözüm

Öncelikle fonksiyonun tanım tanım kümesini buluyoruz. Kesirin paydası şunları içerir: ikinci dereceden üç terimli 0'a gitmemesi gereken:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Koşulda belirtilen tüm aralıkların ait olduğu fonksiyonun tanım tanım kümesini elde ettik.

Şimdi fonksiyonun türevini alalım ve şunu elde edelim:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Sonuç olarak, bir fonksiyonun türevleri tüm tanım alanı boyunca mevcuttur.

Durağan noktaları bulmaya geçelim. Fonksiyonun türevi x = - 1 2'de 0 olur. Bu (-3; 1] ve (-3; 2) aralıklarında yer alan durağan bir noktadır.

Fonksiyonun (- ∞ ; - 4 ] aralığı için x = - 4'teki değerini ve eksi sonsuzdaki limitini hesaplayalım:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

3 e 1 6 - 4 > - 1 olduğundan, m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 olduğu anlamına gelir. Bu, denklemin en küçük değerini benzersiz şekilde belirlememize izin vermez. Fonksiyonun eksi sonsuzda asimptotik olarak yaklaştığı nokta bu değer olduğundan, yalnızca -1'in altında bir kısıtlama olduğu sonucuna varabiliriz.

İkinci aralığın özelliği, içinde tek bir sabit noktanın veya tek bir katı sınırın bulunmamasıdır. Sonuç olarak fonksiyonun ne en büyük değerini ne de en küçük değerini hesaplayamayız. Limiti eksi sonsuzda tanımladıktan sonra ve argüman sol tarafta -3'e doğru gittiğinden, yalnızca bir değer aralığı elde ederiz:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Bu, fonksiyon değerlerinin - 1 aralığında yer alacağı anlamına gelir; +∞

Fonksiyonun üçüncü aralıktaki en büyük değerini bulmak için, eğer x = 1 ise, x = - 1 2 sabit noktasındaki değerini belirleriz. Ayrıca argümanın sağ tarafta -3'e doğru yöneldiği durum için tek taraflı limiti de bilmemiz gerekecek:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y(1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Fonksiyonun en büyük değeri m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 noktasında alacağı ortaya çıktı. En küçük değeri ise belirleyemeyiz. Bildiğimiz her şey -4'e kadar bir alt sınırın varlığıdır.

(- 3 ; 2) aralığı için, önceki hesaplamanın sonuçlarını alın ve sol tarafta 2'ye yönelirken tek taraflı limitin neye eşit olduğunu bir kez daha hesaplayın:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Bu, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 olduğu ve en küçük değerin belirlenemediği ve fonksiyonun değerlerinin aşağıdan - 4 sayısı ile sınırlandırıldığı anlamına gelir. .

Önceki iki hesaplamada elde ettiğimiz sonuçlara dayanarak şunu söyleyebiliriz: [ 1 ; 2) Fonksiyon x = 1 noktasında en büyük değeri alacaktır ancak en küçüğünü bulmak imkansızdır.

(2 ; + ∞) aralığında fonksiyon ne en büyük ne de en küçük değere ulaşmayacaktır; - 1 aralığından değerler alacaktır; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Fonksiyonun değerinin x = 4'te neye eşit olacağını hesapladıktan sonra m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 ve artı sonsuzda verilen fonksiyon y = - 1 düz çizgisine asimptotik olarak yaklaşacaktır.

Her hesaplamada elde ettiğimiz sonuçları verilen fonksiyonun grafiğiyle karşılaştıralım. Şekilde asimptotlar noktalı çizgilerle gösterilmiştir.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma konusunda size anlatmak istediklerimiz bu kadardı. Verdiğimiz eylem dizileri, gerekli hesaplamaları olabildiğince hızlı ve basit bir şekilde yapmanıza yardımcı olacaktır. Ancak, öncelikle fonksiyonun hangi aralıklarla azalacağını ve hangi aralıklarla artacağını bulmanın genellikle yararlı olduğunu ve ardından daha fazla sonuç çıkarabileceğinizi unutmayın. Bu şekilde fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini daha doğru bir şekilde belirleyebilir ve elde edilen sonuçları doğrulayabilirsiniz.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Fonksiyona izin ver y =F(X) aralıkta süreklidir [ a, b] Bilindiği üzere böyle bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine bu segmentte ulaşmaktadır. Fonksiyon bu değerleri ya parçanın iç noktasında alabilir [ a, b] veya segmentin sınırında.

