Hvordan finder man perioden, hvis amplituden er kendt. Oscillationsperiode: eksperimenter, formler, problemer

27.09.2019

Definition

Periode- dette er den minimale tid, i hvilken en komplet oscillerende bevægelse er fuldført.

Perioden er angivet med bogstavet $T$.

hvor $\Delta t$ er oscillationstiden; $N$ er antallet af komplette svingninger.

Ligning af svingninger af et fjederpendul

Lad os overveje det enkleste oscillerende system, hvori mekaniske vibrationer kan realiseres. Dette er en belastning med masse $m$ ophængt på en fjeder, hvis elasticitetskoefficient er lig med $k\ $ (fig. 1). Overvej lastens lodrette bevægelse, som er forårsaget af tyngdekraften og fjederens elastiske kraft. I en tilstand af ligevægt i et sådant system er den elastiske kraft lig med tyngdekraften. Svingninger af et fjederpendul opstår, når systemet bringes ud af ligevægt, for eksempel ved at strække fjederen lidt yderligere, hvorefter pendulet overlades til sig selv.

Lad os antage, at fjederens masse er lille i forhold til belastningens masse; vi vil ikke tage hensyn til det, når vi beskriver svingningerne. Udgangspunktet vil blive betragtet som punktet på koordinataksen (X), som falder sammen med belastningens ligevægtsposition. I denne position har fjederen allerede en forlængelse, som vi betegner med $b$. Strækningen af fjederen opstår på grund af tyngdekraftens virkning på belastningen, derfor:

Hvis belastningen yderligere forskydes, men Hookes lov stadig er opfyldt, bliver fjederens elastiske kraft lig med:

Vi skriver belastningens acceleration, idet vi husker, at bevægelsen sker langs X-aksen, som:

Newtons anden lov for belastning har formen:

Lad os tage hensyn til lighed (2), transformere formel (5) til formen:

Hvis vi introducerer notationen: $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$, så skriver vi vibrationsligningen som:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\venstre(7\højre),\]

hvor $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ er fjederpendulets cykliske svingningsfrekvens. Løsningen til ligning (7) (dette kan verificeres ved direkte substitution) er funktionen:

hvor $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ er den cykliske frekvens af svingninger af pendulet, $A$ er amplituden af svingninger; $((\omega )_0t+\varphi)$ - oscillationsfase; $\varphi $ og $(\varphi )_1$ er de indledende faser af oscillationer.

Formler for oscillationsperioden for et fjederpendul

Vi fandt ud af, at svingningerne af et fjederpendul er beskrevet af cosinus- eller sinusfunktionen. Disse er periodiske funktioner, hvilket betyder, at forskydningen $x$ vil tage lige store værdier med visse lige store tidsintervaller, som kaldes oscillationsperioden. Perioden er betegnet med bogstavet T.

En anden størrelse, der karakteriserer oscillationer, er den gensidige af oscillationsperioden, den kaldes frekvens ($\nu $):

Perioden er relateret til den cykliske frekvens af svingninger som:

Ovenfor opnåede vi for et fjederpendul $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$, derfor er oscillationsperioden for et fjederpendul lig med:

Formlen for svingningsperioden for et fjederpendul (11) viser, at $T$ afhænger af massen af den belastning, der er knyttet til fjederen og fjederens elasticitetskoefficient, men afhænger ikke af svingningsamplituden (A). Denne egenskab ved oscillationer kaldes isokroni. Isokroni gælder, så længe Hookes lov gælder. Med store strækninger af fjederen overtrædes Hookes lov, og der opstår en afhængighed af svingningerne af amplituden. Vi understreger, at formel (11) til beregning af svingningsperioden for et fjederpendul er gyldig for små svingninger.

Eksempler på problemer for oscillationsperioden

Eksempel 1

Dyrke motion. Et fjederpendul gennemførte 50 komplette svingninger på en tid på 10 s. Hvad er oscillationsperioden for et pendul? Hvad er frekvensen af disse svingninger?

