Video lektion "Modsatte tal. Modsatte tal. Gennemfør lektioner – Videnshypermarked

I denne artikel vil vi udforske modsatte tal. Her vil vi besvare spørgsmålet om, hvilke tal der kaldes modsætninger, vise hvordan det modsatte af et givet tal betegnes, og give eksempler. Vi vil også liste de vigtigste resultater, der er karakteristiske for modsatte tal.

Sidenavigation.

Bestemmelse af modsatte tal

Det vil hjælpe os med at få en idé om modsatte tal.

Lad os markere et punkt M på koordinatlinjen, forskelligt fra origo. Vi kan komme til punkt M ved sekventielt at aflægge et enhedssegment, såvel som dets tiende, hundrede og så videre, fra oprindelsen i retning af punkt M. Hvis vi plotter det samme antal enhedssegmenter og dets andele i den modsatte retning, kommer vi til et andet punkt, angivet med bogstavet N. Lad os give et eksempel for at illustrere vores handlinger (se figuren nedenfor). For at komme til punkt M på koordinatlinjen aflagde vi to enhedssegmenter og 4 segmenter, der udgør en tiendedel af en enhed, i negativ retning. Lad os nu sætte to enhedssegmenter og 4 segmenter, der udgør en tiendedel af en enhed, i den positive retning. Dette vil give os punkt N.

Vi er næsten klar til at forstå definitionen af ​​modsatte tal, det eneste, der er tilbage, er at diskutere et par nuancer.

Vi ved, at hvert punkt på koordinatlinjen svarer til et enkelt reelt tal, derfor svarer både punkt M og punkt N til nogle reelle tal. Så tallene svarende til punkterne M og N kaldes modsatte.

Separat er det nødvendigt at sige om punkt O - oprindelsen. Punkt O svarer til tallet 0. Tallet nul anses for at være det modsatte af sig selv.

Nu kan vi stemme at bestemme modsatte tal.

Definition.

To tal kaldes modsat, hvis punkterne på koordinatlinjen svarende til disse tal kan nås ved at aflægge det samme antal enhedssegmenter fra origo i modsatte retninger, samt brøkdele af et enhedsstykke, tallet 0 er modsat sig selv.

Notation af modsatte tal og eksempler

Det er tid til at komme ind symboler for modsatte tal.

For at angive det modsatte af et givet tal, skal du bruge minustegnet, som er skrevet foran det givne tal. Det vil sige, at tallet modsat tallet a skrives som −a. For eksempel er det modsatte tal 0,24 −0,24, og det modsatte tal −25 er −(−25).

Lad os give eksempler på modsatte tal. Tallene 17 og −17 (eller −17 og 17) er et eksempel på modsatte heltal. Tallene og er modsatte rationelle tal. Andre eksempler på modsatte rationelle tal er parrene af tal 5.126 og -5.126. samt 0,(1201) og −0,(1201) . Det er tilbage at give et par eksempler på det modsatte

I denne artikel vil vi forsøge at finde ud af, hvad modsatte tal er. Vi vil forklare, hvad de er generelt, vise, hvilke specifikke betegnelser der bruges for dem, og se på et par eksempler. I den sidste del af materialet vil vi liste hovedegenskaberne af modsatte tal.

For at forklare selve begrebet modsætninger skal vi først afbilde en koordinatlinje. Lad os tage punkt M på det (men ikke helt i begyndelsen af ​​nedtællingen). Dens afstand til nul vil være lig med et vist antal enhedssegmenter, som igen kan opdeles i tiendedele og hundrededele. Hvis vi måler den samme afstand fra origo i modsat retning af den, hvori M er placeret, så kan vi komme til et andet lignende punkt. Lad os kalde det N. For eksempel er fra M til nul en afstand på 2,4 enhedssegmenter, og fra N til nul er den samme. Tag et kig på billedet:

Lad os huske, at hvert punkt på koordinatlinjen kun kan associeres med et reelle tal. I dette tilfælde svarer vores punkter M og N til visse tal, som kaldes modsatte. Hvert tal har et modsat tal, undtagen nul. Da dette er begyndelsen på nedtællingen, betragtes det som det modsatte af sig selv.

Lad os nedskrive definitionen af, hvad modsatte tal er:

Definition 1

Modsat er de tal, der svarer til sådanne punkter på koordinatlinjen, som vi kommer til, hvis vi markerer den samme afstand fra origo i forskellige retninger(positive og negative). Nul er ved oprindelsen og er modsat sig selv.

