Cari nilai terkecil bagi contoh fungsi. Mengkaji graf fungsi

29.09.2019

Dengan perkhidmatan ini anda boleh cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi satu pembolehubah f(x) dengan penyelesaian diformatkan dalam Word. Jika fungsi f(x,y) diberikan, oleh itu, adalah perlu untuk mencari ekstrem bagi fungsi dua pembolehubah. Anda juga boleh mencari selang peningkatan dan penurunan fungsi.

Peraturan untuk memasukkan fungsi:

Syarat yang diperlukan untuk ekstrem fungsi satu pembolehubah

Persamaan f" 0 (x *) = 0 ialah syarat yang perlu ekstrem bagi fungsi satu pembolehubah, i.e. pada titik x * terbitan pertama bagi fungsi mesti lenyap. Ia mengenal pasti titik pegun x c di mana fungsi tidak bertambah atau berkurang.

Keadaan yang mencukupi untuk ekstrem fungsi satu pembolehubah

Biarkan f 0 (x) dua kali boleh dibezakan berkenaan dengan x kepunyaan set D. Jika pada titik x * syarat dipenuhi:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Kemudian titik x * ialah titik minimum tempatan (global) bagi fungsi tersebut.

Jika pada titik x * syarat dipenuhi:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Kemudian titik x * ialah maksimum tempatan (global).

Contoh No 1. Cari yang terhebat dan nilai terkecil fungsi: pada segmen .
Penyelesaian.

Titik genting ialah satu x 1 = 2 (f’(x)=0). Titik ini tergolong dalam segmen. (Titik x=0 tidak kritikal, kerana 0∉).
Kami mengira nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik kritikal.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Jawapan: f min = 5 / 2 pada x=2; f maks =9 pada x=1

Contoh No. 2. Dengan menggunakan terbitan tertib tinggi, cari ekstrem bagi fungsi y=x-2sin(x) .
Penyelesaian.
Cari terbitan bagi fungsi: y’=1-2cos(x) . Mari cari titik genting: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Kami dapati y’’=2sin(x), hitung , yang bermaksud x= π / 3 +2πk, k∈Z ialah titik minimum bagi fungsi; , yang bermaksud x=- π / 3 +2πk, k∈Z ialah titik maksimum fungsi.

Contoh No. 3. Siasat fungsi ekstrem di sekitar titik x=0.
Penyelesaian. Di sini adalah perlu untuk mencari extrema fungsi. Jika extremum x=0, maka ketahui jenisnya (minimum atau maksimum). Jika di antara titik yang ditemui tiada x = 0, maka hitung nilai fungsi f(x=0).
Perlu diingat bahawa apabila terbitan pada setiap sisi titik tertentu tidak mengubah tandanya, situasi yang mungkin tidak habis walaupun untuk fungsi yang boleh dibezakan: ia boleh berlaku bahawa untuk kejiranan kecil yang sewenang-wenangnya pada satu sisi titik x 0 atau pada kedua-dua belah tanda perubahan terbitan. Pada titik ini adalah perlu untuk menggunakan kaedah lain untuk mengkaji fungsi secara ekstrem.

Dan untuk menyelesaikannya, anda memerlukan pengetahuan minimum tentang topik tersebut. Satu lagi tahun persekolahan akan berakhir, semua orang mahu pergi bercuti, dan untuk mendekatkan masa ini, saya akan segera sampai ke titik:

Mari kita mulakan dengan kawasan. Kawasan yang dimaksudkan dalam keadaan tersebut ialah terhad tertutup set titik pada satah. Sebagai contoh, set titik yang dibatasi oleh segi tiga, termasuk seluruh segi tiga (jika dari sempadan"cucuk keluar" sekurang-kurangnya satu titik, maka wilayah itu tidak akan ditutup lagi). Dalam amalan, terdapat juga kawasan bentuk segi empat tepat, bulat dan lebih kompleks sedikit. Perlu diingatkan bahawa dalam teori analisis matematik definisi yang ketat diberikan batasan, pengasingan, sempadan, dll., tetapi saya fikir semua orang menyedari konsep ini pada tahap intuitif, dan kini tiada lagi yang diperlukan.

Kawasan rata secara piawai dilambangkan dengan huruf , dan, sebagai peraturan, ditentukan secara analitikal - oleh beberapa persamaan (tidak semestinya linear); kurang kerap ketidaksamaan. Peribahasa biasa: "kawasan tertutup, dibatasi oleh garisan ».

Bahagian penting dalam tugas yang sedang dipertimbangkan ialah pembinaan kawasan dalam lukisan. Bagaimana untuk melakukan ini? Anda perlu melukis semua garisan yang disenaraikan (dalam dalam kes ini 3 lurus) dan menganalisis apa yang berlaku. Kawasan yang dicari biasanya berlorek ringan, dan sempadannya ditandai dengan garis tebal:

Kawasan yang sama juga boleh ditetapkan ketaksamaan linear: , yang atas sebab tertentu sering ditulis sebagai senarai terhitung dan bukannya sistem.
Oleh kerana sempadan itu adalah milik wilayah, maka semua ketidaksamaan, tentu saja, longgar.

