Stjerne nyheder
Cosinus 2 x formel. Grundlæggende trigonometriske identiteter
Den enkleste løsning trigonometriske ligninger.
At løse trigonometriske ligninger af ethvert kompleksitetsniveau kommer i sidste ende ned til at løse de enkleste trigonometriske ligninger. Og i dette viser den trigonometriske cirkel sig igen at være den bedste assistent.
Lad os huske definitionerne af cosinus og sinus.
Cosinus for en vinkel er abscissen (det vil sige koordinaten langs aksen) af et punkt på enhedscirklen svarende til en rotation vha. givet vinkel.
En vinkels sinus er ordinaten (det vil sige koordinaten langs aksen) af et punkt på enhedscirklen svarende til en rotation gennem en given vinkel.
Den positive bevægelsesretning på den trigonometriske cirkel er mod uret. En rotation på 0 grader (eller 0 radianer) svarer til et punkt med koordinater (1;0)
Vi bruger disse definitioner til at løse simple trigonometriske ligninger.
1. Løs ligningen
Denne ligning er opfyldt af alle værdier af rotationsvinklen, der svarer til punkter på cirklen, hvis ordinat er lig med .
Lad os markere et punkt med ordinat på ordinataksen:
Tegn en vandret linje parallelt med x-aksen, indtil den skærer cirklen. Vi får to punkter, der ligger på cirklen og har en ordinat. Disse punkter svarer til rotationsvinkler i og radianer:
Hvis vi efterlader det punkt, der svarer til omdrejningsvinklen pr. radian, går rundt om en hel cirkel, så kommer vi til et punkt, der svarer til omdrejningsvinklen pr. radian og har samme ordinat. Det vil sige, at denne rotationsvinkel også opfylder vores ligning. Vi kan lave så mange "tomgange" som vi vil, og vende tilbage til det samme punkt, og alle disse vinkelværdier vil tilfredsstille vores ligning. Antallet af "tomgange" vil blive angivet med bogstavet (eller). Da vi kan lave disse omdrejninger i både positive og negative retninger, (eller) kan antage alle heltalsværdier.
Det vil sige, at den første række af løsninger til den oprindelige ligning har formen:
, , - sæt af heltal (1)
På samme måde har den anden serie af løsninger formen:
, Hvor , . (2)
Som du måske har gættet, er denne serie af løsninger baseret på det punkt på cirklen, der svarer til rotationsvinklen med .
Disse to serier af løsninger kan kombineres til én indgang:
Hvis vi tager (det vil sige endda) i denne post, så får vi den første række af løsninger.
Hvis vi tager (det vil sige ulige) i denne post, får vi den anden række af løsninger.
2. Lad os nu løse ligningen
Da dette er abscissen af et punkt på enhedscirklen opnået ved at rotere gennem en vinkel, markerer vi punktet med abscissen på aksen:
Tegn en lodret linje parallelt med aksen, indtil den skærer cirklen. Vi får to punkter, der ligger på cirklen og har en abscisse. Disse punkter svarer til rotationsvinkler i og radianer. Husk, at når vi bevæger os med uret, får vi en negativ rotationsvinkel:
Lad os skrive to rækker af løsninger ned:
,
,
(Vi kommer til det ønskede punkt ved at gå fra hovedcirklen, dvs.
Lad os kombinere disse to serier i én post:
3. Løs ligningen
Tangentlinjen går gennem punktet med koordinaterne (1,0) af enhedscirklen parallelt med OY-aksen
Lad os markere et punkt på det med en ordinat lig med 1 (vi leder efter tangenten af hvilke vinkler er lig med 1):
Lad os forbinde dette punkt med koordinaternes oprindelse med en lige linje og markere linjens skæringspunkter med enhedscirklen. Skæringspunkterne for den rette linje og cirklen svarer til rotationsvinklerne på og :
Da de punkter, der svarer til rotationsvinklerne, der opfylder vores ligning, ligger i en afstand af radianer fra hinanden, kan vi skrive løsningen på denne måde:
4. Løs ligningen
Linjen af cotangenser går gennem punktet med koordinaterne for enhedscirklen parallelt med aksen.
