Persamaan rasional dan sistem untuk dummies. Pelajaran video “Persamaan rasional

29.09.2019

Dalam artikel ini saya akan tunjukkan kepada anda algoritma untuk menyelesaikan tujuh jenis persamaan rasional, yang boleh dikurangkan kepada kuadratik dengan menukar pembolehubah. Dalam kebanyakan kes, transformasi yang membawa kepada penggantian adalah sangat tidak penting, dan agak sukar untuk meneka tentangnya sendiri.

Untuk setiap jenis persamaan, saya akan menerangkan cara membuat perubahan pembolehubah di dalamnya, dan kemudian menunjukkan penyelesaian terperinci dalam tutorial video yang sepadan.

Anda mempunyai peluang untuk terus menyelesaikan persamaan itu sendiri, dan kemudian semak penyelesaian anda dengan pelajaran video.

Jadi, mari kita mulakan.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Perhatikan bahawa di sebelah kiri persamaan terdapat hasil darab empat kurungan, dan di sebelah kanan terdapat nombor.

1. Mari kumpulkan kurungan dengan dua supaya jumlah sebutan bebas adalah sama.

2. Perbanyakkan mereka.

3. Mari kita perkenalkan perubahan pembolehubah.

Dalam persamaan kami, kami akan mengumpulkan kurungan pertama dengan yang ketiga, dan yang kedua dengan yang keempat, kerana (-1)+(-4)=(-7)+2:

Pada ketika ini penggantian pembolehubah menjadi jelas:

Kami mendapat persamaan

Jawapan:

2 .

Persamaan jenis ini adalah serupa dengan yang sebelumnya dengan satu perbezaan: di sebelah kanan persamaan ialah hasil darab nombor dan . Dan ia diselesaikan dengan cara yang sama sekali berbeza:

1. Kami mengumpulkan kurungan dengan dua supaya hasil darab istilah bebas adalah sama.

2. Darab setiap pasangan kurungan.

3. Kami mengambil x daripada setiap faktor.

4. Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan .

5. Kami memperkenalkan perubahan pembolehubah.

Dalam persamaan ini, kami mengumpulkan kurungan pertama dengan yang keempat, dan yang kedua dengan yang ketiga, kerana:

Ambil perhatian bahawa dalam setiap kurungan pekali pada dan sebutan bebas adalah sama. Mari kita ambil faktor daripada setiap kurungan:

Oleh kerana x=0 bukan punca persamaan asal, kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan . Kita mendapatkan:

Kami mendapat persamaan:

Jawapan:

3 .

Perhatikan bahawa penyebut kedua-dua pecahan ialah trinomial segi empat sama, yang mana pekali pendahuluan dan jangka bebas adalah sama. Mari kita keluarkan x daripada kurungan, seperti dalam persamaan jenis kedua. Kita mendapatkan:

Bahagikan pengangka dan penyebut setiap pecahan dengan x:

Sekarang kita boleh memperkenalkan penggantian berubah-ubah:

Kami memperoleh persamaan untuk pembolehubah t:

4 .

Perhatikan bahawa pekali persamaan adalah simetri sehubungan dengan pusat. Persamaan ini dipanggil boleh dikembalikan .

Untuk menyelesaikannya,

1. Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan (Kita boleh lakukan ini kerana x=0 bukan punca persamaan.) Kita dapat:

2. Mari kumpulkan istilah dengan cara ini:

3. Dalam setiap kumpulan, mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:

4. Mari perkenalkan pengganti:

5. Ungkapkan melalui t ungkapan:

Dari sini

Kami mendapat persamaan untuk t:

Jawapan:

5. Persamaan homogen.

Persamaan yang mempunyai struktur homogen boleh ditemui semasa menyelesaikan eksponen, logaritma dan persamaan trigonometri, jadi anda perlu dapat mengenalinya.

