Undersøgelse af funktioner og deres grafer. Undersøg funktionen \(y=\frac(x3)(1-x)\) ved hjælp af differentialregningsmetoder og konstruer dens graf

Hvis problemet kræver en fuldstændig undersøgelse af funktionen f (x) = x 2 4 x 2 - 1 med konstruktionen af ​​dens graf, så vil vi overveje dette princip i detaljer.

For at løse et problem af denne type, bør du bruge egenskaberne og graferne for hovedet elementære funktioner. Forskningsalgoritmen omfatter følgende trin:

Yandex.RTB R-A-339285-1

At finde definitionsdomænet

Da der forskes i funktionens definitionsdomæne, er det nødvendigt at starte med dette trin.

Eksempel 1

Det givne eksempel involverer at finde nullerne i nævneren for at udelukke dem fra ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Som et resultat kan du få rødder, logaritmer og så videre. Derefter kan ODZ søges efter en rod af en lige grad af typen g (x) 4 ved uligheden g (x) ≥ 0, for logaritmen log a g (x) ved uligheden g (x) > 0.

At studere grænserne for ODZ og finde lodrette asymptoter

Der er lodrette asymptoter ved funktionens grænser, når de ensidige grænser i sådanne punkter er uendelige.

Eksempel 2

Betragt f.eks. grænsepunkterne lig med x = ± 1 2.

Så er det nødvendigt at studere funktionen for at finde den ensidige grænse. Så får vi det: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Dette viser, at de ensidede grænser er uendelige, hvilket betyder, at de rette linjer x = ± 1 2 er grafens lodrette asymptoter.

Undersøgelse af en funktion og om den er lige eller ulige

Når betingelsen y (- x) = y (x) er opfyldt, betragtes funktionen som lige. Dette tyder på, at grafen er placeret symmetrisk i forhold til Oy. Når betingelsen y (- x) = - y (x) er opfyldt, betragtes funktionen som ulige. Det betyder, at symmetrien er i forhold til oprindelsen af ​​koordinater. Hvis mindst én ulighed ikke er opfyldt, får vi en funktion af generel form.

Ligheden y (- x) = y (x) angiver, at funktionen er lige. Ved konstruktion er det nødvendigt at tage højde for, at der vil være symmetri med hensyn til Oy.

For at løse uligheden anvendes intervaller med stigende og faldende med betingelserne henholdsvis f " (x) ≥ 0 og f " (x) ≤ 0.

Definition 1

Stationære punkter- det er de punkter, der vender den afledte til nul.

Kritiske punkter- disse er interne punkter fra definitionsdomænet, hvor den afledede af funktionen er lig med nul eller ikke eksisterer.

Når du træffer en beslutning, skal følgende bemærkninger tages i betragtning:

• for eksisterende intervaller med stigende og faldende uligheder af formen f " (x) > 0, er kritiske punkter ikke inkluderet i løsningen;
• punkter, hvor funktionen er defineret uden en endelig afledt, skal inkluderes i intervallerne for stigende og faldende (f.eks. y = x 3, hvor punktet x = 0 gør funktionen defineret, den afledede har værdien uendeligt ved denne punkt, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 er inkluderet i det stigende interval);
• For at undgå uenigheder anbefales det at bruge matematisk litteratur anbefalet af Undervisningsministeriet.

Inkludering af kritiske punkter i intervaller med stigende og faldende, hvis de opfylder funktionens definitionsdomæne.

Definition 2

Til at bestemme intervallerne for stigning og fald af en funktion, er det nødvendigt at finde:

• afledte;
• kritiske punkter;
• opdel definitionsdomænet i intervaller ved hjælp af kritiske punkter;
• bestem fortegnet for den afledede på hvert af intervallerne, hvor + er en stigning og - er et fald.

Eksempel 3

Find den afledede på definitionsdomænet f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Løsning

For at løse skal du:

• Find stationære punkter, dette eksempel har x = 0;
• find nullerne i nævneren, tager eksemplet værdien nul ved x = ± 1 2.

Vi placerer punkter på talaksen for at bestemme den afledede på hvert interval. For at gøre dette er det nok at tage ethvert punkt fra intervallet og udføre en beregning. Hvis resultatet er positivt, viser vi + på grafen, hvilket betyder, at funktionen er stigende, og - betyder, at den er faldende.

For eksempel f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, hvilket betyder, at det første interval til venstre har et +-tegn. Overvej på tallinjen.

