Logaritmanın tanımı ve özellikleri. Logaritmanın özellikleri ve çözüm örnekleri. Kapsamlı Kılavuz (2019)

İle ilgili olarak

Verilen diğer iki sayıdan üç sayıdan herhangi birini bulma görevi ayarlanabilir. Eğer a ve ardından N verilirse, üstel alma yoluyla bulunurlar. Eğer N ve sonra a, x derecesinin kökü alınarak (veya üssüne yükseltilerek) verilir. Şimdi a ve N verildiğinde x'i bulmamız gereken durumu düşünün.

N sayısı pozitif olsun: a sayısı pozitif olsun ve bire eşit olmasın: .

Tanım. N sayısının a tabanına göre logaritması, N sayısını elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken üssüdür; logaritma şu şekilde gösterilir:

Böylece (26.1) eşitliğinde üs, N'nin a tabanına göre logaritması olarak bulunur. Gönderiler

aynı anlama sahiptir. Eşitlik (26.1) bazen logaritma teorisinin ana özdeşliği olarak adlandırılır; gerçekte logaritma kavramının tanımını ifade eder. İle bu tanım Logaritmanın tabanı a her zaman pozitiftir ve birlikten farklıdır; logaritmik sayı N pozitiftir. Negatif sayıların ve sıfırın logaritması yoktur. Belirli bir tabana sahip herhangi bir sayının iyi tanımlanmış bir logaritmaya sahip olduğu kanıtlanabilir. Bu nedenle eşitlik gerektirir. Burada koşulun esas olduğuna dikkat edin; aksi takdirde eşitlik x ve y'nin herhangi bir değeri için doğru olduğundan sonuç doğrulanmaz.

Örnek 1. Bul

Çözüm. Bir sayı elde etmek için 2 tabanının üssünü yükseltmeniz gerekir.

Aşağıdaki formda bu tür örnekleri çözerken notlar alabilirsiniz:

Örnek 2. Bulun.

Çözüm. Sahibiz

Örnek 1 ve 2'de logaritma sayısını tabanın rasyonel üslü kuvveti olarak temsil ederek istenilen logaritmayı kolayca bulduk. Genel durumda, örneğin vb. için, logaritma irrasyonel bir değere sahip olduğundan bu yapılamaz. Bu açıklamayla ilgili bir konuya dikkat çekelim. 12. paragrafta, belirli bir şeyin herhangi bir gerçek derecesini belirleme olasılığı kavramını verdik. pozitif sayı. Bu, genel anlamda irrasyonel sayılar olabilen logaritmanın tanıtılması için gerekliydi.

Logaritmanın bazı özelliklerine bakalım.

Özellik 1. Sayı ve taban eşitse, logaritma bire eşittir ve tam tersi, logaritma bire eşitse sayı ve taban eşittir.

Kanıt. Logaritmanın tanımına göre elimizde ve nereden

Tersine, tanım gereği Then'e izin verin

Özellik 2. Birin herhangi bir tabana göre logaritması sıfıra eşittir.

Kanıt. Logaritmanın tanımı gereği (herhangi bir pozitif tabanın sıfır kuvveti bire eşittir, bkz. (10.1)). Buradan

Q.E.D.

Tersi ifade de doğrudur: eğer ise N = 1'dir. Aslında elimizde .

Logaritmanın bir sonraki özelliğini formüle etmeden önce, a ve b sayılarının her ikisi de c'den büyük veya c'den küçükse, üçüncü c sayısının aynı tarafında yer aldığını kabul edelim. Bu sayılardan biri c'den büyük, diğeri c'den küçükse bu sayıların birlikte uzandığını söyleyeceğiz. farklı taraflar köyden

Özellik 3. Eğer sayı ve taban birin aynı tarafında yer alıyorsa logaritma pozitiftir; Sayı ve taban birin zıt taraflarında yer alıyorsa logaritma negatiftir.

Özellik 3'ün kanıtı, taban birden büyükse ve üs pozitifse veya taban birden küçükse ve üssün negatif olması durumunda a'nın kuvvetinin birden büyük olması gerçeğine dayanmaktadır. Taban birden büyükse ve üs negatifse veya taban birden küçükse ve üs pozitifse kuvvet birden küçüktür.

Göz önünde bulundurulması gereken dört durum vardır:

Biz kendimizi bunlardan ilkini analiz etmekle sınırlayacağız; gerisini okuyucu kendisi değerlendirecektir.

O halde eşitlikte üs ne negatif ne de sıfıra eşit olamaz, dolayısıyla pozitiftir, yani kanıtlanması gerektiği gibi.