Hvordan angives modsatte tal?

I dette afsnit vil vi introducere grundlæggende notation for sådanne tal. Hvis vi har et bestemt tal, og vi skal skrive det modsatte af det, så bruger vi et minus til dette.

Eksempel 1

Lad os sige, at vores tal er a, derfor er dets modsætning a (minus a). På nøjagtig samme måde er det modsatte for 0,26 - 0,26, og for 145 vil det være - 145. Hvis selve det oprindelige tal er negativt, for eksempel - 9, så skriver vi det modsatte som – (- 9).

Hvilke andre eksempler på modsatte tal kan du give? Lad os tage de heltal: 12 og - 12. Modsatte rationale tal er 3 2 11 og - 3 2 11, samt 8, 128 og − 8, 128, 0, (18901) og − 0, (18901) osv. Irrationelle tal kan også være modsatte f.eks. værdierne numeriske udtryk 2 + 1 og - 2 + 1.

De modsatte irrationelle tal vil også være e og - e.

Grundlæggende egenskaber for modsatte tal

Sådanne tal har visse egenskaber. Nedenfor vil vi give en liste over dem med forklaringer.

Definition 2

1. Hvis det oprindelige tal er positivt, vil dets modsætning være negativt.

Dette udsagn er indlysende og følger af grafen ovenfor: sådanne tal findes ved forskellige sider reference på koordinatlinjen. Hvis du har glemt begreberne positive og negative tal, se på det materiale, som vi udgav tidligere.

En anden meget vigtig erklæring kan udledes af denne regel. I bogstavelig form ser dens notation således ud: for ethvert positivt a vil det være sandt − (− a) = a. Lad os med et eksempel vise, hvorfor dette er vigtigt.

Lad os tage tallet 5. Ved hjælp af koordinatlinjen kan du se, at det modsatte tal er 5, og omvendt. Ved at bruge notationen, som vi angav ovenfor, skriver vi tallet modsat - 5 som – (- 5) . Det viser sig, at – (- 5) = 5. Deraf konklusionen: modsatte tal adskiller sig kun fra hinanden ved tilstedeværelsen af ​​et minustegn.

2. Følgende egenskab kaldes normalt symmetriegenskaben. Det kan også udledes af selve definitionen af ​​modsatte tal. Det lyder sådan her:

Definition 3

Hvis et tal a er det modsatte af b, så er b det modsatte af a.

Denne erklæring behøver naturligvis ikke yderligere beviser.

3. Den tredje egenskab af modsatte tal siger:

Definition 4

Hvert reelt tal har kun ét modsat tal.

Dette udsagn følger af, at punkter på en koordinatlinje ikke kan svare til mange tal på én gang.

Definition 5

4. Modulerne med modsatte tal er lige store.

Dette følger af moduldefinitionen. Det er logisk, at punkter på en linje, der svarer til eventuelle modsatte tal, er i samme afstand fra referencepunktet.

Definition 6

5. Tilføjer vi modsatte tal, får vi 0.

Bogstaveligt talt ser denne sætning ud som en + (− a) = 0.

Eksempel 2

Her er eksempler på sådanne beregninger:

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Som du kan se, virker denne regel for alle tal - heltal, rationelle, irrationelle osv.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Emne

Lektionstype

• undersøgelse og primær assimilering af nyt materiale

Lektionens mål

Lær definitionerne af positive, negative og modsatte tal.

Find modsatte tal, når du løser øvelser, når du løser ligninger

Udviklingsmæssigt – at udvikle elevernes opmærksomhed, udholdenhed, udholdenhed, logisk tænkning, matematisk tale.

Pædagogisk - gennem lektionen, opdyrk en opmærksom holdning til hinanden, indgyd evnen til at lytte til kammerater, gensidig bistand og uafhængighed.

Lektionens mål

Find ud af, hvad modsatte tal er

Lær at bruge dette koncept, når du løser problemer

Test elevernes problemløsningsevner.

Lektionsplan

1. Introduktion.

2. Teoretisk del

3. Praktisk del.

4. Hjemmearbejde.

5. Interessante fakta

Introduktion

Se på billederne og beskriv med ét ord, hvad der er anderledes ved dem.

Billederne viser modsætninger.

- disse er to tal lige i absolut værdi, men har forskellige tegn, f.eks. 5 og -5.

