Jeg håber, at efter at have studeret denne artikel, vil du lære at finde rødderne til det komplette andengradsligning.

Ved at bruge diskriminanten løses kun komplette andengradsligninger, for at løse ufuldstændige andengradsligninger bruges andre metoder, som du finder i artiklen "Løsning af ufuldstændige andengradsligninger."

Hvilke andengradsligninger kaldes komplette? Det her ligninger på formen ax 2 + b x + c = 0, hvor koefficienterne a, b og c ikke er lig med nul. Så for at løse en komplet andengradsligning skal vi beregne diskriminanten D.

D = b 2 – 4ac.

Afhængig af værdien af ​​diskriminanten vil vi skrive svaret ned.

Hvis diskriminanten er et negativt tal (D< 0),то корней нет.

Hvis diskriminanten er nul, så er x = (-b)/2a. Når diskriminanten positivt tal(D > 0),

derefter x 1 = (-b - √D)/2a, og x 2 = (-b + √D)/2a.

For eksempel. Løs ligningen x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Svar: 2.

Løs ligning 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Svar: ingen rødder.

Løs ligning 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Svar: – 3,5; 1.

Så lad os forestille os løsningen af ​​komplette andengradsligninger ved hjælp af diagrammet i figur 1.

Ved at bruge disse formler kan du løse enhver komplet andengradsligning. Du skal bare passe på ligningen blev skrevet som et polynomium standard visning

EN x 2 + bx + c, ellers kan du lave en fejl. For eksempel, når du skriver ligningen x + 3 + 2x 2 = 0, kan du fejlagtigt beslutte, at

a = 1, b = 3 og c = 2. Derefter

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 og så har ligningen to rødder. Og dette er ikke sandt. (Se løsning til eksempel 2 ovenfor).

Derfor, hvis ligningen ikke er skrevet som et polynomium af standardformen, skal først den komplette andengradsligning skrives som et polynomium af standardformen (monomialet med den største eksponent skal komme først, dvs. EN x 2 , derefter med mindre – bx og så et gratis medlem Med.

Når du løser den reducerede andengradsligning og en andengradsligning med en lige koefficient i andet led, kan du bruge andre formler. Lad os stifte bekendtskab med disse formler. Hvis det andet led i en komplet andengradsligning har en lige koefficient (b = 2k), så kan du løse ligningen ved at bruge formlerne vist i diagrammet i figur 2.

En komplet andengradsligning kaldes reduceret, hvis koefficienten kl x 2 er lig med en, og ligningen har formen x 2 + px + q = 0. En sådan ligning kan gives for løsning, eller den kan opnås ved at dividere alle koefficienter i ligningen med koefficienten EN, stående kl x 2 .

Figur 3 viser et diagram til løsning af det reducerede kvadrat
ligninger. Lad os se på et eksempel på anvendelsen af ​​formlerne diskuteret i denne artikel.

Eksempel. Løs ligningen

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Lad os løse denne ligning ved hjælp af formlerne vist i diagrammet i figur 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Svar: –1 – √3; –1 + √3

Du kan bemærke, at koefficienten for x i denne ligning er et lige tal, det vil sige b = 6 eller b = 2k, hvorfra k = 3. Lad os så prøve at løse ligningen ved hjælp af formlerne vist i diagrammet i figur D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 - √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Svar: –1 – √3; –1 + √3. Når vi bemærker, at alle koefficienterne i denne andengradsligning er delelige med 3 og udfører divisionen, får vi den reducerede andengradsligning x 2 + 2x – 2 = 0 Løs denne ligning ved hjælp af formlerne for den reducerede andengradsligning
ligninger figur 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 - √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Svar: –1 – √3; –1 + √3.

Som vi ser, når vi løser denne ligning ved forskellige formler vi fik samme svar. Derfor, efter at have grundigt mestret formlerne vist i diagrammet i figur 1, vil du altid være i stand til at løse enhver komplet andengradsligning.

hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.