Örnek 3. Aşağıdaki logaritmalardan hangilerinin pozitif, hangilerinin negatif olduğunu bulun:

Çözüm: a) 15 sayısı ve 12 tabanı birin aynı tarafında bulunduğuna göre;

b) 1000 ve 2 ünitenin bir tarafında bulunduğundan; bu durumda tabanın logaritmik sayıdan büyük olması önemli değildir;

c) 3.1 ve 0.8 birliğin zıt taraflarında yer aldığından;

G) ; Neden?

D) ; Neden?

Aşağıdaki 4-6 özelliklerine genellikle logaritma kuralları denir: bazı sayıların logaritmasını bilerek, çarpımlarının logaritmasını, bölümünü ve her birinin derecesini bulmayı sağlarlar.

Özellik 4 (çarpım logaritması kuralı). Birkaç pozitif sayının çarpımının belirli bir tabana göre logaritması toplamına eşit bu sayıların aynı tabana göre logaritmaları.

Kanıt. Verilen sayılar pozitif olsun.

Çarpımlarının logaritması için logaritmayı tanımlayan eşitliği (26.1) yazıyoruz:

Buradan bulacağız

İlk ve son ifadelerin üslerini karşılaştırarak gerekli eşitliği elde ederiz:

Durumun gerekli olduğunu unutmayın; iki negatif sayının çarpımının logaritması mantıklıdır, ancak bu durumda şunu elde ederiz:

Genel olarak, eğer birkaç faktörün çarpımı pozitifse, logaritması bu faktörlerin mutlak değerlerinin logaritmasının toplamına eşittir.

Özellik 5 (bölümlerin logaritmasını alma kuralı). Pozitif sayıların bir bölümünün logaritması, aynı tabana göre bölünen ile bölenin logaritmaları arasındaki farka eşittir. Kanıt. Sürekli olarak buluyoruz

Q.E.D.

Özellik 6 (kuvvet logaritması kuralı). Herhangi bir pozitif sayının kuvvetinin logaritması, o sayının logaritmasının üssüyle çarpımına eşittir.

Kanıt. Sayının asıl kimliğini (26.1) tekrar yazalım:

Q.E.D.

Sonuçlar. Pozitif bir sayının kökünün logaritması, radikalin logaritmasının kökün üssüne bölünmesine eşittir:

Bu sonucun geçerliliği, özellik 6'nın nasıl ve kullanıldığı hayal edilerek kanıtlanabilir.

Örnek 4. a tabanına göre logaritmayı alın:

a) (tüm b, c, d, e değerlerinin pozitif olduğu varsayılır);

b) (öyle olduğu varsayılır).

Çözüm, a) Bu ifadede kesirli kuvvetlere gitmek uygundur:

(26.5)-(26.7) eşitliklerine dayanarak artık şunu yazabiliriz:

Sayıların logaritmaları üzerinde sayıların kendilerinden daha basit işlemlerin gerçekleştirildiğini fark ettik: sayıları çarparken logaritmaları toplanır, bölünürken çıkarılır vb.

Logaritmaların hesaplama uygulamalarında kullanılmasının nedeni budur (bkz. paragraf 29).

Logaritmanın ters işlemine potansiyelleştirme denir, yani: potansiyelleştirme, bir sayının belirli bir logaritmasından sayının kendisinin bulunması işlemidir. Esasen, potansiyelleştirme herhangi bir özel eylem değildir: bir tabanın bir güce (bir sayının logaritmasına eşit) yükseltilmesiyle ilgilidir. "Güçlendirme" terimi, "üstelleştirme" terimiyle eşanlamlı olarak kabul edilebilir.

Potansiyelleştirme sırasında, logaritma kurallarının tersi olan kuralları kullanmalısınız: logaritmaların toplamını çarpımın logaritmasıyla değiştirin, logaritma farkını bölümün logaritmasıyla değiştirin, vb. Özellikle, önde bir faktör varsa Logaritmanın işareti, daha sonra kuvvetlendirme sırasında logaritmanın işareti altındaki üs derecelerine aktarılmalıdır.

Örnek 5. Eğer biliniyorsa N'yi bulun

Çözüm. Az önce belirttiğimiz potansiyel alma kuralına bağlı olarak, bu eşitliğin sağ tarafındaki logaritma işaretlerinin önünde duran 2/3 ve 1/3 çarpanlarını bu logaritmaların işaretleri altındaki üslere aktaracağız; aldık

Şimdi logaritma farkını bölümün logaritmasıyla değiştiriyoruz:

Bu eşitlik zincirindeki son kesri elde etmek için önceki kesri paydadaki irrasyonellikten kurtardık (madde 25).

Özellik 7. Taban birden büyükse, o zaman daha büyük sayı daha büyük bir logaritmaya sahiptir (ve daha küçük bir sayı daha küçüktür), eğer taban birden küçükse, daha büyük bir sayının daha küçük bir logaritması vardır (ve daha küçük bir sayının daha büyük bir logaritması vardır).