Persamaan homogen mempunyai struktur berikut:

Dalam kesamaan ini, A, B dan C ialah nombor, dan segi empat sama dan bulatan menandakan ungkapan yang sama. Iaitu, di sebelah kiri persamaan homogen terdapat jumlah monomial yang mempunyai darjah yang sama (dalam dalam kes ini darjah monomial ialah 2), dan tiada istilah bebas.

Untuk menyelesaikan persamaan homogen, bahagikan kedua-dua belah dengan

Perhatian! Apabila membahagikan sisi kanan dan kiri persamaan dengan ungkapan yang mengandungi yang tidak diketahui, anda boleh kehilangan punca. Oleh itu, adalah perlu untuk menyemak sama ada punca-punca ungkapan yang kita bahagikan kedua-dua belah persamaan adalah punca-punca persamaan asal.

Jom jalan dulu. Kami mendapat persamaan:

Sekarang kami memperkenalkan penggantian berubah-ubah:

Mari mudahkan ungkapan dan dapatkan bi persamaan kuadratik relatif kepada t:

Jawapan: atau

7 .

Persamaan ini mempunyai struktur berikut:

Untuk menyelesaikannya, anda perlu memilih segi empat sama lengkap di sebelah kiri persamaan.

Untuk memilih petak penuh, anda perlu menambah atau menolak dua kali ganda produk. Kemudian kita mendapat kuasa dua jumlah atau perbezaan. Ini penting untuk penggantian pembolehubah yang berjaya.

Mari kita mulakan dengan mencari dua kali ganda produk. Ini akan menjadi kunci untuk menggantikan pembolehubah. Dalam persamaan kami, dua kali hasil darab adalah sama dengan

Sekarang mari kita fikirkan apa yang lebih mudah untuk kita miliki - kuasa dua jumlah atau perbezaan. Mari kita pertimbangkan dahulu jumlah ungkapan:

Hebat! Ungkapan ini betul-betul sama dengan dua kali ganda produk. Kemudian, untuk mendapatkan kuasa dua jumlah dalam kurungan, anda perlu menambah dan menolak hasil darab:

"Menyelesaikan persamaan rasional pecahan"

Objektif pelajaran:

Pendidikan:

pembentukan konsep persamaan rasional pecahan; pertimbangkan pelbagai cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan; pertimbangkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat pecahan itu sama dengan sifar; mengajar menyelesaikan persamaan rasional pecahan menggunakan algoritma; menyemak tahap penguasaan topik dengan menjalankan ujian.

Perkembangan:

membangunkan keupayaan untuk beroperasi dengan betul dengan pengetahuan yang diperoleh dan berfikir secara logik; pembangunan kemahiran intelek dan operasi mental - analisis, sintesis, perbandingan dan generalisasi; pembangunan inisiatif, keupayaan untuk membuat keputusan, dan tidak berhenti di situ; pembangunan pemikiran kritis; pembangunan kemahiran penyelidikan.

Mendidik:

memupuk minat kognitif dalam subjek; memupuk kemerdekaan dalam menyelesaikan masalah pendidikan; memupuk kemahuan dan ketabahan untuk mencapai keputusan akhir.

Jenis pelajaran: pelajaran - penerangan tentang bahan baharu.

Semasa kelas

1. Detik organisasi.

Apa khabar semua! Terdapat persamaan yang ditulis di papan tulis, lihat dengan teliti. Bolehkah anda menyelesaikan semua persamaan ini? Mana yang tidak dan mengapa?

Persamaan di mana bahagian kiri dan kanan adalah ungkapan rasional pecahan dipanggil persamaan rasional pecahan. Pada pendapat anda, apakah yang akan kita pelajari dalam kelas hari ini? Merumus tajuk pelajaran. Jadi, buka buku nota anda dan tulis topik pelajaran "Menyelesaikan persamaan rasional pecahan."

2. Mengemas kini pengetahuan. Tinjauan hadapan, kerja lisan dengan kelas.

Dan sekarang kita akan mengulangi bahan teori utama yang kita perlukan untuk mengkaji topik baru. Sila jawab soalan berikut:

1. Apakah persamaan? ( Kesamaan dengan pembolehubah atau pembolehubah.)

2. Apakah nama persamaan No. 1? ( Linear.) Penyelesaian persamaan linear. (Gerakkan semua yang tidak diketahui ke sebelah kiri persamaan, semua nombor ke kanan. memimpin istilah yang serupa. Cari faktor yang tidak diketahui).

3. Apakah nama persamaan No. 3? ( Segi empat.) Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. ( Mengasingkan segi empat sama lengkap menggunakan formula menggunakan teorem Vieta dan akibatnya.)

4. Apakah perkadaran? ( Kesamaan dua nisbah.) Sifat utama perkadaran. ( Jika perkadaran itu betul, maka hasil darab sebutan ekstremnya adalah sama dengan hasil darab sebutan tengah.)

5. Apakah sifat yang digunakan semasa menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika anda memindahkan sebutan dalam persamaan dari satu bahagian ke bahagian lain, menukar tandanya, anda akan mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan. 2. Jika kedua-dua belah persamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor bukan sifar yang sama, anda mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.)

6. Bilakah pecahan sama dengan sifar? ( Pecahan sama dengan sifar apabila pengangkanya sifar dan penyebutnya bukan sifar..)

3. Penjelasan bahan baharu.

Selesaikan persamaan No. 2 dalam buku nota anda dan di papan tulis.

Jawab: 10.

Apakah persamaan rasional pecahan yang boleh anda cuba selesaikan menggunakan sifat asas kadaran? (No. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Selesaikan persamaan No. 4 dalam buku nota anda dan di papan tulis.

Jawab: 1,5.

Apakah persamaan rasional pecahan yang boleh anda cuba selesaikan dengan mendarab kedua-dua belah persamaan dengan penyebut? (No. 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Jawab: 3;4.

Sekarang cuba selesaikan persamaan nombor 7 menggunakan salah satu kaedah berikut.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Jawab: 0;5;-2.			Jawab: 5;-2.

Terangkan mengapa ini berlaku? Mengapakah terdapat tiga punca dalam satu kes dan dua dalam kes yang lain? Apakah nombor punca bagi persamaan rasional pecahan ini?

Sehingga kini, pelajar masih belum menemui konsep akar luar, sememangnya amat sukar bagi mereka untuk memahami mengapa ini berlaku. Sekiranya tiada seorang pun di dalam kelas dapat memberikan penjelasan yang jelas tentang situasi ini, maka guru akan mengemukakan soalan-soalan yang memimpin.

Dalam persamaan No. 2 dan 4 terdapat nombor dalam penyebut, No. 5-7 adalah ungkapan dengan pembolehubah

Nilai pembolehubah di mana persamaan menjadi benar

Buat semakan

Apabila menguji, sesetengah pelajar menyedari bahawa mereka perlu membahagi dengan sifar. Mereka membuat kesimpulan bahawa nombor 0 dan 5 bukanlah punca persamaan ini. Persoalannya timbul: adakah terdapat cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang membolehkan kita menghapuskan ralat ini? Ya, kaedah ini adalah berdasarkan syarat bahawa pecahan adalah sama dengan sifar.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Jika x=5, maka x(x-5)=0, yang bermaksud 5 ialah punca luar.

Jika x=-2, maka x(x-5)≠0.

Jawab: -2.

Mari cuba rumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Kanak-kanak merumus algoritma itu sendiri.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

1. Gerakkan semuanya ke sebelah kiri.

2. Kurangkan pecahan kepada penyebut biasa.

3. Buat sistem: pecahan sama dengan sifar apabila pengangkanya sama dengan sifar dan penyebutnya tidak sama dengan sifar.

