Tilføjelse af tal med samme rødder. Tilbage til skolen. Tilføjelse af rødder

I matematik har enhver handling sit modsatte par - i bund og grund er dette en af ​​manifestationerne af den hegelianske lov om dialektik: "modsætningernes enhed og kamp." En af handlingerne i et sådant "par" er rettet mod at øge antallet, og den anden, det modsatte, er rettet mod at mindske det. For eksempel er det modsatte af addition subtraktion, og division er det modsatte af multiplikation. Eksponentiering har også sit eget dialektiske modsætningspar. Vi taler om at udvinde roden.

At udtrække roden af ​​sådan og en potens fra et tal betyder at beregne, hvilket tal der skal hæves til den passende potens for at ende med et givet tal. De to grader har deres egne separate navne: den anden grad kaldes "firkantet", og den tredje kaldes "terning". Derfor er det rart at kalde rødderne af disse magter kvadrat- og kubikrødder. Handlinger med terningrødder er et emne for en separat diskussion, men lad os nu tale om tilføjelse kvadratrødder.

Lad os starte med, at det i nogle tilfælde er nemmere først at udtrække kvadratrødder og derefter tilføje resultaterne. Antag, at vi skal finde værdien af ​​følgende udtryk:

Det er jo slet ikke svært at beregne, at kvadratroden af ​​16 er 4, og af 121 er 11. Derfor

√16+√121=4+11=15

Dette er dog det enkleste tilfælde – her vi taler om om perfekte firkanter, dvs. om de tal, der opnås ved at kvadrere heltal. Men dette sker ikke altid. For eksempel er tallet 24 ikke et perfekt kvadrat (der er intet heltal, der, når det hæves til anden potens, vil resultere i 24). Det samme gælder for et tal som 54... Hvad hvis vi skal tilføje kvadratrødderne af disse tal?

I dette tilfælde får vi i svaret ikke et tal, men et andet udtryk. Det maksimale, vi kan gøre her, er at forenkle det oprindelige udtryk så meget som muligt. For at gøre dette skal du fjerne faktorerne under kvadratroden. Lad os se, hvordan dette gøres ved at bruge tallene nævnt ovenfor som et eksempel:

Lad os til at begynde med faktor 24 ind i faktorer, så en af ​​dem nemt kan udtrækkes som en kvadratrod (dvs. så det er et perfekt kvadrat). Der er sådan et tal - det er 4:

Lad os nu gøre det samme med 54. I sin sammensætning vil dette tal være 9:

Vi får således følgende:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Lad os nu udtrække rødderne fra det, vi kan udvinde dem fra: 2*√6+3*√6

Der er en fælles faktor her, som vi kan tage ud af parentes:

(2+3)* √6=5*√6

Dette vil være resultatet af tilføjelse - intet mere kan udtrækkes her.

Sandt nok kan du ty til at bruge en lommeregner - men resultatet vil være omtrentligt og med et stort antal decimaler:

√6=2,449489742783178

Efterhånden runder vi det op, får vi cirka 2,5. Hvis vi stadig gerne vil bringe løsningen til det foregående eksempel til dens logiske konklusion, kan vi gange dette resultat med 5 - og vi får 12,5. Det er umuligt at opnå et mere nøjagtigt resultat med sådanne indledende data.

Emnet om kvadratrødder er obligatorisk i skolepensum matematik kursus. Du kan ikke undvære dem, når du løser andengradsligninger. Og senere bliver det nødvendigt ikke kun at udtrække rødderne, men også at udføre andre handlinger med dem. Blandt dem er ret komplekse: eksponentiering, multiplikation og division. Men der er også ret simple: subtraktion og addition af rødder. Sådan virker de i øvrigt kun ved første øjekast. At udføre dem uden fejl er ikke altid let for en, der lige er begyndt at stifte bekendtskab med dem.

Hvad er en matematisk rod?

Denne handling opstod i opposition til eksponentiering. Matematik foreslår to modsatrettede operationer. Der er subtraktion til addition. Multiplikation er i modsætning til division. Omvendt handling grad er udvindingen af ​​den tilsvarende rod.

Hvis graden er to, vil roden være kvadratisk. Det er det mest almindelige i skolens matematik. Det har ikke engang en indikation af, at det er kvadratisk, det vil sige, at tallet 2 ikke er tildelt ved siden af ​​det. Den matematiske notation af denne operator (radikal) er præsenteret i figuren.

