Udforsk metoder til differentialregning for funktioner til at konstruere en graf. Hvordan man undersøger en funktion og tegner den

Adfærd fuld forskning og plotte funktionen

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Funktionens omfang. Da funktionen er en brøk, skal vi finde nullerne i nævneren.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Vi udelukker det eneste punkt x=1x=1 fra definitionsdomænet for funktionen og får:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Lad os studere opførselen af ​​funktionen i nærheden af ​​diskontinuitetspunktet. Lad os finde ensidige grænser:

Da grænserne er lig med uendelig, er punktet x=1x=1 en diskontinuitet af den anden slags, den rette linje x=1x=1 er en lodret asymptote.

3) Lad os bestemme skæringspunkterne for funktionsgrafen med koordinatakserne.

Lad os finde skæringspunkterne med ordinataksen OyOy, som vi sætter lighedstegn mellem x=0x=0 for:

Således har skæringspunktet med OyOy-aksen koordinater (0;8)(0;8).

Lad os finde skæringspunkterne med abscisseaksen OxOx, som vi sætter y=0y=0 for:

Ligningen har ingen rødder, så der er ingen skæringspunkter med OxOx-aksen.

Bemærk, at x2+8>0x2+8>0 for enhver xx. Derfor, for x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) tager funktionen y>0y>0( positive værdier, grafen er over x-aksen), for x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) funktionen y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funktionen er hverken lige eller ulige fordi:

5) Lad os undersøge funktionen for periodicitet. Funktionen er ikke periodisk, da den er en rationel brøkfunktion.

6) Lad os undersøge funktionen for ekstrema og monotoni. For at gøre dette finder vi den første afledede af funktionen:

Lad os sidestille den første afledede til nul og finde stationære punkter (hvor y′=0y′=0):

Vi fik tre kritiske punkter: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Lad os opdele hele definitionsdomænet af funktionen i intervaller med disse punkter og bestemme fortegnene for den afledede i hvert interval:

For x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) er den afledte y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

For x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) den afledte y′>0y′>0, øges funktionen med disse intervaller.

I dette tilfælde er x=−2x=−2 et lokalt minimumspunkt (funktionen falder og stiger derefter), x=4x=4 er et lokalt maksimumspunkt (funktionen stiger og falder derefter).

Lad os finde værdierne af funktionen på disse punkter:

Således er minimumspunktet (−2;4)(−2;4), maksimumpunktet er (4;−8)(4;−8).

7) Lad os undersøge funktionen for knæk og konveksitet. Lad os finde den anden afledede af funktionen:

Lad os sidestille den anden afledede med nul:

Den resulterende ligning har ingen rødder, så der er ingen bøjningspunkter. Desuden, når x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 er opfyldt, dvs. funktionen er konkav, når x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) er opfyldt af y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Lad os undersøge adfærden af ​​funktionen ved uendelig, det vil sige ved.

Da grænserne er uendelige, er der ingen vandrette asymptoter.

Lad os prøve at bestemme skrå asymptoter af formen y=kx+by=kx+b. Vi beregner værdierne af k, bk, b ved hjælp af kendte formler:

Vi fandt ud af, at funktionen har en skrå asymptote y=−x−1y=−x−1.

9) Yderligere punkter. Lad os beregne værdien af ​​funktionen på nogle andre punkter for mere præcist at konstruere grafen.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Ud fra de opnåede data vil vi konstruere en graf, supplere den med asymptoter x=1x=1 (blå), y=−x−1y=−x−1 (grøn) og markere de karakteristiske punkter (lilla skæring med ordinaten) akse, orange ekstrema, sorte ekstra punkter):

Opgave 4: Geometriske, Økonomiske problemer (jeg aner ikke hvad, her er et omtrentligt udvalg af problemer med løsninger og formler)

Eksempel 3.23. -en

Løsning. x Og y y
y = a - 2 x a/4 = a/2. Da x = a/4 er det eneste kritiske punkt, lad os kontrollere, om fortegnet for den afledede ændres, når vi passerer gennem dette punkt. For xa/4 S " > 0, og for x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Eksempel 3.24.

Løsning.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Eksempel 3.22. Find yderpunkterne for funktionen f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Løsning. Da f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), så er de kritiske punkter for funktionen x 1 = 2 og x 2 = 3. Ekstreme kan kun være kl. Så som når den passerer gennem punktet x 1 = 2, ændrer den afledede sit fortegn fra plus til minus, så har funktionen på dette tidspunkt et maksimum. Når den går gennem punktet x 2 = 3, ændrer den afledede sit fortegn fra minus til plus, derfor har funktionen i punktet x 2 = 3 et minimum. Efter at have beregnet funktionsværdierne ved punkterne
x 1 = 2 og x 2 = 3, finder vi yderpunkterne for funktionen: maksimum f(2) = 14 og minimum f(3) = 13.