Dan kini intipati tugas itu. Bayangkan bahawa paksi keluar terus ke arah anda dari asal. Pertimbangkan fungsi yang berterusan dalam setiap titik kawasan. Graf fungsi ini mewakili beberapa permukaan, dan kebahagiaan kecil ialah untuk menyelesaikan masalah hari ini kita tidak perlu tahu rupa permukaan ini. Ia boleh terletak lebih tinggi, lebih rendah, bersilang dengan pesawat - semua ini tidak penting. Dan yang berikut adalah penting: mengikut Teorem Weierstrass, berterusan V terhad ditutup kawasan fungsi mencapai nilai terbesarnya ("tertinggi") dan paling kurang ("paling rendah") nilai yang perlu dicari. Nilai sedemikian dicapai atau V titik pegun, kepunyaan wilayahD , atau pada titik-titik yang terletak di sempadan kawasan ini. Ini membawa kepada algoritma penyelesaian yang mudah dan telus:

Contoh 1

Dalam terhad kawasan tertutup

Penyelesaian: Pertama sekali, anda perlu menggambarkan kawasan dalam lukisan. Malangnya, secara teknikalnya sukar bagi saya untuk membuat model interaktif bagi masalah tersebut, dan oleh itu saya akan segera membentangkan ilustrasi terakhir, yang menunjukkan semua perkara "mencurigakan" yang ditemui semasa penyelidikan. Mereka biasanya disenaraikan satu demi satu apabila ia ditemui:

Berdasarkan mukadimah, keputusan boleh dibahagikan kepada dua perkara:

I) Cari titik pegun. Ini adalah tindakan standard yang kami lakukan berulang kali dalam kelas. tentang ekstrem beberapa pembolehubah:

Mendapati titik pegun kepunyaan kawasan: (tanda pada lukisan), yang bermaksud kita harus mengira nilai fungsi pada titik tertentu:

- seperti dalam artikel Nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen, saya akan menyerlahkan hasil penting dalam huruf tebal. Adalah mudah untuk mengesannya dalam buku nota dengan pensel.

Perhatikan kebahagiaan kedua kita - tidak ada gunanya menyemak keadaan yang mencukupi untuk ekstrem. kenapa? Walaupun pada satu ketika fungsi itu mencapai, sebagai contoh, minimum tempatan, maka ini TIDAK BERMAKSUD bahawa nilai yang terhasil akan minima di seluruh rantau ini (lihat permulaan pelajaran tentang keterlaluan tanpa syarat) .

Apa yang perlu dilakukan jika titik pegun TIDAK tergolong dalam kawasan itu? Hampir tiada! Perlu diingatkan itu dan teruskan ke perkara seterusnya.

II) Kami meneroka sempadan rantau ini.

Memandangkan sempadan terdiri daripada sisi segi tiga, adalah mudah untuk membahagikan kajian kepada 3 subseksyen. Tetapi lebih baik tidak melakukannya bagaimanapun. Dari sudut pandangan saya, pertama sekali lebih berfaedah untuk mempertimbangkan segmen selari dengan paksi koordinat, dan pertama sekali, segmen yang terletak pada paksi itu sendiri. Untuk memahami keseluruhan urutan dan logik tindakan, cuba kaji pengakhiran "dalam satu nafas":

1) Mari kita berurusan dengan bahagian bawah segitiga. Untuk melakukan ini, gantikan terus ke dalam fungsi:

Sebagai alternatif, anda boleh melakukannya seperti ini:

Secara geometri ini bermakna satah koordinat (yang juga diberikan oleh persamaan)"mengukir" daripada permukaan parabola "ruang", yang bahagian atasnya serta-merta disyaki. Mari kita ketahui di mana dia berada:

– nilai yang terhasil "jatuh" ke dalam kawasan itu, dan ia mungkin berubah pada ketika itu (ditanda pada lukisan) fungsi mencapai nilai terbesar atau terkecil di seluruh rantau. Satu cara atau yang lain, mari kita lakukan pengiraan:

"Calon" yang lain, sudah tentu, penghujung segmen. Mari kita hitung nilai fungsi pada titik (ditanda pada lukisan):

Di sini, secara kebetulan, anda boleh melakukan semakan mini lisan menggunakan versi "dilucutkan":

2) Untuk mengkaji bahagian kanan segi tiga, gantikannya ke dalam fungsi dan "susun perkara":

Di sini kami akan segera melakukan semakan kasar, "membunyikan" hujung segmen yang telah diproses:
, Hebat.

Keadaan geometri berkaitan dengan perkara sebelumnya:

– nilai yang terhasil juga "masuk ke dalam bidang minat kita," yang bermaksud kita perlu mengira apakah fungsi pada titik yang muncul bersamaan dengan:

Mari kita periksa hujung kedua segmen:

Menggunakan fungsi , mari kita lakukan semakan kawalan:

3) Mungkin semua orang boleh meneka bagaimana untuk meneroka bahagian yang tinggal. Kami menggantikannya ke dalam fungsi dan menjalankan penyederhanaan:

Hujung segmen telah pun dikaji, tetapi dalam draf kami masih menyemak sama ada kami telah menemui fungsi dengan betul :
– bertepatan dengan keputusan subperenggan pertama;
– bertepatan dengan keputusan subperenggan ke-2.

Ia kekal untuk mengetahui sama ada terdapat sesuatu yang menarik di dalam segmen:

- Ada! Menggantikan garis lurus ke dalam persamaan, kita mendapat ordinat "menarik" ini:

Kami menandakan titik pada lukisan dan mencari nilai fungsi yang sepadan:

Mari semak pengiraan menggunakan versi "belanjawan". :
, pesanan.

Dan langkah terakhir: Kami melihat dengan teliti semua nombor "berani", saya mengesyorkan bahawa pemula juga membuat satu senarai:

daripada mana kita memilih nilai terbesar dan terkecil. Jawab Mari kita menulis dalam gaya masalah mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen:

Sekiranya berlaku, saya akan mengulas lagi makna geometri keputusan:
– di sini adalah titik tertinggi permukaan di rantau ini;
– di sini ialah titik terendah permukaan di kawasan itu.

