Salah satu kaedah yang paling mudah untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik ialah kaedah grafik. Dalam artikel ini kita akan melihat bagaimana ketaksamaan kuadratik diselesaikan secara grafik. Pertama, mari kita bincangkan apakah intipati kaedah ini. Seterusnya, kami akan membentangkan algoritma dan mempertimbangkan contoh penyelesaian ketaksamaan kuadratik secara grafik.

Navigasi halaman.

Intipati kaedah grafik

sama sekali kaedah grafik untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan satu pembolehubah digunakan bukan sahaja untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik, tetapi juga jenis ketaksamaan lain. Intipati kaedah grafik untuk menyelesaikan ketaksamaan seterusnya: pertimbangkan fungsi y=f(x) dan y=g(x), yang sepadan dengan sisi kiri dan kanan ketaksamaan, bina grafnya dalam satu sistem koordinat segi empat tepat dan ketahui pada selang berapa graf satu daripada mereka lebih rendah atau lebih tinggi daripada yang lain. Selang itu di mana

• graf fungsi f di atas graf fungsi g ialah penyelesaian kepada ketaksamaan f(x)>g(x) ;
• graf fungsi f tidak lebih rendah daripada graf fungsi g adalah penyelesaian kepada ketaksamaan f(x)≥g(x) ;
• graf f di bawah graf g ialah penyelesaian kepada ketaksamaan f(x)
• graf fungsi f tidak lebih tinggi daripada graf fungsi g adalah penyelesaian kepada ketaksamaan f(x)≤g(x) .

Kami juga akan mengatakan bahawa absis bagi titik persilangan graf bagi fungsi f dan g ialah penyelesaian kepada persamaan f(x)=g(x) .

Mari kita pindahkan keputusan ini kepada kes kita - untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Kami memperkenalkan dua fungsi: yang pertama y=a x 2 +b x+c (dengan f(x)=a x 2 +b x+c) sepadan dengan sebelah kiri ketaksamaan kuadratik, yang kedua y=0 (dengan g ( x)=0 ) sepadan dengan bahagian kanan ketaksamaan. Jadual fungsi kuadratik f ialah parabola dan graf fungsi tetap g – garis lurus bertepatan dengan paksi absis Lembu.

Seterusnya, mengikut kaedah grafik untuk menyelesaikan ketaksamaan, adalah perlu untuk menganalisis pada selang berapa graf satu fungsi terletak di atas atau di bawah yang lain, yang akan membolehkan kita menulis penyelesaian yang dikehendaki kepada ketaksamaan kuadratik. Dalam kes kita, kita perlu menganalisis kedudukan parabola berbanding paksi Lembu.

Bergantung pada nilai pekali a, b dan c, enam pilihan berikut adalah mungkin (untuk keperluan kami, perwakilan skematik adalah mencukupi, dan kami tidak perlu menggambarkan paksi Oy, kerana kedudukannya tidak menjejaskan penyelesaian kepada ketidaksamaan):

Dalam lukisan ini kita melihat parabola, cawangannya diarahkan ke atas, dan yang bersilang dengan paksi Lembu pada dua titik, absisnya ialah x 1 dan x 2. Lukisan ini sepadan dengan pilihan apabila pekali a adalah positif (ia bertanggungjawab untuk arah ke atas cawangan parabola), dan apabila nilainya positif diskriminasi bagi trinomial kuadratik a x 2 +b x+c (dalam kes ini, trinomial mempunyai dua punca, yang kami nyatakan sebagai x 1 dan x 2, dan kami mengandaikan bahawa x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Untuk kejelasan, mari kita gambarkan dalam warna merah bahagian parabola yang terletak di atas paksi-x, dan dalam warna biru - yang terletak di bawah paksi-x.


Sekarang mari kita ketahui selang yang sesuai dengan bahagian ini. Lukisan berikut akan membantu anda mengenal pasti mereka (pada masa hadapan kami akan membuat pilihan yang serupa dalam bentuk segi empat tepat secara mental):


Jadi pada paksi absis dua selang (−∞, x 1) dan (x 2 , +∞) diserlahkan dengan warna merah, pada mereka parabola berada di atas paksi Ox, ia membentuk penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a x 2 +b x +c>0 , dan selang (x 1 , x 2) diserlahkan dengan warna biru, terdapat parabola di bawah paksi Ox, ia mewakili penyelesaian kepada ketaksamaan a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Dan sekarang secara ringkas: untuk a>0 dan D=b 2 −4 a c>0 (atau D"=D/4>0 untuk pekali genap b)

• penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a x 2 +b x+c>0 ialah (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) atau dalam tatatanda x yang lain x2;
• penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a x 2 +b x+c≥0 ialah (−∞, x 1 ]∪ atau dalam tatatanda lain x 1 ≤x≤x 2 ,

dengan x 1 dan x 2 ialah punca bagi trinomial kuadratik a x 2 +b x+c, dan x 1


Di sini kita melihat parabola, cabang-cabangnya diarahkan ke atas, dan yang menyentuh paksi absis, iaitu, ia mempunyai satu titik sepunya dengannya; kita menandakan absis titik ini sebagai x 0. Kes yang dibentangkan sepadan dengan a>0 (cawangan menghala ke atas) dan D=0 ( trinomial kuadratik mempunyai satu punca x 0). Sebagai contoh, anda boleh mengambil fungsi kuadratik y=x 2 −4·x+4, di sini a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 dan x 0 =2.

Lukisan jelas menunjukkan bahawa parabola terletak di atas paksi Ox di mana-mana kecuali titik sentuhan, iaitu, pada selang (−∞, x 0), (x 0, ∞). Untuk kejelasan, mari kita serlahkan kawasan dalam lukisan dengan analogi dengan perenggan sebelumnya.


Kami membuat kesimpulan: untuk a>0 dan D=0

• penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a·x 2 +b·x+c>0 ialah (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) atau dalam tatatanda lain x≠x 0;
• penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a·x 2 +b·x+c≥0 ialah (−∞, +∞) atau dalam tatatanda lain x∈R ;
• ketaksamaan kuadratik a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• ketaksamaan kuadratik a x 2 +b x+c≤0 mempunyai penyelesaian unik x=x 0 (ia diberikan oleh titik tangen),

dengan x 0 ialah punca bagi segi tiga segi tiga a x 2 + b x + c.


Dalam kes ini, cabang parabola diarahkan ke atas, dan ia tidak mempunyai titik sepunya dengan paksi absis. Di sini kita mempunyai syarat a>0 (cawangan diarahkan ke atas) dan D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Jelas sekali, parabola terletak di atas paksi Lembu sepanjang keseluruhan panjangnya (tiada selang di mana ia berada di bawah paksi Lembu, tiada titik tangen).


