Find vinklerne på et parallelogram. Sådan finder du den spidse vinkel på et parallelogram

KVADAGONER.

§43. PARALLELOGRAM.

1. Definition af et parallelogram.

Hvis vi skærer et par parallelle linjer med et andet par parallelle linjer, får vi en firkant med modsatte sider parvis parallelt.

I firkanter ABC og EFNM (fig. 224) ВD || AC og AB || CD;
EF || MN og EM || FN.

En firkant, hvis modsatte sider er parallelle i par, kaldes et parallelogram.

2. Egenskaber for et parallelogram.

Sætning. Diagonalen af ​​et parallelogram deler det i to lige store trekanter.

Lad der være et parallelogram ABC (Fig. 225), hvor AB || CD og AC || ВD.

Du skal bevise, at diagonalen deler den i to lige store trekanter.

Lad os tegne diagonal CB i parallelogram ABC. Lad os bevise det /\ CAB= /\ СДВ.

Side NE er fælles for disse trekanter; / ABC = / BCD, som indre tværgående vinkler med parallelle AB og CD og sekant CB; / DIA = / СВD, også gerne indre tværgående vinkler med parallelle AC og ВD og sekant CB (§ 38).

Herfra /\ CAB = /\ СДВ.

På samme måde kan man bevise, at diagonalen AD vil dele parallelogrammet i to lige store trekanter ACD og ABD.

Konsekvenser. 1 . Modsatte vinkler af et parallelogram er lig med hinanden.

/ A = / D, dette følger af ligheden mellem trekanter CAB og CDB.
Ligeledes / C = / I.

2. Modsat parallelogram sider er lige hinanden.

AB = CD og AC = BD, da disse er sider af lige store trekanter og ligger modsat lige store vinkler.

Sætning 2. Diagonalerne i et parallelogram er delt i to ved deres skæringspunkt.

Lad BC og AD være diagonalerne af parallelogrammet ABC (fig. 226). Lad os bevise, at AO = OD og CO = OB.

For at gøre dette skal du for eksempel sammenligne et par modstående trekanter /\ AOB og /\ TORSK.

I disse trekanter AB = CD, som modsatte sider af et parallelogram;
/ 1 = / 2, som indvendige vinkler liggende på tværs med parallelle AB og CD og sekant AD;
/ 3 = / 4 af samme grund, da AB || CD og CB er deres sekanter (§ 38).

Den følger det /\ AOB = /\ TORSK. Og i lige trekanter ligger lige sider modsat lige store vinkler. Derfor er AO = OD og CO = OB.

Sætning 3. Summen af ​​vinklerne ved siden af ​​den ene side af et parallelogram er lig med 2 d .

Bevis det selv.

3. Tegn på et parallelogram.

Sætning. Hvis de modsatte sider af en firkant er parvis lige store, så er denne firkant et parallelogram.

Indsæt firkanten ABC (Tegnet 227) AB = CD og AC = BD. Lad os bevise, at under denne betingelse AB || CD og AC || ВD, dvs. firkantet АВDC er et parallelogram.
Lad os forbinde med et segment nogle to modsatte hjørner af denne firkant, for eksempel C og B. Firkanten ABCD er opdelt i to lige store trekanter: /\ CAB og /\ СДВ. Faktisk har de samme side CB, AB = CD og AC = BD alt efter tilstanden. Således er tre sider af en trekant henholdsvis lig med tre sider af en anden, derfor /\ CAB = /\ СДВ.

I lige trekanter ligger lige vinkler modsat lige store sider, altså
/ 1 = / 2 og / 3 = / 4.

Vinklerne 1 og 2 er indvendige vinkler, der ligger på tværs i skæringspunktet mellem rette linjer AB og CD på lige linje CB. Derfor AB || CD.

På samme måde er vinklerne 3 og 4 indre vinkler, der ligger på tværs i skæringspunktet mellem linjerne CA og BD på linje CB, derfor CA || ВD (§ 35).

Således er de modsatte sider af firkanten ABCD parallelle i par, derfor er det et parallelogram, hvilket er det, der skulle bevises.

Sætning 2. Hvis to modsatte sider af en firkant er lige store og parallelle, så er firkanten et parallelogram.

Lad AB = CD i firkant ABCD og AB || CD. Lad os bevise, at under disse forhold er firkantet ABC et parallelogram (fig. 228).

Lad os forbinde toppunkterne C og B med et stykke CB. På grund af parallelliteten af ​​rette linjer AB og CD er vinkler 1 og 2, som indre vinkler, der ligger på tværs, lige store (§ 38).
Så er trekant CAB lig med trekant CDB, da de har en fælles side CB,
AB = CD ifølge sætningens betingelser og / 1 = / 2 ifølge bevist. Disse trekanters lighed indebærer ligheden mellem vinklerne 3 og 4, da de ligger modsat lige store sider i lige store trekanter.

