Faldende progression. Geometrisk progression. Eksempel med løsning

Geometrisk progression er en numerisk sekvens, hvis første medlem er ikke-nul, og hvert efterfølgende medlem er lig med det foregående medlem ganget med det samme ikke-nul tal.

Begrebet geometrisk progression

Geometrisk progression betegnes b1,b2,b3, …, bn, ….

Forholdet mellem ethvert led i den geometriske fejl og dets tidligere led er lig med det samme tal, det vil sige b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Dette følger direkte af definitionen aritmetisk progression. Dette tal kaldes nævneren for en geometrisk progression. Normalt er nævneren for en geometrisk progression angivet med bogstavet q.

Summen af ​​en uendelig geometrisk progression for |q|<1

En af måderne at specificere en geometrisk progression på er at specificere dens første led b1 og nævneren for den geometriske fejl q. For eksempel, b1=4, q=-2. Disse to betingelser definerer den geometriske progression 4, -8, 16, -32, ….

Hvis q>0 (q er ikke lig med 1), så er progressionen en monoton sekvens. For eksempel er sekvensen 2, 4,8,16,32, ... en monotont stigende sekvens (b1=2, q=2).

Hvis nævneren i den geometriske fejl er q=1, så vil alle led i den geometriske progression være lig med hinanden. I sådanne tilfælde siges progressionen at være en konstant sekvens.

For at en talsekvens (bn) skal være en geometrisk progression, er det nødvendigt, at hver af dens medlemmer, startende fra den anden, er det geometriske middelværdi af naboelementer. Det vil sige, at det er nødvendigt at opfylde følgende ligning
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), for enhver n>0, hvor n tilhører mængden naturlige tal N.

Lad os nu sætte (Xn) - en geometrisk progression. Nævneren af ​​den geometriske progression q, og |q|∞).
Hvis vi nu med S betegner summen af ​​en uendelig geometrisk progression, så vil følgende formel være gældende:
S=xl/(1-q).

Lad os se på et simpelt eksempel:

Find summen af ​​den uendelige geometriske progression 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….

For at finde S bruger vi formlen for summen af ​​en uendelig aritmetisk progression. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Nogle problemer i fysik og matematik kan løses ved hjælp af egenskaberne for talserier. De to enkleste talsekvenser, der undervises i i skoler, er algebraiske og geometriske. I denne artikel vil vi se nærmere på spørgsmålet om, hvordan man finder summen af ​​en uendelig aftagende geometrisk progression.

Progression geometrisk

Disse ord betyder følgende række reelle tal, hvis elementer a i opfylder udtrykket:

Her er i tallet på grundstoffet i rækken, r er et konstant tal kaldet nævneren.

Denne definition viser, at ved at kende ethvert medlem af progressionen og dens nævner, kan du gendanne hele rækken af ​​tal. For eksempel, hvis det 10. element er kendt, så vil det at dividere det med r få det 9. element, hvis det derefter divideres igen, vil det få det 8. og så videre. Disse simple argumenter giver os mulighed for at nedskrive et udtryk, der er gyldigt for rækken af ​​tal, der overvejes:

Et eksempel på en progression med en nævner på 2 ville være følgende serie:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Hvis nævneren er lig med -2, opnås en helt anden serie:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Geometrisk progression er meget hurtigere end algebraisk progression, det vil sige, dens termer stiger hurtigt og falder hurtigt.

Summen af ​​i udtryk for progression

For at løse praktiske problemer er det ofte nødvendigt at beregne summen af ​​flere elementer i den numeriske rækkefølge. I dette tilfælde er følgende formel gyldig:

Si = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Det kan ses, at for at beregne summen af ​​i-led skal du kun kende to tal: a 1 og r, hvilket er logisk, da de entydigt bestemmer hele sekvensen.

Aftagende rækkefølge og summen af ​​dens led

Lad os nu se på et særligt tilfælde. Vi vil antage, at modulus af nævneren r ikke overstiger én, altså -1

En aftagende geometrisk progression er interessant at overveje, fordi den uendelige sum af dens vilkår har tendens til et endeligt reelt tal.