Oleh itu, untuk a>0 dan D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 dan a x 2 +b x+c≥0 ialah set semua nombor nyata, dan ketaksamaan a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Dan masih terdapat tiga pilihan untuk lokasi parabola dengan cawangan diarahkan ke bawah, bukan ke atas, berbanding dengan paksi Lembu. Pada dasarnya, mereka tidak perlu dipertimbangkan, kerana mendarab kedua-dua belah ketaksamaan dengan -1 membolehkan kita pergi ke ketaksamaan setara dengan pekali positif untuk x 2. Tetapi masih tidak rugi untuk mendapatkan idea tentang kes-kes ini. Alasan di sini adalah serupa, jadi kami akan menulis hanya hasil utama.

Algoritma penyelesaian

Hasil daripada semua pengiraan sebelum ini ialah algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik secara grafik:

hidup satah koordinat lukisan skematik dibuat, yang menunjukkan paksi Lembu (ia tidak perlu untuk menggambarkan paksi Oy) dan lakaran parabola yang sepadan dengan fungsi kuadratik y=a·x 2 +b·x+c. Untuk melukis lakaran parabola, cukup untuk menjelaskan dua perkara:

• Pertama, dengan nilai pekali a ia ditentukan ke mana cawangannya diarahkan (untuk a>0 - ke atas, untuk a<0 – вниз).
• Dan kedua, dengan nilai diskriminasi trinomial segi empat sama a x 2 + b x + c ditentukan sama ada parabola bersilang dengan paksi absis pada dua titik (untuk D>0), menyentuhnya pada satu titik (untuk D=0) , atau tidak mempunyai titik sepunya dengan paksi Lembu (di D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Apabila lukisan sudah siap, gunakannya dalam langkah kedua algoritma

  • apabila menyelesaikan ketaksamaan kuadratik a·x 2 +b·x+c>0, selang ditentukan di mana parabola terletak di atas absis;
  • apabila menyelesaikan ketaksamaan a·x 2 +b·x+c≥0, selang di mana parabola terletak di atas paksi absis ditentukan dan absis titik persilangan (atau absis titik tangen) ditambah kepada mereka;
  • apabila menyelesaikan ketaksamaan a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • akhirnya, apabila menyelesaikan ketaksamaan kuadratik dalam bentuk a·x 2 +b·x+c≤0, selang ditemui di mana parabola berada di bawah paksi Ox dan absis titik persilangan (atau absis titik tangen ) ditambah kepada mereka;

  ia membentuk penyelesaian yang dikehendaki kepada ketaksamaan kuadratik, dan jika tiada selang sedemikian dan tiada titik tangen, maka ketaksamaan kuadratik asal tidak mempunyai penyelesaian.

Yang tinggal hanyalah menyelesaikan beberapa ketaksamaan kuadratik menggunakan algoritma ini.

Contoh dengan penyelesaian

Contoh.

Selesaikan ketidaksamaan .

Penyelesaian.

Kita perlu menyelesaikan ketaksamaan kuadratik, mari kita gunakan algoritma dari perenggan sebelumnya. Dalam langkah pertama kita perlu melakar graf fungsi kuadratik . Pekali x 2 adalah sama dengan 2, ia adalah positif, oleh itu, cawangan parabola diarahkan ke atas. Mari kita ketahui juga sama ada parabola mempunyai titik sepunya dengan paksi-x; untuk melakukan ini, kita akan mengira diskriminasi trinomial kuadratik . Kami ada . Diskriminasi ternyata lebih besar daripada sifar, oleh itu, trinomial mempunyai dua punca sebenar: Dan , iaitu x 1 =−3 dan x 2 =1/3.

Daripada ini adalah jelas bahawa parabola bersilang paksi Lembu pada dua titik dengan abscissas -3 dan 1/3. Kami akan menggambarkan mata ini dalam lukisan sebagai mata biasa, kerana kami sedang menyelesaikan ketidaksamaan yang tidak ketat. Berdasarkan data yang dijelaskan, kami memperoleh lukisan berikut (ia sesuai dengan templat pertama dari perenggan pertama artikel):

Mari kita beralih ke langkah kedua algoritma. Oleh kerana kita sedang menyelesaikan ketaksamaan kuadratik tidak ketat dengan tanda ≤, kita perlu menentukan selang di mana parabola terletak di bawah absis dan menambah kepada mereka absis titik persilangan.

Daripada lukisan itu jelas bahawa parabola berada di bawah paksi-x pada selang (−3, 1/3) dan padanya kita menambah absis titik persilangan, iaitu nombor -3 dan 1/3. Akibatnya, kita tiba pada selang berangka [−3, 1/3] . Inilah penyelesaian yang kami cari. Ia boleh ditulis sebagai ketaksamaan berganda −3≤x≤1/3.

Jawapan:

[−3, 1/3] atau −3≤x≤1/3 .

Contoh.

Cari penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik −x 2 +16 x−63<0 .

Penyelesaian.

Seperti biasa, kita mulakan dengan lukisan. Pekali berangka untuk kuasa dua pembolehubah adalah negatif, -1, oleh itu, cawangan parabola diarahkan ke bawah. Mari kita hitung diskriminasi, atau lebih baik lagi, bahagian keempatnya: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Nilainya positif, mari kita hitung punca trinomial kuasa dua: Dan , x 1 =7 dan x 2 =9. Jadi parabola memotong paksi Lembu pada dua titik dengan abscissas 7 dan 9 (ketaksamaan asal adalah ketat, jadi kita akan menggambarkan titik ini dengan pusat kosong). Sekarang kita boleh membuat lukisan skematik:

Memandangkan kita sedang menyelesaikan ketaksamaan kuadratik yang ketat dengan tanda<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Lukisan menunjukkan bahawa penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik asal ialah dua selang (−∞, 7) , (9, +∞) .

Jawapan:

(−∞, 7)∪(9, +∞) atau dalam tatatanda x yang lain<7 , x>9 .

Apabila menyelesaikan ketaksamaan kuadratik, apabila diskriminasi bagi trinomial kuadratik di sebelah kirinya ialah sifar, anda perlu berhati-hati untuk memasukkan atau mengecualikan absis titik tangen daripada jawapan. Ini bergantung pada tanda ketidaksamaan: jika ketidaksamaan adalah ketat, maka ia bukan penyelesaian kepada ketidaksamaan, tetapi jika ia tidak ketat, maka ia adalah.

Contoh.

Adakah ketaksamaan kuadratik 10 x 2 −14 x+4.9≤0 mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian?

Penyelesaian.

