Simple logaritmiske ligninger eksempler. Logaritmiske ligninger

Vi er alle bekendt med ligninger primære klasser. Der lærte vi også at løse de simpleste eksempler, og vi må indrømme, at de finder deres anvendelse selv i højere matematik. Alt er enkelt med ligninger, inklusive andengradsligninger. Hvis du har problemer med dette emne, anbefaler vi stærkt, at du gennemgår det.

Du har sikkert også allerede gennemgået logaritmer. Vi anser det dog for vigtigt at fortælle, hvad det er for dem, der endnu ikke ved det. En logaritme er lig med den potens, som grundtallet skal hæves til for at få tallet til højre for logaritmetegnet. Lad os give et eksempel baseret på hvilket alt vil blive klart for dig.

Hvis du hæver 3 til fjerde potens, får du 81. Erstat nu tallene analogt, og du vil endelig forstå, hvordan logaritmer løses. Nu er der kun tilbage at kombinere de to diskuterede begreber. I første omgang virker situationen ekstremt kompliceret, men ved nærmere undersøgelse falder vægten på plads. Vi er sikre på, at du efter denne korte artikel ikke vil have problemer i denne del af Unified State-eksamenen.

I dag er der mange måder at løse sådanne strukturer på. Vi vil fortælle dig om den enkleste, mest effektive og mest anvendelige i tilfælde af Unified State Examination-opgaver. Løsning af logaritmiske ligninger skal starte helt fra begyndelsen. simpelt eksempel. Protozoer logaritmiske ligninger består af en funktion og en variabel i den.

Det er vigtigt at bemærke, at x er inde i argumentet. A og b skal være tal. I dette tilfælde kan du blot udtrykke funktionen i form af et tal til en potens. Det ser sådan ud.

Selvfølgelig vil løsning af en logaritmisk ligning ved hjælp af denne metode føre dig til det rigtige svar. Problemet for langt de fleste elever i denne sag er, at de ikke forstår, hvad der kommer fra hvor. Som følge heraf skal du finde dig i fejl og ikke få de ønskede point. Den mest stødende fejl vil være, hvis du blander bogstaverne. For at løse ligningen på denne måde skal du huske denne standardskoleformel, fordi den er svær at forstå.

For at gøre det lettere kan du ty til en anden metode - den kanoniske form. Ideen er ekstremt enkel. Vend din opmærksomhed tilbage til problemet. Husk at bogstavet a er et tal, ikke en funktion eller variabel. A er ikke lig med en og større end nul. Der er ingen begrænsninger på b. Lad os nu huske én af alle formlerne. B kan udtrykkes som følger.

Det følger af dette, at alle originale ligninger med logaritmer kan repræsenteres i formen:

Nu kan vi droppe logaritmerne. Det vil nok gå enkelt design, som vi allerede har set tidligere.

Bekvemmeligheden ved denne formel er, at den kan bruges mest forskellige sager, og ikke kun til de enkleste designs.

Du skal ikke bekymre dig om OOF!

Mange erfarne matematikere vil bemærke, at vi ikke har været opmærksomme på definitionsdomænet. Reglen bunder i, at F(x) nødvendigvis er større end 0. Nej, vi missede ikke dette punkt. Nu taler vi om en anden alvorlig fordel ved den kanoniske form.

Der bliver ingen ekstra rødder her. Hvis en variabel kun vises ét sted, er et omfang ikke nødvendigt. Det sker automatisk. For at bekræfte denne bedømmelse, prøv at løse flere simple eksempler.

Sådan løses logaritmiske ligninger med forskellige baser

Disse er allerede komplekse logaritmiske ligninger, og tilgangen til at løse dem skal være speciel. Her er det sjældent muligt at begrænse os til den notoriske kanoniske form. Lad os begynde vores detaljerede historie. Vi har følgende konstruktion.

Vær opmærksom på brøken. Den indeholder logaritmen. Hvis du ser dette i en opgave, er det værd at huske et interessant trick.

