പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന കുറവിന്റെയും തീവ്രതയുടെയും ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക. പ്രവർത്തനങ്ങൾ വർദ്ധിക്കുന്നതിന്റെയും കുറയുന്നതിന്റെയും മതിയായ അടയാളങ്ങൾ

ഡെറിവേറ്റീവ്. ഇടവേളയിലെ ഏതെങ്കിലും പോയിന്റിന് ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നു, അത് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അത് കുറയുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ വർദ്ധനവിന്റെയും കുറവിന്റെയും ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അതിന്റെ നിർവചനം, ഡെറിവേറ്റീവ്, F’(x) > 0, F’(x) എന്നീ ഫോമിന്റെ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള ഡൊമെയ്‌ൻ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

പരിഹാരം.

3. y' > 0, y' 0 എന്നീ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക;
(4 - x)/x³

പരിഹാരം.
1. ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. വ്യക്തമായും, ഡിനോമിനേറ്ററിലെ പദപ്രയോഗം എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കണം. അതിനാൽ, നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്ന് 0 ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു: ഫംഗ്ഷൻ x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞) ന് നിർവ്വചിച്ചിരിക്കുന്നു.

2. ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുക:
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² – (3 x² + 2 x - 4) 2 x)/x^4 = (6 x³ + 2 x² – 6 x³ – 4 x² + 8 x)/x^ 4 = (8 x – 2 x²)/x^4 = 2 (4 - x)/x³.

3. y' > 0, y' 0 എന്നീ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക;
(4 - x)/x³

4. അസമത്വത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് ഒരു യഥാർത്ഥ x = 4 ഉണ്ട്, x = 0 ലേക്ക് തിരിയുന്നു. അതിനാൽ, x = 4 മൂല്യം ഇടവേളയിലും കുറയുന്ന ഇടവേളയിലും ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, കൂടാതെ പോയിന്റ് 0 ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല.
അതിനാൽ, x ∈ (-∞; 0) ∪ ഇടവേളയിൽ ആവശ്യമായ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു.

4. അസമത്വത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് ഒരു യഥാർത്ഥ x = 4 ഉണ്ട്, x = 0 ലേക്ക് തിരിയുന്നു. അതിനാൽ, x = 4 മൂല്യം ഇടവേളയിലും കുറയുന്ന ഇടവേളയിലും ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, കൂടാതെ പോയിന്റ് 0 ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല.
അതിനാൽ, x ∈ (-∞; 0) ∪ ഇടവേളയിൽ ആവശ്യമായ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു.

ഉറവിടങ്ങൾ:

• ഒരു ഫംഗ്‌ഷനിൽ കുറയുന്ന ഇടവേളകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു സംഖ്യയെ മറ്റൊന്നിൽ കർശനമായി ആശ്രയിക്കുന്നതിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ആർഗ്യുമെന്റിൽ (x) ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ (y) മൂല്യത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഓരോ പ്രക്രിയയും (ഗണിതത്തിൽ മാത്രമല്ല) അതിന്റേതായ പ്രവർത്തനത്താൽ വിവരിക്കാൻ കഴിയും, അതിൽ ഉണ്ടായിരിക്കും സവിശേഷതകൾ: കുറയുന്നതിന്റെയും കൂടുന്നതിന്റെയും ഇടവേളകൾ, മിനിമം, മാക്സിമം പോയിന്റുകൾ തുടങ്ങിയവ.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• - പേപ്പർ;
• - പേന.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 2.
f(x)=sinx +x കുറയുന്നതിന്റെ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക.
ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും: f’(x)=cosx+1.
അസമത്വം cosx+1 പരിഹരിക്കുന്നു

