Løsning af komplekse udtryk online. Magtudtryk (udtryk med magter) og deres transformation

Lad os overveje emnet om at transformere udtryk med magter, men lad os først dvæle ved en række transformationer, der kan udføres med alle udtryk, inklusive magt. Vi vil lære at åbne beslag, medbring lignende vilkår, arbejd med basis og eksponent, brug egenskaberne for grader.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hvad er magtudtryk?

I skolekurser bruger få mennesker udtrykket "kraftfulde udtryk", men dette udtryk findes konstant i samlinger til forberedelse til Unified State Exam. I de fleste tilfælde betegner en sætning udtryk, der indeholder grader i deres indtastninger. Det er det, vi vil afspejle i vores definition.

Definition 1

Kraft udtryk er et udtryk, der indeholder beføjelser.

Lad os give flere eksempler på magtudtryk, startende med en potens med en naturlig eksponent og slutter med en potens med en reel eksponent.

De enkleste potensudtryk kan betragtes som potenser af et tal med en naturlig eksponent: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Og også potenser med nul eksponent: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Og grader med heltal negative kræfter: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Det er lidt sværere at arbejde med en grad, der har rationelle og irrationelle eksponenter: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikatoren kan være variablen 3 x - 54 - 7 3 x - 58 eller logaritmen x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Vi har beskæftiget os med spørgsmålet om, hvad magtudtryk er. Lad os nu begynde at konvertere dem.

Hovedtyper af transformationer af magtudtryk

Først og fremmest vil vi se på de grundlæggende identitetstransformationer af udtryk, der kan udføres med magtudtryk.

Eksempel 1

Beregn værdien af ​​et magtudtryk 2 3 (4 2 - 12).

Løsning

Vi vil udføre alle transformationer i overensstemmelse med rækkefølgen af ​​handlinger. I I dette tilfælde Vi starter med at udføre handlingerne i parentes: vi erstatter graden med en digital værdi og beregner forskellen på to tal. Vi har 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Det eneste, vi skal gøre, er at udskifte graden 2 3 dens betydning 8 og beregne produktet 8 4 = 32. Her er vores svar.

Svar: 2 3 · (4 2 - 12) = 32 .

Eksempel 2

Forenkle udtrykket med kræfter 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Løsning

Udtrykket givet til os i problemformuleringen indeholder lignende udtryk, som vi kan give: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Svar: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Eksempel 3

Udtryk udtrykket med potenserne 9 - b 3 · π - 1 2 som et produkt.

Løsning

Lad os forestille os tallet 9 som en magt 3 2 og anvende den forkortede multiplikationsformel:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Svar: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Lad os nu gå videre til analysen af ​​identitetstransformationer, der kan anvendes specifikt til magtudtryk.

Arbejde med base og eksponent

Graden i grundtallet eller eksponenten kan have tal, variable og nogle udtryk. For eksempel, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 Og . Det er svært at arbejde med sådanne optegnelser. Det er meget nemmere at erstatte udtrykket i gradens basis eller udtrykket i eksponenten med et identisk ens udtryk.

Transformationer af grad og eksponent udføres i henhold til de regler, vi kender adskilt fra hinanden. Det vigtigste er, at transformationen resulterer i et udtryk, der er identisk med det oprindelige.

Formålet med transformationer er at forenkle det oprindelige udtryk eller få en løsning på problemet. For eksempel, i eksemplet, vi gav ovenfor, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 kan du følge trinene for at gå til graden 4 , 1 1 , 3 . Ved at åbne parenteserne kan vi præsentere lignende udtryk til bunden af ​​potensen (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) og få et kraftudtryk af mere simpel type a 2 (x + 1).

Brug af gradsegenskaber

Magtens egenskaber, skrevet i form af ligheder, er et af de vigtigste værktøjer til at transformere udtryk med magt. Vi præsenterer her de vigtigste under hensyntagen til det -en Og b- disse er nogen positive tal, A r Og s- vilkårlige reelle tal:

Definition 2

• a r · a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s;
• (a · b) r = a r · b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r · s .

I tilfælde, hvor vi har at gøre med naturlige, heltal, positive eksponenter, kan begrænsningerne for tallene a og b være meget mindre strenge. Altså for eksempel hvis vi tænker på ligestillingen a m · a n = a m + n, Hvor m Og n er naturlige tal, så vil det være sandt for alle værdier af a, både positive og negative, såvel som for a = 0.

Du kan anvende egenskaberne for potenser uden begrænsninger i tilfælde, hvor potensgrundlaget er positivt eller indeholder variabler, areal acceptable værdier som er sådan, at grundlaget på det kun accepterer positive værdier. Faktisk indeni skolepensum i matematik er elevens opgave at vælge en passende egenskab og anvende den korrekt.

Når du forbereder dig på at komme ind på universiteter, kan du støde på problemer, hvor unøjagtig anvendelse af egenskaber vil føre til en indsnævring af DL og andre vanskeligheder med at løse. I dette afsnit vil vi kun undersøge to sådanne tilfælde. Mere information om emnet kan findes i emnet "Konvertering af udtryk ved hjælp af magtegenskaber".

Eksempel 4

Forestil dig udtrykket a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 i form af en potens med en base -en.

Løsning

Først bruger vi egenskaben eksponentiering og transformerer den anden faktor ved hjælp af den (a 2) - 3. Så bruger vi egenskaberne for multiplikation og division af potenser med samme grundtal:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a2.