Hvad betyder det? Hver logaritme kan repræsenteres som kvotienten af ​​to logaritmer med en bekvem base. Og denne formel har et særligt tilfælde, der er anvendeligt med dette eksempel (vi mener, hvis c=b).

Det er præcis den brøkdel, vi ser i vores eksempel. Dermed.

I det væsentlige vendte vi brøken og fik et mere bekvemt udtryk. Husk denne algoritme!

Nu har vi brug for, at den logaritmiske ligning ikke indeholdt forskellige årsager. Lad os repræsentere grundtallet som en brøk.

I matematik er der en regel, der er baseret på, at man kan udlede en grad ud fra et grundlag. Følgende konstruktionsresultater.

Det ser ud til, at hvad forhindrer os i nu at omdanne vores udtryk til den kanoniske form og blot løse det? Ikke så simpelt. Der skal ikke være brøker før logaritmen. Lad os rette op på denne situation! Brøker er tilladt at blive brugt som grader.

Henholdsvis.

Hvis grundlerne er ens, kan vi fjerne logaritmerne og sidestille selve udtrykkene. På denne måde bliver situationen meget enklere, end den var. Hvad der vil være tilbage, er en elementær ligning, som hver af os vidste, hvordan man løser tilbage i 8. eller endda 7. klasse. Du kan selv lave beregningerne.

Vi har fået den eneste sande rod af denne logaritmiske ligning. Eksempler på løsning af en logaritmisk ligning er ret enkle, er de ikke? Nu vil du være i stand til at håndtere selv de sværeste problemer på egen hånd. komplekse opgaver for at forberede og bestå Unified State-eksamenen.

Hvad er resultatet?

I tilfælde af logaritmiske ligninger starter vi fra en meget vigtig regel. Det er nødvendigt at handle på en sådan måde at bringe udtrykket til det maksimale enkel udsigt. I dette tilfælde vil du have en bedre chance for ikke kun at løse opgaven korrekt, men også gøre den på den enkleste og mest logiske måde. Det er præcis sådan matematikere altid arbejder.

Vi anbefaler kraftigt ikke, at du leder efter svære veje, især i dette tilfælde. Husk et par stykker simple regler, som giver dig mulighed for at transformere ethvert udtryk. For eksempel reducere to eller tre logaritmer til den samme base eller udled en potens fra basen og vind på denne.

Det er også værd at huske på, at løsning af logaritmiske ligninger kræver konstant øvelse. Efterhånden vil du flytte til mere og mere komplekse strukturer, og dette vil føre dig til selvsikkert at løse alle varianter af problemer på Unified State Exam. Forbered dig i god tid til dine eksamener, og held og lykke!

Instruktioner

Skriv det givne logaritmiske udtryk. Hvis udtrykket bruger logaritmen af ​​10, forkortes dets notation og ser således ud: lg b er decimallogaritme. Hvis logaritmen har tallet e som grundtal, så skriv udtrykket: ln b – naturlig logaritme. Det er underforstået, at resultatet af enhver er den potens, som basistallet skal hæves til for at opnå tallet b.

Når du finder summen af ​​to funktioner, skal du blot differentiere dem en efter en og tilføje resultaterne: (u+v)" = u"+v";

Når man finder den afledede af produktet af to funktioner, er det nødvendigt at gange den afledede af den første funktion med den anden og tilføje den afledede af den anden funktion ganget med den første funktion: (u*v)" = u"*v +v"*u;

For at finde den afledte af kvotienten af ​​to funktioner, er det nødvendigt at trække produktet af den afledte af divisoren ganget med divisorfunktionen fra produktet af den afledte af divisoren ganget med funktionen af ​​divisoren, og dividere alt dette med divisorfunktionen i anden. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Hvis givet kompleks funktion, så er det nødvendigt at gange den afledte af den indre funktion og den afledede af den eksterne. Lad y=u(v(x)), derefter y"(x)=y"(u)*v"(x).

