Penyelesaian grafik bagi sistem persamaan dan ketaksamaan. Menyelesaikan sistem ketaksamaan linear secara grafik

Dalaman
22.09.2019

biarlah f(x,y) Dan g(x, y)- dua ungkapan dengan pembolehubah X Dan di dan skop X. Kemudian ketaksamaan bentuk f(x, y) > g(x, y) atau f(x, y) < g(x, y) dipanggil ketidaksamaan dengan dua pembolehubah .


Maksud Pembolehubah x, y daripada ramai X, di mana ketaksamaan bertukar menjadi ketaksamaan berangka sebenar, ia dipanggil keputusan dan ditetapkan (x, y). Selesaikan ketidaksamaan - ini bermakna mencari banyak pasangan sedemikian.


Jika setiap pasangan nombor (x, y) daripada set penyelesaian kepada ketaksamaan, padankan titiknya M(x, y), kita memperoleh set mata pada satah yang ditakrifkan oleh ketaksamaan ini. Dia dipanggil graf ketidaksamaan ini . Graf ketaksamaan biasanya merupakan kawasan pada satah.


Untuk menggambarkan set penyelesaian kepada ketaksamaan f(x, y) > g(x, y), teruskan seperti berikut. Pertama, gantikan tanda ketaksamaan dengan tanda sama dan cari garis yang mempunyai persamaan f(x,y) = g(x,y). Garisan ini membahagikan satah kepada beberapa bahagian. Selepas ini, cukup untuk mengambil satu mata dalam setiap bahagian dan menyemak sama ada ketidaksamaan itu berpuas hati pada ketika ini f(x, y) > g(x, y). Jika ia dilaksanakan pada ketika ini, maka ia akan dilaksanakan di seluruh bahagian di mana titik ini terletak. Menggabungkan bahagian tersebut, kami memperoleh banyak penyelesaian.


Tugasan. y > x.


Penyelesaian. Pertama, kita menggantikan tanda ketaksamaan dengan tanda sama dan membina garis dalam sistem koordinat segi empat tepat yang mempunyai persamaan y = x.


Garisan ini membahagikan satah kepada dua bahagian. Selepas ini, ambil satu mata dalam setiap bahagian dan semak sama ada ketidaksamaan itu berpuas hati pada ketika ini y > x.


Tugasan. Selesaikan ketaksamaan secara grafik
X 2 + di 2 £25.
















nasi. 18.



Penyelesaian. Mula-mula, gantikan tanda ketaksamaan dengan tanda sama dan lukis garisan X 2 + di 2 = 25. Ini ialah bulatan dengan pusat di tempat asal dan jejari 5. Bulatan yang terhasil membahagikan satah kepada dua bahagian. Menyemak kepuasan ketidaksamaan X 2 + di 2 £ 25 dalam setiap bahagian, kita dapati bahawa graf ialah set titik pada bulatan dan bahagian satah di dalam bulatan.

Biarkan dua ketaksamaan diberikan f 1(x, y) > g 1(x, y) Dan f 2(x, y) > g 2(x, y).

Sistem set ketaksamaan dengan dua pembolehubah

Sistem ketidaksamaan ialah diri sendiri gabungan ketidaksamaan ini. Penyelesaian sistem adalah setiap makna (x, y), yang menukar setiap ketaksamaan kepada ketaksamaan berangka sebenar. Banyak penyelesaian sistem ketaksamaan ialah persilangan set penyelesaian kepada ketaksamaan yang membentuk sistem tertentu.


Set ketaksamaan ialah diri sendiri perpecahan ini ketidaksamaan Dengan penyelesaian keseluruhan adalah setiap makna (x, y), yang menukarkan sekurang-kurangnya satu set ketaksamaan kepada ketaksamaan berangka sebenar. Banyak penyelesaian keseluruhan ialah gabungan set penyelesaian kepada ketaksamaan yang membentuk satu set.


Tugasan. Selesaikan secara grafik sistem ketaksamaan


Penyelesaian. y = x Dan X 2 + di 2 = 25. Kami menyelesaikan setiap ketaksamaan sistem.


Graf sistem ialah set titik pada satah yang merupakan persilangan (penetasan berganda) bagi set penyelesaian kepada ketaksamaan pertama dan kedua.


Tugasan. Selesaikan secara grafik satu set ketaksamaan



















Penyelesaian. Pertama, kita menggantikan tanda ketaksamaan dengan tanda sama dan melukis garisan dalam satu sistem koordinat y = x+ 4 dan X 2 + di 2 = 16. Selesaikan setiap ketaksamaan dalam populasi. Graf populasi akan menjadi set titik pada satah, yang merupakan gabungan set penyelesaian kepada ketaksamaan pertama dan kedua.

Latihan untuk kerja bebas


1. Selesaikan ketaksamaan secara grafik: a) di> 2x; b) di< 2x + 3;


V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 £4.


2. Selesaikan sistem ketaksamaan secara grafik:


a) b)

Kaedah grafik adalah salah satu kaedah utama untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik. Dalam artikel itu kami akan membentangkan algoritma untuk menggunakan kaedah grafik, dan kemudian mempertimbangkan kes khas menggunakan contoh.

Intipati kaedah grafik

Kaedah ini boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang ketaksamaan, bukan sahaja yang kuadratik. Intipatinya ialah ini: bahagian kanan dan kiri ketaksamaan dianggap sebagai dua fungsi berasingan y = f (x) dan y = g (x), graf mereka diplot dalam sistem koordinat segi empat tepat dan lihat graf mana yang terletak di atas yang lain, dan pada selang mana. Selang dianggarkan seperti berikut:

Definisi 1

  • penyelesaian kepada ketaksamaan f (x) > g (x) ialah selang di mana graf fungsi f lebih tinggi daripada graf fungsi g;
  • penyelesaian kepada ketaksamaan f (x) ≥ g (x) ialah selang di mana graf fungsi f tidak lebih rendah daripada graf fungsi g;
  • penyelesaian kepada ketaksamaan f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
  • penyelesaian kepada ketaksamaan f (x) ≤ g (x) ialah selang di mana graf fungsi f tidak lebih tinggi daripada graf fungsi g;
  • Absis bagi titik persilangan graf bagi fungsi f dan g ialah penyelesaian kepada persamaan f (x) = g (x).

Mari kita lihat algoritma di atas menggunakan contoh. Untuk melakukan ini, ambil ketaksamaan kuadratik a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) dan terbitkan dua fungsi daripadanya. Bahagian kiri ketaksamaan akan sepadan dengan y = a · x 2 + b · x + c (dalam kes ini f (x) = a · x 2 + b · x + c), dan bahagian kanan y = 0 ( dalam kes ini g (x) = 0).

Graf bagi fungsi pertama ialah parabola, yang kedua ialah garis lurus, yang bertepatan dengan paksi-x O x. Mari kita analisa kedudukan parabola berbanding paksi O x. Untuk melakukan ini, mari buat lukisan skematik.

Cabang-cabang parabola diarahkan ke atas. Ia bersilang dengan paksi O x pada titik x 1 Dan x 2. Pekali a dalam dalam kes ini positif, kerana dialah yang bertanggungjawab terhadap arah cabang parabola. Diskriminasi adalah positif, menunjukkan kehadiran dua akar trinomial kuadratika x 2 + b x + c. Kami menandakan akar trinomial sebagai x 1 Dan x 2, dan itu diterima x 1< x 2 , kerana satu titik dengan absis digambarkan pada paksi O x x 1 di sebelah kiri titik absis x 2.