Lad os markere et punkt med abscisse -1 på linjen af cotangenter:
Lad os forbinde dette punkt med udgangspunktet for den rette linje og fortsætte det, indtil det skærer cirklen. Denne rette linje vil skære cirklen i punkter, der svarer til rotationsvinklerne i og radianer:
Da disse punkter er adskilt fra hinanden med en afstand lig med , kan vi skrive den generelle løsning af denne ligning som følger:
I de givne eksempler, der illustrerer løsningen af de enkleste trigonometriske ligninger, blev tabelværdier brugt trigonometriske funktioner.
Men hvis højre side af ligningen indeholder en ikke-tabelværdi, så erstatter vi værdien med den generelle løsning af ligningen:
SÆRLØSNINGER:
Lad os markere punkterne på cirklen, hvis ordinat er 0:
Lad os markere et enkelt punkt på cirklen, hvis ordinat er 1:
Lad os markere et enkelt punkt på cirklen, hvis ordinat er lig med -1:
Da det er sædvanligt at angive værdier tættest på nul, skriver vi løsningen som følger:
Lad os markere punkterne på cirklen, hvis abscisse er lig med 0:
5.
Lad os markere et enkelt punkt på cirklen, hvis abscisse er lig med 1:
Lad os markere et enkelt punkt på cirklen, hvis abscisse er lig med -1:
Og lidt mere komplekse eksempler:
1.
Sinus er lig med én, hvis argumentet er lig med
Argumentet for vores sinus er lig, så vi får:
Lad os dividere begge sider af ligheden med 3:
Svar:
2.
Cosinus er nul, hvis argumentet for cosinus er
Argumentet for vores cosinus er lig med , så vi får:
Lad os udtrykke , for at gøre dette flytter vi først til højre med det modsatte fortegn:
Lad os forenkle højre side:
Divider begge sider med -2:
Bemærk, at tegnet foran udtrykket ikke ændres, da k kan have en hvilken som helst heltalværdi.
Svar:
Og endelig se videolektionen "Valg af rødder i en trigonometrisk ligning ved hjælp af en trigonometrisk cirkel"
Dette afslutter vores samtale om løsning af simple trigonometriske ligninger. Næste gang vil vi tale om, hvordan man beslutter sig.
Relationerne mellem de grundlæggende trigonometriske funktioner - sinus, cosinus, tangent og cotangens - er givet trigonometriske formler. Og da der er ret mange forbindelser mellem trigonometriske funktioner, forklarer dette overfloden af trigonometriske formler. Nogle formler forbinder trigonometriske funktioner i samme vinkel, andre - funktioner af flere vinkler, andre - giver dig mulighed for at reducere graden, fjerde - udtrykker alle funktioner gennem tangenten til en halv vinkel osv.
I denne artikel vil vi i rækkefølge liste alle de grundlæggende trigonometriske formler, som er tilstrækkelige til at løse langt de fleste trigonometriske problemer. For at lette memorering og brug vil vi gruppere dem efter formål og indtaste dem i tabeller.
Sidenavigation.
Grundlæggende trigonometriske identiteter
Grundlæggende trigonometriske identiteter definere forholdet mellem sinus, cosinus, tangent og cotangens af en vinkel. De følger af definitionen af sinus, cosinus, tangent og cotangens, samt begrebet enhedscirklen. De giver dig mulighed for at udtrykke en trigonometrisk funktion i forhold til enhver anden.
For en detaljeret beskrivelse af disse trigonometriformler, deres afledning og eksempler på anvendelse, se artiklen.
Reduktionsformler
Reduktionsformler følger af egenskaberne for sinus, cosinus, tangent og cotangens, det vil sige, at de afspejler egenskaben periodicitet af trigonometriske funktioner, egenskaben symmetri samt egenskaben for forskydning med en given vinkel. Disse trigonometriske formler giver dig mulighed for at gå fra at arbejde med vilkårlige vinkler til at arbejde med vinkler fra nul til 90 grader.
Begrundelsen for disse formler, en mnemonisk regel for at huske dem og eksempler på deres anvendelse kan studeres i artiklen.