Bu özellik aynı zamanda her iki tarafı da pozitif olan eşitsizliklerin logaritmasını almak için bir kural olarak formüle edilmiştir:

Eşitsizliklerin birden büyük bir tabana göre logaritması durumunda eşitsizliğin işareti korunur ve birden küçük bir tabana göre logaritma yapıldığında eşitsizliğin işareti ters yönde değişir (ayrıca bkz. paragraf 80).

İspat 5 ve 3 numaralı özelliklere dayanmaktadır. If'in logaritmasını alarak elde ettiğimiz durumu düşünün.

(a ve N/M birliğin aynı tarafındadır). Buradan

Aşağıdaki durumda okuyucu bunu kendi başına çözecektir.

1.1. Tamsayılı bir üssün üssünü belirleme

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N kere

1.2. Sıfır derece.

Tanım gereği, herhangi bir sayının sıfır kuvvetinin 1 olduğu genel olarak kabul edilir:

1.3. Negatif derece.

X -N = 1/X N

1.4. Kesirli kuvvet, kök.

X 1/N = X'in N kökü.

Örneğin: X 1/2 = √X.

1.5. Güç ekleme formülü.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Kuvvetleri çıkarma formülü.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Kuvvetleri çarpma formülü.

X N*M = (X N) M

1.8. Bir kesri bir kuvvete yükseltmek için formül.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Sayı e.

e sayısının değeri aşağıdaki limite eşittir:

E = lim(1+1/N), N → ∞ olarak.

17 haneli doğrulukla e sayısı 2,71828182845904512'dir.

3. Euler eşitliği.

Bu eşitlik matematikte özel bir rol oynayan beş sayıyı birbirine bağlar: 0, 1, e, pi, sanal birim.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Üstel fonksiyon exp(x)

tecrübe(x) = e x

5. Üstel fonksiyonun türevi

Üstel fonksiyonun dikkate değer bir özelliği vardır: Fonksiyonun türevi üstel fonksiyonun kendisine eşittir:

(ifade(x))" = tecrübe(x)

6. Logaritma.

6.1. Logaritma fonksiyonunun tanımı

Eğer x = b y ise logaritma fonksiyondur

Y = Günlük b(x).

Logaritma, bir sayının hangi güce yükseltilmesi gerektiğini gösterir - belirli bir sayıyı (X) elde etmek için logaritmanın tabanı (b). Logaritma fonksiyonu sıfırdan büyük X için tanımlanır.

Örneğin: Log 10 (100) = 2.

6.2. Ondalık logaritma

Bu 10 tabanının logaritması:

Y = Log 10(x) .

Log(x) ile gösterilir: Log(x) = Log 10 (x).

Ondalık logaritmanın kullanımına bir örnek desibeldir.

6.3. Desibel

Öğe ayrı bir sayfada vurgulanır Desibel

6.4. İkili logaritma

Bu 2 tabanının logaritması:

Y = Günlük 2 (x).

Lg(x) ile gösterilir: Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Doğal logaritma

Bu, e tabanının logaritmasıdır:

Y = Log e(x) .

Ln(x) ile gösterilir: Ln(x) = Log e (X)
Doğal logaritma, exp(X) üstel fonksiyonunun ters fonksiyonudur.

6.6. Karakteristik noktalar

Loga(1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Ürün logaritması formülü

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Bölümün logaritması formülü

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Güç formülünün logaritması

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Farklı bir tabana sahip logaritmaya dönüştürme formülü

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Örnek:

Günlük 2 (8) = Günlük 10 (8)/Günlük 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Hayatta faydalı formüller

Genellikle hacmi alana veya uzunluğa dönüştürmede sorunlar ve bunun tersi olan alanı hacme dönüştürmede sorunlar vardır. Örneğin levhalar küp (metreküp) halinde satılıyor ve belli bir hacimde yer alan levhalarla ne kadar duvar alanının kaplanabileceğini hesaplamamız gerekiyor, bkz. levhaların hesaplanması, bir küpte kaç levha var. Veya duvarın boyutları biliniyorsa tuğla sayısını hesaplamanız gerekir, bkz. tuğla hesaplaması.

Kaynağa aktif bir bağlantı kurulması koşuluyla site malzemelerinin kullanılmasına izin verilir.

Bu makalenin odak noktası logaritma. Burada logaritmanın tanımını vereceğiz, gösteriniz kabul edilen atama Logaritma örnekleri vereceğiz, doğal ve ondalık logaritmalardan bahsedeceğiz. Bundan sonra temel logaritmik özdeşliği ele alacağız.

Sayfada gezinme.

logaritmanın tanımı

Logaritma kavramı, bir problemi belirli bir ters anlamda çözerken, bir üs bulmanız gerektiğinde ortaya çıkar. bilinen değer derece ve bilinen esas.