Svar: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Transformation af magtudtryk efter magtens egenskab kan ske både fra venstre mod højre og i modsat retning.

Eksempel 5

Find værdien af ​​potensudtrykket 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Løsning

Hvis vi anvender ligestilling (a · b) r = a r · b r, fra højre mod venstre får vi et produkt af formen 3 · 7 1 3 · 21 2 3 og derefter 21 1 3 · 21 2 3 . Lad os lægge eksponenterne sammen, når potenser ganges med de samme grundtal: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Der er en anden måde at udføre transformationen på:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Svar: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Eksempel 6

Givet et magtudtryk a 1, 5 − a 0, 5 − 6, indtast en ny variabel t = a 0,5.

Løsning

Lad os forestille os graden en 1, 5 Hvordan en 0,5 3. Brug af egenskaben grader til grader (a r) s = a r · s fra højre mod venstre og vi får (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Du kan nemt indføre en ny variabel i det resulterende udtryk t = a 0,5: vi får t 3 − t − 6.

Svar: t 3 − t − 6 .

Omregning af brøker indeholdende potenser

Vi beskæftiger os normalt med to versioner af potensudtryk med brøker: Udtrykket repræsenterer en brøk med en potens eller indeholder en sådan brøk. Alle grundlæggende transformationer af fraktioner kan anvendes på sådanne udtryk uden begrænsninger. De kan reduceres, bringes til en ny nævner eller arbejdes separat med tæller og nævner. Lad os illustrere dette med eksempler.

Eksempel 7

Forenkle magtudtrykket 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Løsning

Vi har at gøre med en brøk, så vi vil udføre transformationer i både tælleren og nævneren:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Sæt et minustegn foran brøken for at ændre fortegn for nævneren: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Svar: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Brøker indeholdende potenser reduceres til en ny nævner på samme måde som rationelle brøker. For at gøre dette skal du finde en ekstra faktor og gange brøkens tæller og nævner med den. Det er nødvendigt at vælge en ekstra faktor på en sådan måde, at den ikke går til nul for nogen værdier af variabler fra ODZ-variablerne for det oprindelige udtryk.

Eksempel 8

Reducer brøkerne til en ny nævner: a) a + 1 a 0, 7 til nævneren -en, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 til nævneren x + 8 · y 1 2 .

Løsning

a) Lad os vælge en faktor, der gør det muligt for os at reducere til en ny nævner. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, derfor vil vi som en ekstra faktor tage en 0, 3. Rækken af ​​tilladte værdier for variablen a inkluderer sættet af alle positive reelle tal. Grad inden for dette felt en 0, 3 går ikke i nul.

Lad os gange tælleren og nævneren af ​​en brøk med en 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Lad os være opmærksomme på nævneren:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Lad os gange dette udtryk med x 1 3 + 2 · y 1 6, vi får summen af ​​terningerne x 1 3 og 2 · y 1 6, dvs. x + 8 · y 1 2 . Dette er vores nye nævner, som vi skal reducere den oprindelige fraktion til.

Sådan fandt vi den ekstra faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . Om intervallet af tilladte værdier af variabler x Og y udtrykket x 1 3 + 2 y 1 6 forsvinder ikke, derfor kan vi gange brøkens tæller og nævner med det:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Svar: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Eksempel 9

Reducer brøken: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Løsning

a) Vi bruger den største fællesnævner (GCD), hvormed vi kan reducere tælleren og nævneren. For nummer 30 og 45 er det 15. Vi kan også lave en reduktion pr x0,5+1 og på x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Vi får:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Her er tilstedeværelsen af ​​identiske faktorer ikke indlysende. Du bliver nødt til at udføre nogle transformationer for at få de samme faktorer i tæller og nævner. For at gøre dette udvider vi nævneren ved hjælp af kvadratforskellens formel:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Svar: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0, 5 + 1), b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4.

Grundlæggende operationer med brøker omfatter konvertering af brøker til en ny nævner og reduktion af brøker. Begge handlinger udføres i overensstemmelse med en række regler. Ved addering og subtraktion af brøker reduceres først brøkerne til en fællesnævner, hvorefter operationer (addition eller subtraktion) udføres med tællere. Nævneren forbliver den samme. Resultatet af vores handlinger er en ny brøk, hvis tæller er produktet af tællere, og nævneren er produktet af nævnerne.

Eksempel 10

Udfør trinene x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2.

Løsning

Lad os starte med at trække de brøker, der står i parentes. Lad os bringe dem til en fællesnævner:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Lad os trække tællerne fra:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Nu gange vi brøkerne:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Lad os reducere med en magt x 1 2, får vi 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Derudover kan du forenkle potensudtrykket i nævneren ved at bruge kvadratforskellens formel: kvadrater: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Svar: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Eksempel 11

Forenkle magtlovens udtryk x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Løsning

Vi kan reducere fraktionen med (x 2, 7 + 1) 2. Vi får brøken x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Lad os fortsætte med at transformere potenserne af x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Nu kan du bruge egenskaben til at dividere potenser med samme grundtal: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Vi går fra det sidste produkt til brøken x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Svar: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

I de fleste tilfælde er det mere bekvemt at overføre faktorer med negative eksponenter fra tælleren til nævneren og tilbage, hvilket ændrer eksponentens fortegn. Denne handling giver dig mulighed for at forenkle den videre beslutning. Lad os give et eksempel: potensudtrykket (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 kan erstattes af x 3 · (x + 1) 0, 2.