Bir fonksiyonun segment üzerindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için [ a, b] gerekli:

1) fonksiyonun kritik noktalarını ( a, b);

2) bulunan kritik noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayın;

3) segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayın, yani X=A ve x = B;

4) fonksiyonun hesaplanan tüm değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.

Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma

segmentte.

Kritik noktaları bulma:

Bu noktalar segmentin içinde yer alır; sen(1) = ‒ 3; sen(2) = ‒ 4; sen(0) = ‒ 8; sen(3) = 1;

noktada X= 3 ve bu noktada X= 0.

Dışbükeylik ve bükülme noktası için bir fonksiyonun incelenmesi.

İşlev sen = F (X) isminde dışbükey arasında (A, B) grafiği bu aralığın herhangi bir noktasında çizilen teğetin altında bulunuyorsa ve denirse aşağı dışbükey (içbükey) Grafiği teğetin üzerinde yer alıyorsa.

Dışbükeyliğin yerini içbükeyliğin aldığı veya bunun tersinin gerçekleştiği noktaya ne ad verilir? dönüm noktası.

Dışbükeylik ve bükülme noktasını incelemek için algoritma:

1. İkinci türden kritik noktaları, yani ikinci türevin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktaları bulun.

2. Sayı doğrusu üzerinde kritik noktaları aralıklara bölerek çizin. Her aralığın ikinci türevinin işaretini bulun; eğer ise fonksiyon yukarıya doğru dışbükeydir, eğer ise fonksiyon aşağıya doğru dışbükeydir.

3. İkinci türden bir kritik noktadan geçerken işaret değişirse ve bu noktada ikinci türev sıfıra eşitse, bu nokta bükülme noktasının apsisidir. Ordinatını bulun.

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları. Asimptotlar için bir fonksiyonun incelenmesi.

Tanım. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotuna denir dümdüz, grafikteki herhangi bir noktadan bu çizgiye olan mesafenin, grafikteki nokta başlangıç noktasından süresiz olarak hareket ettikçe sıfıra doğru gitmesi özelliğine sahiptir.

Üç tür asimptot vardır: dikey, yatay ve eğimli.

Tanım. Düz çizgiye denir dikey asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) fonksiyonun bu noktadaki tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuza eşitse, yani

fonksiyonun süreksizlik noktası nerede yani tanım alanına ait değil.

Örnek.

D ( sen) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 – kırılma noktası.

Tanım. Dümdüz y =A isminde Yatay asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) eğer

Örnek.

X
sen

Tanım. Dümdüz y =kx +B (k≠ 0) denir eğik asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) nerede

Fonksiyonları incelemek ve grafik oluşturmak için genel şema.

Fonksiyon Araştırma Algoritmasıy = f(x) :

1. Fonksiyonun tanım kümesini bulun D (sen).

2. Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun (eğer mümkünse) X= 0 ve sen = 0).

3. Fonksiyonun düzgünlüğünü ve tekliğini inceleyin ( sen (‒ X) = sen (X) ‒ parite; sen(‒ X) = ‒ sen (X) ‒ garip).

4. Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun.

5. Fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulun.

6. Fonksiyonun ekstremumlarını bulun.

7. Fonksiyon grafiğinin dışbükeylik (içbükeylik) aralıklarını ve dönüm noktalarını bulun.

8. Yapılan araştırmaya dayanarak fonksiyonun grafiğini oluşturunuz.

Örnek. Fonksiyonu keşfedin ve grafiğini oluşturun.

1) D (sen) =

X= 4 – kırılma noktası.

2) Ne zaman X = 0,

(0; ‒ 5) – ile kesişme noktası ah.

Şu tarihte: sen = 0,

3) sen(‒ X)= işlev Genel görünüm(ne çift ne de tek).

4) Asimptotları inceliyoruz.

a) dikey

yatay

c) eğik asimptotları bulun;

‒eğik asimptot denklemi

5) Bu denklemde fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulmak gerekli değildir.

Bu kritik noktalar, fonksiyonun tüm tanım alanını (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ve (10; +∞) aralığına böler. Elde edilen sonuçları aşağıdaki tablo şeklinde sunmak uygundur.