Sådan løses en andengradsligning. Hvordan man løser en rationel ligning

14.10.2019

Lad os fortsætte med at tale om løsning af ligninger. I denne artikel vil vi gå i detaljer om rationelle ligninger og principper for løsning af rationelle ligninger med én variabel. Lad os først finde ud af, hvilken type ligninger der kaldes rationelle, give en definition af hele rationelle og fraktionelle rationelle ligninger og give eksempler. Dernæst vil vi få algoritmer til løsning af rationelle ligninger, og vi vil selvfølgelig overveje løsninger til typiske eksempler med alle de nødvendige forklaringer.

Sidenavigation.

Ud fra de angivne definitioner giver vi flere eksempler på rationelle ligninger. For eksempel er x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , alle rationelle ligninger.

Fra de viste eksempler er det klart, at rationelle ligninger, såvel som ligninger af andre typer, kan være med én variabel eller med to, tre osv. variabler. I de følgende afsnit vil vi tale om løsning af rationelle ligninger med én variabel. Løsning af ligninger i to variable og dem et stort antal fortjener særlig opmærksomhed.

Ud over at dividere rationelle ligninger med antallet af ukendte variable, er de også opdelt i heltal og brøk. Lad os give de tilsvarende definitioner.

Definition.

Den rationelle ligning kaldes hel, hvis både dens venstre og højre side er heltalsrationelle udtryk.

Definition.

Hvis mindst en af delene af en rationel ligning er et brøkudtryk, kaldes en sådan ligning brøkdel rationel(eller fraktionel rationel).

Det er klart, at hele ligninger ikke indeholder division med en variabel tværtimod, rationelle brøkligninger indeholder nødvendigvis division med en variabel (eller en variabel i nævneren). Så 3 x+2=0 og (x+y)·(3·x2−1)+x=−y+0,5– det er hele rationelle ligninger, begge deres dele er hele udtryk. A og x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 er eksempler på rationelle brøkligninger.

Afsluttende dette punkt, lad os være opmærksomme på det faktum, at de lineære ligninger og andengradsligninger kendt til dette punkt er hele rationelle ligninger.

Løsning af hele ligninger

En af de vigtigste tilgange til at løse hele ligninger er at reducere dem til ækvivalente algebraiske ligninger. Dette kan altid gøres ved at udføre følgende ækvivalente transformationer af ligningen:

først overføres udtrykket fra højre side af den oprindelige heltalsligning til venstre side med det modsatte fortegn for at opnå nul på højre side;
efter dette, på venstre side af ligningen den resulterende standard visning.

Resultatet er en algebraisk ligning, der svarer til den oprindelige heltalsligning. I de simpleste tilfælde reduceres løsning af hele ligninger til at løse lineære eller kvadratiske ligninger, og i det generelle tilfælde til løsning af en algebraisk ligning af grad n. For klarhedens skyld, lad os se på løsningen til eksemplet.

Eksempel.

Find rødderne til hele ligningen 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Løsning.

Lad os reducere løsningen af hele denne ligning til løsningen af en ækvivalent algebraisk ligning. For at gøre dette overfører vi først udtrykket fra højre side til venstre, som et resultat når vi frem til ligningen 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Og for det andet transformerer vi udtrykket dannet på venstre side til et polynomium af standardform ved at udfylde det nødvendige: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Således reduceres løsning af den oprindelige heltalsligning til løsning af andengradsligningen x 2 −5·x−6=0.

Vi beregner dens diskriminant D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, den er positiv, hvilket betyder, at ligningen har to reelle rødder, som vi finder ved hjælp af formlen for rødderne af en andengradsligning:

For at være helt sikker, lad os gøre det kontrollere de fundne rødder af ligningen. Først tjekker vi roden 6, erstatter den i stedet for variablen x i den oprindelige heltalsligning: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, hvilket er det samme, 63=63. Dette er en gyldig numerisk ligning, derfor er x=6 faktisk roden af ligningen. Nu tjekker vi roden −1, det har vi 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, hvorfra 0=0 . Når x=−1, bliver den oprindelige ligning også til en korrekt numerisk lighed, derfor er x=−1 også en rod af ligningen.

