Stjerne nyheder
Sådan ganges en brøk med et decimaltal. Multiplikation af decimaler, regler, eksempler, løsninger
Lad os gå videre til at studere den næste handling med decimalbrøker, nu vil vi tage et omfattende kig på gange decimaler. Lad os tale først generelle principper gange decimalbrøker. Herefter vil vi gå videre til at gange en decimalbrøk med en decimalbrøk, vi vil vise, hvordan man multiplicerer decimalbrøker med en kolonne, og vi vil overveje løsninger til eksempler. Dernæst vil vi se på at gange decimalbrøker med naturlige tal, især med 10, 100 osv. Lad os endelig tale om at gange decimaler med brøker og blandede tal.
Lad os sige med det samme, at vi i denne artikel kun vil tale om at gange positive decimalbrøker (se positive og negative tal). De resterende tilfælde diskuteres i artiklerne multiplikation af rationelle tal og gange reelle tal.
Sidenavigation.
Generelle principper for at gange decimaler
Lad os diskutere de generelle principper, der skal følges, når man multiplicerer med decimaler.
Siden finalen decimaler og uendelige periodiske brøker er decimalformen til at skrive almindelige brøker, så multiplicerer sådanne decimaler i det væsentlige at gange almindelige brøker. Med andre ord, gange endelige decimaler, gange endelige og periodiske decimalbrøker, og gange periodiske decimaler kommer ned til at gange almindelige brøker efter konvertering af decimalbrøker til almindelige.
Lad os se på eksempler på anvendelse af det angivne princip om at gange decimalbrøker.
Eksempel.
Gang decimalerne 1,5 og 0,75.
Løsning.
Lad os erstatte decimalbrøkerne, der ganges med de tilsvarende almindelige brøker. Siden 1,5=15/10 og 0,75=75/100, så . Du kan reducere en brøk og derefter vælge hele delen fra den ukorrekte brøk, eller mere bekvemt den resulterende almindelig brøk Skriv 1.125/1.000 som en decimalbrøk 1,125.
Svar:
1,5·0,75=1,125.
Det skal bemærkes, at det er praktisk at multiplicere endelige decimalbrøker i en kolonne; vi vil tale om denne metode til at multiplicere decimalbrøker i.
Lad os se på et eksempel på at gange periodiske decimalbrøker.
Eksempel.
Beregn produktet af de periodiske decimalbrøker 0,(3) og 2,(36) .
Løsning.
Lad os konvertere periodiske decimalbrøker til almindelige brøker:
Derefter . Du kan konvertere den resulterende almindelige brøk til en decimalbrøk:
Svar:
0,(3)·2,(36)=0,(78).
Hvis der blandt de multiplicerede decimalbrøker er uendelige ikke-periodiske brøker, skal alle multiplicerede brøker, inklusive endelige og periodiske, afrundes til et bestemt ciffer (se afrunde tal), og gange derefter de sidste decimalbrøker opnået efter afrunding.
Eksempel.
Gang decimalerne 5,382... og 0,2.
Løsning.
Lad os først afrunde en uendelig ikke-periodisk decimalbrøk, afrunding kan udføres til hundrededele, vi har 5,382...≈5,38. Den sidste decimalbrøk 0,2 behøver ikke at blive afrundet til nærmeste hundrededel. Således 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Det er tilbage at beregne produktet af endelige decimalbrøker: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076.
Svar:
5,382…·0,2≈1,076.
Multiplicer decimalbrøker med kolonne
Multiplicering af endelige decimalbrøker kan udføres i en kolonne, svarende til at gange naturlige tal i en kolonne.
Lad os formulere regel for at gange decimalbrøker med kolonne. For at gange decimalbrøker med kolonne skal du:
- uden at være opmærksom på kommaer, udfør multiplikation i henhold til alle multiplikationsreglerne med en kolonne med naturlige tal;
- adskilt fra det resulterende tal decimaltegnet lige så mange tal til højre, som der er decimaler i begge faktorer tilsammen, og hvis der ikke er nok tal i produktet, så skal du tilføje til venstre påkrævet mængde nuller.
Lad os se på eksempler på at gange decimalbrøker med kolonner.
Eksempel.
Multiplicer decimalerne 63,37 og 0,12.
Løsning.
Lad os gange decimalbrøker i en kolonne. Først gange vi tallene og ignorerer kommaer: 
Tilbage er blot at tilføje et komma til det resulterende produkt. Hun skal adskille 4 cifre til højre, da faktorerne har i alt fire decimaler (to i brøken 3,37 og to i brøken 0,12). Der er nok tal der, så du behøver ikke tilføje nuller til venstre. Lad os afslutte optagelsen: 
Som et resultat har vi 3,37·0,12=7,6044.
Svar:
3,37·0,12=7,6044.
Eksempel.
Beregn produktet af decimalerne 3,2601 og 0,0254.
Løsning.
Efter at have udført multiplikation i en kolonne uden at tage hensyn til kommaer, får vi følgende billede: 
Nu i produktet skal du adskille de 8 cifre til højre med et komma, da det samlede antal decimaler af de multiplicerede brøker er otte. Men der er kun 7 cifre i produktet, derfor skal du tilføje så mange nuller til venstre, så du kan adskille 8 cifre med et komma. I vores tilfælde skal vi tildele to nuller: 
Dette fuldender multiplikationen af decimalbrøker med kolonne.
Svar:
3,2601·0,0254=0,08280654.
Multiplicer decimaler med 0,1, 0,01 osv.
Ganske ofte skal du gange decimalbrøker med 0,1, 0,01 og så videre. Derfor er det tilrådeligt at formulere en regel for at gange en decimalbrøk med disse tal, som følger af principperne for at gange decimalbrøker beskrevet ovenfor.
Så, gange en given decimal med 0,1, 0,01, 0,001 og så videre giver en brøk, der opnås fra den oprindelige, hvis kommaet i sin notation flyttes til venstre med henholdsvis 1, 2, 3 og så videre cifre, og hvis der ikke er nok cifre til at flytte kommaet, så skal du tilføje til venstre påkrævet beløb nuller.
For at gange decimalbrøken 54,34 med 0,1 skal du for eksempel flytte decimalpunktet i brøken 54,34 til venstre med 1 ciffer, hvilket vil give dig brøken 5,434, det vil sige 54,34·0,1=5,434. Lad os give et andet eksempel. Gang decimalbrøken 9,3 med 0,0001. For at gøre dette skal vi flytte decimaltegnet 4 cifre til venstre i den multiplicerede decimalbrøk 9,3, men notationen af brøken 9,3 indeholder ikke så mange cifre. Derfor skal vi tildele så mange nuller til venstre for brøken 9,3, så vi nemt kan flytte decimaltegnet til 4 cifre, vi har 9,3·0,0001=0,00093.
Bemærk, at den angivne regel for at gange en decimalbrøk med 0,1, 0,01, ... også gælder for uendelige decimalbrøker. For eksempel 0.(18)·0.01=0.00(18) eller 93.938…·0.1=9.3938….
Multiplicer en decimal med et naturligt tal
I sin kerne gange decimaler med naturlige tal ikke anderledes end at gange en decimal med en decimal.
Det er mest bekvemt at gange en sidste decimalbrøk med et naturligt tal i en kolonne; i dette tilfælde skal du overholde reglerne for multiplikation af decimalbrøker i en kolonne, diskuteret i et af de foregående afsnit.
Eksempel.
Beregn produktet 15·2,27.
Løsning.
