Talmagt: definitioner, betegnelse, eksempler. Egenskaber for grader, formuleringer, beviser, eksempler

Hovedmål

At gøre eleverne fortrolige med graders egenskaber med naturlige eksponenter og lære dem at udføre operationer med grader.

Emne "Grad og dens egenskaber" indeholder tre spørgsmål:

• Bestemmelse af grad med en naturlig indikator.
• Multiplikation og division af potenser.
• Eksponentiering af produkt og grad.

Sikkerhedsspørgsmål

1. Formuler definitionen af ​​en grad med en naturlig eksponent større end 1. Giv et eksempel.
2. Formuler definitionen af ​​grad med eksponent 1. Giv et eksempel.
3. Hvad er rækkefølgen af ​​operationer, når man beregner værdien af ​​et udtryk, der indeholder potenser?
4. Formuler gradens hovedegenskab.
5. Giv et eksempel.
6. Formuler reglen for at gange potenser med de samme grundtal. Giv et eksempel.
7. Formuler en regel for at dividere potenser med samme grundtal. Giv et eksempel.
8. Formuler reglen for eksponentiering af et produkt. Giv et eksempel. Bevis identiteten (ab) n = a n b n .

Formuler reglen for at hæve en magt til en magt. Giv et eksempel. Bevis identiteten (a m) n = a m n .

Definition af grad. Talmagt-en med naturlig indikator n , større end 1, er produktet af n faktorer, som hver er ens EN , større end 1, er produktet af n faktorer, som hver er ens. Talmagt , større end 1, er produktet af n faktorer, som hver er ens.

med eksponent 1 er tallet selv , større end 1, er produktet af n faktorer, som hver er ens Grad med base med naturlig indikator og indikator er skrevet sådan her: og n , større end 1, er produktet af n faktorer, som hver er ens. Der står " med naturlig indikator til en vis grad , større end 1, er produktet af n faktorer, som hver er ens ”.

"; “ n. potens af et tal

Ved definition af grad:

. . . . . . . . . . . .

a 4 = a a a a At finde værdien af ​​en potens kaldes .

ved eksponentiering

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

1. Eksempler på eksponentiering:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

b) -24 + (-3)2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Mulighed 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Præsenter tallet som et kvadrat:

3. Præsenter tallene som en terning:

1. Eksempler på eksponentiering:

c) -14 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Multiplikation af potenser.

For ethvert tal a og vilkårlige tal m og n gælder følgende:

a m a n = a m + n .

Bevis:

Herske : Når potenser ganges med de samme grundtal, efterlades baserne de samme, og potensernes eksponenter lægges sammen.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Mulighed 1

1. Til stede som en grad:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Præsenter som en grad og find værdien fra tabellen:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Inddeling af grader.

For ethvert tal a0 og vilkårlige naturlige tal m og n, således at m>n gælder følgende:

a m: a n = a m - n

Bevis:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

ved definition af kvotient:

a m: a n = a m - n .

Herske: Når potenser divideres med samme grundtal, efterlades grundtallet det samme, og divisorens eksponent trækkes fra udbyttets eksponent.

Definition: Potensen af ​​et tal a, ikke lig med nul, med en nuleksponent er lig med en:

fordi a n: a n = 1 ved a0.

a) x 4: x 2 = x 4 - 2 = x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7:a = a 7:a 1 = a 7 - 1 = a 6

d) fra 5:fra 0 = fra 5:1 = fra 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

V)

G)

d)

Mulighed 1

1. Præsenter kvotienten som en potens:

2. Find betydningen af ​​udtrykkene:

At hæve til et produkts magt.

For enhver a og b og et vilkårligt naturligt tal n:

(ab) n = a n b n

Bevis:

Per definition af grad

(ab)n=

Gruppering af faktorerne a og faktorerne b separat får vi:

=

Den beviste egenskab ved et produkts kraft strækker sig til produktets kraft af tre eller flere faktorer.

For eksempel:

(a b c) n = a n b n c n;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

Herske: Når man hæver et produkt til en potens, hæves hver faktor til denne potens, og resultatet ganges.

1. Hæv til en magt:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 =2 3 x 3 y 3 = 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 år) 3 = (-5) 3 år 3 = -125 år 3

e) (-0,2 x y) 2 = (-0,2) 2 x 2 y 2 = 0,04 x 2 y 2

e) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Find værdien af ​​udtrykket:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

d)

Mulighed 1

1. Hæv til en magt:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. Find værdien af ​​udtrykket:

b) (5 7 20) 2

At hæve til en magts magt.

For ethvert tal a og vilkårlige naturlige tal m og n:

(a m) n = a m n

Bevis:

Per definition af grad

(a m) n =

Herske: Når man hæver en potens til en potens, efterlades basen den samme, og eksponenterne ganges.

1. Hæv til en magt:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Simplificere udtrykkene:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 = x 6 x 8 = x 14

d) (y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

EN)

b)

Mulighed 1

1. Hæv til en magt:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Simplificere udtrykkene:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y 9) 2

3. Find betydningen af ​​udtrykkene:

Anvendelse

Formuler reglen for at hæve en magt til en magt. Giv et eksempel. Bevis identiteten (a m) n = a m n .

Mulighed 2

1. Skriv produktet som en magt:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bс) (bс) (bс)

2. Præsenter tallet som et kvadrat:

3. Præsenter tallene som en terning:

1. Eksempler på eksponentiering:

c) -13 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Mulighed 3

1. Skriv produktet som en magt:

a) 0,5 0,5 0,5

c) med med med med med med med med

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Præsenter tallet som et kvadrat: 100; 0,49; .

3. Præsenter tallene som en terning:

1. Eksempler på eksponentiering:

c) -15 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Mulighed 4

1. Skriv produktet som en magt:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-a) (-a) (-a)

e) (bс) (bс) (bс) (bc)

2. Præsenter tallet som et kvadrat:

3. Præsenter tallene som en terning:

1. Eksempler på eksponentiering:

c) -14 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Multiplikation af potenser.

Mulighed 2

1. Til stede som en grad:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) y 5 y h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Præsenter som en grad og find værdien fra tabellen:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Mulighed 3

1. Til stede som en grad:

a) a 3 a 5 f) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Præsenter som en grad og find værdien fra tabellen:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Mulighed 4

1. Til stede som en grad:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Præsenter som en grad og find værdien fra tabellen:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Inddeling af grader.

Mulighed 2

1. Præsenter kvotienten som en potens:

2. Find betydningen af ​​udtrykkene.

Formlen nedenfor vil være definitionen grader med naturlig eksponent(a er basis for potensen og den gentagende faktor, og n er eksponenten, som viser, hvor mange gange faktoren gentages):

Dette udtryk betyder, at potensen af ​​et tal a med en naturlig eksponent n er produktet af n faktorer, på trods af at hver af faktorerne er lig med a.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - basisgrad,

5 - eksponent,

1419857 — gradværdi.

En potens med eksponent nul er lig med 1, forudsat at a\neq 0:

a^0=1.

For eksempel: 2^0=1

Når du skal skrive et stort tal, bruger du normalt en potens på 10.

For eksempel levede en af ​​de ældste dinosaurer på Jorden for omkring 280 millioner år siden. Hans alder er skrevet som følger: 2,8 \cdot 10^8 .

Hvert tal større end 10 kan skrives som en \cdot 10^n, forudsat at 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют standard visning tal.

Eksempler på sådanne tal: 6978=6,978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5.

Du kan sige både "a til n. potens" og "n. potens af tallet a" og "a til n. potens".

4^5 - "fire i 5 potens" eller "4 i femte potens" eller du kan også sige "femte potens af 4"

I dette eksempel er 4 grundtallet og 5 er eksponenten.

Lad os nu give et eksempel med brøker og negative tal. For at undgå forvirring er det sædvanligt at skrive andre baser end naturlige tal i parentes:

(7,38)^2 , \left(\frac 12 \right)^7, (-1)^4 osv.

Bemærk også forskellen:

(-5)^6 - betyder potensen af ​​et negativt tal −5 med en naturlig eksponent på 6.

5^6 - svarer til det modsatte tal 5^6.

Egenskaber for grader med naturlig eksponent

Grundlæggende gradsegenskab

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

Grundlaget forbliver det samme, men eksponenterne lægges sammen.

For eksempel: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Ejendom af kvotientbeføjelser med samme grundlag

a^n: a^k=a^(n-k), hvis n > k.