Bahagian parabola yang terletak di atas paksi O x akan dilambangkan dengan warna merah, di bawah - dengan warna biru. Ini akan membolehkan kami menjadikan lukisan lebih visual.

Mari pilih ruang yang sepadan dengan bahagian ini dan tandakannya dalam gambar dengan medan warna tertentu.

Kami menandakan dengan warna merah selang (− ∞, x 1) dan (x 2, + ∞), pada mereka parabola berada di atas paksi O x. Mereka ialah a · x 2 + b · x + c > 0. Kami menandakan dengan warna biru selang (x 1 , x 2), yang merupakan penyelesaian kepada ketaksamaan a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Mari kita buat ringkasan ringkas penyelesaiannya. Untuk a > 0 dan D = b 2 − 4 a c > 0 (atau D " = D 4 > 0 untuk pekali genap b) kita dapat:

  • penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a x 2 + b x + c > 0 ialah (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) atau dalam tatatanda x yang lain< x 1 , x >x2;
  • penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a · x 2 + b · x + c ≥ 0 ialah (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) atau dalam bentuk lain x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
  • menyelesaikan ketaksamaan kuadratik a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
  • penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a x 2 + b x + c ≤ 0 ialah [ x 1 , x 2 ] atau dalam tatatanda lain x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

di mana x 1 dan x 2 ialah punca bagi trinomial kuadratik a x 2 + b x + c, dan x 1< x 2 .

Dalam rajah ini, parabola menyentuh paksi O x hanya pada satu titik, yang ditetapkan sebagai x 0 a > 0. D=0, oleh itu, trinomial kuadratik mempunyai satu punca x 0.

Parabola terletak di atas paksi O x sepenuhnya, dengan pengecualian titik tangen paksi koordinat. Mari kita warnai selang (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Mari kita tulis hasilnya. Pada a > 0 Dan D=0:

  • menyelesaikan ketaksamaan kuadratik a x 2 + b x + c > 0 ialah (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) atau dalam tatatanda lain x ≠ x 0;
  • menyelesaikan ketaksamaan kuadratik a x 2 + b x + c ≥ 0 ialah (− ∞ , + ∞) atau dalam tatatanda lain x ∈ R;
  • ketaksamaan kuadratik a x 2 + b x + c< 0 tidak mempunyai penyelesaian (tiada selang di mana parabola terletak di bawah paksi O x);
  • ketaksamaan kuadratik a x 2 + b x + c ≤ 0 mempunyai penyelesaian yang unik x = x 0(ia diberikan oleh titik hubungan),

di mana x 0- punca trinomial segi empat sama a x 2 + b x + c.

Mari kita pertimbangkan kes ketiga, apabila cabang parabola diarahkan ke atas dan tidak menyentuh paksi O x. Cabang-cabang parabola diarahkan ke atas, yang bermaksud itu a > 0. Trinomial kuasa dua tidak mempunyai punca sebenar kerana D< 0 .

Tiada selang pada graf di mana parabola akan berada di bawah paksi-x. Kami akan mengambil kira ini apabila memilih warna untuk lukisan kami.

Ternyata apabila a > 0 Dan D< 0 menyelesaikan ketaksamaan kuadratik a x 2 + b x + c > 0 Dan a x 2 + b x + c ≥ 0 adalah set semua nombor nyata, dan ketidaksamaan a x 2 + b x + c< 0 Dan a x 2 + b x + c ≤ 0 tiada penyelesaian.

Kami mempunyai tiga pilihan yang tinggal untuk dipertimbangkan apabila cabang parabola diarahkan ke bawah. Tidak perlu memikirkan ketiga-tiga pilihan ini secara terperinci, kerana apabila kita mendarab kedua-dua belah ketaksamaan dengan - 1, kita memperoleh ketaksamaan setara dengan pekali positif untuk x 2.

Pertimbangan bahagian sebelumnya artikel menyediakan kami untuk persepsi algoritma untuk menyelesaikan ketidaksamaan menggunakan kaedah grafik. Untuk menjalankan pengiraan, kita perlu menggunakan lukisan setiap kali, yang akan menggambarkan garis koordinat O x dan parabola yang sepadan fungsi kuadratik y = a x 2 + b x + c. Dalam kebanyakan kes, kami tidak akan menggambarkan paksi O y, kerana ia tidak diperlukan untuk pengiraan dan hanya akan membebankan lukisan.

Untuk membina parabola, kita perlu mengetahui dua perkara:

Definisi 2

  • arah cawangan, yang ditentukan oleh nilai pekali a;
  • kehadiran titik persilangan parabola dan paksi absis, yang ditentukan oleh nilai diskriminasi trinomial kuadratik a · x 2 + b · x + c .

Kami akan menandakan titik persilangan dan tangen dengan cara biasa apabila menyelesaikan ketidaksamaan yang tidak ketat dan kosong apabila menyelesaikan yang ketat.

Mempunyai lukisan yang lengkap membolehkan anda meneruskan ke langkah penyelesaian seterusnya. Ia melibatkan penentuan selang di mana parabola terletak di atas atau di bawah paksi O x. Selang dan titik persilangan ialah penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik. Sekiranya tiada titik persilangan atau tangen dan tiada selang, maka dianggap ketidaksamaan yang dinyatakan dalam keadaan masalah tidak mempunyai penyelesaian.

Sekarang mari kita selesaikan beberapa ketaksamaan kuadratik menggunakan algoritma di atas.

Contoh 1

Ia adalah perlu untuk menyelesaikan ketaksamaan 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 secara grafik.

Penyelesaian

Mari kita lukis graf bagi fungsi kuadratik y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Pekali pada x 2 positif kerana ia adalah sama 2 . Ini bermakna bahawa cabang parabola akan diarahkan ke atas.

Mari kita hitungkan diskriminasi bagi trinomial kuadratik 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 untuk mengetahui sama ada parabola mempunyai titik sepunya dengan paksi absis. Kita mendapatkan:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Seperti yang kita lihat, D lebih besar daripada sifar, oleh itu, kita mempunyai dua titik persilangan: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 dan x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, iaitu, x 1 = − 3 Dan x 2 = 1 3.

Kami menyelesaikan ketidaksamaan yang tidak ketat, oleh itu kami meletakkan mata biasa pada graf. Mari kita lukis parabola. Seperti yang anda lihat, lukisan mempunyai rupa yang sama seperti dalam templat pertama yang kami pertimbangkan.

Ketaksamaan kita mempunyai tanda ≤. Oleh itu, kita perlu menyerlahkan selang pada graf di mana parabola terletak di bawah paksi O x dan menambah titik persilangan padanya.

Selang yang kita perlukan ialah 3, 1 3. Kami menambah titik persilangan padanya dan mendapatkan segmen berangka − 3, 1 3. Ini adalah penyelesaian kepada masalah kami. Anda boleh menulis jawapan dalam borang ketaksamaan berganda: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Jawapan:− 3 , 1 3 atau − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Contoh 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 kaedah grafik.