For eksempel, for trinomialet \(3x^2+2x-7\), vil diskriminanten være lig med \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Og for trinomialet \(x^2-5x+11\), vil det være lig med \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminanten er betegnet med bogstavet \(D\) og bruges ofte til løsning. Også ved værdien af ​​diskriminanten kan du forstå, hvordan grafen omtrent ser ud (se nedenfor).

Diskriminant og ligningens rødder

Diskriminantværdien viser antallet af andengradsligninger:
- hvis \(D\) er positiv, vil ligningen have to rødder;
- hvis \(D\) er lig nul – er der kun én rod;
- hvis \(D\) er negativ, er der ingen rødder.

Dette behøver ikke at blive undervist, det er ikke svært at komme til en sådan konklusion, blot ved at vide, at fra diskriminanten (det vil sige \(\sqrt(D)\) er inkluderet i formlen til beregning af ligningens rødder : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) og \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\). Lad os se på hvert enkelt tilfælde mere detaljeret.

Hvis diskriminanten er positiv

I dette tilfælde er roden af ​​det et positivt tal, hvilket betyder, at \(x_(1)\) og \(x_(2)\) vil have forskellige betydninger, fordi i den første formel \(\sqrt(D)\ ) tilføjes , og i den anden trækkes det fra. Og vi har to forskellige rødder.

Eksempel : Find rødderne af ligningen \(x^2+2x-3=0\)
Løsning :

Svar : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Hvis diskriminanten er nul

Hvor mange rødder vil der være, hvis diskriminanten er nul? Lad os ræsonnere.

Rodformlerne ser sådan ud: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) og \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Og hvis diskriminanten er nul, så er dens rod også nul. Så viser det sig:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Det vil sige, at værdierne af ligningens rødder vil være de samme, fordi tilføjelse eller subtrahering af nul ikke ændrer noget.

Eksempel : Find rødderne af ligningen \(x^2-4x+4=0\)
Løsning :

\(x^2-4x+4=0\)		Vi skriver koefficienterne ud:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Vi beregner diskriminanten ved hjælp af formlen \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		At finde rødderne til ligningen
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Har to identiske rødder, så det nytter ikke at skrive dem hver for sig - vi skriver dem som én.

Svar : \(x=2\)

Diskriminanten begynder ligesom andengradsligninger at blive studeret i et algebraforløb i 8. klasse. Du kan løse en andengradsligning gennem en diskriminant og bruge Vietas sætning. Metoden til at studere andengradsligninger, såvel som diskriminerende formler, læres temmelig forgæves til skolebørn, ligesom mange ting i virkelig uddannelse. Derfor passerer de skoleår, uddannelse i klassetrin 9-11 erstatter " videregående uddannelse"og alle kigger igen - "Hvordan løses en andengradsligning?", "Hvordan finder man rødderne til ligningen?", "Hvordan finder man diskriminanten?" Og...

Diskriminerende formel

Diskriminanten D i andengradsligningen a*x^2+bx+c=0 er lig med D=b^2–4*a*c.
Rødderne (løsningerne) af en andengradsligning afhænger af fortegnet for diskriminanten (D):
D>0 – ligningen har 2 forskellige reelle rødder;
D=0 - ligningen har 1 rod (2 matchende rødder):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formlen til beregning af diskriminant er ret enkel, så mange websteder tilbyder en online diskriminant-beregner. Vi har ikke fundet ud af denne slags scripts endnu, så hvis nogen ved hvordan man implementerer dette, så skriv til os på e-mail Denne e-mailadresse bliver beskyttet mod spambots. Du skal have JavaScript aktiveret for at se det. .

Generel formel til at finde rødderne til en andengradsligning:

Vi finder ligningens rødder ved hjælp af formlen
Hvis koefficienten for en kvadreret variabel er parret, så er det tilrådeligt ikke at beregne diskriminanten, men dens fjerde del
I sådanne tilfælde findes ligningens rødder ved hjælp af formlen

Den anden måde at finde rødder på er Vietas sætning.