Konvertering af udtryk med rødder og kræfter

I problemer er der potensudtryk, der ikke kun indeholder potenser med brøkeksponenter, men også rødder. Det er tilrådeligt kun at reducere sådanne udtryk til rødder eller kun til magter. At gå efter grader er at foretrække, da de er nemmere at arbejde med. Denne overgang er især at foretrække, når ODZ af variabler for det oprindelige udtryk giver dig mulighed for at erstatte rødderne med potenser uden behov for at få adgang til modulet eller opdele ODZ i flere intervaller.

Eksempel 12

Udtryk udtrykket x 1 9 · x · x 3 6 som en potens.

Løsning

Område af tilladte variabelværdier x er defineret af to uligheder x ≥ 0 og x x 3 ≥ 0, som definerer mængden [ 0 , + ∞) .

På dette sæt har vi ret til at flytte fra rødder til magter:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Ved at bruge magtens egenskaber forenkler vi det resulterende magtudtryk.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Svar: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Konvertering af potenser med variable i eksponenten

Disse transformationer er ret nemme at lave, hvis man bruger gradens egenskaber korrekt. For eksempel, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Vi kan erstatte med produktet af potenser, hvis eksponenter er summen af ​​en variabel og et tal. På venstre side kan dette gøres med det første og sidste led i venstre side af udtrykket:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Lad os nu dividere begge sider af ligheden med 7 2 x. Dette udtryk for variablen x tager kun positive værdier:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Lad os reducere brøker med potenser, vi får: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Endelig er forholdet mellem potenser med de samme eksponenter erstattet af potenser af forhold, hvilket resulterer i ligningen 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, hvilket svarer til 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x -2 = 0.

Lad os introducere en ny variabel t = 5 7 x , som reducerer løsningen til originalen eksponentiel ligning til en beslutning andengradsligning 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Konvertering af udtryk med potenser og logaritmer

Udtryk, der indeholder potenser og logaritmer, findes også i opgaver. Et eksempel på sådanne udtryk er: 1 4 1 - 5 · log 2 3 eller log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Transformationen af ​​sådanne udtryk udføres ved hjælp af tilgange og egenskaber ved logaritmer diskuteret ovenfor, som vi diskuterede detaljeret i emnet "Transformation af logaritmiske udtryk".

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Matematisk-Lommeregner-Online v.1.0

Lommeregneren udfører følgende operationer: addition, subtraktion, multiplikation, division, arbejde med decimaler, rodudtræk, eksponentiering, procentberegninger og andre operationer.

Løsning:

Sådan bruger du en matematikberegner

Nøgle	Betegnelse	Forklaring
5	numrene 0-9	Arabiske tal. Indtastning af naturlige heltal, nul. For at få et negativt heltal skal du trykke på +/- tasten
.	semikolon)	Separator for at angive en decimalbrøk. Hvis der ikke er et tal før punktet (komma), vil lommeregneren automatisk erstatte et nul før punktet. For eksempel: .5 - 0.5 vil blive skrevet
+	plustegn	Tilføjelse af tal (heltal, decimaler)
-	minus tegn	Subtrahering af tal (heltal, decimaler)
÷	divisionstegn	Dividere tal (heltal, decimaler)
x	multiplikationstegn	Multiplikation af tal (heltal, decimaler)
√	rod	Udtræk roden af ​​et tal. Når du trykker på "root"-knappen igen, beregnes roden af ​​resultatet. For eksempel: roden af ​​16 = 4; roden af ​​4 = 2
x 2	kvadrating	Kvadring af et tal. Når du trykker på "kvadrat"-knappen igen, bliver resultatet kvadreret, for eksempel: kvadrat 2 = 4; kvadrat 4 = 16
1/x	brøkdel	Output i decimalbrøker. Tælleren er 1, nævneren er det indtastede tal
%	procent	Få en procentdel af et tal. For at arbejde skal du indtaste: det tal, hvorfra procenten vil blive beregnet, tegnet (plus, minus, dividere, gange), hvor mange procent i numerisk form, knappen "%"
(	åben parentes	En åben parentes til at angive beregningsprioriteten. En lukket parentes er påkrævet. Eksempel: (2+3)*2=10
)	lukket parentes	En lukket parentes for at angive beregningsprioriteten. En åben parentes er påkrævet
±	plus minus	Vender tegn
=	lige med	Viser resultatet af løsningen. Også over lommeregneren, i feltet "Løsning", vises mellemberegninger og resultatet.
←	sletning af et tegn	Fjerner det sidste tegn
MED	Nulstil	Genstarts knap. Nulstiller lommeregneren fuldstændigt til position "0"

Algoritme af online lommeregner ved hjælp af eksempler

Tilføjelse.

Tilføjelse af heltal naturlige tal { 5 + 7 = 12 }

Tilsætning af hel naturlig og negative tal { 5 + (-2) = 3 }

Tilføjelse af decimalbrøker (0,3 + 5,2 = 5,5)

Subtraktion.

Subtrahering af naturlige heltal (7-5 ​​= 2)

Subtrahering af naturlige og negative heltal ( 5 - (-2) = 7 )

Subtrahering af decimalbrøker (6,5 - 1,2 = 4,3)

Multiplikation.