ഇടവേള ഏകതാനതഫംഗ്‌ഷൻ ഒന്നുകിൽ വർദ്ധിക്കുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യുന്ന ഇടവേള എന്ന് വിളിക്കാം. ഇത്തരത്തിലുള്ള ബീജഗണിത പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ പലപ്പോഴും ആവശ്യമായ ഫംഗ്‌ഷനുള്ള അത്തരം ശ്രേണികൾ കണ്ടെത്താൻ നിരവധി നിർദ്ദിഷ്ട പ്രവർത്തനങ്ങൾ സഹായിക്കും.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യുന്ന ഇടവേളകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ആദ്യപടി ഈ ഫംഗ്ഷൻ കണക്കാക്കുക എന്നതാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ കഴിയുന്ന എല്ലാ ആർഗ്യുമെന്റ് മൂല്യങ്ങളും (x-അക്ഷത്തിനൊപ്പം മൂല്യങ്ങൾ) കണ്ടെത്തുക. തടസ്സങ്ങൾ നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്ന പോയിന്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുക. ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക. ഡെറിവേറ്റീവിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗം നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി സജ്ജമാക്കുക. ഇതിനുശേഷം, ഫലത്തിന്റെ വേരുകൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തണം. അനുവദനീയമായ പ്രദേശത്തെക്കുറിച്ചല്ല.

ഫംഗ്‌ഷൻ അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ പോയിന്റുകൾ ഇടവേളകളുടെ അതിരുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു ഏകതാനത. ഈ ശ്രേണികളും അവയെ വേർതിരിക്കുന്ന പോയിന്റുകളും തുടർച്ചയായി പട്ടികയിൽ നൽകണം. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഇടവേളകളിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം കണ്ടെത്തുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഇടവേളയിൽ നിന്ന് ഡെറിവേറ്റീവിന് അനുയോജ്യമായ എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് ഏതെങ്കിലും ആർഗ്യുമെന്റ് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. ഫലം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ഈ ശ്രേണിയിലെ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ, അത് കുറയുന്നു. ഫലങ്ങൾ പട്ടികയിൽ നൽകിയിട്ടുണ്ട്.

f’(x) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന വരിയിൽ, ആർഗ്യുമെന്റുകളുടെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾ എഴുതിയിരിക്കുന്നു: “+” - ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, “-” - നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ “0” - പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അടുത്ത വരിയിൽ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ഏകതാനത ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരു മുകളിലേക്കുള്ള അമ്പടയാളം വർദ്ധനവിന് സമാനമാണ്, ഒരു താഴത്തെ അമ്പടയാളം കുറയുന്നതിന് തുല്യമാണ്. പ്രവർത്തനങ്ങൾ പരിശോധിക്കുക. ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമായിരിക്കുന്ന പോയിന്റുകളാണിവ. ഒരു എക്സ്ട്രീം പരമാവധി പോയിന്റോ മിനിമം പോയിന്റോ ആകാം. ഫംഗ്ഷന്റെ മുമ്പത്തെ വിഭാഗം വർദ്ധിക്കുകയും നിലവിലുള്ളത് കുറയുകയും ചെയ്താൽ, ഇത് പരമാവധി പോയിന്റാണ്. ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിന് മുമ്പ് പ്രവർത്തനം കുറയുകയും ഇപ്പോൾ അത് വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, ഇതാണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ്. എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകളിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ പട്ടികയിലേക്ക് നൽകുക.

ഉറവിടങ്ങൾ:

• ഏകതാനതയുടെ നിർവചനം എന്താണ്

ഒരു ആർഗ്യുമെന്റിൽ സങ്കീർണ്ണമായ ആശ്രിതത്വമുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ സ്വഭാവം ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് പഠിക്കുന്നു. ഡെറിവേറ്റീവിലെ മാറ്റത്തിന്റെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച്, പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വളർച്ചയുടെയോ കുറവിന്റെയോ നിർണായക പോയിന്റുകളും മേഖലകളും നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും.

ഒരു നിശ്ചിത തലത്തിൽ ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം വ്യക്തമാക്കട്ടെ. ചില ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് , (എക്സ്-ഡൊമെയ്ൻ ഓഫ് ഡെഫനിഷൻ) എന്നത് കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഈ വിമാനത്തിന്റെ പോയിന്റുകളുടെ കൂട്ടമാണ്, എവിടെ .

ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഒരു വിമാനത്തിൽ ഒരു കൂട്ടം പോയിന്റുകൾ ചിത്രീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ (x;y) ബന്ധവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

മിക്കപ്പോഴും, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരുതരം വക്രമാണ്.

ഒരു ഗ്രാഫ് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ മാർഗം പോയിന്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക എന്നതാണ്.

ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മൂല്യം ഒരു സെല്ലിലും ഈ ആർഗ്യുമെന്റിൽ നിന്നുള്ള ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം എതിർ സെല്ലിലുമുള്ള ഒരു പട്ടിക സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പോയിന്റുകൾ വിമാനത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തുകയും അവയിലൂടെ ഒരു വക്രം വരയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

പോയിന്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം:

നമുക്ക് ഒരു മേശ ഉണ്ടാക്കാം.

ഇനി നമുക്ക് ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാം.

എന്നാൽ ഈ രീതിയിൽ മതിയായ കൃത്യമായ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല - കൃത്യതയ്ക്കായി നിങ്ങൾ ധാരാളം പോയിന്റുകൾ എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാൽ അവർ ഉപയോഗിക്കുന്നു വിവിധ രീതികൾപ്രവർത്തന പഠനങ്ങൾ.

ചടങ്ങിന്റെ സമ്പൂർണ്ണ ഗവേഷണ പദ്ധതി ഉന്നത വിദ്യാഭ്യാസത്തിൽ പരിചിതമാണ്. വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള പോയിന്റുകളിലൊന്ന് ഫംഗ്ഷന്റെ വർദ്ധനവിന്റെ (കുറയലിന്റെ) ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്.

ഈ ഇടവേളയിൽ നിന്നുള്ള ഏതെങ്കിലും x 2, x 1 എന്നിവയ്‌ക്ക്, അതായത് x 2 >x 1 ആണെങ്കിൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുന്നത് (കുറയുന്നത്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രത്തിൽ, ഇടവേളകളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫ് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ കൂടുന്നു, ഇടവേളയിൽ കുറയുന്നു (-5;3). അതായത്, ഇടവേളകളിൽ ഷെഡ്യൂൾ മുകളിലേക്ക് പോകുന്നു. ഒപ്പം ഇടവേളയിൽ (-5;3) "ഇറക്കം".

പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിലെ മറ്റൊരു പോയിന്റ് ആവർത്തനത്തിനായുള്ള പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ്.

അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു സംഖ്യ T ഉണ്ടെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷനെ ആനുകാലികം എന്ന് വിളിക്കുന്നു .

ടി എന്ന സംഖ്യയെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ കാലഘട്ടം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഫംഗ്ഷൻ ആനുകാലികമാണ്, ഇവിടെ കാലയളവ് 2P ആണ്, അങ്ങനെ

ആനുകാലിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ആദ്യ ഫംഗ്ഷന്റെ കാലയളവ് 3 ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് 4 ആണ്.

ഒരു ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഉദാഹരണം y=x 2 ആണെങ്കിലും ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ ഉദാഹരണമെങ്കിൽ ഒറ്റത്തവണ എന്ന് വിളിക്കുന്നു വിചിത്രമായ പ്രവർത്തനം y=x 3.

ഒരു ഇരട്ട പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് op-amp axis (ആക്സിയൽ സമമിതി) സംബന്ധിച്ച് സമമിതിയാണ്.

വിചിത്രമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഉത്ഭവത്തിന്റെ (കേന്ദ്ര സമമിതി) സമമിതിയാണ്.

ഇരട്ട (ഇടത്), ഒറ്റ (വലത്) ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ.

1. ഫംഗ്ഷന്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക

2. ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

3. ഡെറിവേറ്റീവിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുകയും ഫംഗ്ഷന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുക

4. ഡെഫനിഷൻ ഏരിയയിൽ നിർണ്ണായക പോയിന്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുക

5. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഓരോ ഇടവേളകളിലും ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം കണക്കാക്കുക

6. ഓരോ ഇടവേളയിലും പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സ്വഭാവം കണ്ടെത്തുക.