Eksempel 3.23. Det er nødvendigt at bygge et rektangulært område nær stenmuren, så det er indhegnet på tre sider med trådnet, og den fjerde side støder op til muren. For dette er der -en lineære meter mesh. Ved hvilket billedformat vil webstedet have det største areal?

Løsning. Lad os betegne siderne af platformen med x Og y. Området på webstedet er S = xy. Lade y- dette er længden af ​​den side, der støder op til væggen. Så skal ligheden 2x + y = a efter betingelse holde. Derfor y = a - 2x og S = x(a - 2x), hvor
0 ≤ x ≤ a/2 (pudens længde og bredde kan ikke være negativ). S " = a - 4x, a - 4x = 0 ved x = a/4, hvorfra
y = a - 2 x a/4 = a/2. Da x = a/4 er det eneste kritiske punkt, lad os kontrollere, om fortegnet for den afledede ændres, når vi passerer gennem dette punkt. For xa/4 S " > 0, og for x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Eksempel 3.24. Det er nødvendigt at fremstille en lukket cylindrisk tank med en kapacitet V=16p ≈ 50 m 3 . Hvad skal tankens dimensioner (radius R og højde H) være, så den mindste mængde materiale bruges til fremstillingen?

Løsning. Det samlede overfladeareal af cylinderen er S = 2pR(R+H). Vi kender volumenet af cylinderen V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Dette betyder S(R) = 2p(R2+16/R). Vi finder den afledede af denne funktion:
S "(R) = 2p(2R-16/R2) = 4p (R-8/R2). S" (R) = 0 for R3 = 8, derfor,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Relateret information.

En af differentialregningens vigtigste opgaver er udviklingen af ​​generelle eksempler på at studere funktioners adfærd.

Hvis funktionen y=f(x) er kontinuert på intervallet, og dens afledte er positiv eller lig med 0 på intervallet (a,b), så stiger y=f(x) med (f"(x)0) Hvis funktionen y=f (x) er kontinuert på segmentet, og dens afledede er negativ eller lig med 0 på intervallet (a,b), så falder y=f(x) med (f"(x)0 )

Intervaller, hvor funktionen ikke falder eller øges, kaldes intervaller for funktionens monotoni. En funktions monotonitet kan kun ændre sig på de punkter af dens definitionsdomæne, hvor tegnet for den første afledte ændres. De punkter, hvor den første afledede af en funktion forsvinder eller har en diskontinuitet, kaldes kritiske.

Sætning 1 (1. tilstrækkelig betingelse for eksistensen af ​​et ekstremum).

Lad funktionen y=f(x) være defineret i punktet x 0 og lad der være et naboskab δ>0, således at funktionen er kontinuert på intervallet og differentierbar på intervallet (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , og dens afledte bevarer et konstant fortegn på hvert af disse intervaller. Så hvis på x 0 -δ,x 0) og (x 0, x 0 +δ) fortegnene for den afledte er forskellige, så er x 0 et ekstremumpunkt, og hvis de falder sammen, så er x 0 ikke et ekstremumpunkt . Desuden, hvis den afledte, når den passerer gennem punktet x0, skifter fortegn fra plus til minus (til venstre for x 0 f"(x)>0 er opfyldt, så er x 0 maksimumpunktet; hvis den afledede ændrer fortegn fra minus til plus (til højre for x 0 udført f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maksimums- og minimumspunkterne kaldes funktionens ekstremumpunkter, og funktionens maksimum- og minimumspunkter kaldes dens ekstreme værdier.

Sætning 2 (et nødvendigt tegn på et lokalt ekstremum).

Hvis funktionen y=f(x) har et ekstremum ved den aktuelle x=x 0, så eksisterer enten f'(x 0)=0 eller f'(x 0) ikke.
Ved yderpunkterne for den differentiable funktion er tangenten til dens graf parallel med Ox-aksen.

Algoritme til at studere en funktion for et ekstremum:

1) Find den afledede af funktionen.
2) Find kritiske punkter, dvs. punkter, hvor funktionen er kontinuert, og den afledede er nul eller ikke eksisterer.
3) Overvej naboskabet til hvert punkt, og undersøg fortegnet for den afledede til venstre og højre for dette punkt.
4) Bestem koordinaterne for yderpunkterne; for dette skal du erstatte værdierne for de kritiske punkter i denne funktion. Brug tilstrækkelige betingelser for ekstremumet, drag de passende konklusioner.

