Negatif dereceli örnekler. Sayı kuvveti: tanımlar, gösterim, örnekler

Üs alma, çarpma işlemiyle yakından ilgili bir işlemdir; bu işlem, bir sayının kendisiyle defalarca çarpılmasının sonucudur. Bunu şu formülle gösterelim: a1 * a2 * … * an = an.

Örneğin, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Genel olarak üstel alma sıklıkla kullanılır. çeşitli formüller matematik ve fizikte. Bu fonksiyonun dört ana fonksiyondan daha bilimsel bir amacı vardır: Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölme.

Bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek

Bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek karmaşık bir işlem değildir. Çarpma ve toplama arasındaki ilişkiye benzer şekilde çarpma ile de ilgilidir. An gösterimi, n'inci sayıdaki “a” sayısının birbiriyle çarpılmasının kısa gösterimidir.

En fazla üstel sayıyı düşünün basit örnekler, karmaşık olanlara geçiyoruz.

Örneğin, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Dördün karesi (ikinci kuvvet) on altıya eşittir. Eğer 4*4 çarpımını anlamıyorsanız çarpma ile ilgili yazımızı okuyun.

Başka bir örneğe bakalım: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Beşin küpü (üçüncü kuvvet) yüz yirmi beşe eşittir.

Başka bir örnek: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Dokuzun küpü yedi yüz yirmi dokuza eşittir.

Üs formülleri

Bir güce doğru şekilde yükselmek için aşağıda verilen formülleri hatırlamanız ve bilmeniz gerekir. Bunda ekstra doğal bir şey yok, asıl mesele özü anlamak ve o zaman sadece hatırlanmakla kalmayacak, aynı zamanda kolay görünecek.

Bir monomialin bir kuvvete yükseltilmesi

Tek terimli nedir? Bu, herhangi bir miktardaki sayıların ve değişkenlerin bir ürünüdür. Örneğin iki bir tek terimlidir. Ve bu makale tam olarak bu tür tek terimlileri kuvvetlere yükseltmekle ilgilidir.

Üstel formülleri kullanarak bir tek terimlinin üstel değerini hesaplamak zor olmayacaktır.

Örneğin, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Tek terimliyi bir kuvvete yükseltirseniz, monomun her bileşeni bir kuvvete yükseltilir.

Halihazırda gücü olan bir değişkeni bir güce yükselterek güçler çarpılır. Örneğin, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;

Negatif güce yükseltme

Negatif derece– karşılıklı sayı. Karşılıklı sayı nedir? Herhangi bir X sayısının tersi 1/X'tir. Yani X-1=1/X. Negatif derecenin özü budur.

(3Y)^-3 örneğini düşünün:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Nedenmiş? Derecede eksi olduğu için bu ifadeyi paydaya aktarıyoruz ve ardından üçüncü kuvvete yükseltiyoruz. Basit değil mi?

Kesirli güce yükseltme

Sorunu düşünmeye başlayalım spesifik örnek. 43/2. Derece 3/2 ne anlama geliyor? 3 – pay, bir sayıyı (bu durumda 4) küp haline getirmek anlamına gelir. 2 sayısı paydadır; bir sayının ikinci kökünün (bu durumda 4) çıkarılmasıdır.

Daha sonra 43 = 2^3 = 8'in karekökünü elde ederiz. Cevap: 8.

Yani kesirli bir derecenin paydası 3 ya da 4 ya da sonsuzdan herhangi bir sayı olabilir ve bu sayı dereceyi belirler. kare kök, belirli bir sayıdan çıkarıldı. Elbette payda sıfır olamaz.

Bir kökü bir güce yükseltmek

Kök, kökün derecesine eşit bir dereceye kadar yükseltilirse, o zaman cevap radikal bir ifade olacaktır. Örneğin (√x)2 = x. Ve böylece her durumda kökün derecesi ile kökün yükselme derecesi eşittir.

Eğer (√x)^4 ise. O halde (√x)^4=x^2. Çözümü kontrol etmek için ifadeyi kesirli kuvvete sahip bir ifadeye dönüştürüyoruz. Kök kare olduğundan payda 2'dir. Kökün dördüncü kuvveti alınırsa pay 4 olur. 4/2=2 elde ederiz. Cevap: x = 2.

Her neyse en iyi seçenek ifadeyi kesirli kuvvete sahip bir ifadeye dönüştürmeniz yeterlidir. Kesir birbirini götürmezse, verilen sayının kökü izole edilmediği sürece cevap budur.