Tilføjelsesformler
Trigonometriske additionsformler vis, hvordan trigonometriske funktioner af summen eller forskellen af to vinkler udtrykkes i form af trigonometriske funktioner af disse vinkler. Disse formler tjener som grundlag for at udlede følgende trigonometriske formler.
Formler til dobbelt, tredobbelt osv. vinkel
Formler til dobbelt, tredobbelt osv. vinkel (de kaldes også multiple vinkelformler) viser, hvordan trigonometriske funktioner af dobbelt, tredobbelt osv. vinkler () er udtrykt i form af trigonometriske funktioner af en enkelt vinkel. Deres udledning er baseret på additionsformler.
Mere detaljeret information er samlet i artikelformlerne for dobbelt, tredobbelt osv. vinkel
Halvvinkelformler
Halvvinkelformler vis hvordan trigonometriske funktioner af en halv vinkel udtrykkes i form af cosinus af en hel vinkel. Disse trigonometriske formler følger af dobbeltvinkelformlerne.
Deres konklusion og eksempler på anvendelse kan findes i artiklen.
Gradreduktionsformler
Trigonometriske formler til at reducere grader har til formål at lette overgangen fra naturlige grader trigonometriske funktioner til sinus og cosinus i første grad, men flere vinkler. Med andre ord giver de dig mulighed for at reducere beføjelserne af trigonometriske funktioner til den første.
Formler for summen og forskellen af trigonometriske funktioner
Hovedformålet formler for summen og forskellen af trigonometriske funktioner er at gå til produktet af funktioner, hvilket er meget nyttigt, når man forenkler trigonometriske udtryk. Disse formler er også meget brugt til at løse trigonometriske ligninger, da de giver dig mulighed for at faktorisere summen og forskellen mellem sinus og cosinus.
Formler for produktet af sinus, cosinus og sinus for cosinus
Overgangen fra produktet af trigonometriske funktioner til en sum eller forskel udføres ved hjælp af formlerne for produktet af sinus, cosinus og sinus for cosinus.
Copyright af cleverstudents
Alle rettigheder forbeholdes.
Beskyttet af lov om ophavsret. Ingen del af www.site, inklusive indre materialer Og udvendigt design, må ikke gengives i nogen form eller bruges uden forudgående skriftlig tilladelse fra indehaveren af ophavsretten.
Begreberne sinus (), cosinus (), tangent (), cotangens () er uløseligt forbundet med begrebet vinkel. For at forstå disse godt ved første øjekast, komplekse begreber(som forårsager en tilstand af rædsel hos mange skolebørn), og for at sikre, at "djævelen ikke er så skræmmende, som han er malet", lad os starte helt fra begyndelsen og forstå begrebet en vinkel.
Vinkelkoncept: radian, grad
Lad os se på billedet. Vektoren har "vendt" i forhold til punktet med en vis mængde. Så målet for denne rotation i forhold til den oprindelige position vil være hjørne.
Hvad skal du ellers vide om begrebet vinkel? Nå, selvfølgelig, vinkelenheder!
Vinkel, i både geometri og trigonometri, kan måles i grader og radianer.
En vinkel på (én grad) kaldes midtervinkel i en cirkel, baseret på en cirkelbue lig med en del af cirklen. Hele cirklen består således af "stykker" af cirkelbuer, eller vinklen beskrevet af cirklen er ens.
Det vil sige, at figuren ovenfor viser en vinkel svarende til, det vil sige, at denne vinkel hviler på en cirkelbue på størrelse med omkredsen.
En vinkel i radianer er den centrale vinkel i en cirkel, der er omsluttet af en cirkulær bue, hvis længde er lig med cirklens radius. Nå, fandt du ud af det? Hvis ikke, så lad os finde ud af det ud fra tegningen.
Så figuren viser en vinkel lig med en radian, det vil sige, denne vinkel hviler på en cirkelbue, hvis længde er lig med radius af cirklen (længden er lig med længden eller radius er lig med længden af buen). Således beregnes buelængden ved formlen:
Hvor er den centrale vinkel i radianer.