Penyelesaian

Kuasa dua pembolehubah mempunyai pekali berangka negatif, jadi cabang parabola akan diarahkan ke bawah. Mari kita hitung bahagian keempat diskriminasi D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Keputusan ini memberitahu kita bahawa akan terdapat dua titik persimpangan.

Mari kita hitung punca trinomial kuadratik: x 1 = - 8 + 1 - 1 dan x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 dan x 2 = 9.

Ternyata parabola itu bersilang dengan paksi-x pada titik-titik tersebut 7 Dan 9 . Mari kita tandai titik ini pada graf sebagai kosong, kerana kita bekerja dengan ketaksamaan yang ketat. Selepas ini, lukis parabola yang bersilang dengan paksi O x pada titik yang ditanda.

Kami akan berminat dengan selang di mana parabola terletak di bawah paksi O x. Mari tandakan selang ini dengan warna biru.

Kami mendapat jawapan: penyelesaian kepada ketaksamaan ialah selang (− ∞, 7) , (9, + ∞) .

Jawapan:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) atau dalam tatatanda x yang lain< 7 , x > 9 .

Dalam kes di mana diskriminasi bagi trinomial kuadratik adalah sifar, adalah perlu untuk mempertimbangkan dengan teliti sama ada untuk memasukkan absis titik tangen dalam jawapan. Untuk menerima penyelesaian yang betul, adalah perlu untuk mengambil kira tanda ketidaksamaan. Dalam ketaksamaan yang ketat, titik tangen bagi paksi-x bukanlah penyelesaian kepada ketaksamaan, tetapi dalam yang tidak ketat ia adalah.

Contoh 3

Selesaikan ketaksamaan kuadratik 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 kaedah grafik.

Penyelesaian

Cawangan parabola dalam kes ini akan diarahkan ke atas. Ia akan menyentuh paksi O x pada titik 0, 7, sejak

Mari kita plot fungsi y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Cawangannya diarahkan ke atas, kerana pekali pada x 2 positif, dan ia menyentuh paksi-x pada titik paksi-x 0 , 7 , kerana D " = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, dari mana x 0 = 7 10 atau 0 , 7 .

Mari kita letak titik dan lukis parabola.

Kami menyelesaikan ketidaksamaan yang tidak ketat dengan tanda ≤. Oleh itu. Kami akan berminat dengan selang di mana parabola terletak di bawah paksi-x dan titik tangen. Tiada selang dalam angka yang akan memenuhi syarat kami. Hanya ada titik hubungan 0, 7. Inilah penyelesaian yang kami cari.

Jawapan: Ketaksamaan hanya mempunyai satu penyelesaian 0, 7.

Contoh 4

Selesaikan ketaksamaan kuadratik – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Penyelesaian

Cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah. Diskriminasi adalah sifar. Titik persimpangan x 0 = 4.

Kami menandakan titik tangen pada paksi-x dan melukis parabola.

Kami sedang berhadapan dengan ketidaksamaan yang teruk. Akibatnya, kami berminat dengan selang di mana parabola terletak di bawah paksi O x. Mari tandakan mereka dengan warna biru.

Titik dengan absis 4 bukan penyelesaian, kerana parabola padanya tidak terletak di bawah paksi O x. Akibatnya, kita mendapat dua selang (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Jawapan: (− ∞, 4) ∪ (4, + ∞) atau dalam tatatanda x ≠ 4 yang lain.

Bukan selalu dengan nilai negatif ketidaksamaan diskriminasi tidak akan mempunyai penyelesaian. Terdapat kes apabila penyelesaian adalah set semua nombor nyata.

Contoh 5

Selesaikan ketaksamaan kuadratik 3 x 2 + 1 > 0 secara grafik.

Penyelesaian

Pekali a adalah positif. Diskriminasi adalah negatif. Cawangan parabola akan diarahkan ke atas. Tiada titik persilangan parabola dengan paksi O x. Mari lihat lukisan itu.

Kami bekerja dengan ketidaksamaan yang ketat, yang mempunyai > tanda. Ini bermakna kita berminat dengan selang di mana parabola terletak di atas paksi-x. Ini betul-betul berlaku apabila jawapannya ialah set semua nombor nyata.

Jawapan:(− ∞, + ∞) atau lebih x ∈ R.

Contoh 6

Ia adalah perlu untuk mencari penyelesaian kepada ketidaksamaan − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 secara grafik.

Penyelesaian

Cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah. Diskriminasi adalah negatif, oleh itu, tiada titik sepunya antara parabola dan paksi-x. Mari lihat lukisan itu.

Kami sedang bekerja dengan ketaksamaan tidak ketat dengan tanda ≥, oleh itu, selang di mana parabola terletak di atas paksi-x adalah menarik minat kami. Berdasarkan graf, tiada jurang sedemikian. Ini bermakna ketidaksamaan yang diberikan dalam keadaan masalah tidak mempunyai penyelesaian.

Jawapan: Tiada penyelesaian.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Kementerian Pendidikan dan Dasar Belia Wilayah Stavropol

Profesional belanjawan negeri institusi pendidikan

Kolej Wilayah Georgievsk "Integral"

PROJEK INDIVIDU

Dalam disiplin "Matematik: algebra, prinsip analisis matematik, geometri"

Mengenai topik: "Penyelesaian grafik persamaan dan ketaksamaan"

Dilengkapkan oleh pelajar kumpulan PK-61, belajar dalam bidang kepakaran

"Pengaturcaraan dalam sistem komputer"

Zeller Timur Vitalievich

Ketua: guru Serkova N.A.

Tarikh penghantaran:" " 2017

Tarikh pertahanan:" " 2017

Georgievsk 2017

NOTA PENJELASAN

OBJEKTIF PROJEK:

Sasaran: Ketahui kelebihan kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan.

Tugasan:

    Bandingkan kaedah analisis dan grafik untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan.

    Ketahui dalam kes apakah kaedah grafik mempunyai kelebihan.

    Pertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus dan parameter.

Kaitan penyelidikan: Analisis bahan khusus untuk penyelesaian grafik persamaan dan ketidaksamaan dalam buku teks "Algebra dan permulaan analisis matematik" oleh pengarang yang berbeza, dengan mengambil kira matlamat mempelajari topik ini. Serta hasil pembelajaran wajib yang berkaitan dengan topik yang sedang dipertimbangkan.

Kandungan

pengenalan

1. Persamaan dengan parameter

1.1. Definisi

1.2. Algoritma penyelesaian

1.3. Contoh

2. Ketaksamaan dengan parameter

2.1. Definisi

2.2. Algoritma penyelesaian

2.3. Contoh

3. Menggunakan graf dalam menyelesaikan persamaan

3.1. Penyelesaian grafik persamaan kuadratik

3.2. Sistem persamaan

3.3. Persamaan trigonometri

4. Aplikasi graf dalam menyelesaikan ketaksamaan

5. Kesimpulan

6. Rujukan

pengenalan

Belajar banyak-banyak proses fizikal dan corak geometri selalunya membawa kepada penyelesaian masalah dengan parameter. Sesetengah universiti juga memasukkan persamaan, ketidaksamaan dan sistemnya dalam kertas peperiksaan, yang selalunya sangat kompleks dan memerlukan pendekatan penyelesaian yang tidak standard. Di sekolah, salah satu bahagian yang paling sukar dalam kursus matematik sekolah ini dianggap hanya dalam beberapa kelas elektif.