Ancak bu kadar önsöz yeter, artık "logaritma nedir" sorusunu yanıtlamanın zamanı geldi? İlgili tanımı verelim.

Tanım.

b'nin a tabanına göre logaritması burada a>0, a≠1 ve b>0, sonuç olarak b'yi elde etmek için a sayısını yükseltmeniz gereken üstür.

Bu aşamada, söylenen "logaritma" kelimesinin hemen iki takip sorusunu gündeme getirmesi gerektiğine dikkat çekiyoruz: "hangi sayı" ve "hangi temelde?" Başka bir deyişle, logaritma yoktur, yalnızca bir sayının bir tabana göre logaritması vardır.

Hemen giriş yapalım logaritma gösterimi: Bir b sayısının a tabanına göre logaritması genellikle log a b olarak gösterilir. B sayısının e tabanına göre logaritmasının ve 10 tabanına göre logaritmasının sırasıyla kendi özel isimleri lnb ve logb vardır, yani log e b değil lnb yazarlar ve log 10 b değil lgb yazarlar.

Şimdi şunu verebiliriz: .
Ve kayıtlar mantıklı değil, çünkü ilkinde logaritma işareti altında negatif bir sayı ikincisinde tabanında negatif bir sayı, üçüncüsünde logaritma işaretinin altında negatif bir sayı ve tabanında bir birim vardır.

Şimdi konuşalım logaritma okuma kuralları. Log a b, "b'nin a tabanına göre logaritması" olarak okunur. Örneğin, log 2 3, üçün 2 tabanına göre logaritmasıdır ve iki virgül üçte ikinin beş tabanının kareköküne göre logaritmasıdır. e tabanına göre logaritmaya denir doğal logaritma ve lnb gösterimi "b'nin doğal logaritması" olarak okunur. Örneğin ln7, yedinin doğal logaritması ve bunu pi'nin doğal logaritması olarak okuyacağız. 10 tabanındaki logaritmanın özel bir adı da vardır: ondalık logaritma ve lgb "b'nin ondalık logaritması" olarak okunur. Örneğin, lg1 birin ondalık logaritmasıdır ve lg2,75 iki virgül yedi beş yüzde birinin ondalık logaritmasıdır.

Logaritmanın tanımının verildiği a>0, a≠1 ve b>0 koşulları üzerinde ayrıca durmakta yarar var. Bu kısıtlamaların nereden geldiğini açıklayalım. Yukarıda verilen logaritmanın tanımından doğrudan çıkan, denilen formun eşitliği bunu yapmamıza yardımcı olacaktır.

a≠1 ile başlayalım. Bir üzeri herhangi bir kuvvet bire eşit olduğundan eşitlik yalnızca b=1 olduğunda doğru olabilir, ancak log 1 1 herhangi bir kuvvet olabilir gerçek Numara. Bu belirsizliği önlemek için a≠1 varsayılmaktadır.

a>0 koşulunun uygunluğunu gerekçelendirelim. Logaritmanın tanımı gereği a=0 olduğunda eşitliği elde ederiz ve bu da ancak b=0 ile mümkündür. Ancak log 0 0, sıfırdan farklı herhangi bir gerçek sayı olabilir, çünkü sıfırın sıfırdan farklı herhangi bir kuvveti sıfırdır. a≠0 koşulu bu belirsizlikten kaçınmamızı sağlar. Ve ne zaman bir<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Son olarak, b>0 koşulu a>0 eşitsizliğinden kaynaklanır, çünkü a pozitif tabanlı bir kuvvetin değeri her zaman pozitiftir.

Bu noktayı sonuçlandırmak için diyelim ki, logaritmanın belirtilen tanımı, logaritma işaretinin altındaki sayının tabanın belirli bir kuvveti olduğunda logaritmanın değerini hemen belirtmenize olanak tanıyor. Aslında bir logaritmanın tanımı, eğer b=a p ise, b sayısının a tabanına göre logaritmasının p'ye eşit olduğunu belirtmemize olanak tanır. Yani loga a p =p eşitliği doğrudur. Örneğin, 2 3 =8 olduğunu, ardından log 2 8=3 olduğunu biliyoruz. Makalede bunun hakkında daha fazla konuşacağız.

Talimatlar

Verilen logaritmik ifadeyi yazınız. İfade 10'un logaritmasını kullanıyorsa gösterimi kısaltılır ve şu şekilde görünür: lg b ondalık logaritmadır. Logaritmanın temelinde e sayısı varsa, şu ifadeyi yazın: ln b – doğal logaritma. Herhangi birinin sonucunun, b sayısını elde etmek için temel sayının yükseltilmesi gereken kuvvet olduğu anlaşılmaktadır.