Mari kita plot fungsi y=10 x 2 −14 x+4.9. Cawangannya diarahkan ke atas, kerana pekali x 2 adalah positif, dan ia menyentuh paksi absis pada titik dengan absis 0.7, kerana D"=(−7) 2 −10 4.9=0, dari mana atau 0.7 dalam bentuk daripada pecahan perpuluhan. Secara skematik ia kelihatan seperti ini:

Oleh kerana kita sedang menyelesaikan ketaksamaan kuadratik dengan tanda ≤, penyelesaiannya ialah selang di mana parabola berada di bawah paksi Ox, serta absis titik tangen. Daripada lukisan itu adalah jelas bahawa tidak ada satu jurang di mana parabola akan berada di bawah paksi Lembu, jadi penyelesaiannya hanya akan menjadi absis titik tangen, iaitu, 0.7.

Jawapan:

ketaksamaan ini mempunyai penyelesaian unik 0.7.

Contoh.

Selesaikan ketaksamaan kuadratik –x 2 +8 x−16<0 .

Penyelesaian.

Kami mengikuti algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik dan mulakan dengan membina graf. Cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah, kerana pekali x 2 adalah negatif, -1. Mari kita cari diskriminasi bagi trinomial kuasa dua –x 2 +8 x−16, kita ada D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 dan seterusnya x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Jadi, parabola menyentuh paksi Lembu di titik absis 4. Mari buat lukisan:

Kami melihat tanda ketidaksamaan asal, ia ada<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Dalam kes kami, ini adalah sinar terbuka (−∞, 4) , (4, +∞) . Secara berasingan, kami perhatikan bahawa 4 - absis titik sentuhan - bukan penyelesaian, kerana pada titik sentuhan parabola tidak lebih rendah daripada paksi Lembu.

Jawapan:

(−∞, 4)∪(4, +∞) atau dalam tatatanda lain x≠4 .

Beri perhatian khusus kepada kes di mana diskriminasi trinomial kuadratik di sebelah kiri ketaksamaan kuadratik adalah kurang daripada sifar. Tidak perlu tergesa-gesa di sini dan mengatakan bahawa ketidaksamaan tidak mempunyai penyelesaian (kita sudah biasa membuat kesimpulan sedemikian untuk persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif). Intinya ialah ketaksamaan kuadratik bagi D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Contoh.

Cari penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik 3 x 2 +1>0.

Penyelesaian.

Seperti biasa, kita mulakan dengan lukisan. Pekali a ialah 3, ia adalah positif, oleh itu, cawangan parabola diarahkan ke atas. Kami mengira diskriminasi: D=0 2 −4·3·1=−12 . Oleh kerana diskriminasi adalah negatif, parabola tidak mempunyai titik sepunya dengan paksi Lembu. Maklumat yang diperolehi adalah mencukupi untuk graf skematik:

Kami menyelesaikan ketaksamaan kuadratik yang ketat dengan tanda >. Penyelesaiannya ialah semua selang di mana parabola berada di atas paksi Lembu. Dalam kes kami, parabola berada di atas paksi-x sepanjang keseluruhan panjangnya, jadi penyelesaian yang dikehendaki ialah set semua nombor nyata.

Lembu , dan anda juga perlu menambah absis titik persilangan atau absis kesenjangan kepada mereka. Tetapi dari lukisan itu jelas kelihatan bahawa tiada selang seperti itu (kerana parabola berada di mana-mana di bawah paksi absis), sama seperti tiada titik persilangan, sama seperti tiada titik tangen. Oleh itu, ketaksamaan kuadratik asal tidak mempunyai penyelesaian.

Jawapan:

tiada penyelesaian atau dalam entri lain ∅.

Bibliografi.

• Algebra: buku teks untuk darjah 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: darjah 9: pendidikan. untuk pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A. G. Algebra. Gred 8. Dalam 2 jam. Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am / A. G. Mordkovich. - ed. ke-11, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A. G. Algebra. darjah 9. Dalam 2 jam. Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ed. ke-13, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A. G. Algebra dan permulaan analisis matematik. Darjah 11. Dalam 2 jam. Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am (peringkat profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ed. ke-2, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.

lihat juga Menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear secara grafik, bentuk kanonik masalah pengaturcaraan linear

Sistem kekangan untuk masalah sedemikian terdiri daripada ketaksamaan dalam dua pembolehubah:
dan fungsi objektif mempunyai bentuk F = C 1 x + C 2 y yang perlu dimaksimumkan.

Mari jawab soalan: apakah pasangan nombor ( x; y) adakah penyelesaian kepada sistem ketaksamaan, iaitu, memenuhi setiap ketaksamaan secara serentak? Dengan kata lain, apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan sistem secara grafik?
Mula-mula anda perlu memahami apakah penyelesaian kepada satu ketaksamaan linear dengan dua yang tidak diketahui.
Menyelesaikan ketaksamaan linear dengan dua tidak diketahui bermakna menentukan semua pasangan nilai yang tidak diketahui yang mana ketaksamaan itu dipegang.
Contohnya, ketidaksamaan 3 x – 5y≥ 42 pasangan memuaskan ( x , y) : (100, 2); (3, –10), dsb. Tugasnya ialah mencari semua pasangan tersebut.
Mari kita pertimbangkan dua ketidaksamaan: kapak + oleh≤ c, kapak + oleh≥ c. Lurus kapak + oleh = c membahagikan satah kepada dua setengah satah supaya koordinat titik salah satu daripadanya memenuhi ketaksamaan kapak + oleh >c, dan ketidaksamaan yang lain kapak + +oleh <c.
Sesungguhnya, marilah kita mengambil satu titik dengan koordinat x = x 0 ; kemudian satu titik terletak pada garisan dan mempunyai absis x 0, mempunyai ordinat

Biar untuk kepastian a< 0, b>0, c>0. Semua mata dengan abscissa x 0 berbaring di atas P(contohnya, dot M), mempunyai y M>y 0 , dan semua titik di bawah titik P, dengan absis x 0 , mempunyai y N<y 0 . Kerana ia x 0 ialah titik arbitrari, maka akan sentiasa ada titik pada satu sisi garisan yang mana kapak+ oleh > c, membentuk separuh satah, dan di sisi lain - mata yang mana kapak + oleh< c.

Gambar 1

Tanda ketaksamaan dalam separuh satah bergantung pada nombor a, b , c.
Ini membawa kepada kaedah penyelesaian grafik berikut ketaksamaan linear daripada dua pembolehubah. Untuk menyelesaikan sistem yang anda perlukan:

1. Untuk setiap ketaksamaan, tulis persamaan yang sepadan dengan ketaksamaan ini.
2. Bina garis lurus yang merupakan graf fungsi yang ditentukan oleh persamaan.
3. Bagi setiap baris, tentukan separuh satah, yang diberikan oleh ketaksamaan. Untuk melakukan ini, ambil titik sewenang-wenangnya yang tidak terletak pada garis dan gantikan koordinatnya ke dalam ketaksamaan. jika ketaksamaan adalah benar, maka satah separuh yang mengandungi titik yang dipilih adalah penyelesaian kepada ketaksamaan asal. Jika ketaksamaan adalah palsu, maka separuh satah pada sisi lain garis ialah set penyelesaian kepada ketaksamaan ini.
4. Untuk menyelesaikan sistem ketaksamaan, adalah perlu untuk mencari luas persilangan semua separuh satah yang merupakan penyelesaian kepada setiap ketaksamaan sistem.