Eksponenterne trækkes fra, men grundtallet forbliver det samme.

Denne begrænsning n > k indføres for ikke at gå ud over de naturlige eksponenter. For n > k vil eksponenten a^(n-k) faktisk være et naturligt tal, ellers vil det enten være et negativt tal (k< n ), либо нулем (k-n ).

For eksempel: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Egenskab ved at hæve en magt til en magt

(a^n)^k=a^(nk)

Grundlaget forbliver det samme, kun eksponenterne ganges.

For eksempel: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

Egenskab for eksponentiering af et produkt

Hver faktor hæves til potensen n.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

For eksempel: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Egenskab for eksponentiering af en brøk

\frac(a^n)(b^n)=\venstre(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0

Både tælleren og nævneren af ​​en brøk hæves til en potens. \venstre(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)

Tidligere talte vi allerede om, hvad en potens af et tal er. Det har visse egenskaber, der er nyttige til at løse problemer: vi analyserer dem og alle mulige eksponenter i denne artikel. Vi vil også tydeligt vise med eksempler, hvordan de kan bevises og anvendes korrekt i praksis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Lad os huske det tidligere formulerede begreb om en grad med en naturlig eksponent: dette er produktet af det n'te antal faktorer, som hver er lig med a. Vi bliver også nødt til at huske, hvordan man multiplicerer reelle tal korrekt. Alt dette vil hjælpe os med at formulere følgende egenskaber for en grad med en naturlig eksponent:

Definition 1

1. Gradens hovedegenskab: a m · a n = a m + n

Kan generaliseres til: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Egenskab for kvotienten for grader med samme grundtal: a m: a n = a m − n

3. Produktgradegenskab: (a · b) n = a n · b n

Ligheden kan udvides til: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Egenskab af kvotient til naturlig grad: (a: b) n = a n: b n

5. Hæv styrken til potensen: (a m) n = a m n ,

Kan generaliseres til: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Sammenlign graden med nul:

• hvis a > 0, så for ethvert naturligt tal n, vil a n være større end nul;
• med en lig med 0, vil a n også være lig med nul;
• ved a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• ved a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Ligestilling a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Uligheden a m > a n vil være sand, forudsat at m og n er naturlige tal, m er større end n og a er større end nul og mindre end en.

Som et resultat fik vi flere ligheder; hvis alle ovennævnte betingelser er opfyldt, vil de være identiske. For hver af lighederne, for eksempel for hovedegenskaben, kan du bytte højre og venstre side: a m · a n = a m + n - det samme som a m + n = a m · a n. I denne form bruges det ofte til at forenkle udtryk.

1. Lad os starte med den grundlæggende egenskab af grad: ligheden a m · a n = a m + n vil være sand for enhver naturlig m og n og reel a. Hvordan beviser man denne erklæring?

Den grundlæggende definition af magter med naturlige eksponenter vil give os mulighed for at transformere lighed til et produkt af faktorer. Vi får en rekord som denne:

Dette kan forkortes til (husk multiplikationens grundlæggende egenskaber). Som et resultat fik vi potensen af ​​tallet a med naturlig eksponent m + n. Således er a m + n, hvilket betyder, at gradens hovedegenskab er bevist.

Lad os ordne det konkret eksempel, bekræfter dette.

Eksempel 1

Så vi har to potenser med base 2. Deres naturlige indikatorer er henholdsvis 2 og 3. Vi har ligheden: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Lad os beregne værdierne for at kontrollere gyldigheden af ​​denne lighed.

Lad os udføre de nødvendige matematiske operationer: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 og 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Som et resultat fik vi: 2 2 · 2 3 = 2 5. Ejendommen er bevist.

På grund af egenskaberne ved multiplikation kan vi generalisere egenskaben ved at formulere den i form af tre og mere potenser, hvis eksponenter er naturlige tal, og hvis grundtal er ens. Hvis vi angiver antallet af naturlige tal n 1, n 2 osv. med bogstavet k, får vi den korrekte lighed:

a n 1 · an 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Eksempel 2

2. Dernæst skal vi bevise følgende egenskab, som kaldes kvotientegenskaben og er iboende i potenser med samme grundtal: dette er ligheden a m: a n = a m − n, som er gyldig for enhver naturlig m og n (og m) er større end n)) og enhver reel a, der ikke er nul.

Lad os til at begynde med præcisere, hvad der præcist er meningen med de forhold, der er nævnt i formuleringen. Hvis vi tager en lig med nul, så ender vi med at dividere med nul, hvilket vi ikke kan (trods alt, 0 n = 0). Betingelsen om at tallet m skal være større end n er nødvendig for at vi kan holde os inden for grænserne for naturlige eksponenter: trækker n fra m, får vi naturligt tal. Hvis betingelsen ikke er opfyldt, ender vi med et negativt tal eller nul, og igen vil vi gå ud over studiet af grader med naturlige eksponenter.

Nu kan vi gå videre til beviset. Fra det, vi tidligere har undersøgt, lad os huske de grundlæggende egenskaber af fraktioner og formulere ligheden som følger:

a m − n · a n = a (m − n) + n = a m

Ud fra det kan vi udlede: a m − n · a n = a m

Lad os huske sammenhængen mellem division og multiplikation. Det følger heraf, at a m − n er kvotienten af ​​potenserne a m og a n . Dette er beviset for den anden grads egenskab.

Eksempel 3

For klarhedens skyld, lad os erstatte specifikke tal i eksponenterne og angive gradens basis som π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Dernæst vil vi analysere egenskaben for et produkts potens: (a · b) n = a n · b n for enhver reel a og b og naturlig n.

Ifølge den grundlæggende definition af en potens med en naturlig eksponent kan vi omformulere ligheden som følger:

Idet vi husker egenskaberne ved multiplikation, skriver vi: . Dette betyder det samme som a n · b n .

Eksempel 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Hvis vi har tre eller flere faktorer, så gælder denne egenskab også for denne sag. Lad os introducere notationen k for antallet af faktorer og skrive:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Eksempel 5

Med specifikke tal får vi følgende korrekte lighed: (2 · (- 2 , 3)​ · a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3)​ 7 · a

4. Efter dette vil vi forsøge at bevise egenskaben for kvotienten: (a: b) n = a n: b n for enhver reel a og b, hvis b ikke er lig med 0 og n er et naturligt tal.

For at bevise dette kan du bruge den tidligere egenskab for grader. Hvis (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n , og (a: b) n · b n = a n , så følger det, at (a: b) n er kvotienten for at dividere a n ved b n.

Eksempel 6

Lad os beregne et eksempel: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Eksempel 7

Lad os starte med det samme med et eksempel: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Lad os nu formulere en kæde af ligheder, der vil bevise for os, at ligheden er sand:

Hvis vi har grader af grader i eksemplet, så gælder denne egenskab også for dem. Hvis vi har nogle naturlige tal p, q, r, s, så vil det være sandt:

a p q y s = a p q y s

Eksempel 8

Lad os tilføje nogle detaljer: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 + 2 + 5 = (5 , 2) 10

6. En anden egenskab ved magter med en naturlig eksponent, som vi skal bevise, er egenskaben for sammenligning.

Lad os først sammenligne graden med nul. Hvorfor er a n > 0, forudsat at a er større end 0?

Hvis vi gange et positivt tal med et andet, får vi også et positivt tal. Når vi kender dette faktum, kan vi sige, at det ikke afhænger af antallet af faktorer - resultatet af at gange et hvilket som helst antal positive tal er et positivt tal. Hvad er en grad, hvis ikke resultatet af at gange tal? Så for enhver potens a n med en positiv base og naturlig eksponent vil dette være sandt.

Eksempel 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 og 34 9 13 51 > 0

Det er også indlysende, at en potens med en basis lig med nul i sig selv er nul. Uanset hvilken magt vi hæver nul til, vil den forblive nul.

Eksempel 10

0 3 = 0 og 0 762 = 0

Hvis gradens basis er et negativt tal, så er beviset lidt mere kompliceret, da begrebet lige/ulige eksponent bliver vigtigt. Lad os først tage tilfældet, når eksponenten er lige, og betegne den 2 · m, hvor m er et naturligt tal.

Lad os huske, hvordan man korrekt multiplicerer negative tal: produktet a · a er lig med produktet af modulerne, og det vil derfor være et positivt tal. Så og graden a 2 m er også positive.

Eksempel 11

For eksempel (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 og - 2 9 6 > 0

Hvad hvis eksponenten med en negativ base er et ulige tal? Lad os betegne det 2 · m − 1 .

Så

Alle produkter a · a, ifølge egenskaberne ved multiplikation, er positive, og det samme er deres produkt. Men hvis vi ganger det med det eneste resterende tal a, så bliver det endelige resultat negativt.

Så får vi: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Hvordan beviser man dette?

en n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Eksempel 12

For eksempel er følgende uligheder sande: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Vi skal bare bevise den sidste egenskab: hvis vi har to potenser, hvis grundtal er identisk og positiv, og hvis eksponenter er naturlige tal, så er den, hvis eksponent er mindre, større; og af to potenser med naturlige eksponenter og identiske baser større end én, er den, hvis eksponent er større, større.

Lad os bevise disse udsagn.

Først skal vi sikre os, at en m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Lad os tage et n ud af parentes, hvorefter vores forskel vil have formen a n · (a m − n − 1) . Resultatet vil være negativt (da resultatet af multiplikation er negativt positivt tal til negativ). Efter alt, ifølge startbetingelserne, m − n > 0, så er a m − n − 1 negativ, og den første faktor er positiv, som enhver naturlig grad med et positivt grundlag.

Det viste sig, at a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Det er tilbage at bevise den anden del af udsagnet formuleret ovenfor: a m > a er sandt for m > n og a > 1. Lad os angive forskellen og sætte et n i parentes: (a m − n − 1) for en større end en vil give et positivt resultat; og selve forskellen vil også vise sig at være positiv på grund af startbetingelserne, og for a > 1 er graden a m − n større end én. Det viser sig, at a m − a n > 0 og a m > a n , hvilket er det, vi skulle bevise.

Eksempel 13

Eksempel med specifikke tal: 3 7 > 3 2

Grundlæggende egenskaber for grader med heltalseksponenter

For potenser med positive heltalseksponenter vil egenskaberne være ens, fordi positive heltal er naturlige tal, hvilket betyder, at alle de ligheder, der er bevist ovenfor, også er sande for dem. De er også velegnede til tilfælde, hvor eksponenterne er negative eller lig med nul (forudsat at selve gradens basis er ikke-nul).

Potens egenskaber er således de samme for alle grundtal a og b (forudsat at disse tal er reelle og ikke lig med 0) og eventuelle eksponenter m og n (forudsat at de er heltal). Lad os skrive dem kort i form af formler:

Definition 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n underlagt positivt heltal n, positivt a og b, a< b

7. kl< a n , при условии целых m и n , m >n og 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Hvis grundtallet for graden er nul, giver indtastningerne a m og a n kun mening i tilfælde af naturlig og positiv m og n. Som et resultat finder vi, at formuleringerne ovenfor også er velegnede til tilfælde med en potens med nul-base, hvis alle andre betingelser er opfyldt.

Beviser for disse egenskaber i i dette tilfælde ukompliceret. Vi bliver nødt til at huske, hvad en grad med en naturlig og heltalseksponent er, samt egenskaberne for operationer med reelle tal.

Lad os se på magt-til-magt-egenskaben og bevise, at den er sand for både positive og ikke-positive heltal. Lad os starte med at bevise lighederne (a p) q = a p q, (a − p) q = a (− p) q, (a p) − q = a p (− q) og (a − p) − q = a (− p) · (− q)

Betingelser: p = 0 eller naturligt tal; q – lignende.

Hvis værdierne af p og q er større end 0, får vi (a p) q = a p · q. Vi har allerede bevist en lignende lighed før. Hvis p = 0, så:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Derfor er (a 0) q = a 0 q

For q = 0 er alt nøjagtigt det samme:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Resultat: (a p) 0 = a p · 0 .

Hvis begge indikatorer er nul, så er (a 0) 0 = 1 0 = 1 og a 0 · 0 = a 0 = 1, hvilket betyder (a 0) 0 = a 0 · 0.

Lad os huske egenskaben af ​​kvotienter i en grad bevist ovenfor og skrive:

1 a p q = 1 q a p q

Hvis 1 p = 1 1 … 1 = 1 og a p q = a p q, så er 1 q a p q = 1 a p q

Vi kan transformere denne notation i kraft af de grundlæggende regler for multiplikation til a (− p) · q.

Også: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

Og (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Gradens resterende egenskaber kan bevises på lignende måde ved at transformere de eksisterende uligheder. Vi vil ikke dvæle ved dette i detaljer, vi vil kun påpege de vanskelige punkter.

Bevis for den næstsidste egenskab: husk, a − n > b − n er sandt for alle heltal negative værdier og enhver positiv a og b, forudsat at a er mindre end b.

Så kan uligheden transformeres som følger:

1 a n > 1 b n

Lad os skrive højre og venstre side som en forskel og udføre de nødvendige transformationer:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Husk, at i tilstanden a er mindre end b, så ifølge definitionen af ​​en grad med en naturlig eksponent: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n ender med at være et positivt tal, fordi dets faktorer er positive. Som et resultat har vi brøken b n - a n a n · b n, som i sidste ende også giver et positivt resultat. Derfor 1 a n > 1 b n hvorfra a − n > b − n , hvilket er, hvad vi skulle bevise.

Den sidste egenskab ved potenser med heltalseksponenter er bevist på samme måde som egenskaben for potenser med naturlige eksponenter.

Grundlæggende egenskaber ved potenser med rationelle eksponenter

I tidligere artikler har vi set på, hvad en grad med en rationel (brøk)eksponent er. Deres egenskaber er de samme som for grader med heltalseksponenter. Lad os skrive ned:

Definition 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 for a > 0, og hvis m 1 n 1 > 0 og m 2 n 2 > 0, så for a ≥ 0 (produktegenskab grader med samme base).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, hvis a > 0 (kvotientegenskab).

3. a · b m n = a m n · b m n for a > 0 og b > 0, og hvis m 1 n 1 > 0 og m 2 n 2 > 0, så for a ≥ 0 og (eller) b ≥ 0 (produktegenskab i brøkgrad).

4. a: b m n = a m n: b m n for a > 0 og b > 0, og hvis m n > 0, så for a ≥ 0 og b > 0 (egenskaben af ​​en kvotient til en brøkpotens).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 for a > 0, og hvis m 1 n 1 > 0 og m 2 n 2 > 0, så for a ≥ 0 (gradegenskab i grader).

6.a s< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0 ; hvis p< 0 - a p >b p (egenskaben til at sammenligne potenser med lige store rationelle eksponenter).

7.a s< a q при условии rationelle tal p og q, p > q ved 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

For at bevise disse bestemmelser skal vi huske, hvad en grad med en brøkeksponent er, hvad er egenskaberne for den aritmetiske rod af den n. grad, og hvad er egenskaberne for en grad med heltalseksponenter. Lad os se på hver ejendom.

Alt efter hvad en grad med en brøkeksponent er, får vi:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 og a m 2 n 2 = a m 2 n 2, derfor a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Rodens egenskaber vil give os mulighed for at udlede ligheder:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Heraf får vi: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Lad os transformere:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Eksponenten kan skrives som:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Dette er beviset. Den anden egenskab er bevist på nøjagtig samme måde. Lad os skrive en kæde af ligheder:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Beviser for de resterende ligheder:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Næste egenskab: lad os bevise, at for alle værdier af a og b større end 0, hvis a er mindre end b, vil a p være opfyldt< b p , а для p больше 0 - a p >b p

Lad os repræsentere det rationelle tal p som m n. I dette tilfælde er m et heltal, n er et naturligt tal. Så betingelser s< 0 и p >0 vil strække sig til m< 0 и m >0 . For m > 0 og a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Vi bruger egenskaben af ​​rødder og output: a m n< b m n

Under hensyntagen til de positive værdier af a og b, omskriver vi uligheden som en m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

På samme måde for m< 0 имеем a a m >b m , får vi a m n > b m n som betyder a m n > b m n og a p > b p .

Det er tilbage for os at fremlægge et bevis på den sidste ejendom. Lad os bevise, at for rationelle tal p og q, p > q ved 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 vil være sandt a p > a q .

Rationelle tal p og q kan reduceres til fællesnævner og få brøkerne m 1 n og m 2 n

Her er m 1 og m 2 heltal, og n er et naturligt tal. Hvis p > q, så m 1 > m 2 (under hensyntagen til reglen for sammenligning af brøker). Så ved 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – ulighed a 1 m > a 2 m.