Dens definition flyder jævnt fra den beskrevne handling. For at udtrække kvadratroden af ​​et tal skal du finde ud af, hvad det radikale udtryk vil give, når det ganges med sig selv. Dette tal vil være kvadratroden. Hvis vi skriver dette ned matematisk, får vi følgende: x*x=x 2 =y, hvilket betyder √y=x.

Hvilke handlinger kan du udføre med dem?

I sin kerne er roden brøkkraft, som har en i sin tæller. Og nævneren kan være hvad som helst. For eksempel har kvadratroden to. Derfor vil alle handlinger, der kan udføres med beføjelser, også være gældende for rødder.

Og kravene til disse handlinger er de samme. Hvis multiplikation, division og eksponentiering ikke støder på vanskeligheder for eleverne, så fører tilføjelse af rødder, som at trække dem fra, nogle gange til forvirring. Og alt sammen fordi jeg vil udføre disse operationer uden hensyn til rodens tegn. Og det er her, fejlene begynder.

Hvad er reglerne for at lægge til og trække fra?

Først skal du huske to kategoriske "don'ts":

• det er umuligt at udføre addition og subtraktion af rødder, som med primtal, det vil sige, at det er umuligt at skrive radikale udtryk for summen under ét tegn og udføre matematiske operationer med dem;
• Du kan ikke addere og subtrahere rødder med forskellige eksponenter, for eksempel kvadrat og kubisk.

Et tydeligt eksempel på det første forbud: √6 + √10 ≠ √16, men √(6 + 10) = √16.

I det andet tilfælde er det bedre at begrænse os til at forenkle selve rødderne. Og lad deres beløb stå i svaret.

Nu til reglerne

1. Find og grupper lignende rødder. Altså dem, der ikke kun har samme tal under de radikale, men de har selv én indikator.
2. Udfør tilføjelsen af ​​rødderne kombineret i én gruppe i den første handling. Det er nemt at implementere, fordi du kun behøver at tilføje de værdier, der vises foran radikalerne.
3. Udtræk rødderne af de udtryk, hvor det radikale udtryk danner en hel firkant. Med andre ord, efterlad ikke noget i en radikals tegn.
4. Forenkle radikale udtryk. For at gøre dette skal du indregne dem i primfaktorer og se, om de giver kvadratet af et tal. Det er klart, at det er rigtigt, når vi taler om kvadratroden. Når eksponenten er tre eller fire, så skal primfaktorerne give terningen eller fjerde potens af tallet.
5. Fjern fra radikalens tegn den faktor, der giver hele magten.
6. Se om det dukker op igen lignende vilkår. Hvis ja, så udfør det andet trin igen.

I en situation, hvor opgaven ikke kræver den nøjagtige værdi af roden, kan den beregnes ved hjælp af en lommeregner. Afrund den endeløse decimalbrøk, der vises i vinduet. Oftest gøres dette til hundrededele. Og udfør derefter alle operationer for decimalbrøker.

Dette er al information om, hvordan du tilføjer rødder. Eksemplerne nedenfor vil illustrere ovenstående.

Første opgave

Beregn værdien af ​​udtryk:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Hvis du følger ovenstående algoritme, kan du se, at der ikke er noget for de to første handlinger i dette eksempel. Men man kan forenkle nogle radikale udtryk.

For eksempel, nedbryde 32 i to faktorer 2 og 16; 18 vil være lig med produktet af 9 og 2; 128 er 2 over 64. Givet dette vil udtrykket blive skrevet således:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Nu skal du fjerne de faktorer, der giver kvadratet af tallet, under det radikale tegn. Dette er 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. Udtrykket vil have formen:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Vi skal forenkle optagelsen lidt. For at gøre dette skal du gange koefficienterne før rodtegnene:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

I dette udtryk viste alle udtryk sig at være ens. Derfor skal du bare folde dem. Svaret vil være: 5√2.

b) Lignende tidligere eksempel, tilføjelsen af ​​rødder begynder med deres forenkling. De radikale udtryk 75, 147, 48 og 300 vil være repræsenteret i følgende par: 5 og 25, 3 og 49, 3 og 16, 3 og 100. Hver af dem indeholder et tal, der kan tages ud under rodtegnet :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Efter forenkling er svaret: 5√5 - 5√3. Det kan efterlades i denne form, men det er bedre at tage den fælles faktor 5 ud af parentes: 5 (√5 - √3).

c) Og igen faktorisering: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Efter at have fjernet faktorerne fra under rodtegnet, har vi:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Efter at have bragt lignende udtryk får vi resultatet: 7√11.