Løsning. Da perioden er den minimale tid, der kræves for at pendulet skal fuldføre en komplet svingning, finder vi det som:

Lad os beregne perioden:

Frekvensen er den gensidige af perioden, derfor:

\[\nu =\frac(1)(T)\venstre(1.2\højre).\]

Lad os beregne oscillationsfrekvensen:

\[\nu =\frac(1)(0,2)=5\ \venstre(Hz\højre).\]

Svar.$1)\ T=0,2$ s; 2) 5Hz

Eksempel 2

Dyrke motion. To fjedre med elastiske koefficienter $k_1$ og $k_2$ er forbundet parallelt (fig. 2), og en belastning med masse $M$ er knyttet til systemet. Hvad er oscillationsperioden for det resulterende fjederpendul, hvis fjedrenes masser kan forsømmes, adlyder den elastiske kraft, der virker på belastningen, Hookes lov?

Løsning. Lad os bruge formlen til at beregne oscillationsperioden for et fjederpendul:

På parallel forbindelse fjedre, den resulterende stivhed af systemet findes som:

Det betyder, at vi i stedet for $k$ i formlen til beregning af perioden for et fjederpendul erstatter højre side af udtrykket (2.2), har vi:

Svar.$T=2\pi \sqrt(\frac(M)(k_1(+k)_2))$

Den vigtigste parameter, der karakteriserer mekaniske, lyd-, elektriske, elektromagnetiske og alle andre typer vibrationer er periode- den tid, i hvilken en fuldstændig svingning finder sted. Hvis f.eks. et urs pendul laver to komplette svingninger på 1 s, er perioden for hver svingning 0,5 s. Svingningsperioden for et stort sving er omkring 2 s, og svingningsperioden for en streng kan variere fra tiendedele til ti tusindedele af et sekund.

Figur 2.4 - Oscillation

Hvor: φ - oscillationsfase, jeg– strømstyrke, Ia– amplitudeværdi af strømstyrke (amplitude)

T– periode med aktuelle udsving (periode)

En anden parameter, der karakteriserer udsving er frekvens(fra ordet "ofte") - et tal, der viser, hvor mange komplette svingninger pr. sekund, der laves af et urpendul, et klingende legeme, en strøm i en leder osv. Hyppigheden af svingninger estimeres af en enhed kaldet hertz (forkortet Hz): 1 Hz er en svingning pr. sekund. Hvis for eksempel en klingende streng laver 440 komplette vibrationer på 1 s (samtidig med at den skaber tonen "A" i den tredje oktav), siges dens vibrationsfrekvens at være 440 Hz. Vekselstrømsfrekvensen for det elektriske belysningsnetværk er 50 Hz. Med denne strøm strømmer elektroner i netværkets ledninger skiftevis 50 gange i én retning og det samme antal gange i den modsatte retning inden for et sekund, dvs. udføre 50 komplette svingninger på 1 s.

Større frekvensenheder er kilohertz (skrevet kHz), lig med 1000 Hz, og megahertz (skrevet MHz), lig med 1000 kHz eller 1.000.000 Hz.

Amplitude- den maksimale værdi af forskydning eller ændring i en variabel under oscillerende eller bølgebevægelse. En ikke-negativ skalær størrelse, målt i enheder afhængigt af typen af bølge eller vibration.

Figur 2.5 - Sinusformet svingning.

Hvor, y- bølgeamplitude, λ - bølgelængde.

For eksempel:

amplitude for mekanisk vibration krop (vibration), for bølger på en snor eller fjeder - dette er afstanden og er skrevet i længdeenheder;

Amplituden af lydbølger og lydsignaler refererer normalt til amplituden af lufttrykket i bølgen, men beskrives nogle gange som amplituden af forskydningen i forhold til en ligevægt (luften eller højttalerens membran). Dens logaritme måles normalt i decibel (dB);

Til elektromagnetisk stråling amplituden svarer til størrelsen af de elektriske og magnetiske felter.

Formen for amplitudeændring kaldes kuvertbølge.

Lydvibrationer

Hvordan opstår lydbølger i luften? Luft består af partikler, der er usynlige for øjnene. Når vinden blæser, kan de bæres lange afstande. Men de kan også tøve. Hvis vi for eksempel laver en skarp bevægelse med en pind i luften, vil vi mærke et let vindstød og samtidig høre en svag lyd. Lyd dette er resultatet af vibrationer fra luftpartikler, der ophidses af stokkens vibrationer.