Lad os få formlen for summen.Dette er let at gøre, hvis du skriver udtrykket for S i givet i det foregående afsnit. Vi har:

Si = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Lad os overveje tilfældet, når i->∞. Da nævnerens modul er mindre end 1, vil det give nul ved at hæve det til en uendelig potens. Dette kan kontrolleres ved at bruge eksemplet med r=0,5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Som et resultat vil summen af ​​vilkårene for en uendelig aftagende geometrisk progression have formen:

Denne formel bruges ofte i praksis, for eksempel til at beregne arealer af figurer. Det bruges også til at løse paradokset Zeno af Elea med skildpadden og Achilleus.

Det er indlysende, at betragtning af summen af ​​en uendelig geometrisk stigende progression (r>1) vil føre til resultatet S ∞ = +∞.

Opgaven med at finde det første led i en progression

Lad os vise, hvordan man anvender ovenstående formler ved hjælp af et eksempel på løsning af et problem. Det er kendt, at summen af ​​en uendelig geometrisk progression er 11. Desuden er dens 7. led 6 gange mindre end det tredje led. Hvad er det første element for denne talrække?

Lad os først skrive to udtryk for at bestemme det 7. og 3. element. Vi får:

Ved at dividere det første udtryk med det andet og udtrykke nævneren, har vi:

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

Da forholdet mellem det syvende og tredje led er angivet i problemformuleringen, kan du erstatte det og finde r:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894

Vi beregnede r til fem decimaler. Da den resulterende værdi er mindre end én, er progressionen faldende, hvilket retfærdiggør brugen af ​​formlen for dens uendelige sum. Lad os skrive udtrykket for det første led gennem summen S ∞:

Vi erstatter kendte værdier i denne formel og får svaret:

a1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166.

Zenos berømte paradoks med den hurtige Achilleus og den langsomme skildpadde

Zeno af Elea er en berømt græsk filosof, der levede i det 5. århundrede f.Kr. e. En række af dens højdepunkter eller paradokser er nået til nutiden, hvor problemet med det uendeligt store og det uendeligt små i matematikken er formuleret.

Et af Zenos berømte paradokser er konkurrencen mellem Achilleus og skildpadden. Zeno mente, at hvis Achilles gav skildpadden en vis fordel i afstand, ville han aldrig være i stand til at indhente den. Lad for eksempel Achilleus løbe 10 gange hurtigere end et dyr, der kravler, som for eksempel er 100 meter foran ham. Når krigeren løber 100 meter, kravler skildpadden væk 10 meter. Efter at have løbet 10 meter igen, ser Achilles, at skildpadden kravler yderligere 1 meter. Du kan argumentere på denne måde i det uendelige, afstanden mellem konkurrenterne vil faktisk falde, men skildpadden vil altid være foran.

Ledte Zeno til den konklusion, at bevægelse ikke eksisterer, og alle omgivende bevægelser af objekter er en illusion. Selvfølgelig tog den antikke græske filosof fejl.

Løsningen på paradokset ligger i, at en uendelig sum af konstant faldende segmenter har tendens til et endeligt tal. I ovenstående tilfælde, for den distance, som Achilleus løb, får vi:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Ved at anvende formlen for summen af ​​en uendelig geometrisk progression får vi:

S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111.111 meter

Dette resultat viser, at Achilleus vil indhente skildpadden, når den kun kravler 11.111 meter.

De gamle grækere vidste ikke, hvordan de skulle arbejde med uendelige mængder i matematik. Dette paradoks kan dog løses, hvis vi ikke er opmærksomme på det uendelige antal huller, som Achilleus skal overvinde, men på det begrænsede antal skridt, løberen skal bruge for at nå sit mål.