Teoretisk del

Lad os først huske, hvad det er negative tal. Se video:

Punkter med koordinaterne 5 og -5 er lige langt fra punkt O og er placeret på modsatte sider af det. For at komme fra punkt O til disse punkter skal du rejse de samme afstande, men i modsatte retninger. Tallene 5 og -5 kaldes modsatte tal: 5 er det modsatte af -5, og -5 er det modsatte af 5.

To tal, der kun adskiller sig fra hinanden ved tegn, kaldes modsatte tal.

For eksempel ville modstående tal være 35 og -35, da tallet 35 = +35, hvilket betyder, at tallene 35 og -35 kun adskiller sig i fortegn. Modsatte tal vil også være 0,8 og -0,8, ¾ og -¾.

Egenskaber for modsatte tal

1). For hvert tal er der kun ét modsat tal.

2). Tallet 0 er det modsatte af sig selv.

3). Det modsatte tal af a betegnes -a. Hvis a = -7,8, så er -a = 7,8; hvis a = 8,3, så er -a = -8,3; hvis a = 0, så er -a = 0.

4). Notationen "-(-15)" betyder det modsatte tal på -15. Da det modsatte af -15 er 15, så er -(-15) = 15. Generelt -(-a) = en.

De naturlige tal, deres modsætninger og nul kaldes heltal.

Modsat nummer n" i forhold til tallet n er et tal, der når det lægges til n giver nul.

n + n" = 0

Denne ligestilling kan omskrives som følger:

n + n" − n = 0 − n eller n" = − n

Dermed, modsatte tal har de samme moduler, men modsatte fortegn.

Følgelig er det modsatte antal af n betegnet − n. Når et tal er positivt, vil dets modsatte tal være negativt, og omvendt.

1. Giv eksempler på modsatte tal.

2. Tegn dem på en koordinatlinje.

3. Navngiv tallet modsat -3,6; 7; 0; 8/9; -1/2

Praktisk del

Eksempel

1) Marker på koordinatlinjen punkterne A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5.2), F(5.2), G(-6) , H( 7). 2) Blandt disse punkter skal du finde og angive dem, der er symmetriske i forhold til punktet O(0). Hvad kan man sige om koordinaterne for symmetriske punkter?

Punkter symmetriske i forhold til punkt O(0): A(2) og B(-2), E(- 5.2) og F(5.2)

Koordinater af symmetriske punkter- Det er tal, der kun adskiller sig i fortegn. Sådanne numre kaldes modsat.

Marker punkterne A(-3), B(+6), C(+4.2), D(+3), E(-4.2), F(-6) på koordinatlinjen. Hvad kan du sige om disse tal ?

Af tallene 15; 2,5; – 2,5; - 18; 0; 45; – 45 vælg: a) naturlige tal; b) heltal; c) negative tal; d) positive tal; d) modsatte tal.

1) Skriv tallet modsat nummer a.

2) Angiv tallet modsat nummer a, hvis:

a=5, a=-3, a=0, a=-2/5;

A = 6, -a = - 2, -a = 3,4.

1) Husk, hvad posten betyder: - (- a).

2) Indsæt et tal i stedet for * for at opnå den korrekte lighed: a) - (- 5) = *; b) 3 = – *.

Lektier

1). Udfyld tabellen:

2). Find: a) -m,

hvis m = -8,

hvis m = -16

hvis -k = 27

hvis -k = -35

hvis c = 41

hvis c = -3,6

3). Hvor mange par af modsatte tal er der placeret mellem tallene -7,2 og 3,6. Markér på koordinatlinjen.

4). Find ud af navnet på den fremragende franske videnskabsmand:

Ved du hvor i Hverdagen møder vi positive og negative tal?

Liste over anvendte kilder

1. Matematisk encyklopædi (i 5 bind). - M.: Sovjetisk encyklopædi, 2002. - T. 1.
2. "De nyeste skolebørns opslagsbog" "HUSET XXI århundrede" 2008
3. Lektionsopsummering om emnet "Modsatte tal" Forfatter: Petrova V.P., matematiklærer (5-9 klassetrin), Kiev
4. N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matematik for klasse 6, Lærebog for gymnasiet

Lad os overveje dette eksempel. Du skal tælle sekventielt: .

Du kan omarrangere de tal, der skal tilføjes, og derefter trække de resterende fra: .

Men det er ikke altid praktisk. For eksempel kan vi beregne balancen af ​​ting på et eller andet lager, og vi skal kende mellemresultatet.

Du kan udføre handlinger i træk: .