Svar:

6 , −1 .

Her skal det også bemærkes, at udtrykket "grad af hele ligningen" er forbundet med repræsentationen af en hel ligning i form af en algebraisk ligning. Lad os give den tilsvarende definition:

Definition.

Styrken i hele ligningen kaldes graden af en ækvivalent algebraisk ligning.

Ifølge denne definition er hele ligningen fra tidligere eksempel har en anden grad.

Dette kunne have været enden på at løse hele rationelle ligninger, hvis ikke for én ting…. Som bekendt er løsning af algebraiske ligninger med højere grad end den anden forbundet med betydelige vanskeligheder, og for ligninger med højere grad end den fjerde er der ingen generelle formler rødder. Derfor, at løse hele ligninger af den tredje, fjerde og mere høje grader Ofte må man ty til andre løsningsmetoder.

I sådanne tilfælde en tilgang til at løse hele rationelle ligninger baseret på faktoriseringsmetode. I dette tilfælde overholdes følgende algoritme:

først sikrer de, at der er et nul på højre side af ligningen, for at gøre dette overfører de udtrykket fra højre side af hele ligningen til venstre;
derefter præsenteres det resulterende udtryk på venstre side som et produkt af flere faktorer, hvilket giver os mulighed for at gå videre til et sæt af flere simplere ligninger.

Den givne algoritme til at løse en hel ligning gennem faktorisering kræver en detaljeret forklaring ved hjælp af et eksempel.

Eksempel.

Løs hele ligningen (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 -10 x+13) .

Løsning.

Først som sædvanlig overfører vi udtrykket fra højre side til venstre side af ligningen, og vi glemmer ikke at ændre tegnet, vi får (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 -10 x+13)=0 . Her er det helt indlysende, at det ikke er tilrådeligt at transformere venstre side af den resulterende ligning til et polynomium af standardformen, da dette vil give en algebraisk ligning af formens fjerde grad x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, hvis løsning er svær.

På den anden side er det tydeligt, at vi på venstre side af den resulterende ligning kan x 2 −10 x+13 , og derved præsentere det som et produkt. Det har vi (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Den resulterende ligning svarer til den originale hele ligning, og den kan til gengæld erstattes af et sæt af to andengradsligninger x 2 −10·x+13=0 og x 2 −2·x−1=0. At finde deres rødder ved hjælp af kendte rodformler gennem en diskriminant er ikke svært. De er de ønskede rødder til den oprindelige ligning.

Svar:

Også nyttig til at løse hele rationelle ligninger metode til at indføre en ny variabel. I nogle tilfælde giver det dig mulighed for at flytte til ligninger, hvis grad er lavere end graden af den originale hele ligning.

Eksempel.

Find de rigtige rødder til en rationel ligning (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Løsning.

At reducere hele denne rationelle ligning til en algebraisk ligning er mildt sagt ikke en særlig god idé, da vi i dette tilfælde kommer til behovet for at løse en fjerdegradsligning, der ikke har rationelle rødder. Derfor bliver du nødt til at lede efter en anden løsning.

Her er det let at se, at man kan indføre en ny variabel y og erstatte udtrykket x 2 +3·x med den. Denne udskiftning fører os til hele ligningen (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , som efter at have flyttet udtrykket −2·(y−4) til venstre side og efterfølgende transformation af udtrykket dannet der, reduceres til en andengradsligning y 2 +4·y+3=0. Rødderne til denne ligning y=−1 og y=−3 er lette at finde, for eksempel kan de vælges ud fra sætningen omvendt til Vietas sætning.

Nu går vi videre til anden del af metoden til at introducere en ny variabel, det vil sige at udføre en omvendt udskiftning. Efter at have udført den omvendte substitution får vi to ligninger x 2 +3 x=−1 og x 2 +3 x=−3, som kan omskrives som x 2 +3 x+1=0 og x 2 +3 x+3 =0. Ved at bruge formlen for rødderne til en andengradsligning finder vi rødderne til den første ligning. Og den anden andengradsligning har ingen reelle rødder, da dens diskriminant er negativ (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Svar:

Generelt, når vi har at gøre med hele ligninger af høje grader, skal vi altid være parate til at søge efter en ikke-standard metode eller en kunstig teknik til at løse dem.

Løsning af rationelle brøkligninger

Først vil det være nyttigt at forstå, hvordan man løser rationelle brøkligninger af formen , hvor p(x) og q(x) er heltals rationelle udtryk. Og så vil vi vise, hvordan man reducerer løsningen af andre fraktioneret rationelle ligninger til løsningen af ligninger af den angivne type.

En tilgang til at løse ligningen er baseret på følgende udsagn: den numeriske brøk u/v, hvor v er et ikke-nul tal (ellers vil vi støde på , som er udefineret), er lig med nul, hvis og kun hvis dens tæller er lig med nul, så er, hvis og kun hvis u=0 . I kraft af denne erklæring reduceres løsning af ligningen til at opfylde to betingelser p(x)=0 og q(x)≠0.

Denne konklusion svarer til følgende Algoritme til løsning af en rationel brøkligning. For at løse en rationel brøkligning af formen skal du bruge

løs hele den rationelle ligning p(x)=0 ;
og kontroller, om betingelsen q(x)≠0 er opfyldt for hver fundne rod, mens

hvis sandt, så er denne rod roden af den oprindelige ligning;
hvis den ikke er opfyldt, så er denne rod uvedkommende, dvs. den er ikke roden til den oprindelige ligning.

Lad os se på et eksempel på brug af den annoncerede algoritme, når vi løser en rationel brøkligning.

Eksempel.

Find rødderne til ligningen.

Løsning.

Dette er en rationel brøkligning, og af formen , hvor p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Ifølge algoritmen til løsning af rationelle brøkligninger af denne type skal vi først løse ligningen 3 x−2=0. Denne lineær ligning, hvis rod er x=2/3.

Det er tilbage at kontrollere for denne rod, det vil sige, kontrollere, om den opfylder betingelsen 5 x 2 −2≠0. Vi erstatter tallet 2/3 i udtrykket 5 x 2 −2 i stedet for x, og vi får . Betingelsen er opfyldt, så x=2/3 er roden af den oprindelige ligning.

Svar:

2/3 .

Du kan nærme dig løsningen af en rationel brøkligning fra en lidt anden position. Denne ligning svarer til heltalsligningen p(x)=0 på variablen x i den oprindelige ligning. Det vil sige, at du kan holde dig til dette Algoritme til løsning af en rationel brøkligning :

løs ligningen p(x)=0 ;
find ODZ for variabel x;
slå rødder tilhørende området acceptable værdier, - de er de ønskede rødder til den oprindelige rationelle brøkligning.

Lad os for eksempel løse en rationel brøkligning ved hjælp af denne algoritme.

Eksempel.

Løs ligningen.

Løsning.

Først løser vi andengradsligningen x 2 −2·x−11=0. Dens rødder kan beregnes ved hjælp af rodformlen for den lige anden koefficient, vi har D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Og .

For det andet finder vi ODZ for variablen x for den oprindelige ligning. Den består af alle tal, for hvilke x 2 +3·x≠0, hvilket er det samme som x·(x+3)≠0, hvorfra x≠0, x≠−3.

Det er tilbage at kontrollere, om rødderne fundet i det første trin er inkluderet i ODZ. Selvfølgelig ja. Derfor har den oprindelige rationelle brøkligning to rødder.

