Kvadratisk funktion y f x. Tegning af en graf for en kvadratisk funktion. Visuel guide (2019)

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse e-mail osv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, retssager og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra statslige organer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

Hvordan bygger man en parabel? Der er flere måder at tegne en kvadratisk funktion på. Hver af dem har sine fordele og ulemper. Lad os overveje to måder.

Lad os starte med at plotte en kvadratisk funktion af formen y=x²+bx+c og y= -x²+bx+c.

Eksempel.

Tegn grafen til funktionen y=x²+2x-3.

Løsning:

y=x²+2x-3 er en kvadratisk funktion. Grafen er en parabel med grene opad. Parabolens toppunkts koordinater

Fra toppunktet (-1;-4) bygger vi en graf af parablen y=x² (som fra koordinaternes oprindelse. I stedet for (0;0) - toppunkt (-1;-4). Fra (-1; -4) vi går til højre med 1 enhed og op med 1 enhed, derefter venstre med 1 og derefter: 2 - højre, 4 - op, 2 - venstre, 3 - op, 3 -; venstre, 9 - op Hvis disse 7 point ikke er nok, så 4 til højre, 16 til toppen osv.).

Grafen for den kvadratiske funktion y= -x²+bx+c er en parabel, hvis forgreninger er rettet nedad. For at konstruere en graf leder vi efter toppunktets koordinater, og ud fra den bygger vi en parabel y= -x².

Eksempel.

Tegn grafen til funktionen y= -x²+2x+8.

Løsning:

y= -x²+2x+8 er en andengradsfunktion. Grafen er en parabel med forgreninger nedad. Parabolens toppunkts koordinater

Fra toppen bygger vi en parabel y= -x² (1 - til højre, 1- ned; 1 - venstre, 1 - ned; 2 - højre, 4 - ned; 2 - venstre, 4 - ned osv.):

Denne metode giver dig mulighed for hurtigt at bygge en parabel og er ikke svær, hvis du ved, hvordan man tegner funktionerne y=x² og y= -x². Ulempe: hvis toppunktet koordinater er brøktal, er det ikke særlig bekvemt at bygge en graf. Hvis du har brug for at kende de nøjagtige værdier af grafens skæringspunkter med Ox-aksen, skal du desuden løse ligningen x²+bx+c=0 (eller -x²+bx+c=0), endda hvis disse punkter direkte kan bestemmes ud fra tegningen.

En anden måde at konstruere en parabel på er ved punkter, det vil sige, at du kan finde flere punkter på grafen og tegne en parabel gennem dem (under hensyntagen til, at linjen x=xₒ er dens symmetriakse). Normalt tager de parablens toppunkt, grafens skæringspunkter med koordinatakserne og 1-2 yderligere punkter.

Tegn en graf over funktionen y=x²+5x+4.

Løsning:

y=x²+5x+4 er en kvadratisk funktion. Grafen er en parabel med grene opad. Parabolens toppunkts koordinater

det vil sige, at toppen af ​​parablen er punktet (-2,5; -2,25).

Vi leder efter. I skæringspunktet med Ox-aksen y=0: x²+5x+4=0. Rødder andengradsligning x1=-1, x2=-4, det vil sige, vi fik to punkter på grafen (-1; 0) og (-4; 0).

Ved skæringspunktet for grafen med Oy-aksen x=0: y=0²+5∙0+4=4. Vi fik pointen (0; 4).

For at tydeliggøre grafen kan du finde et ekstra punkt. Lad os tage x=1, så y=1²+5∙1+4=10, det vil sige et andet punkt på grafen er (1; 10). Vi markerer disse punkter på koordinatplan. Under hensyntagen til parablens symmetri i forhold til linjen, der går gennem dens toppunkt, markerer vi yderligere to punkter: (-5; 6) og (-6; 10) og tegner en parabel gennem dem:

Tegn grafen til funktionen y= -x²-3x.

Løsning:

y= -x²-3x er en andengradsfunktion. Grafen er en parabel med forgreninger nedad. Parabolens toppunkts koordinater

Toppunktet (-1,5; 2,25) er parablens første punkt.

I grafens skæringspunkter med abscisseaksen y=0, det vil sige, vi løser ligningen -x²-3x=0. Dens rødder er x=0 og x=-3, det vil sige (0;0) og (-3;0) er yderligere to punkter på grafen. Punktet (o; 0) er også skæringspunktet for parablen med ordinataksen.

Ved x=1 er y=-1²-3∙1=-4, det vil sige (1; -4) et ekstra punkt til plotning.