Lad os lave dette eksperiment. Lad os for eksempel trække i snoren til en guitar, og så slipper vi den. Snoren vil begynde at skælve - svinge rundt om sin oprindelige hvileposition. Ret stærke vibrationer af strengen er mærkbare for øjet. Svage vibrationer af strengen kan kun mærkes som en lille kildren, hvis du rører ved den med fingeren. Mens strengen vibrerer, hører vi lyd. Så snart strengen falder til ro, forsvinder lyden. Fødslen af lyd her er resultatet af kondensering og udskillelse af luftpartikler. Oscillerende fra side til side presser strengen, som om den presser, luftpartikler foran sig og danner områder i et vist volumen højt blodtryk, og bagved tværtimod områder med lavtryk. Det er, hvad det er lydbølger. Spredning i luften med en hastighed på omkring 340 m/s, bærer de en vis mængde energi. I det øjeblik, hvor området med øget tryk fra lydbølgen når øret, presser den på trommehinden og bøjer den lidt indad. Når det sarte område af lydbølgen når øret, bøjer trommehinden lidt udad. Trommehinden vibrerer konstant i takt med skiftende områder med øget og lavt blodtryk luft. Disse vibrationer overføres langs hørenerven til hjernen, og vi opfatter dem som lyd. Jo større amplitude af lydbølger, jo mere energi de bærer, jo højere lyd opfatter vi.

Lydbølger, ligesom vand eller elektriske vibrationer, er repræsenteret af en bølget linje - en sinusbølge. Dens pukler svarer til områder med højt tryk, og dens fordybninger svarer til områder med lavt lufttryk. Et område med højt tryk og et efterfølgende område med lavt tryk danner en lydbølge.

Ved frekvensen af vibrationer af en klingende krop kan man bedømme tonen eller tonehøjden af en lyd. Jo højere frekvens, jo højere tone i lyden, og omvendt, jo lavere frekvens, jo lavere er tone i lyden. Vores øre er i stand til at reagere på et relativt lille frekvensbånd (sektion) lydvibrationer - cirka 20 Hz til 20 kHz. Ikke desto mindre rummer dette frekvensbånd hele det brede spektrum af lyde skabt af den menneskelige stemme og et symfoniorkester: fra meget lave toner, der ligner lyden af en bille, der suser, til det knapt mærkelige høje knirken fra en myg. Oscillationsfrekvens op til 20 Hz, kaldet infralyd, Og over 20 kHz, kaldet ultralyd, vi hører ikke. Og hvis trommehinden i vores øre viste sig at være i stand til at reagere på ultralydsvibrationer, kunne vi så høre flagermusen, en delfins stemme. Delfiner udsender og hører ultralydsvibrationer med frekvenser op til 180 kHz.

Men man skal ikke forveksle højden, dvs. lydens tone med dens styrke. En lyds tonehøjde afhænger ikke af amplituden, men af frekvensen af vibrationer. En tyk og lang streng af et musikinstrument for eksempel skaber en lav tone af lyd, dvs. vibrerer langsommere end en tynd og kort streng, hvilket skaber en høj lyd (fig. 1).

Figur 2.6 - Lydbølger

Jo højere strengens vibrationsfrekvens er, jo kortere lydbølger og jo højere tonehøjde.

I elektro- og radioteknik bruges vekselstrømme med frekvenser fra flere hertz til tusindvis af gigahertz. Broadcast-radioantenner forsynes for eksempel af strømme med frekvenser fra ca. 150 kHz til 100 MHz.

Disse hurtigt skiftende vibrationer, kaldet radiofrekvensvibrationer, er midlerne, hvormed lyde transmitteres trådløst over lange afstande.

Hele det enorme udvalg af vekselstrømme er normalt opdelt i flere sektioner - underområder.

Strømme med en frekvens fra 20 Hz til 20 kHz, svarende til vibrationer, som vi opfatter som lyde af forskellige toner, kaldes strømme(eller udsving) lydfrekvens, og strømme med en frekvens over 20 kHz - ultralyds frekvensstrømme.