Eksempel 18. Undersøg funktionen y=x 3 -9x 2 +24x for et ekstremum

Løsning.
1) y"=3x2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Ligger den afledede til nul, finder vi x 1 =2, x 2 =4. I dette tilfælde er den afledte defineret overalt; Det betyder, at der udover de to fundne punkter ikke er andre kritiske punkter.
3) Tegnet for den afledte y"=3(x-2)(x-4) ændres afhængigt af intervallet som vist på figur 1. Når man passerer gennem punktet x=2, skifter den afledte fortegn fra plus til minus, og når man passerer gennem punktet x=4 - fra minus til plus.
4) I punktet x=2 har funktionen et maksimum y max =20, og i punktet x=4 - et minimum y min =16.

Sætning 3. (2. tilstrækkelig betingelse for eksistensen af ​​et ekstremum).

Lad f"(x 0) og ved punktet x 0 eksisterer f""(x 0). Så hvis f""(x 0)>0, så er x 0 minimumspunktet, og hvis f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

På et segment kan funktionen y=f(x) nå den mindste (y den mindste) eller den største (y den højeste) værdi enten på de kritiske punkter af funktionen, der ligger i intervallet (a;b), eller ved enderne af segmentet.

Algoritme til at finde de største og mindste værdier af en kontinuerlig funktion y=f(x) på segmentet:

1) Find f"(x).
2) Find de punkter, hvor f"(x)=0 eller f"(x) ikke findes, og vælg blandt dem dem, der ligger inde i segmentet.
3) Beregn værdien af ​​funktionen y=f(x) ved punkterne opnået i trin 2), såvel som i enderne af segmentet, og vælg den største og mindste fra dem: de er henholdsvis den største (y den største) og de mindste (y den mindste) værdier af funktionen på intervallet.

Eksempel 19. Find den største værdi af den kontinuerte funktion y=x 3 -3x 2 -45+225 på segmentet.

1) Vi har y"=3x 2 -6x-45 på segmentet
2) Den afledte y" findes for alle x. Lad os finde de punkter, hvor y"=0; vi får:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x1 = -3; x 2 = 5
3) Beregn værdien af ​​funktionen i punkterne x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Segmentet indeholder kun punktet x=5. Den største af funktionens fundne værdier er 225, og den mindste er tallet 50. Så y max = 225, y min = 50.

Undersøgelse af en funktion om konveksitet

Figuren viser grafer for to funktioner. Den første af dem er konveks opad, den anden er konveks nedad.

Funktionen y=f(x) er kontinuerlig på segmentet og differentierbar i intervallet (a;b), kaldes konveks opad (nedad) på dette segment, hvis dens graf for axb ikke ligger højere (ikke lavere) end tangent tegnet i ethvert punkt M 0 (x 0 ;f(x 0)), hvor axb.

Sætning 4. Lad funktionen y=f(x) have en anden afledet i et hvilket som helst indre punkt x i segmentet og være kontinuert i enderne af dette segment. Så hvis uligheden f""(x)0 holder på intervallet (a;b), så er funktionen konveks nedad på intervallet ; hvis uligheden f""(x)0 holder på intervallet (a;b), så er funktionen konveks opad på .

Sætning 5. Hvis funktionen y=f(x) har en anden afledet på intervallet (a;b), og hvis den skifter fortegn, når den passerer gennem punktet x 0, så er M(x 0 ;f(x 0)) et bøjningspunkt.

Regel for at finde bøjningspunkter:

1) Find de punkter, hvor f""(x) ikke eksisterer eller forsvinder.
2) Undersøg tegnet f""(x) til venstre og højre for hvert punkt fundet i det første trin.
3) Ud fra sætning 4, drag en konklusion.

Eksempel 20. Find ekstremumpunkterne og bøjningspunkterne for grafen for funktionen y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Vi har f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Det er klart, f"(x)=0, når x 1 =0, x 2 =1. Når den passerer gennem punktet x=0, skifter den afledte fortegn fra minus til plus, men når den passerer gennem punktet x=1, skifter den ikke fortegn. Det betyder, at x=0 er minimumspunktet (y min =12), og der er intet ekstremum i punktet x=1. Dernæst finder vi . Den anden afledede forsvinder i punkterne x 1 =1, x 2 =1/3. Fortegnene for den anden afledede ændres som følger: På strålen (-∞;) har vi f""(x)>0, på intervallet (;1) har vi f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Derfor er x= bøjningspunktet for funktionsgrafen (overgang fra konveksitet ned til konveksitet opad), og x=1 er også bøjningspunktet (overgang fra konveksitet opad til konveksitet nedad). Hvis x=, så y= ; hvis, så x=1, y=13.

