Multiplikation af monomialer, hæve til naturlige kræfter. Lektion "at hæve en monomial til en magt"

§ 1 Multiplikation af monomialer. Eksponentiering

I denne lektion vil vi lære, hvordan man multiplicerer monomialer, og også stifte bekendtskab med reglerne for at hæve monomialer til naturlige kræfter.

Lad os starte med et eksempel. Multiplicer monomial 2аb4 med monomial -3а2b. Se, hvordan denne opgave ser ud skrevet i matematisk sprog:

2аb4 ∙ (-3а2b)

Faktisk har vi et nyt monomial skrevet foran os - monomialet er ikke standard visning. Og alt, hvad vi skal gøre, er at bringe det til en standardform. Lad os huske:

Et monomial af standardform er et monomial bestående af produktet af kun én numerisk faktor, der optræder i første omgang, og bogstavfaktorer, som hver kun forekommer én gang.

I vores eksempel skal vi gange de numeriske faktorer 2 og -3 og derefter udføre multiplikation af potenser med de samme grundtal a og b. Vi får:

2аb4∙ (-3а2b) = 2 ∙ (-3) ∙ а ∙ а2 ∙ b4 ∙ b = -6а3b5

Som du kan se, kræver multiplikation af monomialer ingen yderligere regler. Du kan også udføre den omvendte operation, dvs. repræsentere en monomial som produktet af to eller flere monomialer. For eksempel repræsentere monomialet 12a3b6 som et produkt af to monomialer. Denne opgave kan have flere løsninger:

12а3b6 = (2аb) ∙ (6а2b5) eller 12а3b6 = (4а2b3) ∙ (3аb3) eller 12а3b6 = (-а3вb4) ∙ (-12b2) osv.

Lad os nu gå videre til at hæve en monomial til en naturlig kraft. Lad os starte igen med et eksempel. Kvadret monomialet 4x3y5. Lad os skrive denne situation i matematisk sprog og få følgende indgang:

Vi ser eksponentieringen af ​​et produkt, og vi er allerede bekendt med denne regel.

For at hæve et produkt til en magt, skal du hæve hver faktor til den magt. For at hæve en grad til en grad skal du desuden lade grundtallet være det samme og gange eksponenterne.

(4x3y5)2 = 42 ∙ (x3)2 ∙ (y5)2 = 16 x6y10

Her kan du også gøre omvendte handlinger, dvs. repræsentere en monomial som en magt af en anden monomial.

§ 2 Eksempler om lektionens emne

Eksempel 1. Repræsenter monomiet 27a3b6 som en terning af et andet monomial.

Bemærk at 27 = 33; a3 er terningen af ​​a; b6 kan repræsenteres som (b2)3.

27а3b6 = (3аb2)3

Eksempel 2. Fremstil monomialet 27a3b6 som et kvadrat af et monomial.

Bemærk, at faktoren b6 kan repræsenteres som (b3)2. Men tallet 27 er ikke kvadratet af et hvilket som helst tal, og faktoren a3 kan ikke repræsenteres som et kvadrat af nogen naturlig magt. Alt dette tyder på, at vi står over for et problem, der ikke har nogen løsninger. I sådanne tilfælde bruger matematikere udtrykket dårligt stillet problem. Forkerte inkluderer forskellige slagsåbenbart umulige opgaver. For eksempel er opgaven med at tilføje monomialer 2a og 3b forkert, fordi Disse er uens monomialer; de kan ikke tilføjes. Eller denne opgave:

Du kan ikke dividere med 0, så denne opgave er forkert.

Liste over brugt litteratur:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. klasse i 2 dele, del 1, Lærebog for uddannelsesinstitutioner/ A.G. Mordkovich. – 10. udgave, revideret – Moskva, “Mnemosyne”, 2007
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. klasse i 2 dele, Del 2, Opgavebog for uddannelsesinstitutioner / [A.G. Mordkovich og andre]; redigeret af A.G. Mordkovich - 10. udgave, revideret - Moskva, "Mnemosyne", 2007
3. HENDE. Tulchinskaya, Algebra 7. klasse. Blitz-undersøgelse: en manual for studerende ved almene uddannelsesinstitutioner, 4. udgave, revideret og udvidet, Moskva, "Mnemosyne", 2008
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. klasse. Tematisk testarbejde V ny form for studerende ved almene uddannelsesinstitutioner, redigeret af A.G. Mordkovich, Moskva, "Mnemosyne", 2011
5. Alexandrova L.A. Algebra 7 klasse. Selvstændigt arbejde for studerende ved almene uddannelsesinstitutioner, redigeret af A.G. Mordkovich - 6. udgave, stereotypisk, Moskva, "Mnemosyne", 2010