At konstruere en parabel ud fra punkter er en mere arbejdskrævende metode sammenlignet med den første. Hvis parablen ikke skærer Ox-aksen, kræves der flere yderligere punkter.

Før vi fortsætter med at konstruere grafer af kvadratiske funktioner af formen y=ax²+bx+c, lad os overveje konstruktionen af ​​grafer for funktioner ved hjælp af geometriske transformationer. Det er også mest bekvemt at konstruere grafer af funktioner af formen y=x²+c ved at bruge en af ​​disse transformationer - parallel translation.

Kategori: |

Lektion 15.
Indvirkning af oddsa, b OgMed til stedet
graf af kvadratisk funktion

Mål: fortsætte med at udvikle evnen til at tegne en kvadratisk funktion og angive dens egenskaber; identificere indflydelsen af ​​koefficienter EN, b Og Med på placeringen af ​​grafen for en kvadratisk funktion.

Lektionens fremskridt

I. Organisatorisk øjeblik.

II. Mundtligt arbejde.

Bestem hvilken funktionsgraf der er vist i figuren:

på = X 2 – 2X – 1;

på = –2X 2 – 8X;

på = X 2 – 4X – 1;

på = 2X 2 + 8X + 7;

på = 2X 2 – 1.

b)

på = X 2 – 2X;

på = –X 2 + 4X + 1;

på = –X 2 – 4X + 1;

på = –X 2 + 4X – 1;

på = –X 2 + 2X – 1.

III. Dannelse af færdigheder og evner.

Øvelser:

1. nr. 127 (a).

Løsning

Lige på = 6X + b rører ved en parabel på = X 2 + 8, det vil sige, at den kun har ét fælles punkt med sig i tilfældet med ligning 6 X + b = X 2 + 8 vil have en unik løsning.

Denne ligning er kvadratisk, lad os finde dens diskriminant:

X 2 – 6X + 8 + b = 0;

D 1 = 9 – (8 – b) = 1 + b;

D 1 = 0 hvis 1 + b= 0, altså b= –1.

Svar: b= –1.

3. Identificer indflydelsen af ​​koefficienter EN, b Og Med på placeringen af ​​funktionsgrafen på = Åh 2 + bx + Med.

Eleverne har tilstrækkelig viden til at udføre denne opgave selvstændigt. De bør inviteres til at skrive alle deres resultater ned i en notesbog, der fremhæver "hoved"-rollen for hver af koefficienterne.

1) Koefficient EN påvirker retningen af ​​parabelgrenene: hvornår EN> 0 – grene er rettet opad, med EN < 0 – вниз.

2) Koefficient b påvirker placeringen af ​​parablens toppunkt. På b= 0 toppunkt ligger på aksen åh.

3) Koefficient Med viser skæringspunktet mellem parablen og aksen Op-amp.

Herefter kan der gives et eksempel for at vise, hvad der kan siges om koefficienterne EN, b Og Med i henhold til grafen for funktionen.

Mening Med kan kaldes præcist: da grafen skærer aksen Op-amp ved punktet (0; 1), så Med = 1.

Koefficient EN kan sammenlignes med nul: da parablens grene er rettet nedad, altså EN < 0.

Koefficienttegn b kan findes ud fra formlen, der bestemmer abscissen af ​​en parabels toppunkt: T= , siden EN < 0 и T= 1, så b> 0.

4. Bestem hvilken funktionsgraf der er vist i figuren, ud fra værdien af ​​koefficienterne EN, b Og Med.

på = –X 2 + 2X;

på = X 2 + 2X + 2;

på = 2X 2 – 3X – 2;

på = X 2 – 2.

Løsning

EN, b Og Med:

EN> 0, da parablens grene er rettet opad;

b Op-amp;

Med= –2, da parablen skærer ordinaten i punktet (0; –2).

på = 2X 2 – 3X – 2.

på = X 2 – 2X;

på = –2X 2 + X + 3;

på = –3X 2 – X – 1;

på = –2,7X 2 – 2X.

Løsning

Ud fra den viste graf drager vi følgende konklusioner om koefficienterne EN, b Og Med:

EN < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

b≠ 0, da parablens toppunkt ikke ligger på aksen Op-amp;

Med= 0, da parablen skærer aksen Op-amp ved punkt (0; 0).

Alle disse betingelser er kun opfyldt af funktionen på = –2,7X 2 – 2X.

5. Ifølge grafen for funktionen på = Åh 2 + bx + Med EN, b Og Med:

EN) b)

Løsning

a) Parablens grene er derfor rettet opad EN > 0.