ഉദാഹരണം: ഫംഗ്‌ഷൻ കൂടുന്നതിന്റെയും കുറയുന്നതിന്റെയും ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുകഎഫ്(x) = കൂടാതെ ഇടവേളയിലെ ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങളുടെ എണ്ണം.

പരിഹാരം:

1.D( എഫ്) = ആർ

2. എഫ്"(x) =

ഡി( എഫ്") = ഡി( എഫ്) = ആർ

3. സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് ഫംഗ്ഷന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക എഫ്"(x) = 0.

x(x – 10) = 0

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകൾ x= 0 ഒപ്പം x = 10.

4. ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം.

എഫ്"(x) + – +

എഫ്(x) 0 10x

ഇടവേളകളിൽ (-∞; 0), (10; +∞) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണ്, പോയിന്റുകളിൽ x= 0, x = 10 ഫംഗ്‌ഷൻ എഫ്(x) തുടർച്ചയായതാണ്, അതിനാൽ, ഈ പ്രവർത്തനം ഇടവേളകളിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു: (-∞; 0]; .

സെഗ്മെന്റിന്റെ അറ്റത്തുള്ള ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ അടയാളം നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം.

എഫ്(0) = 3, എഫ്(0) > 0

എഫ്(10) = , എഫ്(10) < 0.

സെഗ്‌മെന്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ കുറയുകയും ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ അടയാളം മാറുകയും ചെയ്യുന്നതിനാൽ, ഈ സെഗ്‌മെന്റിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരു പൂജ്യം ഉണ്ട്.

ഉത്തരം: ഫംഗ്ഷൻ f(x) ഇടവേളകളിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു: (-∞; 0]; ;

ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്‌ഷന് പൂജ്യം എന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഉണ്ട്.

2. ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റുകൾ: പരമാവധി പോയിന്റുകളും കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകളും. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം നിലനിൽപ്പിന് ആവശ്യമായതും മതിയായതുമായ വ്യവസ്ഥകൾ. എക്സ്ട്രീമിനായി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം .

നിർവ്വചനം 1:ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ പോയിന്റുകളെ ക്രിട്ടിക്കൽ അല്ലെങ്കിൽ സ്റ്റേഷണറി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 2. ഈ പോയിന്റിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള മൂല്യങ്ങളേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ (കൂടുതൽ) ഒരു പോയിന്റിനെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ (പരമാവധി) പോയിന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പരമാവധി, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഇൻ എന്ന കാര്യം ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ് ഈ സാഹചര്യത്തിൽപ്രാദേശികമാണ്.

ചിത്രത്തിൽ. 1. ലോക്കൽ മാക്സിമയും മിനിമയും കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ കൂടിയതും കുറഞ്ഞതും ഒരു പൊതുനാമത്താൽ ഏകീകരിക്കപ്പെടുന്നു: ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം.

സിദ്ധാന്തം 1. (ആവശ്യമായ അടയാളംപ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഒരു തീവ്രതയുടെ അസ്തിത്വം). ഒരു ബിന്ദുവിൽ വ്യതിരിക്തമാക്കാവുന്ന ഒരു ഫങ്ഷന് ഈ ഘട്ടത്തിൽ കൂടിയതോ കുറഞ്ഞതോ ആണെങ്കിൽ, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു, .

സിദ്ധാന്തം 2.(ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു തീവ്രതയുടെ അസ്തിത്വത്തിന്റെ മതിയായ അടയാളം). ഒരു തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷന് ചില ഇടവേളകളിലെ എല്ലാ പോയിന്റുകളിലും ഒരു നിർണ്ണായക പോയിന്റ് അടങ്ങിയ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടെങ്കിൽ (ഈ പോയിന്റ് ഒഴികെ), കൂടാതെ ഡെറിവേറ്റീവ്, ആർഗ്യുമെന്റ് നിർണ്ണായക പോയിന്റിലൂടെ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് പോകുമ്പോൾ, ചിഹ്നം പ്ലസ് മുതൽ മൈനസിലേക്ക് മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ, ഈ പോയിന്റിലെ ഫംഗ്ഷന് പരമാവധി ഉണ്ട്, ചിഹ്നം മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസിലേക്ക് മാറുമ്പോൾ, അതിന് മിനിമം ഉണ്ട്.