Sætningen er formuleret ikke kun til andengradsligninger, men også for polynomier. Du kan læse dette på Wikipedia eller andre elektroniske ressourcer. Men for at forenkle, lad os overveje den del, der vedrører ovenstående andengradsligninger, det vil sige ligninger af formen (a=1)
Essensen af ​​Vietas formler er, at summen af ​​ligningens rødder er lig med koefficienten for variablen taget med det modsatte fortegn. Produktet af ligningens rødder er lig med det frie led. Vietas sætning kan skrives i formler.
Udledningen af ​​Vietas formel er ret enkel. Lad os skrive andengradsligningen gennem simple faktorer
Som du kan se, er alt genialt enkelt på samme tid. Det er effektivt at bruge Vietas formel, når forskellen i røddernes modul eller forskellen i røddernes modul er 1, 2. For eksempel har følgende ligninger ifølge Vietas sætning rødder




Frem til ligning 4 skulle analysen se sådan ud. Produktet af ligningens rødder er 6, derfor kan rødderne være værdierne (1, 6) og (2, 3) eller par med modsatte fortegn. Summen af ​​rødderne er 7 (koefficienten af ​​variablen med modsat fortegn). Herfra konkluderer vi, at løsningerne til andengradsligningen er x=2; x=3.
Det er nemmere at vælge ligningens rødder blandt divisorerne for det frie led, justere deres fortegn for at opfylde Vieta-formlerne. Umiddelbart virker dette svært at gøre, men med øvelse på en række andengradsligninger, vil denne teknik vise sig at være mere effektiv end at beregne diskriminanten og finde rødderne til andengradsligningen på klassisk vis.
Som du kan se, er skoleteorien om at studere diskriminanten og metoder til at finde løsninger på ligningen blottet for praktisk betydning - "Hvorfor har skolebørn brug for en andengradsligning?", "Hvad er den fysiske betydning af diskriminanten?"

Lad os prøve at finde ud af det Hvad beskriver diskriminanten?

I algebrakurset studerer de funktioner, skemaer til at studere funktioner og konstruere en graf over funktioner. Af alle funktioner indtager parablen en vigtig plads, hvis ligning kan skrives i formen
Så den fysiske betydning af den kvadratiske ligning er nulpunkterne i parablen, det vil sige skæringspunkterne for grafen for funktionen med abscisseaksen Ox
Jeg beder dig huske egenskaberne af parabler, som er beskrevet nedenfor. Tiden kommer til at tage eksamener, prøver eller optagelsesprøver, og du vil være taknemmelig for referencematerialet. Tegnet for den kvadrerede variabel svarer til, om grenene af parablen på grafen vil gå op (a>0),

eller en parabel med grene nedad (a<0) .

Parablens toppunkt ligger midt mellem rødderne

Fysisk betydning af diskriminanten:

Hvis diskriminanten er større end nul (D>0), har parablen to skæringspunkter med Ox-aksen.
Hvis diskriminanten er nul (D=0), så rører parablen ved toppunktet x-aksen.
Og det sidste tilfælde, når diskriminanten er mindre end nul (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Ufuldstændige andengradsligninger

Kvadratiske ligninger. Diskriminerende. Løsning, eksempler.

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

Typer af andengradsligninger

Hvad er en andengradsligning? Hvordan ser det ud? På sigt andengradsligning nøgleordet er "firkant". Det betyder, at i ligningen Nødvendigvis der skal være et x-kvadrat. Ud over det kan ligningen (eller måske ikke!) kun indeholde X (til første potens) og kun et tal (gratis medlem). Og der bør ikke være X'er til en potens større end to.

I matematiske termer er en andengradsligning en ligning af formen:

Her a, b og c- nogle tal. b og c- absolut alle, men EN– alt andet end nul. For eksempel:

Her EN =1; b = 3; c = -4

Her EN =2; b = -0,5; c = 2,2

Her EN =-3; b = 6; c = -18

Nå, du forstår...

I disse andengradsligninger til venstre er der komplet sæt medlemmer. X i anden kvadrat med en koefficient EN, x til første potens med koefficient b Og gratis medlem s.

Sådanne andengradsligninger kaldes fuld.