Parablen skærer ordinataksen i det nederste halvplan, så Med < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b Lad os bruge formlen til at finde abscissen af ​​en parabels toppunkt: T= . Af grafen kan det ses T < 0, и мы определим, что EN> 0. Derfor b> 0.

b) På samme måde bestemmer vi koefficienternes fortegn EN, b Og Med:

EN < 0, Med > 0, b< 0.

Studerende, der er fagligt stærke, kan få en ekstra mulighed for at gennemføre nr. 247.

Løsning

på = X 2 + px + q.

a) Ifølge Vietas sætning er det kendt, at hvis X 1 og X 2 - ligningens rødder X 2 +
+ px + q= 0 (det vil sige denne funktions nuller), så X 1 · X 2 = q Og X 1 + X 2 = –r. Det forstår vi q= 3 4 = 12 og r = –(3 + 4) = –7.

b) Skæringspunktet for parablen med aksen Op-amp vil give parameterværdien q, altså q= 6. Hvis grafen for en funktion skærer aksen Åh ved punkt (2; 0), så er tallet 2 roden af ​​ligningen X 2 + px + q= 0. Erstatning af værdien X= 2 i denne ligning, får vi det r = –5.

c) Deres laveste værdi denne kvadratiske funktion når parablens toppunkt, derfor hvorfra r= –12. Funktionens værdi efter betingelse på = X 2 – 12X + q på punktet x= 6 er lig med 24. Udskiftning x= 6 og på= 24 i denne funktion, finder vi det q= 60.

IV. Test arbejde.

Mulighed 1

1. Tegn graf funktionen på = 2X 2 + 4X– 6 og find ved hjælp af grafen:

a) nuller for funktionen;

b) intervaller, hvori på> 0 og y < 0;

d) den mindste værdi af funktionen;

e) rækkevidden af ​​funktionen.

2. Uden at tegne funktionen graf på = –X 2 + 4X, find:

a) nuller for funktionen;

c) rækkevidden af ​​funktionen.

3. Ifølge grafen for funktionen på = Åh 2 + bx + Med bestemme koefficienternes tegn EN, b Og Med:

Mulighed 2

1. Tegn graf funktionen på = –X 2 + 2X+ 3 og find ved hjælp af grafen:

a) nuller for funktionen;

b) intervaller, hvori på> 0 og y < 0;

c) intervaller med stigende og faldende funktion;

d) den højeste værdi af funktionen;

e) rækkevidden af ​​funktionen.

2. Uden at tegne funktionen graf på = 2X 2 + 8X, find:

a) nuller for funktionen;

b) intervaller med stigende og faldende funktion;

c) rækkevidden af ​​funktionen.

3. Ifølge grafen for funktionen på = Åh 2 + bx + Med bestemme koefficienternes tegn EN, b Og Med:

V. Lektionsoversigt.

Ofte stillede spørgsmål:

– Beskriv algoritmen til at konstruere en kvadratisk funktion.

– Angiv egenskaberne for funktionen på = Åh 2 + bx + Med på EN> 0 og kl EN < 0.

– Hvordan påvirker odds EN, b Og Med på placeringen af ​​grafen for en kvadratisk funktion?

Lektier: nr. 127 (b), nr. 128, nr. 248.

YDERLIGERE: nr. 130.

I matematiktimerne på skolen har du allerede stiftet bekendtskab med de enkleste egenskaber og grafer for en funktion y = x 2. Lad os udvide vores viden om kvadratisk funktion.

Opgave 1.

Tegn en graf af funktionen y = x 2. Målestok: 1 = 2 cm Marker et punkt på Oy-aksen F(0; 1/4). Brug et kompas eller papirstrimmel til at måle afstanden fra punktet F til et tidspunkt M parabler. Sæt derefter strimlen fast ved punkt M og drej den rundt om det punkt, indtil den er lodret. Enden af ​​strimlen vil falde lidt under x-aksen (Fig. 1). Markér på strimlen, hvor langt den strækker sig ud over x-aksen. Tag nu endnu et punkt på parablen og gentag målingen igen. Hvor langt er kanten af ​​strimlen faldet under x-aksen?

Resultat: uanset hvilket punkt på parablen y = x 2 du tager, vil afstanden fra dette punkt til punktet F(0; 1/4) være mere afstand fra samme punkt til x-aksen altid med det samme tal - med 1/4.

Vi kan sige det anderledes: afstanden fra et hvilket som helst punkt i parablen til punktet (0; 1/4) er lig med afstanden fra det samme punkt i parablen til den rette linje y = -1/4. Dette vidunderlige punkt F(0; 1/4) kaldes fokus parabler y = x 2, og lige linje y = -1/4 – forstanderinde denne parabel. Hver parabel har et retningslinje og et fokus.

Interessante egenskaber ved en parabel:

1. Ethvert punkt på parablen er lige langt fra et punkt, kaldet parablens fokus, og en ret linje, kaldet dens retningslinje.

2. Hvis man drejer en parabel rundt om symmetriaksen (for eksempel parablen y = x 2 rundt om Oy-aksen), får man en meget interessant overflade kaldet en omdrejningsparaboloid.

Væskens overflade i en roterende beholder har form som en omdrejningsparaboloid. Du kan se denne overflade, hvis du rører kraftigt med en ske i et ufuldstændigt glas te, og derefter fjerner skeen.

3. Hvis du kaster en sten ind i tomrummet i en bestemt vinkel i forhold til horisonten, vil den flyve i en parabel (Fig. 2).

4. Hvis du skærer overfladen af ​​en kegle med et plan parallelt med en af ​​dens generatricer, så vil tværsnittet resultere i en parabel (Fig. 3).

5. Forlystelsesparker har nogle gange en sjov tur kaldet Paraboloid of Wonders. Det virker for alle, der står inde i den roterende paraboloid, som om han står på gulvet, mens resten af ​​folket på en eller anden måde mirakuløst holder fast i væggene.

6. I reflekterende teleskoper bruges også parabolske spejle: lyset fra en fjern stjerne, der kommer i en parallel stråle, der falder på teleskopspejlet, samles i fokus.

7. Spotlights har normalt et spejl i form af en paraboloid. Hvis du placerer en lyskilde i fokus for en paraboloid, så reflekteres strålerne fra parabolsk spejl, danner en parallel stråle.

Tegning af en kvadratisk funktion

I matematiktimerne undersøgte du, hvordan man opnår grafer for funktioner i formen fra grafen for funktionen y = x 2:

1) y = akse 2– strækning af grafen y = x 2 langs Oy-aksen i |a| gange (med |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, ris. 4).

2) y = x 2 + n– forskydning af grafen med n enheder langs Oy-aksen, og hvis n > 0, så er forskydningen opad, og hvis n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– forskydning af grafen med m enheder langs Ox-aksen: hvis m< 0, то вправо, а если m >0, så venstre, (Fig. 5).

4) y = -x 2– symmetrisk visning i forhold til Ox-aksen på grafen y = x 2 .

Lad os se nærmere på at plotte funktionen y = a(x – m) 2 + n.

En andengradsfunktion af formen y = ax 2 + bx + c kan altid reduceres til formen

y = a(x – m)2 + n, hvor m = -b/(2a), n = -(b2 – 4ac)/(4a).

Lad os bevise det.

Virkelig,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Lad os introducere nye notationer.

Lade m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

så får vi y = a(x – m) 2 + n eller y – n = a(x – m) 2.

Lad os lave nogle flere udskiftninger: lad y – n = Y, x – m = X (*).

Så får vi funktionen Y = aX 2, hvis graf er en parabel.

Parablens toppunkt er ved oprindelsen. X = 0; Y = 0.

Ved at erstatte toppunktets koordinater med (*) får vi koordinaterne for toppunktet på grafen y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

For at plotte en kvadratisk funktion repræsenteret som

y = a(x – m) 2 + n

gennem transformationer kan du fortsætte som følger:

en) plot funktionen y = x 2;

b) ved parallel translation langs Ox-aksen med m enheder og langs Oy-aksen med n enheder - overfør parablens toppunkt fra origo til punktet med koordinater (m; n) (Fig. 6).

Optagelse af transformationer:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Eksempel.

Konstruer ved hjælp af transformationer en graf af funktionen y = 2(x – 3) 2 i det kartesiske koordinatsystem – 2.

Løsning.

Kæde af transformationer:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Plottet er vist i ris. 7.

Du kan øve dig i at tegne kvadratiske funktioner på egen hånd. Byg for eksempel en graf over funktionen y = 2(x + 3) 2 + 2 i ét koordinatsystem ved hjælp af transformationer Hvis du har spørgsmål eller ønsker at få råd fra en lærer, så har du mulighed for at udføre gratis 25-minutters lektion med en online tutor efter registrering. For videre arbejde Sammen med din lærer kan du vælge den takstplan, der passer til dig.

Har du stadig spørgsmål? Ved du ikke, hvordan man tegner en kvadratisk funktion?
Tilmeld dig for at få hjælp fra en vejleder.
Den første lektion er gratis!

hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.