Ved hjælp af resultaterne opnået ovenfor kan du differentiere næsten enhver funktion. Så lad os se på et par eksempler:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Der er også problemer med at beregne den afledte på et punkt. Lad funktionen y=e^(x^2+6x+5) være givet, du skal finde værdien af ​​funktionen i punktet x=1.
1) Find den afledede af funktionen: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Beregn værdien af ​​funktionen i et givet punkt y"(1)=8*e^0=8

Video om emnet

Nyttige råd

Lær tabellen over elementære derivater. Dette vil spare tid betydeligt.

Kilder:

• afledet af en konstant

Så hvad er forskellen? ir rationel ligning fra det rationelle? Hvis den ukendte variabel er under tegnet kvadrat rod, så betragtes ligningen som irrationel.

Instruktioner

Den vigtigste metode til at løse sådanne ligninger er metoden til at konstruere begge sider ligninger ind i en firkant. Imidlertid. dette er naturligt, det første du skal gøre er at slippe af med skiltet. Denne metode er ikke teknisk vanskelig, men nogle gange kan det føre til problemer. For eksempel er ligningen v(2x-5)=v(4x-7). Ved at kvadrere begge sider får du 2x-5=4x-7. At løse en sådan ligning er ikke svært; x=1. Men tallet 1 vil ikke blive givet ligninger. Hvorfor? Erstat en i ligningen i stedet for værdien af ​​x. Og højre og venstre side vil indeholde udtryk, der ikke giver mening, dvs. Denne værdi er ikke gyldig for en kvadratrod. Derfor er 1 en uvedkommende rod, og derfor har denne ligning ingen rødder.

Så en irrationel ligning løses ved at bruge metoden til at kvadrere begge dens sider. Og efter at have løst ligningen, er det nødvendigt at afskære uvedkommende rødder. For at gøre dette skal du erstatte de fundne rødder i den oprindelige ligning.

Overvej en anden.
2х+vх-3=0
Selvfølgelig kan denne ligning løses ved hjælp af den samme ligning som den forrige. Flyt forbindelser ligninger, som ikke har en kvadratrod, til højre og brug derefter kvadratmetoden. løse den resulterende rationelle ligning og rødder. Men også en anden, mere elegant. Indtast en ny variabel; vх=y. Derfor vil du modtage en ligning på formen 2y2+y-3=0. Altså det sædvanlige andengradsligning. Find dens rødder; y1=1 og y2=-3/2. Løs derefter to ligninger vх=1; vх=-3/2. Den anden ligning har ingen rødder; fra den første finder vi, at x=1. Glem ikke at tjekke rødderne.

At løse identiteter er ret simpelt. For at gøre dette er det nødvendigt at udføre identiske transformationer, indtil det fastsatte mål er nået. Altså ved hjælp af de simpleste aritmetiske operationer opgaven bliver løst.

Du får brug for

• - papir;
• - pen.

Instruktioner

Den enkleste af sådanne transformationer er algebraiske forkortede multiplikationer (såsom kvadratet af summen (forskel), kvadratforskellen, sum (forskel), terning af summen (forskel)). Derudover er der mange og trigonometriske formler, som i det væsentlige er de samme identiteter.

Faktisk kvadratet af summen af ​​to led lig med kvadrat det første plus fordobler produktet af det første med det andet og plus kvadratet af det andet, det vil sige (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.

Forenkle begge dele

Generelle principper for løsningen

Gentag fra en lærebog om matematisk analyse eller højere matematik, hvad et bestemt integral er. Som bekendt er løsningen til et bestemt integral en funktion, hvis afledede vil give en integrand. Denne funktion kaldes antiderivat. Ud fra dette princip konstrueres hovedintegralerne.
Bestem ved integrandens form, hvilken af ​​tabelintegralerne der passer ind I dette tilfælde. Det er ikke altid muligt at fastslå dette med det samme. Ofte bliver tabelformen først mærkbar efter flere transformationer for at forenkle integranden.

