İnşaat negatif derece– Cebirsel problemleri çözerken sıklıkla karşılaşılan matematiğin temel unsurlarından biri. Aşağıda ayrıntılı talimatlar bulunmaktadır.

Negatif güce nasıl yükseltilir - teori

Bir sayıyı sıradan bir kuvvete yükselttiğimizde değerini birkaç kez çarparız. Örneğin, 3 3 = 3×3×3 = 27. Negatif kesirlerde bunun tersi doğrudur. Formülün genel şekli şu şekilde olacaktır: a -n = 1/a n. Bu nedenle, bir sayıyı negatif kuvvete yükseltmek için, birini verilen sayıya, ancak pozitif kuvvete bölmeniz gerekir.

Negatif bir güce nasıl yükseltilir - sıradan sayılara ilişkin örnekler

Yukarıdaki kuralı akılda tutarak birkaç örnek çözelim.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Cevap: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Cevap -4 -2 = 1/16.

Peki birinci ve ikinci örneklerdeki cevaplar neden aynı? Gerçek şu ki, negatif bir sayı çift kuvvete yükseltildiğinde (2, 4, 6 vb.), işaret pozitif olur. Derece eşit olsaydı, eksi kalırdı:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Sayılar 0'dan 1'e negatif kuvvete nasıl yükseltilir

0 ile 1 arasındaki bir sayının pozitif üssüne yükseltildiğinde, gücü arttıkça değerin azaldığını hatırlayın. Örneğin, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Örnek 3: 0,5 -2'yi hesaplayın
Çözüm: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Cevap: 0,5 -2 = 4

Analiz (eylem sırası):

• Ondalık kesir 0,5'i kesirli kesir 1/2'ye dönüştürün. Bu şekilde daha kolay.
  1/2'yi negatif güce yükseltin. 1/(2)-2 . 1'i 1/(2) 2'ye bölersek 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 elde ederiz

Örnek 4: 0,5 -3'ü hesaplayın
Çözüm: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Örnek 5: -0,5 -3'ü hesaplayın
Çözüm: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Cevap: -0,5 -3 = -8

4. ve 5. örneklere dayanarak birkaç sonuç çıkarabiliriz:

• 0 ila 1 aralığında negatif bir kuvvete yükseltilmiş pozitif bir sayı için (örnek 4), kuvvetinin çift veya tek olması önemli değildir, ifadenin değeri pozitif olacaktır. Aynı zamanda daha daha fazla derece, değer ne kadar büyük olursa.
• 0 ila 1 aralığında (örnek 5) negatif bir sayının üssüne yükseltilmiş negatif bir sayı için, kuvvetinin tek veya çift olması önemli değildir, ifadenin değeri negatif olacaktır. Bu durumda derece ne kadar yüksek olursa değer o kadar düşük olur.

Negatif bir kuvvete nasıl yükseltilir - kesirli sayı biçiminde bir kuvvet

Bu tür ifadeler şu şekildedir: a -m/n, burada a bir normal sayıdır, m derecenin payıdır, n ise derecenin paydasıdır.

Bir örneğe bakalım:
Hesapla: 8 -1/3

Çözüm (eylem sırası):

• Bir sayıyı negatif kuvvete yükseltme kuralını hatırlayalım. Şunu elde ederiz: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Paydanın kesirli kuvvette 8 sayısına sahip olduğuna dikkat edin. Kesirli gücü hesaplamanın genel şekli şu şekildedir: a m/n = n √8 m.
• Böylece 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1) olur. 2'ye eşit olan sekizin küpkökünü elde ederiz. Buradan 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2 olur.
• Cevap: 8 -1/3 = 2

Hepimiz okuldan üs alma kuralını biliyoruz: Üssü N olan herhangi bir sayı, bu sayının kendisi ile N sayıda çarpılmasının sonucuna eşittir. Başka bir deyişle, 7 üssü 3, 7'nin kendisiyle üç kez çarpılması, yani 343'tür. Başka bir kural, herhangi bir miktarın 0'a yükseltilmesinin bir vermesidir ve negatif bir miktarın yükseltilmesi, sıradan bir artırmanın sonucudur. çift ​​ise kuvvet, tek ise eksi işaretiyle aynı sonuç.

Kurallar aynı zamanda bir sayının negatif kuvvetinin nasıl artırılacağı sorusunun da cevabını verir. Bunu yapmak için oluşturmanız gerekir her zamanki gibi göstergenin modülü başına gereken değeri ve ardından birimi sonuca bölün.

Bu kurallardan, büyük miktarları içeren gerçek görevlerin gerçekleştirilmesinin, teknik araçlar. Manuel olarak, yirmi ila otuza kadar maksimum sayı aralığını ve ardından üç veya dört katı geçmeyecek şekilde kendiniz çarpabilirsiniz. Bu, birinin sonuca bölünmesinden bahsetmiyor. Bu nedenle, elinde özel bir mühendislik hesap makinesi olmayanlar için, Excel'de bir sayının negatif kuvvetine nasıl yükseltileceğini anlatacağız.

Excel'de sorunları çözme

Üs almayla ilgili sorunları çözmek için Excel iki seçenekten birini kullanmanıza izin verir.

Birincisi standart “kapak” işaretli formülün kullanılmasıdır. Aşağıdaki verileri çalışma sayfası hücrelerine girin:

Aynı şekilde, istenen değeri herhangi bir güce (negatif, kesirli) yükseltebilirsiniz. Aşağıdaki adımları uygulayalım ve bir sayının negatif kuvveti nasıl artırılır sorusuna cevap verelim. Örnek:

=B2^-C2'yi doğrudan formülde düzeltebilirsiniz.

İkinci seçenek, iki gerekli argümanı (bir sayı ve bir üs) alan hazır "Derece" işlevini kullanmaktır. Kullanmaya başlamak için herhangi bir boş hücreye formülün başlangıcını belirten eşittir işaretini (=) koymanız ve yukarıdaki kelimeleri girmeniz yeterlidir. Geriye kalan tek şey, işleme katılacak iki hücreyi seçmek (veya belirli sayıları manuel olarak belirtmek) ve Enter tuşuna basmaktır. Birkaçına bakalım basit örnekler.

			Formül	Sonuç
			DERECE(B2;C2)
			DERECE(B3;C3)	0,002915

Gördüğünüz gibi, Excel'i kullanarak bir sayının negatif kuvvetine ve normal kuvvetine nasıl yükseltileceği konusunda karmaşık bir şey yoktur. Sonuçta, bu sorunu çözmek için hem tanıdık "kapak" sembolünü hem de programın hatırlanması kolay yerleşik işlevini kullanabilirsiniz. Bu kesin bir artı!

Daha fazlasına geçelim karmaşık örnekler. Bir sayının negatif kesirli kuvvetine nasıl yükseltileceğine ilişkin kuralı hatırlayalım ve bu sorunun Excel'de çok kolay çözüldüğünü göreceğiz.

Kesirli göstergeler

Kısacası kesirli üslü bir sayıyı hesaplama algoritması aşağıdaki gibidir.

1. Bir kesri doğru kesre dönüştürün veya uygunsuz kesir.
2. Sayımızı, elde edilen dönüştürülmüş kesrin payına yükseltin.
3. Önceki paragrafta elde edilen sayıdan, kökün üssünün ilk aşamada elde edilen kesrin paydası olması koşuluyla kökü hesaplayın.

Küçük sayılarla ve uygun kesirlerle çalışırken bile bu tür hesaplamaların çok zaman alabileceğini kabul edin. Excel elektronik tablo işlemcisinin hangi sayının hangi güce yükseltildiğini umursamaması iyi bir şey. İşyerinde çözmeye çalışın Excel sayfası aşağıdaki örnek:

Yukarıdaki kuralları kullanarak hesaplamanın doğru yapıldığını kontrol edebilir ve emin olabilirsiniz.

Makalemizin sonunda formüller ve sonuçlar içeren bir tablo şeklinde bir sayının negatif kuvvetine nasıl yükseltileceğine dair çeşitli örneklerin yanı sıra kesirli sayılar ve kuvvetlerle işlem yapmanın birkaç örneğini sunacağız.

Örnek tablo

Excel çalışma sayfanızda aşağıdaki örneklere göz atın. Her şeyin doğru çalışması için formülü kopyalarken karma referans kullanmanız gerekir. Yükseltilen sayıyı içeren sütunun numarasını ve göstergeyi içeren satırın numarasını sabitleyin. Formülünüz şuna benzemelidir: “=$B4^C$3.”

