Rektangulært snit. Bestemmelse af modstandsmoment Elastisk modstandsmoment

Beregningen er baseret på spændings-tøjningskurven (fig. 28), som er en afhængighed etableret fra trækforsøg. For konstruktionsstål har denne afhængighed samme form under kompression.

Til beregninger anvendes normalt et skematisk deformationsdiagram vist i fig. 29. Den første rette linje svarer til elastiske deformationer, den anden rette linje går gennem de tilsvarende punkter

Ris. 28. Deformationsdiagram

flydespænding og trækstyrke. Hældningsvinklen er betydeligt mindre end vinkel a, og til beregningsformål er den anden lige linje nogle gange repræsenteret af en vandret linje, som vist i fig. 30 (tøjningskurve uden hærdning).

Endelig, hvis væsentlige plastiske deformationer tages i betragtning, så kan de sektioner af kurverne, der svarer til elastisk deformation, ignoreres i praktiske beregninger. Så har de skematiserede tøjningskurver formen vist i fig. 31

Fordeling af bøjningsspændinger under elastoplastiske deformationer. For at forenkle problemet skal du overveje en stang med rektangulært tværsnit og antage, at deformationskurven ikke har nogen hærdning (se fig. 30).

Ris. 29. Skematisk tøjningskurve

Ris. 30. Stress-strain kurve uden hærdning

Hvis bøjningsmomentet er således, at bøjningsspændingen er størst (fig. 32), så arbejder stangen i området for elastisk deformation

Ved yderligere forøgelse af bøjningsmomentet opstår der plastiske deformationer i stangens yderste fibre. Lad kl givet værdi plastiske deformationer dækker området fra til. I dette område . Når spændingerne ændres lineært

Fra ligevægtstilstanden, momentet af indre kræfter

Ris. 31. Spændings-tøjningskurve for store plastiske deformationer

Ris. 32. (se scanning) Bøjning af en stang med rektangulært tværsnit i det elastoplastiske stadie

Hvis materialet forblev elastisk under enhver belastning, så den største belastning

ville overstige materialets flydespænding.

Spændingerne ved materialets ideel elasticitet er vist i fig. 32. Under hensyntagen til plastisk deformation, spændinger, der overstiger flydespændingen for ideal elastisk krop, er faldende. Hvis spændingsfordelingsdiagrammerne for et reelt materiale og for et ideelt elastisk materiale adskiller sig fra hinanden (under de samme belastninger), opstår der restspændinger i kroppen efter fjernelse af den ydre belastning, hvis diagram er forskellen mellem diagrammerne for de nævnte belastninger. På steder med størst spænding er restspændinger modsatte i fortegn til spændinger under driftsforhold.

Ultimativt plastisk øjeblik. Af formel (51) følger, at når

værdi, dvs. hele stangens tværsnit er i området for plastisk deformation.

Bøjningsmomentet, hvor plastiske deformationer opstår på alle punkter af sektionen, kaldes det plastiske begrænsende moment. Fordelingen af ​​bøjningsspændinger over sektionen er i dette tilfælde vist i fig. 33.

I området for spænding i området for kompression. Siden fra ligevægtstilstanden deler den neutrale linje sektionen i to lige store (i areal) dele.

For et rektangulært snit, det begrænsende plastiske moment

Ris. 33. Spændingsfordeling under påvirkning af at begrænse plastisk moment

Bøjningsmoment, hvor plastisk deformation kun forekommer i de yderste fibre,

Forholdet mellem det plastiske modstandsmoment og det sædvanlige (elastiske) modstandsmoment for et rektangulært snit

For en I-sektion ved bøjning i planet med størst stivhed er dette forhold -1,3 for et tyndvægget rørformet; for massiv rund sektion 1.7.

I det generelle tilfælde kan bøjningsværdien i sektionens symmetriplan bestemmes på følgende måde (fig. 34); opdel sektionen med en streg i to lige store (i areal) dele. Hvis afstanden mellem disse deles tyngdepunkter er angivet til da

hvor er tværsnitsarealet; - afstanden fra tyngdepunktet for en hvilken som helst halvdel af sektionen til tyngdepunktet for hele sektionen (punkt O er placeret i lige stor afstand fra punkterne

Excentrisk spænding (kompression) er forårsaget af en kraft parallel med bjælkens akse, men ikke sammenfaldende med den. Excentrisk spænding (kompression) kan reduceres til aksial spænding (kompression) og skrå bøjning, hvis kraften overføres P til sektionens tyngdepunkt. Interne kraftfaktorer i et vilkårligt tværsnit af en bjælke er lig med:

Hvor y p, z p- koordinater for kraftens anvendelsespunkt. Baseret på princippet om uafhængighed af virkningen af ​​spændingskræfter i tværsnitspunkter under excentrisk spænding (kompression), bestemmes de af formlen: eller

Hvor er sektionens inerti radius. Udtrykket i parentes i ligningen viser, hvor mange gange spændingerne under excentrisk spænding (kompression) er større end spændingerne ved central spænding.

Bestemmelse af spændinger og belastninger ved stød

Formålet med at beregne en konstruktion for påvirkning er at bestemme de største deformationer og spændinger som følge af påvirkningen.

I kurset om materialers styrke antages det, at de spændinger, der opstår i systemet ved stød, ikke overstiger materialets elasticitets- og proportionalitetsgrænser, og derfor kan Hookes lov anvendes ved undersøgelse af stød. F x = F kontrol = –kx. Dette forhold kommer til udtryk eksperimentelt fastlagt lov Hooke. Koefficienten k kaldes kroppens stivhed. I SI-systemet måles stivhed i newton per meter (N/m). Stivhedskoefficienten afhænger af kroppens form og størrelse samt af materialet. holdning σ = F / S = –Fkontrol / S, hvor S er tværsnitsarealet af den deforme krop, kaldes stress. Så kan Hookes lov formuleres som følger: den relative deformation ε er proportional med spændingen

Den omtrentlige anslagsteori, diskuteret i kurset om materialers styrke, er baseret på hypotesen om, at diagrammet over systemets forskydninger fra belastningen P ved stød (til enhver tid) ligner diagrammet over forskydninger, der opstår fra samme belastning, men virker statisk.

Åh, typiske krybekurver plottet i eksperimenter ved samme temperatur, men ved forskellige spændinger; den anden – ved de samme spændinger, men forskellige temperaturer.

Plastisk modstandsmoment

- plastisk modstandsmoment, lig med summen statiske momenter af den øvre og nedre del af sektionen og har for forskellige sektioner forskellige betydninger. lidt mere end det sædvanlige modstandsmoment; så for et rektangulært snit = 1,5 til rullede I-bjælker og kanaler

Praktiske krybeberegninger

Essensen af ​​at beregne en struktur til krybning er, at deformationen af ​​dele ikke vil overstige det tilladte niveau, hvor den strukturelle funktion vil blive forstyrret, dvs. interaktion af noder over hele strukturens levetid. I dette tilfælde skal betingelsen være opfyldt

efter at have løst hvilket, opnår vi niveauet af driftsspændinger.

Valg af stangtværsnit

Ved løsning af problemer med at vælge sektioner i stænger bruges i de fleste tilfælde følgende plan: 1) Gennem langsgående kræfter i stængerne bestemmer vi designbelastningen. 2) Dernæst, ved hjælp af styrkebetingelsen, vælger vi sektioner i overensstemmelse med GOST. 3) Derefter bestemmer vi de absolutte og relative deformationer.

Ved lave kræfter i sammenpressede stænger foretages valget af tværsnittet efter den angivne maksimale fleksibilitet λ ex. Først bestemmes den nødvendige gyrationsradius: og de tilsvarende hjørner vælges i overensstemmelse med inertieradius. For at gøre det lettere at bestemme de nødvendige tværsnitsdimensioner, så du kan skitsere nødvendige dimensioner hjørner, i tabellen "Omtrentlig værdier af radier" af inerti af sektioner af elementer fra hjørner, er omtrentlige værdier af inerti radier for forskellige sektioner af elementer fra hjørner angivet.

Krybning af materialer

Krybning af materialer er en langsom kontinuerlig plastisk deformation af et fast stof under påvirkning af en konstant belastning eller mekanisk belastning. Alle er modtagelige for krybning i en eller anden grad. faste stoffer både krystallinsk og amorf. Krybning observeres under spænding, kompression, vridning og andre former for belastning. Krybning beskrives ved den såkaldte krybekurve, som repræsenterer belastningens afhængighed af tid kl. konstant temperatur og påført belastning. Den samlede deformation i hver tidsenhed er summen af ​​deformationer

ε = ε e + ε p + ε c,

hvor e er den elastiske komponent; ε р - plastkomponent, der opstår, når belastningen stiger fra 0 til P; ε с - krybedeformation, der opstår over tid ved σ = konst.

Bøjningsspændingen i det elastiske stadie er fordelt i sektionen efter en lineær lov. Spændingerne i de yderste fibre for et symmetrisk snit bestemmes af formlen:

Hvor M – bøjningsmoment;

W- sektionsmodstandsmoment.

Med stigende belastning (eller bøjningsmoment M) spændinger vil stige og nå flydespændingsværdien Ryn.

På grund af det faktum, at kun de yderste fibre i tværsnittet har nået flydegrænsen, og de mindre belastede fibre forbundet med dem stadig kan arbejde, er elementets bæreevne ikke opbrugt. Med en yderligere forøgelse af bøjningsmomentet vil tværsnitsfibrene forlænges, men spændingerne kan ikke være større end R yn . Grænsediagrammet vil være et, hvor den øverste del af sektionen til den neutrale akse er ensartet komprimeret af spændingen R yn . Bæreevne elementet er udtømt, og det kan så at sige dreje rundt om en neutral akse uden at øge belastningen; er dannet plasticitet hængsel.

På stedet for plasthængslet opstår en stor stigning i deformation; strålen modtager en brudvinkel, men kollapser ikke. Typisk mister strålen enten sin overordnede stabilitet eller den lokale stabilitet af sine individuelle dele. Det begrænsende moment svarende til plasticitetshængslet er

hvor Wpl = 2S – plastisk modstandsmoment

S – statisk moment af halvdelen af ​​sektionen i forhold til aksen, der passerer gennem tyngdepunktet.

Det plastiske modstandsmoment, og derfor det begrænsende moment svarende til plasticitetshængslet, er større end det elastiske. Standarderne gør det muligt at tage hensyn til udviklingen af ​​plastiske deformationer for splitvalsede bjælker sikret mod tab af stabilitet og bærer en statisk belastning. Værdierne for plastiske modstandsmomenter tages som følger: for rullede I-bjælker og kanaler:

W pl =1,12W – ved bøjning i væggens plan

Wpl = 1,2W – ved bukning parallelt med hylderne.

For bjælker med rektangulært tværsnit Wpl = 1,5 W.

I henhold til designstandarder kan udviklingen af ​​plastiske deformationer tages i betragtning for svejsede bjælker med konstant tværsnit i forholdet mellem bredden af ​​overhænget af den komprimerede korde og tykkelsen af ​​bæltet og væggens højde til dets tykkelse.

På steder med de højeste bøjningsmomenter er de højeste tangentielle spændinger uacceptable; de skal opfylde betingelsen:

Hvis zonen ren bøjning Det har stor længde, tages det tilsvarende modstandsmoment for at undgå for store deformationer lig med 0,5(W yn +W pl).

I kontinuerlige bjælker tages dannelsen af ​​plasthængsler som grænsetilstand, men på betingelse af at systemet bevarer sin uforanderlighed. Standarderne tillader, ved beregning af kontinuerlige bjælker (valsede og svejsede), at bestemme designbøjningsmomenterne baseret på tilpasningen af ​​støtte- og spændingsmomenterne (forudsat at tilstødende spændvidder ikke afviger mere end 20%).