Men vinklerne 3 og 4 er indre tværgående vinkler dannet af skæringspunktet mellem lige linjer AC og BD på lige linje CB, derfor AC || ВD (§ 35), dvs. en firkant
ABC er et parallelogram.

Øvelser.

1. Bevis, at hvis diagonalerne på en firkant i punktet for deres gensidige skæringspunkt er delt i to, så er denne firkant et parallelogram.

2. Bevis, at en firkant, hvis sum indvendige hjørner støder op til hver af to tilstødende sider er lig med 2 d, er der et parallelogram.

3. Konstruer et parallelogram ved hjælp af to sider og vinklen mellem dem:

a) at bruge paralleliteten af ​​modsatte sider af et parallelogram;
b) ved at bruge ligheden af ​​modsatte sider af et parallelogram.

4. Konstruer et parallelogram ved hjælp af to tilstødende sider og en diagonal.

5. Konstruer et parallelogram ved hjælp af de to diagonaler og vinklen mellem dem.

6. Konstruer et parallelogram ved hjælp af dets side og to diagonaler.

Et parallelogram er en firkant, hvis modsatte sider er parallelle i par. Denne definition er allerede tilstrækkelig, da parallelogrammets resterende egenskaber følger af den og bevises i form af teoremer.

De vigtigste egenskaber ved et parallelogram er:

• et parallelogram er en konveks firkant;
• Et parallelogram har modsatte sider, der er parvis lige store;
• I et parallelogram er modsatte vinkler parvis lige store;
• Diagonalerne i et parallelogram er delt i to af skæringspunktet.

Parallelogram - konveks firkant

Lad os først bevise sætningen et parallelogram er en konveks firkant. En polygon er konveks, hvis hvilken som helst side af den er forlænget til en ret linje, vil alle andre sider af polygonen være på samme side af denne lige linje.

Lad et parallelogram ABCD gives, hvor AB er den modsatte side for CD, og ​​BC er den modsatte side for AD. Så af definitionen af ​​et parallelogram følger det, at AB || CD, BC || A.D.

Parallelle segmenter har ingen fælles punkter og skærer ikke hinanden. Det betyder, at CD ligger på den ene side af AB. Da segment BC forbinder punkt B i segment AB med punkt C i segment CD, og ​​segment AD forbinder andre punkter AB og CD, ligger segmenterne BC og AD også på samme side af linje AB, hvor CD ligger. Således ligger alle tre sider - CD, BC, AD - på samme side af AB.

På samme måde er det bevist, at i forhold til de andre sider af parallelogrammet, ligger de tre andre sider på samme side.

Modsatte sider og vinkler er lige store

En af egenskaberne ved et parallelogram er det I et parallelogram er modsatte sider og modsatte vinkler parvis lige store. For eksempel, hvis et parallelogram ABCD er givet, så har det AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Denne sætning er bevist som følger.

Et parallelogram er en firkant. Det betyder, at den har to diagonaler. Da et parallelogram er en konveks firkant, deler enhver af dem det i to trekanter. Overvej i parallelogram ABCD trekanter ABC og ADC opnået ved at tegne diagonalen AC.

Disse trekanter har en side til fælles - AC. Vinkel BCA er lig med vinkel CAD, ligesom lodret, når BC og AD er parallelle. Vinkler BAC og ACD er også lig med lodrette vinkler, når AB og CD er parallelle. Derfor er ∆ABC = ∆ADC ved to vinkler og siden mellem dem.

I disse trekanter svarer side AB til siden CD, og ​​side BC svarer til AD. Derfor er AB = CD og BC = AD.

Vinkel B svarer til vinkel D, dvs. ∠B = ∠D. Vinkel A på et parallelogram er summen af ​​to vinkler - ∠BAC og ∠CAD. Vinkel C er lig med ∠BCA og ∠ACD. Da par af vinkler er lig med hinanden, så er ∠A = ∠C.

Således er det bevist, at i et parallelogram er modsatte sider og vinkler ens.

Diagonaler er delt i to

Da et parallelogram er en konveks firkant, har det to diagonaler, og de skærer hinanden. Lad parallelogram ABCD være givet, dets diagonaler AC og BD skærer hinanden i punkt E. Betragt trekanter ABE og CDE dannet af dem.

Disse trekanter har sider AB og CD lig med de modsatte sider af et parallelogram. Vinkel ABE er lig med vinkel CDE som liggende på tværs med parallelle linjer AB og CD. Af samme grund er ∠BAE = ∠DCE. Det betyder ∆ABE = ∆CDE ved to vinkler og siden mellem dem.