Algoritme til at finde asymptoten af ​​en graf

I. Hvis y=f(x) som x → a, så er x=a en lodret asymptote.
II. Hvis y=f(x) som x → ∞ eller x → -∞, så er y=A en vandret asymptote.
III. For at finde den skrå asymptote bruger vi følgende algoritme:
1) Beregn . Hvis grænsen eksisterer og er lig med b, så er y=b en vandret asymptote; hvis , så gå til andet trin.
2) Beregn . Hvis denne grænse ikke eksisterer, så er der ingen asymptote; hvis den eksisterer og er lig med k, så gå til det tredje trin.
3) Beregn . Hvis denne grænse ikke eksisterer, så er der ingen asymptote; hvis den eksisterer og er lig med b, så gå til det fjerde trin.
4) Nedskriv ligningen for den skrå asymptote y=kx+b.

Eksempel 21: Find asymptoten for en funktion

1)
2)
3)
4) Ligningen for den skrå asymptote har formen

Skema til at studere en funktion og konstruere dens graf

I. Find definitionsdomænet for funktionen.
II. Find skæringspunkterne for funktionens graf med koordinatakserne.
III. Find asymptoter.
IV. Find mulige ekstremum punkter.
V. Find kritiske punkter.
VI. Brug hjælpefiguren til at udforske tegnet for den første og anden afledede. Bestem områder med stigende og faldende funktion, find grafens konveksitetsretning, ekstreme punkter og bøjningspunkter.
VII. Konstruer en graf under hensyntagen til forskningen udført i afsnit 1-6.

Eksempel 22: Konstruer en graf over funktionen i henhold til ovenstående diagram

Løsning.
I. En funktions domæne er mængden af ​​alle reelle tal undtagen x=1.
II. Da ligningen x 2 +1=0 ikke har nogen reelle rødder, har funktionens graf ingen skæringspunkter med Ox-aksen, men skærer Oy-aksen i punktet (0;-1).
III. Lad os afklare spørgsmålet om eksistensen af ​​asymptoter. Lad os studere opførselen af ​​funktionen nær diskontinuitetspunktet x=1. Da y → ∞ som x → -∞, y → +∞ som x → 1+, så er den rette linje x=1 den lodrette asymptote på grafen for funktionen.
Hvis x → +∞(x → -∞), så y → +∞(y → -∞); derfor har grafen ikke en vandret asymptote. Yderligere fra eksistensen af ​​grænser

Ved at løse ligningen x 2 -2x-1=0 får vi to mulige ekstremumpunkter:
x 1 =1-√2 og x 2 =1+√2

V. For at finde de kritiske punkter, beregner vi den anden afledede:

Da f""(x) ikke forsvinder, er der ingen kritiske punkter.
VI. Lad os undersøge fortegnet for den første og anden afledte. Mulige ekstremumpunkter, der skal tages i betragtning: x 1 =1-√2 og x 2 =1+√2, opdel funktionens eksistensdomæne i intervaller (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) og (1+√2;+∞).

I hvert af disse intervaller bevarer den afledte sit fortegn: i det første - plus, i det andet - minus, i det tredje - plus. Tegnsekvensen for den første afledede vil blive skrevet som følger: +,-,+.
Vi finder, at funktionen stiger ved (-∞;1-√2), falder ved (1-√2;1+√2), og stiger igen ved (1+√2;+∞). Ekstrempunkter: maksimum ved x=1-√2, og f(1-√2)=2-2√2 minimum ved x=1+√2, og f(1+√2)=2+2√2. Ved (-∞;1) er grafen konveks opad, og ved (1;+∞) er den konveks nedad.
VII Lad os lave en tabel over de opnåede værdier

VIII Ud fra de opnåede data konstruerer vi en skitse af grafen for funktionen

I dag inviterer vi dig til at udforske og bygge en graf over en funktion sammen med os. Efter omhyggeligt at have studeret denne artikel, behøver du ikke at svede længe for at fuldføre denne type opgave. Det er ikke let at studere og konstruere en graf for en funktion; det er et omfangsrigt arbejde, der kræver maksimal opmærksomhed og nøjagtighed af beregninger. For at gøre materialet lettere at forstå, vil vi studere den samme funktion trin for trin og forklare alle vores handlinger og beregninger. Velkommen til matematikkens fantastiske og fascinerende verden! Gå!

Domæne

For at udforske og tegne en funktion, skal du kende flere definitioner. Funktion er et af de vigtigste (grundlæggende) begreber i matematik. Det afspejler afhængigheden mellem flere variable (to, tre eller flere) under ændringer. Funktionen viser også afhængigheden af ​​sæt.