Strømme med en frekvens fra 100 kHz til 30 MHz kaldes højfrekvente strømme,

Strømme med frekvenser over 30 MHz - ultrahøje og ultrahøjfrekvente strømme.

Enhver periodisk gentagne bevægelse kaldes oscillerende. Derfor er afhængigheden af koordinaterne og hastigheden af en krop til tiden under svingninger beskrevet af periodiske funktioner i tiden. I skolens fysikkursus overvejes vibrationer, hvor kroppens afhængigheder og hastigheder er trigonometriske funktioner , eller en kombination heraf, hvor er et vist tal. Sådanne svingninger kaldes harmoniske (funktioner Og ofte kaldet harmoniske funktioner). For at løse problemer med svingninger, der er inkluderet i programmet for unified state-eksamen i fysik, skal du kende definitionerne af de vigtigste egenskaber ved oscillerende bevægelse: amplitude, periode, frekvens, cirkulær (eller cyklisk) frekvens og fase af svingninger. Lad os give disse definitioner og forbinde de anførte mængder med parametrene for kroppens koordinaters afhængighed til tiden, som i tilfælde af harmoniske svingninger altid kan repræsenteres i formen

hvor , og er nogle tal.

Amplituden af oscillationer er den maksimale afvigelse af et oscillerende legeme fra dets ligevægtsposition. Da de maksimale og minimale værdier af cosinus i (11.1) er lig med ±1, er amplituden af oscillation af kroppens oscillerende (11.1) lig med . Oscillationsperioden er den minimale tid, hvorefter en krops bevægelse gentages. For afhængighed (11.1) kan perioden fastsættes ud fra følgende betragtninger. Cosinus - periodisk funktion med periode. Derfor gentages bevægelsen fuldstændig gennem en sådan værdi, at . Herfra får vi

Den cirkulære (eller cykliske) frekvens af oscillationer er antallet af svingninger udført pr. tidsenhed. Ud fra formel (11.3) konkluderer vi, at den cirkulære frekvens er størrelsen fra formel (11.1).

Oscillationsfasen er argumentet for en trigonometrisk funktion, der beskriver koordinatens afhængighed af tid. Af formel (11.1) ser vi, at kroppens svingningers fase, hvis bevægelse er beskrevet ved afhængighed (11.1), er lig med . Værdien af oscillationsfasen på tidspunktet = 0 kaldes den indledende fase. For afhængighed (11.1) er den indledende fase af oscillationer lig med . Det er klart, at den indledende fase af oscillationer afhænger af valget af tidsreferencepunktet (moment = 0), som altid er betinget. Ved at ændre tidens oprindelse kan den indledende fase af svingninger altid "gøres" lig med nul, og sinusen i formlen (11.1) kan "vendes" til en cosinus eller omvendt.

Programmet for den unified state-eksamen inkluderer også viden om formler for frekvensen af svingninger af fjeder og matematiske penduler. Et fjederpendul kaldes normalt et legeme, der kan svinge på en glat vandret overflade under påvirkning af en fjeder, hvis anden ende er fastgjort (venstre figur). Et matematisk pendul er en massiv krop, hvis dimensioner kan forsømmes, svingende på en lang, vægtløs og uudvidelig tråd (højre figur). Navnet på dette system, "matematisk pendul", skyldes det faktum, at det repræsenterer et abstrakt matematisk model af ægte ( fysisk) pendul. Det er nødvendigt at huske formlerne for perioden (eller frekvensen) af svingninger af fjeder og matematiske penduler. Til et fjederpendul

hvor er længden af tråden, er tyngdeaccelerationen. Lad os overveje anvendelsen af disse definitioner og love ved at bruge eksemplet med problemløsning.

For at finde den cykliske frekvens af svingninger af belastningen i opgave 11.1.1 Lad os først finde oscillationsperioden og derefter bruge formlen (11.2). Da 10 m 28 s er 628 s, og i løbet af denne tid svinger belastningen 100 gange, er belastningens svingningsperiode 6,28 s. Derfor er den cykliske frekvens af oscillationer 1 s -1 (svar 2 ). I problem 11.1.2 belastningen lavede 60 svingninger på 600 s, så oscillationsfrekvensen er 0,1 s -1 (svar 1 ).

For at forstå afstanden vil lasten rejse i 2,5 perioder ( problem 11.1.3), lad os følge hans bevægelse. Efter en periode vil belastningen vende tilbage til punktet med maksimal afbøjning, hvilket afslutter en komplet svingning. Derfor, i løbet af denne tid lasten vil gå afstanden, lig med fire amplituder: til ligevægtspositionen - en amplitude, fra ligevægtspositionen til punktet med maksimal afvigelse i den anden retning - den anden, tilbage til ligevægtspositionen - den tredje, fra ligevægtspositionen til startpunktet - den fjerde. I den anden periode vil belastningen igen gå gennem fire amplituder, og i den resterende halvdel af perioden - to amplituder. Derfor er den tilbagelagte afstand lig med ti amplituder (svar 4 ).

Kroppens bevægelsesmængde er afstanden fra startpunktet til slutpunktet. Over 2,5 perioder i opgave 11.1.4 kroppen vil nå at gennemføre to hele og en halv hel svingning, dvs. vil være ved den maksimale afvigelse, men på den anden side af ligevægtspositionen. Derfor er størrelsen af forskydningen lig med to amplituder (svar 3 ).

Per definition er oscillationsfasen argumentet for en trigonometrisk funktion, der beskriver afhængigheden af et oscillerende legemes koordinater på tid. Derfor er det rigtige svar problem 11.1.5 - 3 .

En periode er tidspunktet for fuldstændig oscillation. Det betyder, at et legemes tilbagevenden til det samme punkt, hvorfra kroppen begyndte at bevæge sig, ikke betyder, at der er gået en periode: Kroppen skal vende tilbage til det samme punkt med samme hastighed. For eksempel vil et legeme, der har startet svingninger fra en ligevægtsposition, have tid til at afvige maksimalt i den ene retning, vende tilbage, afvige med et maksimum i den anden retning og vende tilbage igen. Derfor vil kroppen i løbet af perioden have tid til at afvige med den maksimale mængde fra ligevægtspositionen to gange og vende tilbage. Følgelig vil passagen fra ligevægtspositionen til punktet med maksimal afvigelse ( problem 11.1.6) kroppen bruger en fjerdedel af perioden (svar 3 ).

Harmoniske svingninger er dem, hvor afhængigheden af det oscillerende legemes koordinater af tid er beskrevet af en trigonometrisk (sinus eller cosinus) funktion af tiden. I opgave 11.1.7 disse er funktionerne og på trods af at parametrene i dem er betegnet som 2 og 2. Funktionen er en trigonometrisk funktion af tidens kvadrat. Derfor er vibrationer af kun mængder og harmoniske (svar 4 ).

På harmoniske vibrationer en krops hastighed ændres i henhold til loven , hvor er amplituden af hastighedsoscillationerne (tidsreferencepunktet er valgt således, at den indledende fase af svingningerne er lig nul). Herfra finder vi afhængigheden kinetisk energi kroppe fra tid til anden
(problem 11.1.8). Bruger yderligere kendt trigonometrisk formel, vi får

Af denne formel følger det, at et legemes kinetiske energi ændres under harmoniske svingninger også i henhold til den harmoniske lov, men med dobbelt frekvens (svar 2 ).

Bag forholdet mellem belastningens kinetiske energi og fjederens potentielle energi ( problem 11.1.9) er let at følge ud fra følgende betragtninger. Når kroppen afbøjes med den maksimale mængde fra ligevægtspositionen, er kroppens hastighed nul, og derfor er fjederens potentielle energi større end belastningens kinetiske energi. Tværtimod, når kroppen passerer gennem ligevægtspositionen, er fjederens potentielle energi nul, og derfor er den kinetiske energi større end den potentielle energi. Derfor sammenlignes den kinetiske og potentielle energi en gang mellem passagen af ligevægtspositionen og den maksimale afbøjning. Og da kroppen i løbet af en periode går fire gange fra ligevægtspositionen til den maksimale afbøjning eller tilbage, så sammenlignes den kinetiske energi af belastningen og fjederens potentielle energi med hinanden fire gange i perioden (svar 2 ).

Amplitude af hastighedsudsving ( opgave 11.1.10) er nemmest at finde ved hjælp af loven om energibevarelse. Ved punktet med maksimal afbøjning er energien i det oscillerende system lig med fjederens potentielle energi , hvor er fjederstivhedskoefficienten, er vibrationsamplituden. Når man passerer gennem ligevægtspositionen, er kroppens energi lig med den kinetiske energi , hvor er kroppens masse, er kroppens hastighed, når den passerer gennem ligevægtspositionen, som er maksimal hastighed krop i oscillationsprocessen og repræsenterer derfor amplituden af hastighedssvingningerne. At sidestille disse energier, finder vi

(svar 4 ).

Ud fra formel (11.5) konkluderer vi ( problem 11.2.2), at dens periode ikke afhænger af massen af et matematisk pendul, og med en stigning i længden med 4 gange øges svingningsperioden med 2 gange (svar 1 ).

Et ur er en oscillerende proces, der bruges til at måle tidsintervaller ( problem 11.2.3). Ordene "ur har travlt" betyder, at varigheden af denne proces er mindre, end den burde være. For at afklare disse ures fremskridt er det derfor nødvendigt at øge processens periode. Ifølge formel (11.5), for at øge svingningsperioden for et matematisk pendul, er det nødvendigt at øge dets længde (svar 3 ).

For at finde amplituden af oscillationer i problem 11.2.4, er det nødvendigt at repræsentere kroppens koordinaters afhængighed af tid i form af en enkelt trigonometrisk funktion. For den funktion, der er givet i betingelsen, kan dette gøres ved at indføre en ekstra vinkel. Multiplicere og dividere denne funktion med og ved at bruge formlen til at tilføje trigonometriske funktioner får vi

hvor er vinklen sådan at . Af denne formel følger det, at amplituden af kropssvingninger er (svar 4 ).

(lat. amplitude- størrelse) er den største afvigelse af et oscillerende legeme fra dets ligevægtsposition.

For et pendul er dette den maksimale afstand, som bolden bevæger sig væk fra sin ligevægtsposition (figur nedenfor). For svingninger med små amplituder kan en sådan afstand tages som længden af buen 01 eller 02 og længderne af disse segmenter.

Amplituden af svingninger måles i længdeenheder - meter, centimeter osv. På oscillationsgrafen er amplituden defineret som den maksimale (modulo) ordinat af den sinusformede kurve (se figuren nedenfor).

Oscillationsperiode.

Oscillationsperiode- dette er den korteste tidsperiode, hvorigennem et system, der oscillerer, vender tilbage til den samme tilstand, som det var i det indledende tidspunkt, valgt vilkårligt.

Med andre ord, oscillationsperioden ( T) er den tid, hvor en fuldstændig svingning finder sted. For eksempel, i figuren nedenfor, er dette den tid, det tager for pendulbobben at bevæge sig fra punktet længst til højre gennem ligevægtspunktet OM til det yderste venstre punkt og tilbage gennem punktet OM igen yderst til højre.

Over en hel svingningsperiode bevæger kroppen sig således en vej svarende til fire amplituder. Svingningsperioden måles i tidsenheder - sekunder, minutter osv. Svingningsperioden kan bestemmes ud fra en velkendt graf over svingninger (se figuren nedenfor).

Konceptet "oscillationsperiode" er strengt taget kun gyldigt, når værdierne af den oscillerende mængde gentages nøjagtigt efter en vis tidsperiode, dvs. for harmoniske svingninger. Dette begreb gælder dog også i tilfælde af tilnærmelsesvis gentagne mængder, f.eks dæmpede svingninger.

Oscillationsfrekvens.

Oscillationsfrekvens- dette er antallet af svingninger udført pr. tidsenhed, for eksempel på 1 s.

SI-enheden for frekvens er navngivet hertz(Hz) til ære for den tyske fysiker G. Hertz (1857-1894). Hvis oscillationsfrekvensen ( v) er lig med 1 Hz, betyder det, at der hvert sekund er én svingning. Hyppigheden og perioden for oscillationer er relateret af relationerne:

I oscillationsteorien bruger de også begrebet cyklisk, eller cirkulær frekvens ω . Det er relateret til den normale frekvens v og svingningsperiode T forhold: