Instruktioner

Hvis et modul er repræsenteret som en kontinuerlig funktion, kan værdien af ​​dets argument enten være positiv eller negativ: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(yl + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(yl - y2);

Det er let at se, at addition og subtraktion af komplekse tal følger samme regel som addition og .

Produktet af to komplekse tal er lig med:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Da i^2 = -1, er det endelige resultat:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Operationerne af eksponentiering og rodekstraktion for komplekse tal er defineret på samme måde som for reelle tal. Men i det komplekse område, for ethvert tal, er der nøjagtig n tal b, således at b^n = a, det vil sige n rødder af den n. grad.

Dette betyder især, at enhver algebraisk ligning af grad n med én variabel har præcis n komplekse rødder, hvoraf nogle kan være .

Video om emnet

Kilder:

• Foredrag "Komplekse tal" i 2019

En rod er et ikon, der angiver den matematiske operation med at finde et tal, hvis forhøjelse til den potens, der er angivet foran rodtegnet, skal give det tal, der er angivet under netop dette tegn. For at løse problemer, der involverer rødder, er det ofte ikke nok kun at beregne værdien. Det er nødvendigt at udføre yderligere operationer, hvoraf den ene er at indtaste et tal, en variabel eller et udtryk under rodtegnet.

Instruktioner

Bestem rodeksponenten. En eksponent er et heltal, der angiver den potens, som resultatet af beregningen af ​​roden skal hæves til for at få det radikale udtryk (det tal, hvorfra denne rod er udtrukket). Rodeksponenten som hævet før rodikonet. Hvis denne ikke er specificeret, er den det Kvadrat rod, hvis grad er to. For eksempel er eksponenten af ​​roden √3 to, eksponenten af ​​³√3 er tre, eksponenten af ​​roden ⁴√3 er fire osv.

Hæv det tal, du vil indtaste under rodtegnet, til en potens, lig med indikatoren denne rod, som du bestemte i det foregående trin. For eksempel, hvis du skal indtaste tallet 5 under rodtegnet ⁴√3, så er indekset for rodgraden fire, og du skal bruge resultatet af at hæve 5 til fjerde potens 5⁴=625. Du kan gøre dette på enhver måde, der er praktisk for dig - i dit hoved, ved hjælp af en lommeregner eller de tilsvarende tjenester, der hostes.

Indtast værdien opnået i det foregående trin under rodtegnet som en multiplikator af det radikale udtryk. For eksemplet brugt i det foregående trin med tilføjelse af ⁴√3 5 (5*⁴√3) under roden, kan denne handling udføres på denne måde: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Forenkle det resulterende radikale udtryk, hvis det er muligt. For et eksempel fra de foregående trin skal du blot gange tallene under rodtegnet: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Dette afslutter operationen med at indtaste tallet under roden.

Hvis problemet indeholder ukendte variabler, kan trinene beskrevet ovenfor udføres i generel opfattelse. For eksempel, hvis du skal indtaste en ukendt variabel x under den fjerde rodrod, og det radikale udtryk er 5/x³, kan hele rækkefølgen af ​​handlinger skrives som følger: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)=⁴√(x*5).

Kilder:

• hvad hedder rodtegnet?

Reelle tal er ikke nok til at løse nogen andengradsligning. Den enkleste andengradsligning, der ikke har nogen rødder reelle tal- dette er x^2+1=0. Når man løser det, viser det sig, at x=±sqrt(-1), og ifølge den elementære algebras love, udtrækker roden af ​​en lige grad fra det negative tal det er forbudt.

Et af de sværeste emner for eleverne er løsning af ligninger, der indeholder en variabel under modultegnet. Lad os først finde ud af, hvad det er forbundet med? Hvorfor knækker de fleste børn for eksempel andengradsligninger som nødder, men med denne er det langt fra det bedste? komplekst koncept Hvordan har modulet så mange problemer?

Efter min mening er alle disse vanskeligheder forbundet med manglen på klart formulerede regler for løsning af ligninger med et modul. Så når man løser en andengradsligning, ved eleven med sikkerhed, at han først skal anvende diskriminantformlen og derefter formlerne for andengradsligningens rødder. Hvad skal man gøre, hvis der findes et modul i ligningen? Vi vil forsøge tydeligt at beskrive den nødvendige handlingsplan for sagen, når ligningen indeholder en ukendt under modultegnet. Vi vil give flere eksempler for hvert tilfælde.

Men først, lad os huske modul definition. Så modulo antallet -en selve dette nummer kaldes if -en ikke-negativ og -en, hvis nummer -en mindre end nul. Du kan skrive det sådan her:

|a| = a hvis a ≥ 0 og |a| = -a hvis a< 0

Taler om geometrisk sans modul, skal det huskes, at hvert reelt tal svarer til et bestemt punkt på talaksen - dens til koordinere. Så modulet eller den absolutte værdi af et tal er afstanden fra dette punkt til oprindelsen af ​​den numeriske akse. Afstanden angives altid som et positivt tal. Modulet for ethvert negativt tal er således et positivt tal. Forresten, selv på dette stadium begynder mange elever at blive forvirrede. Modulet kan indeholde et hvilket som helst tal, men resultatet af at bruge modulet er altid et positivt tal.

Lad os nu gå direkte til at løse ligningerne.

1. Overvej en ligning på formen |x| = c, hvor c er et reelt tal. Denne ligning kan løses ved hjælp af moduldefinitionen.

Vi opdeler alle reelle tal i tre grupper: dem, der er større end nul, dem, der er mindre end nul, og den tredje gruppe er tallet 0. Vi skriver løsningen i form af et diagram:

(±c, hvis c > 0

Hvis |x| = c, så x = (0, hvis c = 0

(ingen rødder hvis med< 0

1) |x| = 5, fordi 5 > 0, så x = ±5;

2) |x| = -5, fordi -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, derefter x = 0.

2. Ligning af formen |f(x)| = b, hvor b > 0. For at løse denne ligning er det nødvendigt at slippe af med modulet. Vi gør det på denne måde: f(x) = b eller f(x) = -b. Nu skal du løse hver af de resulterende ligninger separat. Hvis i den oprindelige ligning b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, fordi 4 > 0, så

x + 2 = 4 eller x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, fordi 11 > 0, så

x 2 – 5 = 11 eller x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 ingen rødder

3) |x 2 – 5x| = -8, fordi -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. En ligning med formen |f(x)| = g(x). Ifølge modulets betydning vil en sådan ligning have løsninger, hvis dens højre side er større end eller lig med nul, dvs. g(x) ≥ 0. Så vil vi have:

f(x) = g(x) eller f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Denne ligning vil have rødder, hvis 5x – 10 ≥ 0. Det er her, løsningen af ​​sådanne ligninger begynder.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Løsning:

2x – 1 = 5x – 10 eller 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Vi kombinerer O.D.Z. og løsningen får vi:

Roden x = 11/7 passer ikke til O.D.Z., den er mindre end 2, men x = 3 opfylder denne betingelse.

Svar: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2.

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Lad os løse denne ulighed ved hjælp af intervalmetoden:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Løsning:

x – 1 = 1 – x 2 eller x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 eller x = 1 x = 0 eller x = 1

3. Vi kombinerer løsningen og O.D.Z.:

Kun rødderne x = 1 og x = 0 er egnede.

Svar: x = 0, x = 1.

4. Ligning af formen |f(x)| = |g(x)|. En sådan ligning svarer til følgende to ligninger f(x) = g(x) eller f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Denne ligning svarer til følgende to:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 eller x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 eller x = 4 x = 2 eller x = 1

Svar: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Ligninger løst ved substitutionsmetoden (variabel erstatning). Denne metode løsninger er nemmest at forklare i konkret eksempel. Så lad os få en andengradsligning med modul:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Ved modulegenskaben x 2 = |x| 2, så ligningen kan omskrives som følger:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Lad os erstatte |x| = t ≥ 0, så vil vi have:

t 2 – 6t + 5 = 0. Ved at løse denne ligning finder vi, at t = 1 eller t = 5. Lad os vende tilbage til erstatningen:

|x| = 1 eller |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Svar: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Lad os se på et andet eksempel:

x 2 + |x| – 2 = 0. Ved modulegenskaben x 2 = |x| 2, derfor

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Lad os erstatte |x| = t ≥ 0, så:

t 2 + t – 2 = 0. Ved at løse denne ligning får vi t = -2 eller t = 1. Lad os vende tilbage til erstatningen:

|x| = -2 eller |x| = 1

Ingen rødder x = ± 1

Svar: x = -1, x = 1.

6. En anden type ligninger er ligninger med et "komplekst" modul. Sådanne ligninger inkluderer ligninger, der har "moduler i et modul." Ligninger af denne type kan løses ved hjælp af modulets egenskaber.

1) |3 – |x|| = 4. Vi vil handle på samme måde som i ligninger af den anden type. Fordi 4 > 0, så får vi to ligninger:

3 – |x| = 4 eller 3 – |x| = -4.

Lad os nu udtrykke modulet x i hver ligning, derefter |x| = -1 eller |x| = 7.

Vi løser hver af de resulterende ligninger. Der er ingen rødder i den første ligning, fordi -1< 0, а во втором x = ±7.

Svar x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Vi løser denne ligning på lignende måde:

3 + |x + 1| = 5 eller 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 eller x + 1 = -2. Ingen rødder.

Svar: x = -3, x = 1.

Der er også en universel metode til løsning af ligninger med et modul. Dette er intervalmetoden. Men vi vil se på det senere.

blog.site, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til den originale kilde.

Denne online matematikberegner vil hjælpe dig løse en ligning eller ulighed med moduli. Program til løsning af ligninger og uligheder med moduler giver ikke kun svaret på problemet, det fører detaljeret løsning med forklaringer, dvs. viser processen med at opnå resultatet.

Dette program kan være nyttigt for gymnasieelever gymnasier som forberedelse til tests og eksamener, når de tester viden før Unified State-eksamenen, for forældre til at kontrollere løsningen af ​​mange problemer i matematik og algebra. Eller måske er det for dyrt for dig at hyre en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller vil du bare gerne have det gjort så hurtigt som muligt? lektier i matematik eller algebra? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med detaljerede løsninger.

På den måde kan du gennemføre din egen træning og/eller træning af dine yngre brødre eller søstre, samtidig med at uddannelsesniveauet inden for problemløsning stiger.

Indtast en ligning eller ulighed med moduler

Det blev opdaget, at nogle scripts, der er nødvendige for at løse dette problem, ikke blev indlæst, og programmet virker muligvis ikke.
Du har muligvis AdBlock aktiveret.
I dette tilfælde skal du deaktivere det og opdatere siden.

Fordi Der er mange mennesker, der er villige til at løse problemet, din anmodning er blevet sat i kø.
Om et par sekunder vises løsningen nedenfor.
Vent venligst sek...

hvis du bemærket en fejl i løsningen, så kan du skrive om dette i Feedbackformularen.
Glem ikke angive hvilken opgave du bestemmer hvad indtast i felterne.

Vores spil, puslespil, emulatorer:

Lidt teori.

Ligninger og uligheder med moduler

I et grundskolealgebrakursus kan du støde på de simpleste ligninger og uligheder med moduler. For at løse dem kan du bruge en geometrisk metode baseret på, at \(|x-a| \) er afstanden på tallinjen mellem punkterne x og a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). For at løse ligningen \(|x-3|=2\) skal du f.eks. finde punkter på tallinjen, der er fjernt fra punkt 3 i en afstand af 2. Der er to sådanne punkter: \(x_1=1 \) og \(x_2=5\) .

Løsning af uligheden \(|2x+7|

Men den vigtigste måde at løse ligninger og uligheder med moduler på er forbundet med den såkaldte "afsløring af modulet per definition":
hvis \(a \geq 0 \), så \(|a|=a \);
if \(a Som regel reduceres en ligning (ulighed) med moduli til et sæt af ligninger (uligheder), der ikke indeholder modultegnet.

Ud over ovenstående definition anvendes følgende udsagn:
1) Hvis \(c > 0\), så er ligningen \(|f(x)|=c \) ækvivalent med ligningssættet: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right. \)
2) Hvis \(c > 0 \), så er uligheden \(|f(x)| 3) Hvis \(c \geq 0 \), så er uligheden \(|f(x)| > c \) svarende til et sæt uligheder: \(\venstre[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Hvis begge sider af uligheden \(f(x) EKSEMPEL 1. Løs ligningen \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Hvis \(x-1 \geq 0\), så har \(|x-1| = x-1\) og den givne ligning formen
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Højrepil x^2 +2x -8 = 0 \).
Hvis \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Højrepil x^2 -2x -4 = 0 \).
Den givne ligning bør således betragtes separat i hvert af de to angivne tilfælde.
1) Lad \(x-1 \geq 0 \), dvs. \(x\geq 1\). Fra ligningen \(x^2 +2x -8 = 0\) finder vi \(x_1=2, \; x_2=-4\). Betingelsen \(x \geq 1 \) er kun opfyldt af værdien \(x_1=2\).
2) Lad \(x-1 Svar: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

EKSEMPEL 2. Løs ligningen \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).

Første vej(moduludvidelse pr. definition).
Som i eksempel 1 kommer vi til den konklusion, at den givne ligning skal betragtes separat, hvis to betingelser er opfyldt: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) eller \(x^2-6x+7

1) Hvis \(x^2-6x+7 \geq 0 \), så har \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) og den givne ligning formen \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Højrepil 3x^2-23x+30=0 \). Efter at have løst denne andengradsligning får vi: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Lad os finde ud af, om værdien \(x_1=6\) opfylder betingelsen \(x^2-6x+7 \geq 0\). For at gøre dette, lad os erstatte angivne værdi ind i en kvadratisk ulighed. Vi får: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), dvs. \(7 \geq 0 \) er en sand ulighed. Det betyder, at \(x_1=6\) er roden af ​​den givne ligning.
Lad os finde ud af, om værdien \(x_2=\frac(5)(3)\) opfylder betingelsen \(x^2-6x+7 \geq 0\). For at gøre dette skal du erstatte den angivne værdi med den kvadratiske ulighed. Vi får: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), dvs. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) er en forkert ulighed. Det betyder, at \(x_2=\frac(5)(3)\) ikke er en rod af den givne ligning.

2) Hvis \(x^2-6x+7 Værdi \(x_3=3\) opfylder betingelsen \(x^2-6x+7 Værdi \(x_4=\frac(4)(3) \) ikke opfylder betingelsen \ (x^2-6x+7 Så den givne ligning har to rødder: \(x=6, \; x=3 \).

Anden vej. Hvis ligningen \(|f(x)| = h(x) \) er givet, så med \(h(x) \(\venstre[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right. \)
Begge disse ligninger blev løst ovenfor (ved at bruge den første metode til at løse den givne ligning), deres rødder er som følger: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3)\). Betingelse \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) fra disse fire værdier opfylder kun to: 6 og 3. Det betyder, at den givne ligning har to rødder: \(x=6, \; x=3\).

Tredje vej(grafisk).
1) Lad os bygge en graf for funktionen \(y = |x^2-6x+7| \). Lad os først konstruere en parabel \(y = x^2-6x+7\). Vi har \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Grafen for funktionen \(y = (x-3)^2-2\) kan fås fra grafen for funktionen \(y = x^2\) ved at flytte den 3 skalaenheder til højre (langs med x-aksen) og 2 skaleringsenheder ned (langs y-aksen). Den rette linje x=3 er aksen for den parable, vi er interesseret i. Som kontrolpunkter for mere nøjagtig plotning er det praktisk at tage punkt (3; -2) - parablens toppunkt, punkt (0; 7) og punkt (6; 7) symmetrisk med det i forhold til parablens akse .
For nu at konstruere en graf for funktionen \(y = |x^2-6x+7| \), skal du lade de dele af den konstruerede parabel, der ikke ligger under x-aksen, være uændrede, og spejle den del af parabel, der ligger under x-aksen i forhold til x-aksen.
2) Lad os bygge en graf af den lineære funktion \(y = \frac(5x-9)(3)\). Det er praktisk at tage punkter (0; –3) og (3; 2) som kontrolpunkter.

Det er vigtigt, at punktet x = 1,8 af skæringspunktet mellem den rette linje og abscisseaksen er placeret til højre for parablens venstre skæringspunkt med abscisseaksen - dette er punktet \(x=3-\ sqrt(2)\) (da \(3-\sqrt(2 ) 3) At dømme efter tegningen skærer graferne hinanden i to punkter - A(3; 2) og B(6; 7). Udskiftning af abscissen af ​​disse punkt x = 3 og x = 6 ind i den givne ligning, er vi overbevist om, at begge I en anden værdi opnås den korrekte numeriske lighed, hvilket betyder, at vores hypotese blev bekræftet - ligningen har to rødder: x = 3 og x = 6 Svar: 3; 6.

Kommentar. Den grafiske metode er trods al sin elegance ikke særlig pålidelig. I det betragtede eksempel virkede det kun, fordi ligningens rødder er heltal.

EKSEMPEL 3. Løs ligningen \(|2x-4|+|x+3| = 8\)

Første vej
Udtrykket 2x–4 bliver 0 i punktet x = 2, og udtrykket x + 3 bliver 0 i punktet x = –3. Disse to punkter deler tallinjen i tre intervaller: \(x

Overvej det første interval: \((-\infty; \; -3) \).
Hvis x Overvej det andet interval: \([-3; \; 2) \).
Hvis \(-3 \leq x Overvej det tredje interval: \()