NUMERISKE SEKVENSER VI

§ l48. Summen af ​​en uendeligt faldende geometrisk progression

Indtil nu, når vi taler om summer, har vi altid antaget, at antallet af led i disse summer er endeligt (f.eks. 2, 15, 1000 osv.). Men når man løser nogle problemer (især højere matematik) har man at gøre med summen af ​​et uendeligt antal led

S= -en 1 + -en 2 + ... + -en n + ... . (1)

Hvad er disse beløb? A-priory summen af ​​et uendeligt antal led -en 1 , -en 2 , ..., -en n , ... kaldes grænsen for summen S n først P tal hvornår P -> ∞ :

S=S n = (-en 1 + -en 2 + ... + -en n ). (2)

Begrænsning (2) kan selvfølgelig eksistere eller måske ikke eksistere. Derfor siger de, at summen (1) eksisterer eller ikke eksisterer.

Hvordan kan vi finde ud af, om summen (1) findes i hver konkret sag? Den generelle løsning på dette problem går langt ud over vores programs rammer. Der er dog et vigtigt særtilfælde, som vi nu skal overveje. Vi vil tale om at summere vilkårene for en uendeligt faldende geometrisk progression.

Lade -en 1 , -en 1 q , -en 1 q 2, ... er en uendeligt aftagende geometrisk progression. Det betyder, at | q |< 1. Сумма первых P vilkår for denne progression er lige

Fra de grundlæggende teoremer om variables grænser (se § 136) får vi:

Men 1 = 1, a qn = 0. Derfor

Så summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression er lig med det første led i denne progression divideret med én minus nævneren for denne progression.

1) Summen af ​​den geometriske progression 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... er lig med

og summen af ​​den geometriske progression er 12; -6; 3; - 3/2, ... lige

2) Konverter en simpel periodisk brøk 0,454545 ... til en almindelig.

For at løse dette problem skal du forestille dig denne brøk som en uendelig sum:

Højre side af denne lighed er summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression, hvis første led er lig med 45/100, og nævneren er 1/100. Derfor

Ved hjælp af den beskrevne metode kan den også opnås almindelig regel omregning af simple periodiske brøker til almindelige (se kapitel II, § 38):

For at konvertere en simpel periodisk brøk til en almindelig brøk, skal du gøre følgende: Sæt punktum i tælleren decimal, og nævneren er et tal bestående af ni taget lige så mange gange, som der er cifre i perioden for decimalbrøken.

3) Omregn den blandede periodiske brøk 0,58333 .... til en almindelig brøk.

Lad os forestille os denne brøk som en uendelig sum:

På højre side af denne lighed danner alle led, startende fra 3/1000, en uendeligt aftagende geometrisk progression, hvis første led er lig med 3/1000, og nævneren er 1/10. Derfor

Ved hjælp af den beskrevne metode kan der opnås en generel regel for omregning af blandede periodiske fraktioner til almindelige fraktioner (se kapitel II, § 38). Vi præsenterer det bevidst ikke her. Der er ingen grund til at huske denne besværlige regel. Det er meget mere nyttigt at vide, at enhver blandet periodisk fraktion kan repræsenteres som summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression og et vist tal. Og formlen

for summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression skal du selvfølgelig huske.

Som øvelse foreslår vi, at du, udover opgave nr. 995-1000, der er anført nedenfor, endnu en gang vender dig til opgave nr. 301 § 38.

Øvelser

995. Hvad kaldes summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression?

996. Find summen af ​​uendeligt faldende geometriske progressioner:

997. Til hvilke værdier x progression

er det uendeligt faldende? Find summen af ​​en sådan progression.

998. I en ligesidet trekant med side EN en ny trekant er indskrevet ved at forbinde midtpunkterne på dens sider; en ny trekant er indskrevet i denne trekant på samme måde, og så videre ad infinitum.

a) summen af ​​omkredsen af ​​alle disse trekanter;

b) summen af ​​deres arealer.

999. Firkantet med side EN en ny firkant er indskrevet ved at forbinde midtpunkterne af dens sider; en firkant er indskrevet i denne firkant på samme måde, og så videre ad infinitum. Find summen af ​​omkredsen af ​​alle disse kvadrater og summen af ​​deres arealer.

1000. Komponer en uendeligt aftagende geometrisk progression, så dens sum er lig med 25/4, og summen af ​​kvadraterne af dens led er lig med 625/24.