Eksempel med brøkudtryk

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Du skal faktorisere følgende tal: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. I lighed med dem, der allerede er diskuteret, skal du fjerne faktorerne under rodtegnet og forenkle udtrykket:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Dette udtryk kræver at slippe af med irrationalitet i nævneren. For at gøre dette skal du gange det andet led med √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

For at fuldføre handlingerne skal du vælge hele delen af ​​faktorerne foran rødderne. For den første er det 1, for den anden er det 2.

Kvadratroden af ​​et tal x er et tal a, som ganget med sig selv giver tallet x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Som med alle tal, over kvadratrødder Det er tilladt at udføre aritmetiske operationer med addition og subtraktion.

Instruktioner

1. Først, når du tilføjer kvadratrødder, prøv at udtrække disse rødder. Dette vil være acceptabelt, hvis tallene under rodtegnet er perfekte kvadrater. Lad os sige, at det givne udtryk er ?4 + ?9. Det første tal 4 er kvadratet af tallet 2. Det andet tal 9 er kvadratet af tallet 3. Således viser det sig, at: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Hvis der ikke er hele kvadrater under rodtegnet, så prøv at flytte multiplikatoren af ​​tallet fra under rodtegnet. Lad os sige, lad os sige, at udtrykket er givet?24 +?54. Faktorer tallene: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Tallet 24 har en faktor på 4, den der kan overføres fra under kvadratrodstegnet. Tallet 54 har en faktor på 9. Det viser sig således, at: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . I dette eksempel, som et resultat af at fjerne multiplikatoren fra under rodtegnet, var det muligt at forenkle det givne udtryk.

3. Lad summen af ​​2 kvadratrødder være nævneren af ​​en brøk, f.eks. A / (?a + ?b). Og lad din opgave være "at slippe af med irrationalitet i nævneren." Så kan du bruge den næste metode. Gang brøkens tæller og nævner med udtrykket ?a - ?b. Således vil nævneren indeholde den forkortede multiplikationsformel: (?a + ?b) * (?a - ?b) = a - b. Analogt, hvis forskellen mellem rødderne er givet i nævneren: ?a - ?b, så skal brøkens tæller og nævner ganges med udtrykket ?a + ?b. Lad f.eks. brøken 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - 5) / (-2) = 2 * (a5 - 3).

4. Overvej et mere komplekst eksempel på at slippe af med irrationalitet i nævneren. Lad brøken 12 / (?2 + ?3 + ?5) være givet. Du skal gange brøkens tæller og nævner med udtrykket?2 + ?3 - ?5:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / ( (?2 + ?3 + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + 3 - 5) = 2 * 3 + 3 * 2 - 30.

5. Og endelig, hvis du kun skal bruge en omtrentlig værdi, kan du beregne kvadratrødderne ved hjælp af en lommeregner. Beregn værdierne separat for hele tallet og skriv det ned til den nødvendige præcision (f.eks. to decimaler). Og derefter skal du udføre de nødvendige aritmetiske operationer, som med almindelige tal. Lad os sige, lad os sige, at du skal finde ud af den omtrentlige værdi af udtrykket ?7 + ?5 ? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Video om emnet

Bemærk!
I intet tilfælde kan kvadratrødder tilføjes som primitive tal, dvs. ?3 + ?2 ? ?5!!!

Nyttige råd
Hvis du faktoriserer et tal for at flytte kvadratet fra under rodtegnet, så udfør den omvendte kontrol - gange alle de resulterende faktorer og få det oprindelige tal.

Hilsen, katte! Sidste gang diskuterede vi i detaljer, hvad rødder er (hvis du ikke kan huske det, anbefaler jeg at læse det). Hovedkonklusion den lektion: der er kun én universel definition af rødder, som du skal vide. Resten er noget pjat og spild af tid.