Kawasan ini mungkin menjadi kosong, maka sistem ketidaksamaan tidak mempunyai penyelesaian dan tidak konsisten. Jika tidak, sistem itu dikatakan konsisten.
Mungkin terdapat nombor terhingga atau bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Kawasan itu boleh menjadi poligon tertutup atau tidak terhad.

Mari kita lihat tiga contoh yang relevan.

Contoh 1. Selesaikan sistem secara grafik:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2y + 5 ≤ 0.

• pertimbangkan persamaan x+y–1=0 dan –2x–2y+5=0 sepadan dengan ketaksamaan;
• Mari kita bina garis lurus yang diberikan oleh persamaan ini.

Rajah 2

Mari kita takrifkan separuh satah yang ditakrifkan oleh ketaksamaan. Mari kita ambil titik sewenang-wenangnya, mari (0; 0). Mari kita pertimbangkan x+ y– 1 0, gantikan titik (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Ini bermakna dalam separuh satah di mana titik (0; 0) terletak, x + y – 1 ≤ 0, iaitu. satah separuh yang terletak di bawah garis adalah penyelesaian kepada ketaksamaan pertama. Menggantikan titik ini (0; 0) kepada yang kedua, kita dapat: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, i.e. dalam setengah satah di mana titik (0; 0) terletak, –2 x – 2y+ 5≥ 0, dan kami ditanya di mana –2 x – 2y+ 5 ≤ 0, oleh itu, dalam separuh satah yang lain - dalam satu di atas garis lurus.
Mari kita cari persilangan dua satah separuh ini. Garisan adalah selari, jadi satah tidak bersilang di mana-mana, yang bermaksud bahawa sistem ketaksamaan ini tidak mempunyai penyelesaian dan tidak konsisten.

Contoh 2. Cari penyelesaian secara grafik kepada sistem ketaksamaan:

Rajah 3
1. Mari tuliskan persamaan yang sepadan dengan ketaksamaan dan bina garis lurus.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Setelah memilih titik (0; 0), kami menentukan tanda-tanda ketaksamaan dalam separuh satah:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, i.e. x + 2y– 2 ≤ 0 dalam separuh satah di bawah garis lurus;
0 – 0 – 1 ≤ 0, iaitu. y –x– 1 ≤ 0 dalam separuh satah di bawah garis lurus;
0 + 2 =2 ≥ 0, i.e. y+ 2 ≥ 0 dalam satah separuh di atas garis lurus.
3. Persilangan ketiga-tiga satah separuh ini akan menjadi kawasan yang berbentuk segi tiga. Tidak sukar untuk mencari bucu rantau sebagai titik persilangan garis yang sepadan


Oleh itu, A(–3; –2), DALAM(0; 1), DENGAN(6; –2).

Mari kita pertimbangkan contoh lain di mana domain penyelesaian sistem yang terhasil tidak terhad.

Graf ketaksamaan linear atau kuadratik dibina dengan cara yang sama seperti graf mana-mana fungsi (persamaan). Perbezaannya ialah ketaksamaan membayangkan bahawa terdapat berbilang penyelesaian, jadi graf ketaksamaan bukan sekadar titik pada garis nombor atau garis pada satah koordinat. Menggunakan operasi matematik dan tanda ketaksamaan, anda boleh menentukan banyak penyelesaian kepada ketaksamaan.

Langkah-langkah

Perwakilan grafik ketaksamaan linear pada garis nombor

1. Selesaikan ketidaksamaan. Untuk melakukan ini, asingkan pembolehubah menggunakan teknik algebra yang sama yang anda gunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan. Ingat bahawa apabila mendarab atau membahagi ketaksamaan dengan nombor negatif(atau istilah), terbalikkan tanda ketaksamaan.

   • Sebagai contoh, memandangkan ketidaksamaan 3 y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). Untuk mengasingkan pembolehubah, tolak 9 daripada kedua-dua belah ketaksamaan, dan kemudian bahagikan kedua-dua belah dengan 3:
     3 y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 y > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Ketaksamaan mesti mempunyai satu pembolehubah sahaja. Jika ketaksamaan mempunyai dua pembolehubah, adalah lebih baik untuk memplot graf pada satah koordinat.

2. Lukis garis nombor. Pada garis nombor, tandakan nilai yang anda temui (pembolehubah boleh kurang daripada, lebih besar daripada, atau sama dengan nilai ini). Lukis garis nombor dengan panjang yang sesuai (panjang atau pendek).

   • Sebagai contoh, jika anda mengira itu y > 1 (\displaystyle y>1), tandakan nilai 1 pada garis nombor.

3. Lukis bulatan untuk mewakili nilai yang ditemui. Jika pembolehubah kurang daripada ( < {\displaystyle <} ) atau lebih ( > (\displaystyle >)) daripada nilai ini, bulatan tidak diisi kerana set penyelesaian tidak termasuk nilai ini. Jika pembolehubah kurang daripada atau sama dengan ( ≤ (\displaystyle \leq )) atau lebih besar daripada atau sama dengan ( ≥ (\displaystyle \geq )) kepada nilai ini, bulatan diisi kerana set penyelesaian termasuk nilai ini.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), pada garis nombor, lukis bulatan terbuka pada titik 1 kerana 1 tiada dalam set penyelesaian.

4. Pada garis nombor, lorekkan kawasan yang mentakrifkan set penyelesaian. Jika pembolehubah lebih besar daripada nilai yang ditemui, lorekkan kawasan di sebelah kanannya, kerana set penyelesaian termasuk semua nilai yang lebih besar daripada nilai yang ditemui. Jika pembolehubah kurang daripada nilai yang ditemui, lorekkan kawasan di sebelah kirinya, kerana set penyelesaian termasuk semua nilai yang kurang daripada nilai yang ditemui.

   • Sebagai contoh, jika diberi ketaksamaan y > 1 (\displaystyle y>1), pada garis nombor, lorekkan kawasan di sebelah kanan 1 kerana set penyelesaian merangkumi semua nilai yang lebih besar daripada 1.

   Perwakilan grafik ketaksamaan linear pada satah koordinat

   1. Selesaikan ketaksamaan (cari nilai y (\displaystyle y)). Untuk mendapatkan persamaan linear, asingkan pembolehubah di sebelah kiri menggunakan teknik algebra yang biasa. Harus ada pembolehubah di sebelah kanan x (\displaystyle x) dan mungkin beberapa tetap.