Forestil dig, at vi har to variable, der har et vist ændringsområde. Så y er en funktion af x, forudsat at hver værdi af den anden variabel svarer til en værdi af den anden. I dette tilfælde er variablen y afhængig, og den kaldes en funktion. Det er sædvanligt at sige, at variablerne x og y er i For større klarhed over denne afhængighed bygges en graf over funktionen. Hvad er en graf for en funktion? Dette er et sæt punkter på koordinatplanet, hvor hver x-værdi svarer til én y-værdi. Grafer kan være forskellige - lige linje, hyperbel, parabel, sinusbølge og så videre.

Det er umuligt at tegne en funktion uden forskning. I dag vil vi lære, hvordan man udfører forskning og bygger en graf over en funktion. Det er meget vigtigt at tage noter under studiet. Dette vil gøre opgaven meget nemmere at klare. Den mest bekvemme forskningsplan:

1. Domæne.
2. Kontinuitet.
3. Lige eller ulige.
4. Periodicitet.
5. Asymptoter.
6. Nuller.
7. Tegn konstans.
8. Stigende og faldende.
9. Yderligheder.
10. Konveksitet og konkavitet.

Lad os starte med det første punkt. Lad os finde definitionsdomænet, det vil sige på hvilke intervaller vores funktion eksisterer: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). I vores tilfælde eksisterer funktionen for alle værdier af x, det vil sige, at definitionsdomænet er lig med R. Dette kan skrives som følger xÎR.

Kontinuitet

Nu vil vi undersøge diskontinuitetsfunktionen. I matematik dukkede udtrykket "kontinuitet" op som et resultat af studiet af bevægelseslovene. Hvad er uendeligt? Rum, tid, nogle afhængigheder (et eksempel er afhængigheden af ​​variablerne S og t i bevægelsesproblemer), temperaturen på en opvarmet genstand (vand, stegepande, termometer osv.), en kontinuerlig linje (det vil sige en der kan tegnes uden at løfte den fra arkblyanten).

En graf betragtes som kontinuerlig, hvis den ikke går i stykker på et tidspunkt. Et af de mest oplagte eksempler på sådan en graf er en sinusformet, som du kan se på billedet i dette afsnit. En funktion er kontinuerlig på et tidspunkt x0, hvis en række betingelser er opfyldt:

• en funktion er defineret på et givet punkt;
• højre og venstre grænser i et punkt er ens;
• grænsen er lig med værdien af ​​funktionen i punkt x0.

Hvis mindst én betingelse ikke er opfyldt, siges funktionen at fejle. Og de punkter, hvor funktionen bryder, kaldes normalt brudpunkter. Et eksempel på en funktion, der vil "bryde", når den vises grafisk, er: y=(x+4)/(x-3). Ydermere eksisterer y ikke i punktet x = 3 (da det er umuligt at dividere med nul).

I funktionen, som vi studerer (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) viste alt sig at være enkelt, da grafen vil være kontinuerlig.

Lige, mærkeligt

Undersøg nu funktionen for paritet. Først lidt teori. En lige funktion er en, der opfylder betingelsen f(-x)=f(x) for enhver værdi af variablen x (fra værdiområdet). Eksempler omfatter:

• modul x (grafen ligner en daw, halveringslinjen for første og anden fjerdedel af grafen);
• x i kvadrat (parabel);
• cosinus x (cosinus).

Bemærk, at alle disse grafer er symmetriske, når de ses i forhold til y-aksen (det vil sige y-aksen).

Hvad kaldes så en ulige funktion? Dette er de funktioner, der opfylder betingelsen: f(-x)=-f(x) for enhver værdi af variablen x. Eksempler:

• hyperbel;
• kubisk parabel;
• sinusformet;
• tangent og så videre.

Bemærk venligst, at disse funktioner er symmetriske omkring punktet (0:0), det vil sige oprindelsen. Baseret på det, der blev sagt i dette afsnit af artiklen, skal en lige og ulige funktion have egenskaben: x hører til definitionsmængden og -x også.

Lad os undersøge funktionen for paritet. Vi kan se, at hun ikke passer til nogen af ​​beskrivelserne. Derfor er vores funktion hverken lige eller ulige.

Asymptoter

Lad os starte med en definition. En asymptote er en kurve, der er så tæt som muligt på grafen, det vil sige, at afstanden fra et bestemt punkt har en tendens til nul. I alt er der tre typer af asymptoter:

• lodret, det vil sige parallelt med y-aksen;
• vandret, det vil sige parallelt med x-aksen;
• tilbøjelig.

Hvad angår den første type, skal disse linjer kigges efter på nogle punkter:

• gab;
• ender af definitionsdomænet.

I vores tilfælde er funktionen kontinuert, og definitionsdomænet er lig med R. Følgelig er der ingen lodrette asymptoter.