I dag går vi videre. Vi lærer at formere rødder, vi vil studere nogle problemer forbundet med multiplikation (hvis disse problemer ikke løses, kan de blive fatale i eksamen), og vi vil øve os ordentligt. Så køb popcorn, sæt dig godt til rette, og lad os komme i gang :)

Du har heller ikke røget det endnu, vel?

Lektionen viste sig at være ret lang, så jeg delte den op i to dele:

1. Først vil vi se på reglerne for multiplikation. Cap ser ud til at antyde: det er, når der er to rødder, mellem dem er der et "multiplicer"-tegn - og vi vil gøre noget med det.
2. Så lad os se på den omvendte situation: der er en stor rod, men vi ønskede at præsentere det i form af et enklere produkt af to rødder. Hvorfor er det nødvendigt, er et separat spørgsmål. Vi vil kun analysere algoritmen.

For dem, der ikke kan vente med straks at gå videre til anden del, er du velkommen. Lad os starte med resten i rækkefølge.

Grundlæggende multiplikationsregel

Lad os starte med det enkleste – klassiske kvadratrødder. De samme, der er angivet med $\sqrt(a)$ og $\sqrt(b)$. Alt er indlysende for dem:

Multiplikationsregel. For at gange en kvadratrod med en anden, multiplicerer du blot deres radikale udtryk og skriver resultatet under det fælles radikal:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Ingen yderligere begrænsninger er pålagt tallene til højre eller venstre: hvis grundfaktorerne eksisterer, så eksisterer produktet også.

Eksempler. Lad os se på fire eksempler med tal på én gang:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Som du kan se, er hovedbetydningen af ​​denne regel at forenkle irrationelle udtryk. Og hvis vi i det første eksempel selv ville have udvundet rødderne af 25 og 4 uden nye regler, så bliver tingene svære: $\sqrt(32)$ og $\sqrt(2)$ betragtes ikke af sig selv, men deres produkt viser sig at være et perfekt kvadrat, så dets rod er lig med et rationelt tal.

Jeg vil især fremhæve den sidste linje. Der er begge radikale udtryk brøker. Takket være produktet annulleres mange faktorer, og hele udtrykket bliver til et passende antal.

Selvfølgelig vil tingene ikke altid være så smukke. Nogle gange vil der være et komplet rod under rødderne - det er ikke klart, hvad man skal gøre med det, og hvordan man transformerer det efter multiplikation. Lidt senere, når du begynder at studere irrationelle ligninger og uligheder, vil der generelt være alle mulige variabler og funktioner. Og meget ofte regner problemskribenter med, at du vil opdage nogle annullerende vilkår eller faktorer, hvorefter problemet vil blive forenklet mange gange.

Derudover er det slet ikke nødvendigt at gange præcis to rødder. Du kan gange tre, fire eller endda ti på én gang! Dette ændrer ikke reglen. Tag et kig:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

Og igen en lille bemærkning om det andet eksempel. Som du kan se, er der i den tredje faktor under roden en decimalbrøk - i processen med beregninger erstatter vi den med en almindelig, hvorefter alt nemt reduceres. Så: Jeg anbefaler stærkt at slippe af med decimalbrøker i alle irrationelle udtryk (dvs. indeholdende mindst ét ​​radikalt symbol). Dette vil spare dig for en masse tid og nerver i fremtiden.

Men dette var en lyrisk digression. Lad os nu overveje et mere generelt tilfælde - når rodeksponenten indeholder et vilkårligt tal $n$, og ikke kun de "klassiske" to.

Tilfældet med en vilkårlig indikator

Så vi har sorteret kvadratrødderne fra. Hvad skal man gøre med kubiske? Eller endda med rødder af vilkårlig grad $n$? Ja, alt er det samme. Reglen forbliver den samme:

For at gange to rødder af grad $n$, er det nok at gange deres radikale udtryk og derefter skrive resultatet under et radikal.

Generelt, intet kompliceret. Bortset fra at mængden af ​​beregninger kan være større. Lad os se på et par eksempler:

Eksempler. Beregn produkter:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3)) ))=\sqrt(((\venstre(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

Og igen, opmærksomhed på det andet udtryk. Vi formerer terningrødder, slipper af med decimal og som et resultat får vi i nævneren produktet af tallene 625 og 25. Dette er et ret stort tal - personligt kan jeg ikke umiddelbart beregne, hvad det er lig med.