Dalam tugasan yang dianalisis, kami mengenal pasti 7 titik "mencurigakan", tetapi bilangannya berbeza-beza mengikut tugasan. Untuk kawasan segi tiga, "set penyelidikan" minimum terdiri daripada tiga mata. Ini berlaku apabila fungsi, sebagai contoh, menentukan kapal terbang– jelas sekali bahawa tiada titik pegun, dan fungsi boleh mencapai nilai maksimum/terkecilnya hanya pada bucu segi tiga. Tetapi terdapat hanya satu atau dua contoh yang serupa - biasanya anda perlu berurusan dengan beberapa permukaan urutan ke-2.

Jika anda cuba menyelesaikan tugas sedemikian sedikit, maka segitiga boleh membuat kepala anda berputar, dan itulah sebabnya saya bersedia untuk anda contoh luar biasa supaya menjadi segi empat sama :))

Contoh 2

Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi dalam kawasan tertutup yang dibatasi oleh garisan

Contoh 3

Cari nilai terbesar dan terkecil fungsi dalam kawasan tertutup terhad.

Perhatian khusus Beri perhatian kepada susunan rasional dan teknik mengkaji sempadan wilayah, serta rantaian pemeriksaan perantaraan, yang hampir sepenuhnya akan mengelakkan ralat pengiraan. Secara umumnya, anda boleh menyelesaikannya dengan cara yang anda suka, tetapi dalam beberapa masalah, contohnya, dalam Contoh 2, terdapat setiap peluang untuk menjadikan hidup anda lebih sukar. Contoh anggaran tugasan akhir pada akhir pelajaran.

Mari kita sistematikkan algoritma penyelesaian, jika tidak dengan ketekunan saya sebagai labah-labah, ia entah bagaimana tersesat dalam benang panjang komen contoh pertama:

– Pada langkah pertama, kami membina kawasan itu, dinasihatkan untuk menaunginya dan menyerlahkan sempadan dengan garis tebal. Semasa penyelesaian, mata akan muncul yang perlu ditanda pada lukisan.

– Cari titik pegun dan hitung nilai fungsi hanya pada mereka yang tergolong dalam wilayah tersebut. Kami menyerlahkan nilai yang terhasil dalam teks (contohnya, bulatkan dengan pensel). Jika titik pegun BUKAN milik rantau ini, maka kami menandakan fakta ini dengan ikon atau secara lisan. Sekiranya tiada titik pegun sama sekali, maka kami membuat kesimpulan bertulis bahawa ia tidak hadir. Walau apa pun, perkara ini tidak boleh dilangkau!

– Kami sedang meneroka sempadan rantau ini. Pertama, adalah berfaedah untuk memahami garis lurus yang selari dengan paksi koordinat (kalau ada pun). Kami juga menyerlahkan nilai fungsi yang dikira pada titik "mencurigakan". Banyak yang telah dikatakan di atas tentang teknik penyelesaian dan sesuatu yang lain akan dikatakan di bawah - baca, baca semula, mendalaminya!

– Daripada nombor yang dipilih, pilih nilai terbesar dan terkecil dan berikan jawapannya. Kadang-kadang ia berlaku bahawa fungsi mencapai nilai sedemikian pada beberapa titik sekaligus - dalam kes ini, semua titik ini harus ditunjukkan dalam jawapan. Biarkan, sebagai contoh, dan ternyata ini adalah nilai terkecil. Kemudian kita tuliskan itu

Contoh terakhir didedikasikan untuk orang lain idea yang berguna yang akan berguna dalam amalan:

Contoh 4

Cari nilai terbesar dan terkecil fungsi dalam kawasan tertutup .

Saya telah mengekalkan rumusan pengarang, di mana kawasan diberikan dalam bentuk ketaksamaan berganda. Keadaan ini boleh ditulis oleh sistem yang setara atau dalam bentuk yang lebih tradisional untuk masalah ini:

Saya mengingatkan anda bahawa dengan tak linear kami mengalami ketidaksamaan pada , dan jika anda tidak memahami makna geometri tatatanda, maka sila jangan berlengah dan jelaskan keadaan sekarang;-)

Penyelesaian, seperti biasa, bermula dengan membina kawasan yang mewakili sejenis "sole":

Hmm, kadang-kadang anda perlu mengunyah bukan sahaja granit sains ...

I) Cari titik pegun:

Sistem ini adalah impian orang bodoh :)

Titik pegun kepunyaan rantau itu, iaitu, terletak pada sempadannya.

Jadi, tidak mengapa... pelajaran berjalan lancar - inilah yang dimaksudkan dengan minum teh yang betul =)

II) Kami meneroka sempadan rantau ini. Tanpa berlengah lagi, mari kita mulakan dengan paksi-x:

1) Jika , maka

Mari kita cari di mana puncak parabola itu:
– hargai detik sebegitu – anda telah “memukul” sehingga ke tahap yang semuanya sudah jelas. Tetapi kami masih tidak lupa tentang menyemak:

Mari kita hitung nilai fungsi di hujung segmen:

2) Mari kita berurusan dengan bahagian bawah "satu-satunya" "sekali duduk" - tanpa sebarang kerumitan kami menggantikannya ke dalam fungsi, dan kami hanya akan berminat dalam segmen:

Kawalan:

Ini sudah membawa sedikit keterujaan kepada pemanduan membosankan di sepanjang trek berliku. Mari cari titik kritikal:

Mari buat keputusan persamaan kuadratik, adakah anda masih ingat apa-apa lagi tentang ini? ...Namun, ingat, sudah tentu, jika tidak, anda tidak akan membaca baris ini =) Jika dalam dua contoh sebelumnya pengiraan adalah mudah perpuluhan(yang, by the way, jarang), maka yang biasa menanti kami di sini pecahan sepunya. Kami mencari punca "X" dan menggunakan persamaan untuk menentukan koordinat "permainan" yang sepadan bagi mata "calon":

Mari kita hitung nilai fungsi pada titik yang ditemui:

Semak sendiri fungsinya.

Sekarang kita teliti trofi yang dimenangi dan tulis jawab:

Ini adalah "calon", ini adalah "calon"!

Untuk menyelesaikannya sendiri:

Contoh 5

Cari nilai terkecil dan terbesar bagi sesuatu fungsi di kawasan tertutup

Entri dengan pendakap kerinting berbunyi seperti ini: "satu set mata sedemikian."

Kadang-kadang dalam contoh sedemikian mereka gunakan Kaedah pengganda Lagrange, tetapi tidak mungkin terdapat keperluan sebenar untuk menggunakannya. Jadi, sebagai contoh, jika fungsi dengan kawasan yang sama "de" diberikan, maka selepas penggantian ke dalamnya - dengan terbitan daripada tiada kesukaran; Lebih-lebih lagi, semuanya disediakan dalam "satu baris" (dengan tanda) tanpa perlu mempertimbangkan separuh bulatan atas dan bawah secara berasingan. Tetapi, sudah tentu, terdapat juga kes yang lebih kompleks, di mana tanpa fungsi Lagrange (di mana, sebagai contoh, ialah persamaan bulatan yang sama) Sukar untuk bertahan – sama seperti sukar untuk bertahan tanpa rehat yang baik!

Selamat berseronok semua dan jumpa lagi musim hadapan!

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 2: Penyelesaian: Mari kita gambarkan kawasan dalam lukisan:

Dalam artikel ini saya akan bercakap tentang algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi, mata minimum dan maksimum.

Dari teori ia pasti akan berguna kepada kita jadual terbitan Dan peraturan pembezaan. Semuanya ada di atas pinggan ini:

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil.

Lebih senang untuk saya jelaskan contoh khusus. Pertimbangkan:

Contoh: Cari nilai terbesar bagi fungsi y=x^5+20x^3–65x pada ruas [–4;0].

Langkah 1. Kami mengambil derivatif.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Langkah 2. Mencari titik melampau.

Titik melampau kita memanggil titik di mana fungsi mencapai nilai terbesar atau minimumnya.

Untuk mencari titik ekstrem, anda perlu menyamakan terbitan fungsi kepada sifar (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Sekarang mari kita selesaikan bi ini persamaan kuadratik dan akar yang ditemui adalah titik ekstrem kami.

Saya menyelesaikan persamaan tersebut dengan menggantikan t = x^2, kemudian 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Mari kita kurangkan persamaan dengan 5, kita dapat: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Kami membuat perubahan terbalik x^2 = t:

X_(1 dan 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 dan 4) = ±sqrt(-13) (kami kecualikan, tidak boleh ada nombor negatif, melainkan sudah tentu kita bercakap tentang nombor kompleks)

Jumlah: x_(1) = 1 dan x_(2) = -1 - ini adalah titik ekstrem kami.

Langkah 3. Tentukan nilai terbesar dan terkecil.

Kaedah penggantian.

Dalam keadaan itu, kami diberi segmen [b][–4;0]. Titik x=1 tidak termasuk dalam segmen ini. Jadi kami tidak mempertimbangkannya. Tetapi sebagai tambahan kepada titik x=-1, kita juga perlu mempertimbangkan sempadan kiri dan kanan segmen kita, iaitu titik -4 dan 0. Untuk melakukan ini, kita menggantikan ketiga-tiga titik ini ke dalam fungsi asal. Perhatikan bahawa yang asal adalah yang diberikan dalam keadaan (y=x^5+20x^3–65x), sesetengah orang mula menggantikannya ke dalam derivatif...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Ini bermakna nilai terbesar bagi fungsi ialah [b]44 dan ia dicapai pada titik [b]-1, yang dipanggil titik maksimum fungsi pada segmen [-4; 0].

Kami memutuskan dan menerima jawapan, kami hebat, anda boleh berehat. Tetapi berhenti! Tidakkah anda fikir bahawa mengira y(-4) entah bagaimana terlalu sukar? Dalam keadaan masa yang terhad, lebih baik menggunakan kaedah lain, saya memanggilnya ini:

Melalui selang ketekalan tanda.

Selang ini ditemui untuk terbitan fungsi, iaitu, untuk persamaan biquadratik kami.

Saya buat macam ni. Saya melukis segmen terarah. Saya meletakkan mata: -4, -1, 0, 1. Walaupun fakta bahawa 1 tidak termasuk dalam segmen yang diberikan, ia masih perlu diperhatikan untuk menentukan dengan betul selang ketekalan tanda. Mari kita ambil beberapa nombor berkali-kali lebih besar daripada 1, katakan 100, dan secara mental menggantikannya ke dalam persamaan dwikuadrat kita 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Walaupun tanpa mengira apa-apa, ia menjadi jelas bahawa pada titik 100 fungsi mempunyai tanda tambah. Ini bermakna untuk selang dari 1 hingga 100 ia mempunyai tanda tambah. Apabila melalui 1 (kita pergi dari kanan ke kiri), fungsi akan menukar tanda kepada tolak. Apabila melalui titik 0, fungsi akan mengekalkan tandanya, kerana ini hanya sempadan segmen, dan bukan punca persamaan. Apabila melalui -1, fungsi itu sekali lagi akan menukar tanda kepada tambah.

Dari teori kita tahu bahawa di mana terbitan fungsi itu (dan kami menarik ini dengan tepat untuknya) menukar tanda daripada tambah kepada tolak (titik -1 dalam kes kami) fungsi mencapai maksimum tempatannya (y(-1)=44, seperti yang dikira sebelum ini) pada segmen ini (ini secara logiknya sangat difahami, fungsi itu berhenti meningkat kerana ia mencapai maksimum dan mula berkurangan).