      • Sebagai contoh, memandangkan ketidaksamaan 3 y + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x). Untuk mengasingkan pembolehubah y (\displaystyle y), tolak 9 daripada kedua-dua belah ketaksamaan, dan kemudian bahagikan kedua-dua belah dengan 3:
        3 y + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\gaya paparan (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Lukiskan graf persamaan linear pada satah koordinat. lukis graf seperti graf mana-mana persamaan linear. Plot pintasan-Y dan kemudian gunakan cerun untuk memplot titik-titik lain.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) graf persamaan y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Titik persilangan dengan paksi Y mempunyai koordinat dan cerun sama dengan 3 (atau 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Jadi mula-mula plot titik dengan koordinat (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); titik di atas titik persilangan paksi-y mempunyai koordinat (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); titik di bawah titik persilangan paksi-Y mempunyai koordinat (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Lukis garis lurus. Jika ketidaksamaan adalah ketat (termasuk tanda < {\displaystyle <} atau > (\displaystyle >)), lukis garis putus-putus kerana set penyelesaian tidak termasuk nilai pada garisan. Jika ketidaksamaan tidak ketat (termasuk tanda ≤ (\displaystyle \leq ) atau ≥ (\displaystyle \geq )), lukis garis pepejal kerana set penyelesaian termasuk nilai yang terletak pada garisan.

      • Contohnya, dalam kes ketidaksamaan y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) lukis garis putus-putus kerana set penyelesaian tidak termasuk nilai pada garisan.

   4. Lorekkan kawasan yang sesuai. Jika ketaksamaan adalah dalam bentuk y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), lorekkan kawasan di atas garisan. Jika ketaksamaan adalah dalam bentuk y< m x + b {\displaystyle y, lorekkan kawasan di bawah garisan.

      • Contohnya, dalam kes ketidaksamaan y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) lorekkan kawasan di atas garisan.

   Perwakilan grafik bagi ketaksamaan kuadratik pada satah koordinat

   1. Tentukan bahawa ketaksamaan ini adalah kuadratik. Ketaksamaan kuadratik mempunyai bentuk a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Kadangkala ketidaksamaan tidak mengandungi pembolehubah tertib pertama ( x (\displaystyle x)) dan/atau istilah bebas (malar), tetapi semestinya termasuk pembolehubah tertib kedua ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Pembolehubah x (\displaystyle x) Dan y (\displaystyle y) mesti diasingkan pada sisi yang berbeza ketidaksamaan.

      • Sebagai contoh, anda perlu merancang ketidaksamaan y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Lukiskan graf pada satah koordinat. Untuk melakukan ini, tukarkan ketaksamaan kepada persamaan dan grafkannya seperti yang anda graf mana-mana persamaan kuadratik. Ingat bahawa graf persamaan kuadratik ialah parabola.

      • Contohnya, dalam kes ketidaksamaan y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y graf persamaan kuadratik y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Puncak parabola berada pada titik (5 , − 9) (\gaya paparan (5,-9)), dan parabola bersilang dengan paksi X pada titik (2 , 0) (\displaystyle (2,0)) Dan (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

Penyelesaian anggaran ketaksamaan.

Penyelesaian grafik ketidaksamaan dengan satu yang tidak diketahui.

Penyelesaian grafik sistem ketaksamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Persilangan penyelesaian.

Perwakilan grafik fungsi membolehkan lebih kurang memutuskan ketidaksamaan dengan satu yang tidak diketahui dan sistem ketaksamaan dengan satu dan dua yang tidak diketahui. Untuk menyelesaikan secara grafik ketaksamaan dengan yang tidak diketahui, adalah perlu untuk memindahkan semua ahlinya ke dalam satu bahagian, i.e. e . membawa kepada:

f ( x ) > 0 ,

dan plot fungsi y = f(x ). Selepas itu, Menggunakan graf yang dibina, anda boleh mencari fungsi sifar(lihat), yang akan membahagikan paksiX untuk beberapa selang. Sekarang, berdasarkan ini, kami menentukan selang x, di dalamnya tanda fungsi sepadan dengan tanda ketaksamaan. Sebagai contoh,sifar fungsi kami:a Dan b(Gamb. 30). Kemudian daripada graf adalah jelas bahawa selang di dalamnya f (x ) > 0: x < a Dan x > b(mereka diserlahkan dengan anak panah tebal). Jelas bahawa tanda > di sini bersyarat; sebaliknya boleh ada yang lain: < , .

Kepada menyelesaikan secara grafik sistem ketaksamaan Dengan satu yang tidak diketahui, anda perlu memindahkan semua syarat dalam setiap satu daripadanya ke dalam satu bahagian, i.e. e . membawa ketidaksamaan kepada bentuk:

dan membina graf fungsi y = f ( x ), y = g (x ) , ... , y = h (x). setiap satu daripada ketaksamaan ini diselesaikan dengan kaedah grafik yang diterangkan di atas. Selepas itu perlu cari persilangan penyelesaian semua ketidaksamaan, i.e. e. bahagian bersama mereka.

CONTOH Selesaikan secara grafik sistem ketaksamaan:

Penyelesaian. Mula-mula, mari kita plot fungsiy = - 2 / 3 x+ 2 dan

y = x 2 - 1 (Gamb. 31):

Keputusan yang pertamaketidaksamaan ialah selangx> 3, ditunjukkan dalam Rajah 31 oleh anak panah hitam; penyelesaian kepada ketaksamaan kedua terdiri daripada dua selang:x < - 1 и x> 1, ditunjukkan dalam Rajah 31 dengan anak panah kelabu.

Dari graf itu jelas Apa persilangan kedua-dua penyelesaian ini ialah selangx> 3. Ini adalah penyelesaian kepada sistem ketaksamaan yang diberikan.

Untuk menyelesaikan secara grafik sistem dua ketaksamaan dengan dua yang tidak diketahui, anda perlu:

1) dalam setiap daripada mereka memindahkan semua istilah ke dalam satu bahagian, i.e. e. bawak

ketaksamaan kepada bentuk:

2) bina graf fungsi yang dinyatakan secara tersirat: f (x, y) = 0 dan g (x, y) = 0;

3) Setiap graf ini membahagikan satah koordinat kepada dua bahagian:

dalam salah satu daripadanya ketidaksamaan adil, dalam yang lain - tidak; untuk menyelesaikan

secara grafik setiap ketidaksamaan ini, sudah cukup untuk diperiksa

kesahihan ketidaksamaan pada satu titik sewenang-wenangnya dalam mana-mana

bahagian pesawat; jika ketidaksamaan berlaku pada ketika ini, maka

bahagian satah koordinat ini adalah penyelesaiannya, jika tidak, maka

penyelesaiannya ialah bahagian yang bertentangan dengan satah itu ;

4) penyelesaian kepada sistem ketaksamaan tertentu ialah persilangan

(kawasan am) bahagian satah koordinat.

