Uforholdsmæssige mængder. Direkte og omvendte proportionale relationer – Videnshypermarked

Grundlæggende mål:

• introducere begrebet direkte og omvendt proportional afhængighed af mængder;
• lære at løse problemer ved at bruge disse afhængigheder;
• fremme udviklingen af ​​problemløsningsevner;
• konsolidere evnen til at løse ligninger ved hjælp af proportioner;
• gentag trinene med almindelig og decimaler;
• udvikle logisk tænkning studerende.

UNDER UNDERVISNINGEN

JEG. Selvbestemmelse til aktivitet(tilrettelæggelsestid)

- Gutter! I dag i lektionen vil vi stifte bekendtskab med problemer løst ved hjælp af proportioner.

II. Opdatering af viden og registrering af vanskeligheder i aktiviteter

2.1. Mundtligt arbejde (3 min)

– Find betydningen af ​​udtrykkene og find ud af ordet krypteret i svarene.

14 – s; 0,1 – og; 7 – l; 0,2 - a; 17 - c; 25 – til

– Det resulterende ord er styrke. Godt klaret!
– Mottoet for vores lektion i dag: Magt er i viden! Jeg søger - det betyder, at jeg lærer!
– Lav en andel ud fra de resulterende tal. (14:7 = 0,2:0,1 osv.)

2.2. Lad os overveje forholdet mellem de mængder, vi kender (7 min)

– den afstand, som bilen tilbagelægger ved konstant hastighed, og tidspunktet for dens bevægelse: S = v t ( med stigende hastighed (tid) øges afstanden;
– køretøjets hastighed og tid brugt på rejsen: v=S:t(efterhånden som tiden til at rejse stien stiger, falder hastigheden);
– prisen på varer købt til én pris og mængden af ​​dem: C = a · n (med en stigning (fald) i prisen stiger (falder) indkøbsomkostningerne);
– produktets pris og dets mængde: a = C: n (ved en stigning i mængden falder prisen)
– rektanglets areal og dets længde (bredde): S = a · b (med stigende længde (bredde), øges området;
– rektangelets længde og bredde: a = S: b (efterhånden som længden øges, aftager bredden;
– antallet af arbejdere, der udfører noget arbejde med samme arbejdsproduktivitet, og den tid, det tager at fuldføre dette arbejde: t = A: n (med en stigning i antallet af arbejdere, falder tiden brugt på at udføre arbejdet) osv. .

Vi har opnået afhængigheder, hvori, med en stigning i én mængde flere gange, en anden straks øges med samme mængde (eksempler er vist med pile) og afhængigheder, hvor, med en stigning i en mængde flere gange, den anden mængde falder med samme antal gange.
Sådanne afhængigheder kaldes direkte og omvendt proportionalitet.
Direkte proportional afhængighed– et forhold, hvor en værdi stiger (falder) flere gange, så stiger (falder) den anden værdi med samme mængde.
Omvendt proportional sammenhæng– et forhold, hvor en værdi stiger (falder) flere gange, den anden værdi falder (stiger) med samme mængde.

III. Opstilling af en læringsopgave

– Hvilket problem står vi over for? (Lær at skelne mellem direkte og omvendte afhængigheder)
- Det her - mål vores lektion. Formuler nu emne lektie. (Direkte og omvendt proportional sammenhæng).
- Godt klaret! Skriv emnet for lektionen ned i dine notesbøger. (Læreren skriver emnet på tavlen).

IV. "Opdagelse" af ny viden(10 min)

Lad os se på problem nr. 199.

1. Printeren udskriver 27 sider på 4,5 minutter. Hvor lang tid tager det at udskrive 300 sider?

27 sider – 4,5 min.
300 sider - x?

2. Æsken indeholder 48 pakker te, 250 g hver. Hvor mange 150 g pakker af denne te får du?

48 pakker – 250 g.
X? – 150 g.

3. Bilen kørte 310 km og brugte 25 liter benzin. Hvor langt kan en bil køre på en fuld 40L tank?

310 km – 25 l
X? – 40 l

4. Et af koblingsgearene har 32 tænder, og det andet har 40. Hvor mange omdrejninger vil det andet gear lave, mens det første gør 215 omdrejninger?

32 tænder – 315 omdr.
40 tænder – x?

For at kompilere en proportion er en retning af pilene nødvendig; til dette, i omvendt proportionalitet, erstattes ét forhold med det omvendte.

På tavlen finder eleverne betydningen af ​​mængder, på stedet løser eleverne en opgave efter eget valg.

– Formuler en regel for løsning af problemer med direkte og omvendt proportional afhængighed.

En tabel vises på tavlen:

V. Primær konsolidering i ekstern tale(10 min)

Arbejdsark opgaver:

1. Fra 21 kg bomuldsfrø blev der opnået 5,1 kg olie. Hvor meget olie får man fra 7 kg bomuldsfrø?
2. For at bygge stadionet ryddede 5 bulldozere stedet på 210 minutter. Hvor lang tid ville det tage 7 bulldozere at rydde denne side?

VI. Selvstændigt arbejde med selvtest mod standard(5 minutter)

To elever udfører selvstændigt opgave nr. 225 på skjulte tavler, og resten - i notesbøger. De tjekker derefter algoritmens arbejde og sammenligner den med løsningen på tavlen. Fejl korrigeres, og deres årsager bestemmes. Hvis opgaven er udført korrekt, sætter eleverne et "+"-tegn ud for dem.
Studerende, der laver fejl i selvstændigt arbejde, kan bruge konsulenter.

VII. Inklusion i vidensystemet og gentagelse№ 271, № 270.

Seks personer arbejder i bestyrelsen. Efter 3-4 minutter præsenterer elever, der arbejder ved tavlen, deres løsninger, og resten tjekker opgaverne og deltager i deres diskussion.

VIII. Refleksion over aktivitet (lektionsopsummering)

– Hvad nyt lærte du i lektionen?
-Hvad gentog de?
– Hvad er algoritmen til at løse proportionsproblemer?
– Har vi nået vores mål?
– Hvordan vurderer du dit arbejde?

I. Direkte proportionale mængder.

Lad værdien y afhænger af størrelsen x. Hvis ved stigende x flere gange størrelsen på stiger med det samme beløb, derefter sådanne værdier x Og på kaldes direkte proportionale.

Eksempler.

1 . Mængden af ​​købte varer og indkøbsprisen (med en fast pris for en enhed vare - 1 stk eller 1 kg osv.) Hvor mange gange flere varer blev købt, jo flere gange mere betalte de.

2 . Den tilbagelagte distance og den tid, der bruges på den (ved konstant hastighed). Hvor mange gange længere er stien, hvor mange gange længere tid vil det tage at fuldføre den.

3 . Et legemes volumen og dets masse. ( Hvis en vandmelon er 2 gange større end en anden, vil dens masse være 2 gange større)

II. Ejendom af direkte proportionalitet af mængder.

Hvis to mængder er direkte proportionale, så er forholdet mellem to vilkårligt optagne værdier af den første mængde lig med forholdet mellem to tilsvarende værdier af den anden mængde.

Opgave 1. Til hindbærsyltetøj tog vi 12 kg hindbær og 8 kg Sahara. Hvor meget sukker skal du bruge, hvis du tog det? 9 kg hindbær?

Løsning.

Vi begrunder sådan: lad det være nødvendigt x kg sukker til 9 kg hindbær Massen af ​​hindbær og massen af ​​sukker er direkte proportionale mængder: hvor mange gange færre hindbær er, det samme antal gange mindre sukker er nødvendigt. Derfor er forholdet mellem hindbær taget (efter vægt) ( 12:9 ) vil være lig med forholdet mellem sukker, der tages ( 8:x). Vi får andelen:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Svar: på 9 kg hindbær skal tages 6 kg Sahara.

Løsningen af ​​problemet Det kunne gøres sådan her:

Lad være 9 kg hindbær skal tages x kg Sahara.

(Pilene i figuren er rettet i én retning, og op eller ned er ligegyldigt. Betydning: hvor mange gange tallet 12 flere tal 9 , samme antal gange 8 flere tal x, dvs. der er en direkte sammenhæng her).

Svar: på 9 kg Jeg er nødt til at tage nogle hindbær 6 kg Sahara.

Opgave 2. Bil til 3 timer rejste distancen 264 km. Hvor lang tid vil det tage ham at rejse? 440 km, hvis han kører med samme hastighed?

Løsning.

Lad for x timer automobil vil gå afstanden 440 km.

Svar: bilen vil passere 440 km på 5 timer.

Opgave 3. Vand strømmer fra røret ind i poolen. Bag 2 timer hun fylder 1/5 svømmepøl Hvilken del af poolen er fyldt med vand i klokken 5?

Løsning.

Vi besvarer opgavens spørgsmål: for klokken 5 vil blive fyldt 1/x del af poolen. (Hele poolen tages som en helhed).

§ 129. Foreløbige præciseringer.

En person beskæftiger sig konstant med en bred vifte af mængder. En medarbejder og en arbejder forsøger at komme på arbejde til et bestemt tidspunkt, en fodgænger har travlt med at komme til berømt sted Kort fortalt er dampvarmestokeren bekymret for, at temperaturen i kedlen langsomt stiger, forretningsføreren lægger planer for at reducere produktionsomkostningerne mv.

Man kunne give et hvilket som helst antal af sådanne eksempler. Tid, afstand, temperatur, omkostninger - alt dette er forskellige mængder. I første og anden del af denne bog stiftede vi bekendtskab med nogle særligt almindelige størrelser: areal, volumen, vægt. Vi støder på mange mængder, når vi studerer fysik og andre videnskaber.

Forestil dig, at du rejser med et tog. Nu og da kigger du på dit ur og bemærker, hvor længe du har været på farten. Du siger for eksempel, at der er gået 2, 3, 5, 10, 15 timer siden dit tog afgik osv. Disse tal repræsenterer forskellige tidsperioder; de kaldes værdierne af denne mængde (tid). Eller du kigger ud af vinduet og følger vejposterne for at se, hvor langt dit tog kører. Tallene 110, 111, 112, 113, 114 km blinker foran dig. Disse tal repræsenterer de forskellige afstande, toget har tilbagelagt fra dets afgangssted. De kaldes også værdier, denne gang af en anden størrelsesorden (sti eller afstand mellem to punkter). Således kan én mængde, for eksempel tid, afstand, temperatur, tage lige så mange forskellige betydninger.

Bemærk venligst, at en person næsten aldrig kun overvejer én mængde, men altid forbinder den med nogle andre mængder. Han skal forholde sig til to, tre og et stort antal mængder Forestil dig, at du skal i skole ved 9-tiden. Du kigger på dit ur og ser, at du har 20 minutter. Så finder du hurtigt ud af, om du skal tage sporvognen, eller om du kan gå til skole. Efter at have tænkt dig om, beslutter du dig for at gå. Læg mærke til, at mens du tænkte, løste du et eller andet problem. Denne opgave er blevet enkel og velkendt, da du løser sådanne problemer hver dag. I den sammenlignede du hurtigt flere mængder. Det var dig, der kiggede på uret, hvilket betyder, at du tog tiden i betragtning, så forestillede du dig mentalt afstanden fra dit hjem til skolen; til sidst sammenlignede du to størrelser: dit skridts hastighed og sporvognens hastighed og konkluderede, at givet tid(20 min.) Du får tid til at gå. Fra dette simpelt eksempel du ser, at i vores praksis er nogle mængder forbundne, det vil sige, at de afhænger af hinanden

Kapitel tolv talte om sammenhængen mellem homogene størrelser. For eksempel, hvis et segment er 12 m, og det andet er 4 m, vil forholdet mellem disse segmenter være 12: 4.

Vi sagde, at dette er forholdet mellem to homogene mængder. En anden måde at sige dette på er, at det er forholdet mellem to tal ét navn.

Nu hvor vi er mere fortrolige med mængder og har introduceret begrebet værdien af ​​en mængde, kan vi udtrykke definitionen af ​​et forhold på en ny måde. Faktisk, da vi betragtede to segmenter 12 m og 4 m, talte vi om en værdi - længde, og 12 m og 4 m var kun to forskellige betydninger denne værdi.

Derfor, når vi i fremtiden begynder at tale om forhold, vil vi overveje to værdier af en mængde, og forholdet mellem en værdi af en mængde og en anden værdi af samme mængde vil blive kaldt kvotienten for at dividere den første værdi ved den anden.

§ 130. Værdier er direkte proportionale.

Lad os overveje et problem, hvis tilstand omfatter to mængder: afstand og tid.

Opgave 1. En krop, der bevæger sig retlinet og ensartet, bevæger sig 12 cm hvert sekund. Bestem den afstand, kroppen tilbagelægger på 2, 3, 4, ..., 10 sekunder.

Lad os oprette en tabel, der kan bruges til at spore ændringer i tid og afstand.

Tabellen giver os mulighed for at sammenligne disse to rækker af værdier. Vi ser af det, at når værdierne af den første mængde (tid) gradvist stiger med 2, 3,..., 10 gange, så stiger værdierne af den anden mængde (afstand) også med 2, 3, ..., 10 gange. Således, når værdierne af en mængde stiger flere gange, stiger værdierne af en anden mængde med samme mængde, og når værdierne af en mængde falder flere gange, falder værdierne af en anden mængde med samme nummer.

Lad os nu overveje et problem, der involverer to sådanne mængder: mængden af ​​stof og dets omkostninger.

Opgave 2. 15 m stof koster 120 rubler. Beregn prisen på dette stof for flere andre mængder meter angivet i tabellen.

Ved hjælp af denne tabel kan vi spore, hvordan prisen på et produkt gradvist stiger afhængigt af stigningen i dets mængde. På trods af at dette problem involverer helt andre mængder (i det første problem - tid og afstand, og her - mængden af ​​varer og dets værdi), kan der ikke desto mindre findes store ligheder i adfærden af ​​disse mængder.

Faktisk er der i den øverste linje i tabellen tal, der angiver antallet af meter stof; under hver af dem er der et tal, der udtrykker prisen på den tilsvarende mængde varer. Selv et hurtigt blik på denne tabel viser, at tallene i både øverste og nederste række er stigende; ved nærmere undersøgelse af tabellen og ved sammenligning af individuelle kolonner, opdages det, at værdierne af den anden mængde i alle tilfælde stiger med det samme antal gange som værdierne af den første stigning, dvs. første mængde stiger, f.eks. 10 gange, derefter øges værdien af ​​den anden mængde også 10 gange.

Hvis vi kigger gennem tabellen fra højre mod venstre, finder vi det angivne værdier værdier vil falde med samme nummer enkelt gang. I denne forstand er der en ubetinget lighed mellem den første opgave og den anden.

De par af mængder, som vi stødte på i den første og anden opgave kaldes direkte proportional.

Således, hvis to mængder er relateret til hinanden på en sådan måde, at når værdien af ​​den ene af dem stiger (falder) flere gange, så stiger (falder) værdien af ​​den anden med samme mængde, så kaldes sådanne mængder direkte proportionale .

Sådanne mængder siges også at være relateret til hinanden ved et direkte proportionalt forhold.

Der findes mange lignende mængder i naturen og i livet omkring os. Her er nogle eksempler:

1. Tid arbejde (dag, to dage, tre dage osv.) og indtjening, modtaget i denne tid med dagløn.

2. Bind enhver genstand lavet af et homogent materiale, og vægt denne vare.

§ 131. Ejendom af direkte proportionale mængder.

Lad os tage et problem, der involverer følgende to mængder: arbejdstid og indtjening. Hvis den daglige indtjening er 20 rubler, vil indtjeningen i 2 dage være 40 rubler osv. Det er mest bekvemt at oprette en tabel, hvor et vist antal dage svarer til en bestemt indtjening.

Ser vi på denne tabel, ser vi, at begge mængder tog 10 forskellige værdier. Hver værdi af den første værdi svarer til en vis værdi af den anden værdi, for eksempel svarer 2 dage til 40 rubler; 5 dage svarer til 100 rubler. I tabellen er disse tal skrevet under hinanden.

Vi ved allerede, at hvis to mængder er direkte proportionale, så stiger hver af dem, i færd med at ændre sig, lige så mange gange, som den anden stiger. Det følger umiddelbart af dette: hvis vi tager forholdet mellem to vilkårlige værdier af den første mængde, så vil det være lig med forholdet mellem de to tilsvarende værdier af den anden mængde. Ja:

Hvorfor sker dette? Men fordi disse værdier er direkte proportionale, dvs. når en af ​​dem (tid) steg med 3 gange, så steg den anden (indtjening) med 3 gange.

Vi er derfor kommet til følgende konklusion: hvis vi tager to værdier af den første mængde og dividerer dem med hinanden, og derefter dividerer de tilsvarende værdier af den anden mængde med en, så får vi i begge tilfælde samme antal, dvs. det samme forhold. Det betyder, at de to relationer, som vi skrev ovenfor, kan forbindes med et lighedstegn, dvs.

Der er ingen tvivl om, at hvis vi ikke tog disse forhold, men andre, og ikke i den rækkefølge, men i den modsatte rækkefølge, ville vi også opnå ligeværdige forhold. Faktisk vil vi overveje værdierne af vores mængder fra venstre mod højre og tage den tredje og niende værdi:

60:180 = 1 / 3 .

Så vi kan skrive:

Dette fører til følgende konklusion: Hvis to mængder er direkte proportionale, så er forholdet mellem to vilkårligt optagne værdier af den første mængde lig med forholdet mellem de to tilsvarende værdier af den anden mængde.

§ 132. Formel for direkte proportionalitet.

Lad os lave en tabel over omkostningerne ved forskellige mængder slik, hvis 1 kg af dem koster 10,4 rubler.

Lad os nu gøre det på denne måde. Tag et hvilket som helst tal i den anden linje og divider det med det tilsvarende tal i den første linje. For eksempel:

Du ser, at i kvotienten opnås det samme tal hele tiden. For et givet par direkte proportionale mængder er kvotienten for at dividere enhver værdi af en mængde med den tilsvarende værdi af en anden mængde et konstant tal (dvs. ikke ændres). I vores eksempel er denne kvotient 10,4. Dette konstante tal kaldes proportionalitetsfaktoren. I I dette tilfælde det udtrykker prisen på en måleenhed, altså et kilogram varer.

Hvordan finder eller beregner man proportionalitetskoefficienten? For at gøre dette skal du tage en hvilken som helst værdi af en mængde og dividere den med den tilsvarende værdi af den anden.

Lad os betegne denne vilkårlige værdi af én mængde med bogstavet på , og den tilsvarende værdi af en anden mængde - bogstavet x , derefter proportionalitetskoefficienten (vi betegner den TIL) finder vi ved division:

I denne ligestilling på - delelig, x - divisor og TIL- kvotient, og da udbyttet ved divisionsegenskaben er lig med divisoren ganget med kvotienten, kan vi skrive:

y = K x

Den resulterende lighed kaldes formel for direkte proportionalitet. Ved hjælp af denne formel kan vi beregne et hvilket som helst antal værdier af en af ​​de direkte proportionale mængder, hvis vi kender de tilsvarende værdier af den anden mængde og proportionalitetskoefficienten.

Eksempel. Fra fysikken kender vi den vægt R af enhver krop er lig med dens specifikke tyngdekraft d , ganget med volumenet af denne krop V, dvs. R = d V.

Lad os tage fem jernstænger med forskelligt volumen; vide specifik vægt jern (7.8), kan vi beregne vægten af ​​disse emner ved hjælp af formlen:

R = 7,8 V.

Sammenligning af denne formel med formlen på = TIL x , det ser vi y = R, x = V, og proportionalitetskoefficienten TIL= 7,8. Formlen er den samme, kun bogstaverne er forskellige.

Ved hjælp af denne formel, lad os lave en tabel: lad rumfanget af det 1. emne være lig med 8 kubikmeter. cm, så er dens vægt 7,8 8 = 62,4 (g). Rumfanget af det 2. emne er 27 kubikmeter. cm. Dens vægt er 7,8 27 = 210,6 (g). Tabellen vil se sådan ud:

Beregn de tal, der mangler i denne tabel, ved hjælp af formlen R= d V.

§ 133. Andre metoder til at løse problemer med direkte proportionale mængder.

I det foregående afsnit løste vi et problem, hvis tilstand omfattede direkte proportionale mængder. Til dette formål udledte vi først formlen for direkte proportionalitet og anvendte derefter denne formel. Nu vil vi vise to andre måder at løse lignende problemer på.

Lad os skabe et problem ved at bruge de numeriske data i tabellen i det foregående afsnit.

Opgave. Blank med et volumen på 8 kubikmeter. cm vejer 62,4 g. Hvor meget vil et emne med et volumen på 64 kubikmeter veje? cm?

Løsning. Jernvægten er som bekendt proportional med dets volumen. Hvis 8 cu. cm vejer 62,4 g, derefter 1 cu. cm vil veje 8 gange mindre, dvs.

62,4:8 = 7,8 (g).

Blank med et volumen på 64 kubikmeter. cm vil veje 64 gange mere end et 1 kubikmeter emne. cm, dvs.

7,8 64 = 499,2(g).

Vi løste vores problem ved at reducere til enhed. Betydningen af ​​dette navn er begrundet i, at for at løse det var vi nødt til at finde vægten af ​​en volumenhed i det første spørgsmål.

2. Proportioneringsmetode. Lad os løse det samme problem ved hjælp af proportionsmetoden.

Da vægten af ​​jern og dets volumen er direkte proportionale mængder, er forholdet mellem to værdier af en mængde (volumen) lig med forholdet mellem to tilsvarende værdier af en anden mængde (vægt), dvs.

(brev R vi udpegede den ukendte vægt af emnet). Herfra:

(G).

Problemet blev løst ved hjælp af proportionsmetoden. Det betyder, at for at løse det, blev der udarbejdet en andel ud fra de tal, der er inkluderet i betingelsen.

§ 134. Værdier er omvendt proportionale.

Overvej følgende problem: “Fem murere kan tilføje murstensvægge hjemme om 168 dage. Bestem, hvor mange dage 10, 8, 6 osv. murere kunne udføre det samme arbejde."

Hvis 5 murere lagde væggene i et hus på 168 dage, så kunne (med samme arbejdsproduktivitet) 10 murere gøre det på den halve tid, da 10 personer i gennemsnit udfører dobbelt så meget arbejde som 5 personer.

Lad os udarbejde en tabel, hvor vi kan overvåge ændringer i antallet af arbejdere og arbejdstimer.

For at finde ud af, hvor mange dage det tager 6 arbejdere, skal du først beregne, hvor mange dage det tager en arbejder (168 5 = 840), og derefter hvor mange dage det tager seks arbejdere (840: 6 = 140). Ser vi på denne tabel, ser vi, at begge mængder fik seks forskellige værdier. Hver værdi af den første mængde svarer til en bestemt; værdien af ​​den anden værdi, for eksempel 10 svarer til 84, tallet 8 svarer til tallet 105 osv.

Hvis vi betragter værdierne af begge mængder fra venstre mod højre, vil vi se, at værdierne af den øvre mængde stiger, og værdierne af den nederste mængde falder. Forøgelsen og faldet er underlagt følgende lov: Værdierne af antallet af arbejdere stiger med de samme gange, som værdierne af den brugte arbejdstid falder. Denne idé kan udtrykkes endnu mere enkelt som følger: Jo flere arbejdere er engageret i enhver opgave, jo mindre tid har de brug for til at fuldføre et bestemt job. De to mængder, vi stødte på i denne opgave, kaldes omvendt proportional.

Således, hvis to mængder er relateret til hinanden på en sådan måde, at når værdien af ​​den ene af dem stiger (falder) flere gange, falder (stiger) værdien af ​​den anden med samme mængde, så kaldes sådanne mængder omvendt proportional .

Der er mange lignende mængder i livet. Lad os give eksempler.

1. Hvis for 150 rubler. Skal du købe flere kilo slik, vil antallet af slik afhænge af prisen på et kilo. Jo højere pris, jo færre varer kan du købe for disse penge; dette kan ses af tabellen:

Da prisen på slik stiger flere gange, falder antallet af kilo slik, der kan købes for 150 rubler, med det samme beløb. I dette tilfælde er to mængder (vægten af ​​produktet og dets pris) omvendt proportional.

2. Hvis afstanden mellem to byer er 1.200 km, så kan den tilbagelægges på forskellige tidspunkter afhængigt af bevægelseshastigheden. Eksisterer forskellige veje transport: til fods, til hest, på cykel, med båd, i bil, med tog, med fly. Jo lavere hastighed, jo længere tid tager det at bevæge sig. Dette kan ses af tabellen:

Ved flere gange hastighedsforøgelse falder rejsetiden lige meget. Det betyder, at under disse forhold er hastighed og tid omvendt proportionale størrelser.

§ 135. Ejendom af omvendt proportionale mængder.

Lad os tage det andet eksempel, som vi så på i det foregående afsnit. Der beskæftigede vi os med to størrelser - hastighed og tid. Hvis vi ser på værditabellen for disse mængder fra venstre mod højre, vil vi se, at værdierne for den første mængde (hastighed) stiger, og værdierne for den anden (tidspunkt) falder, og hastigheden stiger med samme mængde som tiden falder. Det er ikke svært at forstå, at hvis du skriver forholdet mellem nogle værdier af en mængde, så vil det ikke være lig med forholdet mellem de tilsvarende værdier af en anden mængde. Faktisk, hvis vi tager forholdet mellem den fjerde værdi af den øvre værdi og den syvende værdi (40: 80), vil det ikke være lig med forholdet mellem den fjerde og syvende værdi af den nedre værdi (30: 15). Det kan skrives sådan:

40:80 er ikke lig med 30:15 eller 40:80 =/=30:15.

Men hvis vi i stedet for en af ​​disse relationer tager det modsatte, så får vi lighed, dvs. ud fra disse relationer vil det være muligt at skabe en proportion. For eksempel:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Baseret på det foregående kan vi drage følgende konklusion: Hvis to mængder er omvendt proportionale, så er forholdet mellem to vilkårligt optagne værdier af en mængde lig med det omvendte forhold mellem de tilsvarende værdier af en anden mængde.

§ 136. Omvendt proportionalitetsformel.

Overvej problemet: “Der er 6 stykker silkestof i forskellige størrelser og forskellige varianter. Alle dele koster det samme. Et stykke indeholder 100 m stof, prissat til 20 rubler. pr. meter Hvor mange meter er der i hvert af de andre fem stykker, hvis en meter stof i disse stykker koster henholdsvis 25, 40, 50, 80, 100 rubler?” For at løse dette problem, lad os oprette en tabel:

Vi skal udfylde de tomme celler i den øverste række af denne tabel. Lad os først prøve at bestemme, hvor mange meter der er i det andet stykke. Dette kan gøres som følger. Fra betingelserne for problemet er det kendt, at prisen på alle stykker er den samme. Prisen på det første stykke er let at bestemme: det indeholder 100 meter, og hver meter koster 20 rubler, hvilket betyder, at det første stykke silke er 2.000 rubler værd. Da det andet stykke silke indeholder den samme mængde rubler, deler man 2.000 rubler. til prisen af ​​en meter, altså 25, finder vi størrelsen af ​​det andet stykke: 2.000: 25 = 80 (m). På samme måde finder vi størrelsen på alle andre brikker. Tabellen vil se sådan ud:

Det er let at se, at der er en omvendt proportional sammenhæng mellem antal meter og prisen.

Hvis du selv laver de nødvendige udregninger, vil du bemærke, at du hver gang skal dividere tallet 2.000 med prisen på 1 m. Tværtimod, hvis du nu begynder at gange størrelsen af ​​stykket i meter med prisen på 1 m. , vil du altid få tallet 2.000. Dette og det var nødvendigt at vente, da hvert stykke koster 2.000 rubler.

Herfra kan vi drage følgende konklusion: for et givet par af omvendt proportionale størrelser er produktet af enhver værdi af en mængde med den tilsvarende værdi af en anden mængde et konstant tal (dvs. ikke ændres).

I vores problem er dette produkt lig med 2.000. Tjek, at i den forrige opgave, som talte om bevægelseshastigheden og den tid, der kræves for at flytte fra en by til en anden, var der også et konstant tal for det problem (1.200).

Når man tager alt i betragtning, er det let at udlede den omvendte proportionalitetsformel. Lad os betegne en vis værdi af én mængde med bogstavet x , og den tilsvarende værdi af en anden mængde er repræsenteret med bogstavet på . Derefter, baseret på ovenstående, arbejdet x på på skal være lig med en eller anden konstant værdi, som vi betegner med bogstavet TIL, dvs.

x y = TIL.

I denne ligestilling x - multiplikant på - multiplikator og K- arbejde. Ifølge egenskaben multiplikation er multiplikatoren lig med produktet divideret med multiplikanet. Midler,

Dette er den omvendte proportionalitetsformel. Ved at bruge det kan vi beregne et hvilket som helst antal værdier af en af ​​de omvendt proportionale mængder, ved at kende værdierne af den anden og det konstante antal TIL.

Lad os overveje et andet problem: “Forfatteren til et essay beregnede, at hvis hans bog er i et almindeligt format, så vil den have 96 sider, men hvis det er et lommeformat, så vil den have 300 sider. Han forsøgte forskellige varianter, startede med 96 sider, og så havde han 2.500 breve pr. Så tog han sidetallene vist i tabellen nedenfor og beregnede igen, hvor mange bogstaver der ville være på siden."

Lad os prøve at beregne, hvor mange bogstaver der vil være på en side, hvis bogen har 100 sider.

Der er 240.000 bogstaver i hele bogen, da 2.500 96 = 240.000.

Med dette i betragtning bruger vi den omvendte proportionalitetsformel ( på - antal bogstaver på siden, x - antal sider):

I vores eksempel TIL= 240.000 derfor

Der er altså 2.400 bogstaver på siden.

På samme måde lærer vi, at hvis en bog har 120 sider, så vil antallet af bogstaver på siden være:

Vores bord vil se sådan ud:

Udfyld selv de resterende celler.

§ 137. Andre metoder til at løse problemer med omvendt proportionale mængder.

I det foregående afsnit løste vi problemer, hvis betingelser omfattede omvendt proportionale mængder. Vi udledte først den omvendte proportionalitetsformel og anvendte derefter denne formel. Vi vil nu vise to andre løsninger på sådanne problemer.

1. Metode til reduktion til enhed.

Opgave. 5 drejere kan udføre noget arbejde på 16 dage. Hvor mange dage kan 8 drejere udføre dette arbejde?

Løsning. Der er et omvendt forhold mellem antallet af vendere og arbejdstimer. Hvis 5 drejere klarer jobbet på 16 dage, så skal én person bruge 5 gange mere tid til dette, dvs.

5 drejere udfører jobbet på 16 dage,

1 drejer vil fuldføre det på 16 5 = 80 dage.

Problemet spørger, hvor mange dage det vil tage 8 drejere at fuldføre jobbet. Det er klart, at de vil klare arbejdet 8 gange hurtigere end 1 drejer, dvs

80: 8 = 10 (dage).

Dette er løsningen på problemet ved at reducere det til enhed. Her var det først og fremmest nødvendigt at bestemme den tid, der krævedes for at udføre arbejdet af én arbejder.

2. Proportioneringsmetode. Lad os løse det samme problem på den anden måde.

Da der er en omvendt proportional sammenhæng mellem antallet af arbejdere og arbejdstiden, kan vi skrive: varighed af arbejdet på 5 drejere nyt antal drejere (8) varighed af arbejdet på 8 drejere tidligere antal drejere (5) Lad os betegne de krævet varighed af arbejdet ved brevet x og erstatte de nødvendige tal i forholdet udtrykt med ord:

Det samme problem løses ved proportionsmetoden. For at løse det skulle vi lave en proportion ud fra tallene i problemformuleringen.

Bemærk. I de foregående afsnit undersøgte vi spørgsmålet om direkte og omvendt proportionalitet. Naturen og livet giver os mange eksempler på direkte og omvendt proportional afhængighed af mængder. Det skal dog bemærkes, at disse to typer afhængighed kun er de enkleste. Sammen med dem er der andre, mere komplekse afhængigheder mellem mængder. Derudover skal man ikke tro, at hvis to mængder stiger samtidigt, så er der nødvendigvis en direkte proportionalitet mellem dem. Dette er langt fra sandt. Fx vejafgifter for jernbane stiger afhængigt af afstanden: jo længere vi rejser, jo mere betaler vi, men det betyder ikke, at betalingen er proportional med afstanden.

Vi kan tale uendeligt om fordelene ved at lære ved hjælp af videolektioner. For det første præsenterer de deres tanker klart og forståeligt, konsekvent og på en struktureret måde. For det andet tager de en vis fast tid og er ikke ofte udstrakte og kedelige. For det tredje er de mere spændende for eleverne end de almindelige lektioner, de er vant til. Du kan se dem i en rolig atmosfære.

I mange opgaver fra matematikforløbet vil 6. klasses elever blive konfronteret med direkte og omvendte proportionale sammenhænge. Før du begynder at studere dette emne, er det værd at huske, hvilke proportioner der er, og hvilke grundlæggende egenskaber de har.

Den forrige videolektion er afsat til emnet "Proportioner". Denne er logisk fortsættelse. Det er værd at bemærke, at emnet er ret vigtigt og ofte stødt på. Det er værd at forstå ordentligt én gang for alle.

For at vise vigtigheden af ​​emnet begynder videolektionen med en opgave. Tilstanden vises på skærmen og meddeles af taleren. Dataoptagelsen er givet i form af en form for diagram, så eleven, der ser videooptagelsen, kan forstå bedst muligt. Det ville være bedre, hvis han i første omgang holder sig til denne form for optagelse.

Det ukendte, som det er sædvanligt i de fleste tilfælde, betegnes latinsk bogstav x. For at finde det skal du først gange værdierne på kryds og tværs. Derved opnås ligheden mellem de to forhold. Dette tyder på, at det har at gøre med proportioner, og det er værd at huske deres hovedegenskab. Bemærk venligst, at alle værdier er angivet i samme måleenhed. Ellers var det nødvendigt at reducere dem til én dimension.

Efter at have set løsningsmetoden i videoen, bør du ikke have nogen problemer med sådanne problemer. Taleren kommenterer hvert træk, forklarer alle handlingerne og genkalder det undersøgte materiale, der er brugt.

Umiddelbart efter at have set den første del af videolektionen "Direkte og omvendte proportionale afhængigheder", kan du bede eleven om at løse det samme problem uden hjælp af tip. Bagefter kan du tilbyde en alternativ opgave.

Afhængigt af mentale evner studerende, kan du gradvist øge kompleksiteten af ​​efterfølgende opgaver.

Efter det første overvejede problem er definitionen af ​​direkte proportionale mængder givet. Definitionen læses op af meddeleren. Hovedkonceptet er fremhævet med rødt.

Dernæst demonstreres et andet problem, på grundlag af hvilket det omvendte proportionale forhold forklares. Det er bedst for eleven at skrive disse begreber ned i en notesbog. Om nødvendigt før tests, kan eleven nemt finde alle regler og definitioner og genlæse.

Efter at have set denne video vil en 6. klasse forstå, hvordan man bruger proportioner i bestemte opgaver. Dette er et ret vigtigt emne, som under ingen omstændigheder bør gå glip af. Hvis en elev ikke er i stand til at opfatte det materiale, som læreren præsenterer under en lektion blandt andre elever, vil sådanne pædagogiske ressourcer være en stor redning!

Eksempel

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 osv.

Proportionalitetsfaktor

Et konstant forhold mellem proportionale størrelser kaldes proportionalitetsfaktor. Proportionalitetskoefficienten viser, hvor mange enheder af en mængde er pr. enhed af en anden.

Direkte proportionalitet

Direkte proportionalitet- funktionel afhængighed, hvor en vis mængde afhænger af en anden størrelse på en sådan måde, at deres forhold forbliver konstant. Med andre ord ændrer disse variable sig proportionalt, i lige store dele, det vil sige, hvis argumentet ændres to gange i en hvilken som helst retning, så ændres funktionen også to gange i samme retning.

Matematisk er direkte proportionalitet skrevet som en formel:

f(x) = -enx,-en = const

Omvendt proportionalitet

Omvendt proportionalitet- dette er en funktionel afhængighed, hvor en stigning i den uafhængige værdi (argument) forårsager et proportionalt fald i den afhængige værdi (funktion).

Matematisk omvendt proportionalitet er skrevet som en formel:

Funktionsegenskaber:

Kilder

Wikimedia Foundation. 2010.

Se, hvad "Direkte proportionalitet" er i andre ordbøger:

direkte proportionalitet- - [A.S. Goldberg. Engelsk-russisk energiordbog. 2006] Energiemner generelt EN direkte forhold ... Teknisk oversættervejledning

direkte proportionalitet- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. direkte proportionalitet vok. direkte Proportionalität, f rus. direkte proportionalitet, f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

- (fra latin proportionalis proportional, proportional). Proportionalitet. Ordbog fremmede ord, inkluderet i det russiske sprog. Chudinov A.N., 1910. PROPORTIONALITET lat. proportionalis, proportional. Proportionalitet. Forklaring 25000... ... Ordbog over fremmede ord i det russiske sprog

PROPORTIONALITET, proportionalitet, flertal. nej kvinde (Bestil). 1. abstrakt navneord til proportional. Proportionalitet af dele. Kropsproportionalitet. 2. Et sådant forhold mellem mængder, når de er proportionale (se proportional ... Ordbog Ushakova

To gensidigt afhængige størrelser kaldes proportionale, hvis forholdet mellem deres værdier forbliver uændret Indhold 1 Eksempel 2 Proportionalitetskoefficient ... Wikipedia

PROPORTIONALITET, og, kvinde. 1. se proportional. 2. I matematik: et sådant forhold mellem mængder, hvor en stigning i en af ​​dem medfører en ændring i den anden med samme mængde. Lige linje (med et snit med en stigning i én værdi... ... Ozhegovs forklarende ordbog

OG; og. 1. til proportional (1 værdi); proportionalitet. P. dele. P. fysik. P. repræsentation i folketinget. 2. Matematik. Afhængighed mellem proportionelt skiftende mængder. Proportionalitetsfaktor. Direkte linje (hvori med... ... encyklopædisk ordbog