Sorokina Vika

Der gives beviser for egenskaberne af halveringslinjen i en trekant, og anvendelsen af ​​teorien til problemløsning overvejes

Hent:

Eksempel:

Uddannelsesudvalg for administrationen af ​​Saratov, Oktyabrsky District Municipal Autonome uddannelsesinstitution Lyceum nr. 3 opkaldt efter. A. S. Pushkin.

Kommunevidenskabelig-praktisk

konference

"Første skridt"

Emne: Bisector og dens egenskaber.

Arbejde udført af: 8. klasses elev

Sorokina VictoriaVidenskabelig vejleder: Matematiklærer af højeste kategoriPopova Nina Fedorovna.

Saratov 2011

1. Titelside………………………………………………………………...1
2. Indhold………………………………………………………………2
3. Indledning og mål………………………………………………………………... ..3
4. Overvejelse af halveringslinjens egenskaber

• Tredje punkter………………………………….3
• Sætning 1………………………………………………………………………………...4
• Sætning 2………………………………………………………………………………4
• Hovedegenskaben for halveringslinjen i en trekant:

1. Sætning 3…………………………………………………………………………...4
2. Opgave 1……………………………………………………………………… ….7
3. Opgave 2……………………………………………………………………….8
4. Opgave 3………………………………………………………………………………… 9
5. Opgave 4……………………………………………………………………….9-10

• Sætning 4………………………………………………………………………10-11
• Formler til at finde halveringslinjen:

1. Sætning 5………………………………………………………………………….11
2. Sætning 6……………………………………………………………………………….11
3. Sætning 7……………………………………………………………………………….12
4. Opgave 5………………………………………………………………...12-13

• Sætning 8……………………………………………………………………….13
• Opgave 6……………………………………………………………………….14
• Opgave 7……………………………………………………………………… 14-15
• Bestemmelse af kardinalretninger ved hjælp af halveringslinjen………………15

1. Konklusion og konklusion…………………………………………………………..15
2. Liste over referencer………………………………………..16

Bisector

I geometritimen, mens jeg studerede emnet for lignende trekanter, stødte jeg på et problem i sætningen om forholdet mellem halveringslinjen og de modsatte sider. Det ser ud til, at der kunne være noget interessant i bisektoremnet, men dette emne interesserede mig, og jeg ville studere det dybere. Halveringslinjen er jo meget rig på sit fantastiske egenskaber, hjælper med at løse forskellige problemer.

Når du overvejer dette emne, vil du bemærke, at geometrilærebøger siger meget lidt om egenskaberne ved bisektoren, men i eksamener, ved at kende dem, kan du løse problemer meget lettere og hurtigere. Derudover skal moderne studerende studere for sig selv for at bestå GIA- og Unified State-eksamenerne Yderligere materialer Til skolepensum. Derfor besluttede jeg at studere bisektoremnet mere detaljeret.

Bisector (fra latin bi- "dobbelt" og sectio "skæring") af en vinkel er en stråle med en begyndelse ved vinklens toppunkt, der deler vinklen i to lige store dele. Halseringslinjen af ​​en vinkel (sammen med dens forlængelse) er stedet for punkter, der er lige langt fra vinklens sider (eller deres forlængelser)

Tredje punkter

Figur F er stedet for punkter (sæt af punkter), der har en eller anden egenskab EN, hvis to betingelser er opfyldt:

1. fra det faktum, at punktet hører til figuren F, det følger heraf, at det har ejendommen EN;
2. fra at punktet opfylder ejendommen EN, deraf følger, at den hører til figuren F.

Det første locus af punkter, der betragtes i geometri, er en cirkel, dvs. stedet for punkter lige langt fra et fast punkt. Den anden er den vinkelrette halveringslinje af segmentet, dvs. stedet for punkter lige langt fra slutningen af ​​et segment. Og endelig, den tredje - halveringslinje - det geometriske sted for punkter lige langt fra vinklens sider

Sætning 1:

Halveringspunkterne er lige langt fra siderne han er hjørne.

Bevis:

Lad R - halveringspunkt EN. Lad os slippe fra punktetP vinkelrette RV og PC på siderne af hjørnet. Så VAR = SAR ved hypotenusen og spids vinkel. Derfor er PB = PC

Sætning 2:

Hvis punktet P er lige langt fra siderne af vinkel A, så ligger det på halveringslinjen.

Bevis: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR er en halveringslinje.

Blandt de grundlæggende geometriske fakta er sætningen om, at halveringslinjen deler den modsatte side i forhold til de modstående sider. Denne kendsgerning forblev i skyggen i lang tid, men der er problemer overalt, som er meget nemmere at løse, hvis du kender dette og andre fakta om halveringslinjen. Jeg blev interesseret og besluttede at udforske denne egenskab ved bisektoren yderligere.

Hovedegenskaben for vinkelhalveringslinjen i en trekant

Sætning 3. En halveringslinje deler den modsatte side af en trekant i forhold til de tilstødende sider.

Bevis 1:

Givet: AL - halveringslinje for trekant ABC

Bevise:

Bevis: Lad F være skæringspunktet for linjen AL og en linje, der går gennem punktet I parallelt med AC-siden.

Så BFA = FAC = BAF. Derfor har B.A.F. ligebenet og AB = BF. Fra trekanters lighed ALC og FLB har vi

forhold

hvor

Bevis 2

Lad F være det punkt, der skæres af linjen AL og den linje, der går gennem punktet C parallelt med grundfladen AB. Så kan du gentage ræsonnementet.

Bevis 3

Lad K og M være basis for de perpendikulære, der falder på linjen AL fra punkt B og C henholdsvis. Trekanter ABL og ACL ligner hinanden i to vinkler. Derfor
. Og fra ligheden mellem BKL og CML har vi

Herfra

Bevis 4

Lad os bruge arealmetoden. Lad os beregne arealet af trekanter ABL og ACL to måder.

Herfra.

Bevis 5

Lad α= DIG,φ= BLA. Ved sinussætningen i trekant ABL

Og i trekanten ACL.

Fordi ,

Så opdeler vi begge sider af ligheden i de tilsvarende dele af den anden, får vi.

Opgave 1

Givet: I trekant ABC er VC halveringslinjen, BC = 2, KS = 1,

Løsning:

Opgave 2

Givet:

Find halveringslinjen for de spidse vinkler i en retvinklet trekant med ben 24 og 18

Løsning:

Lad side AC = 18, side BC = 24,

ER. - halveringslinje af en trekant.

Ved hjælp af Pythagoras sætning finder vi,

at AB = 30.

Siden da

Lad os på samme måde finde den anden halveringslinje.

Svar:

Opgave 3

I retvinklet trekant ABC med ret vinkel B vinkelhalveringslinje EN krydser siden B.C.

Ved punkt D. Det er kendt, at BD = 4, DC = 6.

Find arealet af trekanten ADC

Løsning:

Ved egenskaben af ​​halveringslinjen i en trekant

Lad os betegne AB = 2 x, AC = 3 x. Ved sætning

Pythagoras BC 2 + AB 2 = AC 2, eller 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Herfra finder vi det x = Så AB = , S ABC=

Derfor,

Opgave 4

Givet:

I en ligebenet trekant ABC side AB er lig med 10, base AC er 12.

Halvsektorer af vinkler A og C skærer hinanden i et punkt D. Find BD.

Løsning:

Da halveringslinjerne i en trekant skærer kl

Et punkt, så er BD halveringslinjen af ​​B. Lad os fortsætte BD til krydset med AC i punkt M. Så er M midtpunktet af AC, BM AC. Derfor

Fordi CD - halveringslinje af en trekant Så BMC

Derfor,.

Svar:

Sætning 4. De tre halveringslinjer i en trekant skærer hinanden i et punkt.

Lad os faktisk først overveje punktet P i skæringspunktet mellem to halveringslinjer, for eksempel AK 1 og VK 2 . Dette punkt er lige langt fra siderne AB og AC, da det ligger på halveringslinjenA, og er lige langt fra siderne AB og BC, som hørende til halveringslinjenB. Det betyder, at den er lige langt fra siderne AC og BC og dermed hører til den tredje halveringslinje SC 3 , dvs. i punktet P skærer alle tre halveringslinjer.

Formler til at finde halveringslinjen
Sætning 5: (den første formel for halveringslinjen): Hvis i trekant ABC er segmentet AL en halveringslinje A, så AL² = AB·AC - LB·LC.