I alle tilfælde, hvor designmomenterne tages ud fra en antagelse om udvikling af plastiske deformationer (udjævning af momenterne), skal styrken kontrolleres ved hjælp af det elastiske modstandsmoment i henhold til formlen:

Ved beregning af bjælker fra aluminiumslegeringer udviklingen af ​​plastiske deformationer tages ikke i betragtning. Plastdeformationer trænger ikke kun ind i den mest belastede sektion af bjælken på stedet for det største bøjningsmoment, men spredes også langs bjælkens længde. Normalt i bøjningselementer undtagen normal stress fra bøjningsmomentet er der også en tangentiel spænding fra tværkraften. Derfor bør betingelsen for begyndelsen af ​​overgangen af ​​metallet til plastisk tilstand i dette tilfælde bestemmes af de reducerede spændinger s che d:

.

Som allerede bemærket udtømmer indtræden af ​​udbyttet i de yderste fibre (fibre) af sektionen endnu ikke bøjningselementets bæreevne. Med den kombinerede virkning af s og t er den ultimative bæreevne ca. 15% højere end under elastisk drift, og betingelsen for dannelsen af ​​et plastikhængsel er skrevet som:

,

I dette tilfælde bør der være .

I b = W c ·y = 2·100·4,8 3/3 = 7372,8 cm 4 eller b(2y) 3/12 = 100(2·4,8) 3/12 = 7372,8 cm 4 - inertimoment af det konventionelle reducerede afsnit, derefter

f b = 5 9 400 4 /384 275000 7372,8 = 1,45 cm.

Lad os kontrollere den mulige afbøjning på grund af spænding af armeringen.

armeringens elasticitetsmodul E a = 2000000 kgf/cm 2, (2·10 5 MPa),

armeringens betingede inertimoment I a = 10,05 2 3,2 2 = 205,8 cm 4, så

fa = 5 9 400 4 / 384 2000000 160,8 = 7,9 cm

Afbøjningen kan naturligvis ikke være anderledes, hvilket betyder, at som følge af deformation og udligning af spændinger i den komprimerede zone, vil højden af ​​den komprimerede zone falde. Detaljer om bestemmelse af højden af ​​den komprimerede zone er ikke givet her (på grund af pladsmangel); ved y ≈ 3,5 cm vil afbøjningen være cirka 3,2 cm. Den reelle afbøjning vil dog være anderledes, for det første fordi vi ikke tog tage højde for trækdeformationen af ​​beton (det er derfor denne metode og er omtrentlig), for det andet, da højden af ​​den komprimerede zone i beton falder, vil plastiske deformationer stige, hvilket øger den samlede afbøjning. Og derudover, med langvarig påføring af belastninger, fører udviklingen af ​​plastiske deformationer også til et fald i det indledende elasticitetsmodul. Bestemmelse af disse mængder er et særskilt emne.

Så for betonklasse B20 i lang tid effektiv belastning Elasticitetsmodulet kan falde med 3,8 gange (ved en luftfugtighed på 40-75%). Følgelig vil afbøjningen fra betonkompression allerede være 1,45·3,8 = 5,51 cm. Og her vil selv en fordobling af armeringens tværsnit i spændingszonen ikke hjælpe meget - det er nødvendigt at øge bjælkens højde.

Men selvom man ikke tager højde for belastningens varighed, er 3,2 cm stadig en ret stor udbøjning. I henhold til SNiP 2.01.07-85 "Belastninger og stød" vil den maksimalt tilladte nedbøjning af konstruktionsmæssige årsager for gulvplader (så afretningen ikke revner osv.) være l/150 = 400/150 = 2,67 cm. Og da tykkelsen af ​​det beskyttende lag af beton stadig er uacceptabel, bør pladehøjden af ​​strukturelle årsager øges til mindst 11 cm. Dette har dog intet at gøre med bestemmelse af modstandsmomentet.

Styrketest efter grænsetilstande.

– maksimalt bøjningsmoment fra designbelastninger.

Р р =Р n ×n

n – overbelastningsfaktor.

– driftstilstandskoefficient.

Hvis materialet fungerer anderledes i spænding og kompression, kontrolleres styrken ved hjælp af formlerne:

hvor R p og R kompres er den beregnede træk- og trykstyrke

Beregning baseret på bæreevne og under hensyntagen til plastisk deformation.

Ved tidligere beregningsmetoder kontrolleres styrken ved de maksimale spændinger i bjælkens top- og bundfibre. I dette tilfælde er de midterste fibre underbelastet.

Det viser sig, at hvis belastningen øges yderligere, så vil spændingen i de yderste fibre nå flydegrænsen σ t (i plastmaterialer), og til trækstyrken σ n h (i sprøde materialer). Ved yderligere forøgelse af belastningen vil skøre materialer falde sammen, og i duktile materialer øges spændingerne i de ydre fibre ikke yderligere, men vokser i de indre fibre. (se billede)

Bjælkens bæreevne er opbrugt, når spændingen når σ t langs hele tværsnittet.

For et rektangulært snit:

Bemærk: for rullede profiler (kanal og I-bjælke) plastmoment Wnл=(1,1÷1,17)×W

Forskydningsspændinger under bøjning af en rektangulær bjælke. Zhuravskys formel.

Da momentet i sektion 2 er større end momentet i sektion 1, er spændingen σ 2 >σ 1 =>N 2 >N 1.

I dette tilfælde skal elementet abcd flyttes til venstre. Denne bevægelse forhindres af tangentielle spændinger τ på arealet cd.

- ligevægtsligning, efter transformation af hvilken formlen til bestemmelse af τ opnås: - Zhuravskys formel

Fordeling af forskydningsspændinger i bjælker med rektangulære, runde og I-sektioner.

1. Rektangulært snit:

2. Rundt afsnit.

3. I-sektion.

Hovedspændinger under bøjning. Kontrol af styrken af ​​bjælker.

[σ co ]

Bemærk: ved beregning ved hjælp af grænsetilstande, sættes i stedet for [σ kompres ] og [σ р ], R c væske og R p ind i formlerne - den beregnede modstand af materialet under kompression og spænding.

Hvis strålen er kort, skal du kontrollere punkt B:

hvor R forskydning er materialets beregnede forskydningsmodstand.

Ved punkt D er elementet udsat for normal- og forskydningsspændinger, så i nogle tilfælde forårsager deres kombinerede virkning en fare for styrken. I dette tilfælde testes element D for styrke ved hjælp af hovedspændinger.

I vores tilfælde: derfor:

Ved brug af σ 1 Og σ 2 Ifølge styrketeorien kontrolleres element D.

Ifølge teorien om maksimale tangentielle spændinger har vi: σ 1 - σ 2 ≤R

Bemærk: Punkt D skal tages langs bjælkens længde, hvor store M og Q virker samtidigt.

I henhold til strålehøjden vælger vi et sted, hvor værdierne σ og τ fungerer samtidigt.

Fra diagrammerne er det tydeligt:

1. I rektangulær og rund sektion der er ingen punkter, hvor store σ og τ virker samtidigt. Derfor kontrolleres punkt D ikke i sådanne bjælker.

2. I bjælker med et I-snit, ved grænsen af ​​skæringspunktet mellem flangen og væggen (punkt A), virker store σ og τ samtidigt. Derfor er de testet for styrke på dette tidspunkt.

Bemærk:

a) I rullede I-bjælker og kanaler, i området for skæringspunktet mellem flangerne og væggen, jævne overgange(afrundinger). Væg og hylde er valgt, så punkt A er i gunstige driftsforhold, og styrketestning er ikke nødvendig.

b) I sammensatte (svejsede) I-bjælker er inspektion af punkt A nødvendigt.