Grafen for en funktion har en vandret asymptote, som opfylder følgende krav: hvis x har en tendens til uendelig eller minus uendelig, og grænsen er lig med et vist tal (f.eks. a). I dette tilfælde er y=a den vandrette asymptote. Der er ingen vandrette asymptoter i den funktion, vi studerer.

En skrå asymptote eksisterer kun, hvis to betingelser er opfyldt:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Så kan den findes ved hjælp af formlen: y=kx+b. Igen, i vores tilfælde er der ingen skrå asymptoter.

Funktionen nuller

Det næste trin er at undersøge grafen for funktionen for nuller. Det er også meget vigtigt at bemærke, at den opgave, der er forbundet med at finde en funktions nuller, ikke kun opstår, når man studerer og konstruerer en graf for en funktion, men også som en selvstændig opgave og som en måde at løse uligheder på. Du kan blive bedt om at finde en funktions nuller på en graf eller bruge matematisk notation.

At finde disse værdier vil hjælpe dig med at tegne funktionen mere nøjagtigt. Enkelt sagt er nulpunktet for en funktion værdien af ​​variablen x, hvor y = 0. Hvis du leder efter en funktions nuller på en graf, skal du være opmærksom på de punkter, hvor grafen skærer x-aksen.

For at finde funktionens nuller skal du løse følgende ligning: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Efter at have udført de nødvendige beregninger får vi følgende svar:

Tegn konstans

Den næste fase af forskning og konstruktion af en funktion (graf) er at finde intervaller med konstant fortegn. Det betyder, at vi skal bestemme med hvilke intervaller funktionen tager en positiv værdi og med hvilke intervaller den tager en negativ værdi. De nul-funktioner, der findes i sidste afsnit, hjælper os med at gøre dette. Så vi skal bygge en lige linje (adskilt fra grafen) og fordele funktionens nuller langs den i den rigtige rækkefølge fra mindste til største. Nu skal du bestemme, hvilke af de resulterende intervaller der har et "+"-tegn, og hvilke der har et "-".

I vores tilfælde tager funktionen en positiv værdi på intervaller:

• fra 1 til 4;
• fra 9 til uendeligt.

Negativ betydning:

• fra minus uendelig til 1;
• fra 4 til 9.

Dette er ret nemt at bestemme. Erstat et hvilket som helst tal fra intervallet i funktionen og se hvilket tegn svaret viser sig at have (minus eller plus).

Stigende og faldende funktion

For at udforske og konstruere en funktion skal vi vide, hvor grafen vil stige (gå op langs Oy-aksen), og hvor den vil falde (kravle ned langs y-aksen).

En funktion øges kun, hvis en større værdi af variablen x svarer til en større værdi af y. Det vil sige, at x2 er større end x1, og f(x2) er større end f(x1). Og vi observerer et helt modsat fænomen med en aftagende funktion (jo mere x, jo mindre y). For at bestemme intervallerne for stigning og fald, skal du finde følgende:

• definitionsdomæne (vi har allerede);
• afledt (i vores tilfælde: 1/3(3x^2-28x+49);
• løs ligningen 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Efter beregninger får vi resultatet:

Vi får: funktionen stiger i intervallerne fra minus uendeligt til 7/3 og fra 7 til uendeligt, og falder i intervallet fra 7/3 til 7.

Yderligheder

Funktionen under undersøgelse y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) er kontinuerlig og eksisterer for enhver værdi af variablen x. Yderpunktspunktet viser maksimum og minimum af en given funktion. I vores tilfælde er der ingen, hvilket i høj grad forenkler byggeopgaven. Ellers kan de også findes ved hjælp af den afledede funktion. Når de er fundet, så glem ikke at markere dem på kortet.

Konveksitet og konkavitet

Vi fortsætter med at udforske funktionen y(x). Nu skal vi tjekke det for konveksitet og konkavitet. Definitionerne af disse begreber er ret svære at forstå; det er bedre at analysere alt ved hjælp af eksempler. Til testen: en funktion er konveks, hvis den er en ikke-aftagende funktion. Enig, det er uforståeligt!

Vi skal finde den afledede af en andenordens funktion. Vi får: y=1/3(6x-28). Lad os nu sidestille højre side med nul og løse ligningen. Svar: x=14/3. Vi fandt bøjningspunktet, det vil sige det sted, hvor grafen skifter fra konveksitet til konkavitet eller omvendt. På intervallet fra minus uendelig til 14/3 er funktionen konveks, og fra 14/3 til plus uendelig er den konkav. Det er også meget vigtigt at bemærke, at bøjningspunktet på grafen skal være glat og blødt, der bør ikke være skarpe hjørner.