Svar:

• funktionen øges med intervallet - ∞; - 1 2 og (- 1 2 ; 0 ];
• der er et fald i intervallet [0; 12) og 12; + ∞ .

I diagrammet, ved hjælp af + og -, er positiviteten og negativiteten af ​​funktionen afbildet, og pilene angiver fald og stigning.

Ekstrempunkter for en funktion er punkter, hvor funktionen er defineret, og hvorigennem den afledede skifter fortegn.

Eksempel 4

Hvis vi betragter et eksempel, hvor x = 0, så er værdien af ​​funktionen i det lig med f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Når fortegnet for den afledede ændres fra + til - og går gennem punktet x = 0, så betragtes punktet med koordinaterne (0; 0) som maksimumpunktet. Når tegnet skifter fra - til +, opnår vi et minimumspunkt.

Konveksitet og konkavitet bestemmes ved at løse uligheder på formen f "" (x) ≥ 0 og f "" (x) ≤ 0. Mindre almindeligt brugt er navnet konveksitet ned i stedet for konveksitet og konveksitet opad i stedet for konveksitet.

Definition 3

Til at bestemme intervallerne for konkavitet og konveksitet nødvendig:

• find den anden afledede;
• find nullerne for den anden afledede funktion;
• opdel definitionsområdet i intervaller med de fremkomne punkter;
• bestemme tegnet for intervallet.

Eksempel 5

Find den anden afledede fra definitionsdomænet.

Løsning

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Vi finder nulpunkterne i tælleren og nævneren, hvor vi i vores eksempel har, at nulpunkterne i nævneren x = ± 1 2

Nu skal du plotte punkterne på tallinjen og bestemme tegnet for den anden afledede fra hvert interval. Det forstår vi

Svar:

• funktionen er konveks fra intervallet - 1 2 ; 12;
• funktionen er konkav fra intervallerne - ∞; - 12 og 12; + ∞ .

Definition 4

Bøjningspunkt– dette er et punkt på formen x 0 ; f (x 0). Når den har en tangent til funktionens graf, så skifter funktionen fortegn til det modsatte, når den passerer gennem x 0.

Med andre ord er dette et punkt, hvorigennem den anden afledede passerer og skifter fortegn, og i selve punkterne er den lig med nul eller eksisterer ikke. Alle punkter anses for at være funktionens domæne.

I eksemplet var det tydeligt, at der ikke er nogen bøjningspunkter, da den anden afledede ændrer fortegn, mens den passerer gennem punkterne x = ± 1 2. De er til gengæld ikke omfattet af definitionens anvendelsesområde.

Find vandrette og skrå asymptoter

Når du definerer en funktion ved uendelig, skal du kigge efter vandrette og skrå asymptoter.

Definition 5

Skrå asymptoter er afbildet ved hjælp af rette linjer givet af ligningen y = k x + b, hvor k = lim x → ∞ f (x) x og b = lim x → ∞ f (x) - k x.

For k = 0 og b ikke lig med uendelig, finder vi, at den skrå asymptote bliver vandret.

Med andre ord anses asymptoter for at være linjer, som grafen for en funktion nærmer sig uendeligt. Dette letter hurtig konstruktion af en funktionsgraf.

Hvis der ikke er nogen asymptoter, men funktionen er defineret ved begge uendeligheder, er det nødvendigt at beregne grænsen for funktionen ved disse uendeligheder for at forstå, hvordan grafen for funktionen vil opføre sig.

Eksempel 6

Lad os betragte det som et eksempel

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

er en vandret asymptote. Efter at have undersøgt funktionen, kan du begynde at konstruere den.

Beregning af værdien af ​​en funktion ved mellemliggende punkter

For at gøre grafen mere nøjagtig, anbefales det at finde flere funktionsværdier på mellemliggende punkter.

Eksempel 7

Fra det eksempel, vi betragtede, er det nødvendigt at finde værdierne af funktionen i punkterne x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Da funktionen er lige, får vi, at værdierne falder sammen med værdierne på disse punkter, det vil sige, vi får x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Lad os skrive og løse:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

For at bestemme maksima og minima for funktionen, bøjningspunkter og mellempunkter er det nødvendigt at konstruere asymptoter. For praktisk betegnelse registreres intervaller for stigende, faldende, konveksitet og konkavitet. Lad os se på billedet nedenfor.

Det er nødvendigt at tegne graflinjer gennem de markerede punkter, som giver dig mulighed for at nærme dig asymptoterne ved at følge pilene.