Dette giver dig mulighed for at introducere endnu en handling - at hæve et monomial til en magt. Nedenfor får vi reglen for at hæve en monomial til en potens med en naturlig eksponent og overveje løsninger på eksempler for at forstå alle nuancerne.

Sidenavigation.

Reglen for at hæve en monomial til en magt

Lad os gennemgå alle de trin, der skal tages for at hæve en monomial til en magt. Den nemmeste måde at gøre dette på er at se på et specifikt eksempel.

Lad os tage en monomial af standardformen, for eksempel 2 x y 5, og hæve den for eksempel til tredje potens. Opgaven besvares med udtrykket (2 x y 5) 3, som er produktet af tre faktorer 2, x og y 5 i tredje potens. Det er muligt at udføre en identisk transformation af det skrevne udtryk, og ansøgningen antyder umiddelbart sig selv. Først bruger vi produktkraftegenskaben: (2 x y 5) 3 = 2 3 x 3 (y 5) 3. Når vi nu vender os til egenskaben magter til magter, erstatter vi (y 5) 3 med y 15 og får 2 3 x 3 (y 5) 3 =2 3 x 3 y 15. Du kan også lave nummer 2. Da 2 3 =8, kommer vi i sidste ende frem til udtrykket 8 x 3 y 15. Det er klart, at det repræsenterer et monomial af standardform.

Fra ovenstående ræsonnement er for det første alle de handlinger, der udgør processen med at hæve en monomial til en magt, tydeligt synlige. Lad os sætte dem sammen i formen regler for at hæve en monomial til en magt.

For at hæve en monomial til en magt, har du brug for

• skriv det tilsvarende udtryk ned;
• anvende egenskaben ved at hæve et produkt til en magt;
• anvende egenskaben for at hæve potenser til potenser og beregne potenser af tal.

For det andet er det klart ud fra det ovenfor omtalte eksempel resultatet af at hæve en monomial til en magt er en ny monomial. Her bemærker vi, at hvis det originale monomial er skrevet i standardform, så opnås et monomial af standardform efter at have hævet det til en potens. Hvis den originale monomial er givet i en anden form end standardformen, er det tilrådeligt at reducere denne monomial til standardformen, før den hæves til en magt. Hvis dette ikke gøres, skal det monomial, der opnås efter anvendelse af reglen skrevet ovenfor, reduceres til standardform. Vi vender tilbage til dette punkt i næste afsnit.

Eksempler

Det er tid til at løse nogle eksempler på at hæve monomialer til magter. Dette vil hjælpe med at øve dig i at anvende reglen fra det foregående afsnit. Lad os starte med simple eksempler.

Eksempel.

Hæv monomialerne til de angivne potenser: (x·y) 10 og (−0,3·a 2 ·b 3 ·c 4) 3.

Løsning.

For at hæve det første monomial til en potens, anvender vi reglen for at hæve et produkt til en potens: (x·y) 10 =x 10 ·y 10. Der er ingen grund til at gøre andet, da det resulterende udtryk hverken indeholder magtmagter eller talmagter.

Lad os gå videre. Først laver vi følgende overgang: . I det sidste udtryk er det tilbage at erstatte graden med dens værdi. Siden da .

Kort hævning af en monomial til en magt for denne sag ser sådan ud: .

Lad os gå videre til den sidste opgave. Først hæver vi produktet til en magt: (−0,3 a 2 b 3 c 4) 3 =(−0,3) 3 (a 2) 3 (b 3) 3 (c 4) 3. Det er tilbage at bruge potensernes egenskab til potenser og også beregne (−0,3) 3 . Da (a 2) 3 =a 2 3 =a 6, (b 3) 3 =b 3 3 =b 9, (c 4) 3 =c 4 3 =c 12 og (−0,3) 3 =(−0,3)·(−0,3)·(−0,3)=−0,027, så ender vi med −0,027 · a 6 · b 9 · c 12 .