Karmaşık bir sayının üssünü yükseltmek

Karmaşık sayı nedir? Karmaşık sayı, a + b * i formülüne sahip bir ifadedir; a, b – gerçek sayılar. i, karesi alındığında -1 sayısını veren bir sayıdır.

Bir örneğe bakalım. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

"Zihinsel aritmetiği hızlandırmak, DEĞİL" kursuna kaydolun zihinsel aritmetik"Sayıları hızlı ve doğru bir şekilde toplamayı, çıkarmayı, çarpmayı, bölmeyi, karesini almayı ve hatta kök almayı öğrenmek. 30 gün içinde aritmetik işlemleri basitleştirmek için kolay püf noktalarını nasıl kullanacağınızı öğreneceksiniz. Her ders yeni teknikler içeriyor, açık örnekler ve faydalı görevler.

Çevrimiçi üs alma

Hesap makinemizi kullanarak bir sayının bir üssüne çıkmasını hesaplayabilirsiniz:

Üs alma 7. sınıf

Okul çocukları ancak yedinci sınıfta güç kazanmaya başlar.

Üs alma, çarpma işlemiyle yakından ilgili bir işlemdir; bu işlem, bir sayının kendisiyle defalarca çarpılmasının sonucudur. Bunu şu formülle gösterelim: a1 * a2 * … * an=an.

Örneğin, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Çözüm örnekleri:

Üs sunumu

Yedinci sınıf öğrencileri için tasarlanmış, güçlerin yükseltilmesine ilişkin sunum. Sunum bazı belirsiz noktaları açıklığa kavuşturabilir, ancak bu noktalar muhtemelen yazımız sayesinde açıklığa kavuşturulmayacak.

Sonuç olarak

Matematiği daha iyi anlamak için buzdağının sadece görünen kısmına baktık - kursumuza kaydolun: Zihinsel aritmetiği hızlandırmak - Zihinsel aritmetiği DEĞİL.

Kursta sadece basitleştirilmiş ve hızlı çarpma, toplama, çarpma, bölme ve yüzde hesaplamaya yönelik düzinelerce tekniği öğrenmekle kalmayacak, aynı zamanda bunları özel görevlerde ve eğitici oyunlarda da pratik edeceksiniz! Mental aritmetik ayrıca ilginç problemleri çözerken aktif olarak eğitilmiş çok fazla dikkat ve konsantrasyon gerektirir.

çarpma işlemiyle bulunabilir. Örneğin: 5+5+5+5+5+5=5x6. Böyle bir ifadeye, eşit terimlerin toplamının bir çarpıma katlanması denir. Tam tersi, bu eşitliği sağdan sola okursak eşit terimlerin toplamını genişlettiğimizi görürüz. Benzer şekilde, 5x5x5x5x5x5=5 6 gibi birkaç eşit faktörün çarpımını daraltabilirsiniz.

Yani altı özdeş çarpanı 5x5x5x5x5x5 ile çarpmak yerine 5 6 yazıp “beşin altıncı kuvveti” diyorlar.

5 6 ifadesi bir sayının kuvvetidir, burada:

5 - derece tabanı;

6 - üs.

Eşit faktörlerin çarpımının bir kuvvete indirgendiği eylemlere denir bir güce yükseltiyor.

Tabanı “a” ve üssü “n” olan bir derece genel olarak şu şekilde yazılır:

A sayısını n üssüne çıkarmak, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımını bulmak anlamına gelir.

“a” derecesinin tabanı 1 ise herhangi bir n doğal sayısının derece değeri 1 olacaktır. Örneğin 1 5 =1, 1 256 =1

Eğer “a” sayısını yükseltirseniz Birinci derece, o zaman a sayısının kendisini alırız: bir 1 = bir

Herhangi bir sayıyı yükseltirseniz sıfır derece, o zaman hesaplamalar sonucunda bir tane elde ederiz. 0 = 1

Bir sayının ikinci ve üçüncü kuvvetleri özel kabul edilir. Onlar için isimler buldular: ikinci dereceye denir sayının karesini almak, üçüncü - küp bu numara.

Herhangi bir sayının üssü pozitif, negatif veya sıfır olabilir. Bu durumda aşağıdaki kurallar geçerli değildir:

Pozitif bir sayının kuvveti bulunurken sonuç pozitif bir sayıdır.

Sıfırı hesaplarken doğal derece sıfır alıyoruz.

x m · xn = x m + n

örneğin: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

İle Güçleri aynı temellere göre bölmek Tabanı değiştirmiyoruz, ancak üsleri çıkarıyoruz:

x m / xn = x m - n , Nerede, m > n,

örneğin: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Hesaplarken bir gücü bir güce yükseltmek Tabanı değiştirmiyoruz, üsleri birbiriyle çarpıyoruz.