Tja, ved at vide dette, kan du svare på, hvor mange radianer der er indeholdt i vinklen beskrevet af cirklen? Ja, til dette skal du huske formlen for omkreds. Her er hun:
Nå, lad os nu korrelere disse to formler og finde ud af, at vinklen beskrevet af cirklen er ens. Det vil sige, ved at korrelere værdien i grader og radianer, får vi det. Henholdsvis, . Som du kan se, er ordet "radian" i modsætning til "grader" udeladt, da måleenheden normalt fremgår tydeligt af sammenhængen.
Hvor mange radianer er der? Det er rigtigt!
Forstået? Så gå videre og ret det:
Har du vanskeligheder? Så se svar:
Ret trekant: sinus, cosinus, tangens, cotangens af vinklen
Så vi fandt ud af konceptet med en vinkel. Men hvad er sinus, cosinus, tangent og cotangens af en vinkel? Lad os finde ud af det. For at gøre dette vil en retvinklet trekant hjælpe os.
Hvad kaldes siderne i en retvinklet trekant? Det er rigtigt, hypotenusen og benene: hypotenusen er den side, der ligger modsat ret vinkel(i vores eksempel er dette siden); benene er de to resterende sider og (dem, der støder op til den rigtige vinkel), og hvis vi betragter benene i forhold til vinklen, så er benet det tilstødende ben, og benet er det modsatte. Så lad os nu besvare spørgsmålet: hvad er sinus, cosinus, tangent og cotangens af en vinkel?
Sinus af vinkel- dette er forholdet mellem det modsatte (fjerne) ben og hypotenusen.
I vores trekant.
Cosinus af vinkel- dette er forholdet mellem det tilstødende (tætte) ben og hypotenusen.
I vores trekant.
Tangent af vinklen- dette er forholdet mellem den modsatte (fjerne) side og den tilstødende (nære).
I vores trekant.
Cotangens af vinkel- dette er forholdet mellem det tilstødende (tætte) ben og det modsatte (fjern).
I vores trekant.
Disse definitioner er nødvendige Husk! For at gøre det nemmere at huske, hvilket ben du skal dele i hvad, skal du tydeligt forstå det i tangent Og cotangens kun benene sidder, og hypotenusen vises kun i bihule Og cosinus. Og så kan man komme med en kæde af associationer. For eksempel denne:
Cosinus→touch→touch→tilstødende;
Cotangens→touch→touch→tilstødende.
Først og fremmest skal du huske, at sinus, cosinus, tangens og cotangens, da forholdet mellem siderne i en trekant ikke afhænger af længden af disse sider (i samme vinkel). Tror ikke? Så sørg for at se på billedet:
Overvej for eksempel cosinus af en vinkel. Per definition ud fra en trekant: , men vi kan beregne cosinus af en vinkel ud fra en trekant: . Du kan se, længderne af siderne er forskellige, men værdien af cosinus af en vinkel er den samme. Værdierne for sinus, cosinus, tangens og cotangens afhænger således udelukkende af vinklens størrelse.
Hvis du forstår definitionerne, så gå videre og konsolider dem!
For trekanten vist i figuren nedenfor finder vi.
Nå, fik du det? Så prøv det selv: beregn det samme for vinklen.
Enhed (trigonometrisk) cirkel
For at forstå begreberne grader og radianer betragtede vi en cirkel med en radius lig med. Sådan en cirkel kaldes enkelt. Det vil være meget nyttigt, når du studerer trigonometri. Lad os derfor se lidt mere detaljeret på det.
Som du kan se, er denne cirkel konstrueret i det kartesiske koordinatsystem. Cirklens radius er lig med én, mens cirklens centrum ligger ved koordinaternes begyndelse, radiusvektorens begyndelsesposition er fast langs den positive retning af aksen (i vores eksempel er dette radius).
Hvert punkt på cirklen svarer til to tal: aksekoordinaten og aksekoordinaten. Hvad er disse koordinattal? Og generelt, hvad har de at gøre med det aktuelle emne? For at gøre dette skal vi huske på den betragtede retvinklede trekant. På figuren ovenfor kan du se to hele retvinklede trekanter. Overvej en trekant. Den er rektangulær, fordi den er vinkelret på aksen.
Hvad er trekanten lig med? Det er rigtigt. Derudover ved vi, at det er radius af enhedscirklen, hvilket betyder . Lad os erstatte denne værdi med vores formel for cosinus. Her er hvad der sker:
Hvad er trekanten lig med? Jamen selvfølgelig, ! Erstat radiusværdien i denne formel og få:
Så kan du fortælle, hvilke koordinater et punkt, der hører til en cirkel, har? Nå, ingen måde? Hvad hvis du indser det og kun er tal? Hvilken koordinat svarer det til? Nå, selvfølgelig, koordinaterne! Og hvilken koordinat svarer det til? Det er rigtigt, koordinater! Altså punktum.
Hvad er og lig med så? Det er rigtigt, lad os bruge de tilsvarende definitioner af tangent og cotangens og få det, en.
Hvad hvis vinklen er større? For eksempel, som på dette billede:
Hvad har ændret sig i dette eksempel? Lad os finde ud af det. For at gøre dette, lad os vende igen til en retvinklet trekant. Overvej en retvinklet trekant: vinkel (som støder op til en vinkel). Hvad er værdierne af sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel? Det er rigtigt, vi overholder de tilsvarende definitioner af trigonometriske funktioner:
Nå, som du kan se, svarer værdien af vinklens sinus stadig til koordinaten; værdien af vinklens cosinus - koordinaten; og værdierne af tangent og cotangens til de tilsvarende forhold. Disse relationer gælder således for enhver rotation af radiusvektoren.
Det er allerede blevet nævnt, at startpositionen af radiusvektoren er langs den positive retning af aksen. Indtil videre har vi roteret denne vektor mod uret, men hvad sker der, hvis vi roterer den med uret? Ikke noget ekstraordinært, du vil også få en vinkel med en vis værdi, men kun den vil være negativ. Når vi roterer radiusvektoren mod uret, får vi således positive vinkler, og når man drejer med uret - negativ.
Så vi ved, at en hel omdrejning af radiusvektoren omkring en cirkel er eller. Er det muligt at rotere radiusvektoren til eller til? Nå, selvfølgelig kan du det! I det første tilfælde vil radiusvektoren derfor lave en hel omdrejning og stoppe ved position eller.
I det andet tilfælde, det vil sige, vil radiusvektoren lave tre fulde omdrejninger og stoppe ved position eller.
Ud fra ovenstående eksempler kan vi således konkludere, at vinkler, der adskiller sig med eller (hvor er et hvilket som helst heltal) svarer til den samme position af radiusvektoren.
Nedenstående figur viser en vinkel. Det samme billede svarer til hjørnet osv. Denne liste kan fortsættes på ubestemt tid. Alle disse vinkler kan skrives med den generelle formel eller (hvor er et heltal)
Nu, ved at kende definitionerne af de grundlæggende trigonometriske funktioner og bruge enhedscirklen, prøv at svare på, hvad værdierne er:
Her er en enhedscirkel til at hjælpe dig:
Har du vanskeligheder? Så lad os finde ud af det. Så vi ved at:
Herfra bestemmer vi koordinaterne for de punkter, der svarer til bestemte vinkelmål. Nå, lad os starte i rækkefølge: vinklen ved svarer til et punkt med koordinater, derfor:
Eksisterer ikke;
Ydermere, ved at følge den samme logik, finder vi ud af, at hjørnerne i henholdsvis svarer til punkter med koordinater. Ved at vide dette er det let at bestemme værdierne af trigonometriske funktioner på de tilsvarende punkter. Prøv det selv først, og tjek derefter svarene.
Svar:
Eksisterer ikke
Eksisterer ikke
Eksisterer ikke
Eksisterer ikke
Derfor kan vi lave følgende tabel:
Der er ingen grund til at huske alle disse værdier. Det er nok at huske overensstemmelsen mellem koordinaterne af punkter på enhedscirklen og værdierne af trigonometriske funktioner:
Men værdierne af de trigonometriske funktioner af vinkler i og givet i tabellen nedenfor, skal huskes:
Vær ikke bange, nu viser vi dig et eksempel ret nemt at huske de tilsvarende værdier:
For at bruge denne metode er det vigtigt at huske værdierne af sinus for alle tre vinklemål (), såvel som værdien af vinklens tangent. Ved at kende disse værdier er det ret simpelt at gendanne hele bordet - cosinusværdierne overføres i overensstemmelse med pilene, det vil sige:
Ved at vide dette kan du gendanne værdierne for. Tælleren " " vil matche, og nævneren " " vil matche. Cotangensværdier overføres i overensstemmelse med pilene vist på figuren. Hvis du forstår dette og husker diagrammet med pilene, så vil det være nok at huske alle værdierne fra tabellen.
Koordinater for et punkt på en cirkel
Er det muligt at finde et punkt (dets koordinater) på en cirkel, at kende koordinaterne for cirklens centrum, dens radius og rotationsvinkel?
Nå, selvfølgelig kan du det! Lad os få det ud generel formel at finde koordinaterne for et punkt.
For eksempel, her er en cirkel foran os:
Vi får, at punktet er cirklens centrum. Cirklens radius er lig. Det er nødvendigt at finde koordinaterne for et punkt opnået ved at rotere punktet grader.
Som det kan ses af figuren, svarer punktets koordinat til segmentets længde. Længden af segmentet svarer til koordinaten for midten af cirklen, det vil sige, at den er ens. Længden af et segment kan udtrykkes ved hjælp af definitionen af cosinus:
Så har vi det for punktkoordinaten.
Ved at bruge den samme logik finder vi y-koordinatværdien for punktet. Dermed,
Så i generel opfattelse koordinater af punkter bestemmes af formlerne:
Koordinater for centrum af cirklen,
Cirkel radius,
Rotationsvinklen for vektorradius.
Som du kan se, for enhedscirklen, vi overvejer, er disse formler reduceret betydeligt, da koordinaterne for centrum er lig med nul og radius er lig med en:
Nå, lad os prøve disse formler ved at øve os i at finde punkter på en cirkel?
1. Find koordinaterne for et punkt på enhedscirklen opnået ved at dreje punktet videre.
2. Find koordinaterne for et punkt på enhedscirklen opnået ved at dreje punktet videre.
3. Find koordinaterne for et punkt på enhedscirklen opnået ved at dreje punktet videre.
4. Punktet er midten af cirklen. Cirklens radius er lig. Det er nødvendigt at finde koordinaterne for punktet opnået ved at rotere den indledende radiusvektor med.
5. Punktet er midten af cirklen. Cirklens radius er lig. Det er nødvendigt at finde koordinaterne for punktet opnået ved at rotere den indledende radiusvektor med.
Har du problemer med at finde koordinaterne til et punkt på en cirkel?
Løs disse fem eksempler (eller bliv god til at løse dem), så lærer du at finde dem!
1.
Det kan du mærke. Men vi ved, hvad der svarer til en fuld revolution af udgangspunktet. Således vil det ønskede punkt være i samme position, som når man drejer til. Ved at vide dette finder vi de nødvendige koordinater for punktet:
2. Enhedscirklen er centreret i et punkt, hvilket betyder, at vi kan bruge forenklede formler:
Det kan du mærke. Vi ved, hvad der svarer til to fulde omdrejninger af udgangspunktet. Således vil det ønskede punkt være i samme position, som når man drejer til. Ved at vide dette finder vi de nødvendige koordinater for punktet:
Sinus og cosinus er tabelværdier. Vi husker deres betydninger og får:
Det ønskede punkt har således koordinater.
3. Enhedscirklen er centreret i et punkt, hvilket betyder, at vi kan bruge forenklede formler:
Det kan du mærke. Lad os afbilde det pågældende eksempel i figuren:
Radius gør vinkler lig med og med aksen. At vide, at tabelværdierne for cosinus og sinus er ens, og at have bestemt, at cosinus her tager negativ betydning, og sinusen er positiv, har vi:
Sådanne eksempler diskuteres mere detaljeret, når man studerer formlerne til reduktion af trigonometriske funktioner i emnet.
Det ønskede punkt har således koordinater.
4.
Rotationsvinkel for vektorens radius (efter betingelse)
For at bestemme de tilsvarende tegn på sinus og cosinus konstruerer vi en enhedscirkel og vinkel:
Som du kan se, er værdien, det vil sige, positiv, og værdien, det vil sige, er negativ. Ved at kende tabelværdierne for de tilsvarende trigonometriske funktioner opnår vi, at:
Lad os erstatte de opnåede værdier i vores formel og finde koordinaterne:
Det ønskede punkt har således koordinater.
5. For at løse dette problem bruger vi formler i generel form, hvor
Koordinater for midten af cirklen (i vores eksempel,
Cirkelradius (efter tilstand)
Rotationsvinkel for vektorens radius (efter betingelse).
Lad os erstatte alle værdierne i formlen og få:
og - tabelværdier. Lad os huske og erstatte dem med formlen:
Det ønskede punkt har således koordinater.
RESUMÉ OG GRUNDFORMLER
En vinkels sinus er forholdet mellem det modsatte (fjerne) ben og hypotenusen.
Cosinus af en vinkel er forholdet mellem det tilstødende (tætte) ben og hypotenusen.
Tangens af en vinkel er forholdet mellem den modsatte (fjerne) side og den tilstødende (nære) side.
Cotangensen af en vinkel er forholdet mellem den tilstødende (tætte) side og den modsatte (fjerne) side.
Lad os forstå simple begreber: sinus og cosinus og beregning cosinus i anden og sinus i anden.
Sinus og cosinus studeres i trigonometri (studiet af retvinklede trekanter).
Lad os derfor først huske de grundlæggende begreber i en retvinklet trekant:
Hypotenuse- den side, der altid ligger modsat den rette vinkel (90 graders vinkel). Hypotenusen er den længste side af en retvinklet trekant.
De resterende to sider retvinklet trekant hedder ben.
Du skal også huske, at tre vinkler i en trekant altid summerer til 180°.
Lad os nu gå videre til cosinus og sinus af vinklen alfa (∠α)(dette kan kaldes enhver indirekte vinkel i en trekant eller bruges som en betegnelse x - "x", hvilket ikke ændrer essensen).
Sinus af vinkel alfa (sin ∠α)- det er en holdning modsat ben (siden modsat den tilsvarende vinkel) til hypotenusen. Hvis du ser på figuren, så er synd ∠ABC = AC / BC
Cosinus af vinkel alfa (cos ∠α)- holdning tilstødende til vinklen af benet til hypotenusen. Ser vi igen på figuren ovenfor, cos ∠ABC = AB / BC
Og bare som en påmindelse: cosinus og sinus vil aldrig være større end én, da enhver rulning er kortere end hypotenusen (og hypotenusen er den længste side af en trekant, fordi den længste side er placeret modsat den største vinkel i trekanten) .
Cosinus i anden, sinus i anden
Lad os nu gå videre til de vigtigste trigonometriske formler: Beregn cosinus i anden og sinus i anden.
For at beregne dem skal du huske den grundlæggende trigonometriske identitet:
sin 2 α + cos 2 α = 1(sinus kvadrat plus cosinus kvadrat af én vinkel er altid lig med én).
Ud fra den trigonometriske identitet drager vi konklusioner om sinus:
sin 2 α = 1 - cos 2 α
sinus kvadrat alfa er lig med en minus cosinus af dobbeltvinklen alfa og divider alt dette med to.
sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2
Ud fra den trigonometriske identitet drager vi konklusioner om cosinus:
cos 2 α = 1 - sin 2 α
eller en mere kompleks version af formlen: cosinus kvadratisk alfa er lig med én plus cosinus af dobbeltvinklen alfa og dividerer også alt med to.
cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2
Disse to er flere komplekse formler sinuskvadrat og cosinuskvadrat kaldes også "reduktion af graden for kvadrater af trigonometriske funktioner." De der. der var en anden grad, de sænkede den til den første, og beregningerne blev mere bekvemme.