Her kort løsning: (−0,3 a 2 b 3 c 4) 3 = (−0,3) 3 ·(a 2) 3 ·(b 3) 3 ·(c 4) 3 =−0,027 a 6 b 9 c 12 .

Svar:

(x y) 10 =x 10 y 10, Og (−0,3 a 2 b 3 c 4) 3 =−0,027 a 6 b 9 c 12.

I det følgende eksempel vil vi sikre os, at som et resultat af at hæve til en potens en monomial i en anden form end standardformen og den tilsvarende monomial i standardformen, opnås identisk lige monomialer.

Eksempel.

Kvadret monomialet 2 x 3 5 x.

Løsning.

Det originale monomial er ikke skrevet i standardform. Lad os kvadrere det: (2 x 3 5 x) 2 =2 2 (x 3) 2 5 2 x 2 =4 x 6 25 x 2. Hvis det resulterende monomial præsenteres i standardform, vil det have formen 100 x 8.

Nu skriver vi først det oprindelige polynomium i standardformen 2 x 3 5 x = 10 x 4, og nu hæver vi det resulterende monomial til anden potens: (10 x 4) 2 =10 2 (x 4) 2 =100 x 8.

Vi fik naturligvis samme resultat. Således kan du hæve monomialer til en potens i en anden form end standardformen, eller først bringe dem til en standardform og derefter hæve dem til en potens - resultatet vil være det samme.

Svar:

(2 x 3 5 x) 2 =100 x 8.

Endelig er det værd at være opmærksom på eksponentieringen af ​​monomialer, der ikke indeholder numeriske faktorer, men er forudgået af et minustegn, for eksempel −x, −a 4 · b 7 · c 2 osv. I disse tilfælde er koefficienten for monomialet −1, og det ville ikke skade at skrive det ned eksplicit, før du udfører eksponentieringen. Dette vil hjælpe med at undgå fejl.

I denne lektion Vi vil se på operationerne med at multiplicere og hæve monomialer til naturlige kræfter, og finde ud af hvilke monomialer, der kan bruges til at udføre disse operationer. Lad os huske reglen for at hæve en magt til en magt. Lad os lære at løse nogle typiske problemer, nemlig forenkling af udtryk, eksponentiering og det omvendte problem.

Emne:Monomier. Aritmetiske operationer på monomer

Lektie:Multiplicer monomialer, hæver til naturlige kræfter

Fra tidligere lektioner huskede vi, at du kan tilføje og subtrahere monomer, men kun lignende, men du kan multiplicere og hæve alle monomer til en naturlig styrke. Lad os finde ud af, hvorfor dette er muligt ved at se på eksempler.

Eksempel 1:. Denne monomial er reduceret til standardform. Hvad vil det sige at gange det med en anden monomial?

;

Og multiplicer alt dette med det tredje monomial:

;

Som et resultat modtog vi et monomial - produktet af tal og potenser, i en ikke-standard form. Det følger heraf, at alle monomer kan multipliceres.

Lad os reducere den resulterende monomial til standardform:

Da at hæve til en magt i virkeligheden er at multiplicere et monomial med sig selv et vist antal gange, og enhver monomial kan multipliceres, har vi al ret til at hæve monomialer, og igen enhver, til en naturlig magt.

Lad os se på eksempler.

Eksempel 1:

Eksempel 2:

Eksempel 3:

Kommentarer til eksempel 1-3: når du multiplicerer to eller flere monomialer, er resultatet et nyt monomial af ikke-standardform, derfor behøver du kun at konvertere denne nye monomial til standardform for at udføre multiplikationsoperationen.

Lad os se på eksempler på at hæve en monomial til en magt.

Eksempel 1:

Eksempel 2:

Eksempel 3:

Eksempel 4:

Kommentarer til eksempel 1-4: Når du hæver en monomial til en potens, skal du først hæve dens koefficient til en potens, og derefter bogstavdelen. For at gøre dette skal du huske reglen for at hæve en grad til en potens, nemlig at eksponenter ganges. Derudover, når du løser eksempel 3 og 4, skal du huske, at "-1" til enhver lige potens vil give "1", og til en ulige potens vil det give "-1".