Svar:

Bemærk, at denne tilgang er mere rentabel end den første, hvis ODZ er let at finde, og er især fordelagtig, hvis rødderne af ligningen p(x) = 0 er irrationelle, for eksempel eller rationelle, men med en ret stor tæller og /eller nævner, for eksempel 127/1101 og −31/59. Dette skyldes det faktum, at kontrol af betingelsen q(x)≠0 i sådanne tilfælde vil kræve betydelig beregningsindsats, og det er lettere at udelukke fremmede rødder ved hjælp af ODZ.

I andre tilfælde, når man løser ligningen, især når rødderne af ligningen p(x) = 0 er heltal, er det mere rentabelt at bruge den første af de givne algoritmer. Det vil sige, at det er tilrådeligt straks at finde rødderne af hele ligningen p(x)=0 og derefter kontrollere, om betingelsen q(x)≠0 er opfyldt for dem, i stedet for at finde ODZ'en og derefter løse ligningen p(x)=0 på denne ODZ. Dette skyldes, at det i sådanne tilfælde normalt er nemmere at kontrollere end at finde DZ'en.

Lad os overveje løsningen af to eksempler for at illustrere de specificerede nuancer.

Eksempel.

Find rødderne til ligningen.

Løsning.

Lad os først finde rødderne til hele ligningen (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, sammensat ved hjælp af brøkens tæller. Den venstre side af denne ligning er et produkt, og den højre side er nul, derfor, ifølge metoden til at løse ligninger gennem faktorisering, svarer denne ligning til et sæt af fire ligninger 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tre af disse ligninger er lineære og en er kvadratisk, vi kan løse dem. Fra den første ligning finder vi x=1/2, fra den anden - x=6, fra den tredje - x=7, x=−2, fra den fjerde - x=−1.

Med rødderne fundet, er det ret nemt at kontrollere, om nævneren af brøken på venstre side af den oprindelige ligning forsvinder, men at bestemme ODZ er tværtimod ikke så let, da du for dette skal løse en algebraisk ligning af femte grad. Derfor vil vi opgive at finde ODZ til fordel for at kontrollere rødderne. For at gøre dette erstatter vi dem én efter én i stedet for variablen x i udtrykket x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, opnået efter substitution, og sammenlign dem med nul: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0.

Således er 1/2, 6 og −2 de ønskede rødder af den oprindelige rationelle brøkligning, og 7 og −1 er uvedkommende rødder.

Svar:

1/2 , 6 , −2 .

Eksempel.

Find rødderne til en rationel brøkligning.

Løsning.

Lad os først finde rødderne til ligningen (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Denne ligning svarer til et sæt af to ligninger: kvadrat 5·x 2 −7·x−1=0 og lineær x−2=0. Ved at bruge formlen for rødderne til en andengradsligning finder vi to rødder, og fra den anden ligning har vi x=2.

At kontrollere, om nævneren går til nul ved de fundne værdier af x, er ret ubehageligt. Og at bestemme intervallet af tilladte værdier for variablen x i den oprindelige ligning er ret simpelt. Derfor vil vi handle gennem ODZ.

I vores tilfælde består ODZ af variablen x i den oprindelige rationelle brøkligning af alle tal undtagen dem, for hvilke betingelsen x 2 +5·x−14=0 er opfyldt. Rødderne til denne andengradsligning er x=−7 og x=2, hvorfra vi drager en konklusion om ODZ: den består af alle x således, at .

Det er tilbage at kontrollere, om de fundne rødder og x=2 tilhører rækken af acceptable værdier. Rødderne hører til, derfor er de rødder til den oprindelige ligning, og x=2 hører ikke til, derfor er det en uvedkommende rod.