Du kan også bemærke, at vinklerne AEB og CED er lodrette og derfor også lig med hinanden.

Da trekanter ABE og CDE er ens med hinanden, så er alle deres tilsvarende elementer ens. Side AE ​​af den første trekant svarer til side CE på den anden, hvilket betyder AE = CE. Tilsvarende BE = DE. Hvert par af lige store segmenter udgør en diagonal af et parallelogram. Det er således bevist Diagonalerne i et parallelogram er halveret af deres skæringspunkt.

Et parallelogram er en firkant, hvor modsatte sider er parallelle i par.

Et parallelogram har alle firkanters egenskaber, men derudover har det også sine egne Karakteristiske træk. Når vi kender dem, kan vi nemt finde både siderne og vinklerne på et parallelogram.

Egenskaber for et parallelogram

1. Summen af ​​vinklerne i ethvert parallelogram, som i enhver firkant, er 360°.
2. Midtlinjerne i et parallelogram og dets diagonaler skærer hinanden i et punkt og er halveret af det. Dette punkt kaldes normalt parallelogrammets symmetricenter.
3. De modsatte sider af et parallelogram er altid lige store.
4. Også denne figur har altid lige modsatte vinkler.
5. Summen af ​​vinklerne, der støder op til nogen af ​​siderne af et parallelogram, er altid 180°.
6. Summen af ​​kvadraterne af diagonalerne i et parallelogram er lig med to gange summen af ​​kvadraterne på dets to tilstødende sider. Dette er udtrykt ved formlen:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), hvor d 1 og d 2 er diagonaler, a og b er tilstødende sider.
7. Cosinus for en stump vinkel er altid mindre end nul.

Hvordan finder man vinklerne for et givet parallelogram ved hjælp af disse egenskaber i praksis? Og hvilke andre formler kan hjælpe os med dette? Lad os se på specifikke opgaver, der kræver: find vinklerne på et parallelogram.

Find vinklerne på et parallelogram

Tilfælde 1. Målingen af ​​en stump vinkel er kendt, vi skal finde en spids vinkel.

Eksempel: I parallelogram ABCD er vinkel A 120°. Find målet for de resterende vinkler.

Løsning: Ved hjælp af egenskab nr. 5 kan vi finde målet for vinklen B, der støder op til den vinkel, der er givet i opgaven. Det vil være lig med:

• 180°-120°= 60°

Og nu, ved hjælp af egenskab nr. 4, bestemmer vi, at de to resterende vinkler C og D er modsatte af de vinkler, som vi allerede har fundet. Vinkel C er modsat vinkel A, vinkel D er modsat vinkel B. Derfor er de parvis lige store.

• Svar: B = 60°, C = 120°, D=60°

Tilfælde 2. Længden af ​​siderne og diagonalerne er kendt

I dette tilfælde skal vi bruge cosinussætningen.

Vi kan først beregne cosinus for den vinkel, vi skal bruge, ved hjælp af en formel, og derefter bruge en speciel tabel til at finde, hvad selve vinklen er lig med.

For en spids vinkel er formlen:

• cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B), hvor
• a er den du leder efter skarpt hjørne,
• A og B er siderne af parallelogrammet,
• d - mindre diagonal

For en stump vinkel ændres formlen lidt:

• cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), hvor
• ß er en stump vinkel,
• A og B er sider
• D - stor diagonal

Eksempel: du skal finde en spids vinkel på et parallelogram, hvis sider er 6 cm og 3 cm, og den mindre diagonal er 5,2 cm

Erstat værdierne i formlen for at finde en spids vinkel:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~ 1/2
• cosa = 1/2. Fra tabellen finder vi ud af, at den ønskede vinkel er 60°.

Et parallelogram er en firkant, hvis modsatte sider er parallelle i par. Et parallelogram har også følgende egenskaber: modsatte sider er lige store, modsatte vinkler er lige store, og summen af ​​alle vinkler er 360 grader.

Du får brug for

• Kendskab til geometri.

Instruktioner

1. Lad os forestille os, at en af ​​vinklerne i parallelogrammet er givet og er lig med A. Lad os finde værdierne af de resterende 3. Ifølge egenskaben ved et parallelogram er modsatte vinkler lige store. Det betyder, at vinklen modsat den givne er lig med den givne og dens værdi er lig med A.

2. Lad os finde de resterende to hjørner. Fordi summen af ​​alle vinkler i et parallelogram er lig med 360 grader, og modstående vinkler er lig med hinanden, viser det sig, at den vinkel, der hører til samme side som den givne, er lig med (360 - 2A)/2. Nå, enten efter reformen får vi 180 - A. I et parallelogram er to vinkler således lig med A, og de to andre vinkler er lig med 180 - A.