Dette afslutter den fulde udforskning af funktionen. Der er tilfælde af at konstruere nogle elementære funktioner, som geometriske transformationer bruges til.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Studiet af en funktion udføres efter et overskueligt skema og kræver den studerende solid viden grundlæggende matematiske begreber som definitionsdomæne og værdier, kontinuitet af en funktion, asymptote, ekstremumpunkter, paritet, periodicitet osv. Eleven skal frit kunne differentiere funktioner og løse ligninger, som nogle gange kan være meget komplekse.

Det vil sige, at denne opgave tester et betydeligt lag af viden, ethvert hul i hvilket vil blive en hindring for at opnå den rigtige beslutning. Særligt ofte opstår der vanskeligheder med at konstruere grafer over funktioner. Denne fejl er umiddelbart mærkbar for læreren og kan i høj grad skade din karakter, selvom alt andet blev gjort korrekt. Her kan du finde online funktionsforskningsproblemer: studieeksempler, download løsninger, bestilling af opgaver.

Udforsk en funktion og plot en graf: eksempler og løsninger online

Vi har forberedt en masse færdige funktionsstudier til dig, både betalt i løsningsbogen og gratis i afsnittet Eksempler på funktionsstudier. Med udgangspunkt i disse løste opgaver vil du være i stand til at sætte dig detaljeret ind i metodikken til at udføre lignende opgaver, og udføre din research analogt.

Vi tilbyder færdige eksempler komplet undersøgelse og plotning af funktioner af de mest almindelige typer: polynomier, fraktioneret rationelle, irrationelle, eksponentielle, logaritmiske, trigonometriske funktioner. Hvert løst problem er ledsaget af en færdig graf med fremhævede nøglepunkter, asymptoter, maksima og minima; løsningen udføres ved hjælp af en algoritme til at studere funktionen.

Under alle omstændigheder vil de løste eksempler være til stor hjælp for dig, da de dækker over de mest populære typer funktioner. Vi tilbyder dig hundredvis af allerede løste problemer, men som du ved, matematiske funktioner der er et uendeligt antal i verden, og lærere er store eksperter i at opfinde flere og flere vanskelige opgaver for fattige elever. Så kære studerende, kvalificeret hjælp vil ikke skade jer.

Løsning af brugerdefinerede funktionsforskningsproblemer

I dette tilfælde vil vores partnere tilbyde dig en anden service - fuld funktionsforskning online at bestille. Opgaven vil blive udført for dig i overensstemmelse med alle kravene til en algoritme til løsning af sådanne problemer, hvilket vil glæde din lærer meget.

Vi vil lave en komplet undersøgelse af funktionen for dig: vi vil finde definitionsdomænet og værdiernes domæne, undersøge for kontinuitet og diskontinuitet, etablere paritet, kontrollere din funktion for periodicitet og finde skæringspunkterne med koordinatakserne . Og selvfølgelig videre med hjælpen differentialregning: vi finder asymptoter, beregner ekstrema, bøjningspunkter og konstruerer selve grafen.

En af differentialregningens vigtigste opgaver er udviklingen almindelige eksempler undersøgelser af funktionsadfærd.

Hvis funktionen y=f(x) er kontinuert på intervallet, og dens afledte er positiv eller lig med 0 på intervallet (a,b), så stiger y=f(x) med (f"(x)0) Hvis funktionen y=f (x) er kontinuert på segmentet, og dens afledede er negativ eller lig med 0 på intervallet (a,b), så falder y=f(x) med (f"(x)0 )

Intervaller, hvor funktionen ikke falder eller øges, kaldes intervaller for funktionens monotoni. En funktions monotonitet kan kun ændre sig på de punkter af dens definitionsdomæne, hvor tegnet for den første afledte ændres. De punkter, hvor den første afledede af en funktion forsvinder eller har en diskontinuitet, kaldes kritiske.

Sætning 1 (1 tilstrækkelig stand eksistensen af ​​et ekstremum).

Lad funktionen y=f(x) være defineret i punktet x 0 og lad der være et naboskab δ>0, således at funktionen er kontinuert på intervallet og differentierbar på intervallet (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , og dens afledte bevarer et konstant fortegn på hvert af disse intervaller. Så hvis på x 0 -δ,x 0) og (x 0, x 0 +δ) fortegnene for den afledte er forskellige, så er x 0 et ekstremumpunkt, og hvis de falder sammen, så er x 0 ikke et ekstremumpunkt . Desuden, hvis den afledte, når den passerer gennem punktet x0, skifter fortegn fra plus til minus (til venstre for x 0 f"(x)>0 er opfyldt, så er x 0 maksimumpunktet; hvis den afledede ændrer fortegn fra minus til plus (til højre for x 0 udført f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maksimums- og minimumspunkterne kaldes funktionens ekstremumpunkter, og funktionens maksimum- og minimumspunkter kaldes dens ekstreme værdier.