CONTOH Selesaikan sistem ketaksamaan:

Penyelesaian. Mula-mula, kita membina graf bagi fungsi linear: 5x – 7 y= - 11 dan

2 x + 3 y= 10 (Gamb. 32). Bagi setiap daripada mereka kita dapati separuh satah,

dalam mana yang sepadandiberi ketidaksamaan

adil. Kami tahu bahawa ia sudah cukup untuk memeriksa keadilan

Ketaksamaan pada satu titik sewenang-wenangnya di rantau ini; di dalam ini

Dalam kes ini, adalah paling mudah untuk menggunakan asal koordinat untuk ini O(0, 0 ).

Membingkai dia menyelaraskan ke dalam ketidaksamaan kita sebaliknyax Dan y,

Kami dapat: 5 0 – 7 0 = 0 > - 11, oleh itu, lebih rendah

separuh satah (kuning) adalah penyelesaian kepada yang pertama

Ketaksamaan; 2 0 + 3 0 = 0< 10, поэтому второе ketidaksamaan

Penyelesaiannya juga mempunyai separuh satah bawah ( biru

warna ). Persilangan separuh satah ini ( kawasan warna turquoise)

adalah penyelesaiannya sistem ketidaksamaan kita.

Tahap pertama

Menyelesaikan persamaan, ketaksamaan, sistem menggunakan graf fungsi. Panduan visual (2019)

Banyak tugasan yang kami biasa mengira secara algebra semata-mata boleh diselesaikan dengan lebih mudah dan lebih pantas; menggunakan graf fungsi akan membantu kami dalam hal ini. Anda berkata "bagaimana boleh?" lukis sesuatu, dan apa yang hendak dilukis? Percayalah, kadang-kadang ia lebih mudah dan lebih mudah. Mari kita mulakan? Mari kita mulakan dengan persamaan!

Penyelesaian grafik persamaan

Penyelesaian grafik persamaan linear

Seperti yang anda sedia maklum, graf bagi persamaan linear ialah garis lurus, maka nama jenis ini. Persamaan linear agak mudah untuk diselesaikan secara algebra - kami memindahkan semua yang tidak diketahui ke satu sisi persamaan, semua yang kami tahu kepada yang lain, dan voila! Kami menemui akarnya. Sekarang saya akan menunjukkan kepada anda bagaimana untuk melakukannya secara grafik.

Jadi anda mempunyai persamaan:

Bagaimana untuk menyelesaikannya?
Pilihan 1, dan yang paling biasa ialah memindahkan yang tidak diketahui ke satu pihak dan yang diketahui ke pihak yang lain, kita dapat:

Sekarang mari kita bina. Apa yang kamu dapat?

Pada pendapat anda, apakah punca persamaan kita? Betul, koordinat titik persilangan graf ialah:

Jawapan kami ialah

Itulah keseluruhan kebijaksanaan penyelesaian grafik. Seperti yang anda boleh semak dengan mudah, punca persamaan kami ialah nombor!

Seperti yang saya katakan di atas, ini adalah pilihan yang paling biasa, dekat dengan penyelesaian algebra, tetapi anda boleh menyelesaikannya secara berbeza. Untuk mempertimbangkan penyelesaian alternatif, mari kembali kepada persamaan kami:

Kali ini kami tidak akan memindahkan apa-apa dari sisi ke sisi, tetapi akan membina graf secara langsung, seperti sekarang:

dibina? Jom tengok!

Apakah penyelesaian kali ini? betul tu. Perkara yang sama - koordinat titik persilangan graf:

Dan, sekali lagi, jawapan kami ialah.

Seperti yang anda boleh lihat, dengan persamaan linear semuanya sangat mudah. Sudah tiba masanya untuk melihat sesuatu yang lebih kompleks... Contohnya, penyelesaian grafik persamaan kuadratik.

Penyelesaian grafik persamaan kuadratik

Jadi, sekarang mari kita mulakan penyelesaian persamaan kuadratik. Katakan anda perlu mencari punca persamaan ini:

Sudah tentu, anda kini boleh mula mengira melalui diskriminasi, atau mengikut teorem Vieta, tetapi ramai orang, kerana gugup, membuat kesilapan apabila mendarab atau mengkuadratkan, terutamanya jika contohnya adalah dengan bilangan yang besar, dan, seperti yang anda ketahui, anda tidak akan mempunyai kalkulator untuk peperiksaan... Oleh itu, mari cuba berehat sedikit dan lukis semasa menyelesaikan persamaan ini.

Anda boleh mencari penyelesaian kepada persamaan ini secara grafik cara yang berbeza. Mari kita pertimbangkan pelbagai pilihan, dan anda boleh memilih mana yang paling anda suka.

Kaedah 1. Secara langsung

Kami hanya membina parabola menggunakan persamaan ini:

Untuk melakukan ini dengan cepat, saya akan memberi anda sedikit petunjuk: Ia adalah mudah untuk memulakan pembinaan dengan menentukan puncak parabola. Formula berikut akan membantu menentukan koordinat bucu parabola:

Anda akan berkata "Berhenti! Formula untuk adalah sangat serupa dengan formula untuk mencari diskriminasi," ya, memang, dan ini adalah kelemahan besar "secara langsung" membina parabola untuk mencari akarnya. Walau bagaimanapun, mari kita mengira hingga akhir, dan kemudian saya akan menunjukkan kepada anda cara melakukannya dengan lebih mudah (jauh!)!

Adakah anda mengira? Apakah koordinat yang anda perolehi untuk bucu parabola? Mari kita fikirkan bersama-sama:

Jawapan yang sama? Bagus! Dan sekarang kita sudah tahu koordinat puncak, tetapi untuk membina parabola kita memerlukan lebih banyak... mata. Berapa banyak mata minimum yang anda fikir kami perlukan? Betul, .

Anda tahu bahawa parabola adalah simetri tentang bucunya, sebagai contoh:

Sehubungan itu, kita memerlukan dua lagi titik di cawangan kiri atau kanan parabola, dan pada masa akan datang kita akan mencerminkan titik-titik ini secara simetri di sisi yang bertentangan:

Mari kita kembali kepada parabola kita. Untuk kes kami, tempoh. Kita perlukan dua lagi mata, jadi kita boleh ambil yang positif, atau kita boleh ambil yang negatif? Mata yang manakah lebih mudah untuk anda? Lebih mudah bagi saya untuk bekerja dengan yang positif, jadi saya akan mengira pada dan.

Sekarang kita mempunyai tiga mata, dan kita boleh membina parabola kita dengan mudah dengan mencerminkan dua mata terakhir berbanding bahagian atasnya:

Pada pendapat anda, apakah penyelesaian kepada persamaan tersebut? Betul, titik di mana, iaitu, dan. Kerana.

Dan jika kita berkata demikian, ia bermakna ia juga mesti sama, atau.