Sayı/Derece

Pozitif sayıların (tam sayı olmayanlar bile) herhangi bir üs için sorunsuz hesaplanabileceğini lütfen unutmayın. Herhangi bir sayıyı tam sayılara yükseltmede herhangi bir sorun yoktur. Ancak negatif bir sayıyı kesirli bir kuvvete yükseltmek sizin için bir hata olacaktır, çünkü makalemizin başında negatif sayıların yükseltilmesiyle ilgili kurala uymak imkansızdır çünkü eşlik yalnızca TAM sayının bir özelliğidir.

Bildiğiniz gibi matematikte sadece pozitif sayılar değil, negatif sayılar da vardır. Pozitif güçlerle tanışma bir karenin alanının belirlenmesiyle başlarsa, o zaman negatif güçlerle her şey biraz daha karmaşıktır.

Şunu bilmelisiniz:

1. Sayıyı yükselterek doğal derece bir sayının (makalede sayı ve rakam eşdeğeri kavramlarını ele alacağız) tek başına üs gibi bir miktarda (gelecekte paralel olarak ve basitçe üs kelimesini kullanacağız) çarpımı denir. 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. İÇİNDE Genel görünümşuna benzer: m^n = m*m*m*…*m (n kere).
2. Negatif bir sayının doğal kuvvetine yükseltildiğinde üssün çift olması durumunda pozitif olacağı dikkate alınmalıdır.
3. Bir sayıyı 0 üssüne yükseltmek, sıfıra eşit olmadığı sürece bir verir. Sıfırın sıfır kuvveti tanımsız olarak kabul edilir. 17^0 = 1.
4. Bir sayının belirli bir kuvvetinin kökünü çıkarmak, uygun üsse yükseltildiğinde istenen değeri verecek bir sayıyı bulmaktır. 5^3 = 125 olduğundan 125'in küp kökü 5'tir.
5. Bir sayıyı pozitif kesirli kuvvete yükseltmek istiyorsanız, o zaman sayıyı payda üssüne kadar yükseltmeniz ve bundan pay üssünün kökünü çıkarmanız gerekir. 6^5/7 = 6*6*6*6*6 çarpımının yedinci kökü.
6. Bir sayıyı negatif üsse yükseltmek istiyorsanız verilen sayının tersini bulmanız gerekir. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Bir sayıyı modülo sıfırdan bire negatif kuvvete yükseltmek

İlk önce şunu hatırlamalıyız modül nedir. Bu, koordinat çizgisi üzerinde seçtiğimiz değerden orijine (koordinat çizgisinin sıfırı) kadar olan mesafedir. Tanım gereği asla olumsuz olamaz.

Sıfırdan büyük değer

Bir rakamın değeri sıfır ile bir arasında olduğunda negatif gösterge rakamın kendisinde bir artış sağlar. Bunun nedeni paydanın pozitif kalırken azalmasıdır.

Örneklere bakalım:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Üstelik göstergenin modülü ne kadar büyük olursa rakam o kadar aktif bir şekilde büyür. Payda sıfıra yaklaştıkça kesrin kendisi de artı sonsuza doğru yönelir.

Sıfırdan küçük değer

Şimdi sayı sıfırdan küçükse negatif kuvvete nasıl yükseltileceğine bakalım. Prensip önceki kısımdakiyle aynıdır ancak burada göstergenin işareti önemlidir.

Örneklere tekrar bakalım:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

İÇİNDE bu durumda, bunu görüyoruz Modül büyümeye devam ediyor, ancak işaret, göstergenin çift mi yoksa tek mi olduğuna bağlıdır.

Unutulmamalıdır ki bir ünite kurarsak her zaman kendi başına kalacaktır. Bir sayıyı eksi bir artırmanız gerekiyorsa, çift üsle bu bire dönüşecek ve tek üsle eksi bir olarak kalacaktır.

Modül birden büyükse negatif tam sayı kuvvetine yükseltme

Modülü birden büyük olan sayılar için, kendine has eylem özellikleri vardır. Öncelikle kesrin tamamını paya çevirmeniz yani bileşik kesir haline getirmeniz gerekiyor. Eğer sahipsek ondalık, daha sonra normale dönüştürülmesi gerekir. Bu şu şekilde yapılır:

• 6 tam sayı 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Şimdi bu koşullar altında bir sayının negatif kuvvetine nasıl yükseltileceğine bakalım. Zaten yukarıdan, hesaplamaların sonucundan ne bekleyebileceğimizi varsayabiliriz. Sadeleştirmeler sırasında çift kesir ters çevrildiğinden, üssün modülü ne kadar büyük olursa şeklin modülü o kadar hızlı azalacaktır.

Öncelikle şu duruma bakalım görevde verilen sayı pozitiftir.

Her şeyden önce, nihai sonucun sıfırdan büyük olacağı anlaşılıyor çünkü iki pozitif olanı bölmek her zaman pozitif bir sonuç verir. Bunun nasıl yapıldığına dair örneklere tekrar bakalım:

• 6 tam sayı 1/20 üzeri eksi beşinci kuvvet = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0 ,0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Gördüğünüz gibi eylemler herhangi bir zorluk yaratmıyor ve başlangıçtaki tüm varsayımlarımızın doğru olduğu ortaya çıktı.

Şimdi negatif rakam durumuna dönelim.

Başlangıç ​​​​olarak, gösterge çiftse sonucun pozitif olacağını, gösterge tekse sonucun negatif olacağını varsayabiliriz. Bu bölümde daha önce yaptığımız tüm hesaplamalar artık geçerli sayılacaktır. Örneklere tekrar bakalım:

• -3 tam 1/2 üzeri eksi altıncı kuvvet = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Böylece tüm muhakememizin doğru olduğu ortaya çıktı.

Negatif kesirli üs durumunda yapı

Burada böyle bir yapının var olduğunu hatırlamanız gerekir. bir sayıdan paydanın kuvvetinin kökünü payın kuvvetine çıkarmak. Önceki akıl yürütmelerimizin tümü bu kez doğru kalıyor. Eylemlerimizi bir örnekle açıklayalım:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

Bu durumda köklerin çıkarılması gerektiğini aklınızda bulundurmanız gerekir. yüksek seviye yalnızca özel olarak seçilmiş bir biçimde mümkündür ve büyük olasılıkla doğru hesaplamalarla radikalin işaretinden (karekök, kübik kök vb.) kurtulamayacaksınız.

Yine de önceki bölümleri ayrıntılı olarak inceledikten sonra okul hesaplamalarında zorluk beklememelisiniz.

Bu bölümün açıklamasının aynı zamanda aşağıdakileri de içerdiğine dikkat edilmelidir. kasıtlı olarak irrasyonel bir gösterge içeren inşaatörneğin gösterge eksi PI'ye eşitse. Yukarıda açıklanan ilkelere göre hareket etmeniz gerekir. Ancak bu gibi durumlarda hesaplamalar o kadar karmaşık hale gelir ki, bunu yalnızca güçlü elektronik bilgisayarlar yapabilir.

Çözüm

İncelediğimiz eylem en çok biri en karmaşık görevler Matematikte(özellikle kesirli-rasyonel veya irrasyonel anlam durumunda). Ancak detaylı ve adım adım çalışarak bu talimatlar, bunu hiçbir sorun yaşamadan tam otomatik olarak yapmayı öğrenebilirsiniz.

Bu materyalde bir sayının kuvvetinin ne olduğuna bakacağız. Temel tanımların yanı sıra doğal, tamsayı, rasyonel ve irrasyonel üslü kuvvetlerin neler olduğunu formüle edeceğiz. Her zaman olduğu gibi tüm kavramlar örnek problemlerle anlatılacaktır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İlk olarak, bir derecenin temel tanımını doğal bir üsle formüle edelim. Bunu yapmak için çarpma işleminin temel kurallarını hatırlamamız gerekir. Şimdilik esas alacağımızı şimdiden belirtelim. gerçek Numara(bunu a harfiyle belirtin) ve bir gösterge olarak - doğal (bunu n harfiyle belirtin).