De kan omskrives som følger:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Så kan du lave transformationer og ende med:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

For at opsummere: for p > q og 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Grundlæggende egenskaber ved grader med irrationelle eksponenter

I en sådan grad kan man udvide alle de ovenfor beskrevne egenskaber, som en grad med rationelle eksponenter har. Dette følger af selve definitionen, som vi gav i en af ​​de foregående artikler. Lad os kort formulere disse egenskaber (betingelser: a > 0, b > 0, eksponenterne p og q er irrationelle tal):

Definition 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6.a s< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b p

7.a s< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, derefter a p > a q.

Således har alle potenser, hvis eksponenter p og q er reelle tal, forudsat a > 0, de samme egenskaber.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

I denne artikel vil vi finde ud af, hvad det er potens af et tal. Her vil vi give definitioner af magten af ​​et tal, mens vi i detaljer vil overveje alle mulige eksponenter, begyndende med den naturlige eksponent og slutter med den irrationelle. I materialet finder du en masse eksempler på grader, der dækker alle de finesser, der opstår.

Sidenavigation.

Potens med naturlig eksponent, kvadrat af et tal, terning af et tal

Lad os starte med . Ser vi fremad, lad os sige, at definitionen af ​​potensen af ​​et tal a med naturlig eksponent n er givet for a, som vi vil kalde gradsgrundlag, og n, som vi vil kalde eksponent. Vi bemærker også, at en grad med en naturlig eksponent bestemmes gennem et produkt, så for at forstå materialet nedenfor skal du have forståelse for at gange tal.

Definition.

Potens af et tal med naturlig eksponent n er et udtryk for formen a n, hvis værdi er lig med produktet af n faktorer, som hver er lig med a, dvs.
Især er potensen af ​​et tal a med eksponent 1 tallet a selv, det vil sige a 1 =a.

Det er værd at nævne med det samme om reglerne for læsning af grader. Den universelle måde at læse notationen a n på er: "a til magten af ​​n". I nogle tilfælde er følgende muligheder også acceptable: "a til n'te potens" og "n'te potens af a". Lad os f.eks. tage potensen 8 12, dette er "otte til tolv potens", eller "otte til tolvte potens", eller "tolvte potens af otte".

Den anden potens af et tal, såvel som den tredje potens af et tal, har deres egne navne. Anden potens af et tal kaldes kvadrat tallet 7 2 læses f.eks. som "syv i kvadrat" eller "kvadratet af tallet syv." Den tredje potens af et tal kaldes kuberede tal 5 3 kan for eksempel læses som "fem terninger", eller du kan sige "terning af tallet 5".

Det er tid til at bringe eksempler på grader med naturlige eksponenter. Lad os starte med graden 5 7, her er 5 gradens basis, og 7 er eksponenten. Lad os give et andet eksempel: 4,32 er grundtallet, og det naturlige tal 9 er eksponenten (4,32) 9 .

Bemærk venligst, at i det sidste eksempel er grundfladen af ​​potensen 4,32 skrevet i parentes: for at undgå uoverensstemmelser, vil vi sætte alle grundtal af potensen, der er forskellige fra naturlige tal, i parentes. Som eksempel giver vi følgende grader med naturlige eksponenter , deres baser er ikke naturlige tal, så de er skrevet i parentes. For fuldstændig klarhed vil vi på dette tidspunkt vise forskellen indeholdt i registreringer af formen (−2) 3 og −2 3. Udtrykket (−2) 3 er en potens af −2 med en naturlig eksponent på 3, og udtrykket −2 3 (det kan skrives som −(2 3) ) svarer til tallet, værdien af ​​potensen 2 3 .

Bemærk, at der er en notation for potensen af ​​et tal a med en eksponent n af formen a^n. Desuden, hvis n er et naturligt tal med flere værdier, er eksponenten taget i parentes. For eksempel er 4^9 en anden notation for potensen 4 9 . Og her er nogle flere eksempler på at skrive grader ved hjælp af symbolet "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) . I det følgende vil vi primært bruge gradnotation af formen a n .

Et af problemerne omvendt til at hæve til en potens med en naturlig eksponent er problemet med at finde grundlaget for potensen ved at kendt værdi grad og kendt indikator. Denne opgave fører til.

