Gennemsnitligt niveau

Halvleds for en trekant. Detaljeret teori med eksempler (2019)

Halvleds for en trekant og dens egenskaber

Ved du hvad midtpunktet af et segment er? Selvfølgelig gør du. Hvad med midten af ​​cirklen? Samme. Hvad er midtpunktet af en vinkel? Man kan sige, at dette ikke sker. Men hvorfor kan et segment deles i to, men en vinkel ikke? Det er sagtens muligt - bare ikke en prik, men…. linje.

Kan du huske vittigheden: en halveringslinje er en rotte, der løber rundt om hjørnerne og deler hjørnet i to. Så den rigtige definition af en halveringslinje ligner meget denne joke:

Halvleds for en trekant- dette er halveringsstykket af en vinkel i en trekant, der forbinder denne vinkels toppunkt med et punkt på den modsatte side.

Engang opdagede gamle astronomer og matematikere mange interessante egenskaber ved bisektoren. Denne viden har i høj grad forenklet folks liv. Det er blevet nemmere at bygge, tælle afstande, endda justere affyringen af ​​kanoner... Viden om disse egenskaber vil hjælpe os med at løse nogle GIA- og Unified State Examination-opgaver!

Den første viden, der vil hjælpe med dette, er halveringslinje af en ligebenet trekant.

Kan du forresten huske alle disse udtryk? Kan du huske, hvordan de adskiller sig fra hinanden? Ingen? Ikke skræmmende. Lad os finde ud af det nu.

Så, bunden af ​​en ligebenet trekant- dette er den side, der ikke er lig med nogen anden. Se på billedet, hvilken side tror du det er? Det er rigtigt - dette er siden.

Medianen er en linje tegnet fra toppen af ​​en trekant og dividere den modsatte side(det her igen) i halvdelen.

Bemærk, at vi ikke siger "Median af en ligebenet trekant." Ved du hvorfor? Fordi en median trukket fra et toppunkt i en trekant halverer den modsatte side i ENHVER trekant.

Nå, højden er en linje tegnet fra toppen og vinkelret på bunden. lagde du mærke til det? Vi taler igen om en hvilken som helst trekant, ikke bare en ligebenet. Højden i ENHVER trekant er altid vinkelret på basen.

Så har du fundet ud af det? Næsten. For at forstå endnu bedre og for altid huske, hvad en halveringslinje, median og højde er, skal du sammenligne dem med hinanden og forstå, hvordan de ligner hinanden, og hvordan de adskiller sig fra hinanden. På samme tid, for at huske bedre, er det bedre at beskrive alt på "menneskeligt sprog". Så vil du nemt operere på matematikkens sprog, men i første omgang forstår du ikke dette sprog, og du er nødt til at forstå alt på dit eget sprog.

Så hvordan ligner de hinanden? Halvled, median og højde - de "kommer alle ud" fra trekantens toppunkt og hviler på den modsatte side og "gør noget" enten med den vinkel, de kommer ud fra, eller med modsatte side. Jeg tror det er enkelt, ikke?

Hvordan er de forskellige?

• Halveringslinjen deler vinklen, hvorfra den kommer ud, i to.
• Medianen deler den modsatte side i to.
• Højden er altid vinkelret på den modsatte side.

Det er det. Det er nemt at forstå. Og når du først forstår, kan du huske.

Nu næste spørgsmål. Hvorfor, i tilfælde af en ligebenet trekant, viser halveringslinjen sig at være både medianen og højden?

Du kan blot se på figuren og sikre dig, at medianen deler sig i to absolut lige store trekanter. Det er alt! Men matematikere kan ikke lide at tro deres egne øjne. De skal bevise alt. Skræmmende ord? Sådan noget - det er enkelt! Se: begge har lige sider, og de har generelt en fælles side og. (- halveringslinje!) Og så viser det sig, at to trekanter har to lige store sider og en vinkel imellem sig. Vi husker det første tegn på lighed af trekanter (hvis du ikke husker det, se i emnet) og konkluderer, at og derfor = og.

Dette er allerede godt - det betyder, at det viste sig at være medianen.

Men hvad er det?

Lad os se på billedet - . Og det fik vi. Så også! Endelig, hurra! Og.

Syntes du dette bevis var lidt tungt? Se på billedet - to identiske trekanter taler for sig selv.

Husk under alle omstændigheder bestemt:

Nu er det sværere: vi tæller vinkel mellem halveringslinjer i enhver trekant! Vær ikke bange, det er ikke så svært. Se på billedet:

Lad os tælle det. Kan du huske det summen af ​​vinklerne i en trekant er?

Lad os anvende denne fantastiske kendsgerning.

På den ene side fra:

Det er.

Lad os nu se på:

Men bisektorer, bisectors!

Lad os huske om:

Nu gennem bogstaverne

\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)

Er det ikke overraskende? Det viste det sig vinklen mellem to vinklers halveringslinjer afhænger kun af den tredje vinkel!

Nå, vi så på to halveringslinjer. Hvad hvis der er tre af dem??!! Vil de alle skære hinanden på et tidspunkt?

Eller bliver det sådan her?

Hvad tænker du? Så matematikere tænkte og tænkte og beviste:

Er det ikke fantastisk?

Vil du vide, hvorfor dette sker?

Så...to retvinklede trekanter: og. De har:

• Generel hypotenuse.
• (fordi det er en halveringslinje!)

Det betyder - ved vinkel og hypotenusa. Derfor er de tilsvarende ben i disse trekanter lige store! Det er.

Vi beviste, at punktet er lige (eller lige) langt fra vinklens sider. Punkt 1 behandles. Lad os nu gå videre til punkt 2.

Hvorfor er 2 sandt?

Og lad os forbinde prikkerne og.

Det betyder, at den ligger på halveringslinjen!

Det er alt!

Hvordan kan alt dette anvendes, når man løser problemer? For eksempel er der i problemer ofte følgende sætning: "En cirkel rører ved siderne af en vinkel...". Nå, du skal finde noget.

Så indser man det hurtigt

Og man kan bruge ligestilling.

3. Tre halveringslinjer i en trekant skærer hinanden i et punkt

Fra egenskaben for en halveringslinje til at være stedet for punkter, der er lige langt fra siderne af en vinkel, følger følgende udsagn:

Hvordan kommer det helt præcist ud? Men se: to halveringslinjer vil helt sikkert krydse hinanden, ikke?

Og den tredje halveringslinje kunne gå sådan her:

Men i virkeligheden er alt meget bedre!

Lad os se på skæringspunktet mellem to halveringslinjer. Lad os kalde det.

Hvad brugte vi her begge gange? Ja stk. 1, selvfølgelig! Hvis et punkt ligger på en halveringslinje, er det lige så langt fra vinklens sider.

Og så skete det.

Men se nøje på disse to ligheder! Det følger jo af dem, at og derfor.

Og nu kommer det i spil punkt 2: hvis afstandene til siderne af en vinkel er lige store, så ligger punktet på halveringslinjen...hvilken vinkel? Se billedet igen:

og er afstandene til vinklens sider, og de er lige store, hvilket betyder, at punktet ligger på vinklens halveringslinje. Den tredje halveringslinje gik gennem det samme punkt! Alle tre halveringslinjer skærer hinanden på ét punkt! Og som en ekstra gave -

Radier indskrevet cirkler.

(For at være sikker, se på et andet emne).

Nå, nu vil du aldrig glemme:

Skæringspunktet for halveringslinjen i en trekant er midten af ​​cirklen indskrevet i den.

Lad os gå videre til den næste ejendom... Wow, halveringslinjen har mange egenskaber, ikke? Og det er fantastisk, for jo flere ejendomme, jo flere værktøjer til løsning af bisektorproblemer.