İki fonksiyonun toplamını bulurken, tek tek türevlerini alıp sonuçları eklemeniz yeterlidir: (u+v)" = u"+v";

İki fonksiyonun çarpımının türevini bulurken, birinci fonksiyonun türevini ikinciyle çarpmak ve ikinci fonksiyonun türevinin birinci fonksiyonla çarpımını eklemek gerekir: (u*v)" = u"*v +v"*u;

İki fonksiyonun bölümünün türevini bulmak için, bölen fonksiyonu ile bölünen türevinin çarpımından bölen türevinin çarpımı ile bölünen fonksiyonun çarpımını çıkarmak ve bölmek gerekir. tüm bunlar bölen fonksiyonunun karesine göre. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Eğer verilirse karmaşık fonksiyon, o zaman iç fonksiyonun türevi ile dış fonksiyonun türevini çarpmak gerekir. y=u(v(x)) olsun, sonra y"(x)=y"(u)*v"(x) olsun.

Yukarıda elde edilen sonuçları kullanarak hemen hemen her işlevi ayırt edebilirsiniz. O halde birkaç örneğe bakalım:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *X));
Bir noktadaki türevin hesaplanmasıyla ilgili problemler de vardır. y=e^(x^2+6x+5) fonksiyonu verilsin, x=1 noktasında fonksiyonun değerini bulmanız gerekiyor.
1) Fonksiyonun türevini bulun: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Belirli bir y"(1)=8*e^0=8 noktasında fonksiyonun değerini hesaplayın

Konuyla ilgili video

Yararlı tavsiye

Temel türevler tablosunu öğrenin. Bu önemli ölçüde zaman tasarrufu sağlayacaktır.

Kaynaklar:

• bir sabitin türevi

Peki fark nedir? IR rasyonel denklem rasyonelden mi? Bilinmeyen değişken işaretin altındaysa kare kök ise denklemin irrasyonel olduğu kabul edilir.

Talimatlar

Bu tür denklemleri çözmenin ana yöntemi her iki tarafı da oluşturma yöntemidir. denklemler bir kareye. Fakat. bu doğaldır, yapmanız gereken ilk şey tabeladan kurtulmaktır. Bu yöntem teknik olarak zor değildir ancak bazen sıkıntılara yol açabilmektedir. Örneğin denklem v(2x-5)=v(4x-7) şeklindedir. Her iki tarafın karesini alarak 2x-5=4x-7 elde edersiniz. Böyle bir denklemi çözmek zor değil; x=1. Ama 1 rakamı verilmeyecek denklemler. Neden? Denklemde x'in değeri yerine bir yazın, sağ ve sol taraflarda anlamsız ifadeler yer alacaktır, yani. Bu değer karekök için geçerli değildir. Bu nedenle 1 yabancı bir köktür ve bu nedenle bu denklemin kökleri yoktur.

Yani irrasyonel bir denklem her iki tarafının karesi alma yöntemi kullanılarak çözülür. Denklemi çözdükten sonra yabancı kökleri kesmek gerekir. Bunu yapmak için bulunan kökleri orijinal denklemde değiştirin.

Başka bir tane düşünün.
2х+vх-3=0
Elbette bu denklem bir önceki denklemin aynısı kullanılarak çözülebilir. Bileşikleri Taşı denklemler Karekökü olmayan , sağ tarafa ve ardından kare alma yöntemini kullanın. Ortaya çıkan rasyonel denklemi ve köklerini çözer. Ama aynı zamanda daha zarif bir tane daha. Yeni bir değişken girin; vх=y. Buna göre 2y2+y-3=0 formunda bir denklem elde edeceksiniz. Yani olağan ikinci dereceden denklem. Köklerini bulun; y1=1 ve y2=-3/2. Sonra iki tanesini çöz denklemler vх=1; vх=-3/2. İkinci denklemin kökleri yoktur; ilkinden x=1 olduğunu buluruz. Kökleri kontrol etmeyi unutmayın.

Kimlikleri çözmek oldukça basittir. Bunu yapmak için, belirlenen hedefe ulaşılıncaya kadar aynı dönüşümlerin gerçekleştirilmesi gerekir. Böylece, en basitinin yardımıyla Aritmetik işlemler eldeki görev çözülecektir.

İhtiyacın olacak

• - kağıt;
• - dolma kalem.

Talimatlar

Bu tür dönüşümlerin en basiti cebirsel kısaltılmış çarpmalardır (toplamın karesi (fark), kareler farkı, toplam (fark), toplamın küpü (fark) gibi). Ayrıca çok sayıda var ve trigonometrik formüller Bunlar aslında aynı kimliklerdir.

Nitekim iki terimin toplamının karesi, birincinin karesi artı birincinin ikinciyle çarpımının iki katı ve artı ikincinin karesine eşittir, yani (a+b)^2= (a+) b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Her ikisini de basitleştirin

Çözümün genel ilkeleri

Ders kitabını matematiksel analizle ilgili tekrarlayın veya yüksek Matematik belirli bir integraldir. Bilindiği gibi belirli bir integralin çözümü, türevi bir integral verecek olan bir fonksiyondur. Bu fonksiyona antiderivatif denir. Bu prensibe dayanarak ana integraller inşa edilir.
İntegral formuna göre tablo integrallerinden hangisinin uyduğunu belirleyin bu durumda. Bunu hemen belirlemek her zaman mümkün olmuyor. Çoğu zaman, tablo biçimi ancak integrali basitleştirmek için yapılan birkaç dönüşümden sonra fark edilebilir hale gelir.

Değişken Değiştirme Yöntemi

İntegral fonksiyonu ise trigonometrik fonksiyon Argümanı bazı polinomlar içeren değişkeni değiştirme yöntemini kullanmayı deneyin. Bunu yapmak için integralin argümanındaki polinomu yeni bir değişkenle değiştirin. Yeni ve eski değişkenler arasındaki ilişkiye dayanarak entegrasyonun yeni sınırlarını belirleyin. Bu ifadenin türevini alarak yeni diferansiyeli bulun. Yani alacaksın yeni türönceki integralin herhangi bir tablodaki integrale yakın veya hatta karşılık gelen.

İkinci Tür İntegrallerin Çözülmesi

İntegral ikinci türden bir integral ise, integralin vektör biçimi ise, o zaman bu integrallerden skaler olanlara geçiş için kuralları kullanmanız gerekecektir. Böyle bir kural Ostrogradsky-Gauss ilişkisidir. Bu yasa, belirli bir vektör fonksiyonunun rotor akısından, belirli bir vektör alanının diverjansı üzerinden üçlü integrale geçmemize izin verir.

Entegrasyon sınırlarının değiştirilmesi

Antiderivatifi bulduktan sonra integralin limitlerini yerine koymak gerekir. İlk olarak, üst limitin değerini ters türev ifadesinde değiştirin. Bir numara alacaksınız. Daha sonra, elde edilen sayıdan alt limitten elde edilen başka bir sayıyı antiderivatife çıkarın. İntegral limitlerinden biri sonsuzluk ise, o zaman onu yerine koyarken antiderivatif fonksiyon sınıra gitmek ve ifadenin neyi hedeflediğini bulmak gerekiyor.
İntegral iki boyutlu veya üç boyutlu ise, integralin nasıl değerlendirileceğini anlamak için integralin sınırlarını geometrik olarak temsil etmeniz gerekecektir. Aslında, örneğin üç boyutlu bir integral durumunda, integralin sınırları, entegre edilen hacmi sınırlayan tüm düzlemler olabilir.

Logaritmaları incelemeye devam ediyoruz. Bu yazıda bunun hakkında konuşacağız logaritmaların hesaplanması, bu işleme denir logaritma. Öncelikle logaritmanın hesaplanmasını tanım gereği anlayacağız. Daha sonra logaritma değerlerinin özellikleri kullanılarak nasıl bulunduğuna bakalım. Bundan sonra diğer logaritmaların başlangıçta belirtilen değerleri üzerinden logaritma hesaplamaya odaklanacağız. Son olarak logaritma tablolarının nasıl kullanılacağını öğrenelim. Teorinin tamamı ayrıntılı çözümlere sahip örneklerle sağlanmaktadır.

Sayfada gezinme.

Tanıma göre logaritmaları hesaplama

En basit durumlarda oldukça hızlı ve kolay bir şekilde gerçekleştirmek mümkündür tanım gereği logaritmayı bulma. Bu sürecin nasıl gerçekleştiğine daha yakından bakalım.

Bunun özü, b sayısını a c biçiminde temsil etmektir; buradan logaritmanın tanımına göre c sayısı logaritmanın değeridir. Yani, tanım gereği aşağıdaki eşitlik zinciri logaritmanın bulunmasına karşılık gelir: log a b=log a a c =c.

Dolayısıyla, tanım gereği bir logaritmanın hesaplanması, a c = b olacak şekilde bir c sayısının bulunmasına gelir ve c sayısının kendisi logaritmanın istenen değeridir.

Önceki paragraflardaki bilgileri dikkate alarak, logaritma işaretinin altındaki sayı, logaritma tabanının belirli bir kuvveti ile verildiğinde, logaritmanın neye eşit olduğunu hemen belirtebilirsiniz - bu göstergeye eşit derece. Çözümleri örneklerle gösterelim.

Örnek.

Log 2 2 −3'ü bulun ve e 5,3 sayısının doğal logaritmasını da hesaplayın.

Çözüm.

Logaritmanın tanımı hemen log 2 2 −3 =−3 olduğunu söylememizi sağlar. Aslında logaritma işaretinin altındaki sayı 2 tabanının -3 üssüne eşittir.