Sehubungan itu, di mana terbitan fungsi perubahan tanda dari tolak kepada tambah, tercapai minimum tempatan sesuatu fungsi. Ya, ya, kami juga mendapati titik minimum tempatan ialah 1, dan y(1) ialah nilai minimum fungsi pada segmen, katakan dari -1 hingga +∞. Sila ambil perhatian bahawa ini hanyalah MINIMUM TEMPATAN, iaitu, minimum pada segmen tertentu. Oleh kerana minimum sebenar (global) fungsi akan sampai ke suatu tempat di sana, pada -∞.

Pada pendapat saya, kaedah pertama adalah lebih mudah secara teori, dan yang kedua adalah lebih mudah dari sudut pandangan operasi aritmetik, tetapi jauh lebih rumit dari sudut pandangan teori. Lagipun, kadang-kadang terdapat kes apabila fungsi tidak mengubah tanda apabila melalui punca persamaan, dan secara umum anda boleh keliru dengan maxima dan minima tempatan, global ini, walaupun anda perlu menguasai ini dengan baik jika anda merancang untuk memasuki universiti teknikal (dan untuk apa lagi mengambil profil Unified State Exam dan menyelesaikan tugas ini). Tetapi berlatih dan hanya berlatih akan mengajar anda untuk menyelesaikan masalah tersebut sekali dan untuk semua. Dan anda boleh berlatih di laman web kami. Di sini.

Jika anda mempunyai sebarang soalan atau sesuatu yang kurang jelas, pastikan anda bertanya. Saya dengan senang hati akan menjawab anda dan membuat perubahan dan penambahan pada artikel. Ingat kami membuat laman web ini bersama-sama!

Dalam amalan, adalah perkara biasa untuk menggunakan derivatif untuk mengira nilai terbesar dan terkecil fungsi. Kami melakukan tindakan ini apabila kami memikirkan cara untuk meminimumkan kos, meningkatkan keuntungan, mengira beban optimum untuk pengeluaran, dsb., iaitu, dalam kes di mana perlu untuk menentukan nilai optimum parameter. Untuk menyelesaikan masalah sedemikian dengan betul, anda perlu mempunyai pemahaman yang baik tentang nilai terbesar dan terkecil fungsi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Biasanya kami mentakrifkan nilai ini dalam selang x tertentu, yang seterusnya mungkin sepadan dengan keseluruhan domain fungsi atau sebahagian daripadanya. Ia boleh menjadi seperti segmen [a; b ] , dan selang terbuka (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), selang tak terhingga (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) atau selang tak terhingga - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞), (- ∞ ; + ∞) .

Dalam bahan ini kami akan memberitahu anda cara mengira nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi yang ditakrifkan secara eksplisit dengan satu pembolehubah y=f(x) y = f (x) .

Definisi asas

Mari kita mulakan, seperti biasa, dengan perumusan definisi asas.

Definisi 1

Nilai terbesar bagi fungsi y = f (x) pada selang x tertentu ialah nilai m a x y = f (x 0) x ∈ X, yang mana bagi sebarang nilai x x ∈ X, x ≠ x 0 menjadikan ketaksamaan f (x) ≤ f (x) sah 0) .

Definisi 2

Nilai terkecil bagi fungsi y = f (x) pada selang x tertentu ialah nilai m i n x ∈ X y = f (x 0), yang mana bagi sebarang nilai x ∈ X, x ≠ x 0 menjadikan ketaksamaan f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Definisi ini agak jelas. Lebih mudah lagi, kita boleh mengatakan ini: nilai terbesar bagi sesuatu fungsi ialah yang paling tinggi nilai hebat pada selang yang diketahui pada abscissa x 0, dan yang terkecil ialah nilai terkecil yang diterima pada selang yang sama pada x 0.

Definisi 3

Titik pegun ialah nilai hujah fungsi di mana terbitannya menjadi 0.

Mengapakah kita perlu tahu apakah itu titik pegun? Untuk menjawab soalan ini, kita perlu mengingati teorem Fermat. Ia berikutan daripadanya bahawa titik pegun ialah titik di mana extremum fungsi boleh dibezakan terletak (iaitu, minimum atau maksimum setempatnya). Akibatnya, fungsi akan mengambil nilai terkecil atau terbesar pada selang tertentu dengan tepat pada salah satu titik pegun.

Fungsi juga boleh mengambil nilai terbesar atau terkecil pada titik di mana fungsi itu sendiri ditakrifkan dan terbitan pertamanya tidak wujud.

Soalan pertama yang timbul semasa mengkaji topik ini: dalam semua kes, bolehkah kita menentukan nilai terbesar atau terkecil fungsi pada selang tertentu? Tidak, kita tidak boleh melakukan ini apabila sempadan selang tertentu bertepatan dengan sempadan kawasan takrifan, atau jika kita berhadapan dengan selang tak terhingga. Ia juga berlaku bahawa fungsi dalam segmen tertentu atau pada infiniti akan mengambil masa yang sangat kecil atau tidak terhingga nilai yang besar. Dalam kes ini, tidak mungkin untuk menentukan nilai terbesar dan/atau terkecil.

Titik ini akan menjadi lebih jelas selepas digambarkan pada graf:

Angka pertama menunjukkan kepada kita fungsi yang mengambil nilai terbesar dan terkecil (m a x y dan m i n y) pada titik pegun yang terletak pada segmen [ - 6 ; 6].