(m'de ) N = ym N

örneğin: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · n) n = x n · y m ,

örneğin:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Buna göre hesaplamalar yapılırken bir kesri bir kuvvete yükseltmek kesrin payını ve paydasını belirli bir güce yükseltiriz

(x/y)n = x n / y n

örneğin: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Derece içeren ifadelerle çalışırken hesaplama sırası.

Parantezsiz ancak üs içeren ifadelerin hesaplamalarını yaparken öncelikle üs alma, sonra çarpma ve bölme, ardından da toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirirler.

Parantez içeren bir ifadeyi hesaplamanız gerekiyorsa, önce parantez içindeki hesaplamaları yukarıda belirtilen sırayla, ardından geri kalan işlemleri soldan sağa aynı sırayla yapın.

Pratik hesaplamalarda çok yaygın olarak, hesaplamaları basitleştirmek için hazır güç tabloları kullanılır.

Kuvvet, bir sayının kendisiyle çarpılması işlemini basitleştirmek için kullanılır. Örneğin yazmak yerine yazabilirsiniz. 4 5 (\displaystyle 4^(5))(Bu geçişe ilişkin açıklama bu makalenin ilk bölümünde verilmiştir). Dereceler uzun veya yazmayı kolaylaştırır karmaşık ifadeler veya denklemler; kuvvetlerin eklenmesi ve çıkarılması da kolaydır, bu da basitleştirilmiş bir ifade veya denklemle sonuçlanır (örneğin, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Not: eğer karar vermen gerekiyorsa üstel denklem(böyle bir denklemde bilinmeyen üssün içindedir), okuyun.

Adımlar

Derecelerle ilgili basit problemleri çözme

Gücün tabanını kendi sayısıyla çarpın göstergeye eşit derece. Bir güç problemini elle çözmeniz gerekiyorsa, gücü, gücün tabanının kendisi ile çarpıldığı bir çarpma işlemi olarak yeniden yazın. Örneğin, bir derece verildiğinde 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Bu durumda kuvvet tabanı 3'ün kendisiyle 4 kez çarpılması gerekir: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). İşte diğer örnekler:

İlk önce ilk iki sayıyı çarpın.Örneğin, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Endişelenmeyin; hesaplama süreci ilk bakışta göründüğü kadar karmaşık değildir. Önce ilk iki dördü çarpın ve ardından sonuçla değiştirin. Bunun gibi:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Sonucu (örneğimizde 16) sonraki sayıyla çarpın. Sonraki her sonuç orantılı olarak artacaktır. Örneğimizde 16'yı 4 ile çarpın. Şu şekilde:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Son cevabınızı alana kadar ilk iki sayının sonucunu bir sonraki sayıyla çarpmaya devam edin. Bunu yapmak için ilk iki sayıyı çarpın ve ardından elde edilen sonucu sıradaki bir sonraki sayıyla çarpın. Bu yöntem her derece için geçerlidir. Örneğimizde şunları elde etmelisiniz: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Aşağıdaki problemleri çözün. Bir hesap makinesi kullanarak cevabınızı kontrol edin.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Hesap makinenizde "exp" veya " etiketli anahtarı arayın x n (\displaystyle x^(n))"veya"^". Bu tuşu kullanarak bir sayıyı bir kuvvete yükselteceksiniz. Büyük bir göstergeyle bir dereceyi manuel olarak hesaplamak neredeyse imkansızdır (örneğin, derece) 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ancak hesap makinesi bu görevle kolayca başa çıkabilir. Windows 7'de standart hesap makinesi mühendislik moduna geçirilebilir; Bunu yapmak için “Görünüm” -> “Mühendislik” seçeneğine tıklayın. Normal moda geçmek için “Görüntüle” -> “Normal”e tıklayın.

   • Cevabınızı kullanarak kontrol edin arama motoru(Google veya Yandex). Bilgisayarınızın klavyesindeki "^" tuşunu kullanarak ifadeyi arama motoruna girin; bu, anında doğru cevabı görüntüleyecektir (ve muhtemelen çalışmanız için benzer ifadeler önerecektir).

   Kuvvetlerde toplama, çıkarma, çarpma

   1. Dereceleri yalnızca aynı tabanlara sahip olmaları durumunda ekleyebilir ve çıkarabilirsiniz. Aynı taban ve üslere sahip kuvvetleri toplamanız gerekiyorsa toplama işlemini çarpma işlemiyle değiştirebilirsiniz. Örneğin, ifade verildiğinde 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Unutmayın ki derece 4 5 (\displaystyle 4^(5))şeklinde temsil edilebilir 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Böylece, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(burada 1 +1 =2). Yani benzer derecelerin sayısını sayın ve sonra o dereceyle bu sayıyı çarpın. Örneğimizde, 4'ün beşinci kuvvetini artırın ve elde edilen sonucu 2 ile çarpın. Toplama işleminin yerine çarpma işleminin getirilebileceğini unutmayın; örneğin, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). İşte diğer örnekler:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Üsleri aynı tabanla çarparken üsleri toplanır (taban değişmez).Örneğin, ifade verildiğinde x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Bu durumda, tabanı değiştirmeden bırakarak göstergeleri eklemeniz yeterlidir. Böylece, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). İşte bu kuralın görsel bir açıklaması:

      Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken üsler çarpılır. Mesela diploma veriliyor. Üslü sayılar çarpıldığına göre, (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Bu kuralın amacı kuvvetlerle çarpmanızdır (x 2) (\displaystyle (x^(2))) kendi başına beş kez. Bunun gibi:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Taban aynı olduğundan üslerin toplamı basit: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Negatif üslü bir kuvvet kesire (ters kuvvet) dönüştürülmelidir. Karşılıklı derecenin ne olduğunu bilmiyorsanız önemli değil. Size negatif üslü bir derece verilirse, ör. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), bu dereceyi kesrin paydasına yazın (payda 1 yazın) ve üssü pozitif yapın. Örneğimizde: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). İşte diğer örnekler:

      Dereceleri aynı tabana göre bölerken üsleri çıkarılır (taban değişmez). Bölme işlemi çarpma işleminin tersidir. Örneğin, ifade verildiğinde 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Paydadaki üssü paydaki üssünden çıkarın (tabanı değiştirmeyin). Böylece, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2))))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Paydanın kuvveti şu şekilde yazılabilir: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Kesirin negatif üssü olan bir sayı (kuvvet, ifade) olduğunu unutmayın.

   4. Aşağıda üslü sayılarla ilgili problemleri çözmeyi öğrenmenize yardımcı olacak bazı ifadeler bulunmaktadır. Verilen ifadeler bu bölümde sunulan materyali kapsamaktadır. Cevabı görmek için vurgulamanız yeterli Boş alan eşittir işaretinden sonra.

   Kesirli üslerle ilgili problemleri çözme

   Kesirli üssü olan bir kuvvet (örneğin, ) bir kök işlemine dönüştürülür.Örneğimizde: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Burada kesirli üssün paydasında hangi sayının olduğu önemli değildir. Örneğin, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- “x”in dördüncü köküdür, yani x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Üs ise uygunsuz kesir o zaman böyle bir derece, sorunun çözümünü basitleştirmek için iki dereceye ayrıştırılabilir. Bunda karmaşık bir şey yok - sadece güçleri çarpma kuralını hatırlayın. Mesela diploma veriliyor. Böyle bir kuvveti, gücü kesirli üssün paydasına eşit olan bir köke dönüştürün ve ardından bu kökü, kesirli üssün payına eşit bir kuvvete yükseltin. Bunu yapmak için şunu unutmayın 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Örneğimizde:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x))))^(5))
   2. Bazı hesap makinelerinde üsleri hesaplamak için bir düğme bulunur (önce tabanı girmeniz, ardından düğmeye basmanız ve ardından üssü girmeniz gerekir). ^ veya x^y olarak gösterilir.
   3. Herhangi bir sayının birinci kuvvetinin kendisine eşit olduğunu unutmayın, örneğin: 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Ayrıca herhangi bir sayının bir ile çarpımı veya bölünmesi kendisine eşittir; 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Ve 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. 0 0 kuvvetinin olmadığını bilin (böyle bir kuvvetin çözümü yoktur). Böyle bir dereceyi hesap makinesinde veya bilgisayarda çözmeye çalışırsanız hata alırsınız. Ancak herhangi bir sayının sıfır kuvvetinin 1 olduğunu unutmayın, örneğin, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. İÇİNDE yüksek Matematik sanal sayılarla çalışan: e a ben x = c o s a x + ben s ben n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Nerede ben = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e yaklaşık olarak 2,7'ye eşit bir sabittir; a keyfi bir sabittir. Bu eşitliğin kanıtı herhangi bir yüksek matematik ders kitabında bulunabilir.

   Uyarılar

   • Üs arttıkça değeri de büyük ölçüde artar. Yani cevap size yanlış geliyorsa aslında doğru olabilir. Bunu herhangi bir grafiği çizerek kontrol edebilirsiniz. üstel fonksiyonörneğin 2x.

Negatif kuvvete yükseltmek matematiğin temel unsurlarından biridir ve cebirsel problemlerin çözümünde sıklıkla karşılaşılan bir durumdur. Aşağıda ayrıntılı talimatlar bulunmaktadır.

Negatif güce nasıl yükseltilir - teori

Bir sayıyı sıradan bir kuvvete yükselttiğimizde değerini birkaç kez çarparız. Örneğin, 3 3 = 3×3×3 = 27. Negatif kesirlerde bunun tersi doğrudur. Genel form formüle göre şu şekilde görünecektir: a -n = 1/a n. Bu nedenle, bir sayıyı negatif kuvvete yükseltmek için, birini verilen sayıya, ancak pozitif kuvvete bölmeniz gerekir.

Negatif bir güce nasıl yükseltilir - sıradan sayılara ilişkin örnekler

Yukarıdaki kuralı akılda tutarak birkaç örnek çözelim.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Cevap: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Cevap -4 -2 = 1/16.

Peki birinci ve ikinci örneklerdeki cevaplar neden aynı? Gerçek şu ki, negatif bir sayı çift kuvvete yükseltildiğinde (2, 4, 6 vb.), işaret pozitif olur. Derece eşit olsaydı, eksi kalırdı:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Negatif güce nasıl yükseltilir - 0'dan 1'e kadar sayılar

0 ile 1 arasındaki bir sayının pozitif üssüne yükseltildiğinde, gücü arttıkça değerin azaldığını hatırlayın. Örneğin, 0,5 2 = 0,25. 0,25

Örnek 3: 0,5 -2'yi hesaplayın
Çözüm: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Cevap: 0,5 -2 = 4

Analiz (eylem sırası):

• Biz tercüme ediyoruz ondalık 0,5 ila kesirli 1/2. Bu şekilde daha kolay.
  1/2'yi negatif güce yükseltin. 1/(2)-2 . 1'i 1/(2) 2'ye bölersek 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 elde ederiz

Örnek 4: 0,5 -3'ü hesaplayın
Çözüm: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Örnek 5: -0,5 -3'ü hesaplayın
Çözüm: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Cevap: -0,5 -3 = -8

4. ve 5. örneklere dayanarak birkaç sonuç çıkarabiliriz:

• 0 ila 1 aralığında negatif bir kuvvete yükseltilmiş pozitif bir sayı için (örnek 4), kuvvetinin çift veya tek olması önemli değildir, ifadenin değeri pozitif olacaktır. Aynı zamanda daha daha fazla derece, değer ne kadar büyük olursa.
• 0 ila 1 aralığında (örnek 5) negatif bir sayının üssüne yükseltilmiş negatif bir sayı için, kuvvetinin tek veya çift olması önemli değildir, ifadenin değeri negatif olacaktır. Bu durumda derece ne kadar yüksek olursa değer o kadar düşük olur.

Negatif bir kuvvete nasıl yükseltilir - kesirli sayı biçiminde bir kuvvet

Bu tür ifadeler şu şekildedir: a -m/n, burada a bir normal sayıdır, m derecenin payıdır, n ise derecenin paydasıdır.

Bir örneğe bakalım:
Hesapla: 8 -1/3

Çözüm (eylem sırası):

• Bir sayıyı negatif kuvvete yükseltme kuralını hatırlayalım. Şunu elde ederiz: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Paydanın kesirli kuvvette 8 sayısına sahip olduğuna dikkat edin. Kesirli gücü hesaplamanın genel şekli şu şekildedir: a m/n = n √8 m.
• Böylece 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1) olur. 2'ye eşit olan sekizin küpkökünü elde ederiz. Buradan 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2 olur.
• Cevap: 8 -1/3 = 2

Hepimiz okuldan üs alma kuralını biliyoruz: Üssü N olan herhangi bir sayı, bu sayının kendisi ile N sayıda çarpılmasının sonucuna eşittir. Başka bir deyişle, 7 üssü 3, 7'nin kendisiyle üç kez çarpılması, yani 343'tür. Başka bir kural, herhangi bir miktarın 0'a yükseltilmesinin bir vermesidir ve negatif bir miktarın yükseltilmesi, sıradan bir artırmanın sonucudur. çift ​​ise kuvvet, tek ise eksi işaretiyle aynı sonuç.