Svar:

Det vil også være nyttigt at dvæle separat ved de tilfælde, hvor der i en rationel brøkligning af formen er et tal i tælleren, det vil sige, når p(x) er repræsenteret af et eller andet tal. På samme tid

hvis dette tal er ikke-nul, så har ligningen ingen rødder, da en brøk er lig med nul, hvis og kun hvis dens tæller er lig med nul;
hvis dette tal er nul, så er roden af ligningen et hvilket som helst tal fra ODZ.

Eksempel.

Løsning.

Da tælleren for brøken på venstre side af ligningen indeholder et tal, der ikke er nul, kan værdien af denne brøk for enhver x ikke være lig med nul. Derfor har denne ligning ingen rødder.

Svar:

ingen rødder.

Eksempel.

Løs ligningen.

Løsning.

Tælleren for brøken på venstre side af denne rationelle brøkligning indeholder nul, så værdien af denne brøk er nul for enhver x, som den giver mening. Med andre ord er løsningen til denne ligning en hvilken som helst værdi af x fra ODZ for denne variabel.

Det er tilbage at bestemme dette interval af acceptable værdier. Det inkluderer alle værdier af x, for hvilke x 4 +5 x 3 ≠0. Løsningerne til ligningen x 4 +5 x 3 =0 er 0 og −5, da denne ligning er ækvivalent med ligningen x 3 (x+5)=0, og den igen svarer til kombinationen af to ligninger x 3 =0 og x +5=0, hvorfra disse rødder er synlige. Derfor er det ønskede interval af acceptable værdier enhver x undtagen x=0 og x=−5.

En rationel brøkligning har således uendeligt mange løsninger, som er alle tal undtagen nul og minus fem.

Svar:

Endelig er det tid til at tale om løsning af rationelle brøkligninger af vilkårlig form. De kan skrives som r(x)=s(x), hvor r(x) og s(x) er rationelle udtryk, og mindst et af dem er fraktioneret. Ser vi fremad, lad os sige, at deres løsning kommer ned til at løse ligninger af den form, vi allerede kender.

Det er kendt, at overførsel af et led fra en del af ligningen til en anden med det modsatte fortegn fører til en ækvivalent ligning, derfor er ligningen r(x)=s(x) ækvivalent med ligningen r(x)−s(x) )=0.

Vi ved også, at enhver , identisk med dette udtryk, er mulig. Således kan vi altid transformere det rationelle udtryk på venstre side af ligningen r(x)−s(x)=0 til en identisk lige rationel brøkdel af formen .

Så vi går fra den oprindelige rationelle brøkligning r(x)=s(x) til ligningen, og dens løsning, som vi fandt ud af ovenfor, reduceres til at løse ligningen p(x)=0.

Men her er det nødvendigt at tage højde for det faktum, at når du erstatter r(x)−s(x)=0 med , og derefter med p(x)=0, kan intervallet af tilladte værdier for variablen x udvides .

Følgelig kan den oprindelige ligning r(x)=s(x) og ligningen p(x)=0, som vi nåede frem til, vise sig at være ulige, og ved at løse ligningen p(x)=0 kan vi få rødder det vil være uvedkommende rødder af den oprindelige ligning r(x)=s(x) . Du kan identificere og ikke inkludere uvedkommende rødder i svaret enten ved at udføre en kontrol eller ved at kontrollere, at de tilhører ODZ i den oprindelige ligning.

Lad os opsummere disse oplysninger i algoritme til løsning af rationel brøkligning r(x)=s(x). For at løse den rationelle brøkligning r(x)=s(x) skal du bruge

Få nul til højre ved at flytte udtrykket fra højre side med det modsatte fortegn.
Udfør operationer med brøker og polynomier i venstre side af ligningen, og transformer den derved til en rationel brøkdel af formen.
Løs ligningen p(x)=0.
Identificer og eliminer uvedkommende rødder, hvilket gøres ved at erstatte dem i den oprindelige ligning eller ved at kontrollere deres tilhørsforhold til ODZ af den oprindelige ligning.