Og hvis b= 0, hvad får vi? Vi har X vil gå tabt til første potens. Dette sker, når det ganges med nul.) Det viser sig for eksempel:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2 +4x=0

Og så videre. Og hvis begge koefficienter b Og c er lig med nul, så er det endnu enklere:

2x 2 =0,

-0,3x2 =0

Sådanne ligninger, hvor der mangler noget, kaldes ufuldstændige andengradsligninger. Hvilket er ret logisk.) Bemærk venligst, at x i kvadrat er til stede i alle ligninger.

Forresten, hvorfor EN kan ikke være lig med nul? Og du erstatter i stedet EN nul.) Vores X-kvadrat vil forsvinde! Ligningen bliver lineær. Og løsningen er en helt anden...

Det er alle hovedtyperne af andengradsligninger. Fuldstændig og ufuldstændig.

Løsning af andengradsligninger.

Løsning af komplette andengradsligninger.

Kvadratiske ligninger er nemme at løse. Efter formler og klare, enkle regler. På det første trin er det nødvendigt at bringe den givne ligning til en standardform, dvs. til formularen:

Hvis ligningen allerede er givet til dig i denne form, behøver du ikke at gøre den første fase.) Det vigtigste er at bestemme alle koefficienterne korrekt, EN, b Og c.

Formlen til at finde rødderne til en andengradsligning ser sådan ud:

Udtrykket under rodtegnet kaldes diskriminerende. Men mere om ham nedenfor. Som du kan se, bruger vi for at finde X kun a, b og c. De der. koefficienter fra en andengradsligning. Du skal bare omhyggeligt erstatte værdierne a, b og c Vi regner ind i denne formel. Lad os erstatte med dine egne tegn! For eksempel i ligningen:

EN =1; b = 3; c= -4. Her skriver vi det ned:

Eksemplet er næsten løst:

Dette er svaret.

Alt er meget enkelt. Og hvad, tror du, det er umuligt at lave en fejl? Nå, ja, hvordan...

De mest almindelige fejl er forveksling med tegnværdier a, b og c. Eller rettere, ikke med deres tegn (hvor skal man blive forvirret?), men med substitution af negative værdier i formlen til beregning af rødderne. Det, der hjælper her, er en detaljeret registrering af formlen med specifikke tal. Hvis der er problemer med beregningerne, gøre det!

Antag, at vi skal løse følgende eksempel:

Her -en = -6; b = -5; c = -1

Lad os sige, at du ved, at du sjældent får svar første gang.

Nå, vær ikke doven. Det vil tage omkring 30 sekunder at skrive en ekstra linje og antallet af fejl vil falde kraftigt. Så vi skriver i detaljer med alle parenteser og tegn:

Det virker utroligt svært at skrive så omhyggeligt ud. Men det ser kun sådan ud. Giv det en chance. Nå, eller vælg. Hvad er bedre, hurtigt eller rigtigt? Desuden vil jeg gøre dig glad. Efter et stykke tid vil der ikke være behov for at skrive alt så omhyggeligt ned. Det vil løse sig af sig selv. Især hvis du bruger praktiske teknikker, som er beskrevet nedenfor. Dette onde eksempel med en masse minusser kan løses nemt og uden fejl!

Men ofte ser andengradsligninger lidt anderledes ud. For eksempel sådan her:

Genkendte du det?) Ja! Det her ufuldstændige andengradsligninger.

Løsning af ufuldstændige andengradsligninger.

De kan også løses ved hjælp af en generel formel. Du skal bare forstå rigtigt, hvad de er lig med her. a, b og c.

Har du fundet ud af det? I det første eksempel a = 1; b = -4; EN c? Det er der slet ikke! Nå ja, det er rigtigt. I matematik betyder det det c = 0 ! Det er alt. Erstat nul i formlen i stedet for c, og vi vil lykkes. Det samme med det andet eksempel. Bare vi ikke har nul her Med, A b !

Men ufuldstændige andengradsligninger kan løses meget enklere. Uden formler. Lad os overveje den første ufuldstændige ligning. Hvad kan du gøre i venstre side? Du kan tage X ud af parentes! Lad os tage den ud.