Benzer şekilde ikinci logaritmayı da buluyoruz: lne 5,3 =5,3.

Cevap:

log 2 2 −3 =−3 ve lne 5,3 =5,3.

Logaritma işaretinin altındaki b sayısı, logaritmanın tabanının kuvveti olarak belirtilmemişse, b sayısının a c biçiminde bir temsilini bulmanın mümkün olup olmadığını dikkatlice incelemeniz gerekir. Çoğu zaman bu gösterim oldukça açıktır, özellikle logaritma işaretinin altındaki sayı 1, 2 veya 3'ün üssüne eşit olduğunda...

Örnek.

Logaritma log 5 25 ve'yi hesaplayın.

Çözüm.

25=5 2 olduğunu görmek kolaydır, bu ilk logaritmayı hesaplamanıza olanak tanır: log 5 25=log 5 5 2 =2.

İkinci logaritmayı hesaplamaya geçelim. Sayı 7'nin kuvvetleri olarak temsil edilebilir: (gerekirse bakın). Buradan, .

Üçüncü logaritmayı aşağıdaki formda yeniden yazalım. Artık bunu görebilirsin bundan şu sonuca varıyoruz . Bu nedenle logaritmanın tanımı gereği .

Kısaca çözüm şu şekilde yazılabilir: .

Cevap:

günlük 5 25=2 , Ve .

Logaritmanın işareti altında yeterince büyük bir değer varken doğal sayı, o zaman bunu asal çarpanlara ayırmanın zararı olmaz. Çoğu zaman böyle bir sayıyı logaritmanın tabanının bir kuvveti olarak temsil etmeye ve dolayısıyla bu logaritmayı tanım gereği hesaplamaya yardımcı olur.

Örnek.

Logaritmanın değerini bulun.

Çözüm.

Logaritmanın bazı özellikleri, logaritmanın değerini hemen belirtmenize olanak tanır. Bu özellikler, birin logaritması özelliğini ve tabana eşit bir sayının logaritması özelliğini içerir: log 1 1=log a a 0 =0 ve log a a=log a 1 =1. Yani, logaritmanın işareti altında 1 sayısı veya logaritmanın tabanına eşit bir sayı olduğunda, bu durumlarda logaritmalar sırasıyla 0 ve 1'e eşittir.

Örnek.

Logaritmalar ve log10 neye eşittir?

Çözüm.

O zamandan beri logaritmanın tanımından şu çıkıyor .

İkinci örnekte logaritma işaretinin altındaki 10 sayısı tabanına denk geliyor yani on'un ondalık logaritması bire eşit yani lg10=lg10 1 =1.

Cevap:

VE lg10=1 .

Tanım gereği logaritmanın hesaplanmasının (önceki paragrafta tartıştığımız), logaritmanın özelliklerinden biri olan log a a p =p eşitliğinin kullanımını ima ettiğine dikkat edin.

Pratikte logaritmanın işareti altındaki bir sayı ve logaritmanın tabanı belirli bir sayının kuvveti olarak kolayca temsil edildiğinde formülü kullanmak çok uygundur. logaritmanın özelliklerinden birine karşılık gelir. Bu formülün kullanımını gösteren bir logaritma bulma örneğine bakalım.

Örnek.

Logaritmayı hesaplayın.

Çözüm.

Cevap:

.

Logaritmanın yukarıda belirtilmeyen özellikleri de hesaplamalarda kullanılır ancak bundan sonraki paragraflarda bahsedeceğiz.

Bilinen diğer logaritmalar aracılığıyla logaritma bulma

Bu paragraftaki bilgiler logaritmanın özelliklerinin hesaplanmasında kullanılması konusunun devamıdır. Ancak buradaki temel fark, logaritmanın özelliklerinin, orijinal logaritmayı değeri bilinen başka bir logaritmaya göre ifade etmek için kullanılmasıdır. Açıklığa kavuşturmak için bir örnek verelim. Diyelim ki log 2 3≈1,584963'ü bildiğimizi varsayalım, o zaman logaritmanın özelliklerini kullanarak küçük bir dönüşüm yaparak örneğin log 2 6'yı bulabiliriz: günlük 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Yukarıdaki örnekte bir çarpımın logaritması özelliğini kullanmamız yeterliydi. Bununla birlikte, orijinal logaritmayı verilenler aracılığıyla hesaplamak için çok daha sık olarak logaritmanın özelliklerinin daha geniş bir cephaneliğini kullanmak gerekir.

Örnek.

Log 60 2=a ve log 60 5=b olduğunu biliyorsanız, 27'nin 60 tabanına göre logaritmasını hesaplayın.

Çözüm.

Bu yüzden log 60 27'yi bulmamız gerekiyor. 27 = 3 3 olduğunu ve kuvvetin logaritmasının özelliği nedeniyle orijinal logaritmanın 3·log 60 3 olarak yeniden yazılabileceğini görmek kolaydır.

Şimdi log 60 3'ün bilinen logaritmalarla nasıl ifade edileceğini görelim. Tabana eşit bir sayının logaritması özelliği, log 60 60=1 eşitliğini yazmamızı sağlar. Öte yandan, log 60 60=log60(2 2 3 5)= günlük 60 2 2 +günlük 60 3+günlük 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Böylece, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Buradan, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Son olarak orijinal logaritmayı hesaplıyoruz: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Cevap:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Ayrı olarak, formun logaritmasının yeni bir tabanına geçiş formülünün anlamından bahsetmeye değer. . Herhangi bir tabanlı logaritmalardan, değerleri bilinen veya bulunması mümkün olan belirli bir tabanlı logaritmalara geçmenizi sağlar. Genellikle, geçiş formülünü kullanarak orijinal logaritmadan 2, e veya 10 tabanlarından birinde logaritmalara geçerler, çünkü bu tabanlar için değerlerinin belirli bir dereceyle hesaplanmasına izin veren logaritma tabloları vardır. kesinlik. Bir sonraki paragrafta bunun nasıl yapıldığını göstereceğiz.

Logaritma tabloları ve kullanımları

Logaritma değerlerinin yaklaşık hesaplanması için kullanılabilir logaritma tabloları. En sık kullanılan 2 tabanlı logaritma tablosu, doğal logaritma tablosu ve ondalık logaritmalar. Çalışırken ondalık sistem Matematik için on tabanına dayalı bir logaritma tablosu kullanmak uygundur. Onun yardımıyla logaritmanın değerlerini bulmayı öğreneceğiz.

Sunulan tablo, 1.000'den 9.999'a kadar (üç ondalık basamakla) sayıların ondalık logaritmasının değerlerini on binde bir doğrulukla bulmanızı sağlar. Ondalık logaritma tablosu kullanarak bir logaritmanın değerini bulma ilkesini analiz edeceğiz. spesifik örnek– böyle daha açık. Log1.256'yı bulalım.

Ondalık logaritma tablosunun sol sütununda 1,256 sayısının ilk iki rakamını buluyoruz, yani 1,2'yi buluyoruz (bu sayı netlik açısından mavi daire içine alınmıştır). 1.256 sayısının üçüncü rakamı (5 rakamı) çift satırın solundaki ilk veya son satırda bulunur (bu rakam kırmızı daire içine alınmıştır). Orijinal sayı olan 1.256'nın dördüncü rakamı (6 rakamı), çift satırın sağındaki ilk veya son satırda bulunur (bu sayı yeşil çizgiyle daire içine alınmıştır). Şimdi logaritma tablosunun hücrelerinde işaretli satır ve işaretli sütunların kesişimindeki sayıları buluyoruz (bu sayılar vurgulanmıştır) turuncu). İşaretlenen sayıların toplamı, dördüncü ondalık basamağa kadar doğru olan ondalık logaritmanın istenen değerini verir; log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Yukarıdaki tabloyu kullanarak, ondalık noktadan sonra üç basamaktan fazla olan sayıların yanı sıra 1 ile 9,999 aralığının ötesine geçen sayıların ondalık logaritma değerlerini bulmak mümkün müdür? Evet yapabilirsin. Bunun nasıl yapıldığını bir örnekle gösterelim.

lg102.76332'yi hesaplayalım. Öncelikle yazmanız gerekiyor sayı standart biçim : 102,76332=1,0276332·10 2. Bundan sonra mantis üçüncü ondalık basamağa yuvarlanmalıdır. 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2 orijinal ondalık logaritması yaklaşık olarak ortaya çıkan sayının logaritmasına eşitken, yani log102.76332≈lg1.028·10 2 alıyoruz. Şimdi logaritmanın özelliklerini uyguluyoruz: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Son olarak, lg1.028 logaritmasının değerini ondalık logaritmalar tablosundan lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 buluyoruz. Sonuç olarak, logaritmayı hesaplama sürecinin tamamı şöyle görünür: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Sonuç olarak, ondalık logaritma tablosunu kullanarak herhangi bir logaritmanın yaklaşık değerini hesaplayabileceğinizi belirtmekte fayda var. Bunu yapmak için geçiş formülünü kullanarak ondalık logaritmalara gitmeniz, değerlerini tabloda bulmanız ve kalan hesaplamaları yapmanız yeterlidir.

Örneğin log 2 3'ü hesaplayalım. Logaritmanın yeni tabanına geçiş formülüne göre elimizde . Ondalık logaritma tablosundan log3≈0,4771 ve log2≈0,3010'u buluyoruz. Böylece, .

Kaynakça.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).