For større klarhed vil vi vise hele kæden af løsning af rationelle brøkligninger:
.

Lad os se på løsninger på flere eksempler med detaljeret forklaring fremskridt i løsningen for at tydeliggøre den givne informationsblok.

Eksempel.

Løs en rationel brøkligning.

Løsning.

Vi vil handle i overensstemmelse med den netop opnåede løsningsalgoritme. Og først flytter vi vilkårene fra højre side af ligningen til venstre, som et resultat går vi videre til ligningen.

I det andet trin skal vi konvertere det rationelle brøkudtryk på venstre side af den resulterende ligning til form af en brøk. For at gøre dette reducerer vi rationelle brøker til en fællesnævner og forenkler det resulterende udtryk: . Så kommer vi til ligningen.

I næste trin skal vi løse ligningen −2·x−1=0. Vi finder x=−1/2.

Det er tilbage at kontrollere, om det fundne tal −1/2 ikke er en uvedkommende rod af den oprindelige ligning. For at gøre dette kan du kontrollere eller finde VA af variablen x i den oprindelige ligning. Lad os demonstrere begge tilgange.

Lad os starte med at tjekke. Vi erstatter tallet −1/2 i den oprindelige ligning i stedet for variablen x, og vi får det samme, −1=−1. Substitutionen giver den korrekte numeriske lighed, så x=−1/2 er roden af den oprindelige ligning.

Nu vil vi vise, hvordan det sidste punkt i algoritmen udføres gennem ODZ. Området af acceptable værdier af den oprindelige ligning er mængden af alle tal undtagen −1 og 0 (ved x=−1 og x=0 forsvinder nævnerne af brøkerne). Roden x=−1/2 fundet i det foregående trin tilhører ODZ, derfor er x=−1/2 roden af den oprindelige ligning.

Svar:

−1/2 .

Lad os se på et andet eksempel.

Eksempel.

Find rødderne til ligningen.

Løsning.

Vi skal løse en rationel brøkligning, lad os gennemgå alle trinene i algoritmen.

Først flytter vi udtrykket fra højre side til venstre, vi får .

For det andet transformerer vi udtrykket dannet på venstre side: . Som et resultat kommer vi frem til ligningen x=0.

Dens rod er indlysende - den er nul.

På det fjerde trin er det tilbage at finde ud af, om den fundne rod er uvedkommende i forhold til den oprindelige rationelle fraktionelle ligning. Når det er substitueret i den oprindelige ligning, opnås udtrykket. Det giver selvfølgelig ikke mening, fordi det indeholder division med nul. Hvorfra konkluderer vi, at 0 er en uvedkommende rod. Derfor har den oprindelige ligning ingen rødder.

7, hvilket fører til lign. Heraf kan vi slutte, at udtrykket i nævneren for venstre side skal være lig med højre sides, dvs. Nu trækker vi fra begge sider af trippelen:. I analogi, hvorfra og videre.

Kontrollen viser, at begge fundne rødder er rødder af den oprindelige rationelle brøkligning.

Svar:

Referencer.

Algebra: lærebog for 8. klasse. almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 16. udg. - M.: Uddannelse, 2008. - 271 s. : syg. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Kl. 14. Del 1. Lærebog for elever uddannelsesinstitutioner/ A. G. Mordkovich. - 11. udg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra: 9. klasse: pædagogisk. til almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 16. udg. - M.: Uddannelse, 2009. - 271 s. : syg. - ISBN 978-5-09-021134-5.

T. Kosyakova,
Skole nr. 80, Krasnodar

Løsning af firkantet og rationelle brøkligninger indeholdende parametre

Lektion 4

Lektionens emne:

Mål med lektionen: udvikle evnen til at løse rationelle brøkligninger indeholdende parametre.

Lektionstype: introduktion af nyt materiale.

1. (mundtligt) Løs ligningerne:

Eksempel 1. Løs ligningen

Løsning.

