Stjerne nyheder
Sådan bestemmes direkte eller omvendt proportionalitet. Direkte proportionalitet
g) personens alder og størrelsen af hans sko;
h) terningens rumfang og længden af dens kant;
i) kvadratets omkreds og længden af dens side;
j) en brøk og dens nævner, hvis tælleren ikke ændres;
k) en brøk og dens tæller, hvis nævneren ikke ændres.
Løs opgaver 767-778 ved at komponere.
767. En stålkugle med et rumfang på 6 cm 3 har en masse på 46,8 g. Hvad er massen af en kugle lavet af samme stål, hvis dens rumfang er 2,5 cm 3?
768. Fra 21 kg bomuldsfrø opnåedes 5,1 kg olie. Hvor meget olie får man fra 7 kg bomuldsfrø?
769. Til opførelsen af stadion ryddede 5 bulldozere stedet på 210 minutter. Hvor lang tid vil det tage 7 bulldozere at rydde denne side?
770. For at transportere lasten krævedes 24 køretøjer med en løftekapacitet på 7,5 tons Hvor mange køretøjer med en løftekapacitet på 4,5 tons skal der til at transportere den samme last?
771. For at bestemme frøspiringen blev der sået ærter. Af de 200 såede ærter spirede 170. Hvor mange procent af ærterne spirede (spireprocent)?
772. Under byens grønne søndag blev der plantet lindetræer på gaden. 95 % af alle plantede lindetræer blev accepteret. Hvor mange lindetræer blev der plantet, hvis der blev plantet 57 lindetræer?
773. Der er 80 elever i skiafdelingen. Blandt dem er 32 piger. Hvilke sektionsmedlemmer er piger og hvilke er drenge?
774. Efter planen skulle kollektivbruget så 980 hektar med majs. Men planen blev opfyldt med 115 %. Hvor mange hektar majs såede kollektivgården?
775. På 8 måneder gennemførte arbejderen 96% af den årlige plan. Hvor stor en procentdel af den årlige plan vil arbejderen gennemføre på 12 måneder, hvis han arbejder med samme produktivitet?
776. På tre dage blev 16,5 % af alle roer høstet. Hvor mange dage vil det tage at høste 60,5 % af alle roer med samme produktivitet?
777. I jernmalm er der for hver 7 dele jern 3 dele urenheder. Hvor mange tons urenheder er der i malmen, der indeholder 73,5 tons jern?
778. For at tilberede borscht skal du for hver 100 g kød tage 60 g rødbeder. Hvor mange rødbeder skal du tage for 650 g kød?
P 779. Beregn mundtligt:
780. Præsenter hver af dem som summen af to brøker med tæller 1 følgende fraktioner:
.
781. Fra tallene 3, 7, 9 og 21 dannes to korrekte proportioner.
782. De midterste led af andelen er 6 og 10. Hvad kan de ekstreme led være? Giv eksempler.
783. Ved hvilken værdi af x er proportionen korrekt:
784. Find relationen:
a) 2 min til 10 s; c) 0,1 kg til 0,1 g; e) 3 dm 3 til 0,6 m 3.
b) 0,3 m2 til 0,1 dm2; d) 4 timer til 1 dag;
1) 6,0008:2,6 + 4,23 0,4;
2) 2,91 1,2 + 12,6288:3,6.
D 795. 20 kg æbler giver 16 kg æblemos. ^^ Hvor meget æblemos får du fra 45 kg æbler?
796. Tre malere kan afslutte arbejdet på 5 dage. For at fremskynde arbejdet blev der tilføjet yderligere to malere. Hvor lang tid vil det tage dem at afslutte arbejdet, forudsat at alle malere vil arbejde med samme produktivitet?
797. For 2,5 kg lam betalte de 4,75 rubler. Hvor meget lam kan du købe til samme pris for 6,65 rubler?
798. Sukkerroer indeholder 18,5 % sukker. Hvor meget sukker er der i 38,5 tons sukkerroer? Afrund dit svar til tiendedele af et ton.
799. Den nye sort af solsikkefrø indeholder 49,5% olie. Hvor mange kg af sådanne frø skal der tages, så de indeholder 29,7 kg olie?
800. 80 kg kartofler indeholder 14 kg stivelse. Find procentdelen af stivelse i sådanne kartofler.
801. Hørfrø indeholder 47% olie. Hvor meget olie er der i 80 kg hørfrø?
802. Ris indeholder 75% stivelse, og byg 60%. Hvor meget byg skal du tage, så den indeholder samme mængde stivelse, som der er i 5 kg ris?
803. Find betydningen af udtrykket:
a) 203,81:(141 -136,42) + 38,4:0,7 5;
b) 96:7,5 + 288,51:(80 - 76,74).
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matematik for 6. klasse, Lærebog for Gymnasium
Proportionalitet er et forhold mellem to størrelser, hvor en ændring i den ene af dem medfører en ændring i den anden med samme mængde.
Proportionalitet kan være direkte eller omvendt. I denne lektion vi vil se på hver af dem.
Lektionens indholdDirekte proportionalitet
Lad os antage, at bilen bevæger sig med en hastighed på 50 km/t. Vi husker, at hastighed er den tilbagelagte distance pr. tidsenhed (1 time, 1 minut eller 1 sekund). I vores eksempel bevæger bilen sig med en hastighed på 50 km/t, det vil sige på en time vil den tilbagelægge en afstand på halvtreds kilometer.
Lad os i figuren skildre afstanden, som bilen har rejst på 1 time.
Lad bilen køre endnu en time med samme hastighed på halvtreds kilometer i timen. Så viser det sig, at bilen skal køre 100 km
Som det fremgår af eksemplet, førte en fordobling af tiden til en stigning i den tilbagelagte distance med samme mængde, det vil sige to gange.
Størrelser som tid og afstand kaldes direkte proportionale. Og forholdet mellem sådanne mængder kaldes direkte proportionalitet.
Direkte proportionalitet er forholdet mellem to mængder, hvor en stigning i den ene af dem medfører en stigning i den anden med samme mængde.
og omvendt, hvis en mængde falder et vist antal gange, så falder den anden med det samme antal gange.
Lad os antage, at den oprindelige plan var at køre en bil 100 km på 2 timer, men efter at have kørt 50 km besluttede chaufføren at hvile sig. Så viser det sig, at ved at reducere afstanden til det halve, vil tiden falde med det samme. Med andre ord vil en reduktion af den tilbagelagte afstand føre til et fald i tid med samme mængde.
Et interessant træk ved direkte proportionale mængder er, at deres forhold altid er konstant. Det vil sige, når værdierne af direkte proportionale mængder ændres, forbliver deres forhold uændret.
I det betragtede eksempel var afstanden oprindeligt 50 km, og tiden var en time. Forholdet mellem afstand og tid er tallet 50.
Men vi øgede rejsetiden med 2 gange, så den svarer til to timer. Som et resultat steg den tilbagelagte afstand med samme mængde, det vil sige, at den blev lig med 100 km. Forholdet mellem hundrede kilometer og to timer er igen tallet 50
Nummeret 50 kaldes koefficient for direkte proportionalitet. Den viser, hvor meget afstand der er pr. times bevægelse. I I dette tilfælde koefficienten spiller rollen som bevægelseshastighed, da hastighed er forholdet mellem tilbagelagt distance og tid.
Proportioner kan laves ud fra direkte proportionale mængder. For eksempel udgør forholdet andelen:
Halvtreds kilometer er til en time, som hundrede kilometer er til to timer.
Eksempel 2. Omkostningerne og mængden af købte varer er direkte proportionale. Hvis 1 kg slik koster 30 rubler, koster 2 kg af de samme slik 60 rubler, 3 kg 90 rubler. Efterhånden som prisen på et købt produkt stiger, stiger dets mængde med det samme beløb.
Da prisen på et produkt og dets mængde er direkte proportionale mængder, er deres forhold altid konstant.
Lad os skrive ned, hvad er forholdet mellem tredive rubler og et kilogram
Lad os nu skrive ned, hvad forholdet mellem tres rubler og to kilo er. Dette forhold vil igen være lig med tredive:
Her er koefficienten for direkte proportionalitet tallet 30. Denne koefficient viser, hvor mange rubler der er pr. kg slik. I dette eksempel spiller koefficienten rollen som prisen på et kg varer, da prisen er forholdet mellem varens omkostninger og mængden.
Omvendt proportionalitet
Overvej følgende eksempel. Afstanden mellem de to byer er 80 km. Motorcyklisten forlod den første by og nåede med en hastighed på 20 km/t den anden by på 4 timer.
Hvis en motorcyklists hastighed var 20 km/t, betyder det, at han hver time tilbagelagde en strækning på tyve kilometer. Lad os i figuren afbilde den afstand, motorcyklisten har tilbagelagt, og tidspunktet for hans bevægelse:
På tilbagevejen var motorcyklistens hastighed 40 km/t, og han brugte 2 timer på samme rejse.
Det er let at bemærke, at når hastigheden ændres, ændres bevægelsestidspunktet med samme mængde. Desuden har det ændret sig modsatte side- det vil sige, at hastigheden steg, men tiden faldt tværtimod.
Størrelser som hastighed og tid kaldes omvendt proportional. Og forholdet mellem sådanne mængder kaldes omvendt proportionalitet.
Omvendt proportionalitet er forholdet mellem to mængder, hvor en stigning i den ene af dem medfører et fald i den anden med samme mængde.
og omvendt, hvis en mængde falder et vist antal gange, så stiger den anden med det samme antal gange.
For eksempel, hvis motorcyklistens hastighed på tilbagevejen var 10 km/t, så ville han tilbagelægge de samme 80 km på 8 timer:
Som det kan ses af eksemplet, førte et fald i hastigheden til en forøgelse af bevægelsestiden med samme mængde.
Det særlige ved omvendt proportionale mængder er, at deres produkt altid er konstant. Det vil sige, når værdierne af omvendt proportionale mængder ændres, forbliver deres produkt uændret.
I det betragtede eksempel var afstanden mellem byer 80 km. Når motorcyklistens hastighed og bevægelsestid ændrede sig, forblev denne afstand altid uændret
En motorcyklist kunne køre denne distance med en hastighed på 20 km/t på 4 timer og med en hastighed på 40 km/t på 2 timer og med en hastighed på 10 km/t på 8 timer. I alle tilfælde var produktet af hastighed og tid lig med 80 km
Kunne du lide lektionen?
Deltag i vores ny gruppe VKontakte og begynd at modtage meddelelser om nye lektioner
De to mængder kaldes direkte proportional, hvis når en af dem stiger flere gange, stiger den anden med samme mængde. Følgelig, når en af dem falder flere gange, falder den anden med samme mængde.
Forholdet mellem sådanne mængder er et direkte proportionalt forhold. Eksempler på lige proportional afhængighed:
1) ved konstant hastighed er den tilbagelagte afstand direkte proportional med tiden;
2) omkredsen af et kvadrat og dets side er direkte proportionale mængder;
3) prisen på et produkt købt til én pris er direkte proportional med dets mængde.
For at skelne et direkte proportionalt forhold fra et omvendt, kan du bruge ordsproget: "Jo længere ind i skoven, jo mere brænde."
Det er praktisk at løse problemer, der involverer direkte proportionale mængder ved hjælp af proportioner.
1) For at lave 10 dele skal du bruge 3,5 kg metal. Hvor meget metal skal der bruges til at lave 12 af disse dele?
(Vi begrunder sådan:
1. I den udfyldte kolonne placeres en pil i retningen fra det største tal til det mindste.
2. Jo flere dele, jo mere metal skal der til for at lave dem. Det betyder, at der er tale om et direkte proportionalt forhold.
Lad x kg metal være nødvendigt for at lave 12 dele. Vi udgør proportionen (i retningen fra begyndelsen af pilen til dens slutning):
12:10=x:3,5
For at finde skal du dividere produktet af de ekstreme udtryk med det kendte mellemled:
Det betyder, at der kræves 4,2 kg metal.
Svar: 4,2 kg.
2) For 15 meter stof betalte de 1680 rubler. Hvor meget koster 12 meter sådan stof?
(1. I den udfyldte kolonne placeres en pil i retningen fra det største tal til det mindste.
2. Jo mindre stof du køber, jo mindre skal du betale for det. Det betyder, at der er tale om et direkte proportionalt forhold.
3. Derfor er den anden pil i samme retning som den første).
Lad x rubler koste 12 meter stof. Vi laver en proportion (fra begyndelsen af pilen til dens slutning):
15:12=1680:x
For at finde det ukendte yderled af andelen skal du dividere produktet af mellemleddet med det kendte ekstreme led af andelen:
Det betyder, at 12 meter koster 1344 rubler.
Svar: 1344 rubler.
§ 129. Foreløbige præciseringer.
En person beskæftiger sig konstant med en bred vifte af mængder. En medarbejder og en arbejder forsøger at komme på arbejde til et bestemt tidspunkt, en fodgænger har travlt med at komme til berømt sted Kort fortalt er dampvarmestokeren bekymret for, at temperaturen i kedlen langsomt stiger, forretningsføreren lægger planer for at reducere produktionsomkostningerne mv.
Man kunne give et hvilket som helst antal af sådanne eksempler. Tid, afstand, temperatur, omkostninger - alt dette er forskellige mængder. I første og anden del af denne bog stiftede vi bekendtskab med nogle særligt almindelige størrelser: areal, volumen, vægt. Vi støder på mange mængder, når vi studerer fysik og andre videnskaber.
Forestil dig, at du rejser med et tog. Nu og da kigger du på dit ur og bemærker, hvor længe du har været på farten. Du siger for eksempel, at der er gået 2, 3, 5, 10, 15 timer siden dit tog afgik osv. Disse tal repræsenterer forskellige tidsperioder; de kaldes værdierne af denne mængde (tid). Eller du kigger ud af vinduet og følger vejposterne for at se, hvor langt dit tog kører. Tallene 110, 111, 112, 113, 114 km blinker foran dig. Disse tal repræsenterer de forskellige afstande, toget har tilbagelagt fra dets afgangssted. De kaldes også værdier, denne gang af en anden størrelsesorden (sti eller afstand mellem to punkter). Således kan én mængde, for eksempel tid, afstand, temperatur, tage lige så mange forskellige betydninger.
Bemærk venligst, at en person næsten aldrig kun overvejer én mængde, men altid forbinder den med nogle andre mængder. Han skal forholde sig til to, tre og et stort antal mængder Forestil dig, at du skal i skole ved 9-tiden. Du kigger på dit ur og ser, at du har 20 minutter. Så finder du hurtigt ud af, om du skal tage sporvognen, eller om du kan gå til skole. Efter at have tænkt dig om, beslutter du dig for at gå. Læg mærke til, at mens du tænkte, løste du et eller andet problem. Denne opgave er blevet enkel og velkendt, da du løser sådanne problemer hver dag. I den sammenlignede du hurtigt flere mængder. Det var dig, der kiggede på uret, hvilket betyder, at du tog tiden i betragtning, så forestillede du dig mentalt afstanden fra dit hjem til skolen; til sidst sammenlignede du to størrelser: dit skridts hastighed og sporvognens hastighed og konkluderede, at givet tid(20 min.) Du får tid til at gå. Fra dette simpelt eksempel du ser, at i vores praksis er nogle mængder forbundne, det vil sige, at de afhænger af hinanden
Kapitel tolv talte om sammenhængen mellem homogene størrelser. For eksempel, hvis et segment er 12 m, og det andet er 4 m, vil forholdet mellem disse segmenter være 12: 4.
Vi sagde, at dette er forholdet mellem to homogene mængder. En anden måde at sige dette på er, at det er forholdet mellem to tal ét navn.
Nu hvor vi er mere fortrolige med mængder og har introduceret begrebet værdien af en mængde, kan vi udtrykke definitionen af et forhold på en ny måde. Faktisk, da vi betragtede to segmenter 12 m og 4 m, talte vi om en værdi - længde, og 12 m og 4 m var kun to forskellige betydninger denne værdi.
Derfor, når vi i fremtiden begynder at tale om forhold, vil vi overveje to værdier af en mængde, og forholdet mellem en værdi af en mængde og en anden værdi af samme mængde vil blive kaldt kvotienten for at dividere den første værdi ved den anden.
§ 130. Værdier er direkte proportionale.
Lad os overveje et problem, hvis tilstand omfatter to mængder: afstand og tid.
Opgave 1. En krop, der bevæger sig retlinet og ensartet, bevæger sig 12 cm hvert sekund. Bestem den afstand, kroppen tilbagelægger på 2, 3, 4, ..., 10 sekunder.
Lad os oprette en tabel, der kan bruges til at spore ændringer i tid og afstand.
Tabellen giver os mulighed for at sammenligne disse to rækker af værdier. Vi ser af det, at når værdierne af den første mængde (tid) gradvist stiger med 2, 3,..., 10 gange, så stiger værdierne af den anden mængde (afstand) også med 2, 3, ..., 10 gange. Således, når værdierne af en mængde stiger flere gange, stiger værdierne af en anden mængde med samme mængde, og når værdierne af en mængde falder flere gange, falder værdierne af en anden mængde med samme nummer.
Lad os nu overveje et problem, der involverer to sådanne mængder: mængden af stof og dets omkostninger.
Opgave 2. 15 m stof koster 120 rubler. Beregn prisen på dette stof for flere andre mængder meter angivet i tabellen.
Ved hjælp af denne tabel kan vi spore, hvordan prisen på et produkt gradvist stiger afhængigt af stigningen i dets mængde. På trods af at dette problem involverer helt andre mængder (i det første problem - tid og afstand, og her - mængden af varer og dets værdi), kan der ikke desto mindre findes store ligheder i adfærden af disse mængder.
Faktisk er der i den øverste linje i tabellen tal, der angiver antallet af meter stof; under hver af dem er der et tal, der udtrykker prisen på den tilsvarende mængde varer. Selv et hurtigt blik på denne tabel viser, at tallene i både øverste og nederste række er stigende; ved nærmere undersøgelse af tabellen og ved sammenligning af individuelle kolonner, opdages det, at værdierne af den anden mængde i alle tilfælde stiger med det samme antal gange som værdierne af den første stigning, dvs. første mængde stiger, f.eks. 10 gange, derefter øges værdien af den anden mængde også 10 gange.
Hvis vi kigger gennem tabellen fra højre mod venstre, finder vi det angivne værdier værdier vil falde med samme nummer enkelt gang. I denne forstand er der en ubetinget lighed mellem den første opgave og den anden.
De par af mængder, som vi stødte på i den første og anden opgave kaldes direkte proportional.
Således, hvis to mængder er relateret til hinanden på en sådan måde, at når værdien af den ene af dem stiger (falder) flere gange, så stiger (falder) værdien af den anden med samme mængde, så kaldes sådanne mængder direkte proportionale .
Sådanne mængder siges også at være relateret til hinanden ved et direkte proportionalt forhold.
Der findes mange lignende mængder i naturen og i livet omkring os. Her er nogle eksempler:
1. Tid arbejde (dag, to dage, tre dage osv.) og indtjening, modtaget i denne tid med dagløn.
2. Bind enhver genstand lavet af et homogent materiale, og vægt denne vare.
§ 131. Ejendom af direkte proportionale mængder.
Lad os tage et problem, der involverer følgende to mængder: arbejdstid og indtjening. Hvis den daglige indtjening er 20 rubler, vil indtjeningen i 2 dage være 40 rubler osv. Det er mest bekvemt at oprette en tabel, hvor et vist antal dage svarer til en bestemt indtjening.
Ser vi på denne tabel, ser vi, at begge mængder tog 10 forskellige værdier. Hver værdi af den første værdi svarer til en vis værdi af den anden værdi, for eksempel svarer 2 dage til 40 rubler; 5 dage svarer til 100 rubler. I tabellen er disse tal skrevet under hinanden.
Vi ved allerede, at hvis to mængder er direkte proportionale, så stiger hver af dem, i færd med at ændre sig, lige så mange gange, som den anden stiger. Det følger umiddelbart af dette: hvis vi tager forholdet mellem to vilkårlige værdier af den første mængde, så vil det være lig med forholdet mellem de to tilsvarende værdier af den anden mængde. Ja:
Hvorfor sker dette? Men fordi disse værdier er direkte proportionale, dvs. når en af dem (tid) steg med 3 gange, så steg den anden (indtjening) med 3 gange.
Vi er derfor kommet til følgende konklusion: hvis vi tager to værdier af den første mængde og dividerer dem med hinanden, og derefter dividerer de tilsvarende værdier af den anden mængde med en, så får vi i begge tilfælde samme antal, dvs. det samme forhold. Det betyder, at de to relationer, som vi skrev ovenfor, kan forbindes med et lighedstegn, dvs.
Der er ingen tvivl om, at hvis vi ikke tog disse forhold, men andre, og ikke i den rækkefølge, men i den modsatte rækkefølge, ville vi også opnå ligeværdige forhold. Faktisk vil vi overveje værdierne af vores mængder fra venstre mod højre og tage den tredje og niende værdi:
60:180 = 1 / 3 .
Så vi kan skrive:
Dette fører til følgende konklusion: Hvis to mængder er direkte proportionale, så er forholdet mellem to vilkårligt optagne værdier af den første mængde lig med forholdet mellem de to tilsvarende værdier af den anden mængde.
§ 132. Formel for direkte proportionalitet.
Lad os lave en tabel over omkostningerne ved forskellige mængder slik, hvis 1 kg af dem koster 10,4 rubler.
Lad os nu gøre det på denne måde. Tag et hvilket som helst tal i den anden linje og divider det med det tilsvarende tal i den første linje. For eksempel:
Du ser, at i kvotienten opnås det samme tal hele tiden. For et givet par direkte proportionale mængder er kvotienten for at dividere enhver værdi af en mængde med den tilsvarende værdi af en anden mængde et konstant tal (dvs. ikke ændres). I vores eksempel er denne kvotient 10,4. Dette konstante tal kaldes proportionalitetsfaktoren. I dette tilfælde udtrykker det prisen på en måleenhed, det vil sige et kg varer.
Hvordan finder eller beregner man proportionalitetskoefficienten? For at gøre dette skal du tage en hvilken som helst værdi af en mængde og dividere den med den tilsvarende værdi af den anden.
Lad os betegne denne vilkårlige værdi af én mængde med bogstavet på , og den tilsvarende værdi af en anden mængde - bogstavet x , derefter proportionalitetskoefficienten (vi betegner den TIL) finder vi ved division:
I denne ligestilling på - delelig, x - divisor og TIL- kvotient, og da udbyttet ved divisionsegenskaben er lig med divisoren ganget med kvotienten, kan vi skrive:
y = K x
Den resulterende lighed kaldes formel for direkte proportionalitet. Ved hjælp af denne formel kan vi beregne et hvilket som helst antal værdier af en af de direkte proportionale mængder, hvis vi kender de tilsvarende værdier af den anden mængde og proportionalitetskoefficienten.
Eksempel. Fra fysikken kender vi den vægt R af enhver krop er lig med dens specifikke tyngdekraft d , ganget med volumenet af denne krop V, dvs. R = d V.
Lad os tage fem jernstænger med forskelligt volumen; vide specifik vægt jern (7.8), kan vi beregne vægten af disse emner ved hjælp af formlen:
R = 7,8 V.
Sammenligning af denne formel med formlen på = TIL x , det ser vi y = R, x = V, og proportionalitetskoefficienten TIL= 7,8. Formlen er den samme, kun bogstaverne er forskellige.
Ved hjælp af denne formel, lad os lave en tabel: lad rumfanget af det 1. emne være lig med 8 kubikmeter. cm, så er dens vægt 7,8 8 = 62,4 (g). Rumfanget af det 2. emne er 27 kubikmeter. cm. Dens vægt er 7,8 27 = 210,6 (g). Tabellen vil se sådan ud:
Beregn de tal, der mangler i denne tabel, ved hjælp af formlen R= d V.
§ 133. Andre metoder til at løse problemer med direkte proportionale mængder.
I det foregående afsnit løste vi et problem, hvis tilstand omfattede direkte proportionale mængder. Til dette formål udledte vi først formlen for direkte proportionalitet og anvendte derefter denne formel. Nu vil vi vise to andre måder at løse lignende problemer på.
Lad os skabe et problem ved at bruge de numeriske data i tabellen i det foregående afsnit.
Opgave. Blank med et volumen på 8 kubikmeter. cm vejer 62,4 g. Hvor meget vil et emne med et volumen på 64 kubikmeter veje? cm?
Løsning. Jernvægten er som bekendt proportional med dets volumen. Hvis 8 cu. cm vejer 62,4 g, derefter 1 cu. cm vil veje 8 gange mindre, dvs.
62,4:8 = 7,8 (g).
Blank med et volumen på 64 kubikmeter. cm vil veje 64 gange mere end et 1 kubikmeter emne. cm, dvs.
7,8 64 = 499,2(g).
Vi løste vores problem ved at reducere til enhed. Betydningen af dette navn er begrundet i, at for at løse det var vi nødt til at finde vægten af en volumenhed i det første spørgsmål.
2. Proportioneringsmetode. Lad os løse det samme problem ved hjælp af proportionsmetoden.
Da vægten af jern og dets volumen er direkte proportionale mængder, er forholdet mellem to værdier af en mængde (volumen) lig med forholdet mellem to tilsvarende værdier af en anden mængde (vægt), dvs.
(brev R vi udpegede den ukendte vægt af emnet). Herfra:
(G).
Problemet blev løst ved hjælp af proportionsmetoden. Det betyder, at for at løse det, blev der udarbejdet en andel ud fra de tal, der er inkluderet i betingelsen.
§ 134. Værdier er omvendt proportionale.
Overvej følgende problem: “Fem murere kan tilføje murstensvægge hjemme om 168 dage. Bestem, hvor mange dage 10, 8, 6 osv. murere kunne udføre det samme arbejde."
Hvis 5 murere lagde væggene i et hus på 168 dage, så kunne (med samme arbejdsproduktivitet) 10 murere gøre det på den halve tid, da 10 personer i gennemsnit udfører dobbelt så meget arbejde som 5 personer.
Lad os udarbejde en tabel, hvor vi kan overvåge ændringer i antallet af arbejdere og arbejdstimer.
For at finde ud af, hvor mange dage det tager 6 arbejdere, skal du først beregne, hvor mange dage det tager en arbejder (168 5 = 840), og derefter hvor mange dage det tager seks arbejdere (840: 6 = 140). Ser vi på denne tabel, ser vi, at begge mængder fik seks forskellige værdier. Hver værdi af den første mængde svarer til en bestemt; værdien af den anden værdi, for eksempel 10 svarer til 84, tallet 8 svarer til tallet 105 osv.
Hvis vi betragter værdierne af begge mængder fra venstre mod højre, vil vi se, at værdierne af den øvre mængde stiger, og værdierne af den nederste mængde falder. Forøgelsen og faldet er underlagt følgende lov: Værdierne af antallet af arbejdere stiger med de samme gange, som værdierne af den brugte arbejdstid falder. Denne idé kan udtrykkes endnu mere enkelt som følger: Jo flere arbejdere er engageret i enhver opgave, jo mindre tid har de brug for til at fuldføre et bestemt job. De to mængder, vi stødte på i denne opgave, kaldes omvendt proportional.
Således, hvis to mængder er relateret til hinanden på en sådan måde, at når værdien af den ene af dem stiger (falder) flere gange, falder (stiger) værdien af den anden med samme mængde, så kaldes sådanne mængder omvendt proportional .
Der er mange lignende mængder i livet. Lad os give eksempler.
1. Hvis for 150 rubler. Skal du købe flere kilo slik, vil antallet af slik afhænge af prisen på et kilo. Jo højere pris, jo færre varer kan du købe for disse penge; dette kan ses af tabellen:
Da prisen på slik stiger flere gange, falder antallet af kilo slik, der kan købes for 150 rubler, med det samme beløb. I dette tilfælde er to mængder (vægten af produktet og dets pris) omvendt proportional.
2. Hvis afstanden mellem to byer er 1.200 km, så kan den tilbagelægges på forskellige tidspunkter afhængigt af bevægelseshastigheden. Eksisterer forskellige veje transport: til fods, til hest, på cykel, med båd, i bil, med tog, med fly. Jo lavere hastighed, jo længere tid tager det at bevæge sig. Dette kan ses af tabellen:
Ved flere gange hastighedsforøgelse falder rejsetiden lige meget. Det betyder, at under disse forhold er hastighed og tid omvendt proportionale størrelser.
§ 135. Ejendom af omvendt proportionale mængder.
Lad os tage det andet eksempel, som vi så på i det foregående afsnit. Der beskæftigede vi os med to størrelser - hastighed og tid. Hvis vi ser på værditabellen for disse mængder fra venstre mod højre, vil vi se, at værdierne for den første mængde (hastighed) stiger, og værdierne for den anden (tidspunkt) falder, og hastigheden stiger med samme mængde som tiden falder. Det er ikke svært at forstå, at hvis du skriver forholdet mellem nogle værdier af en mængde, så vil det ikke være lig med forholdet mellem de tilsvarende værdier af en anden mængde. Faktisk, hvis vi tager forholdet mellem den fjerde værdi af den øvre værdi og den syvende værdi (40: 80), vil det ikke være lig med forholdet mellem den fjerde og syvende værdi af den nedre værdi (30: 15). Det kan skrives sådan:
40:80 er ikke lig med 30:15 eller 40:80 =/=30:15.
Men hvis vi i stedet for en af disse relationer tager det modsatte, så får vi lighed, dvs. ud fra disse relationer vil det være muligt at skabe en proportion. For eksempel:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Baseret på det foregående kan vi drage følgende konklusion: Hvis to mængder er omvendt proportionale, så er forholdet mellem to vilkårligt optagne værdier af en mængde lig med det omvendte forhold mellem de tilsvarende værdier af en anden mængde.
§ 136. Omvendt proportionalitetsformel.
Overvej problemet: “Der er 6 stykker silkestof i forskellige størrelser og forskellige varianter. Alle dele koster det samme. Et stykke indeholder 100 m stof, prissat til 20 rubler. pr. meter Hvor mange meter er der i hvert af de andre fem stykker, hvis en meter stof i disse stykker koster henholdsvis 25, 40, 50, 80, 100 rubler?” For at løse dette problem, lad os oprette en tabel:
Vi skal udfylde de tomme celler i den øverste række af denne tabel. Lad os først prøve at bestemme, hvor mange meter der er i det andet stykke. Dette kan gøres som følger. Fra betingelserne for problemet er det kendt, at prisen på alle stykker er den samme. Prisen på det første stykke er let at bestemme: det indeholder 100 meter, og hver meter koster 20 rubler, hvilket betyder, at det første stykke silke er 2.000 rubler værd. Da det andet stykke silke indeholder den samme mængde rubler, deler man 2.000 rubler. til prisen af en meter, altså 25, finder vi størrelsen af det andet stykke: 2.000: 25 = 80 (m). På samme måde finder vi størrelsen på alle andre brikker. Tabellen vil se sådan ud:
Det er let at se, at der er en omvendt proportional sammenhæng mellem antal meter og prisen.
Hvis du selv laver de nødvendige udregninger, vil du bemærke, at du hver gang skal dividere tallet 2.000 med prisen på 1 m. Tværtimod, hvis du nu begynder at gange størrelsen af stykket i meter med prisen på 1 m. , vil du altid få tallet 2.000. Dette og det var nødvendigt at vente, da hvert stykke koster 2.000 rubler.
Herfra kan vi drage følgende konklusion: for et givet par af omvendt proportionale størrelser er produktet af enhver værdi af en mængde med den tilsvarende værdi af en anden mængde et konstant tal (dvs. ikke ændres).
I vores problem er dette produkt lig med 2.000. Tjek, at i den forrige opgave, som talte om bevægelseshastigheden og den tid, der kræves for at flytte fra en by til en anden, var der også et konstant tal for det problem (1.200).
Når man tager alt i betragtning, er det let at udlede den omvendte proportionalitetsformel. Lad os betegne en vis værdi af én mængde med bogstavet x , og den tilsvarende værdi af en anden mængde er repræsenteret med bogstavet på . Derefter, baseret på ovenstående, arbejdet x på på skal være lig med en eller anden konstant værdi, som vi betegner med bogstavet TIL, dvs.
x y = TIL.
I denne ligestilling x - multiplikant på - multiplikator og K- arbejde. Ifølge egenskaben multiplikation er multiplikatoren lig med produktet divideret med multiplikanet. Midler,
Dette er den omvendte proportionalitetsformel. Ved at bruge det kan vi beregne et hvilket som helst antal værdier af en af de omvendt proportionale mængder, ved at kende værdierne af den anden og det konstante antal TIL.
Lad os overveje et andet problem: “Forfatteren til et essay beregnede, at hvis hans bog er i et almindeligt format, så vil den have 96 sider, men hvis det er et lommeformat, så vil den have 300 sider. Han forsøgte forskellige varianter, startede med 96 sider, og så havde han 2.500 breve pr. Så tog han sidetallene vist i tabellen nedenfor og beregnede igen, hvor mange bogstaver der ville være på siden."
Lad os prøve at beregne, hvor mange bogstaver der vil være på en side, hvis bogen har 100 sider.
Der er 240.000 bogstaver i hele bogen, da 2.500 96 = 240.000.
Med dette i betragtning bruger vi den omvendte proportionalitetsformel ( på - antal bogstaver på siden, x - antal sider):
I vores eksempel TIL= 240.000 derfor
Der er altså 2.400 bogstaver på siden.
På samme måde lærer vi, at hvis en bog har 120 sider, så vil antallet af bogstaver på siden være:
Vores bord vil se sådan ud:
Udfyld selv de resterende celler.
§ 137. Andre metoder til at løse problemer med omvendt proportionale mængder.
I det foregående afsnit løste vi problemer, hvis betingelser omfattede omvendt proportionale mængder. Vi udledte først den omvendte proportionalitetsformel og anvendte derefter denne formel. Vi vil nu vise to andre løsninger på sådanne problemer.
1. Metode til reduktion til enhed.
Opgave. 5 drejere kan udføre noget arbejde på 16 dage. Hvor mange dage kan 8 drejere udføre dette arbejde?
Løsning. Der er et omvendt forhold mellem antallet af vendere og arbejdstimer. Hvis 5 drejere klarer jobbet på 16 dage, så skal én person bruge 5 gange mere tid til dette, dvs.
5 drejere udfører jobbet på 16 dage,
1 drejer vil fuldføre det på 16 5 = 80 dage.
Problemet spørger, hvor mange dage det vil tage 8 drejere at fuldføre jobbet. Det er klart, at de vil klare arbejdet 8 gange hurtigere end 1 drejer, dvs
80: 8 = 10 (dage).
Dette er løsningen på problemet ved at reducere det til enhed. Her var det først og fremmest nødvendigt at bestemme den tid, der krævedes for at udføre arbejdet af én arbejder.
2. Proportioneringsmetode. Lad os løse det samme problem på den anden måde.
Da der er en omvendt proportional sammenhæng mellem antallet af arbejdere og arbejdstiden, kan vi skrive: varighed af arbejdet på 5 drejere nyt antal drejere (8) varighed af arbejdet på 8 drejere tidligere antal drejere (5) Lad os betegne de krævet varighed af arbejdet ved brevet x og erstatte de nødvendige tal i forholdet udtrykt med ord:
Det samme problem løses ved proportionsmetoden. For at løse det skulle vi lave en proportion ud fra tallene i problemformuleringen.
Bemærk. I de foregående afsnit undersøgte vi spørgsmålet om direkte og omvendt proportionalitet. Naturen og livet giver os mange eksempler på direkte og omvendt proportional afhængighed af mængder. Det skal dog bemærkes, at disse to typer afhængighed kun er de enkleste. Sammen med dem er der andre, mere komplekse afhængigheder mellem mængder. Derudover skal man ikke tro, at hvis to mængder stiger samtidigt, så er der nødvendigvis en direkte proportionalitet mellem dem. Dette er langt fra sandt. Fx vejafgifter for jernbane stiger afhængigt af afstanden: jo længere vi rejser, jo mere betaler vi, men det betyder ikke, at betalingen er proportional med afstanden.