മോണോടോൺ

വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട സ്വത്ത്പ്രവർത്തനം അതിന്റെ ഏകതാനതയാണ്. വിവിധ പ്രത്യേക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഈ സ്വത്ത് അറിയുന്നതിലൂടെ, വിവിധ ശാരീരിക, സാമ്പത്തിക, സാമൂഹിക, മറ്റ് നിരവധി പ്രക്രിയകളുടെ സ്വഭാവം നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും.

ഇനിപ്പറയുന്ന തരത്തിലുള്ള ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഏകതാനത വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു:

1) പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു, ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിലാണെങ്കിൽ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിന്റുകൾക്കും ഈ ഇടവേളയ്ക്കും . ആ. ഉയർന്ന മൂല്യംആർഗ്യുമെന്റ് ഒരു വലിയ ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു;

2) പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു, ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിലാണെങ്കിൽ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിന്റുകൾക്കും ഈ ഇടവേളയ്ക്കും . ആ. ഒരു വലിയ ആർഗ്യുമെന്റ് മൂല്യം ഒരു ചെറിയ ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു;

3) പ്രവർത്തനം കുറയാത്തത്, ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിലാണെങ്കിൽ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിന്റുകൾക്കും ഈ ഇടവേളയ്ക്കും വേണ്ടിയാണെങ്കിൽ;

4) പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നില്ല, ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിലാണെങ്കിൽ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിന്റുകൾക്കും ഈ ഇടവേളയ്ക്കും .

2. ആദ്യത്തെ രണ്ട് കേസുകളിൽ, "കർശനമായ ഏകതാനത" എന്ന പദവും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

3. അവസാനത്തെ രണ്ട് കേസുകൾ നിർദ്ദിഷ്ടമാണ്, അവ സാധാരണയായി നിരവധി ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഘടനയായി വ്യക്തമാക്കുന്നു.

4. വെവ്വേറെ, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ വർദ്ധനവും കുറവും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് പരിഗണിക്കേണ്ടതാണെന്നും മറ്റൊന്നുമല്ലെന്നും ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

2. ഇരട്ട/ഒറ്റ.

ഫംഗ്ഷനെ ഓഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ അടയാളം മാറുമ്പോൾ, അത് അതിന്റെ മൂല്യം വിപരീതമായി മാറ്റുന്നു. ഇതിനുള്ള ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു . ഇതിനർത്ഥം, എല്ലാ x-ന്റെയും സ്ഥാനത്ത് "മൈനസ് x" മൂല്യങ്ങൾ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച ശേഷം, ഫംഗ്ഷൻ അതിന്റെ ചിഹ്നം മാറ്റും. അത്തരമൊരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഉത്ഭവത്തെക്കുറിച്ച് സമമിതിയാണ്.

വിചിത്രമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ മുതലായവ.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഗ്രാഫിന് യഥാർത്ഥത്തിൽ ഉത്ഭവത്തെക്കുറിച്ച് സമമിതിയുണ്ട്:

ഫംഗ്ഷനെ ഈവൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ അടയാളം മാറുമ്പോൾ, അത് അതിന്റെ മൂല്യം മാറ്റില്ല. ഇതിനുള്ള ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു. ഇതിനർത്ഥം, എല്ലാ x-ന്റെയും സ്ഥാനത്ത് "മൈനസ് x" മൂല്യങ്ങൾ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചതിന് ശേഷം, ഫലമായി ഫംഗ്ഷൻ മാറില്ല എന്നാണ്. അത്തരമൊരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് അച്ചുതണ്ടിന്റെ സമമിതിയാണ്.

ഇരട്ട പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ മുതലായവ.