Variabel udskiftningsmetode

Hvis integrand-funktionen er trigonometrisk funktion, hvis argument indeholder et eller andet polynomium, så prøv at bruge variabelerstatningsmetoden. For at gøre dette skal du erstatte polynomiet i integrandens argument med en ny variabel. Baseret på forholdet mellem de nye og gamle variable, bestemme de nye grænser for integration. Ved at differentiere dette udtryk, find den nye differentiale i . Så du får den nye slags af det foregående integral, tæt på eller endda svarende til et hvilket som helst tabelformet.

Løsning af integraler af anden art

Hvis integralet er et integral af den anden slags, en vektorform af integranden, så skal du bruge reglerne for overgangen fra disse integraler til skalære. En sådan regel er Ostrogradsky-Gauss-forholdet. Denne lov tillader os at bevæge os fra rotorfluxen af ​​en bestemt vektorfunktion til det tredobbelte integral over divergensen af ​​et givet vektorfelt.

Substitution af integrationsgrænser

Efter at have fundet antiderivatet, er det nødvendigt at erstatte grænserne for integration. Først skal du erstatte værdien af ​​den øvre grænse med udtrykket for antiderivatet. Du får et nummer. Derefter trækkes et andet tal fra den nedre grænse fra det resulterende tal til antiderivatet. Hvis en af ​​grænserne for integration er uendelighed, så når man erstatter den med antiderivat funktion det er nødvendigt at gå til grænsen og finde, hvad udtrykket stræber efter.
Hvis integralet er todimensionelt eller tredimensionelt, så bliver du nødt til at repræsentere grænserne for integration geometrisk for at forstå, hvordan man vurderer integralet. Faktisk, i tilfældet med f.eks. et tredimensionelt integral, kan grænserne for integration være hele planer, der begrænser det volumen, der integreres.

Eksempler:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Sådan løses logaritmiske ligninger:

Når du løser en logaritmisk ligning, bør du stræbe efter at transformere den til formen \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), og derefter foretage overgangen til \(f(x) )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Eksempel:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Løsning: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Undersøgelse:\(10>2\) - egnet til DL Svar:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Meget vigtigt! Denne overgang kan kun foretages, hvis:

Du har skrevet til den oprindelige ligning, og til sidst vil du kontrollere, om de fundne er inkluderet i DL. Hvis dette ikke gøres, kan der opstå ekstra rødder, hvilket betyder en forkert beslutning.

Tallet (eller udtrykket) til venstre og højre er det samme;

Logaritmerne til venstre og højre er "rene", det vil sige, at der ikke skal være multiplikationer, divisioner osv. – kun enkelte logaritmer på hver side af lighedstegnet.

For eksempel:

Bemærk, at ligning 3 og 4 let kan løses ved at anvende de nødvendige egenskaber for logaritmer.

Eksempel . Løs ligningen \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Løsning :

		Lad os skrive ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Til venstre foran logaritmen er koefficienten, til højre er summen af ​​logaritmerne. Dette generer os. Lad os flytte de to til eksponenten \(x\) ifølge egenskaben: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Lad os repræsentere summen af ​​logaritmer som én logaritme ifølge egenskaben: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Vi reducerede ligningen til formen \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) og skrev ODZ ned, hvilket betyder, at vi kan flytte til formen \(f(x) =g(x)\).
		skete. Vi løser det og får rødderne.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Vi tjekker, om rødderne er egnede til ODZ. For at gøre dette, i \(x>0\) i stedet for \(x\) erstatter vi \(5\) og \(-5\). Denne operation kan udføres oralt.
\(5>0\), \(-5>0\)		Den første ulighed er sand, den anden er ikke. Det betyder, at \(5\) er roden af ​​ligningen, men \(-5\) er det ikke. Vi skriver svaret ned.