4. Selesaikan persamaan.

5. Semak ketaksamaan untuk mengecualikan akar luar.

6. Tulis jawapan.

Perbincangan: bagaimana untuk memformalkan penyelesaian jika sifat asas perkadaran digunakan dan kedua-dua belah persamaan didarab dengan penyebut biasa. (Tambah pada penyelesaian: kecualikan daripada akarnya yang membuat penyebut biasa hilang).

4. Pemahaman awal bahan baru.

Kerja dalam pasangan. Pelajar memilih cara menyelesaikan persamaan itu sendiri bergantung kepada jenis persamaan. Tugasan daripada buku teks "Algebra 8", 2007: Bil. 000 (b, c, i); No. 000(a, d, g). Guru memantau penyiapan tugasan, menjawab sebarang soalan yang timbul dan memberi bantuan kepada pelajar berprestasi rendah. Ujian kendiri: jawapan ditulis di papan tulis.

b) 2 – akar luar. Jawapan: 3.

c) 2 – akar luar. Jawapan: 1.5.

a) Jawapan: -12.5.

g) Jawapan: 1;1.5.

5. Menetapkan kerja rumah.

2. Ketahui algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

3. Selesaikan dalam buku nota No. 000 (a, d, e); No. 000(g, h).

4. Cuba selesaikan No. 000(a) (pilihan).

6. Menyelesaikan tugas kawalan mengenai topik yang dipelajari.

Kerja dilakukan di atas kepingan kertas.

Contoh tugasan:

A) Antara persamaan yang manakah adalah rasional pecahan?

B) Pecahan adalah sama dengan sifar apabila pengangkanya ____________________ dan penyebutnya ialah _______________________.

S) Adakah nombor -3 punca persamaan nombor 6?

D) Selesaikan persamaan No. 7.

Kriteria penilaian untuk tugasan:

“5” diberikan jika pelajar menyelesaikan lebih daripada 90% tugasan dengan betul. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” diberikan kepada pelajar yang telah menyelesaikan kurang daripada 50% tugasan. Penarafan 2 tidak diberikan dalam jurnal, 3 adalah pilihan.

7. Refleksi.

Pada helaian kerja bebas, tulis:

1 – jika pelajaran itu menarik dan boleh difahami oleh anda; 2 - menarik, tetapi tidak jelas; 3 - tidak menarik, tetapi boleh difahami; 4 - tidak menarik, tidak jelas.

8. Merumuskan pelajaran.

Jadi, hari ini dalam pelajaran kita berkenalan dengan persamaan rasional pecahan, belajar bagaimana untuk menyelesaikan persamaan ini cara yang berbeza, menguji pengetahuan mereka dengan bantuan latihan kerja bebas. Anda akan mempelajari hasil kerja bebas anda dalam pelajaran seterusnya, dan di rumah anda akan berpeluang untuk menyatukan pengetahuan anda.

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang manakah, pada pendapat anda, lebih mudah, lebih mudah diakses dan lebih rasional? Tanpa mengira kaedah untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, apakah yang perlu anda ingat? Apakah "kelicikan" persamaan rasional pecahan?

Terima kasih semua, pelajaran sudah tamat.

Pembentangan dan pelajaran mengenai topik: "Persamaan rasional. Algoritma dan contoh penyelesaian persamaan rasional"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Alat bantu pendidikan dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 8
Manual untuk buku teks oleh Makarychev Yu.N. Manual untuk buku teks oleh Mordkovich A.G.

Pengenalan kepada Persamaan Tidak Rasional

Kawan-kawan, kami belajar bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Tetapi matematik tidak terhad kepada mereka sahaja. Hari ini kita akan belajar bagaimana untuk menyelesaikan persamaan rasional. Konsep persamaan rasional dalam banyak cara serupa dengan konsep nombor rasional. Hanya sebagai tambahan kepada nombor, kini kami telah memperkenalkan beberapa pembolehubah $x$. Dan dengan itu kita mendapat ungkapan di mana operasi tambah, tolak, darab, bahagi dan naikkan kepada kuasa integer hadir.