Kurallar aynı zamanda bir sayının negatif kuvvetinin nasıl artırılacağı sorusunun da cevabını verir. Bunu yapmak için oluşturmanız gerekir her zamanki gibi göstergenin modülü başına gereken değeri ve ardından birimi sonuca bölün.

Bu kurallardan, büyük miktarları içeren gerçek görevlerin gerçekleştirilmesinin, teknik araçlar. Manuel olarak, yirmi ila otuza kadar maksimum sayı aralığını ve ardından üç veya dört katı geçmeyecek şekilde kendiniz çarpabilirsiniz. Bu, birinin sonuca bölünmesinden bahsetmiyor. Bu nedenle, elinde özel bir mühendislik hesap makinesi olmayanlar için, Excel'de bir sayının negatif kuvvetine nasıl yükseltileceğini anlatacağız.

Excel'de sorunları çözme

Üs almayla ilgili sorunları çözmek için Excel iki seçenekten birini kullanmanıza izin verir.

Birincisi standart “kapak” işaretli formülün kullanılmasıdır. Aşağıdaki verileri çalışma sayfası hücrelerine girin:

Aynı şekilde, istenen değeri herhangi bir güce (negatif, kesirli) yükseltebilirsiniz. Aşağıdaki adımları uygulayalım ve bir sayının negatif kuvveti nasıl artırılır sorusuna cevap verelim. Örnek:

=B2^-C2'yi doğrudan formülde düzeltebilirsiniz.

İkinci seçenek, iki gerekli argümanı (bir sayı ve bir üs) alan hazır "Derece" işlevini kullanmaktır. Kullanmaya başlamak için herhangi bir boş hücreye formülün başlangıcını belirten eşittir işaretini (=) koymanız ve yukarıdaki kelimeleri girmeniz yeterlidir. Geriye kalan tek şey, işleme katılacak iki hücreyi seçmek (veya belirli sayıları manuel olarak belirtmek) ve Enter tuşuna basmaktır. Birkaç basit örneğe bakalım.

Gördüğünüz gibi, Excel'i kullanarak bir sayının negatif kuvvetine ve normal kuvvetine nasıl yükseltileceği konusunda karmaşık bir şey yoktur. Sonuçta, bu sorunu çözmek için hem tanıdık "kapak" sembolünü hem de programın hatırlanması kolay yerleşik işlevini kullanabilirsiniz. Bu kesin bir artı!

Daha fazlasına geçelim karmaşık örnekler. Bir sayının negatif kesirli kuvvetine nasıl yükseltileceğine ilişkin kuralı hatırlayalım ve bu sorunun Excel'de çok kolay çözüldüğünü göreceğiz.

Kesirli göstergeler

Kısacası kesirli üslü bir sayıyı hesaplama algoritması aşağıdaki gibidir.

1. Bir kesri doğru veya yanlış kesire dönüştürün.
2. Sayımızı, elde edilen dönüştürülmüş kesrin payına yükseltin.
3. Önceki paragrafta elde edilen sayıdan, kökün üssünün ilk aşamada elde edilen kesrin paydası olması koşuluyla kökü hesaplayın.

Küçük sayılarla ve uygun kesirlerle çalışırken bile bu tür hesaplamaların çok zaman alabileceğini kabul edin. Excel elektronik tablo işlemcisinin hangi sayının hangi güce yükseltildiğini umursamaması iyi bir şey. İşyerinde çözmeye çalışın Excel sayfası aşağıdaki örnek:

Yukarıdaki kuralları kullanarak hesaplamanın doğru yapıldığını kontrol edebilir ve emin olabilirsiniz.

Makalemizin sonunda formüller ve sonuçlar içeren bir tablo şeklinde bir sayının negatif kuvvetine nasıl yükseltileceğine dair birkaç örnek ve birkaç işlem örneği sunacağız. kesirli sayılar ve dereceler.

Örnek tablo

Excel çalışma sayfanızda aşağıdaki örneklere göz atın. Her şeyin doğru çalışması için formülü kopyalarken karma referans kullanmanız gerekir. Yükseltilen sayıyı içeren sütunun numarasını ve göstergeyi içeren satırın numarasını sabitleyin. Formülünüz şuna benzemelidir: “=$B4^C$3.”