Svar : \(5\)

Eksempel : Løs ligningen \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Løsning :

		Lad os skrive ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		En typisk ligning løst ved hjælp af . Erstat \(\log_2⁡x\) med \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Vi modtog den sædvanlige. Vi leder efter dens rødder.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		At lave en omvendt udskiftning
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Vi transformerer højresiderne og repræsenterer dem som logaritmer: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) og \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Nu er vores ligninger \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), og vi kan gå over til \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Vi kontrollerer korrespondancen af ​​rødderne til ODZ. For at gøre dette skal du erstatte \(4\) og \(2\) i uligheden \(x>0\) i stedet for \(x\).
\(4>0\) \(2>0\)		Begge uligheder er sande. Det betyder, at både \(4\) og \(2\) er rødder af ligningen.

Svar : \(4\); \(2\).

Logaritmiske ligninger. Vi fortsætter med at overveje problemer fra del B af Unified State Examination i matematik. Vi har allerede undersøgt løsninger på nogle ligninger i artiklerne "", "". I denne artikel vil vi se på logaritmiske ligninger. Jeg vil med det samme sige, at der ikke er nogen komplekse transformationer når man løser sådanne ligninger på Unified State Exam, vil der ikke være sådanne ligninger. De er simple.

Det er nok at kende og forstå den grundlæggende logaritmiske identitet, at kende logaritmens egenskaber. Bemærk venligst, at efter at have løst det, SKAL du foretage et tjek - indsæt den resulterende værdi i den oprindelige ligning og beregn, i sidste ende skulle du få den korrekte lighed.

Definition:

Logaritmen af ​​et tal til grundtal b er eksponenten,hvortil b skal hæves for at opnå a.

For eksempel:

Log 3 9 = 2, da 3 2 = 9

Egenskaber for logaritmer:

Særlige tilfælde af logaritmer:

Lad os løse problemer. I det første eksempel vil vi foretage en kontrol. I fremtiden, tjek det selv.

Find roden til ligningen: log 3 (4–x) = 4

Da log b a = x b x = a, så

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Undersøgelse:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Korrekt.

Svar: – 77

Bestem selv:

Find roden af ​​ligningen: log 2 (4 – x) = 7

Find roden af ​​ligningen log 5(4 + x) = 2

Vi bruger den grundlæggende logaritmiske identitet.

Da log a b = x b x = a, så

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Undersøgelse:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Korrekt.

Svar: 21

Find roden af ​​ligningen log 3 (14 – x) = log 3 5.

Følgende egenskab finder sted, dens betydning er som følger: hvis vi på venstre og højre side af ligningen har logaritmer med samme grundtal, så kan vi sidestille udtrykkene under logaritmernes fortegn.

14 – x = 5

x=9

Lav et tjek.

Svar: 9

Bestem selv:

Find roden af ​​ligningen log 5 (5 – x) = log 5 3.

Find roden til ligningen: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Hvis log c a = log c b, så er a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

Lav et tjek.

Svar: 6

Find roden af ​​ligningen log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Lav et tjek.

En lille tilføjelse - ejendommen er brugt her

grader ().

Svar: – 51

Bestem selv:

Find roden til ligningen: log 1/7 (7 – x) = – 2

Find roden af ​​ligningen log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Lad os forvandle højre side. Lad os bruge ejendommen:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Hvis log c a = log c b, så er a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Lav et tjek.

Svar: – 21

Bestem selv:

Find roden til ligningen: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Løs ligningen log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Hvis log c a = log c b, så er a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Lav et tjek.

Svar: 2,75

Bestem selv:

Find roden af ​​ligningen log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Løs ligningen log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Det er nødvendigt at få et udtryk for formen på højre side af ligningen:

log 2 (......)

Vi repræsenterer 1 som en base 2-logaritme:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Vi får:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Hvis log c a = log c b, så er a = b, så

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Lav et tjek.