Vi ved, at resultatet derfor vil være en subtraktion fra tallet. Det betyder, at vi skal trække , men ikke fra noget endnu. Når vi har noget at trække fra, trækker vi:

Men vi kan "snyde" og udpege . Derfor vil vi introducere nyt objekt - negative tal.

Vi har allerede udført en sådan operation - i naturen eksisterede for eksempel nummeret "" heller ikke, men vi introducerede et sådant objekt for at gøre det lettere at optage handlinger.

Forestil dig, at vi på et sportslager havde til opgave at udstede og modtage bolde. Vi skal føre optegnelser. Du kan skrive med ord:

Udstedt, Accepteret, Udstedt, Accepteret, … (Se Fig. 1.)

Ris. 1. Regnskab

Enig, hvis du har brug for at udstede og modtage mange gange om dagen, så er optagelse ikke særlig praktisk.

Du kan opdele arket i to kolonner, den ene - Accepteret, den anden - Udstedt. (Se figur 2.)

Ris. 2. Forenklet optagelse

Optagelsen er blevet kortere. Men her er problemet: hvordan forstår man, hvor mange bolde der blev taget (eller givet væk) på et bestemt tidspunkt?

Du kan bruge følgende hensyn til registrering: Når vi udsteder bolde fra lageret, falder deres mængde på lageret, og når vi accepterer dem, stiger det.

Men hvordan skriver man "gav bolden ud"? Du kan indtaste følgende objekt: .

Dette objekt giver os mulighed for at lave en matematisk registrering af kuglernes bevægelse i den rækkefølge, som det skete:

Lad os se på et andet eksempel.

Der er rubler på din telefonkonto. Du gik online, og det kostede rubler. Resultatet var en gæld på rubler. Operatøren kunne have skrevet ned: "kunden skylder rubler." Du sætter rubler. Operatøren trak gælden fra. Det viste sig på kontoen for rubler.

Men det er praktisk at registrere både transaktioner og penge på kontoen ved hjælp af tegnene "" og "". (Se figur 3.)

Ris. 3. Praktisk optagelse

Vi indtaster et negativt tal for at skrive resultatet af at trække et større tal fra et mindre tal: .

Tilføjelse af et negativt tal svarer til at trække: .

For at skelne negative tal fra de positive tal, som vi tidligere beskæftigede os med, blev vi enige om at sætte et minustegn foran: .

Kunne du undvære dem? Ja du kan. I hver specifik situation vi ville bruge ordene "tilbage", "i gæld" og så videre. Men de, disse ord, ville være anderledes.

Og så har vi et universelt, praktisk værktøj. En for alle sådanne sager.

Vi kan tegne en analogi med en bil. Den består af stor mængde dele, hvoraf mange ikke er nødvendige enkeltvis, men tilsammen giver dig mulighed for at køre. Ligeledes er negative tal et værktøj, der sammen med andre matematiske værktøjer gør det nemmere at beregne og forenkle løsning og skrivning af mange opgaver.

Så vi har introduceret et nyt objekt - negative tal. Hvad bruges de til i livet?

Lad os først huske de positive tals roller:

Mængde: for eksempel træ, liter mælk. (Se figur 4.)

Ris. 4. Mængde

Bestilling: for eksempel er huse nummererede positive tal. (Se figur 5.)

Ris. 5. Organiser

Navn: for eksempel fodboldspillernummer. (Se figur 6.)

Ris. 6. Nummer som navn

Lad os nu se på funktionerne af negative tal:

Angivelse af den manglende mængde. Kvantitet er aldrig negativ. Men et negativt tal bruges til at vise, at en mængde trækkes fra. For eksempel kan vi hælde fra en flaske og skrive det som . (Se figur 7.)

Ris. 7. Angivelse af manglende mængde

Arrangere. Nogle gange, når du nummererer, er nul valgt, og du skal nummerere objekter på begge sider af nul. For eksempel etagerne placeret under th, i kælderen. (Se figur 8.) Eller en temperatur, der er under det valgte nulpunkt. (Se figur 9.)

Ris. 8. Etage placeret under th, i kælderen

Ris. 9. Negative tal på termometerskalaen

Men alligevel er hovedformålet med negative tal som et værktøj til at forenkle matematiske beregninger.

Men for at negative tal bliver sådan her praktisk værktøj, behøver:

En negativ temperatur er en, der er under nul, under nul temperatur. Men hvad er nul temperatur? For at måle og registrere temperatur skal du vælge en måleenhed og et referencepunkt. Begge er aftaler. Vi bruger Celsius-skalaen efter den videnskabsmand, der foreslog det. (Se fig. 10.)