Memasak kerja ini, saya menetapkan matlamat kajian yang lebih mendalam tentang topik ini, mengenal pasti yang paling keputusan yang rasional, cepat membawa kepada jawapan. Pada pendapat saya, kaedah grafik adalah mudah dan dengan cara yang pantas menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan dengan parameter.

Projek saya mengkaji jenis persamaan, ketaksamaan dan sistem yang sering ditemui.

1. Persamaan dengan parameter

    1. Definisi asas

Pertimbangkan persamaan

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)

dengan a, b, c, …, k, x ialah kuantiti berubah-ubah.

Mana-mana sistem nilai boleh ubah

a = a 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , x = x 0 ,

di mana kedua-dua belah kiri dan kanan persamaan ini mengambil nilai sebenar dipanggil sistem nilai yang boleh diterima pembolehubah a, b, c, …, k, x. Biarkan A ialah set semua nilai yang boleh diterima bagi a, B ialah set semua nilai yang boleh diterima bagi b, dsb., X ialah set semua nilai x yang boleh diterima, i.e. aA, bB, …, xX. Jika bagi setiap set A, B, C, …, K kita memilih dan menetapkan, masing-masing, satu nilai a, b, c, …, k dan menggantikannya ke dalam persamaan (1), maka kita memperoleh persamaan untuk x, i.e. persamaan dengan satu yang tidak diketahui.

Pembolehubah a, b, c, ..., k, yang dianggap malar apabila menyelesaikan persamaan, dipanggil parameter, dan persamaan itu sendiri dipanggil persamaan yang mengandungi parameter.

Parameter ditunjukkan oleh huruf pertama abjad Latin: a, b, c, d, …, k, l, m, n dan yang tidak diketahui - dengan huruf x, y, z.

Untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter bermakna untuk menunjukkan pada apakah nilai penyelesaian parameter wujud dan apakah ia.

Dua persamaan yang mengandungi parameter yang sama dipanggil setara jika:

a) mereka masuk akal untuk nilai parameter yang sama;

b) setiap penyelesaian kepada persamaan pertama ialah penyelesaian kepada kedua dan sebaliknya.

    1. Algoritma penyelesaian

    Cari domain takrifan persamaan.

    Kami menyatakan a sebagai fungsi x.

    Dalam sistem koordinat xOa, kami membina graf bagi fungsi a=(x) untuk nilai-nilai x yang termasuk dalam domain takrifan persamaan ini.

Kami mencari titik persilangan bagi garis lurus a=c, dengan c(-;+) dengan graf fungsi a=(x).Jika garis lurus a=c bersilang dengan graf a=( x), maka kita tentukan absis titik persilangan. Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk menyelesaikan persamaan a=(x) untuk x.

    Kami menulis jawapannya.

    1. Contoh

I. Selesaikan persamaan

(1)

Penyelesaian.

Oleh kerana x=0 bukan punca persamaan, persamaan boleh diselesaikan untuk:

atau

Graf fungsi ialah dua hiperbola "terpaku". Bilangan penyelesaian kepada persamaan asal ditentukan oleh bilangan titik persilangan bagi garis yang dibina dan garis lurus y=a.

Jika a  (-;-1](1;+) , maka garis lurus y=a memotong graf persamaan (1) pada satu titik. Kita akan mencari absis titik ini apabila menyelesaikan persamaan untuk x.

Oleh itu, pada selang ini, persamaan (1) mempunyai penyelesaian.

Jika a , maka garis lurus y=a memotong graf persamaan (1) pada dua titik. Abscissas mata ini boleh didapati daripada persamaan dan, kita dapat

Dan.

Jika a , maka garis lurus y=a tidak bersilang dengan graf persamaan (1), oleh itu tiada penyelesaian.

Jawapan:

Jika a  (-;-1](1;+), maka;

Jika a  , maka;

Jika a  , maka tiada penyelesaian.

II. Cari semua nilai parameter a yang persamaannya mempunyai tiga punca berbeza.

Penyelesaian.

Setelah menulis semula persamaan dalam bentuk dan mempertimbangkan sepasang fungsi, anda boleh melihat bahawa nilai parameter a yang dikehendaki dan hanya ia akan sepadan dengan kedudukan graf fungsi di mana ia mempunyai tepat tiga titik persilangan dengan graf fungsi.

Dalam sistem koordinat xOy, kita akan membina graf bagi fungsi tersebut). Untuk melakukan ini, kita boleh mewakilinya dalam bentuk dan, setelah mempertimbangkan empat kes yang timbul, kita menulis fungsi ini dalam borang

Oleh kerana graf fungsi ialah garis lurus yang mempunyai sudut kecondongan kepada paksi Ox sama dengan dan bersilang dengan paksi Oy pada satu titik dengan koordinat (0, a), kami membuat kesimpulan bahawa tiga titik persilangan yang ditunjukkan hanya boleh diperolehi. dalam kes apabila garisan ini menyentuh graf fungsi. Oleh itu kita dapati derivatif

Jawapan: .

III. Cari semua nilai parameter a, untuk setiap satu sistem persamaan

mempunyai penyelesaian.

Penyelesaian.

Daripada persamaan pertama sistem yang kita perolehi di Oleh itu, persamaan ini mentakrifkan keluarga "semi-parabola" - cawangan kanan parabola "gelongsor" dengan bucunya di sepanjang paksi absis.

Mari kita pilih petak lengkap di sebelah kiri persamaan kedua dan memfaktorkannya

Set titik satah yang memenuhi persamaan kedua ialah dua garis lurus

Mari kita ketahui apakah nilai parameter a lengkung daripada keluarga "semiparabolas" mempunyai sekurang-kurangnya satu titik sepunya dengan salah satu garis lurus yang terhasil.

Jika bucu semiparabola berada di sebelah kanan titik A, tetapi di sebelah kiri titik B (titik B sepadan dengan bucu "semiparabola" yang menyentuh

garis lurus), maka graf yang dipertimbangkan tidak mempunyai titik sepunya. Jika puncak "semiparabola" bertepatan dengan titik A, maka.

Kami menentukan kes "semiparabola" menyentuh garis daripada keadaan kewujudan penyelesaian unik kepada sistem

Dalam kes ini, persamaan

mempunyai satu akar, dari mana kita dapati:

Akibatnya, sistem asal tidak mempunyai penyelesaian pada, tetapi pada atau mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian.

Jawapan: a  (-;-3] (;+).

IV. Selesaikan persamaan

Penyelesaian.

Menggunakan kesamaan, kami menulis semula persamaan yang diberikan dalam bentuk

Persamaan ini bersamaan dengan sistem

Kami menulis semula persamaan dalam bentuk

. (*)

Persamaan terakhir adalah paling mudah untuk diselesaikan menggunakan pertimbangan geometri. Mari bina graf bagi fungsi dan Daripada graf itu, graf tidak bersilang dan, oleh itu, persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

Jika, maka apabila graf fungsi bertepatan dan, oleh itu, semua nilai adalah penyelesaian kepada persamaan (*).