Tanım 1

Doğal üssü n olan bir a sayısının kuvveti, her biri a sayısına eşit olan n'inci faktör sayısının çarpımıdır. Derece şu şekilde yazılır: BİR ve bir formül biçiminde bileşimi şu şekilde temsil edilebilir:

Örneğin üs 1 ve taban a ise a'nın birinci kuvveti şu şekilde yazılır: 1. a'nın faktörün değeri ve 1'in faktör sayısı olduğu göz önüne alındığında, şu sonuca varabiliriz: bir 1 = bir.

Genel olarak derecenin uygun bir kayıt şekli olduğunu söyleyebiliriz. büyük miktar eşit faktörler. Yani formun bir kaydı 8 8 8 8 kısaltılabilir 8 4 . Aynı şekilde ürün, çok sayıda terim yazmaktan kaçınmamıza yardımcı olur (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Bunu doğal sayıların çarpımına ayrılmış makalede zaten tartışmıştık.

Derece girişi nasıl doğru okunur? Genel olarak kabul edilen seçenek “a üzeri n”dir. Veya “a'nın n'inci kuvveti” veya “anth kuvveti” diyebilirsiniz. Diyelim ki örnekte girişle karşılaştık 8 12 "8 üssü 12", "8 üssü 12" veya "8'in 12. kuvveti" şeklinde okuyabiliriz.

Sayıların ikinci ve üçüncü kuvvetlerinin kendi yerleşik isimleri vardır: kare ve küp. İkinci kuvveti görürsek örneğin 7 (7 2) sayısını görürsek “7'nin karesi” veya “7 sayısının karesi” diyebiliriz. Benzer şekilde üçüncü derece şu şekilde okunur: 5 3 - bu “5 ​​sayısının küpü” veya “5'in küpü”dür. Ancak standart formülasyonu “ikinci/üçüncü kuvvete” de kullanabilirsiniz; bu bir hata olmayacaktır.

örnek 1

Doğal üssü olan bir derece örneğine bakalım: 5 7 beşi taban, yedisi üs olacak.

Tabanın bir tam sayı olması gerekmez: derece için (4 , 32) 9 taban kesir 4, 32, üs ise dokuz olacaktır. Parantezlere dikkat edin: Bu gösterim, tabanları doğal sayılardan farklı olan tüm kuvvetler için yapılır.

Örneğin: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Parantez ne işe yarar? Hesaplamalardaki hataların önlenmesine yardımcı olurlar. Diyelim ki iki girdimiz var: (− 2) 3 Ve − 2 3 . Bunlardan ilki, doğal üssü üç olan bir kuvvete yükseltilmiş negatif bir sayı eksi iki anlamına gelir; ikincisi derecenin karşıt değerine karşılık gelen sayıdır 2 3 .

Bazen kitaplarda bir sayının kuvvetinin biraz farklı yazılışını bulabilirsiniz - bir^n(burada a taban ve n üstür). Yani 4^9 eşittir 4 9 . N olması durumunda çok haneli sayı, parantez içinde alınır. Örneğin, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ama notasyonu kullanacağız BİR daha yaygın olduğu için.

Bir üssün değerinin doğal bir üsle nasıl hesaplanacağını tanımından tahmin etmek kolaydır: sadece n'inci sayıda çarpmanız gerekir. Bunun hakkında daha fazla bilgiyi başka bir makalede yazdık.

Derece kavramı, başka bir matematik kavramının, bir sayının kökü olanın tersidir. Gücün değerini ve üssünü bilirsek tabanını hesaplayabiliriz. Derecenin, ayrı bir materyalde tartıştığımız, problemlerin çözümünde yararlı olan bazı spesifik özellikleri vardır.

Üslü sayılar yalnızca doğal sayıları değil, aynı zamanda tamsayılar kümesine ait oldukları için negatif olanlar ve sıfırlar da dahil olmak üzere genel olarak herhangi bir tamsayı değerini de içerebilir.

Tanım 2

Pozitif tamsayı üssü olan bir sayının kuvveti bir formülle temsil edilebilir: .

Bu durumda n herhangi bir pozitif tam sayıdır.

Sıfır derece kavramını anlayalım. Bunu yapmak için eşit tabanlara sahip kuvvetler için bölüm özelliğini dikkate alan bir yaklaşım kullanıyoruz. Bu şekilde formüle edilmiştir:

Tanım 3

Eşitlik a m: a n = a m - n aşağıdaki koşullar altında doğru olacaktır: m ve n doğal sayılardır, m< n , a ≠ 0 .

Son koşul önemlidir çünkü sıfıra bölünmeyi önler. M ve n değerleri eşitse aşağıdaki sonucu elde ederiz: bir n: bir n = bir n - n = bir 0

Ama aynı zamanda a n: a n = 1 bir bölümdür eşit sayılar BİR ve bir. Sıfır olmayan herhangi bir sayının sıfır kuvvetinin bire eşit olduğu ortaya çıktı.

Ancak böyle bir ispat sıfırın sıfırıncı kuvveti için geçerli değildir. Bunu yapmak için güçlerin başka bir özelliğine ihtiyacımız var; eşit temellere sahip güçlerin çarpımlarının özelliği. Şuna benziyor: bir m · bir n = bir m + n .

Eğer n 0'a eşitse, o zaman a m · a 0 = a m(Bu eşitlik aynı zamanda bize şunu da kanıtlıyor: 0 = 1). Ama eğer ve de sıfıra eşitse eşitliğimiz şu şekli alır: 0 m · 0 0 = 0 m n'nin herhangi bir doğal değeri için bu doğru olacaktır ve derecenin değerinin tam olarak neye eşit olduğu önemli değildir. 0 0 yani herhangi bir sayıya eşit olabilir ve bu eşitliğin doğruluğunu etkilemez. Bu nedenle formun notasyonu 0 0 kendine özel bir anlamı yoktur ve biz de ona atfetmeyeceğiz.

İstenirse bunu kontrol etmek kolaydır 0 = 1 derece özelliği ile yakınsar (bir m) n = bir m n derecenin tabanının sıfır olmaması şartıyla. Dolayısıyla sıfır üssü sıfır olan herhangi bir sayının kuvveti birdir.

Örnek 2

Belirli sayıların olduğu bir örneğe bakalım: 5 0 - birim, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 ve değer 0 0 Tanımsız.

Sıfır dereceden sonra negatif derecenin ne olduğunu bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için yukarıda kullandığımız eşit tabanlı kuvvetlerin çarpımının aynı özelliğine ihtiyacımız var: a m · a n = a m + n.

Şimdi şu koşulu getirelim: m = − n, o zaman a sıfıra eşit olmamalıdır. Şunu takip ediyor bir - n · bir n = bir - n + n = bir 0 = 1. Görünüşe göre bir n ve a−n Karşılıklı olarak karşılıklı sayılarımız var.

Sonuç olarak, a'nın negatif tam kuvveti 1 a n kesirinden başka bir şey değildir.

Bu formülasyon, negatif tam sayı üslü bir derece için, doğal üslü bir derecenin sahip olduğu tüm aynı özelliklerin geçerli olduğunu doğrular (tabanın sıfıra eşit olmaması şartıyla).

Örnek 3

Negatif tamsayı üssü n olan bir a kuvveti, 1 a n kesri olarak temsil edilebilir. Dolayısıyla a - n = 1 a n bir ≠ 0 ve n – herhangi biri doğal sayı.

Fikrimizi spesifik örneklerle açıklayalım:

Örnek 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Paragrafın son kısmında söylenen her şeyi net bir şekilde tek bir formülle tasvir etmeye çalışacağız:

Tanım 4

Doğal üssü z olan bir sayının kuvveti şöyledir: a z = a z, e ile l ve z - pozitif tamsayı 1, z = 0 ve a ≠ 0, (z = 0 ve a = 0 için sonuç 0 0'dır, ifadesinin değerleri 0 0 tanımlanmamıştır) 1 a z, if ve z negatif bir tam sayı ise ve a ≠ 0 ( z negatif bir tam sayı ise ve a = 0 ise 0 z elde edersiniz, egoz değeri belirsizdir)

Rasyonel üssü olan kuvvetler nelerdir?

Üssün tam sayı içerdiği durumları inceledik. Bununla birlikte, üssü kesirli bir sayı içerse bile bir sayının üssünü yükseltebilirsiniz. Buna rasyonel üssü olan kuvvet denir. Bu bölümde diğer güçlerle aynı özelliklere sahip olduğunu kanıtlayacağız.