Sætning 2 (et nødvendigt tegn på et lokalt ekstremum).

Hvis funktionen y=f(x) har et ekstremum ved den aktuelle x=x 0, så eksisterer enten f'(x 0)=0 eller f'(x 0) ikke.
Ved yderpunkterne for den differentiable funktion er tangenten til dens graf parallel med Ox-aksen.

Algoritme til at studere en funktion for et ekstremum:

1) Find den afledede af funktionen.
2) Find kritiske punkter, dvs. punkter, hvor funktionen er kontinuert, og den afledede er nul eller ikke eksisterer.
3) Overvej naboskabet til hvert punkt, og undersøg fortegnet for den afledede til venstre og højre for dette punkt.
4) Bestem koordinaterne for yderpunkterne; for dette skal du erstatte værdierne for de kritiske punkter i denne funktion. Brug tilstrækkelige betingelser for ekstremumet, drag de passende konklusioner.

Eksempel 18. Undersøg funktionen y=x 3 -9x 2 +24x for et ekstremum

Løsning.
1) y"=3x2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Ligger den afledede til nul, finder vi x 1 =2, x 2 =4. I dette tilfælde er den afledte defineret overalt; Det betyder, at der udover de to fundne punkter ikke er andre kritiske punkter.
3) Tegnet for den afledte y"=3(x-2)(x-4) ændres afhængigt af intervallet som vist på figur 1. Når man passerer gennem punktet x=2, skifter den afledte fortegn fra plus til minus, og når man passerer gennem punktet x=4 - fra minus til plus.
4) I punktet x=2 har funktionen et maksimum y max =20, og i punktet x=4 - et minimum y min =16.

Sætning 3. (2. tilstrækkelig betingelse for eksistensen af ​​et ekstremum).

Lad f"(x 0) og ved punktet x 0 eksisterer f""(x 0). Så hvis f""(x 0)>0, så er x 0 minimumspunktet, og hvis f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

På et segment kan funktionen y=f(x) nå den mindste (y den mindste) eller den største (y den højeste) værdi enten på de kritiske punkter af funktionen, der ligger i intervallet (a;b), eller ved enderne af segmentet.

Algoritme til at finde de største og mindste værdier af en kontinuerlig funktion y=f(x) på segmentet:

1) Find f"(x).
2) Find de punkter, hvor f"(x)=0 eller f"(x) ikke findes, og vælg blandt dem dem, der ligger inde i segmentet.
3) Beregn værdien af ​​funktionen y=f(x) ved punkterne opnået i trin 2), såvel som i enderne af segmentet, og vælg den største og mindste fra dem: de er henholdsvis den største (y den største) og de mindste (y den mindste) værdier af funktionen på intervallet.

Eksempel 19. Find den største værdi af den kontinuerte funktion y=x 3 -3x 2 -45+225 på segmentet.

1) Vi har y"=3x 2 -6x-45 på segmentet
2) Den afledte y" findes for alle x. Lad os finde de punkter, hvor y"=0; vi får:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x1 = -3; x 2 = 5
3) Beregn værdien af ​​funktionen i punkterne x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Segmentet indeholder kun punktet x=5. Den største af funktionens fundne værdier er 225, og den mindste er tallet 50. Så y max = 225, y min = 50.

Undersøgelse af en funktion om konveksitet

Figuren viser grafer for to funktioner. Den første af dem er konveks opad, den anden er konveks nedad.

Funktionen y=f(x) er kontinuerlig på segmentet og differentierbar i intervallet (a;b), kaldes konveks opad (nedad) på dette segment, hvis dens graf for axb ikke ligger højere (ikke lavere) end tangent tegnet i ethvert punkt M 0 (x 0 ;f(x 0)), hvor axb.

Sætning 4. Lad funktionen y=f(x) have en anden afledet i et hvilket som helst indre punkt x i segmentet og være kontinuert i enderne af dette segment. Så hvis uligheden f""(x)0 holder på intervallet (a;b), så er funktionen konveks nedad på intervallet ; hvis uligheden f""(x)0 holder på intervallet (a;b), så er funktionen konveks opad på .