Definition af yderligere punkter

Vores opgave er at undersøge og konstruere en graf over funktionen. Vi har afsluttet undersøgelsen; det er nu ikke svært at konstruere en graf over funktionen. For mere nøjagtig og detaljeret gengivelse af en kurve eller lige linje på koordinatplanet kan du finde flere hjælpepunkter. De er ret nemme at beregne. For eksempel tager vi x=3, løser den resulterende ligning og finder y=4. Eller x=5, og y=-5 og så videre. Du kan tage så mange ekstra point, som du har brug for til byggeriet. Mindst 3-5 af dem findes.

Tegning af en graf

Vi havde brug for at undersøge funktionen (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Alle nødvendige markeringer under beregningerne blev lavet på koordinatplanet. Det eneste, der skal gøres, er at bygge en graf, det vil sige at forbinde alle prikkerne. Forbindelse af prikkerne skal være glat og præcis, dette er et spørgsmål om færdigheder - lidt øvelse og din tidsplan vil være perfekt.

Instruktioner

Find funktionens domæne. For eksempel er funktionen sin(x) defineret over hele intervallet fra -∞ til +∞, og funktionen 1/x er defineret fra -∞ til +∞, bortset fra punktet x = 0.

Identificer områder med kontinuitet og diskontinuitetspunkter. Typisk er en funktion kontinuert i det samme område, hvor den er defineret. For at detektere diskontinuiteter skal man beregne, når argumentet nærmer sig isolerede punkter inden for definitionsdomænet. For eksempel har funktionen 1/x tendens til uendelig, når x→0+, og til minus uendelig, når x→0-. Det betyder, at den i punktet x = 0 har en diskontinuitet af den anden slags.
Hvis grænserne ved diskontinuitetspunktet er endelige, men ikke ens, så er dette en diskontinuitet af den første slags. Hvis de er ens, betragtes funktionen som kontinuerlig, selvom den ikke er defineret på et isoleret punkt.

Find lodrette asymptoter, hvis nogen. Beregningerne fra det foregående trin vil hjælpe dig her, da den lodrette asymptote næsten altid er placeret ved diskontinuitetspunktet af den anden slags. Nogle gange er det dog ikke enkelte punkter, der er udelukket fra definitionsdomænet, men hele intervaller af punkter, og så kan de lodrette asymptoter placeres i kanterne af disse intervaller.

Kontroller, om funktionen har særlige egenskaber: lige, ulige og periodisk.
Funktionen vil være selv, hvis for enhver x i domænet f(x) = f(-x). For eksempel er cos(x) og x^2 lige funktioner.

Periodicitet er en egenskab, der siger, at der er et bestemt tal T, kaldet en periode, der for enhver x f(x) = f(x + T). For eksempel er alle grundlæggende trigonometriske funktioner (sinus, cosinus, tangent) periodiske.

Find pointene. For at gøre dette skal du beregne den afledede af den givne funktion og finde de værdier af x, hvor den bliver nul. For eksempel har funktionen f(x) = x^3 + 9x^2 -15 en afledt g(x) = 3x^2 + 18x, som forsvinder ved x = 0 og x = -6.

For at bestemme, hvilke ekstremumpunkter der er maksima og hvilke der er minima, spor ændringen i fortegnene for den afledte ved de fundne nuller. g(x) skifter fortegn fra plus i punktet x = -6, og i punktet x = 0 tilbage fra minus til plus. Følgelig har funktionen f(x) et minimum ved det første punkt og et minimum ved det andet.

Således har du også fundet områder med monotonitet: f(x) stiger monotont i intervallet -∞;-6, aftager monotont ved -6;0 og ​​stiger igen ved 0;+∞.

Find den anden afledede. Dens rødder vil vise, hvor grafen for en given funktion vil være konveks, og hvor den vil være konkav. For eksempel vil den anden afledede af funktionen f(x) være h(x) = 6x + 18. Den går til nul ved x = -3, og skifter fortegn fra minus til plus. Følgelig vil grafen for f(x) før dette punkt være konveks, efter det - konkav, og dette punkt i sig selv vil være et bøjningspunkt.

En funktion kan have andre asymptoter udover vertikale, men kun hvis dens definitionsdomæne omfatter . For at finde dem skal du beregne grænsen for f(x), når x→∞ eller x→-∞. Hvis den er endelig, har du fundet den vandrette asymptote.

Den skrå asymptote er en ret linje på formen kx + b. For at finde k skal du beregne grænsen for f(x)/x som x→∞. For at finde b - grænsen (f(x) – kx) for den samme x→∞.

Tegn en graf over funktionen baseret på de beregnede data. Mærk asymptoterne, hvis nogen. Marker ekstremumpunkterne og funktionsværdierne ved dem. For større grafens nøjagtighed skal du beregne funktionsværdierne ved flere mellemliggende punkter. Undersøgelsen er afsluttet.