Pozitif sayıların (tam sayı olmayanlar bile) herhangi bir üs için sorunsuz hesaplanabileceğini lütfen unutmayın. Herhangi bir sayıyı tam sayılara yükseltmede herhangi bir sorun yoktur. Ancak negatif bir sayıyı kesirli bir kuvvete yükseltmek sizin için bir hata olacaktır, çünkü makalemizin başında negatif sayıların yükseltilmesiyle ilgili kurala uymak imkansızdır çünkü eşlik yalnızca TAM sayının bir özelliğidir.

Bir kuvvete yükseltilmiş bir sayı Kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıya seslenirler.

Negatif değerli bir sayının kuvveti (BİR) aynı sayının pozitif üslü kuvvetinin belirlenmesine benzer şekilde belirlenebilir (BİR) . Ancak aynı zamanda ek tanımlamayı da gerektirir. Formül şu şekilde tanımlanır:

BİR = (1/a n)

Sayıların negatif kuvvetlerinin özellikleri, pozitif üslü kuvvetlere benzer. Sunulan denklem A m/a n= bir m-n kadar adil olabilir

« Hiçbir yerde, matematikte olduğu gibi, sonucun netliği ve doğruluğu, bir kişinin sorunun etrafında konuşarak bir cevaptan kaçmasına izin vermez.».

AD Alexandrov

en N Daha M , Ve birlikte M Daha N . Bir örneğe bakalım: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Öncelikle derecenin tanımı görevi gören sayıyı belirlemeniz gerekir. b=a(-n) . Bu örnekte -N bir üs B - istenilen sayısal değer, A - doğal bir biçimde derecenin temeli Sayısal değer. Daha sonra üs görevi gören negatif bir sayının mutlak değerini, yani modülü belirleyin. Bir gösterge olarak belirli bir sayının mutlak sayıya göre derecesini hesaplayın. Derecenin değeri, birin elde edilen sayıya bölünmesiyle bulunur.

Pirinç. 1

Negatif kesirli üssü olan bir sayının kuvvetini düşünün. a sayısının herhangi olduğunu düşünelim. pozitif sayı, sayılar N Ve M - tamsayılar. Tanıma göre A , iktidara yükseltilen - birin pozitif kuvveti olan aynı sayıya bölünmesine eşittir (Şekil 1). Bir sayının kuvveti kesirli olduğunda, bu gibi durumlarda yalnızca pozitif üslü sayılar kullanılır.

Hatırlamaya değer sıfırın asla bir sayının üssü olamayacağı (sıfıra bölme kuralı).

Sayı olarak böyle bir kavramın yaygınlaşması, ölçüm hesaplamaları gibi manipülasyonların yanı sıra matematiğin bir bilim olarak gelişmesine de yol açtı. Negatif değerlerin ortaya çıkışı, özel anlamlarından ve orijinal sayısal verilerden bağımsız olarak aritmetik problemlere genel çözümler sunan cebirin gelişmesinden kaynaklanmıştır. Hindistan'da 6. ve 11. yüzyıllarda problemlerin çözümünde negatif sayılar sistematik olarak kullanılıyordu ve bugünkü gibi yorumlanıyordu. Negatif sayıların geometrik yorumunu segmentlerin yönleri olarak veren R. Descartes sayesinde Avrupa biliminde negatif sayılar yaygın olarak kullanılmaya başlandı. İki katlı bir formül olarak gösterilecek bir kuvvete yükseltilmiş bir sayının belirtilmesini öneren Descartes'tı. BİR .

Üssü olan sayıların da diğer nicelikler gibi toplanabileceği açıktır. , işaretleriyle birlikte birbiri ardına ekleyerek.

Yani a 3 ile b 2'nin toplamı a 3 + b 2'dir.
a 3 - b n ve h 5 -d 4'ün toplamı a 3 - b n + h 5 - d 4'tür.

Oranlar aynı değişkenlerin eşit kuvvetleri eklenebilir veya çıkarılabilir.

Yani 2a 2 ve 3a 2'nin toplamı 5a 2'ye eşittir.

Ayrıca iki kare a, üç kare a veya beş kare a alırsanız da açıktır.

Ama dereceler çeşitli değişkenler Ve çeşitli dereceler özdeş değişkenler, işaretleriyle birlikte eklenerek oluşturulmalıdır.

Yani 2 ile 3'ün toplamı 2 + a 3'ün toplamıdır.

A'nın karesi ve a'nın küpünün, a'nın karesinin iki katına değil, a'nın küpünün iki katına eşit olduğu açıktır.

a 3 b n ile 3a 5 b 6'nın toplamı a 3 b n + 3a 5 b 6'dır.