Svar: 0,4

Bestem selv: Dernæst skal du løse andengradsligningen. I øvrigt,

rødderne er 6 og – 4.

rod "-4" er ikke en løsning, da logaritmens basis skal være større end nul, og med "– 4" er det lig med" – 5". Løsningen er rod 6.Lav et tjek.

Svar: 6.

R spis selv:

Løs ligningen log x –5 49 = 2. Hvis ligningen har mere end én rod, så svar med den mindste.

Som du har set, ingen komplicerede transformationer med logaritmiske ligningerIngen. Det er nok at kende logaritmens egenskaber og kunne anvende dem. I USE-problemer relateret til transformation af logaritmiske udtryk udføres mere seriøse transformationer, og der kræves mere dybtgående færdigheder i løsning. Vi vil se på sådanne eksempler, gå ikke glip af dem!Jeg ønsker dig succes!!!

Med venlig hilsen Alexander Krutitskikh.

P.S: Jeg ville være taknemmelig, hvis du fortæller mig om webstedet på sociale netværk.

Som du ved, når man multiplicerer udtryk med potenser, summeres deres eksponenter altid (a b *a c = a b+c). Denne matematiske lov blev udledt af Archimedes, og senere, i det 8. århundrede, skabte matematikeren Virasen en tabel med heltalseksponenter. Det var dem, der tjente til den videre opdagelse af logaritmer. Eksempler på brug af denne funktion kan findes næsten overalt, hvor du skal forenkle besværlig multiplikation ved simpel addition. Hvis du bruger 10 minutter på at læse denne artikel, vil vi forklare dig, hvad logaritmer er, og hvordan du arbejder med dem. I et enkelt og tilgængeligt sprog.

Definition i matematik

En logaritme er et udtryk af følgende form: log a b=c, dvs. logaritmen af ​​ethvert ikke-negativt tal (det vil sige ethvert positivt) "b" til dets grundtal "a" anses for at være potensen "c ”, hvortil grundtallet "a" skal hæves for i sidste ende at få værdien "b". Lad os analysere logaritmen ved hjælp af eksempler, lad os sige, at der er et udtryk log 2 8. Hvordan finder man svaret? Det er meget enkelt, du skal finde en potens, sådan at du fra 2 til den nødvendige effekt får 8. Efter at have lavet nogle beregninger i dit hoved, får vi tallet 3! Og det er sandt, fordi 2 i 3 potens giver svaret som 8.

Typer af logaritmer

For mange elever og studerende virker dette emne kompliceret og uforståeligt, men faktisk er logaritmer ikke så skræmmende, det vigtigste er at forstå deres generelle betydning og huske deres egenskaber og nogle regler. Der er tre separate typer logaritmiske udtryk:

1. Naturlig logaritme ln a, hvor grundtallet er Euler-tallet (e = 2,7).
2. Decimal a, hvor grundtallet er 10.
3. Logaritme af ethvert tal b til grundtal a>1.

Hver af dem er bestemt på en standard måde, som omfatter forenkling, reduktion og efterfølgende reduktion til én logaritme ved hjælp af logaritmiske sætninger. For at opnå de korrekte værdier af logaritmer skal du huske deres egenskaber og rækkefølgen af ​​handlinger, når du løser dem.

Regler og nogle restriktioner

I matematik er der flere regler-begrænsninger, der accepteres som et aksiom, det vil sige, at de ikke er genstand for diskussion og er sandheden. For eksempel er det umuligt at dividere tal med nul, og det er også umuligt at udtrække en lige rod fra negative tal. Logaritmer har også deres egne regler, hvorefter du nemt kan lære at arbejde selv med lange og rummelige logaritmiske udtryk:

• Grundtallet "a" skal altid være større end nul og ikke lig med 1, ellers vil udtrykket miste sin betydning, fordi "1" og "0" i enhver grad altid er lig med deres værdier;
• hvis a > 0, så a b >0, viser det sig, at "c" også skal være større end nul.