For fuldt ud at studere funktionen og plotte dens graf, anbefales det at bruge følgende skema:

1) find funktionens definitionsdomæne;

2) find diskontinuitetspunkterne for funktionen og lodrette asymptoter (hvis de findes);

3) undersøge funktionens adfærd ved uendelighed, finde vandrette og skrå asymptoter;

4) undersøge funktionen for paritet (mærkelighed) og periodicitet (for trigonometriske funktioner);

5) finde ekstrema og intervaller for monotoni af funktionen;

6) bestemme konveksitetsintervallerne og bøjningspunkterne;

7) find skæringspunkterne med koordinatakserne, og om muligt nogle yderligere punkter, der tydeliggør grafen.

Studiet af funktionen udføres samtidig med konstruktionen af ​​dens graf.

Eksempel 9 Udforsk funktionen og lav en graf.

1. Definitionens omfang: ;

2. Funktionen lider af diskontinuitet på punkter
,
;

Vi undersøger funktionen for tilstedeværelsen af ​​lodrette asymptoter.

;
,
─ lodret asymptote.

;
,
─ lodret asymptote.

3. Vi undersøger funktionen for tilstedeværelsen af ​​skrå og vandrette asymptoter.

Lige
─ skrå asymptote, if
,
.

,
.

Lige
─ vandret asymptote.

4. Funktionen er endda fordi
. Funktionens paritet angiver grafens symmetri i forhold til ordinataksen.

5. Find funktionens monotoniske intervaller og yderpunkter.

Lad os finde de kritiske punkter, dvs. punkter, hvor den afledede er 0 eller ikke eksisterer:
;
. Vi har tre point
;

. Disse punkter opdeler hele den reelle akse i fire intervaller. Lad os definere tegnene på hver af dem.

På intervallerne (-∞; -1) og (-1; 0) øges funktionen, på intervallerne (0; 1) og (1; +∞) ─ falder den. Når man passerer gennem et punkt
den afledede skifter fortegn fra plus til minus, derfor har funktionen på dette tidspunkt et maksimum
.

6. Find intervallerne for konveksitet og bøjningspunkter.

Lad os finde de punkter, hvor er 0, eller eksisterer ikke.

har ingen rigtige rødder.
,
,

Points
Og
opdel den reelle akse i tre intervaller. Lad os definere tegnet ved hvert interval.

Således kurven på intervallerne
Og
konveks nedad, på intervallet (-1;1) konveks opad; der er ingen bøjningspunkter, da funktionen er på punkter
Og
ikke bestemt.

7. Find skæringspunkterne med akserne.

Med aksel
grafen for funktionen skærer i punktet (0; -1) og med aksen
grafen skærer ikke, fordi tælleren for denne funktion har ingen reelle rødder.

Grafen for den givne funktion er vist i figur 1.

Figur 1 ─ Funktionsgraf

Anvendelse af begrebet derivat i økonomi. Elasticitetsfunktion

For at studere økonomiske processer og løse andre anvendte problemer, bruges begrebet elasticitet af en funktion ofte.

Definition. Elasticitetsfunktion
kaldes grænsen for forholdet mellem funktionens relative stigning til den relative stigning af variablen på
, . (VII)

Elasticiteten af ​​en funktion viser cirka hvor mange procent funktionen vil ændre sig
når den uafhængige variabel ændres med 1 %.

Elasticitetsfunktionen bruges i analysen af ​​efterspørgsel og forbrug. Hvis efterspørgselselasticiteten (i absolut værdi)
, så betragtes efterspørgslen som elastisk hvis
─ neutral if
─ uelastisk i forhold til pris (eller indkomst).

Eksempel 10 Beregn funktionens elasticitet
og find værdien af ​​elasticitetsindekset for = 3.

Løsning: ifølge formel (VII) er funktionens elasticitet:

Lad da x=3
.Det betyder, at hvis den uafhængige variabel stiger med 1 %, så vil værdien af ​​den afhængige variabel stige med 1,42 %.

Eksempel 11 Lad efterspørgslen fungere vedrørende pris ligner
, Hvor ─ konstant koefficient. Find værdien af ​​elasticitetsindikatoren for efterspørgselsfunktionen ved pris x = 3 den. enheder

Løsning: Beregn elasticiteten af ​​efterspørgselsfunktionen ved hjælp af formel (VII)

Troende
pengeenheder, får vi
. Det betyder, at til en pris
monetære enheder en stigning på 1 % i prisen vil medføre et fald på 6 % i efterspørgslen, dvs. efterspørgslen er elastisk.