Produkt af naturlige heltal (3 * 7 = 21)

Produkt af naturlige og negative heltal ( 5 * (-3) = -15 )

Produkt af decimalbrøker ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Division.

Division af naturlige heltal (27/3 = 9)

Division af naturlige og negative heltal (15 / (-3) = -5)

Division af decimalbrøker (6,2 / 2 = 3,1)

Udtræk roden af ​​et tal.

Udtræk af roden af ​​et heltal (rod(9) = 3)

Udvinding af roden fra decimaler(rod(2,5) = 1,58)

Udtræk roden af ​​en sum af tal (rod(56 + 25) = 9)

Udtræk roden af ​​forskellen mellem tal (rod (32 – 7) = 5)

Kvadring af et tal.

Kvadring af et heltal ( (3) 2 = 9 )

Kvadrate decimaler ((2,2)2 = 4,84)

Omregning til decimalbrøker.

Beregning af procenter af et tal

Forøg tallet 230 med 15 % ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Reducer tallet 510 med 35 % ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5 )

18 % af tallet 140 er (140 * 0,18 = 25,2)

Vigtige bemærkninger!
1. Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, skal du rydde din cache. Hvordan du gør dette i din browser er skrevet her:
2. Før du begynder at læse artiklen, skal du mest være opmærksom på vores navigator nyttig ressource Til

Vi hører ofte denne ubehagelige sætning: "forenkle udtrykket." Normalt ser vi en slags monster som dette:

"Det er meget enklere," siger vi, men sådan et svar fungerer normalt ikke.

Nu vil jeg lære dig ikke at være bange for sådanne opgaver.

Desuden vil du i slutningen af ​​lektionen selv forenkle dette eksempel til (bare!) et almindeligt tal (ja, for helvede med disse bogstaver).

Men før du starter denne aktivitet, skal du være i stand til det håndtere fraktioner Og faktor polynomier.

Derfor, hvis du ikke har gjort dette før, skal du sørge for at mestre emnerne "" og "".

Har du læst den? Hvis ja, så er du nu klar.

Lad os gå! (Lad os gå!)

Grundlæggende udtryksforenklingsoperationer

Lad os nu se på de grundlæggende teknikker, der bruges til at forenkle udtryk.

Den enkleste er

1. Bringe lignende

Hvad ligner hinanden? Det tog du i 7. klasse, da der først dukkede bogstaver i stedet for tal op i matematik.

Lignende- det er udtryk (monomier) med samme bogstavdel.

For eksempel i summen er lignende udtryk og.

Kan du huske?

Giv lignende- betyder at tilføje flere lignende udtryk til hinanden og få ét udtryk.

Hvordan kan vi sætte bogstaverne sammen? - du spørger.

Dette er meget let at forstå, hvis du forestiller dig, at bogstaverne er en slags objekter.

For eksempel er et bogstav en stol. Hvad er udtrykket lig med?

To stole plus tre stole, hvor mange bliver det? Det er rigtigt, stole:.

Prøv nu dette udtryk: .

For at undgå forvirring, lad forskellige bogstaver repræsentere forskellige objekter.

For eksempel - er (som sædvanligt) en stol, og - er et bord.

stole borde stole borde stole stole borde

De tal, som bogstaverne i sådanne termer ganges med, kaldes koefficienter.

For eksempel er koefficienten lig i et monomial. Og i det er lige.

Så reglen for at bringe lignende er:

Eksempler:

Giv lignende:

Svar:

2. (og lignende, da disse udtryk derfor har samme bogstavdel).

2. Faktorisering

Dette er normalt den vigtigste del i at forenkle udtryk.

Efter at du har givet lignende, er det oftest nødvendigt med det resulterende udtryk faktorisere, det vil sige præsenteret i form af et produkt.

Især dette vigtigt i brøker: jo for at kunne reducere fraktionen, Tælleren og nævneren skal repræsenteres som et produkt.

Du gennemgik metoderne til faktorisering af udtryk i detaljer i emnet "", så her skal du bare huske, hvad du har lært.

For at gøre dette skal du løse flere eksempler (du skal faktorisere dem)

Eksempler:

Løsninger:

3. Reduktion af en brøkdel.

Nå, hvad kunne være mere behageligt end at strege en del af tælleren og nævneren ud og smide dem ud af dit liv?

Det er det smukke ved nedtrapning.

Det er simpelt:

Hvis tæller og nævner indeholder de samme faktorer, kan de reduceres, det vil sige fjernes fra brøken.

Denne regel følger af den grundlæggende egenskab for en brøk:

Det vil sige, at essensen af ​​reduktionsoperationen er det Vi dividerer brøkens tæller og nævner med det samme tal (eller med det samme udtryk).

For at reducere en brøkdel skal du:

1) tæller og nævner faktorisere

2) hvis tæller og nævner indeholder fælles faktorer, kan de streges over.

Eksempler:

Princippet, tror jeg, er klart?

Jeg vil gerne henlede din opmærksomhed på én ting typisk fejl ved kontraktindgåelse. Selvom dette emne er enkelt, gør mange mennesker alt forkert, uden at forstå det reducere- Det betyder dele tæller og nævner er det samme tal.

Ingen forkortelser, hvis tælleren eller nævneren er en sum.

For eksempel: vi skal forenkle.

Nogle mennesker gør dette: hvilket er helt forkert.

Et andet eksempel: reducere.

De "klogeste" vil gøre dette:

Fortæl mig, hvad der er galt her? Det ser ud til: - dette er en multiplikator, hvilket betyder, at den kan reduceres.

Men nej: - dette er en faktor på kun et led i tælleren, men selve tælleren som helhed er ikke faktoriseret.

Her er et andet eksempel: .

Dette udtryk er faktoriseret, hvilket betyder, at du kan reducere det, det vil sige dividere tælleren og nævneren med og derefter med:

Du kan straks opdele det i:

For at undgå sådanne fejl, husk nem vej hvordan man bestemmer, om et udtryk er faktoriseret:

Den aritmetiske operation, der udføres sidst, når værdien af ​​et udtryk beregnes, er "master"-operationen.

Det vil sige, at hvis du erstatter nogle (vilkårlige) tal i stedet for bogstaver og forsøger at beregne værdien af ​​udtrykket, så hvis den sidste handling er multiplikation, så har vi et produkt (udtrykket er faktoriseret).

Hvis den sidste handling er addition eller subtraktion, betyder det, at udtrykket ikke er faktoriseret (og derfor ikke kan reduceres).

For at forstærke dette, løs et par eksempler selv:

Eksempler:

Løsninger:

4. Addere og trække brøker fra. Reduktion af brøker til en fællesnævner.

At addere og subtrahere almindelige brøker er en velkendt operation: vi leder efter en fællesnævner, gange hver brøk med den manglende faktor og addere/subtraherer tællerne.

Lad os huske:

Svar:

1. Nævnerne og er relativt prime, det vil sige, at de ikke har fælles faktorer. Derfor er LCM af disse tal lig med deres produkt. Dette vil være fællesnævneren:

2. Her er fællesnævneren:

3. Her konverterer vi først og fremmest blandede fraktioner til ukorrekte, og derefter efter det sædvanlige skema:

Det er en helt anden sag, hvis brøkerne indeholder bogstaver, for eksempel:

Lad os starte med noget simpelt:

a) Nævnere indeholder ikke bogstaver

Her er alt det samme som med almindelige numeriske brøker: vi finder fællesnævneren, gange hver brøk med den manglende faktor og addere/subtrahere tællerne:

Nu i tælleren kan du give lignende, hvis nogen, og faktor dem:

Prøv selv:

Svar:

b) Nævnere indeholder bogstaver

Lad os huske princippet om at finde en fællesnævner uden bogstaver:

· først og fremmest bestemmer vi de fælles faktorer;

· så skriver vi alle de fælles faktorer ud én ad gangen;

· og gange dem med alle andre ikke-fælles faktorer.

For at bestemme de fælles faktorer for nævnerne, indregner vi dem først i primfaktorer:

Lad os understrege de fælles faktorer:

Lad os nu skrive de fælles faktorer ud én ad gangen og tilføje alle de ikke-almindelige (ikke understregede) faktorer til dem:

Dette er fællesnævneren.

Lad os vende tilbage til bogstaverne. Nævnerne er givet på nøjagtig samme måde:

· faktorisere nævnerne;

· bestemme fælles (identiske) faktorer;

· skrive alle fælles faktorer én gang;

· gange dem med alle andre ikke-fælles faktorer.

Så i rækkefølge:

1) faktor nævnerne:

2) bestemme fælles (identiske) faktorer:

3) skriv alle de fælles faktorer ud én gang og gang dem med alle andre (ikke-understreget) faktorer:

Så der er en fællesnævner her. Den første brøk skal ganges med, den anden - med:

Forresten er der et trick:

For eksempel: .

Vi ser de samme faktorer i nævnerne, kun alle med forskellige indikatorer. Fællesnævneren vil være:

til en vis grad

til en vis grad

til en vis grad

til en vis grad.

Lad os komplicere opgaven:

Hvordan får man brøker til at have samme nævner?

Lad os huske den grundlæggende egenskab ved en brøk:

Ingen steder står der, at det samme tal kan trækkes fra (eller adderes) fra tælleren og nævneren af ​​en brøk. For det er ikke sandt!

Se for dig selv: Tag en hvilken som helst brøk, for eksempel, og læg et tal til tælleren og nævneren, for eksempel. Hvad lærte du?

Så en anden urokkelig regel:

Når du reducerer brøker til en fællesnævner, skal du kun bruge multiplikationsoperationen!

Men hvad skal du gange med for at få?

Så gange med. Og gange med:

Vi vil kalde udtryk, der ikke kan faktoriseres, "elementære faktorer".

For eksempel - dette er en elementær faktor. - Samme. Men nej: det kan faktoriseres.

Hvad med udtrykket? Er det elementært?

Nej, fordi det kan faktoriseres:

(du har allerede læst om faktorisering i emnet "").

Så de elementære faktorer, som du dekomponerer et udtryk i med bogstaver, er en analog af de simple faktorer, som du nedbryder tal i. Og vi vil håndtere dem på samme måde.

Vi ser, at begge nævnere har en multiplikator. Det vil gå til fællesnævneren til den grad (husk hvorfor?).

Faktoren er elementær, og de har ikke en fælles faktor, hvilket betyder, at den første brøk blot skal ganges med den:

Et andet eksempel:

Løsning:

Før du multiplicerer disse nævnere i panik, skal du tænke over, hvordan du skal faktorisere dem? De repræsenterer begge:

Store! Derefter:

Et andet eksempel:

Løsning:

Lad os som sædvanlig faktorisere nævnerne. I den første nævner sætter vi det ganske enkelt uden for parentes; i den anden - forskellen mellem kvadrater:

Det ser ud til, at der ikke er nogen fælles faktorer. Men hvis man ser godt efter, ligner de hinanden... Og det er sandt:

Så lad os skrive:

Det vil sige, det blev sådan her: inde i parentesen byttede vi vilkårene, og samtidig skiftede tegnet foran brøken til det modsatte. Bemærk, du bliver nødt til at gøre dette ofte.

Lad os nu bringe det til en fællesnævner:

Forstået? Lad os tjekke det nu.

Opgaver til selvstændig løsning:

Svar:

5. Multiplikation og division af brøker.

Nå, den sværeste del er forbi nu. Og foran os er det enkleste, men samtidig det vigtigste:

Procedure

Hvad er proceduren for at beregne et numerisk udtryk? Husk ved at beregne betydningen af ​​dette udtryk:

Har du talt?

Det burde virke.

Så lad mig minde dig om.

Det første skridt er at beregne graden.

Den anden er multiplikation og division. Hvis der er flere gange og divisioner på samme tid, kan de udføres i vilkårlig rækkefølge.

Og til sidst udfører vi addition og subtraktion. Igen, i vilkårlig rækkefølge.

Men: udtrykket i parentes vurderes ude af tur!

Hvis flere parenteser ganges eller divideres med hinanden, beregner vi først udtrykket i hver af parenteserne, og derefter gange eller dividere dem.

Hvad hvis der er flere beslag inde i beslagene? Nå, lad os tænke: et eller andet udtryk er skrevet inden for parentes. Når du beregner et udtryk, hvad skal du så gøre først? Det er rigtigt, beregn parenteserne. Nå, vi fandt ud af det: først beregner vi de indre parenteser, så alt andet.

Så proceduren for udtrykket ovenfor er som følger (den aktuelle handling er fremhævet med rødt, det vil sige den handling, jeg udfører lige nu):

Okay, det hele er enkelt.

Men det er ikke det samme som et udtryk med bogstaver?

Nej, det er det samme! Kun i stedet for aritmetiske operationer du skal lave algebraisk, det vil sige handlingerne beskrevet i det foregående afsnit: bringe lignende, tilføjelse af brøker, reduktion af brøker og så videre. Den eneste forskel vil være handlingen med at faktorisere polynomier (vi bruger ofte dette, når vi arbejder med brøker). For at faktorisere skal du oftest bruge I eller blot sætte den fælles faktor ud af parentes.

Normalt er vores mål at repræsentere udtrykket som et produkt eller kvotient.

For eksempel:

Lad os forenkle udtrykket.

1) Først forenkler vi udtrykket i parentes. Der har vi en brøkforskel, og vores mål er at præsentere det som et produkt eller en kvotient. Så vi bringer brøkerne til en fællesnævner og tilføjer:

Det er umuligt at forenkle dette udtryk yderligere; alle faktorerne her er elementære (kan du stadig huske, hvad det betyder?).

2) Vi får:

Multiplikation af brøker: hvad kunne være enklere.

3) Nu kan du forkorte:

OK, det hele er forbi nu. Intet kompliceret, vel?

Et andet eksempel:

Forenkle udtrykket.

Prøv først at løse det selv, og se først derefter på løsningen.

Løsning:

Først og fremmest, lad os bestemme rækkefølgen af ​​handlinger.

Lad os først tilføje brøkerne i parentes, så i stedet for to brøker får vi én.

Så laver vi division af brøker. Nå, lad os tilføje resultatet med den sidste brøk.

Jeg vil nummerere trinene skematisk:

Til sidst vil jeg give dig to nyttige tips:

1. Er der lignende, skal de straks medbringes. På hvilket tidspunkt lignende opstår i vores land, er det tilrådeligt at bringe dem op med det samme.

2. Det samme gælder for reducerende fraktioner: Så snart muligheden for at reducere opstår, skal den udnyttes. Undtagelsen er for brøker, som du tilføjer eller trækker fra: hvis de nu har de samme nævnere, så skal reduktionen stå til senere.

Her er nogle opgaver, du kan løse på egen hånd:

Og hvad der blev lovet i begyndelsen:

Svar:

Løsninger (kort):

Hvis du har klaret mindst de tre første eksempler, så har du mestret emnet.

Nu til at lære!

KONVERTERING AF UDTRYK. RESUMÉ OG GRUNDFORMLER

Grundlæggende forenklingsoperationer:

• Medbringer lignende: for at tilføje (reducere) lignende udtryk skal du tilføje deres koefficienter og tildele bogstavdelen.
• Faktorisering: sætte den fælles faktor ud af parentes, anvende den osv.
• Reduktion af en brøkdel: En brøks tæller og nævner kan ganges eller divideres med det samme tal, der ikke er nul, hvilket ikke ændrer brøkens værdi.
  1) tæller og nævner faktorisere
  2) hvis tæller og nævner har fælles faktorer, kan de overstreges.

  VIGTIGT: Kun multiplikatorer kan reduceres!

• Addere og trække brøker fra:
  ;
• Multiplikation og division af brøker:
  ;

Nå, emnet er slut. Hvis du læser disse linjer, betyder det, at du er meget sej.

Fordi kun 5% af mennesker er i stand til at mestre noget på egen hånd. Og hvis du læser til ende, så er du i disse 5%!

Nu det vigtigste.

Du har forstået teorien om dette emne. Og jeg gentager, det her... det her er bare super! Du er allerede bedre end langt de fleste af dine jævnaldrende.

Problemet er, at det måske ikke er nok...

For hvad?

Til vellykket afslutning Unified State Exam, for optagelse på college på et budget og, VIGTIGSTE, for livet.

Jeg vil ikke overbevise dig om noget, jeg vil bare sige én ting...

Folk der modtog en god uddannelse, tjener meget mere end dem, der ikke modtog det. Dette er statistik.

Men dette er ikke hovedsagen.

Det vigtigste er, at de er MERE GLADDE (der er sådanne undersøgelser). Måske fordi mange flere muligheder åbner sig foran dem, og livet bliver lysere? Ved ikke...

Men tænk selv...

Hvad skal der til for at være sikker på at være bedre end andre på Unified State-eksamenen og i sidste ende være... lykkeligere?

FÅ DIN HÅND VED LØSNING AF PROBLEMER OM DETTE EMNE.

Du bliver ikke bedt om teori under eksamen.

Du får brug for løse problemer mod tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MEGET!), vil du helt sikkert lave en dum fejl et eller andet sted eller simpelthen ikke have tid.

Det er ligesom i sport – du skal gentage det mange gange for at vinde med sikkerhed.

Find kollektionen, hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljeret analyse og beslut, beslut, beslut!

Du kan bruge vores opgaver (valgfrit), og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For at blive bedre til at bruge vores opgaver, skal du være med til at forlænge levetiden på den YouClever-lærebog, du er i gang med at læse.

Hvordan? Der er to muligheder:

1. Lås op for alle skjulte opgaver i denne artikel -
2. Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i alle 99 artikler i lærebogen - Køb en lærebog - 499 RUR

Ja, vi har 99 sådanne artikler i vores lærebog og adgang til alle opgaver og alle skjulte tekster i dem kan åbnes med det samme.

Adgang til alle skjulte opgaver er givet i HELE sitets levetid.

Afslutningsvis...

Hvis du ikke kan lide vores opgaver, så find andre. Bare stop ikke ved teorien.

"Forstået" og "Jeg kan løse" er helt forskellige færdigheder. Du har brug for begge dele.

Find problemer og løs dem!

Ethvert sprog kan udtrykke den samme information med forskellige ord og revolutioner. Matematisk sprog er ingen undtagelse. Men det samme udtryk kan skrives ækvivalent på forskellige måder. Og i nogle situationer er en af ​​posterne enklere. Vi vil tale om at forenkle udtryk i denne lektion.

Folk kommunikerer videre forskellige sprog. For os er en vigtig sammenligning parret "Russisk sprog - matematisk sprog". Den samme information kan kommunikeres på forskellige sprog. Men udover dette kan det udtales på forskellige måder på ét sprog.

For eksempel: "Petya er venner med Vasya", "Vasya er venner med Petya", "Petya og Vasya er venner". Sagt forskelligt, men det samme. Ud fra enhver af disse sætninger ville vi forstå, hvad vi taler om.

Lad os se på denne sætning: "Drengen Petya og drengen Vasya er venner." Vi forstår, hvad vi mener vi taler om. Vi kan dog ikke lide lyden af ​​denne sætning. Kan vi ikke forenkle det, sige det samme, men enklere? "Dreng og dreng" - du kan sige en gang: "Drenge Petya og Vasya er venner."

"Drenge"... Står det ikke klart ud fra deres navne, at de ikke er piger? Vi fjerner "drengene": "Petya og Vasya er venner." Og ordet "venner" kan erstattes med "venner": "Petya og Vasya er venner." Som et resultat blev den første, lange, grimme sætning erstattet med et tilsvarende udsagn, der er lettere at sige og lettere at forstå. Vi har forenklet denne sætning. At forenkle betyder at sige det mere enkelt, men ikke at miste eller fordreje betydningen.

I matematisk sprog sker der nogenlunde det samme. En og samme ting kan siges, skrevet forskelligt. Hvad vil det sige at forenkle et udtryk? Det betyder, at der for det oprindelige udtryk er mange ækvivalente udtryk, det vil sige dem, der betyder det samme. Og fra al denne sort skal vi vælge den enkleste, efter vores mening, eller den mest egnede til vores videre formål.

Overvej f.eks. det numeriske udtryk . Det vil svare til.

Det vil også svare til de to første: .

Det viser sig, at vi har forenklet vores udtryk og fundet det korteste ækvivalente udtryk.

For numeriske udtryk skal du altid gøre alt og få det tilsvarende udtryk som et enkelt tal.

Lad os se på et eksempel på et bogstaveligt udtryk . Det er klart, at det bliver enklere.

Når man forenkler bogstavelige udtryk det er nødvendigt at udføre alle mulige handlinger.

Er det altid nødvendigt at forenkle et udtryk? Nej, nogle gange vil det være mere bekvemt for os at have en tilsvarende, men længere adgang.

Eksempel: du skal trække et tal fra et tal.

Det er muligt at beregne, men hvis det første tal var repræsenteret ved dets ækvivalente notation: , så ville beregningerne være øjeblikkelige: .