Bevis: Lad M være skæringspunktet for linjen AL med cirklen omskrevet om trekanten ABC (fig. 41). Vinkel BAM er efter konvention lig med vinkel MAC. Vinklerne BMA og BCA er kongruente som indskrevne vinkler, der er overtrådt af den samme akkord. Det betyder, at trekanter BAM og LAC ligner hinanden i to vinkler. Derfor AL: AC = AB: AM. Dette betyder AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Q.E.D.

Sætning 6:. (anden formel for halveringslinjen): I en trekant ABC med siderne AB=a, AC=b ogA lig med 2α og halveringslinje l, ligheden gælder:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Bevis : Lad ABC være den givne trekant, AL dens halveringslinje, a=AB, b=AC, l=AL. Derefter S ABC = S ALB + S ALC . Derfor er ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Sætningen er blevet bevist.

Sætning 7: Hvis a, b er siderne i trekanten, er Y vinklen mellem dem,er halveringslinjen for denne vinkel. Derefter.

Geometri er en af ​​de mest komplekse og forvirrende videnskaber. I den viser det sig meget sjældent, hvad der ved første øjekast virker indlysende. Halvsektorer, højder, medianer, projektioner, tangenter - et stort antal virkelig svære udtryk, som er meget nemme at forveksle.

Faktisk, med det rette ønske, kan du forstå en teori om enhver kompleksitet. Når det kommer til halveringslinjer, medianer og højder, skal du forstå, at de ikke er unikke for trekanter. Ved første øjekast er disse enkle linjer, men hver af dem har sine egne egenskaber og funktioner, hvis viden i høj grad forenkler løsningen af ​​geometriske problemer. Så hvad er halveringslinjen i en trekant?

Definition

Selve udtrykket "bisector" kommer fra en kombination af de latinske ord "to" og "cut", "at skære", som indirekte angiver dets egenskaber. Normalt, når børn bliver introduceret til denne stråle, får de en kort sætning, de skal huske: "Halveren er en rotte, der løber rundt om hjørnerne og deler hjørnet i to." Naturligvis er en sådan forklaring ikke egnet til ældre skolebørn, og desuden bliver de normalt ikke spurgt om en vinkel, men om en geometrisk figur. Så halveringslinjen i en trekant er den stråle, der forbinder trekantens toppunkt til modsatte side, mens vinklen opdeles i to lige store dele. Punktet på den modsatte side, hvor halveringslinjen kommer, er valgt tilfældigt for en vilkårlig trekant.

Grundlæggende funktioner og egenskaber

Denne bjælke har få grundlæggende egenskaber. For det første, fordi halveringslinjen i en trekant halverer vinklen, vil ethvert punkt, der ligger på den, være lige langt fra de sider, der danner toppunktet. For det andet kan du i hver trekant tegne tre halveringslinjer i henhold til antallet af tilgængelige vinkler (derfor vil der allerede være fire af dem i den samme firkant, og så videre). Det punkt, hvor alle tre stråler skærer hinanden, er midten af ​​cirklen, der er indskrevet i trekanten.

Egenskaber bliver mere komplekse

Lad os komplicere teorien lidt. En anden interessant egenskab: halveringslinjen af ​​en vinkel i en trekant deler den modsatte side i segmenter, hvis forhold er lig med forholdet mellem siderne, der danner toppunktet. Ved første øjekast er dette kompliceret, men faktisk er alt simpelt: i den foreslåede figur, RL: LQ = PR: PK. Forresten blev denne ejendom kaldt "Bisector Theorem" og dukkede først op i den antikke græske matematiker Euclids værker. Det blev husket i en af ​​de russiske lærebøger først i den første fjerdedel af det syttende århundrede.

Det er lidt mere kompliceret. I en firkant afskærer halveringslinjen en ligebenet trekant. Denne figur viser alle ens vinkler for medianen af ​​AF.

Og i firkanter og trapezoider er halveringslinjerne af ensidede vinkler vinkelrette på hinanden. På den viste tegning er vinkel APB 90 grader.

I en ligebenet trekant

Halveringslinjen i en ligebenet trekant er en meget mere nyttig stråle. Det er på samme tid ikke kun en divisor af en vinkel i det halve, men også en median og en højde.

Medianen er et segment, der kommer fra et eller andet hjørne og falder på midten af ​​den modsatte side, hvorved det opdeles i lige store dele. Højde er en vinkelret nedadgående fra et toppunkt til den modsatte side; det er med dens hjælp, at ethvert problem kan reduceres til en simpel og primitiv Pythagoras sætning. I denne situation er halveringslinjen af ​​trekanten lig med roden af ​​forskellen mellem kvadratet på hypotenusen og det andet ben. Forresten er denne egenskab oftest stødt på i geometriske problemer.

For at konsolidere: i denne trekant er halveringslinjen FB medianen (AB = BC) og højden (vinklerne FBC og FBA er 90 grader).

I omridset

Så hvad skal du huske? Halveret i en trekant er den stråle, der halverer dens toppunkt. I skæringspunktet mellem tre stråler er centrum af en cirkel indskrevet i en given trekant (den eneste ulempe ved denne egenskab er, at den ikke har praktisk værdi og tjener kun til den kompetente udførelse af tegningen). Den opdeler også den modsatte side i segmenter, hvis forhold er lig med forholdet mellem siderne, mellem hvilke denne stråle passerede. I en firsidet bliver ejendommene lidt mere komplicerede, men ganske vist optræder de praktisk talt aldrig i problemer på skoleniveau, så de bliver normalt ikke berørt i programmet.

Halveret i en ligebenet trekant er den ultimative drøm for ethvert skolebarn. Det er både en median (det vil sige, at den deler den modsatte side i to) og en højde (vinkelret på den side). Løsning af problemer med en sådan halveringslinje reduceres til Pythagoras sætning.

Kendskab til halveringslinjens grundlæggende funktioner såvel som dens grundlæggende egenskaber er nødvendig for at løse geometriske problemer af både gennemsnit og højt niveau vanskeligheder. Faktisk findes denne stråle kun i planimetri, så det kan ikke siges, at huske information om det vil give dig mulighed for at klare alle typer opgaver.

Halveringslinjen i en trekant er det segment, der deler trekantens vinkel i to lige store vinkler. For eksempel, hvis vinklen i en trekant er 120 0, vil vi ved at tegne en halveringslinje konstruere to vinkler på hver 60 0.

Og da der er tre vinkler i en trekant, kan der tegnes tre halveringslinjer. De har alle ét skæringspunkt. Dette punkt er midten af ​​cirklen indskrevet i trekanten. På en anden måde kaldes dette skæringspunkt for trekantens centrum.

Når to halveringslinjer af en indre og en ydre vinkel skærer hinanden, opnås en vinkel på 90 0. En udvendig vinkel i en trekant er den vinkel, der støder op til den indre vinkel i en trekant.

Ris. 1. En trekant med 3 halveringslinjer

Halveringslinjen deler den modsatte side i to segmenter, der er forbundet med siderne:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Halveringspunkterne er lige langt fra vinklens sider, hvilket betyder, at de er i samme afstand fra vinklens sider. Det vil sige, hvis vi fra et hvilket som helst punkt af halveringslinjen falder vinkelrette til hver af siderne af trekantens vinkel, så vil disse vinkelrette være ens.

Hvis du tegner en median, halveringslinje og højde fra et toppunkt, så vil medianen være det længste segment, og højden vil være det korteste.

Nogle egenskaber ved halveringslinjen

I visse typer trekanter har halveringslinjen særlige egenskaber. Dette gælder primært en ligebenet trekant. Denne figur har to identiske sider, og den tredje kaldes basen.

Hvis du tegner en halveringslinje fra toppunktet af en vinkel i en ligebenet trekant til basen, så vil den have egenskaberne for både højde og median. I overensstemmelse hermed falder længden af ​​halveringslinjen sammen med længden af ​​medianen og højden.

Definitioner:

• Højde- en vinkelret tegnet fra toppen af ​​en trekant til den modsatte side.
• Median– et segment, der forbinder toppen af ​​en trekant og midten af ​​den modsatte side.

Ris. 2. Halvled i en ligebenet trekant

Det gælder også for en ligesidet trekant, altså en trekant, hvor alle tre sider er lige store.

Eksempel opgave

I trekant ABC: BR er halveringslinjen, med AB = 6 cm, BC = 4 cm og RC = 2 cm Træk længden af ​​den tredje side fra.

Ris. 3. Halvleder i en trekant

Løsning:

Halveringslinjen deler siden af ​​trekanten i et bestemt forhold. Lad os bruge denne proportion og udtrykke AR. Så finder vi længden af ​​den tredje side som summen af ​​de segmenter, som denne side blev delt i med halveringslinjen.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

Så er hele segmentet AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Samlede vurderinger modtaget: 107.

Hvad er halveringslinjen for en vinkel i en trekant? Når man besvarer dette spørgsmål, kommer den berømte rotte, der løber om hjørner og deler hjørnet i to, ud af munden på nogle mennesker." Hvis svaret skulle være "humoristisk", så er det måske korrekt. Men med videnskabelig pointe Fra et perspektiv burde svaret på dette spørgsmål lyde sådan her: begyndende ved vinklens toppunkt og opdele sidstnævnte i to lige store dele." I geometri opfattes denne figur også som et segment af halveringslinjen før dens skæring med den modsatte side af trekanten. Dette er ikke en fejlagtig mening. Men hvad er der mere kendt om halveringslinjen af ​​en vinkel, udover dens definition?

Ligesom enhver geometrisk lokus af punkter har den sine egne karakteristika. Den første af dem er snarere ikke engang et tegn, men en sætning, som kort kan udtrykkes som følger: "Hvis den modsatte side er opdelt i to dele af en halveringslinje, så vil deres forhold svare til forholdet mellem siderne af en stor trekant."

Den anden egenskab, som den har: skæringspunktet mellem halveringslinjerne for alle vinkler kaldes incenter.

Tredje tegn: halveringslinjer af en indre og to udvendige hjørner trekanter skærer hinanden i midten af ​​en af ​​de tre indskrevne cirkler.

Den fjerde egenskab ved vinkelhalveringslinjen i en trekant er, at hvis hver af dem er lige store, så er sidstnævnte ligebenet.

Det femte tegn vedrører også en ligebenet trekant og er hovedretningslinjen for dens genkendelse i en tegning ved halveringslinjer, nemlig: i en ligebenet trekant tjener den samtidig som median og højde.

Vinkelhalveringslinjen kan konstrueres ved hjælp af et kompas og lineal:

Den sjette regel siger, at det er umuligt at konstruere en trekant kun ved at bruge den sidstnævnte med de eksisterende halveringslinjer, ligesom det er umuligt at konstruere på denne måde fordoblingen af ​​en terning, kvadratiseringen af ​​en cirkel og tredelingen af ​​en vinkel. Det er strengt taget alle egenskaberne for vinkelhalveringslinjen i en trekant.

Hvis du omhyggeligt læste det foregående afsnit, så var du måske interesseret i én sætning. "Hvad er tredeling af en vinkel?" - vil du nok spørge. Trisektionen minder lidt om halveringslinjen, men hvis man tegner sidstnævnte, vil vinklen blive delt i to lige store dele, og når man konstruerer en tresektion, deles den i tre. Naturligvis er halveringslinjen i en vinkel lettere at huske, fordi tredeling ikke undervises i skolen. Men for fuldstændighedens skyld vil jeg også fortælle dig om det.

En trisektor kan, som jeg allerede har sagt, ikke kun konstrueres med et kompas og en lineal, men den kan oprettes ved hjælp af Fujitas regler og nogle kurver: Pascals snegle, firkanter, Nicomedes' conchoider, keglesnit,

Problemer med tredeling af en vinkel løses ganske enkelt ved hjælp af nevsis.

I geometri er der en sætning om vinkeltrisektorer. Det kaldes Morleys sætning. Hun angiver, at skæringspunkterne for trisektorerne af hver vinkel placeret i midten vil være hjørnerne

En lille sort trekant inde i en stor vil altid være ligesidet. Denne teorem blev opdaget af den britiske videnskabsmand Frank Morley i 1904.

Her er, hvor meget du kan lære om at dividere en vinkel: Trisektoren og halveringslinjen af ​​en vinkel kræver altid detaljerede forklaringer. Men her fik jeg mange definitioner, som jeg endnu ikke havde afsløret: Pascals snegl, Nicomedes' conchoid osv. Vær sikker på, der er meget mere at skrive om dem.

En trekant er en polygon med tre sider, eller en lukket stiplet linje med tre led, eller en figur dannet af tre segmenter, der forbinder tre punkter, der ikke ligger på den samme rette linje (se fig. 1).

Væsentlige elementer trekant abc

Toppe – punkt A, B og C;

Fester – segmenterne a = BC, b = AC og c = AB, der forbinder hjørnerne;

Vinkler – α, β, γ dannet af tre par sider. Vinkler er ofte betegnet på samme måde som hjørner med bogstaverne A, B og C.

Vinklen, der dannes af siderne af en trekant, og som ligger i dens indre område, kaldes en indre vinkel, og den, der støder op til den, er trekantens tilstødende vinkel (2, s. 534).

Højder, medianer, halveringslinjer og midterlinjer i en trekant

Ud over hovedelementerne i en trekant betragtes andre segmenter med interessante egenskaber også: højder, medianer, halveringslinjer og midterlinjer.

Højde

Trekanthøjder- disse er vinkelrette lodrette punkter fra trekantens spidser til modsatte sider.

For at plotte højden skal du udføre følgende trin:

1) Tegn en ret linje, der indeholder en af ​​trekantens sider (hvis højden er tegnet fra toppunktet Spids vinkel i en stump trekant);

2) fra toppunktet, der ligger over for den tegnede linje, tegn et segment fra punktet til denne linje, lav en vinkel på 90 grader med det.

Punktet, hvor højden skærer siden af ​​trekanten kaldes højde base (se fig. 2).

Egenskaber for trekanthøjder

I en retvinklet trekant er højden trukket fra toppunktet ret vinkel, opdeler det i to trekanter svarende til den oprindelige trekant.

I en spids trekant afskærer dens to højder lignende trekanter fra den.

Hvis trekanten er spids, så hører alle højdernes grundflader til trekantens sider, og i en stump trekant falder to højder på fortsættelsen af ​​siderne.

Tre højder i en spids trekant skærer hinanden i et punkt, og dette punkt kaldes ortocenter trekant.

Median

Medianer(fra latin mediana – “midt”) - disse er segmenter, der forbinder trekantens toppunkter med midtpunkterne på de modsatte sider (se fig. 3).

For at konstruere medianen skal du udføre følgende trin:

1) find midten af ​​siden;

2) forbind punktet, der er midten af ​​siden af ​​trekanten, med det modsatte toppunkt med et segment.

Egenskaber for trekantmedianer

Medianen deler en trekant i to trekanter med samme areal.

Medianerne af en trekant skærer hinanden i et punkt, som deler hver af dem i forholdet 2:1, tællet fra toppunktet. Dette punkt kaldes tyngdepunkt trekant.

Hele trekanten er opdelt med sine medianer i seks lige store trekanter.

Bisector

Halvere(fra latin bis - to gange og seko - cut) er de lige linjestykker indesluttet i en trekant, der halverer dens vinkler (se fig. 4).

For at konstruere en halveringslinje skal du udføre følgende trin:

1) konstruer en stråle, der kommer ud fra vinklens toppunkt og deler den i to lige store dele (halveringslinjen af ​​vinklen);

2) find skæringspunktet for halveringspunktet for trekantens vinkel med den modsatte side;

3) vælg et segment, der forbinder trekantens toppunkt med skæringspunktet på den modsatte side.

Egenskaber for trekanthalveringslinjer

Halseringslinjen af ​​en vinkel i en trekant deler den modsatte side i et forhold, der er lig med forholdet mellem de to tilstødende sider.

Halvere indvendige hjørner trekanter skærer hinanden i et punkt. Dette punkt kaldes midten af ​​den indskrevne cirkel.

Halveringslinjerne for de indre og ydre vinkler er vinkelrette.

Hvis halveringslinjen af ​​en ydre vinkel i en trekant skærer forlængelsen af ​​den modsatte side, så ADBD=ACBC.

Halveringslinjerne for en indre og to ydre vinkler i en trekant skærer hinanden i et punkt. Dette punkt er midten af ​​en af ​​de tre cirkler i denne trekant.

Grundlaget for halveringslinjen af ​​to indre og en ydre vinkel i en trekant ligger på den samme rette linje, hvis halveringslinjen for den ydre vinkel ikke er parallel med trekantens modsatte side.

Hvis halveringslinjerne for de ydre vinkler i en trekant ikke er parallelle modsatte sider, så ligger deres baser på den samme lige linje.