ഉദാഹരണത്തിന്, അച്ചുതണ്ടിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഗ്രാഫിന്റെ സമമിതി കാണിക്കാം:

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഏതെങ്കിലും നിർദ്ദിഷ്ട തരങ്ങളിൽ ഉൾപ്പെടുന്നില്ലെങ്കിൽ, അതിനെ ഇരട്ട അല്ലെങ്കിൽ ഒറ്റ അല്ലെങ്കിൽ പ്രവർത്തനം പൊതുവായ കാഴ്ച . അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് സമമിതി ഇല്ല.

അത്തരമൊരു ഫംഗ്ഷൻ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അടുത്തിടെ പരിഗണിച്ച ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ:

3. പ്രത്യേക സ്വത്ത്പ്രവർത്തനങ്ങൾ ആണ് ആനുകാലികത.

സ്റ്റാൻഡേർഡിൽ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന ആനുകാലിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്നതാണ് വസ്തുത സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതി, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ മാത്രമാണ്. പ്രസക്തമായ വിഷയം പഠിക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം അവരെക്കുറിച്ച് വിശദമായി സംസാരിച്ചു.

ആനുകാലിക പ്രവർത്തനംആർഗ്യുമെന്റിലേക്ക് ഒരു നിശ്ചിത സ്ഥിരമായ പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ ചേർക്കുമ്പോൾ അതിന്റെ മൂല്യങ്ങളിൽ മാറ്റം വരുത്താത്ത ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്.

ഈ മിനിമം നമ്പർ വിളിക്കുന്നു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ കാലഘട്ടംകത്ത് മുഖേന നിയോഗിക്കപ്പെട്ടവയാണ്.

ഇതിനുള്ള ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: .

ഒരു സൈൻ ഗ്രാഫിന്റെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഈ പ്രോപ്പർട്ടി നോക്കാം:

ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ കാലഘട്ടവും ആണ്, കാലയളവും ആണ് എന്ന് നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം.

നമുക്ക് ഇതിനകം അറിയാവുന്നതുപോലെ, വേണ്ടി ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾസങ്കീർണ്ണമായ ഒരു വാദത്തിനൊപ്പം ഒരു നിലവാരമില്ലാത്ത കാലയളവ് ഉണ്ടാകാം. അത് ഏകദേശംഫോമിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ച്:

അവരുടെ കാലഘട്ടം തുല്യമാണ്. കൂടാതെ പ്രവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ച്:

അവരുടെ കാലഘട്ടം തുല്യമാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരു പുതിയ കാലയളവ് കണക്കാക്കാൻ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിരീഡ് ആർഗ്യുമെന്റിലെ ഘടകം കൊണ്ട് വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇത് ഫംഗ്ഷന്റെ മറ്റ് പരിഷ്ക്കരണങ്ങളെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.

പരിമിതപ്പെടുത്താതെ.

ഫംഗ്ഷൻ y=f(x) ഏതെങ്കിലും xϵX-ന് അസമത്വം f(x) കൈവശം വയ്ക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ X⊂D(f) ഗണത്തിൽ താഴെ നിന്ന് പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു< a.

ഫംഗ്ഷൻ y=f(x) ഏതെങ്കിലും хϵХ അസമത്വത്തിന് f(x) കൈവശം വയ്ക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ X⊂D(f) ഗണത്തിൽ മുകളിൽ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു എന്ന് വിളിക്കുന്നു< a.

ഇടവേള X വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, നിർവചനത്തിന്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും ഫംഗ്ഷൻ പരിമിതപ്പെടുത്തിയതായി കണക്കാക്കുന്നു. മുകളിലും താഴെയുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ ബൗണ്ടഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഫംഗ്ഷന്റെ പരിമിതി ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് വായിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് കുറച്ച് ലൈൻ y=a വരയ്ക്കാം, ഫംഗ്ഷൻ ഈ ലൈനേക്കാൾ ഉയർന്നതാണെങ്കിൽ, അത് താഴെ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

താഴെയാണെങ്കിൽ, അതിനനുസരിച്ച് മുകളിൽ. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ചുവടെയുണ്ട്. സുഹൃത്തുക്കളേ, ഒരു പരിമിതമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് സ്വയം വരയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

വിഷയം: പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ: കൂടുന്നതിന്റെയും കുറയുന്നതിന്റെയും ഇടവേളകൾ; ഏറ്റവും മഹത്തായതും ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം; എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ (പ്രാദേശിക പരമാവധി, മിനിമം), ഫംഗ്ഷന്റെ കോൺവെക്സിറ്റി.