Så vi isolerede simpelthen den nøjagtige terning i tælleren og nævneren og brugte derefter en af ​​nøgleegenskaberne (eller, hvis du foretrækker det, definitionen) af $n$th-roden:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\venstre| a\right|. \\ \end(align)\]

Sådanne "magien" kan spare dig for en masse tid på eksamen eller prøvearbejde, så husk:

Skynd dig ikke at gange tal ved hjælp af radikale udtryk. Tjek først: hvad hvis den nøjagtige grad af et udtryk er "krypteret" der?

På trods af det indlysende i denne bemærkning, må jeg indrømme, at de fleste uforberedte studerende ikke kan se de nøjagtige grader på et skarpt område. I stedet multiplicerer de alt, og undrer sig så: hvorfor fik de så brutale tal?

Men alt dette er babysnak i forhold til det, vi vil studere nu.

Multiplicer rødder med forskellige eksponenter

Okay, nu kan vi multiplicere rødder med de samme indikatorer. Hvad hvis indikatorerne er forskellige? Lad os sige, hvordan man multiplicerer en almindelig $\sqrt(2)$ med noget lort som $\sqrt(23)$? Er det overhovedet muligt at gøre dette?

Ja selvfølgelig kan du det. Alt foregår efter denne formel:

Regel for multiplikation af rødder. For at gange $\sqrt[n](a)$ med $\sqrt[p](b)$, er det nok at udføre følgende transformation:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n))))\]

Denne formel virker dog kun hvis radikale udtryk er ikke-negative. Dette er en meget vigtig bemærkning, som vi vender tilbage til lidt senere.

Lad os nu se på et par eksempler:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

Som du kan se, intet kompliceret. Lad os nu finde ud af, hvor ikke-negativitetskravet kom fra, og hvad der vil ske, hvis vi overtræder det.

Hvorfor skal radikale udtryk være ikke-negative?

Selvfølgelig kan du være ligesom skolelærere og citer smart lærebogen:

Kravet om ikke-negativitet er forbundet med forskellige definitioner af rødder af lige og ulige grader (følgelig er deres definitionsdomæner også forskellige).

Nå, er det blevet tydeligere? Personligt, da jeg læste dette sludder i 8. klasse, forstod jeg noget i retning af følgende: “Kravet om ikke-negativitet er forbundet med *#&^@(*#@^#)~%” - kort sagt, jeg gjorde det. forstår ikke noget på det tidspunkt :)

Så nu vil jeg forklare alt på en normal måde.

Lad os først finde ud af, hvor multiplikationsformlen ovenfor kommer fra. For at gøre dette, lad mig minde dig om én ting vigtig ejendom rod:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))))\]

Vi kan med andre ord sagtens hæve det radikale udtryk til evt naturlig grad$k$ - i dette tilfælde skal rodeksponenten ganges med den samme potens. Derfor kan vi nemt reducere eventuelle rødder til en fælles eksponent og derefter gange dem. Det er her multiplikationsformlen kommer fra:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n))))\]

Men der er et problem, der skarpt begrænser brugen af ​​alle disse formler. Overvej dette nummer:

Ifølge den netop angivne formel kan vi tilføje enhver grad. Lad os prøve at tilføje $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\venstre(-5 \højre))^(2)))=\sqrt(((5)^(2))))\]

Vi fjernede minus, netop fordi firkanten brænder minus (som enhver anden lige grad). Lad os nu udføre den omvendte transformation: "reducer" de to i eksponenten og magten. Enhver lighed kan trods alt læses både fra venstre mod højre og fra højre mod venstre:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Højrepil \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](en); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Højrepil \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Men så viser det sig at være en slags lort:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Dette kan ikke ske, fordi $\sqrt(-5) \lt 0$, og $\sqrt(5) \gt 0$. Det betyder, at for lige kræfter og negative tal vores formel virker ikke længere. Herefter har vi to muligheder:

1. At ramme muren og slå fast, at matematik er en dum videnskab, hvor "der er nogle regler, men disse er unøjagtige";
2. Indfør yderligere begrænsninger, hvorunder formlen vil blive 100 % fungerende.

I den første mulighed bliver vi nødt til konstant at fange "ikke-fungerende" sager - det er svært, tidskrævende og generelt ugh. Derfor foretrak matematikere den anden mulighed :)

Men bare rolig! I praksis påvirker denne begrænsning ikke beregningerne på nogen måde, fordi alle de beskrevne problemer kun vedrører rødder af ulige grad, og der kan tages minusser fra dem.

Lad os derfor formulere endnu en regel, som generelt gælder for alle handlinger med rødder:

Før du multiplicerer rødder, skal du sikre dig, at de radikale udtryk er ikke-negative.

Eksempel. I tallet $\sqrt(-5)$ kan du fjerne minus fra under rodtegnet - så vil alt være normalt:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Højrepil \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Mærker du forskellen? Hvis du efterlader et minus under roden, så forsvinder det, når det radikale udtryk er firkantet, og lortet begynder. Og hvis du først tager minus, så kan du firkante/fjerne, indtil du er blå i ansigtet - tallet forbliver negativt :)

Således er den mest korrekte og mest pålidelige måde at multiplicere rødder på som følger:

1. Fjern alle negativerne fra radikalerne. Minusser findes kun i rødder med ulige multiplicitet - de kan placeres foran roden og om nødvendigt reduceres (f.eks. hvis der er to af disse minusser).
2. Udfør multiplikation i henhold til reglerne diskuteret ovenfor i dagens lektion. Hvis indikatorerne for rødderne er de samme, multiplicerer vi blot de radikale udtryk. Og hvis de er forskellige, bruger vi den onde formel \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Nyd resultatet og gode karakterer. :)

Godt? Skal vi øve os?

Eksempel 1: Forenkle udtrykket:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Dette er den enkleste mulighed: rødderne er de samme og mærkelige, det eneste problem er, at den anden faktor er negativ. Vi tager dette minus ud af billedet, hvorefter alt nemt beregnes.

Eksempel 2: Forenkle udtrykket:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( justere)\]

Her ville mange blive forvirrede over, at outputtet viste sig at være et irrationelt tal. Ja, det sker: Vi kunne ikke helt slippe af med roden, men i det mindste forenklet udtrykket markant.

Eksempel 3: Forenkle udtrykket:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\venstre((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Jeg vil gerne henlede din opmærksomhed på denne opgave. Der er to punkter her:

1. Roden er ikke et bestemt tal eller potens, men variablen $a$. Umiddelbart er dette lidt usædvanligt, men i virkeligheden skal man, når man løser matematiske problemer, oftest beskæftige sig med variable.
2. I sidste ende lykkedes det at "reducere" den radikale indikator og graden i radikale udtryk. Dette sker ret ofte. Og det betyder, at det var muligt at forenkle beregningerne markant, hvis man ikke brugte grundformlen.

For eksempel kan du gøre dette:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\venstre(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(align)\]

Faktisk blev alle transformationer kun udført med den anden radikal. Og hvis du ikke beskriver detaljeret alle de mellemliggende trin, vil mængden af ​​beregninger i sidste ende blive reduceret betydeligt.

Faktisk er vi allerede stødt på en lignende opgave ovenfor, da vi løste eksemplet $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Nu kan det skrives meget enklere:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\venstre(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Nå, vi har ordnet multiplikationen af ​​rødder. Lad os nu overveje den omvendte operation: hvad skal man gøre, når der er et produkt under roden?

I matematik kan rødder være kvadratisk, kubisk eller have en hvilken som helst anden eksponent (potens), som er skrevet til venstre over rodtegnet. Et udtryk under rodtegnet kaldes et radikalt udtryk. At tilføje rødder er som at tilføje lemmer algebraisk udtryk, det vil sige, at det kræver bestemmelse af lignende rødder.

Trin

Betegnelse af rødder. Et udtryk under rodtegnet () betyder, at det er nødvendigt at udtrække roden af ​​en vis grad fra dette udtryk.

• Roden er angivet med et tegn.
• Eksponenten (graden) af roden skrives til venstre over rodtegnet. For eksempel skrives terningroden af ​​27 som: (27)
• Hvis der ikke er nogen eksponent (grad) af roden, så betragtes eksponenten som lig med 2, det vil sige, at det er en kvadratrod (eller rod af anden grad).
• Tallet skrevet før rodtegnet kaldes en multiplikator (det vil sige, at dette tal ganges med roden), for eksempel 5 (2)
• Hvis der ikke er en faktor foran roden, så er den lig med 1 (husk at ethvert tal ganget med 1 er lig med sig selv).
• Hvis det er første gang, du arbejder med rødder, skal du lave passende noter om multiplikatoren og rodeksponenten for at undgå forvirring og bedre forstå deres formål.