Bemærk!
Værdien af ​​en vinkel må ikke overstige 180 grader. De opnåede vinkelværdier kan nemt verificeres. For at gøre dette skal du lægge dem sammen, og hvis summen er 360, er alt beregnet korrekt.

Nyttige råd
Et rektangel og en rhombus er specielle tilfælde af et parallelogram; derfor gælder alle egenskaber og metoder til beregning af vinkler for dem.

Et parallelogram er en firkant, hvis modsatte sider er parallelle, dvs. ligge på parallelle linjer

Egenskaber for et parallelogram:
Sætning 22. Modsatte sider af et parallelogram er lige store.
Bevis. I parallelogrammet ABCD tegner vi en diagonal AC. Trekanter ACD og ACB er kongruente, idet de har en fælles side AC og to par lige store vinkler. ved siden af: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (som tværgående vinkler med parallelle linjer AD og BC). Det betyder, at AB = CD og BC = AD, som de tilsvarende sider af lige store trekanter osv. Af ligheden af ​​disse trekanter følger det også, at de tilsvarende vinkler i trekanter er ens:
Sætning 23. De modsatte vinkler af parallelogrammet er ens: ∠ A=∠ C og ∠ B=∠ D.
Ligheden af ​​det første par kommer fra ligheden af ​​trekanter ABD og CBD, og ​​det andet - ABC og ACD.
Sætning 24. Tilstødende vinkler af et parallelogram, dvs. vinkler, der støder op til den ene side, er op til 180 grader.
Dette er tilfældet, fordi de er indvendige ensidede vinkler.
Sætning 25. Diagonalerne i et parallelogram halverer hinanden ved deres skæringspunkt.
Bevis. Overvej trekanter BOC og AOD. Ifølge den første egenskab AD=BC ∠ OAD=∠ OCB og ∠ ODA=∠ OBC liggende på tværs for parallelle linjer AD og BC. Derfor er trekanter BOC og AOD ens i side- og tilstødende vinkler. Dette betyder BO=OD og AO=OS, ligesom de tilsvarende sider af lige store trekanter osv.

Tegn på et parallelogram
Sætning 26. Hvis de modsatte sider af en firkant er parvis lige store, så er det et parallelogram.
Bevis. Lad firkanten ABCD have siderne AD og BC, AB og CD henholdsvis lige store (fig. 2). Lad os tegne den diagonale AC. Trekanter ABC og ACD er lige store på tre sider. Så er vinklerne BAC og DCA ens, og derfor er AB parallel med CD. Parallellen mellem siderne BC og AD følger af ligheden mellem vinklerne CAD og ACB.
Sætning 27. Hvis de modsatte vinkler af en firkant er parvis lige store, så er det et parallelogram.
Lad ∠ A=∠ C og ∠ B=∠ D. Fordi ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, så ∠ A+∠ B=180 o og siderne AD og BC er parallelle (baseret på lige linjers parallellitet). Vi vil også bevise paralleliteten mellem siderne AB og CD og konkludere, at ABCD per definition er et parallelogram.
Sætning 28. Hvis tilstødende hjørner af en firkant, dvs. Vinklerne ved siden af ​​den ene side summer op til 180 grader, så er det et parallelogram.
Hvis de indvendige ensidede vinkler lægger op til 180 grader, så er de lige linjer parallelle. Så AB er parallel med CD og BC er parallel med AD. En firkant viser sig per definition at være et parallelogram.
Sætning 29. Hvis diagonalerne på en firkant halverer hinanden i skæringspunktet, så er firkanten et parallelogram.
Bevis. Hvis AO = OC, BO = OD, så er trekanter AOD og BOC ens, da de har lige store (lodrette) vinkler ved toppunktet O, indesluttet mellem par af lige sider. Ud fra trekanters lighed konkluderer vi, at AD og BC er lige store. Siderne AB og CD er også lige store, og firkanten viser sig at være et parallelogram ifølge kriterium 1.
Sætning 30. Hvis en firkant har et par lige store parallelle sider, så er det et parallelogram.
Lad siderne AB og CD i firkant ABCD være parallelle og lige store. Lad os tegne diagonalerne AC og BD. Af parallelliteten af ​​disse linjer følger det, at de tværgående vinkler ABO = CDO og BAO = OCD er ens. Trekanter ABO og CDO er ens i sidevinkler og tilstødende vinkler. Derfor AO=OS, VO=ОD, dvs. Diagonalerne er delt i to af skæringspunktet, og firkanten viser sig at være et parallelogram ifølge kriterium 4.

I geometri overvejes specielle tilfælde af parallelogrammer.