Ris. 10. Anders Celsius

Vandets frysepunkt er her valgt som referencepunkt. Alt nedenfor er angivet negativ værdi. (Se figur 11.)

Ris. elleve.

Men det er klart, at hvis vi tager et andet referencepunkt, et andet nul, så kan en negativ temperatur i Celsius være positiv på denne anden skala. Det er, hvad der sker. Kelvin-skalaen er meget brugt i fysik. Det ligner Celsius-skalaen, kun den laveste værdi er valgt som nul mulig temperatur(kan ikke være lavere). Denne værdi kaldes "absolut nul". I Celsius er dette ca. (Se figur 12.)

Ris. 12. To skalaer

Det vil sige, at der overhovedet ikke er nogen negative værdier i Kelvin-skalaen.

Så vores sommer .

Og de frostklare .

Det vil sige, at negativ temperatur er en konvention, en aftale blandt folk om at kalde det det.

Lad os starte fra bunden. Nul indtager en særlig position blandt tal.

Som vi allerede har diskuteret, kan vi for nemheds skyld betegne subtraktionen af ​​syv som et negativt tal. Da det betyder subtraktion, lader vi tegnet "" være dets tegn. Lad os navngive et nyt nummer.

Det vil sige, "" er et tal, der summeres til nul: . Og i enhver rækkefølge. Dette er definitionen af ​​et negativt (eller modsat) tal.

For hvert tal, som vi studerede tidligere, vil vi introducere et nyt tal, negativt, hvis fortegn er minustegnet foran. Det vil sige, at for hvert foregående nummer er det negativ tvilling. Vi kalder sådanne tvillinger for modsatte numre. (Se figur 13.)

Ris. 13. Modsatte tal

Så definitionen: modsatte tal er to tal, hvis sum er lig med nul.

Eksternt adskiller de sig kun i "" tegnet.

Hvis en variabel f.eks. indledes med et ""-tegn, hvad betyder det så? Dette betyder ikke, at denne værdi er negativ. Minustegnet betyder, at denne værdi er det modsatte af tallet: . Vi ved ikke, hvilke af disse tal der er positive, og hvilke der er negative.

Hvis så.

Hvis (negativt tal), så (positivt tal).

Hvilket tal er modsat nul? Det ved vi allerede.

Hvis nul tilføjes til et hvilket som helst tal, inklusive nul, ændres det oprindelige tal ikke. Det vil sige, at summen af ​​to nuller er nul:. Men tal, hvis sum er nul, er modsætninger. Således er nul modsat sig selv.

Så vi har givet definitionen af ​​negative tal og fundet ud af, hvorfor de er nødvendige.

Lad os nu bruge lidt tid på teknologi. For nu skal vi lære at finde det modsatte for et hvilket som helst tal:

I den sidste del af lektionen vil vi tale om nye navne og notationer for mængder, der dukker op efter indførelsen af ​​negative tal.

Definition af modsatte tal

Definition af modsatte tal:

To tal kaldes modsat, hvis de kun adskiller sig i fortegn.

Eksempler på modsatte tal

Eksempler på modsatte tal.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Herfra er det tydeligt, hvordan man finder det modsatte af et givet tal: skift blot fortegnet for tallet.

Det modsatte tal til 3 er tallet minus tre.

Eksempel. Tal er modsat data.

Givet: tal 1; 5; 8; 9.

Find de modsatte tal af dataene.

For at løse denne opgave skal du blot ændre fortegnene for de givne tal:

Lad os lave en tabel med modsatte tal:

Det modsatte af nul

Det modsatte af nul er selve tallet nul.

Så det modsatte tal til 0 er 0.

Modsat heltal

Modsatte heltal adskiller sig kun i fortegn.

Eksempler på modsatte heltal.

10 -10
20 -20
125 -125

Par af modsatte tal

Når de taler om modsatte tal, mener de altid et par modsatte tal.

Et tal er det modsatte af et andet tal. Og hvert tal har kun ét modsat tal.

Tal modsat naturlige tal

Det modsatte af naturlige tal er negative heltal.

Lad os lave en tabel med modsatte tal for de første fem naturlige tal:

Summen af ​​modsatte tal

Summen af ​​modsatte tal er nul. Når alt kommer til alt, adskiller modsatte tal sig kun i fortegn.