Formål med lektionen: at introducere eleverne til en ny type sekvens - en uendeligt aftagende geometrisk progression.
Opgaver:
formulere en indledende idé om grænsen for en numerisk sekvens;
bekendtskab med en anden måde at konvertere uendelige periodiske brøker til almindelige ved hjælp af formlen for summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression;
udvikling af intellektuelle kvaliteter af skolebørns personlighed som f.eks logisk tænkning, evne til evaluerende handlinger, generalisering;
fremme aktivitet, gensidig bistand, kollektivisme og interesse for emnet.

Hent:

Eksempel:

Lektion om emnet "Uendeligt faldende geometrisk progression" (algebra, 10. klasse)

Formålet med lektionen: introducerer eleverne til en ny type sekvens - en uendeligt faldende geometrisk progression.

Opgaver:

formulere en indledende idé om grænsen for en numerisk sekvens; bekendtskab med en anden måde at konvertere uendelige periodiske brøker til almindelige ved hjælp af formlen for summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression;

udvikling af intellektuelle kvaliteter af skolebørns personlighed såsom logisk tænkning, evne til at foretage evaluerende handlinger og generalisering;

fremme aktivitet, gensidig bistand, kollektivisme og interesse for emnet.

Udstyr: computerklasse, projektor, lærred.

Lektionstype: lektion - lære et nyt emne.

Under timerne

I. Org. øjeblik. Angiv emnet og formålet med lektionen.

II. Opdatering af elevernes viden.

I 9. klasse studerede du aritmetiske og geometriske progressioner.

Spørgsmål

1. Definition af aritmetisk progression.

(En aritmetisk progression er en sekvens, hvor hvert medlem

Startende fra det andet er det lig med det foregående led tilføjet til det samme tal).

2. Formel n led af en aritmetisk progression

3. Formel for summen af ​​den første n udtryk for en aritmetisk progression.

( eller )

4. Definition af geometrisk progression.

(En geometrisk progression er en sekvens af ikke-nul tal

Hvert led, fra det andet, er lig med det foregående led ganget med

Samme nummer).

5. Formel n led af den geometriske progression

6. Formel for summen af ​​den første n medlemmer af en geometrisk progression.

7. Hvilke andre formler kender du?

(, Hvor ; ;

; , )

Opgaver

1. Aritmetisk progression er givet ved formlen a n = 7 – 4n . Find en 10. (-33)

2. I aritmetisk progression a 3 = 7 og a 5 = 1 . Find en 4. (4)

3. I aritmetisk progression a 3 = 7 og a 5 = 1 . Find en 17. (-35)

4. I aritmetisk progression a 3 = 7 og a 5 = 1 . Find S 17. (-187)

5. Til geometrisk progressionfind det femte led.

6. Til geometrisk progression find det n'te led.

7. Eksponentielt b 3 = 8 og b 5 = 2. Find b 4 . (4)

8. Eksponentielt b 3 = 8 og b 5 = 2. Find b 1 og q.

9. Eksponentielt b 3 = 8 og b 5 = 2. Find S5. (62)

III. At lære et nyt emne(demonstration af præsentation).

Betragt en firkant med en side lig med 1. Lad os tegne en anden firkant, hvis side er halvt så stor som den første firkant, så en anden, hvis side er halvdelen af ​​den anden, så den næste osv. Hver gang er siden af ​​den nye firkant lig med halvdelen af ​​den forrige.

Som et resultat modtog vi en række sider af firkanterdanner en geometrisk progression med nævneren.

Og hvad der er meget vigtigt, jo mere vi bygger sådanne firkanter, jo mindre vil siden af ​​firkanten være. For eksempel ,

De der. Når tallet n stiger, nærmer vilkårene for progressionen sig nul.

Ved hjælp af denne figur kan du overveje en anden sekvens.

For eksempel rækkefølgen af ​​områder af kvadrater:

Og igen, hvis n stiger i det uendelige, så nærmer området sig nul så tæt som du vil.

Lad os se på et andet eksempel. En ligesidet trekant med sider lig med 1 cm. Lad os konstruere den næste trekant med toppunkter i midtpunkterne af siderne i den 1. trekant, ifølge sætningen om midtlinje trekant - siden af ​​2. er lig med halvdelen af ​​siden af ​​den første, side af 3. er lig med halvdelen af ​​side af 2. osv. Igen får vi en sekvens af længder af siderne i trekanter.

kl.

Hvis vi betragter en geometrisk progression med en negativ nævner.

Så igen med stigende antal n i forhold til progression nærmer sig nul.

Lad os være opmærksomme på nævnerne i disse sekvenser. Overalt var nævnerne mindre end 1 i absolut værdi.

Vi kan konkludere: en geometrisk progression vil være uendeligt faldende, hvis modulus af dens nævner er mindre end 1.

Frontalarbejde.

Definition:

En geometrisk progression siges at være uendeligt aftagende, hvis modulus for dens nævner er mindre end én..

Ved hjælp af definitionen kan du afgøre, om en geometrisk progression er uendeligt aftagende eller ej.

Opgave

Er sekvensen en uendeligt aftagende geometrisk progression, hvis den er givet ved formlen:

Løsning:

Lad os finde q.

; ; ; .

denne geometriske progression er uendeligt aftagende.

b) denne sekvens er ikke en uendeligt aftagende geometrisk progression.

Overvej en firkant med en side lig med 1. Del den i to, en af ​​halvdelene i to osv. Arealerne af alle de resulterende rektangler danner en uendeligt aftagende geometrisk progression:

Summen af ​​arealerne af alle rektangler opnået på denne måde vil være lig med arealet af det 1. kvadrat og lig med 1.

Men på venstre side af denne lighed er summen af ​​et uendeligt antal led.

Lad os betragte summen af ​​de første n led.

Ifølge formlen for summen af ​​de første n led i en geometrisk progression er den lig med.

Hvis n stiger uden grænser altså

eller . Derfor, dvs. .

Summen af ​​en uendeligt faldende geometrisk progressionder er en rækkefølgegrænse S 1, S 2, S 3, …, S n, ….

For eksempel til progression,

vi har

Fordi

Summen af ​​en uendeligt faldende geometrisk progressionkan findes ved hjælp af formlen.

III. Forståelse og konsolidering(afslutte opgaver).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Opsummerende.

Hvilken sekvens stiftede du bekendtskab med i dag?

Definer en uendeligt faldende geometrisk progression.

Hvordan beviser man, at en geometrisk progression er uendeligt faldende?

Giv formlen for summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression.

V. Hjemmearbejde.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Eksempel:

For at bruge præsentationseksempler skal du oprette en konto til dig selv ( konto) Google og log ind: https://accounts.google.com

Slide billedtekster:

Alle burde være i stand til at tænke konsekvent, dømme med beviser og tilbagevise forkerte konklusioner: en fysiker og en digter, en traktorfører og en kemiker. E. Kolman I matematik skal man ikke huske formlerne, men tankeprocesserne. V.P. Ermakov Det er lettere at finde kvadratet af en cirkel end at overliste en matematiker. Augustus de Morgan Hvilken videnskab kunne være mere ædel, mere beundringsværdig, mere nyttig for menneskeheden end matematik? Franklin

Uendeligt faldende geometrisk progression grad 10

JEG. Aritmetiske og geometriske progressioner. Spørgsmål 1. Definition af aritmetisk progression. En aritmetisk progression er en sekvens, hvor hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående led tilføjet til det samme tal. 2. Formel for det n. led i en aritmetisk progression. 3. Formel for summen af ​​de første n led i en aritmetisk progression. 4. Definition af geometrisk progression. En geometrisk progression er en sekvens af ikke-nul tal, hvor hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående led ganget med det samme tal 5. Formel for det n'te led i en geometrisk progression. 6. Formel for summen af ​​de første n led af en geometrisk progression.

II. Aritmetisk progression. Opgaver Et regneforløb er givet ved formlen a n = 7 – 4 n Find en 10 . (-33) 2. I aritmetisk progression er a 3 = 7 og a 5 = 1. Find en 4. (4) 3. I aritmetisk progression a 3 = 7 og a 5 = 1. Find en 17. (-35) 4. I aritmetisk progression er en 3 = 7 og en 5 = 1. Find S 17. (-187)

II. Geometrisk progression. Opgaver 5. For en geometrisk progression, find det femte led 6. For en geometrisk progression, find det n. led. 7. I geometrisk progression b 3 = 8 og b 5 = 2. Find b 4 . (4) 8. I geometrisk progression b 3 = 8 og b 5 = 2. Find b 1 og q. 9. I geometrisk progression b 3 = 8 og b 5 = 2. Find S5. (62)

definition: En geometrisk progression kaldes uendeligt aftagende, hvis modulus for dens nævner er mindre end én.

Opgave nr. 1 Er sekvensen en uendeligt aftagende geometrisk progression, hvis den er givet ved formlen: Løsning: a) denne geometriske progression er uendeligt aftagende. b) denne sekvens er ikke en uendeligt aftagende geometrisk progression.

Summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression er grænsen for sekvensen S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... For eksempel, for progressionen har vi siden summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression kan findes ved hjælp af formlen

Afslutning af opgaver Find summen af ​​en uendeligt faldende geometrisk progression med det første led 3, det andet 0,3. 2. nr. 13; nr. 14; lærebog, s. 138 3. nr. 15(1;3); nr. 16(1;3) nr. 18(1;3); 4. nr. 19; nr. 20.

Hvilken sekvens stiftede du bekendtskab med i dag? Definer en uendeligt faldende geometrisk progression. Hvordan beviser man, at en geometrisk progression er uendeligt faldende? Giv formlen for summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression. Spørgsmål

Den berømte polske matematiker Hugo Steinhaus hævder i spøg, at der er en lov, der er formuleret som følger: en matematiker vil gøre det bedre. Nemlig, hvis du betror to personer, hvoraf den ene er matematiker, til at udføre et hvilket som helst arbejde, der ikke er bekendt for dem, så vil resultatet altid være følgende: matematikeren vil gøre det bedre. Hugo Steinhaus 14/01/1887-02/25/1972

Lektion og oplæg om emnet: "Talsekvenser. Geometrisk progression"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Pædagogiske hjælpemidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 9. klasse
Potenser og rødder Funktioner og grafer

Gutter, i dag vil vi stifte bekendtskab med en anden type progression.
Emnet for dagens lektion er geometrisk progression.

Geometrisk progression

Definition. En numerisk sekvens, hvor hvert led, startende fra det andet, er lig med produktet af det foregående, og et eller andet fast tal kaldes en geometrisk progression.
Lad os definere vores sekvens rekursivt: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
hvor b og q er bestemte givne tal. Tallet q kaldes forløbets nævner.

Eksempel. 1,2,4,8,16... En geometrisk progression, hvor det første led er lig med en, og $q=2$.

Eksempel. 8,8,8,8... En geometrisk progression, hvor det første led er lig med otte,
og $q=1$.

Eksempel. 3,-3,3,-3,3... Geometrisk progression, hvor det første led er lig med tre,
og $q=-1$.

Geometrisk progression har monotoniens egenskaber.
Hvis $b_(1)>0$, $q>1$,
så er rækkefølgen stigende.
Hvis $b_(1)>0$, $0 Sekvensen er normalt angivet i formen: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Ligesom i en aritmetisk progression, hvis antallet af elementer i en geometrisk progression er endeligt, så kaldes progressionen en endelig geometrisk progression.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Bemærk, at hvis en sekvens er en geometrisk progression, så er rækken af ​​kvadrater af led også en geometrisk progression. I den anden sekvens er det første led lig med $b_(1)^2$, og nævneren er lig med $q^2$.

Formel for det n. led i en geometrisk progression

Geometrisk progression kan også specificeres i analytisk form. Lad os se, hvordan du gør dette:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Vi bemærker let mønsteret: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Vores formel kaldes "formlen for det n'te led i en geometrisk progression."

Lad os vende tilbage til vores eksempler.

Eksempel. 1,2,4,8,16... Geometrisk progression, hvor det første led er lig med en,
og $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Eksempel. 16,8,4,2,1,1/2... En geometrisk progression, hvor det første led er lig med seksten, og $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Eksempel. 8,8,8,8... En geometrisk progression, hvor det første led er lig med otte, og $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Eksempel. 3,-3,3,-3,3... En geometrisk progression, hvor det første led er lig med tre, og $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Eksempel. Givet en geometrisk progression $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Det er kendt, at $b_(1)=6, q=3$. Find $b_(5)$.
b) Det er kendt, at $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Find n.
c) Det er kendt, at $q=-2, b_(6)=96$. Find $b_(1)$.
d) Det er kendt, at $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Find q.

Løsning.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, da $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Eksempel. Forskellen mellem det syvende og femte led i den geometriske progression er 192, summen af ​​det femte og sjette led af progressionen er 192. Find det tiende led i denne progression.

Løsning.
Vi ved, at: $b_(7)-b_(5)=192$ og $b_(5)+b_(6)=192$.
Vi kender også: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Derefter:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Vi modtog et ligningssystem:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Ved at sidestille vores ligninger får vi:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Vi har to løsninger q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Substituer sekventielt i den anden ligning:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ ingen løsninger.
Vi fik det: $b_(1)=4, q=2$.
Lad os finde det tiende led: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Summen af ​​en endelig geometrisk progression

Lad os have en endelig geometrisk progression. Lad os, ligesom for en aritmetisk progression, beregne summen af ​​dens led.

Lad en endelig geometrisk progression gives: $b_(1),b_(2),...,b_(n-1),b_(n)$.
Lad os introducere betegnelsen for summen af ​​dets led: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
I det tilfælde, hvor $q=1$. Alle led i den geometriske progression er lig med det første led, så er det tydeligt, at $S_(n)=n*b_(1)$.
Lad os nu overveje sagen $q≠1$.
Lad os gange ovenstående beløb med q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Bemærk:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Vi har fået formlen for summen af ​​en endelig geometrisk progression.

Eksempel.
Find summen af ​​de første syv led i en geometrisk progression, hvis første led er 4 og nævneren er 3.

Løsning.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Eksempel.
Find det femte led af den geometriske progression, der er kendt: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Løsning.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Karakteristisk egenskab ved geometrisk progression

Gutter, en geometrisk progression er givet. Lad os se på de tre på hinanden følgende medlemmer: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Vi ved det:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Derefter:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Hvis progressionen er endelig, gælder denne lighed for alle led undtagen den første og den sidste.
Hvis det ikke er kendt på forhånd, hvilken form sekvensen har, men det vides at: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Så kan vi roligt sige, at der er tale om en geometrisk progression.

En talsekvens er kun en geometrisk progression, når kvadratet af hvert element er lig med produktet af de to tilstødende medlemmer af progressionen. Glem ikke, at for en endelig progression er denne betingelse ikke opfyldt for de første og sidste vilkår.

Lad os se på denne identitet: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ kaldes det geometriske middelværdi af tallene a og b.

Modulet for ethvert led i en geometrisk progression er lig med det geometriske middelværdi af dets to tilstødende led.

Eksempel.
Find x således, at $x+2; 2x+2; 3x+3$ var tre på hinanden følgende led af en geometrisk progression.

Løsning.
Lad os bruge den karakteristiske egenskab:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ og $x_(2)=-1$.
Lad os sekventielt erstatte vores løsninger med det originale udtryk:
Med $x=2$ fik vi sekvensen: 4;6;9 – en geometrisk progression med $q=1,5$.
For $x=-1$ får vi sekvensen: 1;0;0.
Svar: $x=2.$

Problemer, der skal løses selvstændigt

1. Find det ottende første led i den geometriske progression 16;-8;4;-2….
2. Find det tiende led af den geometriske progression 11,22,44….
3. Det er kendt, at $b_(1)=5, q=3$. Find $b_(7)$.
4. Det er kendt, at $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Find n.
5. Find summen af ​​de første 11 led i den geometriske progression 3;12;48….
6. Find x sådan, at $3x+4; 2x+4; x+5$ er tre på hinanden følgende led af en geometrisk progression.