Mari kita periksa secara terperinci kes yang ditunjukkan dalam graf kedua. Mari tukar nilai segmen kepada [ 1 ; 6 ] dan kami mendapati bahawa nilai terbesar fungsi akan dicapai pada titik dengan absis pada sempadan kanan selang, dan yang terkecil pada titik pegun.

Dalam rajah ketiga, absis mata mewakili titik sempadan segmen [- 3 ; 2]. Ia sepadan dengan nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi tertentu.

Sekarang mari kita lihat gambar keempat. Di dalamnya, fungsi mengambil m a x y (nilai terbesar) dan m i n y (nilai terkecil) pada titik pegun pada selang terbuka (- 6 ; 6).

Jika kita mengambil selang [1; 6), maka kita boleh mengatakan bahawa nilai terkecil fungsi padanya akan dicapai pada titik pegun. Nilai terbesar tidak akan kita ketahui. Fungsi boleh mengambil nilai maksimumnya pada x sama dengan 6 jika x = 6 tergolong dalam selang. Ini betul-betul kes yang ditunjukkan dalam graf 5.

Dalam graf 6, fungsi ini memperoleh nilai terkecilnya pada sempadan kanan selang (- 3; 2 ], dan kita tidak boleh membuat kesimpulan yang pasti tentang nilai terbesar.

Dalam Rajah 7 kita melihat bahawa fungsi akan mempunyai m a x y pada titik pegun yang mempunyai absis sama dengan 1. Fungsi akan mencapai nilai minimumnya pada sempadan selang di sebelah kanan. Pada infiniti tolak, nilai fungsi akan secara asimptotik mendekati y = 3.

Jika kita ambil selang x ∈ 2; + ∞ , maka kita akan melihat bahawa fungsi yang diberikan tidak akan mengambil nilai terkecil mahupun terbesar padanya. Jika x cenderung kepada 2, maka nilai fungsi akan cenderung kepada tolak infiniti, kerana garis lurus x = 2 ialah asimtot menegak. Jika abscissa cenderung kepada tambah infiniti, maka nilai fungsi akan secara asimptotik mendekati y = 3. Ini betul-betul kes yang ditunjukkan dalam Rajah 8.

Dalam perenggan ini kami akan membentangkan urutan tindakan yang perlu dilakukan untuk mencari nilai terbesar atau terkecil fungsi pada segmen tertentu.

Mula-mula, mari kita cari domain takrifan fungsi tersebut. Mari kita semak sama ada segmen yang dinyatakan dalam keadaan termasuk di dalamnya.
Sekarang mari kita hitung mata yang terkandung dalam segmen ini di mana derivatif pertama tidak wujud. Selalunya ia boleh didapati dalam fungsi yang hujahnya ditulis di bawah tanda modulus, atau dalam fungsi kuasa, eksponennya ialah nombor rasional pecahan.
Seterusnya, kita akan mengetahui mata pegun yang akan jatuh dalam segmen yang diberikan. Untuk melakukan ini, anda perlu mengira derivatif fungsi, kemudian menyamakannya dengan 0 dan menyelesaikan persamaan yang terhasil, dan kemudian pilih punca yang sesuai. Jika kita tidak mendapat satu mata pegun atau ia tidak termasuk dalam segmen yang diberikan, maka kita terus ke langkah seterusnya.
Kami menentukan nilai yang akan diambil oleh fungsi pada titik pegun tertentu (jika ada), atau pada titik di mana terbitan pertama tidak wujud (jika ada), atau kami mengira nilai untuk x = a dan x = b.
5. Kami mempunyai beberapa nilai fungsi, daripada mana kami kini perlu memilih yang terbesar dan terkecil. Ini akan menjadi nilai terbesar dan terkecil fungsi yang perlu kita cari.

Mari lihat cara menggunakan algoritma ini dengan betul semasa menyelesaikan masalah.

Contoh 1

keadaan: fungsi y = x 3 + 4 x 2 diberi. Tentukan nilai terbesar dan terkecilnya pada segmen [1; 4 ] dan [ - 4 ; - 1 ] .

Penyelesaian:

Mari kita mulakan dengan mencari domain definisi bagi fungsi yang diberikan. Dalam kes ini, dia akan mempunyai ramai orang nombor nyata, kecuali 0 . Dengan kata lain, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Kedua-dua segmen yang dinyatakan dalam keadaan akan berada di dalam kawasan definisi.

Sekarang kita mengira derivatif fungsi mengikut peraturan pembezaan pecahan:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Kami mengetahui bahawa terbitan fungsi akan wujud di semua titik segmen [1; 4 ] dan [ - 4 ; - 1 ] .

Sekarang kita perlu menentukan titik pegun fungsi itu. Mari kita lakukan ini menggunakan persamaan x 3 - 8 x 3 = 0. Ia hanya mempunyai satu punca sebenar, iaitu 2. Ia akan menjadi titik pegun fungsi dan akan jatuh ke dalam segmen pertama [1; 4].

Mari kita hitung nilai fungsi pada hujung segmen pertama dan pada ketika ini, i.e. untuk x = 1, x = 2 dan x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Kami mendapati bahawa nilai terbesar bagi fungsi m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 akan dicapai pada x = 1, dan terkecil m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pada x = 2.

Segmen kedua tidak termasuk satu titik pegun, jadi kita perlu mengira nilai fungsi hanya pada hujung segmen yang diberikan:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Ini bermakna m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Jawapan: Untuk segmen [1; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , untuk segmen [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Lihat gambar:

Sebelum anda belajar kaedah ini, kami menasihati anda untuk menyemak cara mengira had sebelah dan had pada infiniti dengan betul, serta mempelajari kaedah asas untuk mencarinya. Untuk mencari nilai terbesar dan/atau terkecil fungsi pada selang terbuka atau tak terhingga, lakukan langkah berikut secara berurutan.

Mula-mula anda perlu menyemak sama ada selang yang diberikan ialah subset domain definisi fungsi ini.
Mari kita tentukan semua titik yang terkandung dalam selang yang diperlukan dan pada mana terbitan pertama tidak wujud. Ia biasanya berlaku untuk fungsi di mana hujah disertakan dalam tanda modulus, dan untuk fungsi kuasa dengan eksponen rasional pecahan. Jika mata ini tiada, maka anda boleh meneruskan ke langkah seterusnya.
Sekarang mari kita tentukan titik pegun yang akan jatuh dalam selang waktu yang diberikan. Pertama, kita samakan terbitan kepada 0, selesaikan persamaan dan pilih punca yang sesuai. Jika kita tidak mempunyai satu titik pegun atau ia tidak termasuk dalam selang yang diberikan, maka kita segera pergi ke tindakan selanjutnya. Mereka ditentukan oleh jenis selang.

Jika selang adalah dalam bentuk [ a ; b) , maka kita perlu mengira nilai fungsi pada titik x = a dan had satu sisi lim x → b - 0 f (x) .
Jika selang mempunyai bentuk (a; b ], maka kita perlu mengira nilai fungsi pada titik x = b dan had satu sisi lim x → a + 0 f (x).
Jika selang mempunyai bentuk (a ; b), maka kita perlu mengira had sebelah lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
Jika selang adalah dalam bentuk [ a ; + ∞), maka kita perlu mengira nilai pada titik x = a dan had pada tambah infiniti lim x → + ∞ f (x) .
Jika selang itu kelihatan seperti (- ∞ ; b ] , kita mengira nilai pada titik x = b dan had pada tolak infiniti lim x → - ∞ f (x) .
Jika - ∞ ; b , maka kita pertimbangkan had sebelah lim x → b - 0 f (x) dan had pada tolak infiniti lim x → - ∞ f (x)
Jika - ∞; + ∞ , maka kita pertimbangkan had pada tolak dan tambah infiniti lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

Pada akhirnya, anda perlu membuat kesimpulan berdasarkan nilai dan had fungsi yang diperolehi. Terdapat banyak pilihan yang tersedia di sini. Jadi, jika had satu sisi adalah sama dengan tolak infiniti atau tambah infiniti, maka jelaslah bahawa tiada apa yang boleh dikatakan tentang nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi tersebut. Di bawah ini kita akan melihat satu contoh tipikal. Penerangan Terperinci akan membantu anda memahami apa itu. Jika perlu, anda boleh kembali ke Rajah 4 - 8 di bahagian pertama bahan.

Contoh 2

Keadaan: fungsi yang diberi y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Hitung nilai terbesar dan terkecilnya dalam selang - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2), [ 1 ; 2), 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞).

Penyelesaian

Pertama sekali, kita mencari domain definisi fungsi. Penyebut pecahan mengandungi trinomial kuadratik, yang tidak sepatutnya pergi ke 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Kami telah memperoleh domain takrifan fungsi yang mana semua selang yang dinyatakan dalam keadaan tergolong.

Sekarang mari kita bezakan fungsi dan dapatkan:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Akibatnya, terbitan bagi fungsi wujud di seluruh domain definisinya.

Mari kita teruskan untuk mencari titik pegun. Terbitan fungsi menjadi 0 pada x = - 1 2 . Ini ialah titik pegun yang terletak dalam selang (- 3 ; 1 ] dan (- 3 ; 2) .

Mari kita hitung nilai fungsi pada x = - 4 untuk selang (- ∞ ; - 4 ], serta had pada tolak infiniti:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Oleh kerana 3 e 1 6 - 4 > - 1, ia bermakna bahawa m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Ini tidak membenarkan kita menentukan secara unik nilai terkecil bagi fungsi. Kita hanya boleh membuat kesimpulan bahawa terdapat kekangan di bawah - 1, kerana pada nilai inilah fungsi tersebut menghampiri secara asimtotik pada infiniti tolak.

Keistimewaan selang kedua ialah tidak ada satu titik pegun dan tidak ada satu sempadan yang ketat di dalamnya. Akibatnya, kita tidak akan dapat mengira sama ada nilai terbesar atau terkecil bagi fungsi tersebut. Setelah menentukan had pada infiniti tolak dan dengan hujah yang cenderung kepada - 3 di sebelah kiri, kami hanya mendapat selang nilai:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Ini bermakna bahawa nilai fungsi akan terletak dalam selang - 1; +∞

Untuk mencari nilai terbesar bagi fungsi dalam selang ketiga, kita tentukan nilainya pada titik pegun x = - 1 2 jika x = 1. Kita juga perlu mengetahui had berat sebelah untuk kes apabila hujah cenderung kepada - 3 di sebelah kanan:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Ternyata fungsi itu akan mengambil nilai terbesar pada titik pegun m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Bagi nilai terkecil, kita tidak boleh menentukannya. Semua yang kita tahu , ialah kehadiran had yang lebih rendah kepada - 4 .

Untuk selang (- 3 ; 2), ambil keputusan pengiraan sebelumnya dan sekali lagi hitung berapa had sebelah kiri adalah sama dengan apabila cenderung kepada 2 di sebelah kiri:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Ini bermakna m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, dan nilai terkecil tidak dapat ditentukan, dan nilai fungsi dihadkan dari bawah oleh nombor - 4 .

Berdasarkan apa yang kita dapat dalam dua pengiraan sebelumnya, kita boleh mengatakan bahawa pada selang [1; 2) fungsi akan mengambil nilai terbesar pada x = 1, tetapi adalah mustahil untuk mencari yang terkecil.