Hvordan løser man logaritmer?

For eksempel gives opgaven at finde svaret på ligningen 10 x = 100. Dette er meget nemt, du skal vælge en potens ved at hæve tallet ti, som vi får 100 til. Dette er selvfølgelig 10 2 = 100.

Lad os nu repræsentere dette udtryk i logaritmisk form. Vi får log 10 100 = 2. Når man løser logaritmer, konvergerer alle handlinger praktisk talt for at finde den potens, som det er nødvendigt at indtaste logaritmen til for at få et givet tal.

For nøjagtigt at bestemme værdien af ​​en ukendt grad, skal du lære at arbejde med en tabel med grader. Det ser sådan ud:

Som du kan se, kan nogle eksponenter gættes intuitivt, hvis du har et teknisk sind og viden om multiplikationstabellen. Dog for store værdier du skal bruge en tabel med grader. Det kan bruges selv af dem, der slet ikke ved noget om komplekse matematiske emner. Den venstre kolonne indeholder tal (grundlag a), den øverste række af tal er værdien af ​​potensen c, som tallet a er hævet til. I skæringspunktet indeholder cellerne de talværdier, der er svaret (a c =b). Lad os for eksempel tage den allerførste celle med tallet 10 og kvadrere det, vi får værdien 100, som er angivet i skæringspunktet mellem vores to celler. Alt er så enkelt og nemt, at selv den mest sande humanist vil forstå!

Ligninger og uligheder

Det viser sig, at eksponenten under visse betingelser er logaritmen. Derfor kan ethvert matematisk numerisk udtryk skrives som en logaritmisk lighed. For eksempel kan 3 4 =81 skrives som basis 3-logaritmen af ​​81 lig med fire (log 3 81 = 4). Til negative kræfter reglerne er de samme: 2 -5 = 1/32 vi skriver det som en logaritme, vi får log 2 (1/32) = -5. En af de mest fascinerende dele af matematik er emnet "logaritmer". Vi vil se på eksempler og løsninger på ligninger nedenfor, umiddelbart efter at have studeret deres egenskaber. Lad os nu se på, hvordan uligheder ser ud, og hvordan man skelner dem fra ligninger.

Følgende udtryk er givet: log 2 (x-1) > 3 - det er en logaritmisk ulighed, da den ukendte værdi "x" er under det logaritmiske fortegn. Og også i udtrykket sammenlignes to størrelser: logaritmen af ​​det ønskede tal til base to er større end tallet tre.

Den vigtigste forskel mellem logaritmiske ligninger og uligheder er, at ligninger med logaritmer (for eksempel logaritmen 2 x = √9) indebærer et eller flere specifikke svar. numeriske værdier, mens ulighederne ved løsning af defineres som regionen acceptable værdier, og brudpunkterne for denne funktion. Som en konsekvens er svaret ikke et simpelt sæt af individuelle tal, som i svaret på en ligning, men en kontinuerlig række eller sæt af tal.

Grundsætninger om logaritmer

Når du løser primitive opgaver med at finde værdierne af logaritmen, er dens egenskaber muligvis ikke kendt. Men når det kommer til logaritmiske ligninger eller uligheder, er det først og fremmest nødvendigt at forstå og anvende alle logaritmers grundlæggende egenskaber i praksis. Vi vil se på eksempler på ligninger senere; lad os først se på hver egenskab mere detaljeret.

1. Hovedidentiteten ser således ud: a logaB =B. Det gælder kun, når a er større end 0, ikke lig med en, og B er større end nul.
2. Produktets logaritme kan repræsenteres i følgende formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I dette tilfælde forudsætning er: d, s1 og s2 > 0; a≠1. Du kan give et bevis for denne logaritmiske formel med eksempler og løsning. Lad log a s 1 = f 1 og log a s 2 = f 2, så a f1 = s 1, a f2 = s 2. Vi opnår, at s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (egenskaber ved grader ), og så per definition: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, hvilket er det, der skulle bevises.
3. Logaritmen for kvotienten ser således ud: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Sætningen i form af en formel har følgende form: log a q b n = n/q log a b.