Biarkan $r(x)$ menjadi ungkapan rasional. Ungkapan sedemikian boleh menjadi polinomial mudah dalam pembolehubah $x$ atau nisbah polinomial (operasi bahagi diperkenalkan, seperti untuk nombor rasional).
Persamaan $r(x)=0$ dipanggil persamaan rasional.
Mana-mana persamaan bentuk $p(x)=q(x)$, di mana $p(x)$ dan $q(x)$ ialah ungkapan rasional, juga akan persamaan rasional.

Mari kita lihat contoh penyelesaian persamaan rasional.

Contoh 1.
Selesaikan persamaan: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Penyelesaian.
Mari kita alihkan semua ungkapan ke sebelah kiri: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Jika bahagian kiri persamaan diwakili oleh nombor biasa, maka kita akan mengurangkan dua pecahan kepada penyebut sepunya.
Mari kita lakukan ini: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Kami mendapat persamaan: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Pecahan adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika pengangka pecahan adalah sifar dan penyebutnya bukan sifar. Kemudian kita secara berasingan menyamakan pengangka kepada sifar dan mencari punca pengangka.
$3(x^2+2x-3)=0$ atau $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sekarang mari kita semak penyebut pecahan: $(x-3)*x≠0$.
Hasil darab dua nombor adalah sama dengan sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada nombor ini sama dengan sifar. Kemudian: $x≠0$ atau $x-3≠0$.
$x≠0$ atau $x≠3$.
Akar yang diperoleh dalam pengangka dan penyebut tidak bertepatan. Jadi kita tulis kedua-dua punca pengangka dalam jawapan.
Jawapan: $x=1$ atau $x=-3$.

Jika tiba-tiba salah satu akar pengangka bertepatan dengan akar penyebut, maka ia harus dikecualikan. Akar sedemikian dipanggil luar!

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional:

1. Pindahkan semua ungkapan yang terkandung dalam persamaan ke sebelah kiri tanda sama.
2. Tukarkan bahagian persamaan ini kepada pecahan algebra: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Samakan pengangka yang terhasil kepada sifar, iaitu selesaikan persamaan $p(x)=0$.
4. Samakan penyebut kepada sifar dan selesaikan persamaan yang terhasil. Jika akar penyebut bertepatan dengan akar pengangka, maka ia harus dikecualikan daripada jawapan.

Contoh 2.
Selesaikan persamaan: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Penyelesaian.
Mari kita selesaikan mengikut mata algoritma.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Samakan pengangka dengan sifar: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Samakan penyebut dengan sifar:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ dan $x=-1$.
Salah satu punca $x=1$ bertepatan dengan punca pembilang, maka kita tidak menulisnya dalam jawapan.
Jawapan: $x=-1$.

Adalah mudah untuk menyelesaikan persamaan rasional menggunakan kaedah perubahan pembolehubah. Mari kita tunjukkan ini.

Contoh 3.
Selesaikan persamaan: $x^4+12x^2-64=0$.

Penyelesaian.
Mari perkenalkan pengganti: $t=x^2$.
Kemudian persamaan kami akan mengambil bentuk:
$t^2+12t-64=0$ - persamaan kuadratik biasa.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
Mari kita perkenalkan penggantian terbalik: $x^2=4$ atau $x^2=-16$.
Punca-punca persamaan pertama ialah sepasang nombor $x=±2$. Perkara kedua ialah ia tidak mempunyai akar.
Jawapan: $x=±2$.

Contoh 4.
Selesaikan persamaan: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Penyelesaian.
Mari perkenalkan pembolehubah baharu: $t=x^2+x+1$.
Kemudian persamaan akan mengambil bentuk: $t=\frac(15)(t+2)$.
Seterusnya kita akan meneruskan mengikut algoritma.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - akarnya tidak bertepatan.
Mari perkenalkan penggantian terbalik.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Mari kita selesaikan setiap persamaan secara berasingan:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - tidak akar
Dan persamaan kedua: $x^2+x-2=0$.
Punca-punca persamaan ini ialah nombor $x=-2$ dan $x=1$.
Jawapan: $x=-2$ dan $x=1$.

Contoh 5.
Selesaikan persamaan: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Penyelesaian.
Mari perkenalkan penggantian: $t=x+\frac(1)(x)$.
Kemudian:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ atau $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Kami mendapat persamaan: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Punca-punca persamaan ini ialah pasangan:
$t=-3$ dan $t=2$.
Mari perkenalkan penggantian terbalik:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Kami akan membuat keputusan secara berasingan.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Mari kita selesaikan persamaan kedua:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Punca bagi persamaan ini ialah nombor $x=1$.
Jawapan: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Masalah untuk diselesaikan secara bebas

Selesaikan persamaan:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Penyelesaian persamaan rasional pecahan

Panduan Rujukan

Persamaan rasional adalah persamaan di mana kedua-dua belah kiri dan kanan adalah ungkapan rasional.

(Ingat: ungkapan rasional ialah ungkapan integer dan pecahan tanpa radikal, termasuk operasi tambah, tolak, darab atau bahagi - contohnya: 6x; (m – n)2; x/3y, dsb.)

Persamaan rasional pecahan biasanya dikurangkan kepada bentuk:

di mana P(x) Dan Q(x) ialah polinomial.

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, darabkan kedua-dua belah persamaan dengan Q(x), yang boleh membawa kepada kemunculan punca luar. Oleh itu, apabila menyelesaikan persamaan rasional pecahan, adalah perlu untuk menyemak punca yang ditemui.

Persamaan rasional dipanggil keseluruhan, atau algebra, jika ia tidak dibahagikan dengan ungkapan yang mengandungi pembolehubah.

Contoh persamaan rasional keseluruhan:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Jika dalam persamaan rasional terdapat pembahagian dengan ungkapan yang mengandungi pembolehubah (x), maka persamaan itu dipanggil rasional pecahan.

Contoh persamaan rasional pecahan:

15
x + - = 5x – 17
x

Persamaan rasional pecahan biasanya diselesaikan seperti berikut:

1) cari penyebut sepunya bagi pecahan dan darab kedua-dua belah persamaan dengannya;

2) selesaikan persamaan keseluruhan yang terhasil;

3) kecualikan daripada akarnya yang mengurangkan penyebut sepunya pecahan kepada sifar.

Contoh penyelesaian integer dan persamaan rasional pecahan.

Contoh 1. Mari kita selesaikan keseluruhan persamaan

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Penyelesaian:

Mencari penyebut biasa terendah. Ini ialah 6. Bahagi 6 dengan penyebut dan darab hasil yang terhasil dengan pengangka setiap pecahan. Kami memperoleh persamaan yang setara dengan ini:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Oleh kerana bahagian kiri dan kanan mempunyai penyebut yang sama, ia boleh diabaikan. Kemudian kita mendapat persamaan yang lebih mudah:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Kami menyelesaikannya dengan membuka kurungan dan menggabungkan istilah yang serupa:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Contoh diselesaikan.

Contoh 2. Selesaikan persamaan rasional pecahan

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

Mencari penyebut biasa. Ini ialah x(x – 5). Jadi:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Sekarang kita menyingkirkan penyebut sekali lagi, kerana ia adalah sama untuk semua ungkapan. Kami mengurangkan sebutan yang serupa, menyamakan persamaan dengan sifar dan mendapatkan persamaan kuadratik:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

Setelah menyelesaikan persamaan kuadratik, kita dapati puncanya: –2 dan 5.

Mari kita semak sama ada nombor ini adalah punca kepada persamaan asal.

Pada x = –2, penyebut sepunya x(x – 5) tidak lenyap. Ini bermakna –2 ialah punca bagi persamaan asal.

Pada x = 5, penyebut sepunya menjadi sifar, dan dua daripada tiga ungkapan menjadi tidak bermakna. Ini bermakna nombor 5 bukan punca persamaan asal.

Jawapan: x = –2

Lebih banyak contoh

Contoh 1.

x 1 =6, x 2 = - 2.2.

Jawapan: -2,2;6.

Contoh 2.

Kami telah pun mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadratik. Sekarang mari kita lanjutkan kaedah yang dikaji kepada persamaan rasional.

Apakah ungkapan rasional? Kami telah pun menemui konsep ini. Ungkapan rasional ialah ungkapan yang terdiri daripada nombor, pembolehubah, kuasanya dan simbol operasi matematik.

Sehubungan itu, persamaan rasional ialah persamaan dalam bentuk: , di mana - ungkapan rasional.

Sebelum ini, kami hanya mempertimbangkan persamaan rasional yang boleh dikurangkan kepada persamaan linear. Sekarang mari kita lihat persamaan rasional yang boleh dikurangkan kepada persamaan kuadratik.

Contoh 1

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian:

Suatu pecahan adalah sama dengan 0 jika dan hanya jika pengangkanya sama dengan 0 dan penyebutnya tidak sama dengan 0.

Kami mendapat sistem berikut:

Persamaan pertama sistem ialah persamaan kuadratik. Sebelum menyelesaikannya, mari kita bahagikan semua pekalinya dengan 3. Kita dapat:

Kami mendapat dua punca: ; .

Oleh kerana 2 tidak pernah sama dengan 0, dua syarat mesti dipenuhi: . Oleh kerana tiada punca persamaan yang diperolehi di atas bertepatan dengan nilai tidak sah pembolehubah yang diperoleh semasa menyelesaikan ketaksamaan kedua, kedua-duanya adalah penyelesaian kepada persamaan ini.

Jawapan:.

Jadi, mari kita rumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional:

1. Gerakkan semua sebutan ke sebelah kiri supaya bahagian kanan berakhir dengan 0.

2. Ubah dan mudahkan bahagian kiri, bawa semua pecahan kepada penyebut sepunya.

3. Samakan pecahan yang terhasil kepada 0 menggunakan algoritma berikut: .

4. Tuliskan punca-punca yang diperolehi dalam persamaan pertama dan penuhi ketaksamaan kedua dalam jawapan.

Mari kita lihat contoh lain.

Contoh 2

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian

Pada mulanya, kami mengalihkan semua istilah ke kiri supaya 0 kekal di sebelah kanan. Kami mendapat:

Sekarang mari kita bawa bahagian kiri persamaan kepada penyebut biasa:

Persamaan ini bersamaan dengan sistem:

Persamaan pertama sistem ialah persamaan kuadratik.

Pekali persamaan ini: . Kami mengira diskriminasi:

Kami mendapat dua punca: ; .

Sekarang mari kita selesaikan ketaksamaan kedua: hasil darab faktor tidak sama dengan 0 jika dan hanya jika tiada faktor yang sama dengan 0.

Dua syarat mesti dipenuhi: . Kami mendapati bahawa daripada dua punca persamaan pertama, hanya satu yang sesuai - 3.

Jawapan:.

Dalam pelajaran ini, kita mengingati apa itu ungkapan rasional, dan juga mempelajari cara menyelesaikan persamaan rasional, yang mengurangkan kepada persamaan kuadratik.

Dalam pelajaran seterusnya kita akan melihat persamaan rasional sebagai model situasi sebenar, dan juga melihat masalah pergerakan.

Bibliografi

Bashmakov M.I. Algebra, darjah 8. - M.: Pendidikan, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dan lain-lain. Algebra, 8. 5th ed. - M.: Pendidikan, 2010.
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, darjah 8. Tutorial untuk institusi pendidikan. - M.: Pendidikan, 2006.