Udforsk funktionen og konstruer en skematisk graf over den. Komplet funktionsstudieeksempel online

Instruktioner

Find funktionens domæne. For eksempel er funktionen sin(x) defineret over hele intervallet fra -∞ til +∞, og funktionen 1/x er defineret fra -∞ til +∞, bortset fra punktet x = 0.

Identificer områder med kontinuitet og diskontinuitetspunkter. Typisk er en funktion kontinuert i det samme område, hvor den er defineret. For at detektere diskontinuiteter skal man beregne, når argumentet nærmer sig isolerede punkter inden for definitionsdomænet. For eksempel har funktionen 1/x tendens til uendelig, når x→0+, og til minus uendelig, når x→0-. Det betyder, at den i punktet x = 0 har en diskontinuitet af den anden slags.
Hvis grænserne ved diskontinuitetspunktet er endelige, men ikke ens, så er dette en diskontinuitet af den første slags. Hvis de er ens, betragtes funktionen som kontinuerlig, selvom den ikke er defineret på et isoleret punkt.

Find lodrette asymptoter, hvis nogen. Beregningerne fra det foregående trin vil hjælpe dig her, da den lodrette asymptote næsten altid er placeret ved diskontinuitetspunktet af den anden slags. Nogle gange er det dog ikke individuelle punkter, der er udelukket fra definitionsdomænet, men hele intervaller af punkter, og så kan de lodrette asymptoter placeres i kanterne af disse intervaller.

Tjek om funktionen har særlige egenskaber: lige, ulige og periodicitet.
Funktionen vil være selv, hvis for enhver x i domænet f(x) = f(-x). For eksempel cos(x) og x^2 - selv funktioner.

Periodicitet er en egenskab, der siger, at der er et bestemt tal T, kaldet en periode, der for enhver x f(x) = f(x + T). For eksempel alle de vigtigste trigonometriske funktioner(sinus, cosinus, tangent) - periodisk.

Find pointene. For at gøre dette skal du beregne den afledede af den givne funktion og finde de værdier af x, hvor den bliver nul. For eksempel har funktionen f(x) = x^3 + 9x^2 -15 en afledt g(x) = 3x^2 + 18x, som forsvinder ved x = 0 og x = -6.

For at bestemme, hvilke ekstremumpunkter der er maksima og hvilke der er minima, spor ændringen i fortegnene for den afledte ved de fundne nuller. g(x) skifter fortegn fra plus i punktet x = -6, og i punktet x = 0 tilbage fra minus til plus. Følgelig har funktionen f(x) et minimum ved det første punkt og et minimum ved det andet.

Således har du også fundet områder med monotonitet: f(x) stiger monotont i intervallet -∞;-6, aftager monotont ved -6;0 og ​​stiger igen ved 0;+∞.

Find den anden afledede. Dens rødder vil vise, hvor grafen for en given funktion vil være konveks, og hvor den vil være konkav. For eksempel vil den anden afledede af funktionen f(x) være h(x) = 6x + 18. Den går til nul ved x = -3, og skifter fortegn fra minus til plus. Følgelig vil grafen for f(x) før dette punkt være konveks, efter det - konkav, og dette punkt i sig selv vil være et bøjningspunkt.

En funktion kan have andre asymptoter udover vertikale, men kun hvis dens definitionsdomæne omfatter . For at finde dem skal du beregne grænsen for f(x), når x→∞ eller x→-∞. Hvis den er endelig, har du fundet den vandrette asymptote.

Den skrå asymptote er en ret linje på formen kx + b. For at finde k skal du beregne grænsen for f(x)/x som x→∞. For at finde b - grænsen (f(x) – kx) for den samme x→∞.

For fuldt ud at studere funktionen og plotte dens graf, anbefales det at bruge følgende skema:

1) find funktionens definitionsdomæne;

2) find diskontinuitetspunkterne for funktionen og lodrette asymptoter (hvis de findes);

3) undersøge funktionens adfærd ved uendelighed, finde vandrette og skrå asymptoter;

4) undersøge funktionen for paritet (mærkelighed) og periodicitet (for trigonometriske funktioner);

5) finde ekstrema og intervaller for monotoni af funktionen;

6) bestemme konveksitetsintervallerne og bøjningspunkterne;

7) find skæringspunkterne med koordinatakserne, og om muligt nogle yderligere punkter, der tydeliggør grafen.

Studiet af funktionen udføres samtidig med konstruktionen af ​​dens graf.

Eksempel 9 Udforsk funktionen og lav en graf.

1. Definitionens omfang: ;

2. Funktionen lider af diskontinuitet på punkter
,
;

Vi undersøger funktionen for tilstedeværelsen af ​​lodrette asymptoter.

;
,
─ lodret asymptote.

;
,
─ lodret asymptote.

3. Vi undersøger funktionen for tilstedeværelsen af ​​skrå og vandrette asymptoter.

Lige
─ skrå asymptote, if
,
.

,
.

Lige
─ vandret asymptote.

4. Funktionen er endda fordi
. Funktionens paritet angiver grafens symmetri i forhold til ordinataksen.

5. Find funktionens monotoniske intervaller og yderpunkter.

Lad os finde de kritiske punkter, dvs. punkter, hvor den afledede er 0 eller ikke eksisterer:
;
. Vi har tre point
;

. Disse punkter opdeler hele den reelle akse i fire intervaller. Lad os definere tegnene på hver af dem.

På intervallerne (-∞; -1) og (-1; 0) øges funktionen, på intervallerne (0; 1) og (1; +∞) ─ falder den. Når man passerer gennem et punkt
den afledede skifter fortegn fra plus til minus, derfor har funktionen på dette tidspunkt et maksimum
.

6. Find intervallerne for konveksitet og bøjningspunkter.

Lad os finde de punkter, hvor er 0, eller eksisterer ikke.

har ingen rigtige rødder.
,
,

Points
Og
opdel den reelle akse i tre intervaller. Lad os definere tegnet ved hvert interval.

Således kurven på intervallerne
Og
konveks nedad, på intervallet (-1;1) konveks opad; der er ingen bøjningspunkter, da funktionen er på punkter
Og
ikke bestemt.

7. Find skæringspunkterne med akserne.

Med aksel
grafen for funktionen skærer i punktet (0; -1) og med aksen
grafen skærer ikke, fordi tælleren for denne funktion har ingen reelle rødder.

Grafen for den givne funktion er vist i figur 1.

Figur 1 ─ Funktionsgraf

Anvendelse af begrebet derivat i økonomi. Elasticitetsfunktion

For at studere økonomiske processer og løse andre anvendte problemer, bruges begrebet elasticitet af en funktion ofte.

Definition. Elasticitetsfunktion
kaldes grænsen for forholdet mellem funktionens relative stigning til den relative stigning af variablen på
, . (VII)

Elasticiteten af ​​en funktion viser cirka hvor mange procent funktionen vil ændre sig
når den uafhængige variabel ændres med 1 %.

Elasticitetsfunktionen bruges i analysen af ​​efterspørgsel og forbrug. Hvis efterspørgselselasticiteten (i absolut værdi)
, så betragtes efterspørgslen som elastisk hvis
─ neutral if
─ uelastisk i forhold til pris (eller indkomst).

Eksempel 10 Beregn funktionens elasticitet
og find værdien af ​​elasticitetsindekset for = 3.

Løsning: ifølge formel (VII) er funktionens elasticitet:

Lad da x=3
.Det betyder, at hvis den uafhængige variabel stiger med 1 %, så vil værdien af ​​den afhængige variabel stige med 1,42 %.

Eksempel 11 Lad efterspørgslen fungere vedrørende pris ligner
, Hvor ─ konstant koefficient. Find værdien af ​​efterspørgselsfunktionens elasticitetsindikator ved pris x = 3 den. enheder

Løsning: Beregn elasticiteten af ​​efterspørgselsfunktionen ved hjælp af formel (VII)

Troende
monetære enheder, får vi
. Det betyder, at til en pris
monetære enheder en stigning på 1 % i prisen vil medføre et fald på 6 % i efterspørgslen, dvs. efterspørgslen er elastisk.

Hvis problemet kræver en fuldstændig undersøgelse af funktionen f (x) = x 2 4 x 2 - 1 med konstruktionen af ​​dens graf, så vil vi overveje dette princip i detaljer.

For at løse et problem af denne type, bør du bruge egenskaberne og graferne for hovedet elementære funktioner. Forskningsalgoritmen omfatter følgende trin:

Yandex.RTB R-A-339285-1

At finde definitionsdomænet

Da der forskes i funktionens definitionsdomæne, er det nødvendigt at starte med dette trin.

Eksempel 1

Det givne eksempel involverer at finde nullerne i nævneren for at udelukke dem fra ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Som et resultat kan du få rødder, logaritmer og så videre. Derefter kan ODZ søges efter en rod af en lige grad af typen g (x) 4 ved uligheden g (x) ≥ 0, for logaritmen log a g (x) ved uligheden g (x) > 0.

At studere grænserne for ODZ og finde lodrette asymptoter

Der er lodrette asymptoter ved funktionens grænser, når de ensidige grænser i sådanne punkter er uendelige.

Eksempel 2

Betragt f.eks. grænsepunkterne lig med x = ± 1 2.

Så er det nødvendigt at studere funktionen for at finde den ensidige grænse. Så får vi det: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Dette viser, at de ensidede grænser er uendelige, hvilket betyder, at de rette linjer x = ± 1 2 er grafens lodrette asymptoter.

Undersøgelse af en funktion og om den er lige eller ulige

Når betingelsen y (- x) = y (x) er opfyldt, betragtes funktionen som lige. Dette tyder på, at grafen er placeret symmetrisk i forhold til Oy. Når betingelsen y (- x) = - y (x) er opfyldt, betragtes funktionen som ulige. Det betyder, at symmetrien er i forhold til oprindelsen af ​​koordinater. Hvis mindst én ulighed ikke er opfyldt, får vi en funktion af generel form.

Ligheden y (- x) = y (x) angiver, at funktionen er lige. Ved konstruktion er det nødvendigt at tage højde for, at der vil være symmetri med hensyn til Oy.

For at løse uligheden anvendes intervaller med stigende og faldende med betingelserne henholdsvis f " (x) ≥ 0 og f " (x) ≤ 0.

Definition 1

Stationære punkter- det er de punkter, der vender den afledte til nul.

Kritiske punkter- disse er interne punkter fra definitionsdomænet, hvor den afledede af funktionen er lig med nul eller ikke eksisterer.

Når du træffer en beslutning, skal følgende bemærkninger tages i betragtning:

• for eksisterende intervaller med stigende og faldende uligheder af formen f " (x) > 0, er kritiske punkter ikke inkluderet i løsningen;
• punkter, hvor funktionen er defineret uden en endelig afledt, skal inkluderes i intervallerne for stigende og faldende (f.eks. y = x 3, hvor punktet x = 0 gør funktionen defineret, den afledede har værdien uendeligt ved denne punkt, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 er inkluderet i det stigende interval);
• For at undgå uenigheder anbefales det at bruge matematisk litteratur anbefalet af Undervisningsministeriet.

Inkludering af kritiske punkter i intervaller med stigende og faldende, hvis de opfylder funktionens definitionsdomæne.

Definition 2

Til at bestemme intervallerne for stigning og fald af en funktion, er det nødvendigt at finde:

• afledte;
• kritiske punkter;
• opdel definitionsdomænet i intervaller ved hjælp af kritiske punkter;
• bestem fortegnet for den afledede på hvert af intervallerne, hvor + er en stigning og - er et fald.

Eksempel 3

Find den afledede på definitionsdomænet f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Løsning

For at løse skal du:

• Find stationære punkter, dette eksempel har x = 0;
• find nullerne i nævneren, tager eksemplet værdien nul ved x = ± 1 2.

Vi placerer punkter på talaksen for at bestemme den afledede på hvert interval. For at gøre dette er det nok at tage ethvert punkt fra intervallet og udføre en beregning. Hvis resultatet er positivt, viser vi + på grafen, hvilket betyder, at funktionen er stigende, og - betyder, at den er faldende.

For eksempel f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, hvilket betyder, at det første interval til venstre har et +-tegn. Overvej på tallinjen.

Svar:

• funktionen øges med intervallet - ∞; - 1 2 og (- 1 2 ; 0 ];
• der er et fald i intervallet [0; 12) og 12; + ∞ .

I diagrammet, ved hjælp af + og -, er positiviteten og negativiteten af ​​funktionen afbildet, og pilene angiver fald og stigning.

Ekstrempunkter for en funktion er punkter, hvor funktionen er defineret, og hvorigennem den afledede skifter fortegn.

Eksempel 4

Hvis vi betragter et eksempel, hvor x = 0, så er værdien af ​​funktionen i det lig med f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Når fortegnet for den afledede ændres fra + til - og går gennem punktet x = 0, så betragtes punktet med koordinaterne (0; 0) som maksimumpunktet. Når tegnet skifter fra - til +, opnår vi et minimumspunkt.

Konveksitet og konkavitet bestemmes ved at løse uligheder på formen f "" (x) ≥ 0 og f "" (x) ≤ 0. Mindre almindeligt brugt er navnet konveksitet ned i stedet for konveksitet og konveksitet opad i stedet for konveksitet.

Definition 3

Til at bestemme intervallerne for konkavitet og konveksitet nødvendig:

• find den anden afledede;
• find nullerne for den anden afledede funktion;
• opdel definitionsområdet i intervaller med de fremkomne punkter;
• bestemme tegnet for intervallet.

Eksempel 5

Find den anden afledede fra definitionsdomænet.

Løsning

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Vi finder nulpunkterne i tælleren og nævneren, hvor vi i vores eksempel har, at nulpunkterne i nævneren x = ± 1 2

Nu skal du plotte punkterne på tallinjen og bestemme tegnet for den anden afledede fra hvert interval. Det forstår vi

Svar:

• funktionen er konveks fra intervallet - 1 2 ; 12;
• funktionen er konkav fra intervallerne - ∞; - 12 og 12; + ∞ .

Definition 4

Bøjningspunkt– dette er et punkt på formen x 0 ; f (x 0). Når den har en tangent til funktionens graf, så skifter funktionen fortegn til det modsatte, når den passerer gennem x 0.

Med andre ord er dette et punkt, hvorigennem den anden afledede passerer og skifter fortegn, og i selve punkterne er den lig med nul eller eksisterer ikke. Alle punkter anses for at være funktionens domæne.

I eksemplet var det tydeligt, at der ikke er nogen bøjningspunkter, da den anden afledede ændrer fortegn, mens den passerer gennem punkterne x = ± 1 2. De er til gengæld ikke omfattet af definitionens anvendelsesområde.

Find vandrette og skrå asymptoter

Når du definerer en funktion ved uendelig, skal du kigge efter vandrette og skrå asymptoter.

Definition 5

Skrå asymptoter er afbildet ved hjælp af rette linjer givet af ligningen y = k x + b, hvor k = lim x → ∞ f (x) x og b = lim x → ∞ f (x) - k x.

For k = 0 og b ikke lig med uendelig, finder vi, at den skrå asymptote bliver vandret.

Med andre ord anses asymptoter for at være linjer, som grafen for en funktion nærmer sig uendeligt. Dette letter hurtig konstruktion af en funktionsgraf.

Hvis der ikke er nogen asymptoter, men funktionen er defineret ved begge uendeligheder, er det nødvendigt at beregne grænsen for funktionen ved disse uendeligheder for at forstå, hvordan grafen for funktionen vil opføre sig.

Eksempel 6

Lad os betragte det som et eksempel

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

er en vandret asymptote. Efter at have undersøgt funktionen, kan du begynde at konstruere den.

Beregning af værdien af ​​en funktion ved mellemliggende punkter

For at gøre grafen mere nøjagtig, anbefales det at finde flere funktionsværdier på mellemliggende punkter.

Eksempel 7

Fra det eksempel, vi betragtede, er det nødvendigt at finde værdierne af funktionen i punkterne x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Da funktionen er lige, får vi, at værdierne falder sammen med værdierne på disse punkter, det vil sige, vi får x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Lad os skrive og løse:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

For at bestemme maksima og minima for funktionen, bøjningspunkter og mellempunkter er det nødvendigt at konstruere asymptoter. For praktisk betegnelse registreres intervaller for stigende, faldende, konveksitet og konkavitet. Lad os se på billedet nedenfor.

Det er nødvendigt at tegne graflinjer gennem de markerede punkter, som giver dig mulighed for at nærme dig asymptoterne ved at følge pilene.

Dette afslutter den fulde udforskning af funktionen. Der er tilfælde af at konstruere nogle elementære funktioner, som geometriske transformationer bruges til.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse E-mail etc.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, retssager og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra regerings kontorer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

Foretag en komplet undersøgelse og tegn funktionen

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Funktionens omfang. Da funktionen er en brøk, skal vi finde nullerne i nævneren.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Vi udelukker det eneste punkt x=1x=1 fra definitionsdomænet for funktionen og får:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Lad os studere opførselen af ​​funktionen i nærheden af ​​diskontinuitetspunktet. Lad os finde ensidige grænser:

Da grænserne er lig med uendelig, er punktet x=1x=1 en diskontinuitet af den anden slags, den rette linje x=1x=1 er en lodret asymptote.

3) Lad os bestemme skæringspunkterne for funktionsgrafen med koordinatakserne.

Lad os finde skæringspunkterne med ordinataksen OyOy, som vi sætter lighedstegn mellem x=0x=0 for:

Således har skæringspunktet med OyOy-aksen koordinater (0;8)(0;8).

Lad os finde skæringspunkterne med abscisseaksen OxOx, som vi sætter y=0y=0 for:

Ligningen har ingen rødder, så der er ingen skæringspunkter med OxOx-aksen.

Bemærk, at x2+8>0x2+8>0 for enhver xx. Derfor, for x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) tager funktionen y>0y>0( positive værdier, grafen er over x-aksen), for x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) funktionen y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funktionen er hverken lige eller ulige fordi:

5) Lad os undersøge funktionen for periodicitet. Funktionen er ikke periodisk, da den er en rationel brøkfunktion.

6) Lad os undersøge funktionen for ekstrema og monotoni. For at gøre dette finder vi den første afledede af funktionen:

Lad os sidestille den første afledede til nul og finde stationære punkter (hvor y′=0y′=0):

Vi fik tre kritiske punkter: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Lad os opdele hele definitionsdomænet af funktionen i intervaller med disse punkter og bestemme fortegnene for den afledede i hvert interval:

For x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) er den afledte y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

For x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) den afledte y′>0y′>0, øges funktionen med disse intervaller.

I dette tilfælde er x=−2x=−2 et lokalt minimumspunkt (funktionen falder og stiger derefter), x=4x=4 er et lokalt maksimumspunkt (funktionen stiger og falder derefter).

Lad os finde værdierne af funktionen på disse punkter:

Således er minimumspunktet (−2;4)(−2;4), maksimumpunktet er (4;−8)(4;−8).

7) Lad os undersøge funktionen for knæk og konveksitet. Lad os finde den anden afledede af funktionen:

Lad os sidestille den anden afledede med nul:

Den resulterende ligning har ingen rødder, så der er ingen bøjningspunkter. Desuden, når x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 er opfyldt, dvs. funktionen er konkav, når x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) er opfyldt af y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Lad os undersøge adfærden af ​​funktionen ved uendelig, det vil sige ved.

Da grænserne er uendelige, er der ingen vandrette asymptoter.

Lad os prøve at bestemme skrå asymptoter af formen y=kx+by=kx+b. Vi beregner værdierne af k, bk, b ved hjælp af kendte formler:

Vi fandt ud af, at funktionen har en skrå asymptote y=−x−1y=−x−1.

9) Yderligere punkter. Lad os beregne værdien af ​​funktionen på nogle andre punkter for mere præcist at konstruere grafen.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Ud fra de opnåede data vil vi konstruere en graf, supplere den med asymptoter x=1x=1 (blå), y=−x−1y=−x−1 (grøn) og markere de karakteristiske punkter (lilla skæring med ordinaten) akse, orange ekstrema, sorte ekstra punkter):

Opgave 4: Geometriske, Økonomiske problemer (jeg aner ikke hvad, her er et omtrentligt udvalg af problemer med løsninger og formler)

Eksempel 3.23. -en

Løsning. x Og y y
y = a - 2 x a/4 = a/2. Da x = a/4 er det eneste kritiske punkt, lad os kontrollere, om fortegnet for den afledede ændres, når vi passerer gennem dette punkt. For xa/4 S " > 0, og for x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Eksempel 3.24.

Løsning.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Eksempel 3.22. Find yderpunkterne for funktionen f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Løsning. Da f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), så er de kritiske punkter for funktionen x 1 = 2 og x 2 = 3. Ekstreme kan kun være kl. Så som når den passerer gennem punktet x 1 = 2, ændrer den afledede sit fortegn fra plus til minus, så har funktionen på dette tidspunkt et maksimum. Når den går gennem punktet x 2 = 3, ændrer den afledede sit fortegn fra minus til plus, derfor har funktionen i punktet x 2 = 3 et minimum. Efter at have beregnet funktionsværdierne ved punkterne
x 1 = 2 og x 2 = 3, finder vi yderpunkterne for funktionen: maksimum f(2) = 14 og minimum f(3) = 13.

Eksempel 3.23. Det er nødvendigt at bygge et rektangulært område nær stenmuren, så det er indhegnet på tre sider med trådnet, og den fjerde side støder op til muren. For dette er der -en lineære meter mesh. Ved hvilket billedformat vil webstedet have det største areal?

Løsning. Lad os betegne siderne af platformen med x Og y. Området på webstedet er S = xy. Lade y- dette er længden af ​​den side, der støder op til væggen. Så skal ligheden 2x + y = a efter betingelse holde. Derfor y = a - 2x og S = x(a - 2x), hvor
0 ≤ x ≤ a/2 (pudens længde og bredde kan ikke være negativ). S " = a - 4x, a - 4x = 0 ved x = a/4, hvorfra
y = a - 2 x a/4 = a/2. Da x = a/4 er det eneste kritiske punkt, lad os kontrollere, om fortegnet for den afledede ændres, når vi passerer gennem dette punkt. For xa/4 S " > 0, og for x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Eksempel 3.24. Det er nødvendigt at fremstille en lukket cylindrisk tank med en kapacitet på V=16p ≈ 50 m 3 . Hvad skal tankens dimensioner (radius R og højde H) være, så den mindste mængde materiale bruges til fremstillingen?

Løsning. Det samlede overfladeareal af cylinderen er S = 2pR(R+H). Vi kender volumenet af cylinderen V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Dette betyder S(R) = 2p(R2+16/R). Vi finder den afledede af denne funktion:
S "(R) = 2p(2R-16/R2) = 4p (R-8/R2). S" (R) = 0 for R3 = 8, derfor,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Relateret information.