Denne formel kaldes "egenskaben for graden af ​​logaritme." Det ligner egenskaberne ved almindelige grader, og det er ikke overraskende, for al matematik er baseret på naturlige postulater. Lad os se på beviset.

Lad log a b = t, det viser sig a t =b. Hvis vi hæver begge dele til potensen m: a tn = b n ;

men da a tn = (a q) nt/q = b n, derfor log a q b n = (n*t)/t, så log a q b n = n/q log a b. Sætningen er blevet bevist.

Eksempler på problemer og uligheder

De mest almindelige typer problemer på logaritmer er eksempler på ligninger og uligheder. De findes i næsten alle opgavebøger og er også en obligatorisk del af matematikeksamener. For at komme ind på et universitet eller bestå optagelsesprøver i matematik skal du vide, hvordan du løser sådanne opgaver korrekt.

Desværre er der ingen enkelt plan eller skema til at løse og bestemme den ukendte værdi af logaritmen, men visse regler kan anvendes på hver matematisk ulighed eller logaritmisk ligning. Først og fremmest bør du finde ud af, om udtrykket kan forenkles eller føre til generelle udseende. Du kan forenkle lange logaritmiske udtryk, hvis du bruger deres egenskaber korrekt. Lad os lære dem hurtigt at kende.

Når vi løser logaritmiske ligninger, skal vi bestemme, hvilken type logaritme vi har: et eksempeludtryk kan indeholde en naturlig logaritme eller en decimal.

Her er eksempler på ln100, ln1026. Deres løsning bunder i, at de skal bestemme den effekt, som basen 10 vil være lig med henholdsvis 100 og 1026. For løsninger af naturlige logaritmer skal du anvende logaritmiske identiteter eller deres egenskaber. Lad os se på eksempler på løsning af logaritmiske problemer af forskellige typer.

Sådan bruges logaritmeformler: med eksempler og løsninger

Så lad os se på eksempler på brug af de grundlæggende sætninger om logaritmer.

1. Egenskaben for et produkts logaritme kan bruges i opgaver, hvor det er nødvendigt at udvide stor betydning tal b til enklere faktorer. For eksempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret er 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, lykkedes det ved hjælp af den fjerde egenskab af logaritmepotensen at løse et tilsyneladende komplekst og uløseligt udtryk. Du skal blot faktorisere basen og derefter tage eksponentværdierne ud af logaritmens fortegn.

Opgaver fra Unified State-eksamenen

Logaritmer findes ofte i adgangsprøver, især en masse logaritmiske problemer i Unified State Exam (statseksamen for alle skolekandidater). Disse opgaver er typisk ikke kun til stede i del A (den nemmeste testdel af eksamen), men også i del C (de mest komplekse og omfangsrige opgaver). Eksamen kræver nøjagtig og perfekt viden om emnet "Naturlige logaritmer".

Eksempler og løsninger på problemer er taget fra officielle Muligheder for Unified State Exam. Lad os se, hvordan sådanne opgaver løses.

Givet log 2 (2x-1) = 4. Løsning:
lad os omskrive udtrykket og simplificere det lidt log 2 (2x-1) = 2 2, ved definitionen af ​​logaritmen får vi at 2x-1 = 2 4, derfor 2x = 17; x = 8,5.

• Det er bedst at reducere alle logaritmer til samme base, så løsningen ikke bliver besværlig og forvirrende.
• Alle udtryk under logaritmetegnet er angivet som positive, og derfor, når eksponenten af ​​et udtryk, der er under logaritmetegnet, og som dets base tages ud som en multiplikator, skal det udtryk, der er tilbage under logaritmen, være positivt.