Lad os overveje typiske opgaver:

Eksempel 1: og

Da "2" er en naturlig kraft, og vi kan hæve en monomial til enhver naturlig kraft, lad os udføre den første handling:

For at løse den anden handling skal vi huske, at ethvert tal til nulpotensen er et, forudsat at dette tal ikke er nul, da det ikke har nogen betydning, det vil sige, vi har ret til at skrive:

Eksempel 2: i stedet for "*"-tegnet skal du sætte et monomial, således at ligheden gælder:

Koefficienten på venstre side er stadig tre, og til højre - ni, hvilket betyder, at venstre side mangler tre; variablen b på venstre side er i anden potens, og til højre til tredje potens, hvilket betyder, at venstre side skal ganges med b til første potens:

Overvej følgende typisk opgave. Repræsenter dette monomial som kvadratet af et monomial:

Eksempel 1: ;

Du skal bestemme, hvilket monomium du skal kvadre for at få det givne.

For at få 81 skal du firkante 9, det vil sige koefficienten for det ønskede monomial er 9.

For at få , skal vi placere det i kvadrat, så vi har:

;

Men spørgsmålet opstår: er det svar, vi har givet, entydigt? Er det muligt at finde et andet monomial, der, når kvadreret, vil give det givne monomial?

For at besvare dette spørgsmål, lad os huske, at , det vil sige, at der er endnu et monomial, der, når det er kvadreret, vil give os det givne - det er .

Eksempel 2:

Dette eksempel er løst på samme måde som det foregående.

Overvej forenklingsproblemet

Eksempel 1:

Konklusion: i denne lektion så vi på operationerne med at multiplicere monomialer og hæve dem til en naturlig kraft, og lærte, hvordan man løser nogle typiske problemer.

>>Matematik: Multiplicere monomialer, hæve en monomial til en naturlig kraft

Multiplikation af monomer. At hæve en monomial til en naturlig kraft

Find produktet af tre monomer: 2a 2 bc 5,
Løsning. Vi har:

Simplificere udtrykket (- 2a 2 bc 3) 5 (det vil sige, repræsentere det som et monomial).

Opløsning (- 2a 2 bc 3) 5 = - 2 5 (a 2) 5 b 5 (c 3) 5 = -32a 10 b 5 c15.

Vi brugte for det første det faktum, at når vi hæver et produkt til en magt, skal vi hæve hver faktor til denne magt. Derfor har vi posten 2 5 (a 2) 5 b5(c 3) 5.

For det andet udnyttede vi det faktum, at (- 2) 5 = - 2 5.

For det tredje brugte vi det faktum, at når man hæver en potens til en potens, multipliceres eksponenterne. Derfor skrev vi i stedet for (a 2) 5 en 10, og i stedet for (c 3) 5 skrev vi c 15.

Repræsenter monomierne 36a 2 b 4 c 5 som et produkt af monomialer.

Løsning. Her, som i eksempel 2 fra § 10, er løsningen ikke enestående. Her er nogle løsninger:

36a 2 b 4 c 5 = (18a 2) (2b 4 c 5);
36a 2 b 4 c 5 =(36abc) (ab 3 c 4),
36a 2 b 4 c 5 = (- 3b 4) (- 12a 2 c 5);
36a 2 b 4 c 5 =(2a 3) (3bc) (6b 3 c 4)

Prøv selv at komme med et par flere løsninger til eksempel 3.

A. V. Pogorelov, Geometri for klasse 7-11, Lærebog for uddannelsesinstitutioner

Lektionens indhold lektionsnotater understøttende frame lektion præsentation acceleration metoder interaktive teknologier Øve sig opgaver og øvelser selvtest workshops, træninger, cases, quests lektier diskussion spørgsmål retoriske spørgsmål fra elever Illustrationer lyd, videoklip og multimedier fotografier, billeder, grafik, tabeller, diagrammer, humor, anekdoter, vittigheder, tegneserier, lignelser, ordsprog, krydsord, citater Tilføjelser abstracts artikler tricks for de nysgerrige krybber lærebøger grundlæggende og supplerende ordbog over begreber andet Forbedring af lærebøger og lektionerrette fejl i lærebogen opdatering af et fragment i en lærebog, elementer af innovation i lektionen, udskiftning af forældet viden med ny Kun for lærere perfekte lektioner kalenderplan for et år retningslinier diskussionsprogrammer Integrerede lektioner