Pada selang (2 ; + ∞) fungsi tidak akan mencapai sama ada nilai terbesar atau terkecil, i.e. ia akan mengambil nilai dari selang - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Setelah mengira apakah nilai fungsi itu akan sama dengan pada x = 4, kita dapati bahawa m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , dan fungsi yang diberikan pada tambah infiniti akan secara asimptotik menghampiri garis lurus y = - 1 .

Mari kita bandingkan apa yang kita dapat dalam setiap pengiraan dengan graf fungsi yang diberikan. Dalam rajah, asimtot ditunjukkan oleh garis putus-putus.

Itu sahaja yang kami ingin beritahu anda tentang mencari nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi. Urutan tindakan yang telah kami berikan akan membantu anda membuat pengiraan yang diperlukan secepat dan semudah mungkin. Tetapi ingat bahawa selalunya berguna untuk mengetahui terlebih dahulu pada selang mana fungsi akan berkurangan dan pada mana ia akan meningkat, selepas itu anda boleh membuat kesimpulan lanjut. Dengan cara ini anda boleh menentukan nilai terbesar dan terkecil fungsi dengan lebih tepat dan mewajarkan keputusan yang diperoleh.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Biarkan fungsi y =f(X) adalah berterusan pada selang [ a, b]. Seperti yang diketahui, fungsi sedemikian mencapai nilai maksimum dan minimum pada segmen ini. Fungsi ini boleh mengambil nilai ini sama ada pada titik dalaman segmen [ a, b], atau pada sempadan segmen.

Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen [ a, b] perlu:

1) cari titik genting bagi fungsi dalam selang ( a, b);

2) hitung nilai fungsi pada titik kritikal yang ditemui;

3) hitung nilai fungsi di hujung segmen, iaitu, apabila x=A dan x = b;

4) daripada semua nilai pengiraan fungsi, pilih yang terbesar dan terkecil.

Contoh. Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi

pada segmen.

Mencari titik kritikal:

Titik ini terletak di dalam segmen; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

pada titik x= 3 dan pada titik x= 0.

Kajian fungsi untuk kecembungan dan titik infleksi.

Fungsi y = f (x) dipanggil cembung di antara (a, b) , jika grafnya terletak di bawah tangen yang dilukis pada mana-mana titik dalam selang ini, dan dipanggil cembung ke bawah (cekung), jika grafnya terletak di atas tangen.

Titik di mana kecembungan digantikan oleh kekosongan atau sebaliknya dipanggil titik infleksi.

Algoritma untuk memeriksa kecembungan dan titik infleksi:

1. Cari titik kritikal jenis kedua, iaitu titik di mana terbitan kedua adalah sama dengan sifar atau tidak wujud.

2. Plot titik kritikal pada garis nombor, bahagikannya kepada selang. Cari tanda terbitan kedua pada setiap selang; jika , maka fungsi itu cembung ke atas, jika, maka fungsi itu cembung ke bawah.

3. Jika, apabila melalui titik kritikal jenis kedua, tanda berubah dan pada ketika ini terbitan kedua adalah sama dengan sifar, maka titik ini adalah absis titik infleksi. Cari ordinatnya.

Asimtot graf fungsi. Kajian fungsi untuk asimtot.

Definisi. Asimtot bagi graf fungsi dipanggil lurus, yang mempunyai sifat bahawa jarak dari mana-mana titik pada graf ke garisan ini cenderung kepada sifar apabila titik pada graf bergerak tanpa had dari asal.

Terdapat tiga jenis asimtot: menegak, mendatar dan condong.

Definisi. Garis lurus dipanggil asimtot menegak grafik fungsi y = f(x), jika sekurang-kurangnya satu daripada had satu sisi bagi fungsi pada ketika ini adalah sama dengan infiniti, iaitu

di manakah titik ketakselanjaran fungsi, iaitu, ia tidak tergolong dalam domain definisi.

Contoh.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – titik putus.

Definisi. Lurus y =A dipanggil asimtot mendatar grafik fungsi y = f(x) pada , jika

Contoh.

x
y

Definisi. Lurus y =kx +b (k≠ 0) dipanggil asimtot serong grafik fungsi y = f(x) di , di mana

Skema umum untuk mengkaji fungsi dan membina graf.

Algoritma Penyelidikan Fungsiy = f(x) :

1. Cari domain bagi fungsi tersebut D (y).

2. Cari (jika boleh) titik persilangan graf dengan paksi koordinat (jika x= 0 dan pada y = 0).

3. Periksa kesamaan dan keganjilan fungsi ( y (‒ x) = y (x) ‒ pariti; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ ganjil).

4. Cari asimtot bagi graf fungsi itu.

5. Cari selang kemonotonan fungsi.

6. Cari ekstrem bagi fungsi itu.

7. Cari selang cembung (concavity) dan titik lengkuk graf fungsi.

8. Berdasarkan kajian yang dijalankan, bina graf bagi fungsi tersebut.

Contoh. Terokai fungsi dan bina grafnya.

1) D (y) =

x= 4 – titik putus.

2) Bila x = 0,

(0; ‒ 5) – titik persilangan dengan oh.

Pada y = 0,

3) y(‒ x)= fungsi pandangan umum(tidak genap mahupun ganjil).

4) Kami memeriksa untuk asimtot.

a) menegak

b) mendatar

c) cari asimtot serong di mana

‒persamaan asimtot serong

5) Dalam persamaan ini tidak perlu mencari selang monotonisitas fungsi.

Titik kritikal ini membahagikan keseluruhan domain definisi fungsi kepada selang (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) dan (10; +∞). Adalah mudah untuk membentangkan keputusan yang diperoleh dalam bentuk jadual berikut.