Çıkarma kuvvetler toplama işlemiyle aynı şekilde gerçekleştirilir, ancak çıkanların işaretlerinin buna göre değiştirilmesi gerekir.

Veya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 sa 2 b 6 - 4 sa 2 b 6 = - sa 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Çarpan güçler

Üssü olan sayılar da diğer nicelikler gibi, aralarında çarpım işareti olsun ya da olmasın, arka arkaya yazılarak çarpılabilir.

Dolayısıyla a 3'ü b 2 ile çarpmanın sonucu a 3 b 2 veya aaabb olur.

Veya:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Son örnekteki sonuç aynı değişkenler eklenerek sıralanabilir.
İfade şu şekli alacaktır: a 5 b 5 y 3.

Birkaç sayıyı (değişkeni) üslerle karşılaştırarak, bunlardan herhangi ikisi çarpıldığında sonucun kuvveti eşit olan bir sayı (değişken) olduğunu görebiliriz. miktar terimlerin dereceleri.

Yani a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaaa = a 5 .

Burada 5, çarpma sonucunun kuvvetidir; terimlerin kuvvetlerinin toplamı olan 2 + 3'e eşittir.

Yani a n .a m = a m+n .

Bir n için a, n'nin kuvveti kadar bir faktör olarak alınır;

Ve a m, m derecesinin eşit olduğu sayıda faktör olarak alınır;

Bu yüzden, aynı tabanlara sahip kuvvetler, kuvvetlerin üsleri toplanarak çarpılabilir.

Yani a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ve x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Veya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) ile çarpın.
Cevap: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) ile çarpın.

Bu kural üsleri eşit olan sayılar için de geçerlidir. olumsuz.

1. Yani a -2 .a -3 = a -5 . Bu (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa şeklinde yazılabilir.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Eğer a + b a - b ile çarpılırsa sonuç a 2 - b 2 olacaktır: yani

İki sayının toplamının veya farkının çarpılması sonucu toplamına eşit veya karelerinin farkı.

Yükseltilmiş iki sayının toplamını ve farkını çarparsanız kare sonuç bu sayıların toplamına veya farkına eşit olacaktır. dördüncü derece.

Yani (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Derecelerin bölünmesi

Üslü sayılar da diğer sayılar gibi paydan çıkarılarak veya kesirli hale getirilerek bölünebilir.

Böylece a 3 b 2 bölü b 2 eşittir a 3.

Veya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5'i 3'e bölmek $\frac(a^5)(a^3)$ şeklinde görünür. Ama bu 2'ye eşit. Bir dizi sayı halinde
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
herhangi bir sayı diğerine bölünebilir ve üs şuna eşit olacaktır: fark Bölünebilen sayıların göstergeleri.

Tabanları aynı olan dereceleri bölerken üsleri çıkarılır..

Yani, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Yani, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Ve a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yani, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Veya:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Kural aynı zamanda sayıları olan sayılar için de geçerlidir. olumsuz derece değerleri.
-5'i -3'e bölmenin sonucu -2'dir.
Ayrıca, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 veya $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Bu tür işlemler cebirde çok yaygın olarak kullanıldığı için çarpma ve kuvvetler bölüşümüne çok iyi hakim olmak gerekir.

Üsleri olan sayıları içeren kesirlerle örnek çözme örnekleri

1. Üsleri $\frac(5a^4)(3a^2)$ azaltın Cevap: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Üsleri $\frac(6x^6)(3x^5)$ azaltın. Cevap: $\frac(2x)(1)$ veya 2x.

3. a 2 /a 3 ve a -3 /a -4 üslerini azaltın ve ortak bir paydaya getirin.
a 2 .a -4 birinci pay -2'dir.
a 3 .a -3, ikinci pay olan 0 = 1'dir.
a 3 .a -4 ortak pay olan a -1'dir.
Basitleştirmeden sonra: a -2 /a -1 ve 1/a -1 .

4. 2a 4 /5a 3 ve 2 /a 4 üslerini azaltın ve ortak bir paydaya getirin.
Yanıt: 2a 3 /5a 7 ve 5a 5 /5a 7 veya 2a 3 /5a 2 ve 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4'ü (a - b)/3 ile çarpın.

6. (a 5 + 1)/x 2'yi (b 2 - 1)/(x + a) ile çarpın.

7. b 4 /a -2'yi h -3 /x ve a n /y -3 ile çarpın.

8. 4 /y 3'ü 3 /y 2'ye bölün. Cevap: a/y.

9. (h 3 - 1)/d 4'ü (d n + 1)/h'ye bölün.