Husk hvilke rødder der kan foldes og hvilke der ikke kan. Ligesom du ikke kan tilføje forskellige udtryk i et udtryk, for eksempel 2a + 2b 4ab, kan du ikke tilføje forskellige rødder.

Identificer og grupper lignende rødder. Lignende rødder er rødder, der har de samme indikatorer og de samme radikale udtryk. Overvej for eksempel udtrykket:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Først skal du omskrive udtrykket, så rødder med samme indeks er placeret sekventielt.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Omskriv derefter udtrykket, så rødder med samme eksponent og med samme radikale udtryk er placeret sekventielt.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Forenkle rødderne. For at gøre dette skal du (hvor det er muligt) dekomponere de radikale udtryk i to faktorer, hvoraf den ene er taget ud under roden. I dette tilfælde ganges det fjernede tal og rodfaktoren.

Tilføj faktorerne af lignende rødder. I vores eksempel er der tilsvarende kvadratrødder af 2 (de kan tilføjes) og lignende kvadratrødder af 3 (de kan også tilføjes). Terningroden af ​​3 har ingen sådanne rødder.

• Der er ingen almindeligt anerkendte regler for den rækkefølge, hvor rødder skrives i et udtryk. Derfor kan du skrive rødder i stigende rækkefølge af deres indikatorer og i stigende rækkefølge af radikale udtryk.

Alt interessant

Tallet, der er under rodtegnet, forstyrrer ofte løsningen af ​​ligningen og er ubelejligt at arbejde med. Selvom det er hævet til en potens, brøktal eller ikke kan repræsenteres som et helt tal til en bestemt potens, kan du prøve at udlede det fra...

En rod af et tal x er et tal, der, når det hæves til rodens potens, er lig med x. En multiplikator er det tal, der ganges. Det vil sige, at i et udtryk på formen x*ª-&radic-y skal du sætte x under roden. Instruktioner 1 Bestem graden...

Hvis et radikalt udtryk indeholder et sæt matematiske operationer med variable, er det nogle gange som et resultat af dets forenkling muligt at opnå en relativt simpel værdi, hvoraf en del kan tages ud under roden. Denne forenkling kan være nyttig...

Aritmetiske operationer med rødder af forskellige grader kan væsentligt forenkle beregninger i fysik og teknologi og gøre dem mere nøjagtige. Når man multiplicerer og dividerer, er det mere praktisk ikke at udtrække roden af ​​hver faktor eller udbytte og divisor, men først...

Kvadratroden af ​​et tal x er et tal a, som ganget med sig selv giver tallet x: a * a = a^2 = x, x = a. Som med alle tal kan du udføre de aritmetiske operationer med addition og subtraktion med kvadratrødder. Instruktioner...

En rod i matematik kan have to betydninger: det er en aritmetisk operation og hver af løsningerne til en ligning, algebraisk, parametrisk, differential eller en hvilken som helst anden. Instruktioner 1Den n'te rod af a er et tal, sådan at...

Når man udfører div aritmetiske operationer Med rødder er evnen til at transformere radikale udtryk ofte nødvendig. For at forenkle beregningerne skal du muligvis flytte multiplikatoren uden for det radikale tegn eller tilføje det under det. Denne handling kan...

En rod er et ikon, der angiver den matematiske operation med at finde et tal, hvis forhøjelse til den potens, der er angivet foran rodtegnet, skal give det tal, der er angivet under netop dette tegn. Ofte for at løse problemer, der involverer...

Rodens tegn i matematiske videnskaber kaldes symbol for rødderne. Tallet under rodtegnet kaldes et radikalt udtryk. Hvis der ikke er nogen eksponent, er roden en kvadratrod, ellers angiver cifferet...

Aritmetik n'te rod grader fra reelle tal a er et ikke-negativt tal x, n. grad som er lig med tallet a. De der. (n) a = x, x^n = a. Eksisterer forskellige måder tilføjelse af en aritmetisk rod og et rationelt tal...

Den n-te rod af et reelt tal a er et tal b, for hvilket ligheden b^n = a gælder. Ulige rødder findes for negative og positive tal, og rødder af lige grader er kun for positive.…