Cuma? Kami telah selesai menyelesaikan persamaan dengan anda dengan cara grafik yang kompleks, atau akan ada lagi!

Sudah tentu, anda boleh menyemak jawapan kami secara algebra - anda boleh mengira punca menggunakan teorem atau Diskriminasi Vieta. Apa yang kamu dapat? Sama? Di sini anda lihat! Sekarang mari kita lihat penyelesaian grafik yang sangat mudah, saya pasti anda akan sangat menyukainya!

Kaedah 2. Terbahagi kepada beberapa fungsi

Mari kita ambil persamaan kita yang sama: , tetapi kita akan menulisnya sedikit berbeza, iaitu:

Bolehkah kita menulisnya seperti ini? Kita boleh, kerana transformasi adalah setara. Mari kita lihat lebih jauh.

Mari bina dua fungsi secara berasingan:

1. - graf ialah parabola ringkas, yang anda boleh bina dengan mudah walaupun tanpa mentakrifkan bucu menggunakan formula dan melukis jadual untuk menentukan titik lain.
2. - graf ialah garis lurus, yang anda boleh bina dengan mudah dengan menganggarkan nilai dalam kepala anda tanpa menggunakan kalkulator.

dibina? Mari bandingkan dengan apa yang saya dapat:

Adakah anda berfikir bahawa dalam dalam kes ini adakah punca-punca persamaan? Betul! Koordinat yang diperolehi oleh persilangan dua graf dan, iaitu:

Oleh itu, penyelesaian kepada persamaan ini ialah:

apa kata awak Setuju, kaedah penyelesaian ini lebih mudah daripada yang sebelumnya dan lebih mudah daripada mencari akar melalui diskriminasi! Jika ya, cuba selesaikan persamaan berikut menggunakan kaedah ini:

Apa yang kamu dapat? Mari bandingkan graf kami:

Graf menunjukkan bahawa jawapannya ialah:

Adakah anda berjaya? Bagus! Sekarang mari kita lihat persamaan yang lebih rumit, iaitu, penyelesaian persamaan campuran, iaitu persamaan yang mengandungi fungsi pelbagai jenis.

Penyelesaian grafik persamaan campuran

Sekarang mari cuba selesaikan perkara berikut:

Sudah tentu, kita boleh membawa segala-galanya penyebut biasa, cari punca persamaan yang terhasil, jangan lupa untuk mengambil kira ODZ, tetapi sekali lagi, kami akan cuba menyelesaikannya secara grafik, seperti yang kami lakukan dalam semua kes sebelumnya.

Kali ini mari kita bina 2 graf berikut:

1. - graf ialah hiperbola
2. - graf ialah garis lurus, yang anda boleh bina dengan mudah dengan menganggarkan nilai dalam kepala anda tanpa menggunakan kalkulator.

menyedarinya? Sekarang mula membina.

Inilah yang saya dapat:

Melihat gambar ini, beritahu saya apakah punca-punca persamaan kita?

Betul, dan. Berikut adalah pengesahannya:

Cuba masukkan akar kita ke dalam persamaan. Terjadi?

betul! Setuju, menyelesaikan persamaan sedemikian secara grafik adalah suatu keseronokan!

Cuba selesaikan persamaan secara grafik sendiri:

Saya akan memberi anda petunjuk: alihkan sebahagian daripada persamaan ke sebelah kanan supaya fungsi paling mudah untuk dibina adalah pada kedua-dua belah. Adakah anda mendapat petunjuk? Mengambil tindakan!

Sekarang mari lihat apa yang anda dapat:

Masing-masing:

1. - parabola padu.
2. - garis lurus biasa.

Baiklah, mari kita bina:

Seperti yang anda tulis lama dahulu, punca persamaan ini ialah - .

Setelah memutuskan ini sejumlah besar contoh, saya pasti anda menyedari betapa mudah dan cepat anda boleh menyelesaikan persamaan secara grafik. Sudah tiba masanya untuk memikirkan cara menyelesaikan sistem dengan cara ini.

Penyelesaian grafik sistem

Sistem penyelesaian grafik pada asasnya tidak berbeza daripada persamaan penyelesaian grafik. Kami juga akan membina dua graf, dan titik persilangan mereka akan menjadi punca sistem ini. Satu graf ialah satu persamaan, graf kedua ialah persamaan lain. Semuanya sangat mudah!

Mari kita mulakan dengan perkara yang paling mudah - menyelesaikan sistem persamaan linear.

Menyelesaikan sistem persamaan linear

Katakan kita mempunyai sistem berikut:

Pertama, mari kita mengubahnya supaya di sebelah kiri terdapat semua yang berkaitan, dan di sebelah kanan - semua yang berkaitan dengannya. Dengan kata lain, mari kita tulis persamaan ini sebagai fungsi dalam bentuk biasa kita:

Sekarang kita hanya membina dua garis lurus. Apakah penyelesaian dalam kes kami? Betul! Titik persimpangan mereka! Dan di sini anda perlu berhati-hati! Fikir-fikirkanlah, kenapa? Izinkan saya memberi anda petunjuk: kita sedang berurusan dengan sistem: dalam sistem terdapat kedua-duanya, dan... Mendapat petunjuk?

betul! Apabila menyelesaikan sistem, kita mesti melihat kedua-dua koordinat, dan bukan hanya semasa menyelesaikan persamaan! Satu lagi perkara penting- tuliskannya dengan betul dan tidak mengelirukan di mana kita mempunyai makna dan di mana maknanya! Adakah anda menulisnya? Sekarang mari kita bandingkan semuanya mengikut urutan:

Dan jawapannya: dan. Lakukan pemeriksaan - gantikan akar yang ditemui ke dalam sistem dan pastikan sama ada kami menyelesaikannya dengan betul secara grafik?

Menyelesaikan sistem persamaan tak linear

Bagaimana jika, bukannya satu garis lurus, kita ada persamaan kuadratik? tak apalah! Anda hanya membina parabola dan bukannya garis lurus! Jangan percaya? Cuba selesaikan sistem berikut:

Apakah langkah seterusnya? Betul, tuliskannya supaya mudah untuk kita membina graf:

Dan kini semuanya adalah perkara kecil - bina dengan cepat dan inilah penyelesaian anda! Kami sedang membina:

Adakah graf ternyata sama? Sekarang tandakan penyelesaian sistem dalam rajah dan tuliskan jawapan yang dikenal pasti dengan betul!

Saya dah buat semua? Bandingkan dengan nota saya:

Adakah semuanya betul? Bagus! Anda sudah memecahkan jenis tugas ini seperti kacang! Jika ya, mari berikan anda sistem yang lebih rumit:

Apa yang kita buat? Betul! Kami menulis sistem supaya mudah untuk dibina:

Saya akan memberi anda sedikit petunjuk, kerana sistem ini kelihatan sangat rumit! Apabila membina graf, bina "lebih", dan yang paling penting, jangan terkejut dengan bilangan titik persimpangan.