Sætning 5. Hvis funktionen y=f(x) har en anden afledet på intervallet (a;b), og hvis den skifter fortegn, når den passerer gennem punktet x 0, så er M(x 0 ;f(x 0)) et bøjningspunkt.

Regel for at finde bøjningspunkter:

1) Find de punkter, hvor f""(x) ikke eksisterer eller forsvinder.
2) Undersøg tegnet f""(x) til venstre og højre for hvert punkt fundet i det første trin.
3) Ud fra sætning 4, drag en konklusion.

Eksempel 20. Find ekstremumpunkterne og bøjningspunkterne for grafen for funktionen y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Vi har f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Det er klart, f"(x)=0, når x 1 =0, x 2 =1. Når den passerer gennem punktet x=0, skifter den afledte fortegn fra minus til plus, men når den passerer gennem punktet x=1, skifter den ikke fortegn. Det betyder, at x=0 er minimumspunktet (y min =12), og der er intet ekstremum i punktet x=1. Dernæst finder vi . Den anden afledede forsvinder i punkterne x 1 =1, x 2 =1/3. Fortegnene for den anden afledede ændres som følger: På strålen (-∞;) har vi f""(x)>0, på intervallet (;1) har vi f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Derfor er x= bøjningspunktet for funktionsgrafen (overgang fra konveksitet ned til konveksitet opad), og x=1 er også bøjningspunktet (overgang fra konveksitet opad til konveksitet nedad). Hvis x=, så y= ; hvis, så x=1, y=13.

Algoritme til at finde asymptoten af ​​en graf

I. Hvis y=f(x) som x → a, så er x=a en lodret asymptote.
II. Hvis y=f(x) som x → ∞ eller x → -∞, så er y=A en vandret asymptote.
III. For at finde den skrå asymptote bruger vi følgende algoritme:
1) Beregn . Hvis grænsen eksisterer og er lig med b, så er y=b en vandret asymptote; hvis , så gå til andet trin.
2) Beregn . Hvis denne grænse ikke eksisterer, så er der ingen asymptote; hvis den eksisterer og er lig med k, så gå til det tredje trin.
3) Beregn . Hvis denne grænse ikke eksisterer, så er der ingen asymptote; hvis den eksisterer og er lig med b, så gå til det fjerde trin.
4) Nedskriv ligningen for den skrå asymptote y=kx+b.

Eksempel 21: Find asymptoten for en funktion

1)
2)
3)
4) Ligningen for den skrå asymptote har formen

Skema til at studere en funktion og konstruere dens graf

I. Find definitionsdomænet for funktionen.
II. Find skæringspunkterne for funktionens graf med koordinatakserne.
III. Find asymptoter.
IV. Find mulige ekstremum punkter.
V. Find kritiske punkter.
VI. Brug hjælpefiguren til at udforske tegnet for den første og anden afledede. Bestem områder med stigende og faldende funktion, find grafens konveksitetsretning, ekstreme punkter og bøjningspunkter.
VII. Konstruer en graf under hensyntagen til forskningen udført i afsnit 1-6.

Eksempel 22: Konstruer en graf over funktionen i henhold til ovenstående diagram

Løsning.
I. En funktions domæne er mængden af ​​alle reelle tal undtagen x=1.
II. Da ligningen x 2 +1=0 ikke har nogen reelle rødder, har funktionens graf ingen skæringspunkter med Ox-aksen, men skærer Oy-aksen i punktet (0;-1).
III. Lad os afklare spørgsmålet om eksistensen af ​​asymptoter. Lad os studere opførselen af ​​funktionen nær diskontinuitetspunktet x=1. Da y → ∞ som x → -∞, y → +∞ som x → 1+, så er den rette linje x=1 den lodrette asymptote på grafen for funktionen.
Hvis x → +∞(x → -∞), så y → +∞(y → -∞); derfor har grafen ikke en vandret asymptote. Yderligere fra eksistensen af ​​grænser

Ved at løse ligningen x 2 -2x-1=0 får vi to mulige ekstremumpunkter:
x 1 =1-√2 og x 2 =1+√2

V. For at finde de kritiske punkter, beregner vi den anden afledede:

Da f""(x) ikke forsvinder, er der ingen kritiske punkter.
VI. Lad os undersøge fortegnet for den første og anden afledte. Mulige ekstremumpunkter, der skal tages i betragtning: x 1 =1-√2 og x 2 =1+√2, opdel funktionens eksistensdomæne i intervaller (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) og (1+√2;+∞).