4. Halvleder og parallelitet, halveringslinjer af tilstødende vinkler

Det faktum, at halveringslinjen deler vinklen i to, fører i nogle tilfælde til helt uventede resultater. For eksempel,

Case 1

Fantastisk, ikke? Lad os forstå, hvorfor det er sådan.

På den ene side tegner vi en halveringslinje!

Men på den anden side er der vinkler, der ligger på kryds og tværs (husk temaet).

Og nu viser det sig, at; smid ud i midten:! - ligebenet!

Tilfælde 2

Forestil dig en trekant (eller se på billedet)

Lad os fortsætte siden ud over punktet. Nu har vi to vinkler:

• - indvendigt hjørne
• - det yderste hjørne er udenfor, ikke?

Så nu ville nogen tegne ikke én, men to halveringslinjer på én gang: både for og for. Hvad vil der ske?

Vil det lykkes? rektangulær!

Overraskende nok er dette præcis tilfældet.

Lad os finde ud af det.

Hvad tror du beløbet er?

Selvfølgelig, - når alt kommer til alt, laver de alle sammen en sådan vinkel, at det viser sig at være en lige linje.

Husk nu at og er halveringslinjer og se, at inde i vinklen er der nøjagtigt halvt fra summen af ​​alle fire vinkler: og - - altså nøjagtigt. Du kan også skrive det som en ligning:

Så utroligt men sandt:

Vinklen mellem halveringslinjerne af den indre og udvendigt hjørne trekant er lig.

Tilfælde 3

Kan du se, at alt er det samme her som for de indvendige og udvendige hjørner?

Eller lad os tænke igen, hvorfor det sker?

Igen, hvad angår tilstødende hjørner,

(som svarer til parallelle baser).

Og igen gør de op præcis halvdelen fra summen

Konklusion: Hvis opgaven indeholder halveringslinjer tilstødende vinkler eller halveringslinjer relevant vinkler af et parallelogram eller trapez, så i denne opgave sikkert deltager retvinklet trekant, og måske endda et helt rektangel.

5. Halvled og modsatte side

Det viser sig, at halveringslinjen af ​​en vinkel i en trekant deler den modsatte side ikke bare på en eller anden måde, men på en speciel og meget interessant måde:

Det er:

Et fantastisk faktum, ikke?

Nu vil vi bevise dette faktum, men gør dig klar: det bliver lidt sværere end før.

Igen - udgang til "space" - yderligere formation!

Lad os gå ligeud.

For hvad? Vi får se nu.

Lad os fortsætte halveringslinjen, indtil den skærer linjen.

Er dette et kendt billede? Ja, ja, ja, nøjagtig det samme som i punkt 4, tilfælde 1 - det viser sig, at (- halveringslinje)

Ligger på kryds og tværs

Altså også det.

Lad os nu se på trekanter og.

Hvad kan du sige om dem?

De ligner hinanden. Nå, ja, deres vinkler er lige store som lodrette. Altså i to hjørner.

Nu har vi ret til at skrive de relevante parters forhold.

Og nu i korte noter:

Åh! Minder mig om noget, ikke? Var det ikke det, vi ville bevise? Ja, ja, præcis det!

Du kan se, hvor stor "rumvandringen" viste sig at være - konstruktionen af ​​en yderligere lige linje - uden den ville intet være sket! Og så har vi bevist det

Nu kan du trygt bruge det! Lad os se på endnu en egenskab ved halveringslinjen af ​​vinklerne i en trekant - vær ikke foruroliget, nu er den sværeste del overstået - det bliver nemmere.

Det forstår vi

Sætning 1:

Sætning 2:

Sætning 3:

Sætning 4:

Sætning 5:

Sætning 6:

Blandt de mange fag i gymnasiet er der et som "geometri". Det antages traditionelt, at grundlæggerne af denne systematiske videnskab er grækerne. I dag kaldes græsk geometri elementær, da det var hende, der begyndte at studere de enkleste former: planer, lige linjer og trekanter. Vi vil fokusere vores opmærksomhed på sidstnævnte, eller rettere på bisectoren af ​​denne figur. For dem, der allerede har glemt, er halveringslinjen i en trekant et segment af halveringslinjen i et af trekantens hjørner, som deler det i to og forbinder toppunktet med et punkt placeret på den modsatte side.

Halveringslinjen i en trekant har en række egenskaber, som du skal kende til, når du løser visse problemer:

• En vinkels halveringslinje er stedet for punkter, der er placeret i lige stor afstand fra siderne, der støder op til vinklen.
• Halseringslinjen i en trekant deler siden modsat vinklen i segmenter, der er proportionale med de tilstødende sider. For eksempel givet en trekant MKB, hvor en halveringslinje kommer frem fra vinkel K, der forbinder denne vinkels toppunkt med punktet A på den modsatte side MB. Efter at have analyseret denne egenskab og vores trekant, har vi MA/AB=MK/KB.
• Det punkt, hvor halveringslinjen af ​​alle tre vinkler i en trekant skærer hinanden, er midten af ​​en cirkel, der er indskrevet i den samme trekant.
• Grundlaget for halveringslinjen af ​​en ydre og to indre vinkler er på den samme rette linje, forudsat at halveringslinjen for den ydre vinkel ikke er parallel med den modsatte side af trekanten.
• Hvis to halveringslinjer af én så dette

Det skal bemærkes, at hvis der er givet tre halveringslinjer, er det umuligt at konstruere en trekant fra dem, selv ved hjælp af et kompas.

Meget ofte, når man løser problemer, er halveringslinjen af ​​en trekant ukendt, men det er nødvendigt at bestemme dens længde. For at løse dette problem skal du kende vinklen, der er halveret af halveringslinjen og siderne, der støder op til denne vinkel. I dette tilfælde er den nødvendige længde defineret som forholdet mellem to gange produktet af siderne, der støder op til hjørnet, og cosinus af vinklen delt i halvdelen til summen af ​​siderne, der støder op til hjørnet. For eksempel givet den samme trekant MKB. Halseringslinjen kommer ud af vinklen K og skærer den modsatte side af MV i punktet A. Vinklen, hvorfra halveringslinjen kommer ud, er angivet med y. Lad os nu nedskrive alt, hvad der bliver sagt i ord i form af en formel: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Hvis værdien af ​​den vinkel, hvorfra halveringslinjen i en trekant kommer frem, er ukendt, men alle dens sider er kendte, vil vi for at beregne længden af ​​halveringslinjen bruge en ekstra variabel, som vi kalder halvperimeteren og betegner med bogstavet P: P=1/2*(MK+KB+MB). Efter dette vil vi foretage nogle ændringer i den foregående formel, hvormed længden af ​​halveringslinjen blev bestemt, nemlig i tælleren af ​​brøken sætter vi dobbelt produktet af længderne af siderne ved siden af ​​hjørnet med halvperimeteren og kvotienten, hvor længden af ​​den tredje side trækkes fra halvperimeteren. Lad os lade nævneren være uændret. I form af en formel vil det se sådan ud: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Halveringslinjen i en ligebenet trekant sammen med generelle egenskaber har flere af sine egne. Lad os huske, hvilken slags trekant dette er. En sådan trekant har to lige store sider og lige store vinkler ved siden af ​​basen. Det følger heraf, at halveringslinjerne, der falder på sidesiderne af en ligebenet trekant, er lig med hinanden. Derudover er halveringslinjen sænket til basen både højden og medianen.

Halveringslinjen i en trekant er et almindeligt geometrisk begreb, der ikke forårsager meget vanskeligheder med at lære. Med viden om dets egenskaber kan du løse mange problemer uden store problemer. Hvad er en halveringslinje? Vi vil forsøge at gøre læseren bekendt med alle hemmelighederne i denne matematiske linje.