Jadi, mari pergi! Terhembus? Sekarang mula membina!

Jadi bagaimana? Cantik? Berapa banyak titik persimpangan yang anda perolehi? Saya ada tiga! Mari bandingkan graf kami:

Juga? Sekarang tulis dengan teliti semua penyelesaian sistem kami:

Sekarang lihat sistem sekali lagi:

Bolehkah anda bayangkan bahawa anda menyelesaikannya dalam masa 15 minit sahaja? Setuju, matematik masih mudah, terutamanya apabila melihat ungkapan anda tidak takut untuk membuat kesilapan, tetapi ambil sahaja dan selesaikan! Awak dah besar!

Penyelesaian grafik bagi ketaksamaan

Penyelesaian grafik bagi ketaksamaan linear

Selepas contoh terakhir, anda boleh melakukan apa sahaja! Sekarang hembus nafas - berbanding bahagian sebelumnya, yang ini akan menjadi sangat, sangat mudah!

Kami akan mulakan, seperti biasa, dengan penyelesaian grafik kepada ketaksamaan linear. Sebagai contoh, yang ini:

Mula-mula, mari kita lakukan transformasi paling mudah - buka kurungan petak sempurna dan kemukakan istilah yang serupa:

Ketaksamaan tidak ketat, oleh itu ia tidak termasuk dalam selang, dan penyelesaiannya adalah semua titik yang berada di sebelah kanan, kerana lebih banyak, lebih banyak, dan seterusnya:

Jawapan:

Itu sahaja! Dengan mudah? Mari kita selesaikan ketaksamaan mudah dengan dua pembolehubah:

Mari kita lukis fungsi dalam sistem koordinat.

Adakah anda mendapat jadual sedemikian? Sekarang mari kita lihat dengan teliti apakah ketidaksamaan yang kita ada di sana? Kurang? Ini bermakna kita melukis semua yang ada di sebelah kiri garis lurus kita. Bagaimana jika ada lagi? Betul, kemudian kami akan melukis semua yang ada di sebelah kanan garis lurus kami. Mudah sahaja.

Semua penyelesaian kepada ketidaksamaan ini "dilindungi" oren. Itu sahaja, ketidaksamaan dengan dua pembolehubah diselesaikan. Ini bermakna koordinat mana-mana titik dari kawasan berlorek adalah penyelesaiannya.

Penyelesaian grafik bagi ketaksamaan kuadratik

Sekarang kita akan memahami bagaimana untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik secara grafik.

Tetapi sebelum kita turun ke perniagaan, mari kita semak beberapa bahan mengenai fungsi kuadratik.

Apakah diskriminasi yang bertanggungjawab? Betul, untuk kedudukan graf relatif kepada paksi (jika anda tidak ingat ini, maka pasti baca teori tentang fungsi kuadratik).

Walau apa pun, berikut adalah sedikit peringatan untuk anda:

Memandangkan kita telah menyegarkan semula semua bahan dalam ingatan kita, mari mulakan perniagaan - selesaikan ketidaksamaan secara grafik.

Saya akan memberitahu anda dengan segera bahawa terdapat dua pilihan untuk menyelesaikannya.

Pilihan 1

Kami menulis parabola kami sebagai fungsi:

Dengan menggunakan formula, kami menentukan koordinat puncak parabola (tepat sama seperti semasa menyelesaikan persamaan kuadratik):

Adakah anda mengira? Apa yang kamu dapat?

Sekarang mari kita ambil dua lagi mata berbeza dan hitung untuknya:

Mari kita mula membina satu cabang parabola:

Kami secara simetri mencerminkan titik kami ke cabang parabola yang lain:

Sekarang mari kita kembali kepada ketidaksamaan kita.

Kami memerlukannya masing-masing kurang daripada sifar:

Oleh kerana dalam ketidaksamaan kami, tandanya kurang daripada, kami mengecualikan titik akhir - "menusuk".

Jawapan:

Jauh kan? Sekarang saya akan menunjukkan kepada anda versi penyelesaian grafik yang lebih mudah menggunakan contoh ketidaksamaan yang sama:

Pilihan 2

Kami kembali kepada ketidaksamaan kami dan tandakan selang yang kami perlukan:

Setuju, ia lebih cepat.

Mari kita tuliskan jawapannya:

Mari kita pertimbangkan penyelesaian lain yang memudahkan bahagian algebra, tetapi perkara utama adalah untuk tidak mengelirukan.

Darabkan sisi kiri dan kanan dengan:

Cuba selesaikan sendiri ketaksamaan kuadratik berikut dalam apa jua cara yang anda suka: .

Adakah anda berjaya?

Lihat bagaimana graf saya ternyata:

Jawapan: .

Penyelesaian grafik bagi ketaksamaan bercampur

Sekarang mari kita beralih kepada ketidaksamaan yang lebih kompleks!

Bagaimana anda suka ini:

Ia menyeramkan, bukan? Sejujurnya, saya tidak tahu cara menyelesaikannya secara algebra... Tetapi ia tidak perlu. Secara grafik tidak ada yang rumit tentang ini! Mata takut, tetapi tangan melakukannya!

Perkara pertama yang akan kita mulakan ialah dengan membina dua graf:

Saya tidak akan menulis jadual untuk setiap satu - saya pasti anda boleh melakukannya dengan sempurna sendiri (wah, terdapat banyak contoh untuk diselesaikan!).

Adakah anda melukisnya? Sekarang bina dua graf.

Mari bandingkan lukisan kita?

Adakah ia sama dengan anda? Hebat! Sekarang mari kita susun titik persilangan dan gunakan warna untuk menentukan graf yang sepatutnya kita miliki secara teori yang lebih besar, iaitu. Lihat apa yang berlaku pada akhirnya:

Sekarang mari kita lihat di mana graf pilihan kami lebih tinggi daripada graf? Jangan ragu untuk mengambil pensel dan melukis di kawasan ini! Dia akan menjadi penyelesaian kepada ketidaksamaan kompleks kita!

Pada selang manakah di sepanjang paksi kami terletak lebih tinggi daripada? Betul, . Ini jawapannya!

Nah, kini anda boleh mengendalikan sebarang persamaan, sebarang sistem, dan lebih-lebih lagi sebarang ketidaksamaan!

SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan menggunakan graf fungsi:

1. Mari kita luahkan melalui
2. Mari kita tentukan jenis fungsi
3. Mari bina graf bagi fungsi yang terhasil
4. Mari cari titik persilangan graf
5. Mari tulis jawapan dengan betul (dengan mengambil kira tanda ODZ dan ketaksamaan)
6. Mari kita semak jawapannya (gantikan punca ke dalam persamaan atau sistem)

Untuk mendapatkan maklumat lanjut tentang membina graf fungsi, lihat topik "".