I hvert af disse intervaller bevarer den afledte sit fortegn: i det første - plus, i det andet - minus, i det tredje - plus. Tegnsekvensen for den første afledede vil blive skrevet som følger: +,-,+.
Vi finder, at funktionen stiger ved (-∞;1-√2), falder ved (1-√2;1+√2), og stiger igen ved (1+√2;+∞). Ekstrempunkter: maksimum ved x=1-√2, og f(1-√2)=2-2√2 minimum ved x=1+√2, og f(1+√2)=2+2√2. Ved (-∞;1) er grafen konveks opad, og ved (1;+∞) er den konveks nedad.
VII Lad os lave en tabel over de opnåede værdier

VIII Ud fra de opnåede data konstruerer vi en skitse af grafen for funktionen

I denne artikel vil vi overveje et skema til at studere en funktion og også give eksempler på at studere ekstrema, monotoni og asymptoter for en given funktion.

Ordning

1. En funktions eksistensdomæne (DOA).
2. Funktionens skæringspunkt (hvis nogen) med koordinatakserne, funktionens tegn, paritet, periodicitet.
3. Brydepunkter (deres slags). Kontinuitet. Asymptoterne er lodrette.
4. Monotonicitet og ekstreme punkter.
5. Bøjningspunkter. Konveks.
6. Undersøgelse af en funktion ved uendelighed, for asymptoter: vandret og skrå.
7. Opbygning af en graf.

Monotonicitetstest

Sætning. Hvis funktionen g kontinuerlig på , differentieret ved (a; b) Og g'(x) ≥ 0 (g'(x)≤0), xє(a; b), At g stigende (faldende) med .

Eksempel:

y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x.

ODZ: xєR

y' = x 2 + 6x + 5.

Lad os finde intervallerne for konstante tegn y'. Fordi y' er en elementær funktion, så kan den kun ændre fortegn på punkter, hvor den bliver nul eller ikke eksisterer. Hendes ODZ: xєR.

Lad os finde de punkter, hvor den afledede er lig med 0 (nul):

y' = 0;

x = -1; -5.

Så, y vokser videre (-∞; -5] og på [-1; +∞), y nedadgående .

Forskning i ekstremer

T. x 0 kaldes maksimumpunktet (max) på sættet EN funktioner g når funktionen tager den største værdi på dette tidspunkt g(x 0) ≥ g(x), xєА.

T. x 0 kaldet minimumpunktet (min) af funktionen g på et sæt EN når funktionen tager den mindste værdi på dette tidspunkt g(x 0) ≤ g(x), xєА.

På sæt EN maksimum (max) og minimum (min) punkter kaldes ekstremum punkter g. Sådanne ekstremer kaldes også for absolutte ekstremer på settet .

Hvis x 0- ekstremumpunkt for funktionen g i nogle af dens distrikter altså x 0 kaldet punktet for lokalt eller lokalt ekstremum (max eller min) af funktionen g.

Sætning (nødvendig betingelse). Hvis x 0- ekstremumpunkt (lokalt) for funktionen g, så eksisterer den afledte ikke eller er lig med 0 (nul) i dette område.

Definition. Punkter med en ikke-eksisterende eller lig med 0 (nul) afledte kaldes kritiske. Det er disse punkter, der er mistænkelige for ekstremer.

Sætning (tilstrækkelig betingelse nr. 1). Hvis funktionen g sammenhængende i nogle distrikter dvs. x 0 og tegnet skifter gennem dette punkt under overgangen af ​​den afledede, så er dette punkt ekstremumpunktet g.

Sætning (tilstrækkelig betingelse nr. 2). Lad funktionen i nogle distrikter af punktet være differentierbar to gange og g' = 0, og g'' > 0 (g''< 0) , så dette punkt er punktet for maksimum (max) eller minimum (min) for funktionen.

Bule test

Funktionen kaldes nedad konveks (eller konkav) på intervallet (a, b) når grafen for funktionen ikke er placeret højere end sekanten på intervallet for enhver x med (a, b), som går gennem disse punkter .

Funktionen vil være konveks strengt nedad kl (a, b), hvis - grafen ligger under sekanten på intervallet.

Funktionen siges at være konveks opad (konveks) på intervallet (a, b), hvis for nogen t point Med (a, b) grafen for en funktion på intervallet ligger ikke lavere end sekanten, der passerer gennem abscissen i disse punkter .

