Direkte og omvendt proportionalitet. Hvad er direkte proportionalitet

I dag vil vi se på, hvilke mængder der kaldes omvendt proportional, hvordan en omvendt proportionalitetsgraf ser ud, og hvordan alt dette kan være nyttigt for dig ikke kun i matematiktimerne, men også uden for skolen.

Så forskellige proportioner

Proportionalitet Nævn to størrelser, der er gensidigt afhængige af hinanden.

Afhængigheden kan være direkte og omvendt. Følgelig er forholdet mellem mængder beskrevet med en ret linje og omvendt proportionalitet.

Direkte proportionalitet– dette er et sådant forhold mellem to størrelser, hvor en stigning eller et fald i den ene af dem fører til en stigning eller et fald i den anden. De der. deres holdning ændrer sig ikke.

For eksempel, jo mere kræfter du lægger i at læse til eksamen, jo højere karakterer. Eller jo flere ting du tager med dig på en vandretur, jo tungere bliver din rygsæk at bære. De der. Mængden af ​​indsats, der bruges på at forberede sig til eksamen, er direkte proportional med de opnåede karakterer. Og antallet af ting pakket i en rygsæk er direkte proportional med dens vægt.

Omvendt proportionalitet– dette er en funktionel afhængighed, hvor et fald eller stigning flere gange i en uafhængig værdi (det kaldes et argument) forårsager en proportional (dvs. det samme antal gange) stigning eller fald i en afhængig værdi (det kaldes en fungere).

Lad os illustrere simpelt eksempel. Du vil købe æbler på markedet. Æblerne på disken og mængden af ​​penge i din tegnebog er i omvendt proportion. De der. Jo flere æbler du køber, jo færre penge har du tilbage.

Funktion og dens graf

Den omvendte proportionalitetsfunktion kan beskrives som y = k/x. Hvori x≠ 0 og k≠ 0.

Denne funktion har følgende egenskaber:

1. Dens definitionsdomæne er mængden af ​​alle reelle tal undtagen x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Rækkevidde er alt reelle tal, undtagen y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Har ikke maksimum eller minimum værdier.
4. Den er ulige, og dens graf er symmetrisk om oprindelsen.
5. Ikke-periodisk.
6. Dens graf skærer ikke koordinatakserne.
7. Har ingen nuller.
8. Hvis k> 0 (dvs. argumentet stiger), falder funktionen proportionalt på hvert af sine intervaller. Hvis k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Efterhånden som argumentet øges ( k> 0) negative værdier funktioner er i intervallet (-∞; 0), og positive er (0; +∞). Når argumentet falder ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Grafen for en omvendt proportionalitetsfunktion kaldes en hyperbel. Vist som følger:

Omvendt proportionalitetsproblemer

For at gøre det klarere, lad os se på flere opgaver. De er ikke for komplicerede, og at løse dem vil hjælpe dig med at visualisere, hvad omvendt proportionalitet er, og hvordan denne viden kan være nyttig i din hverdag.

Opgave nr. 1. En bil kører med en hastighed på 60 km/t. Det tog ham 6 timer at nå til sin destination. Hvor lang tid vil det tage ham at tilbagelægge den samme afstand, hvis han bevæger sig med dobbelt hastighed?

Vi kan starte med at nedskrive en formel, der beskriver sammenhængen mellem tid, distance og hastighed: t = S/V. Enig, det minder os meget om den omvendte proportionalitetsfunktion. Og det indikerer, at den tid, en bil bruger på vejen, og den hastighed, den bevæger sig med, er i omvendt proportion.

For at verificere dette, lad os finde V 2, som ifølge betingelsen er 2 gange højere: V 2 = 60 * 2 = 120 km/t. Derefter beregner vi afstanden ved hjælp af formlen S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Nu er det ikke svært at finde ud af den tid t 2, der kræves af os i henhold til betingelserne for problemet: t 2 = 360/120 = 3 timer.

Som du kan se, er rejsetid og hastighed faktisk omvendt proportional: Ved en hastighed, der er 2 gange højere end den oprindelige hastighed, vil bilen bruge 2 gange mindre tid på vejen.

Løsningen på dette problem kan også skrives som en proportion. Så lad os først oprette dette diagram:

↓ 60 km/t – 6 timer

↓120 km/t – x t

Pile angiver tilbage proportional afhængighed. De foreslår også, at når man opstiller en proportion, skal højre side af posten vendes: 60/120 = x/6. Hvor får vi x = 60 * 6/120 = 3 timer.

Opgave nr. 2. Værkstedet beskæftiger 6 arbejdere, som kan udføre en given mængde arbejde på 4 timer. Hvis antallet af arbejdere halveres, hvor lang tid vil det så tage de resterende arbejdere at udføre den samme mængde arbejde?

Lad os skrive betingelserne for problemet i skemaet visuelt diagram:

↓ 6 arbejdere – 4 timer

↓ 3 arbejdere – x t

Lad os skrive dette som en proportion: 6/3 = x/4. Og vi får x = 6 * 4/3 = 8 timer Hvis der er 2 gange færre arbejdere, vil de resterende bruge 2 gange mere tid på alt arbejdet.

Opgave nr. 3. Der er to rør, der fører ind i poolen. Gennem det ene rør strømmer vandet med en hastighed på 2 l/s og fylder bassinet på 45 minutter. Gennem et andet rør fyldes poolen på 75 minutter. Med hvilken hastighed kommer vandet ind i poolen gennem dette rør?

Til at begynde med, lad os reducere alle de mængder, der er givet os i henhold til problemets betingelser, til de samme måleenheder. For at gøre dette udtrykker vi hastigheden for at fylde poolen i liter pr. minut: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Da det følger af betingelsen, at bassinet fyldes langsommere gennem det andet rør, betyder det, at vandstrømningshastigheden er lavere. Proportionaliteten er omvendt. Lad os udtrykke den ukendte hastighed gennem x og tegne følgende diagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Og så laver vi forholdet: 120/x = 75/45, hvorfra x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

I opgaven er poolens fyldningshastighed udtrykt i liter pr. sekund; lad os reducere svaret, vi modtog, til den samme form: 72/60 = 1,2 l/s.

Opgave nr. 4. Et lille privat trykkeri trykker visitkort. En trykkerimedarbejder arbejder med en hastighed på 42 visitkort i timen og arbejder en hel dag - 8 timer. Hvis han arbejdede hurtigere og printede 48 visitkort på en time, hvor meget tidligere kunne han så gå hjem?

Vi følger den gennemprøvede sti og tegner et diagram i henhold til problemets betingelser, og angiver den ønskede værdi som x:

↓ 42 visitkort/time – 8 timer

↓ 48 visitkort/t – x t

Vi har et omvendt proportionalt forhold: det antal gange flere visitkort en medarbejder i et trykkeri udskriver i timen, det samme antal gange kortere tid, han skal bruge til at udføre det samme arbejde. Når vi ved dette, så lad os skabe en proportion:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 timer.

Efter at have udført arbejdet på 7 timer, kunne trykkeriets medarbejdere således gå hjem en time tidligere.

Konklusion

Det forekommer os, at disse omvendte proportionalitetsproblemer er virkelig simple. Vi håber, at du nu også tænker på dem på den måde. Og det vigtigste er, at viden om den omvendt proportionale afhængighed af mængder virkelig kan være nyttig for dig mere end én gang.

Ikke kun i matematiktimer og eksamener. Men selv da, når du gør dig klar til at tage på tur, shoppe, beslutter dig for at tjene lidt ekstra penge i ferien osv.

Fortæl os i kommentarerne, hvilke eksempler på omvendte og direkte proportionale forhold du bemærker omkring dig. Lad det være sådan et spil. Du vil se, hvor spændende det er. Glem ikke at dele denne artikel på i sociale netværk så dine venner og klassekammerater også kan lege.

blog.site, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til den originale kilde.

I dag vil vi se på, hvilke mængder der kaldes omvendt proportional, hvordan en omvendt proportionalitetsgraf ser ud, og hvordan alt dette kan være nyttigt for dig ikke kun i matematiktimerne, men også uden for skolen.

Så forskellige proportioner

Proportionalitet Nævn to størrelser, der er gensidigt afhængige af hinanden.

Afhængigheden kan være direkte og omvendt. Følgelig er forholdet mellem mængder beskrevet ved direkte og omvendt proportionalitet.

Direkte proportionalitet– dette er et sådant forhold mellem to størrelser, hvor en stigning eller et fald i den ene af dem fører til en stigning eller et fald i den anden. De der. deres holdning ændrer sig ikke.

For eksempel, jo mere kræfter du lægger i at læse til eksamen, jo højere karakterer. Eller jo flere ting du tager med dig på en vandretur, jo tungere bliver din rygsæk at bære. De der. Mængden af ​​indsats, der bruges på at forberede sig til eksamen, er direkte proportional med de opnåede karakterer. Og antallet af ting pakket i en rygsæk er direkte proportional med dens vægt.

Omvendt proportionalitet– dette er en funktionel afhængighed, hvor et fald eller stigning flere gange i en uafhængig værdi (det kaldes et argument) forårsager en proportional (dvs. det samme antal gange) stigning eller fald i en afhængig værdi (det kaldes en fungere).

Lad os illustrere med et simpelt eksempel. Du vil købe æbler på markedet. Æblerne på disken og mængden af ​​penge i din tegnebog er i omvendt proportion. De der. Jo flere æbler du køber, jo færre penge har du tilbage.

Funktion og dens graf

Den omvendte proportionalitetsfunktion kan beskrives som y = k/x. Hvori x≠ 0 og k≠ 0.

Denne funktion har følgende egenskaber:

1. Dens definitionsdomæne er mængden af ​​alle reelle tal undtagen x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Området er alle reelle tal undtagen y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Har ikke maksimum eller minimum værdier.
4. Den er ulige, og dens graf er symmetrisk om oprindelsen.
5. Ikke-periodisk.
6. Dens graf skærer ikke koordinatakserne.
7. Har ingen nuller.
8. Hvis k> 0 (dvs. argumentet stiger), falder funktionen proportionalt på hvert af sine intervaller. Hvis k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Efterhånden som argumentet øges ( k> 0) negative værdier af funktionen er i intervallet (-∞; 0), og positive værdier er i intervallet (0; +∞). Når argumentet falder ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Grafen for en omvendt proportionalitetsfunktion kaldes en hyperbel. Vist som følger:

Omvendt proportionalitetsproblemer

For at gøre det klarere, lad os se på flere opgaver. De er ikke for komplicerede, og at løse dem vil hjælpe dig med at visualisere, hvad omvendt proportionalitet er, og hvordan denne viden kan være nyttig i din hverdag.

Opgave nr. 1. En bil kører med en hastighed på 60 km/t. Det tog ham 6 timer at nå til sin destination. Hvor lang tid vil det tage ham at tilbagelægge den samme afstand, hvis han bevæger sig med dobbelt hastighed?

Vi kan starte med at nedskrive en formel, der beskriver sammenhængen mellem tid, distance og hastighed: t = S/V. Enig, det minder os meget om den omvendte proportionalitetsfunktion. Og det indikerer, at den tid, en bil bruger på vejen, og den hastighed, den bevæger sig med, er i omvendt proportion.

For at verificere dette, lad os finde V 2, som ifølge betingelsen er 2 gange højere: V 2 = 60 * 2 = 120 km/t. Derefter beregner vi afstanden ved hjælp af formlen S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Nu er det ikke svært at finde ud af den tid t 2, der kræves af os i henhold til betingelserne for problemet: t 2 = 360/120 = 3 timer.

Som du kan se, er rejsetid og hastighed faktisk omvendt proportional: Ved en hastighed, der er 2 gange højere end den oprindelige hastighed, vil bilen bruge 2 gange mindre tid på vejen.

Løsningen på dette problem kan også skrives som en proportion. Så lad os først oprette dette diagram:

↓ 60 km/t – 6 timer

↓120 km/t – x t

Pile angiver et omvendt proportionalt forhold. De foreslår også, at når man opstiller en proportion, skal højre side af posten vendes: 60/120 = x/6. Hvor får vi x = 60 * 6/120 = 3 timer.

Opgave nr. 2. Værkstedet beskæftiger 6 arbejdere, som kan udføre en given mængde arbejde på 4 timer. Hvis antallet af arbejdere halveres, hvor lang tid vil det så tage de resterende arbejdere at udføre den samme mængde arbejde?

Lad os nedskrive betingelserne for problemet i form af et visuelt diagram:

↓ 6 arbejdere – 4 timer

↓ 3 arbejdere – x t

Lad os skrive dette som en proportion: 6/3 = x/4. Og vi får x = 6 * 4/3 = 8 timer Hvis der er 2 gange færre arbejdere, vil de resterende bruge 2 gange mere tid på alt arbejdet.

Opgave nr. 3. Der er to rør, der fører ind i poolen. Gennem det ene rør strømmer vandet med en hastighed på 2 l/s og fylder bassinet på 45 minutter. Gennem et andet rør fyldes poolen på 75 minutter. Med hvilken hastighed kommer vandet ind i poolen gennem dette rør?

Til at begynde med, lad os reducere alle de mængder, der er givet os i henhold til problemets betingelser, til de samme måleenheder. For at gøre dette udtrykker vi hastigheden for at fylde poolen i liter pr. minut: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Da det følger af betingelsen, at bassinet fyldes langsommere gennem det andet rør, betyder det, at vandstrømningshastigheden er lavere. Proportionaliteten er omvendt. Lad os udtrykke den ukendte hastighed gennem x og tegne følgende diagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Og så laver vi forholdet: 120/x = 75/45, hvorfra x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

I opgaven er poolens fyldningshastighed udtrykt i liter pr. sekund; lad os reducere svaret, vi modtog, til den samme form: 72/60 = 1,2 l/s.

Opgave nr. 4. Et lille privat trykkeri trykker visitkort. En trykkerimedarbejder arbejder med en hastighed på 42 visitkort i timen og arbejder en hel dag - 8 timer. Hvis han arbejdede hurtigere og printede 48 visitkort på en time, hvor meget tidligere kunne han så gå hjem?

Vi følger den gennemprøvede sti og tegner et diagram i henhold til problemets betingelser, og angiver den ønskede værdi som x:

↓ 42 visitkort/time – 8 timer

↓ 48 visitkort/t – x t

Vi har et omvendt proportionalt forhold: det antal gange flere visitkort en medarbejder i et trykkeri udskriver i timen, det samme antal gange kortere tid, han skal bruge til at udføre det samme arbejde. Når vi ved dette, så lad os skabe en proportion:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 timer.

Efter at have udført arbejdet på 7 timer, kunne trykkeriets medarbejdere således gå hjem en time tidligere.

Konklusion

Det forekommer os, at disse omvendte proportionalitetsproblemer er virkelig simple. Vi håber, at du nu også tænker på dem på den måde. Og det vigtigste er, at viden om den omvendt proportionale afhængighed af mængder virkelig kan være nyttig for dig mere end én gang.

Ikke kun i matematiktimer og eksamener. Men selv da, når du gør dig klar til at tage på tur, shoppe, beslutter dig for at tjene lidt ekstra penge i ferien osv.

Fortæl os i kommentarerne, hvilke eksempler på omvendte og direkte proportionale forhold du bemærker omkring dig. Lad det være sådan et spil. Du vil se, hvor spændende det er. Glem ikke at dele denne artikel på sociale netværk, så dine venner og klassekammerater også kan spille.

hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.

Grundlæggende mål:

• introducere begrebet direkte og omvendt proportional afhængighed af mængder;
• lære at løse problemer ved at bruge disse afhængigheder;
• fremme udviklingen af ​​problemløsningsevner;
• konsolidere evnen til at løse ligninger ved hjælp af proportioner;
• gentag trinene med almindelig og decimaler;
• udvikle logisk tænkning studerende.

UNDER UNDERVISNINGEN

JEG. Selvbestemmelse til aktivitet(tilrettelæggelsestid)

- Gutter! I dag i lektionen vil vi stifte bekendtskab med problemer løst ved hjælp af proportioner.

II. Opdatering af viden og registrering af vanskeligheder i aktiviteter

2.1. Mundtligt arbejde (3 min)

– Find betydningen af ​​udtrykkene og find ud af ordet krypteret i svarene.

14 – s; 0,1 – og; 7 – l; 0,2 - a; 17 - c; 25 – til

– Det resulterende ord er styrke. Godt klaret!
– Mottoet for vores lektion i dag: Magt er i viden! Jeg søger - det betyder, at jeg lærer!
– Lav en andel ud fra de resulterende tal. (14:7 = 0,2:0,1 osv.)

2.2. Lad os overveje forholdet mellem de mængder, vi kender (7 min)

– den afstand, som bilen tilbagelægger ved konstant hastighed, og tidspunktet for dens bevægelse: S = v t ( med stigende hastighed (tid) øges afstanden;
– køretøjets hastighed og tid brugt på rejsen: v=S:t(efterhånden som tiden til at rejse stien stiger, falder hastigheden);
– prisen på varer købt til én pris og mængden af ​​dem: C = a · n (med en stigning (fald) i prisen stiger (falder) indkøbsomkostningerne);
– produktets pris og dets mængde: a = C: n (ved en stigning i mængden falder prisen)
– rektanglets areal og dets længde (bredde): S = a · b (med stigende længde (bredde), øges området;
– rektangelets længde og bredde: a = S: b (efterhånden som længden øges, aftager bredden;
– antallet af arbejdere, der udfører noget arbejde med samme arbejdsproduktivitet, og den tid, det tager at fuldføre dette arbejde: t = A: n (med en stigning i antallet af arbejdere, falder tiden brugt på at udføre arbejdet) osv. .

Vi har opnået afhængigheder, hvori, med en stigning i én mængde flere gange, en anden straks øges med samme mængde (eksempler er vist med pile) og afhængigheder, hvor, med en stigning i en mængde flere gange, den anden mængde falder med samme antal gange.
Sådanne afhængigheder kaldes direkte og omvendt proportionalitet.
Direkte proportional afhængighed– et forhold, hvor en værdi stiger (falder) flere gange, så stiger (falder) den anden værdi med samme mængde.
Omvendt proportional sammenhæng– et forhold, hvor en værdi stiger (falder) flere gange, den anden værdi falder (stiger) med samme mængde.

III. Opstilling af en læringsopgave

– Hvilket problem står vi over for? (Lær at skelne mellem direkte og omvendte afhængigheder)
- Det her - mål vores lektion. Formuler nu emne lektie. (Direkte og omvendt proportional sammenhæng).
- Godt klaret! Skriv emnet for lektionen ned i dine notesbøger. (Læreren skriver emnet på tavlen).

IV. "Opdagelse" af ny viden(10 min)

Lad os se på problem nr. 199.

1. Printeren udskriver 27 sider på 4,5 minutter. Hvor lang tid tager det at udskrive 300 sider?

27 sider – 4,5 min.
300 sider - x?

2. Æsken indeholder 48 pakker te, 250 g hver. Hvor mange 150 g pakker af denne te får du?

48 pakker – 250 g.
X? – 150 g.

3. Bilen kørte 310 km og brugte 25 liter benzin. Hvor langt kan en bil køre på en fuld 40L tank?

310 km – 25 l
X? – 40 l

4. Et af koblingsgearene har 32 tænder, og det andet har 40. Hvor mange omdrejninger vil det andet gear lave, mens det første gør 215 omdrejninger?

32 tænder – 315 omdr.
40 tænder – x?

For at kompilere en proportion er en retning af pilene nødvendig; til dette, i omvendt proportionalitet, erstattes ét forhold med det omvendte.

På tavlen finder eleverne betydningen af ​​mængder, på stedet løser eleverne en opgave efter eget valg.

– Formuler en regel for løsning af problemer med direkte og omvendt proportional afhængighed.

En tabel vises på tavlen:

V. Primær konsolidering i ekstern tale(10 min)

Arbejdsark opgaver:

1. Fra 21 kg bomuldsfrø blev der opnået 5,1 kg olie. Hvor meget olie får man fra 7 kg bomuldsfrø?
2. For at bygge stadionet ryddede 5 bulldozere stedet på 210 minutter. Hvor lang tid ville det tage 7 bulldozere at rydde denne side?

VI. Selvstændigt arbejde med selvtest mod standard(5 minutter)

To elever udfører selvstændigt opgave nr. 225 på skjulte tavler, og resten - i notesbøger. De tjekker derefter algoritmens arbejde og sammenligner den med løsningen på tavlen. Fejl korrigeres, og deres årsager bestemmes. Hvis opgaven er udført korrekt, sætter eleverne et "+"-tegn ud for dem.
Studerende, der laver fejl i selvstændigt arbejde, kan bruge konsulenter.

VII. Inklusion i vidensystemet og gentagelse№ 271, № 270.

Seks personer arbejder i bestyrelsen. Efter 3-4 minutter præsenterer elever, der arbejder ved tavlen, deres løsninger, og resten tjekker opgaverne og deltager i deres diskussion.

VIII. Refleksion over aktivitet (lektionsopsummering)

– Hvad nyt lærte du i lektionen?
-Hvad gentog de?
– Hvad er algoritmen til at løse proportionsproblemer?
– Har vi nået vores mål?
– Hvordan vurderer du dit arbejde?

De to mængder kaldes direkte proportional, hvis når en af ​​dem stiger flere gange, stiger den anden med samme mængde. Følgelig, når en af ​​dem falder flere gange, falder den anden med samme mængde.

Forholdet mellem sådanne mængder er et direkte proportionalt forhold. Eksempler på direkte proportional afhængighed:

1) ved konstant hastighed er den tilbagelagte afstand direkte proportional med tiden;

2) omkredsen af ​​et kvadrat og dets side er direkte proportionale mængder;

3) prisen på et produkt købt til én pris er direkte proportional med dets mængde.

For at skelne et direkte proportionalt forhold fra et omvendt, kan du bruge ordsproget: "Jo længere ind i skoven, jo mere brænde."

Det er praktisk at løse problemer, der involverer direkte proportionale mængder ved hjælp af proportioner.

1) For at lave 10 dele skal du bruge 3,5 kg metal. Hvor meget metal skal der bruges til at lave 12 af disse dele?

(Vi begrunder sådan:

1. I den udfyldte kolonne placeres en pil i retningen fra mere til mindre.

2. Jo flere dele, jo mere metal skal der til for at lave dem. Det betyder, at der er tale om et direkte proportionalt forhold.

Lad x kg metal være nødvendigt for at lave 12 dele. Vi udgør proportionen (i retningen fra begyndelsen af ​​pilen til dens slutning):

12:10=x:3,5

For at finde skal du dividere produktet af de ekstreme udtryk med det kendte mellemled:

Det betyder, at der kræves 4,2 kg metal.

Svar: 4,2 kg.

2) For 15 meter stof betalte de 1680 rubler. Hvor meget koster 12 meter sådan stof?

(1. I den udfyldte kolonne placeres en pil i retningen fra det største tal til det mindste.

2. Jo mindre stof du køber, jo mindre skal du betale for det. Det betyder, at der er tale om et direkte proportionalt forhold.

3. Derfor er den anden pil i samme retning som den første).

Lad x rubler koste 12 meter stof. Vi laver en proportion (fra begyndelsen af ​​pilen til dens slutning):

15:12=1680:x

For at finde det ukendte yderled af andelen skal du dividere produktet af mellemleddet med det kendte ekstreme led af andelen:

Det betyder, at 12 meter koster 1344 rubler.

Svar: 1344 rubler.