Og hvad fra dette? Og det faktum, at produktet er lig med nul, hvis og kun hvis nogen af ​​faktorerne er lig med nul! Tror du mig ikke? Okay, så kom med to ikke-nul tal, som, når de ganges, vil give nul!
Virker ikke? Det er det...
Derfor kan vi roligt skrive: x 1 = 0, x 2 = 4.

Alle. Disse vil være rødderne til vores ligning. Begge er velegnede. Når du substituerer nogen af ​​dem i den oprindelige ligning, får vi den korrekte identitet 0 = 0. Som du kan se, er løsningen meget enklere end at bruge den generelle formel. Lad mig i øvrigt bemærke, hvilket X der bliver det første og hvilket der bliver det andet - absolut ligegyldigt. Det er praktisk at skrive i rækkefølge, x 1- hvad er mindre og x 2- det der er større.

Den anden ligning kan også løses enkelt. Flyt 9 til højre. Vi får:

Det eneste, der er tilbage, er at udtrække roden fra 9, og det er det. Det vil vise sig:

Også to rødder . x 1 = -3, x 2 = 3.

Sådan løses alle ufuldstændige andengradsligninger. Enten ved at placere X uden for parenteser, eller ved blot at flytte tallet til højre og derefter trække roden ud.
Det er ekstremt svært at forveksle disse teknikker. Simpelthen fordi du i det første tilfælde bliver nødt til at udtrække roden af ​​X, hvilket på en eller anden måde er uforståeligt, og i det andet tilfælde er der ikke noget at tage ud af parentes...

Diskriminerende. Diskriminerende formel.

Magisk ord diskriminerende ! Sjældent har en gymnasieelev ikke hørt dette ord! Udtrykket "vi løser gennem en diskriminant" inspirerer til tillid og tryghed. For der er ingen grund til at forvente tricks fra diskriminanten! Den er enkel og problemfri at bruge.) Jeg minder dig om den mest generelle løsningsformel nogen andengradsligninger:

Udtrykket under rodtegnet kaldes en diskriminant. Typisk er diskriminanten angivet med bogstavet D. Diskriminerende formel:

D = b 2 - 4ac

Og hvad er så bemærkelsesværdigt ved dette udtryk? Hvorfor fortjente den et særligt navn? Hvad betydningen af ​​diskriminanten? Trods alt -b, eller 2a i denne formel kalder de det ikke specifikt noget ... Bogstaver og bogstaver.

Her er sagen. Når man løser en andengradsligning ved hjælp af denne formel, er det muligt kun tre tilfælde.

1. Diskriminanten er positiv. Det betyder, at roden kan udvindes fra den. Om roden er udvundet godt eller dårligt er et andet spørgsmål. Det vigtige er, hvad der i princippet udvindes. Så har din andengradsligning to rødder. To forskellige løsninger.

2. Diskriminanten er nul. Så har du én løsning. Da tilføjelse eller subtrahering af nul i tælleren ikke ændrer noget. Strengt taget er dette ikke én rod, men to ens. Men i en forenklet version er det sædvanligt at tale om én løsning.

3. Diskriminanten er negativ. Kvadratroden af ​​et negativt tal kan ikke tages. Nå okay. Det betyder, at der ikke er nogen løsninger.

For at være ærlig, når man blot løser andengradsligninger, er begrebet en diskriminant ikke rigtig nødvendigt. Vi erstatter værdierne af koefficienterne i formlen og tæller. Alt sker der af sig selv, to rødder, én og ingen. Dog når man løser mere komplekse opgaver, uden viden diskriminantens betydning og formel ikke nok. Især i ligninger med parametre. Sådanne ligninger er kunstflyvning for statseksamen og Unified State Examination!)

Så, hvordan man løser andengradsligninger gennem den diskriminant, du huskede. Eller du lærte, hvilket heller ikke er dårligt.) Du ved, hvordan man korrekt bestemmer a, b og c. Ved du hvordan? opmærksomt erstatte dem i rodformlen og opmærksomt tælle resultatet. Du forstår, at nøgleordet her er opmærksomt?

Læg nu mærke til praktiske teknikker, der dramatisk reducerer antallet af fejl. De samme, der skyldes uopmærksomhed... Som det senere bliver smertefuldt og stødende for...

Første aftale . Vær ikke doven, før du løser en andengradsligning og bringer den til standardform. Hvad betyder det?
Lad os sige, at efter alle transformationerne får du følgende ligning:

Skynd dig ikke at skrive rodformlen! Du vil næsten helt sikkert få oddsene blandet sammen a, b og c. Konstruer eksemplet rigtigt. Først X i andenplads, derefter uden kvadrat, derefter frileddet. Sådan her:

Og igen, skynd dig ikke! Et minus foran et X-kvadret kan virkelig forstyrre dig. Det er nemt at glemme... Slip af med minus. Hvordan? Ja, som undervist i det forrige emne! Vi skal gange hele ligningen med -1. Vi får:

Men nu kan du roligt skrive formlen for rødderne ned, beregne diskriminanten og afslutte eksemplet. Bestem selv. Du skulle nu have rødderne 2 og -1.

Reception nummer to. Tjek rødderne! Ifølge Vietas sætning. Vær ikke bange, jeg vil forklare alt! Tjekker sidste ting ligningen. De der. den vi brugte til at skrive rodformlen ned. Hvis (som i dette eksempel) koefficienten a = 1, er det nemt at tjekke rødderne. Det er nok at formere dem. Resultatet skulle være et gratis medlem, dvs. i vores tilfælde -2. Bemærk venligst, ikke 2, men -2! Gratis medlem med dit skilt . Hvis det ikke lykkes, betyder det, at de allerede har skruet sammen et sted. Se efter fejlen.

Hvis det virker, skal du tilføje rødderne. Sidste og sidste kontrol. Koefficienten skal være b Med modsat velkendt. I vores tilfælde -1+2 = +1. En koefficient b, som er før X, er lig med -1. Så alt er korrekt!
Det er ærgerligt, at dette kun er så enkelt for eksempler, hvor x i anden er ren, med en koefficient a = 1. Men tjek i det mindste sådanne ligninger ind! Der bliver færre og færre fejl.

Modtagelse tredje . Hvis din ligning har brøkkoefficienter, skal du slippe af med brøkerne! Multiplicer ligningen med en fællesnævner som beskrevet i lektionen "Hvordan løses ligninger? Identitetstransformationer." Når man arbejder med brøker, bliver der ved med at snige sig ind af en eller anden grund...

Forresten lovede jeg at forenkle det onde eksempel med en masse minusser. Vær venlig! Her er han.

For ikke at blive forvirret af minusser gange vi ligningen med -1. Vi får:

Det er alt! At løse er en fornøjelse!

Så lad os opsummere emnet.

Praktiske tips:

1. Før vi løser, bringer vi andengradsligningen til standardform og bygger den Højre.

2. Hvis der er en negativ koefficient foran X i kvadrat, eliminerer vi den ved at gange hele ligningen med -1.

3. Hvis koefficienterne er brøkdele, eliminerer vi brøkerne ved at gange hele ligningen med den tilsvarende faktor.

4. Hvis x i anden er ren, dens koefficient er lig med én, kan løsningen let verificeres ved hjælp af Vietas sætning. Gør det!

Nu kan vi bestemme.)

Løs ligninger:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Svar (i uorden):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - et hvilket som helst tal

x 1 = -3
x 2 = 3

ingen løsninger

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Passer alt? Store! Kvadratiske ligninger er ikke din hovedpine. De første tre virkede, men resten gjorde det ikke? Så er problemet ikke med andengradsligninger. Problemet er i identiske transformationer af ligninger. Tag et kig på linket, det er nyttigt.

Går det ikke helt? Eller går det slet ikke? Så vil Sektion 555 hjælpe dig. Alle disse eksempler er opdelt der. Vist vigtigste fejl i løsningen. Vi taler selvfølgelig også om brugen af ​​identiske transformationer til løsning af forskellige ligninger. Hjælper meget!

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.