Lad os gange et naturligt tal med en decimalbrøk i en kolonne: 
Svar:
15·2,27=34,05.
Når en periodisk decimalbrøk ganges med et naturligt tal, skal den periodiske brøk erstattes af en almindelig brøk.
Eksempel.
Gang decimalbrøken 0.(42) med det naturlige tal 22.
Løsning.
Lad os først konvertere den periodiske decimalbrøk til en almindelig brøk:
Lad os nu gøre multiplikationen: . Dette resultat som en decimal er 9,(3) .
Svar:
0,(42)·22=9,(3).
Og når du multiplicerer en uendelig ikke-periodisk decimalbrøk med et naturligt tal, skal du først udføre afrunding.
Eksempel.
Multiplicer 4·2,145….
Løsning.
Efter at have afrundet den oprindelige uendelige decimalbrøk til hundrededele kommer vi frem til multiplikationen af et naturligt tal og en sidste decimalbrøk. Vi har 4·2,145…≈4·2,15=8,60.
Svar:
4·2,145…≈8,60.
At gange en decimal med 10, 100, ...
Ganske ofte skal du gange decimalbrøker med 10, 100, ... Derfor er det tilrådeligt at dvæle ved disse tilfælde i detaljer.
Lad os sige det regel for at gange en decimalbrøk med 10, 100, 1.000 osv. Når du multiplicerer en decimalbrøk med 10, 100, ... i dens notation, skal du flytte decimaltegnet til højre til henholdsvis 1, 2, 3, ... cifre og kassere de ekstra nuller til venstre; hvis notationen af den brøk, der ganges, ikke har nok cifre til at flytte decimaltegnet, så skal du tilføje det nødvendige antal nuller til højre.
Eksempel.
Gang decimalbrøken 0,0783 med 100.
Løsning.
Lad os flytte brøken 0,0783 to cifre til højre, og vi får 007,83. Slet de to nuller til venstre giver decimalbrøken 7,38. Således 0,0783·100=7,83.
Svar:
0,0783·100=7,83.
Eksempel.
Multiplicer decimalbrøken 0,02 med 10.000.
Løsning.
For at gange 0,02 med 10.000 skal vi flytte decimaltegnet 4 cifre til højre. Det er klart, at der i brøken 0,02 ikke er nok cifre til at flytte decimaltegnet med 4 cifre, så vi tilføjer et par nuller til højre, så decimaltegnet kan flyttes. I vores eksempel er det nok at tilføje tre nuller, vi har 0,02000. Efter at have flyttet kommaet får vi indtastningen 00200.0. Hvis vi kasserer nullerne til venstre, har vi tallet 200,0, som er lig med det naturlige tal 200, som er resultatet af at gange decimalbrøken 0,02 med 10.000.
§ 1 Anvendelse af reglen for multiplikation af decimalbrøker
I denne lektion vil du blive fortrolig med og lære, hvordan du anvender reglen for at gange decimaler og reglen for at gange en decimal med en pladsværdienhed såsom 0,1, 0,01 osv. Derudover vil vi se på egenskaberne ved multiplikation, når vi finder værdierne af udtryk, der indeholder decimaler.
Lad os løse problemet:
Køretøjets hastighed er 59,8 km/t.
Hvor langt vil bilen køre på 1,3 time?
For at finde en vej skal du som bekendt gange hastigheden med tiden, dvs. 59,8 gange 1,3.
Lad os skrive tallene i en kolonne og begynde at gange dem, uden at lægge mærke til kommaerne: 8 ganget med 3, det bliver 24, 4 vi skriver 2 i vores hoveder, 3 ganget med 9 er 27, plus plus 2, vi får 29, vi skriv 9, 2 i vores hoveder. Nu gange vi 3 med 5, det bliver 15 og lægger 2 sammen, vi får 17.
Lad os gå videre til den anden linje: 1 ganget med 8, vi får 8, 1 ganget med 9, vi får 9, 1 ganget med 5, vi får 5, add disse to linjer, vi får 4, 9+8 er lig med 17, 7 skriver vi 1 i hovedet, 7 +9 er 16 og 1 mere, det bliver 17, 7 skriver vi 1 i hovedet, 1+5 og 1 mere får vi 7.
Lad os nu se, hvor mange decimaler der er i begge decimalbrøker! Den første brøk har et ciffer efter decimaltegnet, og den anden brøk har et ciffer efter decimalkommaet, kun to cifre. Det betyder, at du i højre side af resultatet skal tælle to cifre og sætte et komma, dvs. vil være 77,74. Så når vi multiplicerer 59,8 med 1,3, får vi 77,74. Det betyder, at svaret på problemet er 77,74 km.
For at gange to decimalbrøker skal du således:
Først: Gør multiplikationen uden at være opmærksom på kommaerne
For det andet: i det resulterende produkt skal du adskille med et komma lige så mange cifre til højre, som der er efter decimaltegnet i begge faktorer tilsammen.
Hvis der er færre cifre i det resulterende produkt, end der skal adskilles med et komma, skal der tilføjes et eller flere nuller foran.
For eksempel: 0,145 ganget med 0,03 i vores produkt får vi 435, og et komma skal adskille 5 cifre til højre, så vi tilføjer yderligere 2 nuller foran tallet 4, sætter et komma og tilføjer endnu et nul. Vi får svaret 0,00435.
§ 2 Egenskaber ved at gange decimalbrøker
Når decimalbrøker ganges, bevares alle de samme egenskaber ved multiplikation, som gælder for naturlige tal. Lad os udføre nogle opgaver.
Opgave nr. 1:
Lad os løse dette eksempel ved at anvende multiplikationens fordelingsegenskab i forhold til addition.
Lad os tage 5,7 (fælles faktor) ud af parenteserne, hvilket efterlader 3,4 plus 0,6 i parentes. Værdien af denne sum er 4, og nu skal 4 ganges med 5,7, vi får 22,8.
Opgave nr. 2:
Lad os anvende den kommutative egenskab ved multiplikation.
Først gange vi 2,5 med 4, vi får 10 heltal, og nu skal vi gange 10 med 32,9 og vi får 329.
Når du multiplicerer decimalbrøker, kan du desuden bemærke følgende:
Når man multiplicerer et tal med en uægte decimalbrøk, dvs. større end eller lig med 1, øges eller ændres den ikke, for eksempel:
Når man multiplicerer et tal med en egentlig decimalbrøk, dvs. mindre end 1, falder det, for eksempel:
Lad os løse et eksempel:
23,45 ganget med 0,1.
Vi skal gange 2.345 med 1 og adskille tre kommaer til højre, vi får 2.345.
Lad os nu løse et andet eksempel: 23,45 divideret med 10, vi skal flytte decimalen en plads til venstre, fordi der er 1 nul i cifferenheden, vi får 2,345.
Ud fra disse to eksempler kan vi slutte, at gange en decimalbrøk med 0,1, 0,01, 0,001 osv. betyder at dividere tallet med 10, 100, 1000 osv., dvs. I en decimalbrøk skal du flytte decimaltegnet til venstre med lige så mange steder, som der er nuller før 1-tallet i faktoren.
Ved hjælp af den resulterende regel finder vi værdierne af produkterne:
13,45 gange 0,01
der er 2 nuller foran tallet 1, så flyt decimaltegnet til venstre 2 pladser, vi får 0,1345.
0,02 gange 0,001
Der er 3 nuller foran tallet 1, hvilket betyder, at vi flytter kommaet tre steder til venstre, vi får 0,00002.
I denne lektion lærte du således, hvordan du multiplicerer decimalbrøker. For at gøre dette skal du bare udføre multiplikationen, uden at være opmærksom på kommaer, og i det resulterende produkt skal du adskille med et komma lige så mange cifre til højre, som der er efter decimaltegnet i begge faktorer sammen. Derudover stiftede vi bekendtskab med reglen for at gange en decimalbrøk med 0,1, 0,01 osv. og undersøgte også egenskaberne ved at gange decimalbrøker.
Liste over brugt litteratur:
- Matematik 5 klasse. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. m.fl., 31. udg., slettet. - M: 2013.
- Didaktiske materialer i matematik 5. klasse. Forfatter - Popov M.A. - år 2013
- Vi regner uden fejl. Arbejde med selvtest i matematik 5.-6. Forfatter - Minaeva S.S. - år 2014
- Didaktiske materialer til matematik klasse 5. Forfattere: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
- Kontrol og selvstændigt arbejde i matematik 5. klasse. Forfattere - Popov M.A. - år 2012
- Matematik. 5. klasse: pædagogisk. for almenpædagogiske studerende. institutioner / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. udg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2009
I den sidste lektion lærte vi, hvordan man tilføjer og trækker decimaler (se lektionen "Tilføjelse og subtraktion af decimaler"). Samtidig vurderede vi, hvor meget beregninger er forenklet i forhold til almindelige "to-etagers" brøker.
Desværre opstår denne effekt ikke ved at gange og dividere decimaler. I nogle tilfælde komplicerer decimalnotation endda disse operationer.
Lad os først introducere en ny definition. Vi vil se ham ret ofte, og ikke kun i denne lektion.
Den betydelige del af et tal er alt mellem det første og sidste ciffer, der ikke er nul, inklusive enderne. Det handler om kun om tal, tages decimaltegnet ikke i betragtning.
De cifre, der indgår i den betydelige del af et tal, kaldes signifikante cifre. De kan gentages og endda være lig nul.
Overvej for eksempel flere decimalbrøker og skriv de tilsvarende væsentlige dele ud:
- 91,25 → 9125 (signifikante tal: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (signifikante tal: 8; 2; 4; 1);
- 15,0075 → 150075 (signifikante tal: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (signifikante tal: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (betydelig tal kun én: 3).
Bemærk venligst: nullerne inde i den betydelige del af tallet går ingen vegne. Vi er allerede stødt på noget lignende, da vi lærte at konvertere decimalbrøker til almindelige (se lektion "Decimaler").
Dette punkt er så vigtigt, og der begås så ofte fejl her, at jeg i den nærmeste fremtid vil udgive en test om dette emne. Sørg for at øve dig! Og vi, bevæbnet med konceptet om den væsentlige del, vil faktisk gå videre til emnet for lektionen.
Multiplikation af decimaler
Multiplikationsoperationen består af tre på hinanden følgende trin:
- For hver brøk skal du skrive den betydelige del ned. Du får to almindelige heltal - uden nogen nævnere og decimaltegn;
- Gang disse tal med et hvilket som helst på en bekvem måde. Direkte, hvis tallene er små, eller i en kolonne. Vi opnår den betydelige del af den ønskede fraktion;
- Find ud af, hvor og med hvor mange cifre decimaltegnet i de oprindelige brøker forskydes for at opnå den tilsvarende signifikante del. Udfør omvendte skift for den væsentlige del opnået i det foregående trin.
Lad mig endnu en gang minde dig om, at nuller på siderne af den væsentlige del aldrig tages i betragtning. At ignorere denne regel fører til fejl.
- 0,28 12,5;
- 6,3 · 1,08;
- 132,5 · 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 · 10.000.
Vi arbejder med det første udtryk: 0,28 · 12,5.
- Lad os udskrive de væsentlige dele for tallene fra dette udtryk: 28 og 125;
- Deres produkt: 28 · 125 = 3500;
- I den første faktor flyttes decimaltegnet 2 cifre til højre (0,28 → 28), og i den anden flyttes det med 1 ciffer mere. I alt skal du flytte til venstre med tre cifre: 3500 → 3.500 = 3,5.
Lad os nu se på udtrykket 6,3 · 1,08.
- Lad os skrive de væsentlige dele ud: 63 og 108;
- Deres produkt: 63 · 108 = 6804;
- Igen to skift til højre: med henholdsvis 2 og 1 ciffer. I alt - igen 3 cifre til højre, så det omvendte skift bliver 3 cifre til venstre: 6804 → 6.804. Denne gang er der ingen bagende nuller.
Vi nåede det tredje udtryk: 132,5 · 0,0034.
- Væsentlige dele: 1325 og 34;
- Deres produkt: 1325 · 34 = 45.050;
- I den første brøk flyttes decimaltegnet til højre med 1 ciffer, og i den anden - med så mange som 4. I alt: 5 til højre. Vi skifter med 5 til venstre: 45.050 → .45050 = 0,4505. Nulet blev fjernet i slutningen og tilføjet forrest for ikke at efterlade et "nøgent" decimaltegn.
Følgende udtryk er: 0,0108 · 1600,5.
- Vi skriver de væsentlige dele: 108 og 16 005;
- Vi gange dem: 108 · 16.005 = 1.728.540;
- Vi tæller tallene efter decimalkommaet: i det første tal er der 4, i det andet er der 1. Summen er igen 5. Vi har: 1.728.540 → 17.28540 = 17.2854. Til sidst blev det "ekstra" nul fjernet.
Til sidst det sidste udtryk: 5,25 10.000.
- Væsentlige dele: 525 og 1;
- Vi gange dem: 525 · 1 = 525;
- Den første brøk forskydes 2 cifre til højre, og den anden brøk forskydes 4 cifre til venstre (10.000 → 1.0000 = 1). I alt 4 − 2 = 2 cifre til venstre. Vi udfører et omvendt skift med 2 cifre til højre: 525, → 52.500 (vi skulle tilføje nuller).
Bemærk det sidste eksempel: da decimaltegnet flyttes til forskellige retninger, findes den samlede forskydning gennem forskellen. Det er meget vigtigt punkt! Her er et andet eksempel:
Overvej tallene 1,5 og 12 500. Vi har: 1,5 → 15 (skift med 1 til højre); 12.500 → 125 (skift 2 til venstre). Vi "træder" 1 ciffer til højre og derefter 2 til venstre. Som et resultat trådte vi 2 − 1 = 1 ciffer til venstre.
Decimal division
Division er måske den sværeste operation. Selvfølgelig kan du her handle analogt med multiplikation: dividere de signifikante dele og derefter "flytte" decimaltegnet. Men i dette tilfælde er der mange finesser, der negerer potentielle besparelser.
Lad os derfor se på en universel algoritme, som er lidt længere, men meget mere pålidelig:
- Konverter alle decimalbrøker til almindelige brøker. Med lidt øvelse vil dette trin tage dig et spørgsmål om sekunder;
- Opdel de resulterende fraktioner på den klassiske måde. Med andre ord, gange den første brøk med den "inverterede" anden (se lektionen "Multiplikere og dividere numeriske brøker");
- Hvis det er muligt, skal du præsentere resultatet igen som en decimalbrøk. Dette trin er også hurtigt, da nævneren ofte allerede er en potens af ti.
Opgave. Find betydningen af udtrykket:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Lad os overveje det første udtryk. Lad os først konvertere brøker til decimaler:
Lad os gøre det samme med det andet udtryk. Tælleren for den første brøk bliver igen faktoriseret:
Der er en vigtig pointe i det tredje og fjerde eksempel: efter at have fjernet decimalnotationen, vises der reducerede brøker. Vi vil dog ikke udføre denne reduktion.
Det sidste eksempel er interessant, fordi tælleren i den anden brøk indeholder et primtal. Der er simpelthen ikke noget at faktorisere her, så vi overvejer det lige frem:
Nogle gange resulterer division i et heltal (jeg taler om det sidste eksempel). I dette tilfælde udføres det tredje trin slet ikke.
Derudover opstår der ved division ofte "grimme" brøker, som ikke kan omregnes til decimaler. Dette adskiller division fra multiplikation, hvor resultaterne altid er repræsenteret i decimalform. Selvfølgelig i dette tilfælde sidste skridt igen ikke opfyldt.
Vær også opmærksom på det 3. og 4. eksempel. I dem reducerer vi bevidst ikke almindelige brøker opnået fra decimaler. Ellers vil dette komplicere den omvendte opgave - at repræsentere det endelige svar igen i decimalform.
Husk: den grundlæggende egenskab ved en brøk (som enhver anden regel i matematik) i sig selv betyder ikke, at den skal anvendes overalt og altid, ved enhver lejlighed.
I denne tutorial vil vi se på hver af disse operationer separat.
Lektionens indholdTilføjelse af decimaler
Som vi ved, har en decimalbrøk et heltal og en brøkdel. Ved tilføjelse af decimaler tilføjes hele og brøkdele separat.
Lad os f.eks. tilføje decimalbrøkerne 3.2 og 5.3. Det er mere praktisk at tilføje decimalbrøker i en kolonne.
Lad os først skrive disse to brøker i en kolonne, hvor heltalsdelene nødvendigvis er under heltal, og brøkdelene under brøkdelene. I skolen kaldes dette krav "komma under komma".
Lad os skrive brøkerne i en kolonne, så kommaet står under kommaet:
Vi begynder at tilføje brøkdelene: 2 + 3 = 5. Vi skriver de fem i brøkdelen af vores svar:
Nu lægger vi hele delene sammen: 3 + 5 = 8. Vi skriver en otte i hele delen af vores svar:
Nu adskiller vi hele delen fra brøkdelen med et komma. For at gøre dette følger vi igen reglen "komma under komma":
Vi fik svar på 8,5. Så udtrykket 3,2 + 5,3 er lig med 8,5
Faktisk er alt ikke så simpelt, som det ser ud ved første øjekast. Der er også faldgruber her, som vi vil tale om nu.
Pladser i decimaler
Decimalbrøker har ligesom almindelige tal deres egne cifre. Det er steder af tiendedele, steder af hundrededele, steder af tusindedele. I dette tilfælde begynder cifrene efter decimaltegnet.
Det første ciffer efter decimaltegnet er ansvarligt for tiendedelepladsen, det andet ciffer efter decimaltegnet for hundrededelepladsen og det tredje ciffer efter decimalpunktet for tusindedelepladsen.
Steder i decimalbrøker indeholder nogle brugbar information. Specifikt fortæller de dig, hvor mange tiendedele, hundrededele og tusindedele der er i en decimal.
Overvej f.eks. decimalbrøken 0,345
Positionen, hvor de tre er placeret, kaldes tiende plads
Den position, hvor de fire er placeret, kaldes hundrededele plads
Positionen, hvor de fem er placeret, kaldes tusinde plads
Lad os se på denne tegning. Vi ser, at der er en treer på tiendedelepladsen. Det betyder, at der er tre tiendedele i decimalbrøken 0,345.
Tilføjer vi brøkerne, får vi den oprindelige decimalbrøk 0,345
Det kan ses, at vi først modtog svaret, men vi konverterede det til en decimalbrøk og fik 0,345.
Ved tilføjelse af decimalbrøker følges de samme principper og regler, som ved tilføjelse af almindelige tal. Tilføjelsen af decimalbrøker sker i cifre: tiendedele lægges til tiendedele, hundrededele til hundrededele, tusindedele til tusindedele.
Når du tilføjer decimalbrøker, skal du derfor følge reglen "komma under komma". Kommaet under kommaet angiver selve rækkefølgen, hvor tiendedele lægges til tiendedele, hundrededele til hundrededele, tusindedele til tusindedele.
Eksempel 1. Find værdien af udtrykket 1,5 + 3,4
Først og fremmest lægger vi brøkdelene 5 + 4 = 9 sammen. Vi skriver ni i brøkdelen af vores svar:
Nu tilføjer vi heltalsdelene 1 + 3 = 4. Vi skriver de fire i heltalsdelen af vores svar:
Nu adskiller vi hele delen fra brøkdelen med et komma. For at gøre dette følger vi igen reglen "komma under komma":
Vi fik svar på 4.9. Det betyder, at værdien af udtrykket 1,5 + 3,4 er 4,9
Eksempel 2. Find værdien af udtrykket: 3,51 + 1,22
Vi skriver dette udtryk i en kolonne, idet vi overholder reglen "komma under komma".
Først og fremmest lægger vi brøkdelen sammen, nemlig hundrededelene af 1+2=3. Vi skriver en tredobbelt i den hundrededel af vores svar:
Tilføj nu tiendedelene 5+2=7. Vi skriver en syv i tiende del af vores svar:
Nu tilføjer vi hele delene 3+1=4. Vi skriver de fire i hele vores svar:
Vi adskiller hele delen fra brøkdelen med et komma, idet vi overholder "komma under komma"-reglen:
Svaret vi modtog var 4,73. Dette betyder, at værdien af udtrykket 3,51 + 1,22 er lig med 4,73
3,51 + 1,22 = 4,73
Som med almindelige tal, når man tilføjer decimaler, . I dette tilfælde skrives et ciffer i svaret, og resten overføres til det næste ciffer.
Eksempel 3. Find værdien af udtrykket 2,65 + 3,27
Vi skriver dette udtryk i kolonnen:
Tilføj hundrededele dele 5+7=12. Tallet 12 passer ikke ind i den hundrededel af vores svar. Derfor skriver vi i den hundrede del tallet 2 og flytter enheden til det næste ciffer:
Nu tilføjer vi tiendedelene af 6+2=8 plus den enhed, vi fik fra den forrige operation, vi får 9. Vi skriver tallet 9 i tiendedelen af vores svar:
Nu tilføjer vi hele delene 2+3=5. Vi skriver tallet 5 i heltalsdelen af vores svar:
Svaret vi modtog var 5,92. Dette betyder, at værdien af udtrykket 2,65 + 3,27 er lig med 5,92
2,65 + 3,27 = 5,92
Eksempel 4. Find værdien af udtrykket 9,5 + 2,8
Vi skriver dette udtryk i kolonnen
Vi tilføjer brøkdelene 5 + 8 = 13. Tallet 13 passer ikke ind i brøkdelen af vores svar, så vi skriver først tallet 3 ned, og flytter enheden til næste ciffer, eller rettere, overfører det til heltalsdel:
Nu tilføjer vi heltalsdelene 9+2=11 plus den enhed, vi fik fra den forrige operation, får vi 12. Vi skriver tallet 12 i heltalsdelen af vores svar:
Adskil hele delen fra brøkdelen med et komma:
Vi modtog svaret 12.3. Det betyder, at værdien af udtrykket 9,5 + 2,8 er 12,3
9,5 + 2,8 = 12,3
Ved tilføjelse af decimaler skal antallet af cifre efter decimaltegnet i begge brøker være det samme. Hvis der ikke er nok tal, er disse steder i brøkdelen fyldt med nuller.