കൂടുന്നതിന്റെയും കുറയുന്നതിന്റെയും ഇടവേളകൾ.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ വർദ്ധനവിനും കുറവിനുമുള്ള മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ (അടയാളങ്ങൾ) അടിസ്ഥാനമാക്കി, പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വർദ്ധനവിന്റെയും കുറവിന്റെയും ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

ഒരു ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ കൂടുന്നതിന്റെയും കുറയുന്നതിന്റെയും അടയാളങ്ങളുടെ ഫോർമുലേഷനുകൾ ഇതാ:

· ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ y=f(x)ആർക്കും പോസിറ്റീവ് xഇടവേള മുതൽ എക്സ്, തുടർന്ന് പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു എക്സ്;

· ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ y=f(x)ആർക്കും നെഗറ്റീവ് xഇടവേള മുതൽ എക്സ്, അപ്പോൾ പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു എക്സ്.

അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ വർദ്ധനവിന്റെയും കുറവിന്റെയും ഇടവേളകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഇത് ആവശ്യമാണ്:

· ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക;

· ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക;

നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിലെ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക;

ഫംഗ്ഷന്റെ എക്സ്ട്രീമ

നിർവ്വചനം 2

$x_0$ എന്ന പോയിന്റിനെ $f(x)$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധി പോയിന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഈ പോയിന്റിന്റെ ഒരു അയൽപക്കം ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഈ അയൽപക്കത്തുള്ള എല്ലാ $x$ നും അസമത്വം $f(x)\le f(x_0) $ പിടിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 3

$x_0$ എന്ന പോയിന്റിനെ $f(x)$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധി പോയിന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഈ പോയിന്റിന്റെ ഒരു അയൽപക്കം ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഈ അയൽപക്കത്തുള്ള എല്ലാ $x$ നും അസമത്വം $f(x)\ge f(x_0) $ പിടിക്കുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം എന്ന ആശയം ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർണായക പോയിന്റ് എന്ന ആശയവുമായി അടുത്ത ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് അതിന്റെ നിർവചനം പരിചയപ്പെടുത്താം.

നിർവ്വചനം 4

$x_0$ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരു നിർണായക പോയിന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു എങ്കിൽ:

1) $x_0$ - നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിന്റെ ആന്തരിക പോയിന്റ്;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല.

എക്സ്ട്രീം എന്ന സങ്കൽപ്പത്തിന്, നമുക്ക് മതിയായ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്താം ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾഅവന്റെ അസ്തിത്വം.

സിദ്ധാന്തം 2

മതിയായ അവസ്ഥഅങ്ങേയറ്റം

$y=f(x)$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷനായി $x_0$ പോയിന്റ് നിർണ്ണായകവും $(a,b)$ എന്ന ഇടവേളയിൽ കിടക്കട്ടെ. ഓരോ ഇടവേളയിലും $\left(a,x_0\right)\ കൂടാതെ\ (x_0,b)$ എന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് $f"(x)$ നിലവിലുണ്ടാകുകയും സ്ഥിരമായ ഒരു ചിഹ്നം നിലനിർത്തുകയും ചെയ്യട്ടെ. തുടർന്ന്:

1) $(a,x_0)$ എന്ന ഇടവേളയിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് $f"\left(x\right)>0$ ആണെങ്കിൽ $(x_0,b)$ എന്ന ഇടവേളയിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് $f"\left( x\വലത്)

2) ഇടവേളയിൽ $(a,x_0)$ ഡെറിവേറ്റീവ് $f"\left(x\right)0$ ആണെങ്കിൽ, $x_0$ ആണ് ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ്.

