Er at løse et ligningssystem. Systemer af lineære ligninger. Sådan løses systemer

Løs systemet med to ubekendte - det betyder at finde alle par af variable værdier, der opfylder hver af de givne ligninger. Hvert sådant par kaldes systemløsning.

Eksempel:
Værdiparret \(x=3\);\(y=-1\) er en løsning på det første system, fordi når disse treere og minus-en indsættes i systemet i stedet for \(x\) og \ (y\), vil begge ligninger blive til de korrekte ligheder \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( tilfælde)\)

Men \(x=1\); \(y=-2\) - er ikke en løsning på det første system, for efter substitution "konvergerer den anden ligning ikke" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

Bemærk, at sådanne par ofte skrives kortere: i stedet for "\(x=3\); \(y=-1\)" skriver de således: \((3;-1)\).

Hvordan løser man et system af lineære ligninger?

Der er tre hovedmåder at løse systemer på lineære ligninger:

1. Substitutionsmetode.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

Erstat det resulterende udtryk i stedet for denne variabel med en anden ligning af systemet.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

   I den anden ligning er hvert led lige, så vi forenkler ligningen ved at dividere den med \(2\).
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

   Dette system kan løses på en af ​​følgende måder, men det forekommer mig, at substitutionsmetoden er den mest bekvemme her. Lad os udtrykke y fra den anden ligning.
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Lad os erstatte \(6x-13\) i stedet for \(y\) i den første ligning.
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Den første ligning blev til en almindelig. Lad os løse det.

   Lad os først åbne parenteserne.
   

   \(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Lad os flytte \(117\) til højre og bringe lignende vilkår.

   \(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

   Lad os dividere begge sider af den første ligning med \(67\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   Hurra, vi fandt \(x\)! Lad os erstatte dens værdi i den anden ligning og finde \(y\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases) )\)

   Lad os skrive svaret ned.

Lektion og oplæg om emnet: "Ligningssystemer. Substitutionsmetode, additionsmetode, metode til at introducere en ny variabel"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Pædagogiske hjælpemidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 9. klasse
Simulator til lærebøger af Atanasyan L.S. Simulator til lærebøger Pogorelova A.V.

Metoder til løsning af ulighedssystemer

Gutter, vi har studeret ligningssystemer og lært at løse dem ved hjælp af grafer. Lad os nu se, hvilke andre måder at løse systemer på?
Næsten alle metoderne til at løse dem adskiller sig ikke fra dem, vi studerede i 7. klasse. Nu skal vi lave nogle justeringer i henhold til de ligninger, som vi har lært at løse.
Essensen af ​​alle metoder beskrevet i denne lektion, dette er erstatningen af ​​et system med et tilsvarende system med en enklere form og løsningsmetode. Gutter, husk hvad et tilsvarende system er.

Substitutionsmetode

Den første måde at løse ligningssystemer med to variable på er velkendt for os - dette er substitutionsmetoden. Vi brugte denne metode til at løse lineære ligninger. Lad os nu se, hvordan man løser ligninger i det generelle tilfælde?

Hvordan skal du gå videre, når du træffer en beslutning?
1. Udtryk en af ​​variablerne i form af en anden. De variabler, der oftest bruges i ligninger, er x og y. I en af ​​ligningerne udtrykker vi en variabel i form af en anden. Tip: Se omhyggeligt på begge ligninger, før du begynder at løse, og vælg den, hvor det er nemmere at udtrykke variablen.
2. Erstat det resulterende udtryk i den anden ligning i stedet for den variabel, der blev udtrykt.
3. Løs ligningen, vi fik.
4. Erstat den resulterende opløsning i den anden ligning. Hvis der er flere løsninger, skal du erstatte dem sekventielt for ikke at miste et par løsninger.
5. Som et resultat vil du modtage et talpar $(x;y)$, som skal skrives ned som svar.

Eksempel.
Løs et system med to variable ved hjælp af substitutionsmetoden: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Løsning.
Lad os se nærmere på vores ligninger. Det er klart, at udtrykke y i form af x i den første ligning er meget enklere.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Lad os erstatte det første udtryk i den anden ligning $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Lad os løse den anden ligning separat:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Vi fik to løsninger til den anden ligning $x_1=2$ og $x_2=3$.
Substituer sekventielt i den anden ligning.
Hvis $x=2$, så $y=3$. Hvis $x=3$, så $y=2$.
Svaret vil være to par tal.
Svar: $(2;3)$ og $(3;2)$.

Algebraisk additionsmetode

Vi studerede også denne metode i 7. klasse.
Det er kendt, at vi kan gange en rationel ligning i to variable med et hvilket som helst tal, ikke at glemme at gange begge sider af ligningen. Vi gangede en af ​​ligningerne med et vist tal, så når vi tilføjede den resulterende ligning til systemets anden ligning, blev en af ​​variablerne ødelagt. Så blev ligningen løst for den resterende variabel.
Denne metode virker stadig, selvom det ikke altid er muligt at ødelægge en af ​​variablerne. Men det giver dig mulighed for betydeligt at forenkle formen på en af ​​ligningerne.

Eksempel.
Løs systemet: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Løsning.
Lad os gange den første ligning med 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Lad os trække den anden fra den første ligning.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Som du kan se, er formen af ​​den resulterende ligning meget enklere end den oprindelige. Nu kan vi bruge substitutionsmetoden.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Lad os udtrykke x i form af y i den resulterende ligning.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Vi fik $y=-1$ og $y=-3$.
Lad os erstatte disse værdier sekventielt i den første ligning. Vi får to par tal: $(1;-1)$ og $(-1;-3)$.
Svar: $(1;-1)$ og $(-1;-3)$.

Metode til at introducere en ny variabel

Vi har også studeret denne metode, men lad os se på den igen.

Eksempel.
Løs systemet: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Løsning.
Lad os introducere erstatningen $t=\frac(x)(y)$.
Lad os omskrive den første ligning med en ny variabel: $t+\frac(2)(t)=3$.
Lad os løse den resulterende ligning:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Vi fik $t=2$ eller $t=1$. Lad os introducere den omvendte ændring $t=\frac(x)(y)$.
Vi fik: $x=2y$ og $x=y$.

For hvert af udtrykkene skal det oprindelige system løses separat:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Vi modtog fire par løsninger.
Svar: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Eksempel.
Løs systemet: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(cases)$.

Løsning.
Lad os introducere erstatningen: $z=\frac(2)(x-3y)$ og $t=\frac(3)(2x+y)$.
Lad os omskrive de oprindelige ligninger med nye variable:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Lad os bruge den algebraiske additionsmetode:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Lad os introducere den omvendte substitution:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Lad os bruge substitutionsmetoden:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Svar: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Problemer med ligningssystemer til uafhængig løsning

Løs systemer:
1. $\begin(cases)2x-2y=6,\\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ ende(tilfælde)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7) )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse E-mail etc.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, retssager og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra regerings kontorer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

I denne lektion vil vi se på metoder til løsning af et system af lineære ligninger. I et forløb med højere matematik kræves det, at systemer af lineære ligninger løses både i form af separate opgaver, for eksempel "Løs systemet ved hjælp af Cramers formler," og i løbet af løsningen af ​​andre problemer. Systemer af lineære ligninger skal behandles i næsten alle grene af højere matematik.

Først lidt teori. Hvad i I dette tilfælde står for det matematiske ord "lineær"? Det betyder, at systemets ligninger Alle variable inkluderet i første grad: uden nogen smarte ting som osv., som kun deltagere i matematiske olympiader er glade for.

I højere matematik For at udpege variabler bruges ikke kun bogstaver, der er kendt fra barndommen.
En ret populær mulighed er variabler med indekser: .
Eller begyndelsesbogstaver latinske alfabet, små og store:
Det er ikke så sjældent at finde græske bogstaver: – kendt for mange som "alfa, beta, gamma". Og også et sæt med indekser, for eksempel med bogstavet "mu":

Brugen af ​​et eller andet sæt bogstaver afhænger af det afsnit af højere matematik, hvor vi står over for et system af lineære ligninger. Så for eksempel i systemer af lineære ligninger, man støder på ved løsning af integraler og differentialligninger, er det traditionelt at bruge notationen

Men uanset hvordan variablerne betegnes, ændres principperne, metoderne og metoderne til løsning af et system af lineære ligninger ikke. Så hvis du støder på noget skræmmende som , så skynd dig ikke at lukke problembogen i frygt, du kan trods alt tegne solen i stedet for, en fugl i stedet for og et ansigt (læreren) i stedet for. Og hvor sjovt det end kan virke, kan et system af lineære ligninger med disse notationer også løses.

Jeg har en fornemmelse af, at artiklen bliver ret lang, så en lille indholdsfortegnelse. Så den sekventielle "debriefing" vil være sådan:

– Løsning af et system af lineære ligninger ved hjælp af substitutionsmetoden ("skolemetoden");
– Løsning af systemet ved led-for-led addition (subtraktion) af systemligningerne;
– Løsning af systemet ved hjælp af Cramers formler;
– Løsning af systemet ved hjælp af en invers matrix;
– Løsning af systemet ved hjælp af Gauss-metoden.

Alle kender til systemer af lineære ligninger fra skolematematikkurser. Grundlæggende starter vi med gentagelser.

Løsning af et system af lineære ligninger ved hjælp af substitutionsmetoden

Denne metode kan også kaldes "skolemetoden" eller metoden til at eliminere ukendte. Billedligt talt kan det også kaldes "en ufærdig Gaussisk metode."

Eksempel 1

Her får vi et system af to ligninger med to ubekendte. Bemærk, at de frie led (nummer 5 og 7) er placeret i venstre side af ligningen. Generelt set er det lige meget, hvor de er, til venstre eller til højre, det er bare, at i problemer i højere matematik er de ofte placeret på den måde. Og sådan en optagelse bør ikke føre til forvirring; om nødvendigt kan systemet altid skrives "som sædvanligt": . Glem ikke, at når du flytter et udtryk fra del til del, skal det ændre sit fortegn.

Hvad vil det sige at løse et system af lineære ligninger? At løse et ligningssystem betyder at finde mange af dets løsninger. Løsningen af ​​et system er et sæt værdier af alle variabler inkluderet i det, hvilket gør HVER ligning i systemet til en ægte lighed. Derudover kan systemet være ikke-fælles (har ingen løsninger).Bare rolig, det er det generel definition=) Vi vil kun have én værdi "x" og en værdi "y", som opfylder hver ligning c-we.

Der findes en grafisk metode til løsning af systemet, som du kan sætte dig ind i i klassen. De enkleste problemer med en linje. Der talte jeg om geometrisk sans systemer af to lineære ligninger med to ubekendte. Men nu er dette algebras æra, og tal-tal, handlinger-handlinger.

Lad os bestemme: fra den første ligning udtrykker vi:
Vi erstatter det resulterende udtryk i den anden ligning:

Vi åbner parenteserne, tilføjer lignende udtryk og finder værdien:

Dernæst husker vi, hvad vi dansede for:
Vi kender allerede værdien, det eneste der er tilbage er at finde:

Svar:

Efter at ethvert ligningssystem er blevet løst på NOGEN måde, anbefaler jeg kraftigt at tjekke (mundtligt, på en kladde eller på en lommeregner). Dette gøres heldigvis nemt og hurtigt.

1) Erstat det fundne svar i den første ligning:

– den korrekte ligestilling opnås.

2) Erstat det fundne svar med den anden ligning:

– den korrekte ligestilling opnås.

Eller, for at sige det mere enkelt, "alt kom sammen"

Den overvejede løsningsmetode er ikke den eneste; fra den første ligning var det muligt at udtrykke , og ikke .
Du kan gøre det modsatte - udtrykke noget fra den anden ligning og erstatte det med den første ligning. Bemærk i øvrigt, at den mest ugunstige af de fire metoder er at udtrykke fra den anden ligning:

Resultatet er fraktioner, men hvorfor? Der er en mere rationel løsning.

Men i nogle tilfælde kan du stadig ikke undvære fraktioner. I den forbindelse vil jeg gerne henlede din opmærksomhed på, HVORDAN jeg skrev udtrykket ned. Ikke sådan her: og i intet tilfælde sådan her: .

Hvis du i højere matematik har med at gøre brøktal, så prøv at udføre alle beregninger i almindelige uægte brøker.

Præcis, og ikke eller!

Et komma kan kun bruges nogle gange, især hvis det er det endelige svar på et eller andet problem, og der ikke skal udføres yderligere handlinger med dette nummer.

Mange læsere tænkte sikkert "hvorfor gøre det her? detaljeret forklaring, hvad angår en korrektionsklasse, og så er alt klart." Intet af den slags, det virker som sådan et simpelt skoleeksempel, men der er så mange MEGET vigtige konklusioner! Her er endnu en:

Du bør stræbe efter at udføre enhver opgave efter bedste evne. på en rationel måde . Om ikke andet fordi det sparer tid og nerver, og også mindsker sandsynligheden for at begå en fejl.

Hvis du i en opgave i højere matematik støder på et system af to lineære ligninger med to ubekendte, så kan du altid bruge substitutionsmetoden (medmindre det er angivet, at systemet skal løses ved en anden metode) Ikke en eneste lærer vil tror, ​​at du er en sludder og vil reducere din karakter for at bruge "skolemetoden" "
Desuden er det i nogle tilfælde tilrådeligt at bruge substitutionsmetoden med et større antal variable.

Eksempel 2

Løs et system af lineære ligninger med tre ubekendte

Et lignende ligningssystem opstår ofte ved brug af den såkaldte metode med ubestemte koefficienter, når vi finder integralet af en rationel brøkfunktion. Det pågældende system er taget derfra af mig.

Når man skal finde integralet, er målet hurtig find værdierne af koefficienterne, i stedet for at bruge Cramers formler, den inverse matrixmetode osv. Derfor er substitutionsmetoden i dette tilfælde passende.

Når ethvert ligningssystem er givet, er det først og fremmest ønskeligt at finde ud af, om det er muligt på en eller anden måde at forenkle det STRAKS? Ved at analysere systemets ligninger bemærker vi, at systemets anden ligning kan divideres med 2, hvilket er hvad vi gør:

Reference: det matematiske tegn betyder "af dette følger at" og bruges ofte i problemløsning.

Lad os nu analysere ligningerne; vi skal udtrykke en variabel i form af de andre. Hvilken ligning skal jeg vælge? Du har sikkert allerede gættet, at den nemmeste måde til dette formål er at tage den første ligning af systemet:

Her, uanset hvilken variabel man skal udtrykke, kunne man lige så nemt udtrykke eller .

Dernæst erstatter vi udtrykket i systemets anden og tredje ligning:

Vi åbner parenteserne og præsenterer lignende udtryk:

Divider den tredje ligning med 2:

Fra den anden ligning udtrykker og erstatter vi i den tredje ligning:

Næsten alt er klar, fra den tredje ligning finder vi:
Fra den anden ligning:
Fra den første ligning:

Tjek: Erstat de fundne værdier af variablerne i venstre side af hver ligning i systemet:

1)
2)
3)

De tilsvarende højre sider af ligningerne opnås, og dermed findes løsningen korrekt.

Eksempel 3

Løs et system af lineære ligninger med 4 ubekendte

Dette er et eksempel på selvstændig beslutning(svar i slutningen af ​​lektionen).

Løsning af systemet ved led-for-led addition (subtraktion) af systemligningerne

Når du løser systemer med lineære ligninger, bør du forsøge at bruge ikke "skolemetoden", men metoden til led-for-led addition (subtraktion) af systemets ligninger. Hvorfor? Dette sparer tid og forenkler beregningerne, men nu bliver alt mere klart.

Eksempel 4

Løs et system af lineære ligninger:

Jeg tog det samme system som i det første eksempel.
Ved at analysere ligningssystemet bemærker vi, at koefficienterne for variablen er identiske i størrelse og modsatte i fortegn (–1 og 1). I en sådan situation kan ligningerne tilføjes led for led:

Handlinger cirklet med rødt udføres MENTALT.
Som du kan se, mistede vi variablen som følge af term-for-term addition. Dette er faktisk hvad essensen af ​​metoden er at slippe af med en af ​​variablerne.

Mere pålidelig end den grafiske metode diskuteret i det foregående afsnit.

Substitutionsmetode

Vi brugte denne metode i 7. klasse til at løse lineære ligningssystemer. Algoritmen, der blev udviklet i 7. klasse, er ganske velegnet til at løse systemer af to vilkårlige ligninger (ikke nødvendigvis lineære) med to variable x og y (selvfølgelig kan variablerne betegnes med andre bogstaver, hvilket ikke betyder noget). Faktisk brugte vi denne algoritme i det foregående afsnit, da problemet med et tocifret tal førte til en matematisk model, som er et ligningssystem. Vi løste dette ligningssystem ovenfor ved hjælp af substitutionsmetoden (se eksempel 1 fra § 4).

En algoritme til brug af substitutionsmetoden ved løsning af et system af to ligninger med to variable x, y.

1. Udtryk y i form af x fra en af ​​systemets ligning.
2. Erstat det resulterende udtryk i stedet for y med en anden ligning af systemet.
3. Løs den resulterende ligning for x.
4. Erstat på skift hver af rødderne af ligningen fundet i det tredje trin i stedet for x med udtrykket y til x opnået i det første trin.
5. Skriv svaret i form af værdipar (x; y), som blev fundet i henholdsvis tredje og fjerde trin.

4) Erstat hver af de fundne værdier af y en efter en i formlen x = 5 - 3. Hvis så
5) Par (2; 1) og løsninger til et givet ligningssystem.

Svar: (2; 1);

Algebraisk additionsmetode

Denne metode, ligesom substitutionsmetoden, kender du fra 7. klasses algebrakursus, hvor den blev brugt til at løse lineære ligningssystemer. Lad os huske essensen af ​​metoden ved at bruge følgende eksempel.

Eksempel 2. Løs ligningssystem

Lad os gange alle led i systemets første ligning med 3, og lad den anden ligning være uændret:
Træk systemets anden ligning fra dets første ligning:

Som et resultat af den algebraiske tilføjelse af to ligninger af det oprindelige system blev der opnået en ligning, der var enklere end den første og anden ligning i det givne system. Med denne simplere ligning har vi ret til at erstatte enhver ligning for et givet system, for eksempel den anden. Så vil det givne ligningssystem blive erstattet af et enklere system:

Dette system kan løses ved hjælp af substitutionsmetoden. Ud fra den anden ligning finder vi. Ved at erstatte dette udtryk i stedet for y i systemets første ligning får vi

Det er tilbage at erstatte de fundne værdier af x i formlen

Hvis x = 2 så

Derfor fandt vi to løsninger til systemet:

Metode til at introducere nye variable

Du blev introduceret til metoden til at indføre en ny variabel ved løsning af rationelle ligninger med én variabel i 8. klasses algebrakursus. Essensen af ​​denne metode til løsning af ligningssystemer er den samme, men med teknisk punkt Der er nogle funktioner ved vision, som vi vil diskutere i de følgende eksempler.

Eksempel 3. Løs ligningssystem

Lad os introducere en ny variabel.Så kan systemets første ligning omskrives til en mere i simpel form: Lad os løse denne ligning for variablen t:

Begge disse værdier opfylder betingelsen og er derfor rødder rationel ligning med variabel t. Men det betyder enten hvor vi finder at x = 2y, eller
Ved at bruge metoden til at introducere en ny variabel, lykkedes det os at "stratificere" den første ligning af systemet, som var ret kompleks af udseende, til to enklere ligninger:

x = 2 y; y - 2x.

Hvad er det næste? Og så fik hver af de to simple ligninger skal betragtes en efter en i et system med ligningen x 2 - y 2 = 3, som vi endnu ikke har husket. Med andre ord kommer problemet ned til at løse to ligningssystemer:

Vi skal finde løsninger på det første system, det andet system og inkludere alle de resulterende værdipar i svaret. Lad os løse det første ligningssystem:

Lad os bruge substitutionsmetoden, især da alt er klar til det her: lad os erstatte udtrykket 2y i stedet for x i systemets anden ligning. Vi får

Da x = 2y finder vi henholdsvis x 1 = 2, x 2 = 2. Således opnås to løsninger af det givne system: (2; 1) og (-2; -1). Lad os løse det andet ligningssystem:

Lad os bruge substitutionsmetoden igen: indsæt udtrykket 2x i stedet for y i systemets anden ligning. Vi får

Denne ligning har ingen rødder, hvilket betyder, at ligningssystemet ikke har nogen løsninger. Det er således kun det første systems løsninger, der skal indgå i besvarelsen.

Svar: (2; 1); (-2;-1).

Metoden til at introducere nye variable ved løsning af systemer af to ligninger med to variable bruges i to versioner. Første mulighed: en ny variabel introduceres og bruges kun i én af systemets ligninger. Det er præcis, hvad der skete i eksempel 3. Anden mulighed: to nye variable introduceres og bruges samtidigt i begge systemets ligninger. Dette vil være tilfældet i eksempel 4.

Eksempel 4. Løs ligningssystem

Lad os introducere to nye variable:

Lad os så tage højde for det

Dette vil give dig mulighed for at omskrive det givne system i en meget enklere form, men med hensyn til de nye variable a og b:

Da a = 1, så finder vi fra ligningen a + 6 = 2: 1 + 6 = 2; 6=1. Med hensyn til variablerne a og b har vi således én løsning:

Vender vi tilbage til variablerne x og y, får vi et ligningssystem

Lad os anvende metoden til algebraisk addition til at løse dette system:

Siden da finder vi fra ligningen 2x + y = 3:
Med hensyn til variablerne x og y har vi således én løsning:

Lad os afslutte dette afsnit med en kort, men ret seriøs teoretisk samtale. Du har allerede fået en del erfaring med at løse forskellige ligninger: lineær, kvadratisk, rationel, irrationel. Du ved, at hovedideen med at løse en ligning er gradvist at flytte fra en ligning til en anden, enklere, men svarende til den givne. I det foregående afsnit introducerede vi begrebet ækvivalens for ligninger med to variable. Dette koncept bruges også til ligningssystemer.

Definition.

To ligningssystemer med variable x og y kaldes ækvivalente, hvis de har de samme løsninger, eller hvis begge systemer ikke har nogen løsninger.

Alle tre metoder (substitution, algebraisk addition og introduktion af nye variable), som vi diskuterede i dette afsnit, er helt korrekte ud fra et ækvivalenssynspunkt. Med andre ord, ved at bruge disse metoder erstatter vi et ligningssystem med et andet, enklere, men svarende til det oprindelige system.

Grafisk metode til løsning af ligningssystemer

Vi har allerede lært, hvordan man løser ligningssystemer på så almindelige og pålidelige måder som substitutionsmetoden, algebraisk addition og indførelse af nye variable. Lad os nu huske den metode, du allerede studerede i den forrige lektion. Det vil sige, lad os gentage, hvad du ved om grafisk metode løsninger.

Metoden til at løse ligningssystemer grafisk er konstruktionen af ​​en graf for hver af de specifikke ligninger, der indgår i et givet system og er i et koordinatplan, og også hvor det er nødvendigt at finde skæringspunkterne for disse grafers punkter. For at løse dette ligningssystem er koordinaterne til dette punkt (x; y).

Det skal huskes, at for grafik system ligninger har tendens til at have enten én enkelt den rigtige beslutning, enten et uendeligt antal løsninger, eller slet ingen løsninger.

Lad os nu se på hver af disse løsninger mere detaljeret. Og så kan et ligningssystem have en unik løsning, hvis linjerne, der er graferne for systemets ligninger, skærer hinanden. Hvis disse linjer er parallelle, så har et sådant ligningssystem absolut ingen løsninger. Hvis de direkte grafer for systemets ligninger falder sammen, så giver et sådant system mulighed for at finde mange løsninger.

Nå, lad os nu se på algoritmen til at løse et system af to ligninger med 2 ukendte ved hjælp af en grafisk metode:

Først bygger vi først en graf af 1. ligning;
Det andet trin vil være at konstruere en graf, der relaterer til den anden ligning;
For det tredje skal vi finde grafernes skæringspunkter.
Og som et resultat får vi koordinaterne for hvert skæringspunkt, som vil være løsningen på ligningssystemet.

Lad os se på denne metode mere detaljeret ved hjælp af et eksempel. Vi får et ligningssystem, der skal løses:

Løsning af ligninger

1. Først vil vi bygge en graf af denne ligning: x2+y2=9.

Men det skal bemærkes, at denne graf af ligningerne vil være en cirkel med et centrum ved oprindelsen, og dens radius vil være lig med tre.

2. Vores næste skridt vil være at tegne en ligning som: y = x – 3.

I dette tilfælde skal vi konstruere en ret linje og finde punkterne (0;−3) og (3;0).

3. Lad os se, hvad vi har. Vi ser, at den rette linje skærer cirklen i to af dens punkter A og B.

Nu leder vi efter koordinaterne for disse punkter. Vi ser, at koordinaterne (3;0) svarer til punkt A, og koordinaterne (0;−3) svarer til punkt B.

Og hvad får vi som resultat?

Tallene (3;0) og (0;−3) opnået, når linjen skærer cirklen, er netop løsningerne til begge systemets ligninger. Og heraf følger, at disse tal også er løsninger til dette ligningssystem.

Det vil sige, at svaret på denne løsning er tallene: (3;0) og (0;−3).