Eksempel 5. Find værdien af udtrykket: 12,725 + 1,7
Før du skriver dette udtryk i en kolonne, lad os gøre antallet af cifre efter decimaltegnet i begge brøker ens. Decimalbrøken 12,725 har tre cifre efter decimalkommaet, men brøkdelen 1,7 har kun ét. Det betyder, at du i brøken 1.7 skal tilføje to nuller til sidst. Så får vi brøken 1.700. Nu kan du skrive dette udtryk i en kolonne og begynde at beregne:
Tilføj tusindedele dele 5+0=5. Vi skriver tallet 5 i den tusinde del af vores svar:
Tilføj hundrededele dele 2+0=2. Vi skriver tallet 2 i den hundrede del af vores svar:
Tilføj tiendedelene 7+7=14. Tallet 14 passer ikke ind i en tiendedel af vores svar. Derfor skriver vi først tallet 4 ned og flytter enheden til næste ciffer:
Nu tilføjer vi heltalsdelene 12+1=13 plus den enhed, vi fik fra den forrige operation, får vi 14. Vi skriver tallet 14 i heltalsdelen af vores svar:
Adskil hele delen fra brøkdelen med et komma:
Vi modtog et svar på 14.425. Dette betyder, at værdien af udtrykket 12.725+1.700 er 14.425
12,725+ 1,700 = 14,425
Subtrahering af decimaler
Når du trækker decimalbrøker fra, skal du følge de samme regler, som når du tilføjer: "komma under decimaltegnet" og "lige antal cifre efter decimaltegnet."
Eksempel 1. Find værdien af udtrykket 2,5 − 2,2
Vi skriver dette udtryk i en kolonne, idet vi overholder "komma under komma"-reglen:
Vi beregner brøkdelen 5−2=3. Vi skriver tallet 3 i den tiende del af vores svar:
Vi beregner heltalsdelen 2−2=0. Vi skriver nul i heltalsdelen af vores svar:
Adskil hele delen fra brøkdelen med et komma:
Vi fik et svar på 0,3. Det betyder, at værdien af udtrykket 2,5 − 2,2 er lig med 0,3
2,5 − 2,2 = 0,3
Eksempel 2. Find værdien af udtrykket 7.353 - 3.1
I dette udtryk forskellige mængder tal efter decimalkommaet. Brøken 7.353 har tre cifre efter decimalkommaet, men brøkdelen 3.1 har kun ét. Det betyder, at du i brøken 3.1 skal tilføje to nuller til sidst for at gøre antallet af cifre i begge brøker ens. Så får vi 3.100.
Nu kan du skrive dette udtryk i en kolonne og beregne det:
Vi modtog et svar på 4.253. Dette betyder, at værdien af udtrykket 7,353 − 3,1 er lig med 4,253
7,353 — 3,1 = 4,253
Som med almindelige tal bliver du nogle gange nødt til at låne et fra et tilstødende ciffer, hvis subtraktion bliver umulig.
Eksempel 3. Find værdien af udtrykket 3,46 − 2,39
Træk hundrededele af 6−9 fra. Du kan ikke trække tallet 9 fra tallet 6. Derfor skal du låne et fra det tilstødende ciffer. Ved at låne en fra det tilstødende ciffer bliver tallet 6 til tallet 16. Nu kan du beregne hundrededelene af 16−9=7. Vi skriver en syv i hundrededel af vores svar:
Nu trækker vi tiendedele fra. Da vi tog en enhed på tiendedelepladsen, faldt tallet, der var placeret der, med en enhed. Med andre ord, på tiendedelepladsen er der nu ikke tallet 4, men tallet 3. Lad os beregne tiendedelene af 3−3=0. Vi skriver nul i den tiende del af vores svar:
Nu trækker vi hele delene 3−2=1 fra. Vi skriver en i heltalsdelen af vores svar:
Adskil hele delen fra brøkdelen med et komma:
Vi fik svar 1.07. Det betyder, at værdien af udtrykket 3,46−2,39 er lig med 1,07
3,46−2,39=1,07
Eksempel 4. Find værdien af udtrykket 3−1.2
Dette eksempel trækker en decimal fra et helt tal. Lad os skrive dette udtryk i en kolonne, så det hele delen decimalbrøken 1,23 endte under tallet 3
Lad os nu gøre antallet af cifre efter decimaltegnet til det samme. For at gøre dette, efter tallet 3 sætter vi et komma og tilføjer et nul:
Nu trækker vi tiendedele fra: 0−2. Du kan ikke trække tallet 2 fra nul. Derfor skal du låne et fra det tilstødende ciffer. Efter at have lånt en fra nabocifferet, bliver 0 til tallet 10. Nu kan du beregne tiendedelene af 10−2=8. Vi skriver en otte i tiende del af vores svar:
Nu trækker vi hele delene fra. Tidligere lå nummer 3 i det hele, men vi tog en enhed fra den. Som et resultat blev det til tallet 2. Derfor trækker vi 1 fra 2. 2−1=1. Vi skriver en i heltalsdelen af vores svar:
Adskil hele delen fra brøkdelen med et komma:
Svaret vi fik var 1,8. Det betyder, at værdien af udtrykket 3−1,2 er 1,8
Multiplikation af decimaler
At gange decimaler er enkelt og endda sjovt. For at gange decimaler skal du gange dem som almindelige tal og ignorere kommaerne.
Efter at have modtaget svaret, skal du adskille hele delen fra brøkdelen med et komma. For at gøre dette skal du tælle antallet af cifre efter decimaltegnet i begge brøker, derefter tælle det samme antal cifre fra højre i svaret og sætte et komma.
Eksempel 1. Find værdien af udtrykket 2,5 × 1,5
Lad os gange disse decimalbrøker som almindelige tal, idet vi ignorerer kommaerne. For at ignorere kommaerne kan du midlertidigt forestille dig, at de er helt fraværende:
Vi fik 375. I dette tal skal du adskille heltalsdelen fra brøkdelen med et komma. For at gøre dette skal du tælle antallet af cifre efter decimaltegnet i brøkerne 2,5 og 1,5. Den første brøk har et ciffer efter decimaltegnet, og den anden brøk har også et. I alt to tal.
Vi vender tilbage til tallet 375 og begynder at bevæge os fra højre mod venstre. Vi skal tælle to cifre til højre og sætte et komma:
Vi fik et svar på 3,75. Så værdien af udtrykket 2,5 × 1,5 er 3,75
2,5 × 1,5 = 3,75
Eksempel 2. Find værdien af udtrykket 12,85 × 2,7
Lad os gange disse decimalbrøker og ignorere kommaerne:
Vi fik 34695. I dette tal skal du adskille heltalsdelen fra brøkdelen med et komma. For at gøre dette skal du tælle antallet af cifre efter decimaltegnet i brøkerne 12,85 og 2,7. Brøken 12,85 har to cifre efter decimaltegnet, og brøkdelen 2,7 har et ciffer - i alt tre cifre.
Vi vender tilbage til nummeret 34695 og begynder at bevæge os fra højre mod venstre. Vi skal tælle tre cifre fra højre og sætte et komma:
Vi modtog et svar på 34.695. Så værdien af udtrykket 12,85 × 2,7 er 34,695
12,85 × 2,7 = 34,695
Multiplicer en decimal med et almindeligt tal
Nogle gange opstår der situationer, hvor du skal gange en decimalbrøk med et regulært tal.
For at gange en decimal og et tal, gange du dem uden at være opmærksom på kommaet i decimalen. Efter at have modtaget svaret, skal du adskille hele delen fra brøkdelen med et komma. For at gøre dette skal du tælle antallet af cifre efter decimaltegnet i decimalbrøken, derefter tælle det samme antal cifre fra højre i svaret og sætte et komma.
For eksempel gange 2,54 med 2
Multiplicer decimalbrøken 2,54 med det sædvanlige tal 2, idet du ignorer kommaet:
Vi fik tallet 508. I dette tal skal du adskille heltalsdelen fra brøkdelen med et komma. For at gøre dette skal du tælle antallet af cifre efter decimaltegnet i brøken 2,54. Brøken 2,54 har to cifre efter decimalkommaet.
Vi vender tilbage til nummer 508 og begynder at bevæge os fra højre mod venstre. Vi skal tælle to cifre til højre og sætte et komma:
Vi fik svar af 5.08. Så værdien af udtrykket 2,54 × 2 er 5,08
2,54 × 2 = 5,08
Multiplicer decimaler med 10, 100, 1000
At gange decimaler med 10, 100 eller 1000 sker på samme måde som at gange decimaler med almindelige tal. Du skal udføre multiplikationen, uden at være opmærksom på kommaet i decimalbrøken, og derefter adskille hele delen fra brøkdelen i svaret, idet du tæller fra højre det samme antal cifre, som der var cifre efter decimaltegnet.
For eksempel gange 2,88 med 10
Multiplicer decimalbrøken 2,88 med 10, og ignorer kommaet i decimalbrøken:
Vi fik 2880. I dette tal skal du adskille heltalsdelen fra brøkdelen med et komma. For at gøre dette skal du tælle antallet af cifre efter decimaltegnet i brøken 2,88. Vi ser, at brøken 2,88 har to cifre efter decimalkommaet.
Vi vender tilbage til tallet 2880 og begynder at bevæge os fra højre mod venstre. Vi skal tælle to cifre til højre og sætte et komma:
Vi fik et svar på 28,80. Lad os slippe det sidste nul og få 28,8. Det betyder, at værdien af udtrykket 2,88×10 er 28,8
2,88 × 10 = 28,8
Der er en anden måde at gange decimalbrøker med 10, 100, 1000. Denne metode er meget enklere og mere bekvem. Den består i at flytte decimaltegnet til højre med lige så mange cifre, som der er nuller i faktoren.
Lad os f.eks. bestemme tidligere eksempel 2,88x10 på denne måde. Uden at give nogen udregninger ser vi straks på faktoren 10. Vi er interesserede i, hvor mange nuller der er i den. Vi ser, at der er et nul i det. Nu i brøken 2,88 flytter vi decimaltegnet til det ene højre ciffer, vi får 28,8.
2,88 × 10 = 28,8
Lad os prøve at gange 2,88 med 100. Vi ser straks på faktoren 100. Vi er interesserede i, hvor mange nuller der er i den. Vi ser, at der er to nuller i den. Nu i brøken 2,88 flytter vi decimaltegnet til de to højre cifre, vi får 288
2,88 × 100 = 288
Lad os prøve at gange 2,88 med 1000. Vi ser straks på faktoren 1000. Vi er interesserede i, hvor mange nuller der er i den. Vi ser, at der er tre nuller i den. Nu i brøken 2,88 flytter vi decimaltegnet til højre med tre cifre. Der er ikke noget tredje ciffer der, så vi tilføjer endnu et nul. Som et resultat får vi 2880.
2,88 × 1000 = 2880
Multiplicer decimaler med 0,1 0,01 og 0,001
At gange decimaler med 0,1, 0,01 og 0,001 fungerer på samme måde som at gange en decimal med en decimal. Det er nødvendigt at gange brøkerne som almindelige tal, og sætte et komma i svaret, der tæller lige så mange cifre til højre, som der er cifre efter decimaltegnet i begge brøker.
For eksempel gange 3,25 med 0,1
Vi multiplicerer disse brøker som almindelige tal og ignorerer kommaerne:
Vi fik 325. I dette tal skal du adskille heltalsdelen fra brøkdelen med et komma. For at gøre dette skal du tælle antallet af cifre efter decimaltegnet i brøkerne 3,25 og 0,1. Brøken 3,25 har to cifre efter decimalkommaet, og brøkdelen 0,1 har et ciffer. I alt tre numre.
Vi vender tilbage til tallet 325 og begynder at bevæge os fra højre mod venstre. Vi skal tælle tre cifre fra højre og sætte et komma. Efter at have tællet tre cifre ned, konstaterer vi, at tallene er løbet tør. I dette tilfælde skal du tilføje et nul og tilføje et komma:
Vi modtog et svar på 0,325. Det betyder, at værdien af udtrykket 3,25 × 0,1 er 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Der er en anden måde at gange decimaler med 0,1, 0,01 og 0,001. Denne metode er meget enklere og mere bekvem. Den består i at flytte decimaltegnet til venstre med lige så mange cifre, som der er nuller i faktoren.
Lad os for eksempel løse det foregående eksempel 3,25 × 0,1 på denne måde. Uden at give nogen beregninger ser vi straks på multiplikatoren på 0,1. Vi er interesserede i, hvor mange nuller der er i den. Vi ser, at der er et nul i det. Nu i brøken 3,25 flytter vi decimaltegnet til venstre med et ciffer. Ved at flytte kommaet et ciffer til venstre, ser vi, at der ikke er flere cifre før de tre. I dette tilfælde skal du tilføje et nul og sætte et komma. Resultatet er 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Lad os prøve at gange 3,25 med 0,01. Vi ser umiddelbart på multiplikatoren på 0,01. Vi er interesserede i, hvor mange nuller der er i den. Vi ser, at der er to nuller i den. Nu i brøken 3,25 flytter vi decimaltegnet til venstre to cifre, vi får 0,0325
3,25 × 0,01 = 0,0325
Lad os prøve at gange 3,25 med 0,001. Vi ser umiddelbart på multiplikatoren på 0,001. Vi er interesserede i, hvor mange nuller der er i den. Vi ser, at der er tre nuller i den. Nu i brøken 3,25 flytter vi decimaltegnet til venstre med tre cifre, vi får 0,00325
3,25 × 0,001 = 0,00325
Forveksle ikke multiplikation af decimalbrøker med 0,1, 0,001 og 0,001 med gange med 10, 100, 1000. Almindelig fejl de fleste mennesker.
Når der ganges med 10, 100, 1000, flyttes decimaltegnet til højre med det samme antal cifre, som der er nuller i multiplikatoren.
Og når der ganges med 0,1, 0,01 og 0,001, flyttes decimaltegnet til venstre med det samme antal cifre, som der er nuller i multiplikatoren.
Hvis det først er svært at huske, kan du bruge den første metode, hvor multiplikation udføres som med almindelige tal. I svaret skal du adskille hele delen fra brøkdelen, idet du tæller det samme antal cifre til højre, som der er cifre efter decimaltegnet i begge brøker.
At dividere et mindre tal med et større tal. Avanceret niveau.
I en af de foregående lektioner sagde vi, at når man dividerer et mindre tal med et større tal, får man en brøk, hvis tæller er udbyttet, og nævneren er divisor.