Funktionen vil være strengt konveks opad med (a, b), hvis - grafen på intervallet ligger over sekantlinjen.

Hvis en funktion i et eller andet punkt distrikt kontinuerligt og igennem t. x 0 Ved overgang ændrer funktionen sin konveksitet, så kaldes dette punkt for funktionens bøjningspunkt.

Undersøgelse af asymptoter

Definition. Den rette linje kaldes en asymptote g(x), hvis et punkt i funktionens graf i en uendelig afstand fra koordinaternes oprindelse nærmer sig det: d(M,l).

Asymptoter kan være lodrette, vandrette og skrå.

Lodret linje med ligning x = x 0 vil være asymptoten af ​​den lodrette graf for funktionen g , hvis der er et uendeligt mellemrum ved punkt x 0, så er der mindst én venstre eller højre grænse på dette punkt - uendelig.

At studere en funktion på et segment for de mindste og største værdier

Hvis funktionen er kontinuerlig for , så er der ifølge Weierstrass-sætningen en maksimumværdi og en minimumsværdi på dette segment, det vil sige, at der er t briller der hører til sådan at g(x 1) ≤ g(x)< g(x 2), x 2 є . Fra sætningerne om monotoni og ekstrema får vi følgende skema til at studere en funktion på et interval for de mindste og største værdier.

Plan

1. Find den afledede g'(x).
2. Søgefunktionsværdi g på disse punkter og i enderne af segmentet.
3. Sammenlign de fundne værdier og vælg den mindste og største.

Kommentar. Hvis du skal studere en funktion på et begrænset interval (a, b), eller på uendelig (-∞; b); (-∞; +∞) på max- og min-værdier, så leder vi i planen, i stedet for funktionsværdierne i enderne af intervallet, efter de tilsvarende ensidige grænser: i stedet for f(a) leder efter f(a+) = limf(x), i stedet for f(b) leder efter f(-b). På denne måde kan du finde ODZ for en funktion på et interval, fordi absolutte ekstrema ikke nødvendigvis eksisterer i dette tilfælde.

Anvendelse af derivatet til løsning af anvendte problemer på yderpunktet af visse mængder

1. Udtryk denne størrelse i form af andre størrelser fra problemformuleringen, så den er en funktion af kun én variabel (hvis muligt).
2. Bestem ændringsintervallet for denne variabel.
3. Udfør en undersøgelse af funktionen på intervallet ved max og min værdier.

Opgave. Det er nødvendigt at bygge en rektangulær platform ved hjælp af en meter mesh mod væggen, så den på den ene side støder op til væggen, og på de tre andre er den indhegnet med et net. Ved hvilket billedformat vil arealet af en sådan platform være størst?

S = xy- funktion af 2 variable.

S = x(a - 2x)- funktion af den 1. variabel ; x є .

S = økse - 2x2; S" = a - 4x = 0, xєR, x = a: 4.

S(a: 4) = a 2:8- største værdi;

S(0) =0.

Lad os finde den anden side af rektanglet: på = a: 2.

Aspektforhold: y: x = 2.

Svar. Det største areal vil være lig med en 2/8, hvis den side, der er parallel med væggen, er 2 gange større end den anden side.

Funktionsstudie. Eksempler

Eksempel 1

Ledig y=x 3: (1-x) 2. Lav research.

1. ODZ: xє(-∞; 1) U (1; ∞).
2. En funktion af generel form (hverken lige eller ulige) er ikke symmetrisk i forhold til punkt 0 (nul).
3. Funktionsskilte. Funktionen er elementær, så den kan kun ændre fortegn på punkter, hvor den er lig med 0 (nul) eller ikke eksisterer.
4. Funktionen er elementær, derfor kontinuerlig på ODZ: (-∞; 1) U (1; ∞).

Gab: x = 1;

limx 3: (1- x) 2 = ∞- Diskontinuitet af 2. art (uendelig), derfor er der en lodret asymptote ved punkt 1;

x = 1- ligning af lodret asymptote.

5. y' = x 2 (3 - x): (1 - x) 3;

ODZ (y'): x ≠ 1;

x = 1- kritisk punkt.

y' = 0;

0; 3 - kritiske punkter.

6. y'' = 6x: (1 - x) 4;

Kritiske ting: 1, 0;

x = 0 - bøjningspunkt, y(0) = 0.

7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞- der er ingen vandret asymptote, men der kan være en skrå.

k = 1- nummer;

b = 2- nummer.

Derfor er der en skrå asymptote y = x + 2 ved + ∞ og ved - ∞.