Ne oldu rasyonel sayılar? Çeşitliliği hem bütün hem de kesirli sayılar kesirli sayılar sıradan kesirler (hem pozitif hem de negatif) olarak temsil edilebilir. Bir a sayısının kuvvetinin tanımını m / n kesirli üssüyle formüle edelim; burada n bir doğal sayı ve m bir tam sayıdır.

Kesirli a m n üssüne sahip bir derecemiz var. Güç-güç özelliğinin geçerli olabilmesi için a m n n = a m n · n = a m eşitliğinin doğru olması gerekir.

N'inci kökün tanımı ve a m n n = a m olduğu göz önüne alındığında, m, n ve a'nın verilen değerleri için a m n anlamlıysa a m n = a m n koşulunu kabul edebiliriz.

Tamsayı üssü olan bir derecenin yukarıdaki özellikleri a m n = a m n koşulu altında doğru olacaktır.

Akıl yürütmemizden çıkan ana sonuç şudur: m / n kesirli üssü olan belirli bir a sayısının kuvveti, a sayısının m üssünün n'inci köküdür. Verilen m, n ve a değerleri için a m n ifadesinin anlamlı kalması durumunda bu doğrudur.

1. Derecenin tabanının değerini sınırlayabiliriz: m'nin pozitif değerleri için 0'dan büyük veya 0'a eşit olacak ve negatif değerler için - kesinlikle daha az olacak bir a alalım (çünkü m ≤ 0 için) aldık 0 m ancak böyle bir derece tanımlanmamıştır). Bu durumda kesirli üslü bir derecenin tanımı şöyle görünecektir:

Pozitif bir a sayısı için kesirli üssü m/n olan bir kuvvet, a'nın m kuvvetine yükseltilmiş n'inci köküdür. Bu bir formülle ifade edilebilir:

Sıfır tabanlı bir kuvvet için bu hüküm de uygundur, ancak yalnızca üssü pozitif bir sayı ise.

Tabanı sıfır ve kesirli pozitif üssü m/n olan bir kuvvet şu şekilde ifade edilebilir:

0 m n = 0 m n = 0, m'nin pozitif bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olması koşuluyla.

Negatif bir oran için m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Bir noktaya dikkat edelim. a'nın sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması koşulunu getirdiğimizden, bazı durumları göz ardı ettik.

A m n ifadesi bazen a ve bazı m'nin bazı negatif değerleri için hala anlamlıdır. Dolayısıyla doğru girişler (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 olup tabanı negatiftir.

2. İkinci yaklaşım, a m n kökünü çift ve tek üslerle ayrı ayrı ele almaktır. O zaman bir koşul daha eklememiz gerekecek: üssünde indirgenebilir bir sıradan kesir bulunan a derecesi, üssünde karşılık gelen indirgenemez kesirin bulunduğu a derecesi olarak kabul edilir. Daha sonra neden bu duruma ihtiyacımız olduğunu ve neden bu kadar önemli olduğunu açıklayacağız. Dolayısıyla, eğer a m · k n · k notasyonuna sahipsek, bunu a m n'ye indirgeyebilir ve hesaplamaları basitleştirebiliriz.

Eğer n tek bir sayıysa ve m'nin değeri pozitifse ve a negatif olmayan herhangi bir sayıysa, o zaman a m n anlamlıdır. A'nın negatif olmaması koşulu gereklidir çünkü negatif bir sayıdan çift dereceli bir kök çıkarılamaz. Eğer m'nin değeri pozitifse, a hem negatif hem de sıfır olabilir, çünkü Tek kök herhangi bir gerçek sayıdan alınabilir.

Yukarıdaki tanımların tümünü tek bir girişte birleştirelim:

Burada m/n indirgenemez bir kesir anlamına gelir; m herhangi bir tam sayıdır ve n herhangi bir doğal sayıdır.

Tanım 5

Herhangi bir sıradan indirgenebilir kesir m · k n · k için derece, a m n ile değiştirilebilir.

İndirgenemez kesirli üssü m / n olan bir a sayısının kuvveti aşağıdaki durumlarda a m n olarak ifade edilebilir: - herhangi bir gerçek a için, tam sayılar pozitif değerler m ve tek doğal değerler n. Örnek: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Sıfırdan farklı herhangi bir gerçek a için tamsayılar negatif değerler m ve n'nin tek değerleri, örneğin, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Negatif olmayan herhangi bir a, pozitif tam sayı m ve hatta n için, örneğin, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Herhangi bir pozitif a, negatif tamsayı m ve çift n için, örneğin, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Diğer değerlerde kesirli üslü derece belirlenmez. Bu tür derecelere örnekler: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Şimdi yukarıda tartışılan koşulun önemini açıklayalım: neden indirgenebilir üssü olan bir kesiri indirgenemez üssü olan bir kesirle değiştirelim? Eğer bunu yapmasaydık şu durumlarla karşı karşıya kalacaktık: 6/10 = 3/5. O halde doğru olmalıdır (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , ancak - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ve (- 1) 3 5 = (- 1) ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

İlk olarak sunduğumuz kesirli üslü derece tanımının pratikte kullanılması ikinciye göre daha uygundur, bu yüzden onu kullanmaya devam edeceğiz.

Tanım 6

Böylece, kesirli üssü m/n olan pozitif bir a sayısının kuvveti 0 m n = 0 m n = 0 olarak tanımlanır. Negatif olması durumunda A a m n notasyonu bir anlam ifade etmiyor. Pozitif kesirli üsler için sıfırın kuvveti a/n 0 m n = 0 m n = 0 olarak tanımlanır, negatif kesirli üsler için sıfır derecesini tanımlamıyoruz.

Sonuç olarak, herhangi bir kesirli göstergeyi hem karışık sayı hem de ondalık kesir olarak yazabileceğinizi not ediyoruz: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Hesaplarken üssü değiştirmek daha iyidir sıradan kesir ve derecenin tanımını kesirli bir üsle kullanmaya devam edin. Yukarıdaki örnekler için şunu elde ederiz:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

İrrasyonel ve gerçek üslü kuvvetler nelerdir?

Gerçek sayılar nedir? Kümeleri hem rasyonel hem de irrasyonel sayıları içerir. Bu nedenle reel üslü derecenin ne olduğunu anlayabilmek için rasyonel ve irrasyonel üslü dereceleri tanımlamamız gerekir. Yukarıda rasyonel olanlardan bahsetmiştik. İrrasyonel göstergelerle adım adım ilgilenelim.

Örnek 5

İrrasyonel bir a sayısı ve onun ondalık yaklaşıkları olan a 0 , a 1 , a 2 , dizisine sahip olduğumuzu varsayalım. . . . Örneğin a = 1,67175331 değerini alalım. . . , Daha sonra

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Yaklaşım dizilerini a a 0 , a a 1 , a a 2 , derece dizileriyle ilişkilendirebiliriz. . . . Daha önce sayıların artırılması konusunda söylediklerimizi hatırlarsanız rasyonel derece, o zaman bu güçlerin değerlerini kendimiz hesaplayabiliriz.

Örneğin ele alalım bir = 3, bu durumda a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . vesaire.

Kuvvetler dizisi, a tabanı ve irrasyonel üssü a olan kuvvetin değeri olacak bir sayıya indirgenebilir. Sonuç olarak: 3 1, 67175331 formunun irrasyonel üssüne sahip bir derece. . 6, 27 sayılarına kadar azaltılabilir.

Tanım 7

İrrasyonel bir a üssüne sahip pozitif bir a sayısının kuvveti a olarak yazılır. Değeri a a 0 , a a 1 , a a 2 , dizisinin limitidir. . . , burada a 0 , a 1 , a 2 , . . . a irrasyonel sayısının ardışık ondalık yaklaşımlarıdır. Pozitif irrasyonel üsler için sıfır tabanlı bir derece de tanımlanabilir; 0 a = 0 Yani, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Ancak negatif olanlar için bu yapılamaz çünkü örneğin 0 - 5, 0 - 2 π değeri tanımlanmamıştır. Örneğin, herhangi bir irrasyonel güce yükseltilmiş bir birim bir birim olarak kalır ve 1 2, 1 5'te 2 ve 1 - 5, 1'e eşit olacaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

İlk seviye

Derece ve özellikleri. Kapsamlı rehber (2019)

Derecelere neden ihtiyaç duyulur? Onlara nerede ihtiyacınız olacak? Bunları incelemek için neden zaman ayırmalısınız?

Dereceler hakkında her şeyi, ne işe yaradıklarını, bilginizi eğitimde nasıl kullanacağınızı öğrenmek için Gündelik Yaşam bu makaleyi okuyun.

Ve elbette, derece bilgisi sizi daha da yakınlaştıracaktır. başarılı tamamlama OGE veya Birleşik Devlet Sınavı ve hayallerinizdeki üniversiteye kabul.

Hadi gidelim, hadi gidelim!)

Önemli Not! Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Bunu yapmak için CTRL+F5 (Windows'ta) veya Cmd+R (Mac'te) tuşlarına basın.

İLK SEVİYE

Üs alma, tıpkı toplama, çıkarma, çarpma veya bölme gibi matematiksel bir işlemdir.

Şimdi her şeyi insan dilinde çok basit örneklerle anlatacağım. Dikkat olmak. Örnekler basit ama önemli şeyleri açıklıyor.

Eklemeyle başlayalım.

Burada açıklanacak bir şey yok. Zaten her şeyi biliyorsun: sekiz kişiyiz. Herkesin iki şişe kolası var. Ne kadar kola var? Bu doğru - 16 şişe.

Şimdi çarpma.

Kola ile aynı örneği farklı şekilde yazabiliriz: . Matematikçiler kurnaz ve tembel insanlardır. Önce bazı kalıpları fark ediyorlar, sonra bunları daha hızlı "saymanın" bir yolunu buluyorlar. Bizim durumumuzda sekiz kişiden her birinin aynı sayıda kola şişesine sahip olduğunu fark ettiler ve çarpma adı verilen bir teknik geliştirdiler. Katılıyorum, bundan daha kolay ve daha hızlı kabul ediliyor.

Yani daha hızlı, daha kolay ve hatasız saymak için sadece şunu hatırlamanız gerekir: çarpım tablosu. Elbette her şeyi daha yavaş, daha zor ve hatalarla yapabilirsiniz! Ancak…

İşte çarpım tablosu. Tekrarlamak.

Ve bir tane daha, daha güzeli:

Başka hangileri? kurnaz hileler Hesaplar tembel matematikçiler tarafından mı icat edildi? Sağ - bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek.

Bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek

Bir sayıyı kendisiyle beş kez çarpmak gerekiyorsa matematikçiler bu sayının beşinci kuvvetine çıkarmanız gerektiğini söylerler. Örneğin, . Matematikçiler ikinin beşinci kuvvetinin... Ve bu tür sorunları kafalarında çözüyorlar - daha hızlı, daha kolay ve hatasız.

Tek yapmanız gereken sayıların kuvvetleri tablosunda neyin renkli olarak vurgulandığını hatırlayın. İnanın bu hayatınızı çok kolaylaştıracak.

Bu arada neden ikinci derece deniyor? kare sayılar ve üçüncüsü - küp? Bu ne anlama geliyor? Çok iyi bir soru. Artık hem karelere hem de küplere sahip olacaksınız.

Gerçek hayattan örnek #1

Sayının karesi veya ikinci kuvvetiyle başlayalım.

Bir metreye bir metre ölçülerinde kare bir havuz hayal edin. Havuz sizin kulübenizde. Hava sıcak ve gerçekten yüzmek istiyorum. Ama... havuzun dibi yok! Havuzun altını fayanslarla kaplamanız gerekiyor. Kaç tane fayansa ihtiyacınız var? Bunu belirlemek için havuzun taban alanını bilmeniz gerekir.

Havuzun tabanının metre metre küplerden oluştuğunu parmağınızla işaret ederek kolayca hesaplayabilirsiniz. Bir metreye bir metrelik fayanslarınız varsa parçalara ihtiyacınız olacaktır. Çok kolay... Peki bu tür fayansları nerede gördünüz? Fayans büyük olasılıkla cm x cm olacak ve sonra "parmağınızla sayarak" işkence göreceksiniz. O zaman çoğalmanız gerekir. Böylece havuzun tabanının bir tarafına fayans (parçalar), diğer tarafına da fayans yerleştireceğiz. İle çarptığınızda fayans () elde edersiniz.

Havuz tabanının alanını belirlemek için aynı sayıyı kendisiyle çarptığımızı fark ettiniz mi? Bu ne anlama geliyor? Aynı sayıyı çarptığımız için “üs alma” tekniğini kullanabiliriz. (Elbette, yalnızca iki sayınız olduğunda, yine de bunları çarpmanız veya bir üssüne çıkarmanız gerekir. Ancak sayıların çoğuna sahipseniz, o zaman onları bir üssüne yükseltmek çok daha kolaydır ve ayrıca hesaplamalarda daha az hata olur. Birleşik Devlet Sınavı için bu çok önemlidir).
Yani otuz üzeri ikinci kuvvet () olacaktır. Ya da otuzun karesi olacak diyebiliriz. Başka bir deyişle, bir sayının ikinci kuvveti her zaman kare olarak gösterilebilir. Ve tam tersi, eğer bir kare görürseniz, bu HER ZAMAN bir sayının ikinci kuvvetidir. Kare, bir sayının ikinci kuvvetinin görüntüsüdür.

Gerçek hayattan örnek #2

İşte size bir görev: Sayının karesini kullanarak satranç tahtasında kaç kare olduğunu sayın... Hücrelerin bir tarafında ve diğer tarafında da. Sayılarını saymak için sekizi sekizle çarpmanız gerekir veya... eğer fark ederseniz Satranç tahtası- bu bir kenarı olan bir kare, o zaman sekizin karesini alabilirsiniz. Hücre alacaksınız. () Bu yüzden?

Gerçek hayattan örnek #3

Şimdi bir sayının küpü veya üçüncü kuvveti. Aynı havuz. Ama şimdi bu havuza ne kadar su dökülmesi gerektiğini öğrenmeniz gerekiyor. Hacmi hesaplamanız gerekir. (Bu arada hacimler ve sıvılar ölçülür metreküp. Beklenmedik, değil mi?) Bir havuz çizin: bir metre ölçülerinde bir taban ve bir metre derinlikte ve havuzunuza bir metreye bir metre ölçülerinde kaç küpün sığacağını saymaya çalışın.

Sadece parmağınızı doğrultun ve sayın! Bir, iki, üç, dört...yirmi iki, yirmi üç...Kaç tane aldın? Kayıp değil? Parmağınızla saymak zor mu? Böylece! Matematikçilerden bir örnek alın. Tembeller, bu yüzden havuzun hacmini hesaplamak için uzunluğunu, genişliğini ve yüksekliğini birbiriyle çarpmanız gerektiğini fark ettiler. Bizim durumumuzda havuzun hacmi küplere eşit olacaktır... Daha kolay değil mi?

Şimdi bunu da basitleştirirlerse matematikçilerin ne kadar tembel ve kurnaz olacağını hayal edin. Her şeyi tek bir eyleme indirgedik. Uzunluk, genişlik ve yüksekliğin eşit olduğunu ve aynı sayının kendisiyle çarpıldığını fark ettiler... Bu ne anlama geliyor? Bu, derecenin avantajlarından yararlanabileceğiniz anlamına gelir. Yani bir zamanlar parmağınızla saydığınız şeyi tek bir hareketle yapıyorlar: Üçün küpü eşittir. Şu şekilde yazılmıştır: .

Geriye kalan tek şey derece tablosunu hatırla. Tabii matematikçiler kadar tembel ve kurnaz değilseniz. Çok çalışmayı ve hata yapmayı seviyorsanız parmağınızla saymaya devam edebilirsiniz.

Sonunda sizi, derecelerin pes edenler ve kurnaz insanlar tarafından yaşam sorunlarını çözmek ve size sorun yaratmak için icat edilmediğine ikna etmek için, işte hayattan birkaç örnek daha.

Gerçek hayattan örnek #4

Bir milyon rublen var. Her yılın başında kazandığınız her milyona karşılık bir milyon daha kazanırsınız. Yani, sahip olduğunuz her milyon, her yılın başında iki katına çıkar. Yıllar içinde ne kadar paranız olacak? Eğer şimdi oturuyorsanız ve "parmağınızla sayıyorsanız" o zaman çok çalışkan bir insansınız ve... aptalsınız. Ama büyük olasılıkla birkaç saniye içinde cevap vereceksiniz çünkü akıllısınız! Yani, ilk yılda - iki çarpı iki... ikinci yılda - ne oldu, ikiyle daha, üçüncü yılda... Durun! Sayının kendisi ile çarpıldığını fark ettiniz. Yani ikinin beşinci kuvveti bir milyondur! Şimdi hayal edin, bir yarışmanız var ve en hızlı sayabilen bu milyonları alacak... Sayıların kuvvetlerini hatırlamakta fayda var değil mi?

Gerçek hayattan örnek #5

Bir milyonun var. Her yılın başında kazandığınız her milyona karşılık iki tane daha kazanırsınız. Harika değil mi? Her milyon üçe katlanır. Bir yılda ne kadar paran olacak? Hadi sayalım. İlk yıl - çarpın, sonra sonucu başka biriyle çarpın... Zaten sıkıcı, çünkü zaten her şeyi anladınız: üç, kendisiyle çarpılır. Yani dördüncü kuvveti bir milyona eşittir. Sadece üçün dördüncü kuvvetinin veya olduğunu hatırlamanız gerekiyor.

Artık bir sayıyı bir kuvvete yükselterek hayatınızı çok daha kolaylaştıracağınızı biliyorsunuz. Derecelerle neler yapabileceğinize ve bunlar hakkında bilmeniz gerekenlere daha detaylı bir göz atalım.

Terimler ve kavramlar... kafanızın karışmaması için

O halde öncelikle kavramları tanımlayalım. Ne düşünüyorsun, üs nedir? Çok basit; sayının kuvvetinin "en üstünde" olan sayıdır. Bilimsel değil ama açık ve hatırlanması kolay...

Peki aynı zamanda ne böyle bir derece temeli? Daha da basit - bu, tabanda aşağıda bulunan sayıdır.

İşte iyi bir önlem için bir çizim.

Peki genel hatlarıyla genellemek ve daha iyi hatırlamak adına... Tabanı " " ve üssü " " olan derece, "dereceye" şeklinde okunur ve şöyle yazılır:

Doğal üssü olan bir sayının kuvveti

Muhtemelen zaten tahmin etmişsinizdir: çünkü üs bir doğal sayıdır. Evet ama nedir bu doğal sayı? İlköğretim! Doğal sayılar, nesneleri sıralarken saymada kullanılan sayılardır: bir, iki, üç... Nesneleri sayarken “eksi beş”, “eksi altı”, “eksi yedi” demeyiz. Ayrıca “üçte bir” ya da “sıfır nokta beş” demiyoruz. Bunlar doğal sayılar değil. Sizce bunlar hangi rakamlar?

“Eksi beş”, “eksi altı”, “eksi yedi” gibi sayılar bütün sayılar. Genel olarak tamsayılar, tüm doğal sayıları, doğal sayıların karşısındaki sayıları (yani eksi işaretiyle alınan) ve sayıları içerir. Sıfırın anlaşılması kolaydır; hiçbir şeyin olmadığı zamandır. Negatif (“eksi”) sayılar ne anlama geliyor? Ancak bunlar öncelikle borçları belirtmek için icat edildi: Telefonunuzda ruble cinsinden bakiyeniz varsa, bu, operatöre ruble borçlu olduğunuz anlamına gelir.

Tüm kesirler rasyonel sayılardır. Sizce nasıl ortaya çıktılar? Çok basit. Birkaç bin yıl önce atalarımız uzunluk, ağırlık, alan vb. ölçmek için doğal sayıların eksik olduğunu keşfettiler. Ve şunu buldular rasyonel sayılar... İlginç, değil mi?

İrrasyonel sayılar da vardır. Bu sayılar nedir? Kısaca sonsuz bir ondalık kesirdir. Örneğin bir dairenin çevresini çapına bölerseniz irrasyonel bir sayı elde edersiniz.

Özet:

Üssü doğal sayı (yani tamsayı ve pozitif) olan derece kavramını tanımlayalım.

1. Herhangi bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir:
2. Bir sayının karesini almak, onu kendisiyle çarpmak anlamına gelir:
3. Bir sayının küpü, onu kendisiyle üç kez çarpmak anlamına gelir:

Tanım. Bir sayıyı doğal kuvvete yükseltmek, sayıyı kendisi ile çarpmak anlamına gelir:
.

Derecelerin özellikleri

Bu özellikler nereden geldi? Şimdi sana göstereceğim.

Bakalım: nedir bu Ve ?

A-tarikatı:

Toplamda kaç çarpan var?

Çok basit: Faktörlere çarpanlar ekledik ve sonuç çarpanlardı.

Ancak tanım gereği bu, üslü bir sayının kuvvetidir, yani: kanıtlanması gereken şey budur.

Örnek: Ifadeyi basitleştir.

Çözüm:

Örnek: Ifadeyi basitleştir.

Çözüm: Kurallarımızda şunu belirtmek önemlidir: mutlaka aynı sebepler olmalı!
Bu nedenle güçleri tabanla birleştiriyoruz ancak bu ayrı bir faktör olarak kalıyor:

sadece güçlerin ürünü için!

Hiçbir durumda bunu yazamazsınız.

2. işte bu bir sayının kuvveti

Bir önceki özellikte olduğu gibi derecenin tanımına dönelim:

İfadenin kendisi ile çarpıldığı, yani tanıma göre bu sayının inci kuvveti olduğu ortaya çıktı:

Buna özünde “göstergeyi parantez dışına çıkarmak” da denebilir. Ancak bunu asla toplamda yapamazsınız:

Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik?

Ama sonuçta bu doğru değil.

Negatif tabanlı güç

Buraya kadar sadece üssün ne olması gerektiğini tartıştık.

Ama temeli ne olmalı?

yetkilerinde doğal gösterge temel olabilir herhangi bir numara. Aslında pozitif, negatif ve hatta herhangi bir sayıyı birbiriyle çarpabiliriz.

Hangi işaretlerin ("" veya "") pozitif ve negatif sayıların kuvvetlerine sahip olacağını düşünelim?

Örneğin sayı pozitif mi negatif mi? A? ? İlkinde her şey açık: Ne kadar pozitif sayıyı birbirimizle çarparsak çarpalım sonuç pozitif olacaktır.

Ancak olumsuz olanlar biraz daha ilginç. 6. sınıftan kalma basit kuralı hatırlıyoruz: “eksi eksiye artı verir.” Yani ya da. Ama eğer çarparsak işe yarar.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağını kendiniz belirleyin:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Becerebildin mi?

İşte yanıtlar: İlk dört örnekte umarım her şey açıktır? Basitçe tabana ve üsse bakıp uygun kuralı uyguluyoruz.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Örnek 5'te her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: sonuçta tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece çifttir, bu da sonucun her zaman pozitif olacağı anlamına gelir.

Tabanın sıfır olduğu durumlar hariç. Taban eşit değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar basit değil!

Uygulamaya yönelik 6 örnek

Çözümün analizi 6 örnek

Sekizinci kuvveti göz ardı edersek burada ne görürüz? 7. sınıf programını hatırlayalım. Peki hatırlıyor musun? Bu kısaltılmış çarpma formülü, yani kareler farkıdır! Şunu elde ederiz:

Paydaya dikkatlice bakalım. Pay faktörlerinden birine çok benziyor ama sorun ne? Terimlerin sırası yanlış. Tersine çevrilmeleri durumunda kural geçerli olabilir.

Peki bunu nasıl yapmalı? Bunun çok kolay olduğu ortaya çıktı: paydanın eşit derecesi burada bize yardımcı oluyor.

Terimler sihirli bir şekilde yer değiştirdi. Bu “olgu” her ifade için eşit derecede geçerlidir: Parantez içindeki işaretleri kolaylıkla değiştirebiliriz.

Ancak şunu hatırlamak önemlidir: tüm işaretler aynı anda değişir!

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

Tüm doğal sayılara, onların karşıtlarına (yani " " işaretiyle alınanlara) ve sayı diyoruz.

pozitif tamsayı ve doğal olandan hiçbir farkı yok, o zaman her şey tam olarak önceki bölümdeki gibi görünüyor.

Şimdi yeni vakalara bakalım. Eşit bir göstergeyle başlayalım.

Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir:

Her zaman olduğu gibi kendimize şu soruyu soralım: Neden böyle?

Bir tabanı olan bir dereceyi düşünelim. Örneğin şunu alın ve şununla çarpın:

Yani sayıyı ile çarptık ve - ile aynı sonucu elde ettik. Hiçbir şeyin değişmemesi için hangi sayıyla çarpmanız gerekir? Aynen öyle. Araç.

Aynısını isteğe bağlı bir sayıyla da yapabiliriz:

Kuralı tekrarlayalım:

Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir.

Ancak birçok kuralın istisnaları vardır. Ve burada da orada - bu bir sayıdır (temel olarak).

Bir yandan herhangi bir dereceye eşit olmalıdır - sıfırı kendisiyle ne kadar çarparsanız çarparsanız yine sıfır elde edersiniz, bu açık. Ancak öte yandan herhangi bir sayının sıfır üssü gibi eşit olması gerekir. Peki bunun ne kadarı doğru? Matematikçiler bu işe karışmamaya karar verdiler ve sıfırın sıfır kuvvetini yükseltmeyi reddettiler. Yani artık sadece sıfıra bölmekle kalmıyoruz, aynı zamanda sıfırıncı kuvvetine de çıkarıyoruz.

Hadi devam edelim. Tam sayılar, doğal sayılar ve sayıların yanı sıra negatif sayıları da içerir. Negatif kuvvetin ne olduğunu anlamak için, geçen seferki gibi yapalım: Normal bir sayıyı aynı sayıyla negatif kuvvete çarpalım:

Buradan aradığınızı ifade etmek kolaydır:

Şimdi ortaya çıkan kuralı keyfi bir dereceye kadar genişletelim:

O halde bir kural oluşturalım:

Negatif kuvvete sahip bir sayı, aynı sayının pozitif kuvvete sahip tersidir. Ama aynı zamanda Taban boş olamaz:(çünkü bölemezsiniz).

Özetleyelim:

I. İfade durumda tanımlanmamıştır. Eğer öyleyse.

II. Herhangi bir sayının sıfır kuvveti bire eşittir: .

III. Sıfırın negatif kuvvetine eşit olmayan bir sayı, aynı sayının pozitif kuvvetinin tersidir: .

Bağımsız çözüm için görevler:

Her zamanki gibi bağımsız çözümlere örnekler:

Bağımsız çözüm için problemlerin analizi:

Biliyorum, rakamlar korkutucu ama Birleşik Devlet Sınavında her şeye hazırlıklı olmalısınız! Bu örnekleri çözün veya çözemediyseniz çözümlerini inceleyin, sınavda bunlarla kolayca baş etmeyi öğreneceksiniz!

Üslü olarak “uygun” sayı aralığını genişletmeye devam edelim.

Şimdi düşünelim rasyonel sayılar. Hangi sayılara rasyonel denir?

Cevap: Kesir olarak temsil edilebilecek her şey, burada ve tam sayıdır ve.

Ne olduğunu anlamak için "kesirli derece", kesri düşünün:

Denklemin her iki tarafının da üssünü alalım:

Şimdi şu kuralı hatırlayalım: "dereceden dereceye":

Almak için hangi sayının bir güce yükseltilmesi gerekir?

Bu formülasyon inci derecenin kökünün tanımıdır.

Size hatırlatmama izin verin: bir sayının () inci kuvvetinin kökü, bir kuvvete yükseltildiğinde eşit olan bir sayıdır.

Yani, inci kuvvetin kökü, bir kuvvete yükseltme işleminin ters işlemidir: .

Şekline dönüştü. Açıkçası, bu özel durum genişletilebilir: .

Şimdi payı ekliyoruz: nedir bu? Güç-güç kuralını kullanarak cevabı elde etmek kolaydır:

Peki taban herhangi bir sayı olabilir mi? Sonuçta tüm sayıların kökü çıkarılamaz.

Hiçbiri!

Kuralı hatırlayalım: Çift kuvvete yükseltilen herhangi bir sayı pozitif bir sayıdır. Yani negatif sayılardan çift kök çıkarmak imkansızdır!

Bu, bu tür sayıların çift paydayla kesirli kuvvetine yükseltilemeyeceği, yani ifadenin anlamlı olmadığı anlamına gelir.

Peki ya ifade?

Ancak burada bir sorun ortaya çıkıyor.

Sayı, örneğin veya gibi diğer indirgenebilir kesirler biçiminde temsil edilebilir.

Ve var olduğu, ancak olmadığı ortaya çıktı, ancak bunlar aynı sayının sadece iki farklı kaydı.

Veya başka bir örnek: Bir kez, sonra yazabilirsiniz. Ancak göstergeyi farklı yazarsak başımız yine belaya girer: (yani tamamen farklı bir sonuç elde ettik!).

Bu tür paradokslardan kaçınmak için şunu düşünüyoruz: kesirli üssü olan tek pozitif taban üssü.

Yani eğer:

• - doğal sayı;
• - tamsayı;

Örnekler:

Rasyonel üsler, kökleri olan ifadeleri dönüştürmek için çok kullanışlıdır, örneğin:

Uygulamaya yönelik 5 örnek

Eğitim için 5 örneğin analizi

Eh, şimdi en zor kısım geliyor. Şimdi çözeceğiz irrasyonel üslü derece.

Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, istisna dışında, rasyonel üslü bir dereceyle tamamen aynıdır.

Sonuçta, tanım gereği irrasyonel sayılar, kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır; burada ve tamsayılardır (yani, irrasyonel sayıların rasyonel olanlar dışında tümü gerçek sayılardır).

Doğal, tamsayılı ve rasyonel üslü dereceleri incelerken, her defasında daha tanıdık terimlerle belirli bir "görüntü", "analoji" veya açıklama yarattık.

Örneğin, doğal üslü bir derece, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır;

...sayının sıfırıncı kuvveti- bu, kendisiyle bir kez çarpılmış bir sayıdır, yani onu çarpmaya henüz başlamamışlardır, bu da sayının henüz ortaya çıkmadığı anlamına gelir - bu nedenle sonuç yalnızca belirli bir "boş sayıdır" yani bir sayı;

...negatif tamsayı derecesi- sanki bir şey olmuş gibi " ters süreç"yani sayı kendisiyle çarpılmadı, bölündü.

Bu arada, bilimde karmaşık üslü bir derece sıklıkla kullanılır, yani üs gerçek bir sayı bile değildir.

Ama okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları kavrama fırsatı bulacaksınız.

NEREYE GİDECEĞİNİZDEN EMİN OLDUĞUMUZ! (bu tür örnekleri çözmeyi öğrenirseniz :))

Örneğin:

Kendin için karar ver:

Çözümlerin analizi:

1. Bir gücü bir güce yükseltmek için olağan kuralla başlayalım:

Şimdi göstergeye bakın. Sana hiçbir şey hatırlatmıyor mu? Kareler farkının kısaltılmış çarpımı formülünü hatırlayalım:

Bu durumda,

Şekline dönüştü:

Cevap: .

2. Üslü kesirleri azaltıyoruz aynı görünüm: her ikisi de ondalık veya her ikisi de normal. Örneğin şunu elde ederiz:

Cevap: 16

3. Özel bir şey yok, derecelerin olağan özelliklerini kullanıyoruz:

İLERİ DÜZEY

Derecenin belirlenmesi

Derece, şu formun bir ifadesidir: , burada:

• — derece tabanı;
• - üs.

Doğal göstergeli derece (n = 1, 2, 3,...)

Bir sayıyı n'nin doğal kuvvetine yükseltmek, sayıyı kendisi ile çarpmak anlamına gelir:

Tam sayı üssü olan derece (0, ±1, ±2,...)

Üs ise pozitif tamsayı sayı:

Yapı sıfır dereceye kadar:

İfade belirsizdir, çünkü bir yanda herhangi bir dereceye kadar bu, diğer yanda ise herhangi bir sayının 1. derecesine kadar bu olur.

Üs ise negatif tamsayı sayı:

(çünkü bölemezsiniz).

Bir kez daha sıfırlar hakkında: ifade bu durumda tanımlanmamıştır. Eğer öyleyse.

Örnekler:

Rasyonel üslü kuvvet

• - doğal sayı;
• - tamsayı;

Örnekler:

Derecelerin özellikleri

Sorunları çözmeyi kolaylaştırmak için şunu anlamaya çalışalım: Bu özellikler nereden geldi? Bunları kanıtlayalım.

Bakalım: nedir ve?

A-tarikatı:

Yani bu ifadenin sağ tarafında aşağıdaki çarpımı elde ederiz:

Ancak tanım gereği bu, üssü olan bir sayının kuvvetidir, yani:

Q.E.D.

Örnek : Ifadeyi basitleştir.

Çözüm : .

Örnek : Ifadeyi basitleştir.

Çözüm : Kurallarımızda şunu belirtmek önemlidir: mutlaka aynı sebepler olmalı. Bu nedenle güçleri tabanla birleştiriyoruz ancak bu ayrı bir faktör olarak kalıyor:

Bir başka önemli not: bu kural - yalnızca güçlerin ürünü için!

Hiçbir durumda bunu yazamazsınız.

Bir önceki özellikte olduğu gibi derecenin tanımına dönelim:

Bu çalışmayı şu şekilde yeniden gruplayalım:

İfadenin kendisi ile çarpıldığı, yani tanıma göre bu sayının inci kuvveti olduğu ortaya çıktı:

Buna özünde “göstergeyi parantez dışına çıkarmak” da denebilir. Ancak bunu asla toplamda yapamazsınız: !

Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik? Ama sonuçta bu doğru değil.

Negatif tabanlı güç.

Bu noktaya kadar sadece nasıl olması gerektiğini tartıştık. dizin derece. Ama temeli ne olmalı? yetkilerinde doğal gösterge temel olabilir herhangi bir numara .

Aslında pozitif, negatif ve hatta herhangi bir sayıyı birbiriyle çarpabiliriz. Hangi işaretlerin ("" veya "") pozitif ve negatif sayıların kuvvetlerine sahip olacağını düşünelim?

Örneğin sayı pozitif mi negatif mi? A? ?

İlkinde her şey açık: Ne kadar pozitif sayıyı birbirimizle çarparsak çarpalım sonuç pozitif olacaktır.

Ancak olumsuz olanlar biraz daha ilginç. 6. sınıftan kalma basit kuralı hatırlıyoruz: “eksi eksiye artı verir.” Yani ya da. Ancak () ile çarparsak - elde ederiz.

Ve bu böyle sonsuza kadar devam eder: Sonraki her çarpmada işaret değişecektir. Aşağıdakileri formüle edebiliriz Basit kurallar:

1. eşit derece, - sayı pozitif.
2. Negatif bir sayı, yerleşik garip derece, - sayı olumsuz.
3. Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı pozitif bir sayıdır.
4. Sıfırın herhangi bir kuvveti sıfıra eşittir.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağını kendiniz belirleyin:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Becerebildin mi? İşte yanıtlar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

İlk dört örnekte umarım her şey açıktır? Basitçe tabana ve üsse bakıp uygun kuralı uyguluyoruz.

Örnek 5'te her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: sonuçta tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece çifttir, bu da sonucun her zaman pozitif olacağı anlamına gelir. Tabanın sıfır olduğu durumlar hariç. Taban eşit değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar basit değil. Burada hangisinin daha az olduğunu bulmanız gerekiyor: veya? Bunu hatırlarsak, tabanın sıfırdan küçük olduğu anlaşılır. Yani kural 2'yi uyguluyoruz: sonuç negatif olacak.

Ve yine derecenin tanımını kullanıyoruz:

Her şey her zamanki gibi - derecelerin tanımını yazıp bunları birbirine bölüyoruz, çiftlere ayırıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Son kurala bakmadan önce birkaç örnek çözelim.

İfadeleri hesaplayın:

Çözümler :

Sekizinci kuvveti göz ardı edersek burada ne görürüz? 7. sınıf programını hatırlayalım. Peki hatırlıyor musun? Bu kısaltılmış çarpma formülü, yani kareler farkıdır!

Şunu elde ederiz:

Paydaya dikkatlice bakalım. Pay faktörlerinden birine çok benziyor ama sorun ne? Terimlerin sırası yanlış. Eğer bunlar tersine çevrilseydi kural 3 geçerli olabilirdi ama nasıl? Bunun çok kolay olduğu ortaya çıktı: paydanın eşit derecesi burada bize yardımcı oluyor.

Bunu çarparsanız hiçbir şey değişmez, değil mi? Ama şimdi durum şu şekilde ortaya çıkıyor:

Terimler sihirli bir şekilde yer değiştirdi. Bu “olgu” her ifade için eşit derecede geçerlidir: Parantez içindeki işaretleri kolaylıkla değiştirebiliriz. Ancak şunu hatırlamak önemlidir: Tüm işaretler aynı anda değişir! Hoşumuza gitmeyen tek bir dezavantajı değiştirerek onu değiştiremezsiniz!

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

Şimdi son kural:

Bunu nasıl kanıtlayacağız? Elbette her zamanki gibi: Derece kavramını genişletelim ve basitleştirelim:

Şimdi parantezleri açalım. Toplamda kaç harf var? çarpanlara göre çarpı - bu size neyi hatırlatıyor? Bu bir operasyonun tanımından başka bir şey değil çarpma işlemi: Orada sadece çarpanlar vardı. Yani, tanım gereği bu, üssü olan bir sayının kuvvetidir:

Örnek:

İrrasyonel üslü derece

Ortalama seviye için derecelerle ilgili bilgilere ek olarak, dereceyi irrasyonel bir üsle analiz edeceğiz. Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, rasyonel üslü bir derece ile tamamen aynıdır; ancak, sonuçta, tanım gereği, irrasyonel sayılar, kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır; burada ve tamsayılardır (yani irrasyonel sayılar, rasyonel sayılar dışında tüm gerçek sayılardır).

Doğal, tamsayılı ve rasyonel üslü dereceleri incelerken, her defasında daha tanıdık terimlerle belirli bir "görüntü", "analoji" veya açıklama yarattık. Örneğin, doğal üslü bir derece, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır; sıfır üssü bir sayı, olduğu gibi, kendisiyle bir kez çarpılmış bir sayıdır, yani onu çarpmaya henüz başlamamışlardır, bu da sayının kendisinin henüz ortaya çıkmadığı anlamına gelir - bu nedenle sonuç yalnızca belirlidir “boş sayı”, yani bir sayı; tamsayı negatif üssü olan bir derece - sanki bir tür "tersine süreç" gerçekleşmiş gibi, yani sayı kendisiyle çarpılmamış, bölünmüş gibi.

İrrasyonel bir üste sahip bir dereceyi hayal etmek son derece zordur (tıpkı 4 boyutlu bir uzayı hayal etmenin zor olması gibi). Daha ziyade matematikçilerin derece kavramını tüm sayılar uzayına yaymak için yarattığı tamamen matematiksel bir nesnedir.

Bu arada, bilimde karmaşık üslü bir derece sıklıkla kullanılır, yani üs gerçek bir sayı bile değildir. Ama okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları kavrama fırsatı bulacaksınız.

Peki irrasyonel bir üs görürsek ne yaparız? Bundan kurtulmak için elimizden geleni yapıyoruz! :)

Örneğin:

Kendin için karar ver:

1)

2)

3)

Yanıtlar:

1. Kareler farkı formülünün farkını hatırlayalım. Cevap: .
2. Kesirleri aynı forma indirgeriz: ya her ikisi de ondalık sayı ya da her ikisi de sıradan. Örneğin şunu elde ederiz: .
3. Özel bir şey yok, derecelerin olağan özelliklerini kullanıyoruz:

BÖLÜMÜN ÖZETİ VE TEMEL FORMÜLLER

Derece formun ifadesi olarak adlandırılır: , burada:

Tamsayı üssü olan derece

üssü bir doğal sayı olan (yani tamsayı ve pozitif) bir derece.

Rasyonel üslü kuvvet

Üssü negatif ve kesirli sayılar olan derece.

İrrasyonel üslü derece

üssü sonsuz bir ondalık kesir veya kök olan bir derece.

Derecelerin özellikleri

Derecelerin özellikleri.

• Negatif sayı yükseltildi eşit derece, - sayı pozitif.
• Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı olumsuz.
• Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı pozitif bir sayıdır.
• Sıfır herhangi bir kuvvete eşittir.
• Herhangi bir sayının sıfır kuvveti eşittir.

ARTIK SÖZ SİZDE...

Makaleyi nasıl buldunuz? Beğenip beğenmediğinizi aşağıya yorum olarak yazın.

Derece özelliklerini kullanma deneyiminizi bize anlatın.

Belki sorularınız vardır. Veya öneriler.

Yorumlara yazın.

Ve sınavlarınızda iyi şanslar!