For at dele et æble mellem to, skal du for eksempel skrive 1 (et æble) i tælleren og skrive 2 (to venner) i nævneren. Som et resultat får vi brøken. Det betyder, at hver ven får et æble. Med andre ord et halvt æble. Brøken er svaret på problemet "hvordan man deler et æble i to"
Det viser sig, at man kan løse dette problem yderligere, hvis man dividerer 1 med 2. Brøklinjen i enhver brøk betyder jo division, og derfor er denne division tilladt i brøken. Men hvordan? Vi er vant til, at udbyttet altid er større end divisor. Men her er udbyttet tværtimod mindre end divisoren.
Alt bliver klart, hvis vi husker, at en brøk betyder knusning, division, division. Det betyder, at enheden kan opdeles i så mange dele, som man ønsker, og ikke kun i to dele.
Når man dividerer et mindre tal med et større tal, får man en decimalbrøk, hvor heltalsdelen er 0 (nul). Brøkdelen kan være hvad som helst.
Så lad os dividere 1 med 2. Lad os løse dette eksempel med et hjørne:
Man kan ikke helt deles i to. Hvis du stiller et spørgsmål "hvor mange toer er der i en" , så bliver svaret 0. Derfor skriver vi i kvotienten 0 og sætter et komma:
Nu gange vi som sædvanlig kvotienten med divisoren for at få resten:
Øjeblikket er kommet, hvor enheden kan opdeles i to dele. For at gøre dette skal du tilføje endnu et nul til højre for det resulterende:
Vi fik 10. Divider 10 med 2, vi får 5. Vi skriver de fem i brøkdelen af vores svar:
Nu tager vi den sidste rest ud for at fuldføre beregningen. Multiplicer 5 med 2 for at få 10
Vi fik et svar på 0,5. Så brøken er 0,5
Et halvt æble kan også skrives med decimalbrøken 0,5. Hvis vi tilføjer disse to halvdele (0,5 og 0,5), får vi igen det originale hele æble: 
Dette punkt kan også forstås, hvis du forestiller dig, hvordan 1 cm er opdelt i to dele. Hvis du deler 1 centimeter i 2 dele, får du 0,5 cm
Eksempel 2. Find værdien af udtrykket 4:5
Hvor mange femmere er der i en firer? Slet ikke. Vi skriver 0 i kvotienten og sætter et komma:
Vi gange 0 med 5, vi får 0. Vi skriver et nul under de fire. Træk straks dette nul fra udbyttet:
Lad os nu begynde at opdele (dele) de fire i 5 dele. For at gøre dette skal du tilføje et nul til højre for 4 og dividere 40 med 5, vi får 8. Vi skriver otte i kvotienten.
Vi fuldender eksemplet ved at gange 8 med 5 for at få 40:
Vi fik et svar på 0,8. Det betyder, at værdien af udtrykket 4:5 er 0,8
Eksempel 3. Find værdien af udtryk 5:125
Hvor mange tal er 125 i fem? Slet ikke. Vi skriver 0 i kvotienten og sætter et komma:
Vi gange 0 med 5, vi får 0. Vi skriver 0 under de fem. Træk straks 0 fra fem
Lad os nu begynde at opdele (dele) de fem i 125 dele. For at gøre dette skriver vi et nul til højre for disse fem:
Divider 50 med 125. Hvor mange tal er 125 i tallet 50? Slet ikke. Så i kvotienten skriver vi 0 igen
Gang 0 med 125, vi får 0. Skriv dette nul under 50. Træk straks 0 fra 50
Opdel nu tallet 50 i 125 dele. For at gøre dette skriver vi endnu et nul til højre for 50:
Divider 500 med 125. Hvor mange tal er 125 i tallet 500? Der er fire tal 125 i tallet 500. Skriv de fire i kvotienten:
Vi fuldender eksemplet ved at gange 4 med 125 for at få 500
Vi fik et svar på 0,04. Dette betyder, at værdien af udtryk 5: 125 er 0,04
Opdeling af tal uden en rest
Så lad os sætte et komma efter enheden i kvotienten, hvilket indikerer, at divisionen af heltalsdele er forbi, og vi går videre til brøkdelen:
Lad os tilføje nul til de resterende 4
Divider nu 40 med 5, vi får 8. Vi skriver otte i kvotienten:
40-40=0. Vi har 0 tilbage. Det betyder, at opdelingen er fuldstændig gennemført. At dividere 9 med 5 giver decimalbrøken 1,8:
9: 5 = 1,8
Eksempel 2. Divider 84 med 5 uden en rest
Først divider du 84 med 5 som sædvanligt med en rest:
Vi fik 16 privat og 4 mere tilbage. Lad os nu dividere denne rest med 5. Sæt et komma i kvotienten, og læg 0 til de resterende 4
Nu dividerer vi 40 med 5, vi får 8. Vi skriver de otte i kvotienten efter decimaltegnet:
og fuldfør eksemplet ved at kontrollere, om der stadig er en rest:
At dividere en decimal med et regulært tal
En decimalbrøk består som bekendt af et heltal og en brøkdel. Når du dividerer en decimalbrøk med et almindeligt tal, skal du først:
- dividere hele delen af decimalbrøken med dette tal;
- efter at hele delen er delt, skal du straks sætte et komma i kvotienten og fortsætte udregningen som ved normal division.
For eksempel divider 4,8 med 2
Lad os skrive dette eksempel i et hjørne:
Lad os nu dividere hele delen med 2. Fire divideret med to er lig med to. Vi skriver to i kvotienten og sætter straks et komma:
Nu ganger vi kvotienten med divisoren og ser om der er en rest fra divisionen:
4−4=0. Resten er nul. Vi skriver ikke nul ned endnu, da løsningen ikke er færdig. Dernæst fortsætter vi med at regne som ved almindelig division. Tag 8 ned og divider det med 2
8: 2 = 4. Vi skriver de fire i kvotienten og ganges straks med divisoren:
Vi fik svar på 2.4. Værdien af udtrykket 4,8:2 er 2,4
Eksempel 2. Find værdien af udtrykket 8,43: 3
Divider 8 med 3, vi får 2. Sæt straks et komma efter 2'eren:
Nu multiplicerer vi kvotienten med divisoren 2 × 3 = 6. Vi skriver de seks under de otte og finder resten:
Divider 24 med 3, vi får 8. Vi skriver otte i kvotienten. Gang med det samme med divisor for at finde resten af divisionen:
24−24=0. Resten er nul. Vi skriver ikke nul ned endnu. Vi tager de sidste tre fra udbyttet og dividerer med 3, vi får 1. Gang straks 1 med 3 for at fuldføre dette eksempel:
Svaret vi modtog var 2,81. Dette betyder, at værdien af udtrykket 8,43: 3 er 2,81
At dividere en decimal med en decimal
For at dividere en decimalbrøk med en decimalbrøk skal du flytte decimaltegnet i udbyttet og divisor til højre med det samme antal cifre, som der er efter decimaltegnet i divisoren, og derefter dividere med det sædvanlige tal.
For eksempel divider 5,95 med 1,7
Lad os skrive dette udtryk med et hjørne
Nu i udbyttet og i divisor flytter vi decimaltegnet til højre med det samme antal cifre, som der er efter decimaltegnet i divisoren. Divisoren har et ciffer efter decimalkommaet. Det betyder, at vi i udbytte og divisor skal flytte decimaltegnet til højre med et ciffer. Vi overfører:
Efter at have flyttet decimaltegnet til det ene ciffer til højre, blev decimalbrøken 5,95 til brøken 59,5. Og decimalbrøken 1,7, efter at have flyttet decimalpunktet til højre med et ciffer, blev til det sædvanlige tal 17. Og vi ved allerede, hvordan man dividerer en decimalbrøk med et regulært tal. Yderligere beregning er ikke vanskelig:
Kommaet flyttes til højre for at gøre opdelingen lettere. Dette er tilladt, fordi når man multiplicerer eller dividerer udbyttet og divisoren med det samme tal, ændres kvotienten ikke. Hvad betyder det?
Dette er en af interessante funktioner division. Det kaldes kvotientegenskaben. Overvej udtryk 9: 3 = 3. Hvis dividenden og divisoren i dette udtryk multipliceres eller divideres med det samme tal, så ændres kvotienten 3 ikke.
Lad os gange udbyttet og divisor med 2 og se, hvad der kommer ud af det:
(9 × 2): (3 × 2) = 18: 6 = 3
Som det fremgår af eksemplet, har kvotienten ikke ændret sig.
Det samme sker, når vi flytter kommaet i udbyttet og i divisoren. I det foregående eksempel, hvor vi dividerede 5,91 med 1,7, flyttede vi kommaet i udbyttet og divisor et ciffer til højre. Efter at have flyttet decimaltegnet blev brøken 5,91 omdannet til brøken 59,1, og brøken 1,7 blev transformeret til det sædvanlige tal 17.
Faktisk var der inde i denne proces en multiplikation med 10. Sådan så det ud:
5,91 × 10 = 59,1
Derfor afgør antallet af cifre efter decimaltegnet i divisoren, hvad udbytte og divisor skal ganges med. Med andre ord vil antallet af cifre efter decimalkommaet i divisoren bestemme, hvor mange cifre i divisoren, decimaltegnet flyttes til højre.
At dividere en decimal med 10, 100, 1000
At dividere en decimal med 10, 100 eller 1000 sker på samme måde som . For eksempel divider 2,1 med 10. Løs dette eksempel ved hjælp af et hjørne:
Men der er en anden vej. Det er lettere. Essensen af denne metode er, at kommaet i dividenden flyttes til venstre med lige så mange cifre, som der er nuller i divisoren.
Lad os løse det foregående eksempel på denne måde. 2.1: 10. Vi ser på divisoren. Vi er interesserede i, hvor mange nuller der er i den. Vi ser, at der er et nul. Det betyder, at i udbyttet på 2,1 skal du flytte decimaltegnet til venstre med et ciffer. Vi flytter kommaet et ciffer til venstre og ser, at der ikke er flere cifre tilbage. I dette tilfælde skal du tilføje endnu et nul før tallet. Som et resultat får vi 0,21
Lad os prøve at dividere 2,1 med 100. Der er to nuller i 100. Det betyder, at vi i dividende 2.1 skal flytte kommaet til venstre med to cifre:
2,1: 100 = 0,021
Lad os prøve at dividere 2,1 med 1000. Der er tre nuller i 1000. Det betyder, at du i udbytte 2.1 skal flytte kommaet til venstre med tre cifre:
2,1: 1000 = 0,0021
At dividere en decimal med 0,1, 0,01 og 0,001
At dividere en decimalbrøk med 0,1, 0,01 og 0,001 sker på samme måde som . I udbyttet og i divisor skal du flytte decimaltegnet til højre med lige så mange cifre, som der er efter decimaltegnet i divisoren.
Lad os for eksempel dividere 6,3 med 0,1. Lad os først og fremmest flytte kommaerne i divisor og divisor til højre med det samme antal cifre, som der er efter decimaltegnet i divisoren. Divisoren har et ciffer efter decimalkommaet. Det betyder, at vi flytter kommaerne i dividende og divisor til højre med et ciffer.
Efter at have flyttet decimaltegnet til det ene ciffer til højre, bliver decimalbrøken 6,3 det sædvanlige tal 63, og decimalbrøken 0,1 efter flytning af decimaltegnet til højre et ciffer bliver til et. Og at dividere 63 med 1 er meget simpelt:
Dette betyder, at værdien af udtrykket 6,3: 0,1 er 63
Men der er en anden vej. Det er lettere. Essensen af denne metode er, at kommaet i dividenden flyttes til højre med lige så mange cifre, som der er nuller i divisoren.
Lad os løse det foregående eksempel på denne måde. 6,3: 0,1. Lad os se på divisoren. Vi er interesserede i, hvor mange nuller der er i den. Vi ser, at der er et nul. Det betyder, at du i udbyttet på 6,3 skal flytte decimaltegnet til højre med et ciffer. Flyt kommaet til det ene ciffer til højre og få 63
Lad os prøve at dividere 6,3 med 0,01. Divisor på 0,01 har to nuller. Det betyder, at vi i udbyttet 6.3 skal flytte decimaltegnet til højre med to cifre. Men i udbyttet er der kun ét ciffer efter decimalkommaet. I dette tilfælde skal du tilføje endnu et nul til sidst. Som et resultat får vi 630
Lad os prøve at dividere 6,3 med 0,001. Divisor på 0,001 har tre nuller. Det betyder, at i udbyttet 6.3 skal vi flytte decimaltegnet til højre med tre cifre:
6,3: 0,001 = 6300
Opgaver til selvstændig løsning
Kunne du lide lektionen?
Deltag i vores ny gruppe VKontakte og begynd at modtage meddelelser om nye lektioner
Ligesom almindelige tal.
2. Vi tæller antallet af decimaler for 1. decimalbrøk og for 2. decimal. Vi lægger deres tal sammen.
3. I det endelige resultat, tæl fra højre mod venstre det samme antal cifre som i afsnittet ovenfor, og sæt et komma.
Regler for multiplikation af decimalbrøker.
1. Multiplicer uden at være opmærksom på kommaet.
2. I produktet adskiller vi det samme antal cifre efter decimalkommaet, som der er efter decimaltegnet i begge faktorer tilsammen.
Når du multiplicerer en decimalbrøk med et naturligt tal, skal du:
1. Gang tal uden at være opmærksom på kommaet;
2. Som et resultat placerer vi kommaet, så der er lige så mange cifre til højre for det, som der er i decimalbrøken.
Multiplicer decimalbrøker med kolonne.
Lad os se på et eksempel:
Vi skriver decimalbrøkerne i en kolonne og gange dem som naturlige tal uden at være opmærksomme på kommaerne. De der. Vi betragter 3,11 som 311 og 0,01 som 1.
Resultatet er 311. Dernæst tæller vi antallet af tegn (cifre) efter decimaltegnet for begge brøker. Den første decimal har 2 cifre og den anden har 2. Samlet antal cifre efter decimaltegn:
2 + 2 = 4
Vi tæller fra højre mod venstre fire cifre af resultatet. Det endelige resultat indeholder færre tal end nødvendigt at adskille med et komma. I dette tilfælde skal du tilføje det manglende antal nuller til venstre.
I vores tilfælde mangler det første ciffer, så vi tilføjer 1 nul til venstre.
Bemærk:
Når en decimalbrøk ganges med 10, 100, 1000 og så videre, flyttes decimaltegnet i decimalbrøken til højre med lige så mange pladser, som der er nuller efter den ene.
For eksempel:
70,1 . 10 = 701
0,023 . 100 = 2,3
5,6 . 1 000 = 5 600
Bemærk:
At gange en decimal med 0,1; 0,01; 0,001; og så videre, skal du flytte decimaltegnet i denne brøk til venstre med lige så mange steder, som der er nuller før den ene.
Vi tæller nul heltal!
For eksempel:
12 . 0,1 = 1,2
0,05 . 0,1 = 0,005
1,256 . 0,01 = 0,012 56