Eksempel 2

Givet y = (x 2 + 1): (x - 1). Producere og forskning. Byg en graf.

1. Tilværelsens domæne er hele tallinjen, undtagen den såkaldte x = 1.

2. y krydser OY (hvis muligt) inkl. (0;g(0)). Vi finder y(0) = -1 - t. kryds OY .

Skæringspunkter for grafen med OKSE finder vi ved at løse ligningen y = 0. Ligningen har ingen reelle rødder, så denne funktion skærer ikke hinanden OKSE.

3. Funktionen er ikke-periodisk. Overvej udtrykket

g(-x) ≠ g(x), og g(-x) ≠ -g(x). Det betyder, at det er en generel funktion (hverken lige eller ulige).

4. T. x = 1 diskontinuiteten er af den anden art. På alle andre punkter er funktionen kontinuerlig.

5. Undersøgelse af en funktion for et ekstremum:

(x 2 - 2x - 1): (x - 1)2 = y"

og løse ligningen y" = 0.

Så, 1 - √2, 1 + √2, 1 - kritiske punkter eller punkter af muligt ekstremum. Disse punkter deler tallinjen i fire intervaller .

Ved hvert interval har den afledte et bestemt fortegn, som kan etableres ved hjælp af intervaller eller ved at beregne værdierne af den afledte på individuelle punkter. Med mellemrum (-∞; 1 - √2 ) U (1 + √2 ; ∞) , positiv afledt, hvilket betyder, at funktionen vokser; Hvis xє(1 - √2 ; 1) U(1; 1 + √2 ) , så falder funktionen, for på disse intervaller er den afledede negativ. Gennem t. x 1 under overgangen (bevægelsen følger fra venstre mod højre), ændres det afledte tegnet fra "+" til "-", derfor vil vi på dette tidspunkt finde et lokalt maksimum

y max = 2 - 2 √2 .

Når man passerer igennem x 2 den afledte skifter fortegn fra "-" til "+", derfor er der på dette tidspunkt et lokalt minimum, og

y mix = 2 + 2√2.

T. x = 1 ikke så ekstremt.

6. 4: (x - 1) 3 = y"".

På (-∞; 1 ) 0 > y"" følgelig er kurven i dette interval konveks; hvis xє (1 ; ∞) - kurven er konkav. I t punkt 1 funktionen er ikke defineret, så dette punkt er ikke et bøjningspunkt.

7. Det følger af resultaterne af stk. 4 x = 1- lodret asymptote af kurven.

Der er ingen vandrette asymptoter.

x + 1 = y - skrå asymptote af denne kurve. Der er ingen andre asymptoter.

8. Under hensyntagen til den udførte forskning bygger vi en graf (se figur ovenfor).

Referencepunkterne, når man studerer funktioner og konstruerer deres grafer, er karakteristiske punkter - diskontinuitetspunkter, ekstremum, bøjning, skæring med koordinatakser. Ved hjælp af differentialregning kan du etablere egenskaberændringer i funktioner: stigning og fald, maksimum og minimum, retning af konveksitet og konkavitet af grafen, tilstedeværelsen af ​​asymptoter.

En skitse af grafen for funktionen kan (og bør) tegnes efter at have fundet asymptoter og ekstremumpunkter, og det er praktisk at udfylde oversigtstabellen for undersøgelsen af ​​funktionen, efterhånden som undersøgelsen skrider frem.

Følgende funktionsstudieskema bruges normalt.

1.Find definitionsdomænet, kontinuitetsintervaller og brudpunkter for funktionen.

2.Undersøg funktionen for jævnhed eller ulighed (aksial eller central symmetri af grafen.

3.Find asymptoter (lodret, vandret eller skråt).

4.Find og undersøg intervallerne for stigning og fald af funktionen, dens ekstremumpunkter.

5.Find intervallerne for konveksitet og konkavitet af kurven, dens bøjningspunkter.

6.Find kurvens skæringspunkter med koordinatakserne, hvis de findes.

7.Lav en sammenfattende tabel over undersøgelsen.

8.En graf er konstrueret under hensyntagen til undersøgelsen af ​​funktionen udført i henhold til punkterne beskrevet ovenfor.

Eksempel. Funktionen Udforsk

og bygge dens graf.

7. Lad os sammensætte en oversigtstabel til at studere funktionen, hvor vi vil indtaste alle de karakteristiske punkter og intervallerne mellem dem. Under hensyntagen til funktionens paritet får vi følgende tabel: