Hvordan man finder roden til en ligning med ukendte. Ligning og dens rødder: definitioner, eksempler

27.09.2019

I algebra er der begrebet to typer ligheder - identiteter og ligninger. Identiteter er ligheder, der er gyldige for alle værdier af bogstaverne inkluderet i dem. Ligninger er også ligheder, men de er kun mulige for visse værdier af bogstaverne inkluderet i dem.

Ifølge problemets betingelser er bogstaver normalt ulige. Det betyder, at nogle af dem kan acceptere evt gyldige værdier, kaldet koefficienter (eller parametre), mens andre - de kaldes ukendte - antager værdier, der skal findes i løsningsprocessen. Som regel er ukendte mængder angivet i ligninger med de sidste bogstaver i (x.y.z osv.), eller med de samme bogstaver, men med et indeks (x 1, x 2 osv.), og kendte koefficienter - med de første bogstaver i det samme alfabet.

Ud fra antallet af ukendte skelnes der ligninger med en, to og flere ukendte. Således kaldes alle værdier af de ukendte, som ligningen, der løses, til en identitet for løsninger af ligningerne. En ligning kan betragtes som løst, hvis alle dens løsninger er fundet, eller det er bevist, at den ikke har nogen. Opgaven "løs en ligning" er almindelig i praksis og betyder, at du skal finde roden til ligningen.

Definition: rødderne til en ligning er de værdier af de ukendte fra det tilladte område, hvor ligningen, der løses, bliver til en identitet.

Algoritmen til at løse absolut alle ligninger er den samme, og dens betydning er at bruge matematiske transformationer til at bringe dette udtryk til et mere enkel udsigt.
Ligninger der har identiske rødder, i algebra kaldes ækvivalent.

Det enkleste eksempel: 7x-49=0, roden af ligningen x=7;
x-7=0, ligesom roden x=7, derfor er ligningerne ækvivalente. (I særlige tilfælde kan ækvivalente ligninger slet ikke have nogen rødder).

Hvis roden af en ligning samtidig er roden af en anden, enklere ligning opnået fra den oprindelige ligning gennem transformationer, så kaldes sidstnævnte en konsekvens af den foregående ligning.

Hvis en af to ligninger er en konsekvens af den anden, betragtes de som ækvivalente. De kaldes også ækvivalente. Ovenstående eksempel illustrerer dette.

Løsningen selv for de fleste simple ligninger i praksis volder det ofte vanskeligheder. Som et resultat af løsningen kan du få en rod af ligningen, to eller flere, endda et uendeligt tal - det afhænger af typen af ligninger. Der er også dem, der ikke har nogen rødder, de kaldes uløselige.

Eksempler:
1) 15x -20=10; x=2. Dette er den eneste rod i ligningen.
2) 7x - y=0. Ligningen har et uendeligt antal rødder, da hver variabel kan have et uendeligt antal værdier.
3) x 2 = - 16. Et tal hævet til anden potens giver altid et positivt resultat, så det er umuligt at finde roden til ligningen. Dette er en af de uløselige ligninger diskuteret ovenfor.

Rigtigheden af løsningen kontrolleres ved at erstatte de fundne rødder i stedet for bogstaverne og løse det resulterende eksempel. Hvis identiteten er opfyldt, er løsningen korrekt.

\(2x+1=x+4\) finder vi svaret: \(x=3\). Hvis du erstatter en tredobbelt i stedet for et X, får du de samme værdier til venstre og højre:

\(2x+1=x+4\)
\(2\cdot3+1=3+4\)
\(7=7\)

Og intet andet tal end tre vil give os en sådan ligestilling. Det betyder, at tallet \(3\) er den eneste rod af ligningen.

Endnu en gang: roden er IKKE X!X er en variabel , A rod er et tal , som gør ligningen til en ægte lighed (i eksemplet ovenfor, en treer). Og når vi løser ligninger, kigger vi efter dette ukendte tal (eller tal).

Eksempel : Er \(5\) roden af ligningen \(x^(2)-2x-15=0\)?
Løsning : Lad os erstatte \(5\) med X:

\(5^(2)-2\cdot5-15=0\)
\(25-10-15=0\)
\(0=0\)

På begge sider af lige er de samme værdier (nul), hvilket betyder, at 5 faktisk er en rod.

Mathak: På test kan du på denne måde kontrollere, om du har fundet rødderne rigtigt.

Eksempel : Hvilket af tallene \(0, \pm1, \pm2\) er roden af \(2x^(2)+15x+22=0\)?
Løsning : Lad os tjekke hvert af tallene ved substitution:

tjek \(0\):	\(2\cdot0^(2)+15\cdot0+22=0\)
	\(0+0+22=0\)
	\(22=0\) - det matchede ikke, hvilket betyder, at \(0\) ikke passer

tjek \(1\):	\(2\cdot1^(2)+15\cdot1+22=0\)
	\(2+15+22=0\)
	\(39=0\) - igen konvergerede det ikke, det vil sige, \(1\) er ikke en rod

tjek \(-1\):	\(2\cdot(-1)^(2)+15\cdot(-1)+22=0\)
	\(2-15+22=0\)
	\(9=0\) - igen er ligheden falsk, \(-1\) også af

tjek \(2\):	\(2\cdot2^(2)+15\cdot2+22=0\)
	\(2\cdot4+30+22=0\)
	\(60=0\) - og igen er det ikke det samme, \(2\) er heller ikke egnet

tjek \(-2\):	\(2\cdot(-2)^(2)+15\cdot(-2)+22=0\)
	\(2\cdot4-30+22=0\)
	\(0=0\) - konvergeret, hvilket betyder \(-2\) er roden af ligningen

Det er klart, at løsning af ligninger ved at prøve alle mulige værdier er vanvid, fordi der er et uendeligt antal tal. Det er derfor, de blev udviklet særlige metoder finde rødder. Så for eksempel for alene er nok, For – formler er allerede brugt osv. Hver ligningstype har sin egen metode.

Svar på ofte stillede spørgsmål

Spørgsmål: Kan roden af en ligning være nul?
Svar: Ja, sikkert. For eksempel har ligningen \(3x=0\) en enkelt rod - nul. Du kan tjekke ved substitution.

Spørgsmål: Hvornår har en ligning ingen rødder?
Svar: En ligning har muligvis ikke rødder, hvis der ikke er nogen værdier for x, der ville gøre ligningen til en sand lighed. Et slående eksempel der kan være en ligning \(0\cdot x=5\). Denne ligning har ingen rødder, da værdien af X ikke spiller nogen rolle her (pga. multiplikation med nul) - i hvert fald vil venstre side altid være lig nul. Og nul er ikke lig med fem. Det betyder, at der ikke er nogen rødder.

Spørgsmål: Hvordan opretter man en ligning, så roden af denne ligning er lig med et givet tal (for eksempel tre)?
Svar: vises senere.

Spørgsmål: Hvad betyder "find den mindre rod af ligningen"?
Svar: Det betyder, at du skal løse ligningen og angive dens mindre rod som svar. For eksempel har ligningen \(x^2-5x-6=0\) to rødder: \(x_1=-1\) og \(x_2=6\). Mindste rødder: \(-1\). Dette skal du skrive ned som svar. Hvis de spurgte om den større rod, så skulle de skrive \(6\).

Hvis der er to størrelser, og der er et lighedstegn mellem dem, så er dette et eksempel, der kaldes en ligning. Ved at beregne det ukendte finder vi ud af roden. For at afklassificere denne ukendte, bliver du nødt til at arbejde hårdt på beregningen.

Det bliver tydeligere, hvis vi tager højde for en specifik ligning: x+10=16-2x. Det er en lineær ligning dens frie medlemmer og det ukendte x udgør dets komponenter. Vi distribuerer disse komponenter i forskellige sider fra lighedstegnet. Nu har ligningen antaget følgende form: 2x + x = 16 – 10 eller 3x = 6; x = 2. Resultat: X = 2. Der skal lidt mere viden til for at beregne roden i eksemplet, hvor den krævede værdi er kvadreret. Denne ligning er kvadratisk, og dens forskel fra en lineær er, at der kan være 1 eller 2 resultater, eller det kan vise sig, at rødderne er 0. For bedre at forstå, lad os løse ligningen: X i anden omgang, ganget med 3 + 3X = 90. Vi gør det sådan, at der til højre blev dannet 0: X2 x 3 + 3X -90 = 0. Tallene foran X er koefficienterne 1, 3, 3. Definitionen af diskriminanten er påkrævet: kvadrat 3 - den anden koefficient og subtrahere produktet af 1 og 3. Som et resultat får vi 6 - hvilket betyder Når vi har gennemført beregningen, finder vi ud af, at denne ligning har 2 rødder. Hvis diskriminanten blev udtrykt som et negativt tal, ville det være det irrationelt at være sofistikeret i at beregne rødderne – de findes simpelthen ikke. Hvis D=0, er roden kun 1. Lad os nu lave beregningen for at bestemme disse 2 rødder. For at beregne 1 rod til den anden koefficient med fortegn skal du tilføje roden af D og dividere den med det dobbelte af den første koefficient: -3 + kvadratrod fra 16 divideres med 2. Du får 1/2. Beregningen af den anden er ens, kun vi trækker roden fra D. Resultatet er 3 hele og 1/2.

Den kubiske ligning er mere kompleks end den andengradsligning. Det ser sådan ud: x3-3x2-4x+20=0. Vi vælger et tal, som vi kan dividere det frie led med, så 0 vises til venstre for 20 er ±1, ±2, ±4, ±5, ± 10, ± 20. Det viser sig, at dette er en. divisor på 5, som også er en af de ønskede rødder. Det mangler at blive besluttet andengradsligning og alle rødderne er kendte.

Det er al visdommen. Der er ikke noget kompliceret, men for at gøre det meget enkelt, kan du bruge en online lommeregner.

Andengradsligninger studeres i 8. klasse, så der er ikke noget kompliceret her. Evnen til at løse dem er absolut nødvendig.

En andengradsligning er en ligning på formen ax 2 + bx + c = 0, hvor koefficienterne a, b og c er vilkårlige tal, og a ≠ 0.

Før du studerer specifikke løsningsmetoder, skal du bemærke, at alle andengradsligninger kan opdeles i tre klasser:

De har ingen rødder;
Har præcis én rod;
De har to forskellige rødder.

Dette er en vigtig forskel mellem andengradsligninger og lineære ligninger, hvor roden altid eksisterer og er unik. Hvordan bestemmer man, hvor mange rødder en ligning har? Der er en vidunderlig ting for dette - diskriminerende.

Diskriminerende

Lad andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0 gives. Så er diskriminanten simpelthen tallet D = b 2 − 4ac.

Du skal kende denne formel udenad. Hvor det kommer fra er ikke vigtigt nu. En anden ting er vigtig: Ved fortegnet for diskriminanten kan du bestemme, hvor mange rødder en andengradsligning har. Nemlig:

Hvis D< 0, корней нет;
Hvis D = 0, er der nøjagtig én rod;
Hvis D > 0, vil der være to rødder.

Bemærk venligst: diskriminanten angiver antallet af rødder og slet ikke deres tegn, som mange mennesker af en eller anden grund tror. Tag et kig på eksemplerne, og du vil selv forstå alt:

Opgave. Hvor mange rødder har andengradsligninger:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Lad os udskrive koefficienterne for den første ligning og finde diskriminanten:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Så diskriminanten er positiv, så ligningen har to forskellige rødder. Vi analyserer den anden ligning på lignende måde:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminanten er negativ, der er ingen rødder. Den sidste ligning tilbage er:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminanten er nul - roden vil være én.

Bemærk venligst, at der er nedskrevet koefficienter for hver ligning. Ja, det er langt, ja, det er kedeligt, men du vil ikke blande oddsene og lave dumme fejl. Vælg selv: hastighed eller kvalitet.

Forresten, hvis du får styr på det, behøver du efter et stykke tid ikke at skrive alle koefficienterne ned. Du vil udføre sådanne operationer i dit hoved. De fleste mennesker begynder at gøre dette et sted efter 50-70 løste ligninger - generelt ikke så meget.

Rødder af en andengradsligning

Lad os nu gå videre til selve løsningen. Hvis diskriminanten D > 0, kan rødderne findes ved hjælp af formlerne:

Grundformel for rødderne af en andengradsligning

Når D = 0, kan du bruge enhver af disse formler - du får det samme tal, som vil være svaret. Endelig, hvis D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Første ligning:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ligningen har to rødder. Lad os finde dem:

Anden ligning:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ligningen har igen to rødder. Lad os finde dem

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Til sidst den tredje ligning:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ligningen har én rod. Enhver formel kan bruges. For eksempel den første:

Som du kan se fra eksemplerne, er alt meget enkelt. Hvis du kender formlerne og kan tælle, vil der ikke være nogen problemer. Oftest opstår der fejl, når negative koefficienter indsættes i formlen. Her igen vil teknikken beskrevet ovenfor hjælpe: se på formlen bogstaveligt, skriv ned hvert trin - og meget snart vil du slippe af med fejl.

Ufuldstændige andengradsligninger

Det sker, at en andengradsligning er lidt anderledes end det, der er givet i definitionen. For eksempel:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Det er let at bemærke, at disse ligninger mangler et af begreberne. Sådanne andengradsligninger er endnu nemmere at løse end standardligninger: de kræver ikke engang beregning af diskriminanten. Så lad os introducere et nyt koncept:

Ligningen ax 2 + bx + c = 0 kaldes en ufuldstændig andengradsligning, hvis b = 0 eller c = 0, dvs. koefficienten for variablen x eller det frie element er lig med nul.

Selvfølgelig er det fuldstændig muligt alvorlig sag, når begge disse koefficienter er lig med nul: b = c = 0. I dette tilfælde har ligningen formen ax 2 = 0. Det er klart, at en sådan ligning har en enkelt rod: x = 0.

Lad os overveje de resterende tilfælde. Lad b = 0, så får vi en ufuldstændig andengradsligning på formen ax 2 + c = 0. Lad os transformere den lidt:

Da den aritmetiske kvadratrod kun eksisterer af et ikke-negativt tal, giver den sidste lighed kun mening for (−c /a) ≥ 0. Konklusion:

Hvis i en ufuldstændig andengradsligning af formen ax 2 + c = 0 er uligheden (−c /a) ≥ 0 opfyldt, vil der være to rødder. Formlen er givet ovenfor;
Hvis (-c /a)< 0, корней нет.

Som du kan se, var en diskriminant ikke påkrævet - der er ingen komplekse beregninger overhovedet i ufuldstændige andengradsligninger. Faktisk er det ikke engang nødvendigt at huske uligheden (−c /a) ≥ 0. Det er nok at udtrykke værdien x 2 og se, hvad der er på den anden side af lighedstegnet. Hvis der positivt tal- der bliver to rødder. Hvis det er negativt, vil der slet ikke være rødder.

Lad os nu se på ligninger med formen ax 2 + bx = 0, hvor det frie element er lig nul. Alt er enkelt her: Der vil altid være to rødder. Det er nok at faktorisere polynomiet:

At tage den fælles faktor ud af parentes

Produktet er nul, når mindst én af faktorerne er nul. Det er her rødderne kommer fra. Afslutningsvis, lad os se på et par af disse ligninger:

Opgave. Løs andengradsligninger:

x 2 - 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Der er ingen rødder, fordi et kvadrat kan ikke være lig med et negativt tal.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Ligninger i matematik er lige så vigtige som verber på russisk. Uden evnen til at finde roden til en ligning, er det svært at sige, at eleven har mestret algebrakurset. Derudover har hver type sine egne specialløsninger.

Hvad er det?

En ligning er to vilkårlige udtryk, der indeholder variable, mellem hvilke der er placeret et lighedstegn. Desuden kan antallet af ukendte mængder være vilkårligt. Minimum mængde- en.

At løse det betyder at finde ud af, om der er en rod til ligningen. Altså det tal, der gør det til en ægte ligestilling. Hvis der ikke er nogen, så er svaret udsagnet om, at "der er ingen rødder." Men det modsatte kan også være tilfældet, når svaret er et sæt tal.

Hvilke typer ligninger findes der?

Lineær. Den indeholder en variabel, hvis grad er lig med én.

Firkant. Variablen har en potens på 2, eller transformationer resulterer i fremkomsten af en sådan potens.
Ligning af højeste grad.
Fraktionel rationel. Når en variabel optræder i nævneren af en brøk.
Med modul.
Irrationel. Det vil sige en, der indeholder en algebraisk rod.

Hvordan løser man en lineær ligning?

Det er grundlæggende. Dette er det udseende, alle andre stræber efter at opnå. Da det er ret nemt at finde roden til ligningen.

Først skal du udføre mulige transformationer, det vil sige åbne beslagene og bringe lignende vilkår.
Flyt alle monomialer med variable værdier til venstre side af ligheden, og efterlad frie termer til højre.
Giv lignende udtryk i hver del af ligningen, der løses.
I den resulterende lighed vil venstre halvdel indeholde produktet af koefficienten og variablen, og den højre halvdel vil indeholde tallet.
Tilbage er at finde roden af ligningen ved at dividere tallet til højre med koefficienten foran det ukendte.

Hvordan finder man rødderne til en andengradsligning?

Først skal han bringes til standard visning, dvs. åbn alle parenteser, bring lignende udtryk og flyt alle monomialerne til venstre side. Der skal kun være nul tilbage på højre side af ligheden.

Brug diskriminantformlen. Kvadret koefficienten for det ukendte med potens "1". Multiplicer det frie monomial og tallet foran variablen i anden kvadrat med tallet 4. Træk produktet fra det resulterende kvadrat.
Estimer værdien af diskriminanten. Det er negativt - løsningen er komplet, da den ikke har nogen rødder. Lige med nul - svaret vil være ét tal. Positiv - variablen har to værdier.

Hvordan løser man en kubikligning?

Find først roden af ligningen x. Det bestemmes af metoden til udvælgelse fra tal, der er divisorer af det frie udtryk. Det er praktisk at overveje denne metode på konkret eksempel. Lad ligningen være: x 3 - 3x 2 - 4x + 12 = 0.

Dens dummy term er 12. Så vil de divisorer, der skal kontrolleres, være positive og negative tal: 1, 2, 3, 4, 6 og 12. Søgningen kan gennemføres allerede ved tallet 2. Det giver den korrekte lighed i ligningen. Det vil sige, at dens venstre side viser sig at være nul. Så tallet 2 er den første rod af den kubiske ligning.

Nu skal du dividere den oprindelige ligning med forskellen mellem variablen og den første rod. I det specifikke eksempel er det (x - 2). En simpel transformation fører tælleren til følgende faktorisering: (x - 2)(x + 2)(x - 3). De samme faktorer for tæller og nævner annullerer, og de resterende to parenteser, når de åbnes, giver en simpel andengradsligning: x 2 - x - 6 = 0.

Find her ligningens to rødder ved hjælp af princippet beskrevet i det foregående afsnit. De viser sig at være tal: 3 og -2.

I alt har en bestemt kubisk ligning tre rødder: 2, -2 og 3.

Hvordan løses lineære ligningssystemer?

En metode til at eliminere ukendte er foreslået her. Det består i at udtrykke en ukendt i form af en anden i en ligning og erstatte dette udtryk i en anden. Desuden er løsningen til et system af to ligninger med to ubekendte altid et par variable.

Hvis variablerne i dem er betegnet med bogstaverne x 1 og x 2, så er det muligt at udlede for eksempel x 2 fra den første lighed. Derefter erstattes den med den anden. Den nødvendige transformation udføres: åbning af beslagene og bringe lignende udtryk. Det viser sig simpelt lineær ligning, hvis rod er let at beregne.

Gå nu tilbage til den første ligning og find roden af ligningen x 2 ved hjælp af den resulterende ligning. Disse to tal er svaret.

For at være sikker på det modtagne svar, anbefales det altid at tjekke. Det skal ikke skrives ned.

Hvis en ligning bliver løst, skal hver af dens rødder erstattes med den oprindelige lighed og opnås samme tal i begge dens dele. Alt kom sammen - beslutningen var rigtig.

Når man arbejder med systemet, skal der indsættes rødder i hver løsning og det hele mulige handlinger. Er ligningen korrekt? Så beslutningen er korrekt.