Det er kendt, at sættet af rationelle tal består af heltal og brøker, og hver brøktal kan repræsenteres som positiv eller negativ almindelig brøk. Vi definerede en grad med en heltalseksponent i det foregående afsnit, derfor skal vi, for at fuldføre definitionen af ​​en grad med en rationel eksponent, give mening til potensen af ​​tallet a med en brøkeksponent m/n, hvor m er et heltal, og n er et naturligt tal. Lad os gøre dette.

Lad os overveje en grad med en brøkeksponent af formen . For at magt-til-magt-egenskaben forbliver gyldig, skal ligheden holde . Hvis vi tager hensyn til den resulterende lighed og hvordan vi bestemte , så er det logisk at acceptere det, forudsat at givet m, n og a giver udtrykket mening.

Det er let at kontrollere, at for alle egenskaber af en grad med en heltalseksponent er gyldige (dette blev gjort i afsnittet egenskaber for en grad med en rationel eksponent).

Ovenstående begrundelse giver os mulighed for at gøre følgende konklusion: hvis givet m, n og a giver udtrykket mening, så kaldes potensen af ​​a med en brøkeksponent m/n den n'te rod af a i m potens.

Denne erklæring bringer os tæt på definitionen af ​​en grad med en brøkeksponent. Tilbage er blot at beskrive, ved hvad m, n og a udtrykket giver mening. Afhængigt af begrænsningerne på m, n og a er der to hovedtilgange.

Den nemmeste måde er at pålægge a en begrænsning ved at tage a≥0 for positiv m og a>0 for negativ m (da for m≤0 graden 0 af m ikke er defineret). Så får vi følgende definition af en grad med en brøkeksponent.

Definition.

Potens af et positivt tal a med brøkeksponent m/n, hvor m er et heltal, og n er et naturligt tal, kaldes den n'te rod af tallet a i m potens, dvs.

Også defineret brøkkraft nul med det eneste forbehold, at indikatoren skal være positiv.

Definition.

Potens af nul med positiv brøkeksponent m/n, hvor m er et positivt heltal, og n er et naturligt tal, er defineret som .
Når graden ikke er bestemt, det vil sige graden af ​​tallet nul med en negativ brøkeksponent giver ikke mening.

Det skal bemærkes, at med denne definition af en grad med en brøkeksponent er der én advarsel: For nogle negative a og nogle m og n giver udtrykket mening, og vi kasserede disse tilfælde ved at introducere betingelsen a≥0. For eksempel giver posterne mening eller , og definitionen ovenfor tvinger os til at sige, at magter med en brøkeksponent af formen giver ikke mening, da basen ikke bør være negativ.

En anden tilgang til at bestemme en grad med en brøkeksponent m/n er at betragte lige og ulige eksponenter af roden separat. Denne tilgang kræver en yderligere betingelse: potensen af ​​tallet a, hvis eksponent er , anses for at være potensen af ​​tallet a, hvis eksponent er den tilsvarende irreducerbare brøk (vi vil forklare vigtigheden af ​​denne betingelse nedenfor ). Det vil sige, at hvis m/n er en irreducerbar brøk, så erstattes graden for ethvert naturligt tal k først med .

For lige n og positiv m giver udtrykket mening for ethvert ikke-negativt a (en lige rod af et negativt tal giver ikke mening for negativt m, tallet a skal stadig være forskelligt fra nul (ellers vil der være division). med nul). Og for ulige n og positiv m kan tallet a være et hvilket som helst (en ulige rod er defineret for enhver reelle tal), og for negativ m skal tallet a være ikke-nul (så der ikke er division med nul).

Ovenstående ræsonnement fører os til denne definition af en grad med en brøkeksponent.

Definition.

Lad m/n være en irreducerbar brøk, m et heltal og n et naturligt tal. For enhver reducerbar brøk erstattes graden af ​​. Potensen af ​​et tal med en irreducerbar brøkeksponent m/n er for



Lad os forklare, hvorfor en grad med en reducerbar brøkeksponent først erstattes af en grad med en irreducerbar eksponent. Hvis vi blot definerede graden som , og ikke tog forbehold for irreducerbarheden af ​​brøken m/n, så ville vi stå over for situationer svarende til følgende: da 6/10 = 3/5, så må ligheden holde , Men , A .