Apabila graf bersilang pada satu titik, absisnya ialah. Oleh itu, apabila persamaan (*) mempunyai penyelesaian unik - .

Marilah kita menyiasat apakah nilai penyelesaian yang ditemui untuk persamaan (*) akan memenuhi syarat

Biarlah begitu. Sistem akan mengambil borang

Penyelesaiannya ialah selang x (1;5). Memandangkan itu, kita boleh membuat kesimpulan bahawa jika persamaan asal dipenuhi dengan semua nilai x dari selang, ketaksamaan asal adalah bersamaan dengan ketaksamaan berangka yang betul 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

Pada kamiran (1;+∞) kita sekali lagi memperoleh ketaksamaan linear 2x<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Walau bagaimanapun, hasil yang sama boleh diperolehi daripada visual dan pada masa yang sama pertimbangan geometri yang ketat. Rajah 7 menunjukkan graf fungsi:y= f( x)=| x-1|+| x+1| Dany=4.

Rajah 7.

Pada graf kamiran (-2;2) bagi fungsiy= f(x) terletak di bawah graf fungsi y=4, yang bermaksud bahawa ketaksamaanf(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II )Ketaksamaan dengan parameter.

Menyelesaikan ketidaksamaan dengan satu atau lebih parameter adalah, sebagai peraturan, tugas yang lebih kompleks berbanding dengan masalah yang tidak mempunyai parameter.

Sebagai contoh, ketaksamaan √a+x+√a-x>4, yang mengandungi parameter a, secara semula jadi memerlukan lebih banyak usaha untuk diselesaikan daripada ketaksamaan √1+x + √1-x>1.

Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan yang pertama daripada ketidaksamaan ini? Ini, pada dasarnya, bermakna menyelesaikan bukan sahaja satu ketaksamaan, tetapi keseluruhan kelas, satu set keseluruhan ketaksamaan yang diperoleh jika kita memberikan parameter nilai berangka tertentu. Yang kedua daripada ketaksamaan bertulis adalah kes khas yang pertama, kerana ia diperoleh daripadanya dengan nilai a = 1.

Oleh itu, untuk menyelesaikan ketaksamaan yang mengandungi parameter bermakna untuk menentukan pada nilai parameter apa ketidaksamaan mempunyai penyelesaian dan untuk semua nilai parameter tersebut untuk mencari semua penyelesaian.

Contoh1:

Selesaikan ketaksamaan |x-a|+|x+a|< b, a<>0.

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan ini dengan dua parametera u bMari kita gunakan pertimbangan geometri. Rajah 8 dan 9 menunjukkan graf fungsi.

Y= f(x)=| x- a|+| x+ a| u y= b.

Jelas sekali apabilab<=2| a| lurusy= btidak melepasi di atas segmen mendatar lengkungy=| x- a|+| x+ a| dan, oleh itu, ketidaksamaan dalam kes ini tidak mempunyai penyelesaian (Rajah 8). Jikab>2| a|, kemudian barisy= bmemotong graf bagi suatu fungsiy= f(x) pada dua titik (-b/2; b) u (b/2; b)(Rajah 6) dan ketaksamaan dalam kes ini adalah sah untuk –b/2< x< b/2, kerana untuk nilai pembolehubah ini lengkungy=| x+ a|+| x- a| terletak di bawah garis lurusy= b.

Jawapan: Jikab<=2| a| , maka tiada penyelesaian,

Jikab>2| a|, kemudianx €(- b/2; b/2).

III) Ketaksamaan trigonometri:

Apabila menyelesaikan ketaksamaan dengan fungsi trigonometri, keberkalaan fungsi ini dan kemonotoniannya pada selang yang sepadan digunakan pada asasnya. Ketaksamaan trigonometri termudah. Fungsidosa xmempunyai tempoh positif 2π. Oleh itu, ketaksamaan bentuk:dosa x>a, dosa x>=a,

dosa x

Ia cukup untuk menyelesaikan dahulu pada beberapa segmen panjang 2π . Kami memperoleh set semua penyelesaian dengan menambah pada setiap penyelesaian yang terdapat pada nombor segmen dalam bentuk 2 iniπ p, pЄZ.

Contoh 1: Selesaikan ketaksamaandosa x>-1/2.(Rajah 10)

Mula-mula, mari kita selesaikan ketaksamaan ini pada selang [-π/2;3π/2]. Mari kita pertimbangkan bahagian kirinya - segmen [-π/2;3π/2]. Berikut ialah persamaandosa x=-1/2 mempunyai satu penyelesaian x=-π/6; dan fungsidosa xmeningkat secara monoton. Ini bermakna jika –π/2<= x<= -π/6, то dosa x<= dosa(- π /6)=-1/2, i.e. nilai x ini bukan penyelesaian kepada ketidaksamaan. Jika –π/6<х<=π/2 то dosa x> dosa(-π/6) = –1/2. Semua nilai x ini bukan penyelesaian kepada ketidaksamaan.

Pada bahagian baki [π/2;3π/2] fungsidosa xpersamaan juga menurun secara monotondosa x= -1/2 mempunyai satu penyelesaian x=7π/6. Oleh itu, jika π/2<= x<7π/, то dosa x> dosa(7π/6)=-1/2, i.e. semua nilai x ini adalah penyelesaian kepada ketaksamaan. UntukxKami adadosa x<= dosa(7π/6)=-1/2, nilai x ini bukan penyelesaian. Oleh itu, set semua penyelesaian kepada ketaksamaan ini pada selang [-π/2;3π/2] ialah kamiran (-π/6;7π/6).

Disebabkan oleh keberkalaan fungsidosa xdengan tempoh 2π nilai x daripada mana-mana kamiran bentuk: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, juga merupakan penyelesaian kepada ketidaksamaan. Tiada nilai lain bagi x adalah penyelesaian kepada ketidaksamaan ini.

Jawapan: -π/6+2πn< x<7π/6+2π n, Di mananЄ Z.

Kesimpulan

Kami melihat kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan; Kami melihat contoh khusus, penyelesaian yang menggunakan sifat fungsi seperti monotonicity dan pariti.Analisis kesusasteraan saintifik dan buku teks matematik memungkinkan untuk menstrukturkan bahan yang dipilih mengikut objektif kajian, memilih dan membangunkan kaedah yang berkesan untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan. Kertas kerja ini membentangkan kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan dan contoh di mana kaedah ini digunakan. Hasil projek boleh dianggap sebagai tugas kreatif, sebagai bahan tambahan untuk membangunkan kemahiran menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan menggunakan kaedah grafik.

Senarai sastera terpakai

    Dalinger V. A. "Geometri membantu algebra." Rumah penerbitan "Sekolah - Akhbar". Moscow 1996

    Dalinger V. A. "Segala-galanya untuk memastikan kejayaan dalam peperiksaan akhir dan kemasukan dalam matematik." Rumah penerbitan Universiti Pedagogi Omsk. Omsk 1995

    Okunev A. A. "Penyelesaian grafik persamaan dengan parameter." Rumah penerbitan "Sekolah - Akhbar". Moscow 1986

    Pismensky D. T. "Matematik untuk pelajar sekolah menengah." Rumah penerbitan "Iris". Moscow 1996

    Yastribinetsky G. A. "Persamaan dan ketaksamaan yang mengandungi parameter." Rumah penerbitan "Prosveshcheniye". Moscow 1972

    G. Korn dan T. Korn “Buku Panduan Matematik.” Rumah penerbitan "Sains" kesusasteraan fizikal dan matematik. Moscow 1977

    Amelkin V.V. dan Rabtsevich V.L. "Masalah dengan parameter". Rumah penerbitan “Asar”. Minsk 1996

sumber Internet


Salah satu kaedah yang paling mudah untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik ialah kaedah grafik. Dalam artikel ini kita akan melihat bagaimana ketaksamaan kuadratik diselesaikan secara grafik. Pertama, mari kita bincangkan apakah intipati kaedah ini. Seterusnya, kami akan membentangkan algoritma dan mempertimbangkan contoh penyelesaian ketaksamaan kuadratik secara grafik.

Navigasi halaman.

Intipati kaedah grafik

sama sekali kaedah grafik untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan satu pembolehubah digunakan bukan sahaja untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik, tetapi juga jenis ketaksamaan lain. Intipati kaedah grafik untuk menyelesaikan ketaksamaan seterusnya: pertimbangkan fungsi y=f(x) dan y=g(x), yang sepadan dengan sisi kiri dan kanan ketaksamaan, bina grafnya dalam satu sistem koordinat segi empat tepat dan ketahui pada selang berapa graf satu daripada mereka lebih rendah atau lebih tinggi daripada yang lain. Selang itu di mana

  • graf fungsi f di atas graf fungsi g ialah penyelesaian kepada ketaksamaan f(x)>g(x) ;
  • graf fungsi f tidak lebih rendah daripada graf fungsi g adalah penyelesaian kepada ketaksamaan f(x)≥g(x) ;
  • graf f di bawah graf g ialah penyelesaian kepada ketaksamaan f(x)
  • graf fungsi f tidak lebih tinggi daripada graf fungsi g adalah penyelesaian kepada ketaksamaan f(x)≤g(x) .

Kami juga akan mengatakan bahawa absis bagi titik persilangan graf bagi fungsi f dan g ialah penyelesaian kepada persamaan f(x)=g(x) .

Mari kita pindahkan keputusan ini kepada kes kita - untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Kami memperkenalkan dua fungsi: yang pertama y=a x 2 +b x+c (dengan f(x)=a x 2 +b x+c) sepadan dengan sebelah kiri ketaksamaan kuadratik, yang kedua y=0 (dengan g ( x)=0 ) sepadan dengan bahagian kanan ketaksamaan. Jadual fungsi kuadratik f ialah parabola dan graf fungsi tetap g – garis lurus bertepatan dengan paksi absis Lembu.

Seterusnya, mengikut kaedah grafik untuk menyelesaikan ketaksamaan, adalah perlu untuk menganalisis pada selang berapa graf satu fungsi terletak di atas atau di bawah yang lain, yang akan membolehkan kita menulis penyelesaian yang dikehendaki kepada ketaksamaan kuadratik. Dalam kes kita, kita perlu menganalisis kedudukan parabola berbanding paksi Lembu.

Bergantung pada nilai pekali a, b dan c, enam pilihan berikut adalah mungkin (untuk keperluan kami, perwakilan skematik adalah mencukupi, dan kami tidak perlu menggambarkan paksi Oy, kerana kedudukannya tidak menjejaskan penyelesaian kepada ketidaksamaan):

    Dalam lukisan ini kita melihat parabola, cawangannya diarahkan ke atas, dan yang bersilang dengan paksi Lembu pada dua titik, absisnya ialah x 1 dan x 2. Lukisan ini sepadan dengan pilihan apabila pekali a adalah positif (ia bertanggungjawab untuk arah ke atas cawangan parabola), dan apabila nilainya positif diskriminasi bagi trinomial kuadratik a x 2 +b x+c (dalam kes ini, trinomial mempunyai dua punca, yang kami nyatakan sebagai x 1 dan x 2, dan kami mengandaikan bahawa x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

    Untuk kejelasan, mari kita gambarkan dalam warna merah bahagian parabola yang terletak di atas paksi-x, dan dalam warna biru - yang terletak di bawah paksi-x.

    Sekarang mari kita ketahui selang yang sesuai dengan bahagian ini. Lukisan berikut akan membantu anda mengenal pasti mereka (pada masa hadapan kami akan membuat pilihan yang serupa dalam bentuk segi empat tepat secara mental):

    Jadi pada paksi absis dua selang (−∞, x 1) dan (x 2 , +∞) diserlahkan dengan warna merah, pada mereka parabola berada di atas paksi Ox, ia membentuk penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a x 2 +b x +c>0 , dan selang (x 1 , x 2) diserlahkan dengan warna biru, terdapat parabola di bawah paksi Ox, ia mewakili penyelesaian kepada ketaksamaan a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

    Dan sekarang secara ringkas: untuk a>0 dan D=b 2 −4 a c>0 (atau D"=D/4>0 untuk pekali genap b)

    • penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a x 2 +b x+c>0 ialah (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) atau dalam tatatanda x yang lain x2;
    • penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a x 2 +b x+c≥0 ialah (−∞, x 1 ]∪ atau dalam tatatanda lain x 1 ≤x≤x 2 ,

    dengan x 1 dan x 2 ialah punca bagi trinomial kuadratik a x 2 +b x+c, dan x 1


    Di sini kita melihat parabola, cabang-cabangnya diarahkan ke atas, dan yang menyentuh paksi absis, iaitu, ia mempunyai satu titik sepunya dengannya; kita menandakan absis titik ini sebagai x 0. Kes yang dibentangkan sepadan dengan a> 0 (cawangan diarahkan ke atas) dan D=0 (trinomial persegi mempunyai satu punca x 0). Sebagai contoh, anda boleh mengambil fungsi kuadratik y=x 2 −4·x+4, di sini a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 dan x 0 =2.

    Lukisan jelas menunjukkan bahawa parabola terletak di atas paksi Ox di mana-mana kecuali titik sentuhan, iaitu, pada selang (−∞, x 0), (x 0, ∞). Untuk kejelasan, mari kita serlahkan kawasan dalam lukisan dengan analogi dengan perenggan sebelumnya.

    Kami membuat kesimpulan: untuk a>0 dan D=0

    • penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a·x 2 +b·x+c>0 ialah (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) atau dalam tatatanda lain x≠x 0;
    • penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a·x 2 +b·x+c≥0 ialah (−∞, +∞) atau dalam tatatanda lain x∈R ;
    • ketaksamaan kuadratik a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
    • ketaksamaan kuadratik a x 2 +b x+c≤0 mempunyai penyelesaian unik x=x 0 (ia diberikan oleh titik tangen),

    dengan x 0 ialah punca bagi segi tiga segi tiga a x 2 + b x + c.


    Dalam kes ini, cabang parabola diarahkan ke atas, dan ia tidak mempunyai titik sepunya dengan paksi absis. Di sini kita mempunyai syarat a>0 (cawangan diarahkan ke atas) dan D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

    Jelas sekali, parabola terletak di atas paksi Lembu sepanjang keseluruhan panjangnya (tiada selang di mana ia berada di bawah paksi Lembu, tiada titik tangen).

    Oleh itu, untuk a>0 dan D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 dan a x 2 +b x+c≥0 ialah set semua nombor nyata, dan ketaksamaan a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Dan masih terdapat tiga pilihan untuk lokasi parabola dengan cawangan diarahkan ke bawah, bukan ke atas, berbanding dengan paksi Lembu. Pada dasarnya, mereka tidak perlu dipertimbangkan, kerana mendarab kedua-dua belah ketaksamaan dengan -1 membolehkan kita pergi ke ketaksamaan setara dengan pekali positif untuk x 2. Tetapi masih tidak rugi untuk mendapatkan idea tentang kes-kes ini. Alasan di sini adalah serupa, jadi kami akan menulis hanya hasil utama.

Algoritma penyelesaian

Hasil daripada semua pengiraan sebelum ini ialah algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik secara grafik:

    Lukisan skematik dibuat pada satah koordinat, yang menggambarkan paksi Lembu (ia tidak perlu untuk menggambarkan paksi Oy) dan lakaran parabola yang sepadan dengan fungsi kuadratik y=a·x 2 +b·x+c. Untuk melukis lakaran parabola, cukup untuk menjelaskan dua perkara:

    • Pertama, dengan nilai pekali a ia ditentukan ke mana cawangannya diarahkan (untuk a>0 - ke atas, untuk a<0 – вниз).
    • Dan kedua, dengan nilai diskriminasi trinomial segi empat sama a x 2 + b x + c ditentukan sama ada parabola bersilang dengan paksi absis pada dua titik (untuk D>0), menyentuhnya pada satu titik (untuk D=0) , atau tidak mempunyai titik sepunya dengan paksi Lembu (di D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

  • Apabila lukisan sudah siap, gunakannya dalam langkah kedua algoritma

    • apabila menyelesaikan ketaksamaan kuadratik a·x 2 +b·x+c>0, selang ditentukan di mana parabola terletak di atas absis;
    • apabila menyelesaikan ketaksamaan a·x 2 +b·x+c≥0, selang di mana parabola terletak di atas paksi absis ditentukan dan absis titik persilangan (atau absis titik tangen) ditambah kepada mereka;
    • apabila menyelesaikan ketaksamaan a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
    • akhirnya, apabila menyelesaikan ketaksamaan kuadratik dalam bentuk a·x 2 +b·x+c≤0, selang ditemui di mana parabola berada di bawah paksi Ox dan absis titik persilangan (atau absis titik tangen ) ditambah kepada mereka;

    ia membentuk penyelesaian yang dikehendaki kepada ketaksamaan kuadratik, dan jika tiada selang sedemikian dan tiada titik tangen, maka ketaksamaan kuadratik asal tidak mempunyai penyelesaian.

Yang tinggal hanyalah menyelesaikan beberapa ketaksamaan kuadratik menggunakan algoritma ini.

Contoh dengan penyelesaian

Contoh.

Selesaikan ketidaksamaan .

Penyelesaian.

Kita perlu menyelesaikan ketaksamaan kuadratik, mari kita gunakan algoritma dari perenggan sebelumnya. Dalam langkah pertama kita perlu melakar graf fungsi kuadratik . Pekali x 2 adalah sama dengan 2, ia adalah positif, oleh itu, cawangan parabola diarahkan ke atas. Mari kita ketahui juga sama ada parabola mempunyai titik sepunya dengan paksi-x; untuk melakukan ini, kita akan mengira diskriminasi trinomial kuadratik . Kami ada . Diskriminasi ternyata lebih besar daripada sifar, oleh itu, trinomial mempunyai dua punca sebenar: Dan , iaitu x 1 =−3 dan x 2 =1/3.

Daripada ini adalah jelas bahawa parabola bersilang paksi Lembu pada dua titik dengan abscissas -3 dan 1/3. Kami akan menggambarkan mata ini dalam lukisan sebagai mata biasa, kerana kami sedang menyelesaikan ketidaksamaan yang tidak ketat. Berdasarkan data yang dijelaskan, kami memperoleh lukisan berikut (ia sesuai dengan templat pertama dari perenggan pertama artikel):

Mari kita beralih ke langkah kedua algoritma. Oleh kerana kita sedang menyelesaikan ketaksamaan kuadratik tidak ketat dengan tanda ≤, kita perlu menentukan selang di mana parabola terletak di bawah absis dan menambah kepada mereka absis titik persilangan.

Daripada lukisan itu jelas bahawa parabola berada di bawah paksi-x pada selang (−3, 1/3) dan padanya kita menambah absis titik persilangan, iaitu nombor -3 dan 1/3. Akibatnya, kita tiba pada selang berangka [−3, 1/3] . Inilah penyelesaian yang kami cari. Ia boleh ditulis sebagai ketaksamaan berganda −3≤x≤1/3.

Jawapan:

[−3, 1/3] atau −3≤x≤1/3 .

Contoh.

Cari penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik −x 2 +16 x−63<0 .

Penyelesaian.

Seperti biasa, kita mulakan dengan lukisan. Pekali berangka untuk kuasa dua pembolehubah adalah negatif, -1, oleh itu, cawangan parabola diarahkan ke bawah. Mari kita hitung diskriminasi, atau lebih baik lagi, bahagian keempatnya: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Nilainya positif, mari kita hitung punca trinomial kuasa dua: Dan , x 1 =7 dan x 2 =9. Jadi parabola memotong paksi Lembu pada dua titik dengan abscissas 7 dan 9 (ketaksamaan asal adalah ketat, jadi kita akan menggambarkan titik ini dengan pusat kosong). Sekarang kita boleh membuat lukisan skematik:

Memandangkan kita sedang menyelesaikan ketaksamaan kuadratik yang ketat dengan tanda<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Lukisan menunjukkan bahawa penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik asal ialah dua selang (−∞, 7) , (9, +∞) .

Jawapan:

(−∞, 7)∪(9, +∞) atau dalam tatatanda x yang lain<7 , x>9 .

Apabila menyelesaikan ketaksamaan kuadratik, apabila diskriminasi bagi trinomial kuadratik di sebelah kirinya ialah sifar, anda perlu berhati-hati untuk memasukkan atau mengecualikan absis titik tangen daripada jawapan. Ini bergantung pada tanda ketidaksamaan: jika ketidaksamaan adalah ketat, maka ia bukan penyelesaian kepada ketidaksamaan, tetapi jika ia tidak ketat, maka ia adalah.

Contoh.

Adakah ketaksamaan kuadratik 10 x 2 −14 x+4.9≤0 mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian?

Penyelesaian.

Mari kita plot fungsi y=10 x 2 −14 x+4.9. Cawangannya diarahkan ke atas, kerana pekali x 2 adalah positif, dan ia menyentuh paksi absis pada titik dengan absis 0.7, kerana D"=(−7) 2 −10 4.9=0, dari mana atau 0.7 dalam bentuk daripada pecahan perpuluhan. Secara skematik ia kelihatan seperti ini:

Oleh kerana kita sedang menyelesaikan ketaksamaan kuadratik dengan tanda ≤, penyelesaiannya ialah selang di mana parabola berada di bawah paksi Ox, serta absis titik tangen. Daripada lukisan itu adalah jelas bahawa tidak ada satu jurang di mana parabola akan berada di bawah paksi Lembu, jadi penyelesaiannya hanya akan menjadi absis titik tangen, iaitu, 0.7.

Jawapan:

ketaksamaan ini mempunyai penyelesaian unik 0.7.

Contoh.

Selesaikan ketaksamaan kuadratik –x 2 +8 x−16<0 .

Penyelesaian.

Kami mengikuti algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik dan mulakan dengan membina graf. Cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah, kerana pekali x 2 adalah negatif, -1. Mari kita cari diskriminasi bagi trinomial kuasa dua –x 2 +8 x−16, kita ada D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 dan seterusnya x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Jadi, parabola menyentuh paksi Lembu di titik absis 4. Mari buat lukisan:

Kami melihat tanda ketidaksamaan asal, ia ada<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Dalam kes kami, ini adalah sinar terbuka (−∞, 4) , (4, +∞) . Secara berasingan, kami perhatikan bahawa 4 - absis titik sentuhan - bukan penyelesaian, kerana pada titik sentuhan parabola tidak lebih rendah daripada paksi Lembu.

Jawapan:

(−∞, 4)∪(4, +∞) atau dalam tatatanda lain x≠4 .

Beri perhatian khusus kepada kes di mana diskriminasi trinomial kuadratik di sebelah kiri ketaksamaan kuadratik adalah kurang daripada sifar. Tidak perlu tergesa-gesa di sini dan mengatakan bahawa ketidaksamaan tidak mempunyai penyelesaian (kita sudah biasa membuat kesimpulan sedemikian untuk persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif). Intinya ialah ketaksamaan kuadratik bagi D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Contoh.

Cari penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik 3 x 2 +1>0.

Penyelesaian.

Seperti biasa, kita mulakan dengan lukisan. Pekali a ialah 3, ia adalah positif, oleh itu, cawangan parabola diarahkan ke atas. Kami mengira diskriminasi: D=0 2 −4·3·1=−12 . Oleh kerana diskriminasi adalah negatif, parabola tidak mempunyai titik sepunya dengan paksi Lembu. Maklumat yang diperolehi adalah mencukupi untuk graf skematik:

Kami menyelesaikan ketaksamaan kuadratik yang ketat dengan tanda >. Penyelesaiannya ialah semua selang di mana parabola berada di atas paksi Lembu. Dalam kes kami, parabola berada di atas paksi-x sepanjang keseluruhan panjangnya, jadi penyelesaian yang dikehendaki ialah set semua nombor nyata.

Lembu , dan anda juga perlu menambah absis titik persilangan atau absis kesenjangan kepada mereka. Tetapi dari lukisan itu jelas kelihatan bahawa tiada selang seperti itu (kerana parabola berada di mana-mana di bawah paksi absis), sama seperti tiada titik persilangan, sama seperti tiada titik tangen. Oleh itu, ketaksamaan kuadratik asal tidak mempunyai penyelesaian.

Jawapan:

tiada penyelesaian atau dalam entri lain ∅.

Bibliografi.

  • Algebra: buku teks untuk darjah 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Algebra: darjah 9: pendidikan. untuk pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  • Mordkovich A. G. Algebra. Gred 8. Dalam 2 jam. Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am / A. G. Mordkovich. - ed. ke-11, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Mordkovich A. G. Algebra. darjah 9. Dalam 2 jam. Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ed. ke-13, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
  • Mordkovich A. G. Algebra dan permulaan analisis matematik. Darjah 11. Dalam 2 jam. Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am (peringkat profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ed. ke-2, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.

Semasa pelajaran, anda akan dapat mempelajari secara bebas topik "Penyelesaian grafik persamaan dan ketaksamaan." Semasa pengajaran, guru akan meneliti kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan. Akan mengajar anda cara membina graf, menganalisisnya dan mendapatkan penyelesaian kepada persamaan dan ketaksamaan. Pelajaran juga akan merangkumi contoh khusus mengenai topik ini.

Topik: Fungsi berangka

Pelajaran: Penyelesaian grafik persamaan, ketaksamaan

1. Topik pelajaran, pengenalan

Kami melihat graf fungsi asas, termasuk graf fungsi kuasa dengan eksponen yang berbeza. Kami juga melihat peraturan untuk menganjak dan mengubah graf fungsi. Semua kemahiran ini mesti digunakan apabila diperlukan grafikpenyelesaian persamaan atau grafik penyelesaianketidaksamaan.

2. Menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan secara grafik

Contoh 1: Selesaikan persamaan secara grafik:

Mari bina graf fungsi (Rajah 1).

Graf fungsi ialah parabola yang melalui titik

Graf fungsi ialah garis lurus, mari kita bina menggunakan jadual.

Graf bersilang pada titik Tiada titik persilangan lain, kerana fungsi meningkat secara monoton, fungsi berkurangan secara monoton, dan, oleh itu, titik persilangan mereka adalah satu-satunya.

Contoh 2: Selesaikan ketaksamaan

a. Untuk ketaksamaan kekal, graf fungsi mesti terletak di atas garis lurus (Rajah 1). Ini dilakukan apabila

b. Dalam kes ini, sebaliknya, parabola mesti berada di bawah garis lurus. Ini dilakukan apabila

Contoh 3. Selesaikan ketaksamaan

Mari bina graf fungsi (Gamb. 2).

Mari cari punca persamaan Apabila tiada penyelesaian. Terdapat satu penyelesaian.

Untuk mengekalkan ketaksamaan, hiperbola mesti terletak di atas garisan. Ini benar apabila .

Contoh 4. Selesaikan ketaksamaan secara grafik:

Domain:

Mari bina graf fungsi untuk (Rajah 3).

a. Graf fungsi mesti terletak di bawah graf; ini dilakukan apabila

b. Graf fungsi terletak di atas graf pada Tetapi kerana keadaan mempunyai tanda yang lemah, adalah penting untuk tidak kehilangan punca terpencil

3. Kesimpulan

Kami melihat kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan; Kami melihat contoh khusus, penyelesaian yang menggunakan sifat fungsi seperti monotonicity dan pariti.

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra gred 9: Buku Teks. Untuk pendidikan am Institusi.- ed ke-4. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 hlm.: sakit.

2. Mordkovich A.G. et al. Algebra gred 9: Buku masalah untuk pelajar institusi pendidikan am / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. - 4th ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 hlm.: sakit.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. darjah 9: pendidikan. untuk pelajar pendidikan am. institusi / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — ed. ke-7, rev. dan tambahan - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V. Algebra. darjah 9. ed ke-16 - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Algebra. darjah 9. Dalam 2 jam. Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — ed. ke-12, dipadamkan. - M.: 2010. - 224 p.: sakit.

6. Algebra. darjah 9. Dalam 2 bahagian. Bahagian 2. Buku masalah untuk pelajar institusi pendidikan am / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina dan lain-lain; Ed. A. G. Mordkovich. — ed. ke-12, rev. - M.: 2010.-223 p.: sakit.

1. Bahagian kolej. ru dalam matematik.

2. Projek Internet "Tugas".

3. Portal pendidikan “SAYA AKAN MENYELESAIKAN Peperiksaan Negeri Bersepadu”.

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra gred 9: Buku masalah untuk pelajar institusi pendidikan am / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. - 4th ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 hlm.: sakit. No. 355, 356, 364.