I kontakt med

Essensen af ​​konceptet

Navnet på begrebet kommer fra brugen af ​​ord på latin, hvis betydning er "bi" - to, "sectio" - at skære. De peger specifikt på geometrisk betydning begreber - bryde rummet mellem stråler op i to lige store dele.

Halveringslinjen i en trekant er et segment, der stammer fra toppen af ​​figuren, og den anden ende er placeret på den side, der er placeret modsat den, mens rummet opdeles i to identiske dele.

For hurtigt associativt at huske matematiske begreber, bruger mange lærere forskellig terminologi, som afspejles i digte eller associationer. Selvfølgelig anbefales det at bruge denne definition til ældre børn.

Hvordan er denne linje udpeget? Her stoler vi på reglerne for at udpege segmenter eller stråler. Hvis vi taler om om betegnelsen af ​​vinkelhalveringslinjen for en trekantet figur, skrives det normalt som et segment, hvis ender er toppunkt og skæringspunktet med siden modsat toppunktet. Desuden er begyndelsen af ​​notationen skrevet præcist fra toppunktet.

Opmærksomhed! Hvor mange halveringslinjer har en trekant? Svaret er indlysende: lige så mange som der er hjørner - tre.

Ejendomme

Bortset fra definitionen kan du ikke finde mange egenskaber ved dette i en skolebog. geometrisk koncept. Den første egenskab ved halveringslinjen i en trekant, som skolebørn introduceres til, er det indskrevne centrum, og den anden, direkte relateret til det, er segmenternes proportionalitet. Den nederste linje er denne:

1. Uanset skillelinjen, er der punkter på den, der er i samme afstand fra siderne, som udgør mellemrummet mellem strålerne.
2. For at passe en cirkel ind i en trekantet figur, er det nødvendigt at bestemme det punkt, hvor disse segmenter vil skære hinanden. Dette er cirklens midtpunkt.
3. Dele af en trekantet side geometrisk figur, hvori dens skillelinje deler sig, er V proportional afhængighed fra siderne, der danner vinklen.

Vi vil forsøge at bringe de resterende funktioner ind i systemet og præsentere yderligere fakta, der vil hjælpe med bedre at forstå fordelene ved dette geometriske koncept.

Længde

En af de typer problemer, der forårsager vanskeligheder for skolebørn, er at finde længden af ​​halveringslinjen af ​​en vinkel i en trekant. Den første mulighed, som indeholder dens længde, indeholder følgende data:

• mængden af ​​mellemrum mellem strålerne fra toppunktet, hvoraf et givet segment kommer frem;
• længderne af de sider, der danner denne vinkel.

For at løse problemet anvendt formel, hvis betydning er at finde forholdet mellem produktet af værdierne af siderne, der udgør vinklen, øget med 2 gange med cosinus af dens halvdel til summen af ​​siderne.

Lad os se på et specifikt eksempel. Antag, at vi får en figur ABC, hvor et segment er tegnet fra vinkel A og skærer side BC i punktet K. Vi betegner værdien af ​​A som Y. Ud fra dette er AK = (2*AB*AC*cos(Y) /2))/(AB+ AC).

Den anden version af problemet, hvor længden af ​​halveringslinjen af ​​en trekant bestemmes, indeholder følgende data:

• betydningen af ​​alle sider af figuren er kendt.

Ved løsning af et problem af denne type, indledningsvis bestemme semi-perimeteren. For at gøre dette skal du lægge værdierne for alle sider sammen og dividere i to: p=(AB+BC+AC)/2. Dernæst anvender vi beregningsformlen, der blev brugt til at bestemme længden af ​​dette segment i den forrige opgave. Det er kun nødvendigt at foretage nogle ændringer i essensen af ​​formlen i overensstemmelse med de nye parametre. Så det er nødvendigt at finde forholdet mellem dobbeltroden af ​​anden potens af produktet af længderne af siderne, der støder op til toppunktet med semi-perimeteren og forskellen mellem semi-perimeteren og længden af side modsat den til summen af ​​siderne, der udgør vinklen. Det vil sige, AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

Opmærksomhed! For at gøre det lettere at mestre materialet kan du henvende dig til tegneserier, der er tilgængelige på internettet, og som fortæller om "eventyrene" i denne linje.

Hvad er halveringslinjen for en vinkel i en trekant? Når de besvarer dette spørgsmål, får nogle mennesker den velkendte rotte til at løbe rundt om hjørnerne og dele hjørnet i to." Hvis svaret skulle være "humoristisk", så er det måske korrekt. Men med videnskabelig pointe Fra et perspektiv burde svaret på dette spørgsmål lyde sådan her: begyndende ved vinklens toppunkt og opdele sidstnævnte i to lige store dele." I geometri opfattes denne figur også som et segment af halveringslinjen før dens skæring med den modsatte side af trekanten Dette er ikke en fejlagtig mening.

Ligesom enhver geometrisk lokus af punkter har den sine egne karakteristika. Den første af dem er snarere ikke engang et tegn, men en sætning, som kort kan udtrykkes som følger: "Hvis den modsatte side er opdelt i to dele af en halveringslinje, så vil deres forhold svare til forholdet mellem siderne af en stor trekant."

Den anden egenskab, som den har: skæringspunktet mellem halveringslinjerne for alle vinkler kaldes incenter.

Det tredje tegn: halveringslinjerne for en indre og to ydre vinkler i en trekant skærer hinanden i midten af ​​en af ​​de tre indskrevne cirkler.

Den fjerde egenskab ved vinkelhalveringslinjen i en trekant er, at hvis hver af dem er lige store, så er sidstnævnte ligebenet.

Det femte tegn vedrører også en ligebenet trekant og er hovedretningslinjen for dens genkendelse i en tegning med halveringslinjer, nemlig: i en ligebenet trekant tjener den samtidig som median og højde.

Vinkelhalveringslinjen kan konstrueres ved hjælp af et kompas og lineal:

Den sjette regel siger, at det er umuligt at konstruere en trekant ved kun at bruge sidstnævnte med de eksisterende halveringslinjer, ligesom det er umuligt at konstruere på denne måde fordoblingen af ​​en terning, kvadratiseringen af ​​en cirkel og tredelingen af ​​en vinkel. Strengt taget er disse alle egenskaberne for vinkelhalveringslinjen i en trekant.

Hvis du omhyggeligt læste det foregående afsnit, så var du måske interesseret i én sætning. "Hvad er tredeling af en vinkel?" - vil du nok spørge. Tresektionen minder lidt om halveringslinjen, men hvis man tegner sidstnævnte, vil vinklen blive delt i to lige store dele, og når man konstruerer en tresektion, deles den i tre. Naturligvis er halveringslinjen i en vinkel lettere at huske, fordi tredeling ikke undervises i skolen. Men for fuldstændighedens skyld vil jeg fortælle dig om det.

En trisektor kan, som jeg allerede har sagt, ikke kun konstrueres med et kompas og en lineal, men den kan oprettes ved hjælp af Fujitas regler og nogle kurver: Pascals snegle, firkanter, Nicomedes' conchoider, keglesnit,

Problemer med tredeling af en vinkel løses ganske enkelt ved hjælp af nevsis.

I geometri er der en sætning om vinkeltrisektorer. Det kaldes Morleys sætning. Hun angiver, at skæringspunkterne for trisektorerne af hver vinkel placeret i midten vil være hjørnerne

En lille sort trekant inde i en stor vil altid være ligesidet. Denne teorem blev opdaget af den britiske videnskabsmand Frank Morley i 1904.

Her er, hvor meget du kan lære om at dividere en vinkel: Trisektoren og halveringslinjen af ​​en vinkel kræver altid detaljerede forklaringer. Men her fik jeg mange definitioner, som jeg endnu ikke havde afsløret: Pascals snegl, Nicomedes' conchoid osv. Vær sikker på, der er meget mere at skrive om dem.

De indvendige vinkler af en trekant kaldes trekanthalveringslinjen.
Halveringspunktet for en vinkel i en trekant forstås også som segmentet mellem dets toppunkt og skæringspunktet mellem halveringslinjen med trekantens modsatte side.
Sætning 8. De tre halveringslinjer i en trekant skærer hinanden i et punkt.
Lad os faktisk først overveje punktet P i skæringspunktet mellem to halveringslinjer, for eksempel AK 1 og VK 2. Dette punkt er lige langt fra siderne AB og AC, da det ligger på halveringslinjen af ​​vinkel A, og lige langt fra siderne AB og BC, som hører til halveringslinjen for vinkel B. Det betyder, at det er lige langt fra siderne AC og BC og hører dermed til den tredje halveringslinje CK 3, det vil sige i punktet P skærer alle tre halveringslinjer.
Egenskaber for halveringslinjerne for de indre og ydre vinkler i en trekant
Sætning 9. Bisector indvendigt hjørne af en trekant opdeler den modsatte side i dele, der er proportionale med de tilstødende sider.
Bevis. Lad os betragte trekant ABC og halveringslinjen for dens vinkel B. Lad os tegne en linje CM gennem toppunktet C, parallelt med halveringslinjen BC, indtil den skærer i punktet M med fortsættelsen af ​​siden AB. Da VC er halveringslinjen for vinkel ABC, så er ∠ ABC = ∠ KBC. Yderligere, ∠ АВК=∠ ВСМ, som tilsvarende vinkler for parallelle linjer, og ∠ КВС=∠ ВСМ, som tværgående vinkler for parallelle linjer. Derfor er ∠ ВСМ=∠ ВМС, og derfor er trekanten ВСМ ligebenet, derfor ВС=ВМ. Ifølge sætningen om parallelle linjer, der skærer siderne af en vinkel, har vi AK:K C=AB:VM=AB:BC, hvilket er det, der skulle bevises.
Sætning 10 Halseringslinjen for den ydre vinkel B i trekanten ABC har en lignende egenskab: segmenterne AL og CL fra hjørnerne A og C til punktet L i skæringspunktet mellem halveringslinjen med fortsættelsen af ​​siden AC er proportionale med trekantens sider: AL: C.L.=AB:BC.
Denne egenskab er bevist på samme måde som den foregående: på figuren er en hjælpelinje SM trukket parallelt med halveringslinjen BL. Vinklerne BMC og BC er lige store, hvilket betyder, at siderne BM og BC i trekanten BMC er lige store. Hvorfra vi kommer til konklusionen AL:CL=AB:BC.

Sætning d4. (første formel for halveringslinjen): Hvis i trekant ABC segment AL er halveringslinjen af ​​vinkel A, så AL? = AB·AC - LB·LC.

Bevis: Lad M være skæringspunktet for linjen AL med cirklen omskrevet om trekanten ABC (fig. 41). Vinkel BAM er lig med vinkel MAC efter betingelse. Vinklerne BMA og BCA er kongruente som indskrevne vinkler, der er overtrådt af den samme akkord. Det betyder, at trekanter BAM og LAC ligner hinanden i to vinkler. Derfor AL: AC = AB: AM. Så AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Hvilket skulle bevises. Bemærk: for sætningen om segmenter af krydsende akkorder i en cirkel og om indskrevne vinkler, se emnet cirkel og cirkel.

Sætning d5. (anden formel for halveringslinjen): I en trekant ABC med siderne AB=a, AC=b og vinkel A lig med 2? og halveringsled l, gælder ligheden:
l = (2ab / (a+b)) cos?.

Bevis: Lad ABC være den givne trekant, AL dens halveringslinje (fig. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Så S ABC = S ALB + S ALC. Derfor, absin2? = alsin? +blsin?<=>2absin?·cos? = (a + b) lsin?<=>l = 2·(ab / (a+b))· cos?. Sætningen er blevet bevist.