At hæve ethvert naturligt monomial til en potens er ledsaget af anvendelsen af ​​reglerne for standard multiplikation. Overvej dette eksempel:

For at finde værdien af ​​dette udtryk udfører vi term-for-term multiplikation:

(ah) 4 = ah*ah*ah*ah

Som vi husker, multipliceres alle variabler i et monomial faktisk. Med andre ord er den monomiale økse det skjulte produkt af a og x. Derfor kan vi med tillid sige, at:

ah*ah*ah*ah = ahahahah

På den anden side giver produktet af et hvilket som helst antal af alle monomer også et monomial. Strengt taget er der ingen forskel mellem produktet af monomialer og et generelt monomial. Det skjulte eller eksplicitte multiplikationstegn spiller ikke en særlig rolle og afspejles ikke på nogen måde i det samlede resultat. Ved omgruppering får vi:

ahahahah = aaaahhhh = a 4 x 4

Lad os sammenligne dette udtryk med den oprindelige version:

(ah) 4 = a 4 x 4

At hæve et monomial bestående af to variable x og y til potensen n fører til et nyt monomial, hvor både x og y har potens n:

(xy) n = (x) n (y) n

Denne regel fungerer godt for et vilkårligt antal variabler i en monomial. For eksempel, for den monomiale ashu, vil terninger se sådan ud:

(askhu) 3 = (a) 3 (c) 3 (x) 3 (y) 3

For at hæve et monomial bestående af mange elementer til en potens, er det således nødvendigt at hæve hvert af disse elementer til en given potens og gange resultaterne, så der opnås et monomial. Basen af ​​resultatet vil ligne den oprindelige monomial. Glem ikke, at det frie udtryk også er et element i en monomial og skal hæves til en magt.

Lad os finde værdien af ​​et udtryk for formen:

Som vi ser, består det givne monomial af tre elementer - faktorer: a, x og (-3). Vi hæver hver af dem til tredje potens og multiplicerer det resulterende resultat og skjuler multiplikationstegnene. I dette tilfælde kan du straks beregne værdien af ​​terningen (-3):

(-3ax) 3 = -27a 3 x 3

(a4) 2 = (a4)*(a4) = (aaaa)(aaaa) = (a) 8

Vi har opnået et monomial, der kan reduceres til basen og eksponenten for den nye magt. Når en base x med grad a hæves til grad y, får vi et udtryk på formen (x)ay. Med andre ord, i sådanne tilfælde ganges graderne med hinanden.

Inddelingsregler magtudtryk har fællestræk med arbejdets regler. Faktisk, lad os udføre term-for-term beregninger og transformere den resulterende monomial:

(x/y) 3 = (x/y)*(x/y)*(x/y) = x 3/y 3

Når vi terninger for en brøk, ganger vi den brøk tre gange. Ifølge loven om multiplikation af brøker modtog vi udbytteterningen og divisorens terning i den nye brøk. Ligesom i tilfælde af multiplikation overføres graden blot til hvert element i monomialet ved at åbne parenteserne.

Det skal forstås, at operationen med at placere en grad i parentes i tilfælde af multiplikation og division inden for en monomial er altid en proces med at multiplicere den ydre grad med hver grad indre elementer. Hvis det ikke er visuelt angivet, betyder det, at det er lig med én, og multiplikation med én giver det oprindelige resultat. Derudover bør man skelne mellem udtryk af formen akse 4, a(xy) 4, (akse) 4, fordi graden over parentes udelukkende refererer til det indre indhold, uden at det påvirker de resterende elementer af monomiet:

ahu 4 = ahu 4

a(xy) 4 = ax 4 y 4

(ahu) 4 = a 4 x 4 y 4

Lad os løse denne praktiske øvelse. Lad os finde betydningen af ​​udtrykket:

Vi bruger de ovenfor beskrevne egenskaber og hæver monomialen til sjette potens:

(-3x 3 y 2) 6 = (-3) 6 * (x 3) 6 * (y 2) 6 = 729x18y12

Alle egenskaber ved multiplikation og division af potensudtryk virker også med baser, der har en potens af nul, forudsat at disse grundtal ikke er lig med nul.