3) $(a,x_0)$ എന്ന ഇടവേളയിലും $(x_0,b)$ എന്ന ഇടവേളയിലും $f"\left(x\right) >0$ അല്ലെങ്കിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് $f"\left(x) \വലത്)

ഈ സിദ്ധാന്തം ചിത്രം 1 ൽ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.

ചിത്രം 1. എക്സ്ട്രീമയുടെ നിലനിൽപ്പിന് മതിയായ അവസ്ഥ

അതിരുകടന്നതിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ (ചിത്രം 2).

ചിത്രം 2. അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിന്റുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

എക്സ്ട്രീമിനായി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം

2) ഡെറിവേറ്റീവ് $f"(x)$ കണ്ടെത്തുക;

7) ഓരോ ഇടവേളയിലും മാക്സിമയുടെയും മിനിമയുടെയും സാന്നിധ്യത്തെക്കുറിച്ച് സിദ്ധാന്തം 2 ഉപയോഗിച്ച് നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുക.

ഫംഗ്‌ഷനുകൾ കൂടുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു

ഫംഗ്‌ഷനുകൾ കൂടുന്നതിന്റെയും കുറയുന്നതിന്റെയും നിർവചനങ്ങൾ നമുക്ക് ആദ്യം പരിചയപ്പെടുത്താം.

നിർവ്വചനം 5

$X$ ഇടവേളയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന $y=f(x)$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ, ഏതെങ്കിലും പോയിന്റുകൾക്ക് $x_1,x_2\in X$-ൽ $x_1-ൽ വർദ്ധിക്കുന്നതായി പറയപ്പെടുന്നു.

നിർവ്വചനം 6

$X$ എന്ന ഇടവേളയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ $x_1f(x_2)$-ന് $x_1,x_2\in X$ എന്നതാണെങ്കിൽ കുറയുന്നതായി പറയപ്പെടുന്നു.

വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നു

ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ കൂട്ടുന്നതും കുറയുന്നതും പഠിക്കാം.

കൂടുന്നതിന്റെയും കുറയുന്നതിന്റെയും ഇടവേളകൾക്കായി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പരിശോധിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യണം:

1) $f(x)$ ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ കണ്ടെത്തുക;

2) ഡെറിവേറ്റീവ് $f"(x)$ കണ്ടെത്തുക;

3) തുല്യത $f"\left(x\right)=0$ പിടിക്കുന്ന പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക;

4) $f"(x)$ നിലവിലില്ലാത്ത പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക;

5) കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ കണ്ടെത്തിയ എല്ലാ പോയിന്റുകളും ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നും അടയാളപ്പെടുത്തുക;

6) ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഓരോ ഇടവേളയിലും $f"(x)$ എന്ന ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക;

7) ഒരു നിഗമനം വരയ്ക്കുക: $f"\ഇടത്(x\വലത്)0$ ഫംഗ്‌ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്ന ഇടവേളകളിൽ.

എക്സ്ട്രീമ പോയിന്റുകളുടെ വർദ്ധനവ്, കുറയൽ, സാന്നിധ്യം എന്നിവയ്ക്കുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 1

കൂടുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ പരിശോധിക്കുക, പരമാവധി കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകളുടെ സാന്നിധ്യം: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

ആദ്യത്തെ 6 പോയിന്റുകൾ ഒന്നുതന്നെ ആയതിനാൽ, ആദ്യം നമുക്ക് അവ നടപ്പിലാക്കാം.

1) നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ - എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളും;

2) $f"\ഇടത്(x\വലത്)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\ഇടത്(x\വലത്)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിലെ എല്ലാ പോയിന്റുകളിലും നിലവിലുണ്ട്;

5) കോർഡിനേറ്റ് ലൈൻ:

ചിത്രം 3.

6) ഓരോ ഇടവേളയിലും $f"(x)$ എന്ന ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക:

\ \}