Det vil sige, at et forenklet udtryk ikke altid er gavnligt for os til yderligere beregninger.

Ikke desto mindre står vi meget ofte over for en opgave, der bare lyder som "forenkle udtrykket."

Forenkle udtrykket: .

Løsning

1) Udfør handlingerne i første og anden parentes: .

2) Lad os beregne produkterne: .

Det sidste udtryk har naturligvis en enklere form end det oprindelige. Vi har forenklet det.

For at forenkle udtrykket skal det erstattes med et ækvivalent (lige).

For at bestemme det ækvivalente udtryk skal du bruge:

1) udføre alle mulige handlinger,

2) bruge egenskaberne addition, subtraktion, multiplikation og division til at forenkle beregninger.

Egenskaber for addition og subtraktion:

1. Kommutativ egenskab ved addition: omarrangering af vilkårene ændrer ikke summen.

2. Kombinationsegenskab for addition: For at tilføje et tredje tal til summen af ​​to tal, kan du tilføje summen af ​​det andet og tredje tal til det første tal.

3. Egenskaben ved at trække en sum fra et tal: for at trække en sum fra et tal, kan du trække hvert led separat.

Egenskaber ved multiplikation og division

1. Kommutativ egenskab ved multiplikation: omarrangering af faktorerne ændrer ikke produktet.

2. Kombinativ egenskab: for at gange et tal med produktet af to tal, kan du først gange det med den første faktor og derefter gange det resulterende produkt med den anden faktor.

3. Fordelingsegenskab ved multiplikation: For at gange et tal med en sum, skal du gange det med hvert led separat.

Lad os se, hvordan vi rent faktisk laver mentale beregninger.

Beregn:

Løsning

1) Lad os forestille os hvordan

2) Lad os forestille os den første faktor som summen af ​​bitled og udføre multiplikationen:

3) du kan forestille dig hvordan og udføre multiplikation:

4) Erstat den første faktor med en tilsvarende sum:

Fordelingsloven kan også bruges i modsatte side: .

Følg disse trin:

1) 2)

Løsning

1) For nemheds skyld kan du bruge fordelingsloven, kun bruge den i den modsatte retning - tag den fælles faktor ud af parentes.

2) Lad os tage den fælles faktor ud af parentes

Det er nødvendigt at købe linoleum til køkkenet og gangen. Køkkenafdeling - , entre - . Der er tre typer linoleum: til og rubler til. Hvor meget vil hver af de tre typer linoleum koste? (Fig. 1)

Ris. 1. Illustration til problemformuleringen

Løsning

Metode 1. Du kan separat finde ud af, hvor mange penge det vil tage at købe linoleum til køkkenet, og derefter lægge det i gangen og tilføje de resulterende produkter.

Praktisk og enkel online lommeregner fraktioner med detaljerede løsninger Måske:

• Addere, subtrahere, gange og dividere brøker online,
• Modtage færdig løsning brøker med et billede, og det er praktisk at overføre det.



Resultatet af at løse brøker vil være her...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Brøktegn "/" + - * :
_slet Ryd
Vores online brøkberegner har hurtig input. For at løse brøker, for eksempel, skal du blot skrive 1/2+2/7 ind i lommeregneren og tryk på " Løs brøker". Lommeregneren vil skrive til dig detaljeret løsning brøker og vil udstede et billede, der er nemt at kopiere.

Tegn, der bruges til at skrive i en lommeregner

Du kan skrive et eksempel på en løsning enten fra tastaturet eller ved hjælp af knapper.

Funktioner af online-brøkberegneren

Brøkberegneren kan kun udføre operationer på 2 simple brøker. De kan enten være korrekte (tæller mindre end nævneren), og forkert (tælleren er større end nævneren). Tallene i tælleren og nævnerne må ikke være negative eller større end 999.
Vores online lommeregner løser brøker og giver svaret på den rigtige slags- reducerer fraktionen og vælger hele delen, hvis det er nødvendigt.

Hvis du skal løse negative brøker, skal du blot bruge egenskaberne for minus. Når man multiplicerer og dividerer negative brøker, giver minus med minus plus. Det vil sige, at produktet og divisionen af ​​negative brøker er lig med produktet og divisionen af ​​de samme positive. Hvis en brøk er negativ, når du multiplicerer eller dividerer, skal du blot fjerne minus og derefter tilføje det til svaret. Når du tilføjer negative brøker, vil resultatet være det samme, som hvis du tilføjede de samme positive brøker. Hvis du tilføjer en negativ brøk, er det det samme som at trække den samme positive fra.
Når negative brøker trækkes fra, vil resultatet være det samme, som hvis de blev byttet om og gjort positive. Det vil sige, at minus for minus i dette tilfælde giver et plus, men at omarrangere vilkårene ændrer ikke summen. Vi bruger de samme regler, når vi trækker brøker fra, hvoraf den ene er negativ.

For løsninger blandede fraktioner(brøker hvori hele delen) bare drev hele delen til en brøkdel. For at gøre dette skal du gange hele delen med nævneren og lægge til tælleren.

Hvis du skal løse 3 eller flere brøker online, bør du løse dem én efter én. Tæl først de første 2 brøker, og løs derefter med det svar du får næste brøkdel og så videre. Udfør operationerne én efter én, 2 brøker ad gangen, og til sidst vil du få det rigtige svar.