Lad os finde ugyldige værdier -en:

Svar. Hvis Hvis -en = – 19 , så er der ingen rødder.

Eksempel 2. Løs ligningen

Løsning.

Lad os finde ugyldige parameterværdier -en :

10 – -en = 5, -en = 5;

10 – -en = -en, -en = 5.

Svar. Hvis -en = 5 -en № 5 , Det x=10– -en .

Eksempel 3. Ved hvilke parameterværdier b ligning har:

a) to rødder; b) den eneste rod?

Løsning.

1) Find ugyldige parameterværdier b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 eller b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 eller b = – 2.

2) Løs ligningen x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

EN)

Ekskluderer ugyldige parameterværdier b , finder vi, at ligningen har to rødder if b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, men dette er en ugyldig parameterværdi b ; Hvis b 2 –1=0 , dvs. b=1 eller.

Svar: a) hvis b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , derefter to rødder; b) hvis b=1 eller b=–1 , så den eneste rod.

Selvstændigt arbejde

Mulighed 1

Løs ligningerne:

Mulighed 2

Løs ligningerne:

Svar

B-1. a) Hvis -en=3 , så er der ingen rødder; Hvis b) hvis hvis -en № 2 , så er der ingen rødder.

B-2. Hvis -en=2 , så er der ingen rødder; Hvis -en=0 , så er der ingen rødder; Hvis
b) hvis -en=– 1 , så bliver ligningen meningsløs; hvis der ikke er rødder;
Hvis

Hjemmeopgave.

Løs ligningerne:

Svar: a) Hvis -en № –2 , Det x= -en ; Hvis -en=–2 , så er der ingen løsninger; b) hvis -en № –2 , Det x=2; Hvis -en=–2 , så er der ingen løsninger; c) hvis -en=–2 , Det x– ethvert nummer undtagen 3 ; Hvis -en № –2 , Det x=2; d) hvis -en=–8 , så er der ingen rødder; Hvis -en=2 , så er der ingen rødder; Hvis

Lektion 5

Lektionens emne:"Løsning af rationelle brøkligninger indeholdende parametre."

Lektionens mål:

træning i at løse ligninger med ikke-standardbetingelser;
studerendes bevidst assimilering af algebraiske begreber og sammenhænge mellem dem.

Lektionstype: systematisering og generalisering.

Tjek lektier.

Eksempel 1. Løs ligningen

a) i forhold til x; b) i forhold til y.

Løsning.

a) Find ugyldige værdier y: y=0, x=y, y2 =y 2 –2y,

y=0– ugyldig parameterværdi y.

Hvis y№ 0 , Det x=y-2; Hvis y=0, så bliver ligningen meningsløs.

b) Find ugyldige parameterværdier x: y=x, 2x–x2 +x2 =0, x=0– ugyldig parameterværdi x; y(2+x-y)=0, y=0 eller y=2+x;

y=0 ikke opfylder betingelsen y(y–x)№ 0 .

Svar: a) hvis y=0, så bliver ligningen meningsløs; Hvis y№ 0 , Det x=y-2; b) hvis x=0 x№ 0 , Det y=2+x .

Eksempel 2. For hvilke heltalsværdier af parameteren a er ligningens rødder hører til intervallet

D = (3 -en + 2) 2 – 4-en(-en+ 1) 2 = 9 -en 2 + 12-en + 4 – 8-en 2 – 8-en,

D = ( -en + 2) 2 .

Hvis -en № 0 eller -en № – 1 , Det

Svar: 5 .

Eksempel 3. Find relativt x heltalsløsninger til ligningen

Svar. Hvis y=0, så giver ligningen ikke mening; Hvis y=–1, Det x– ethvert heltal undtagen nul; Hvis y№ 0, y№ – 1, så er der ingen løsninger.

Eksempel 4. Løs ligningen med parametre -en Og b .

Hvis -en№ – b , Det

Svar. Hvis a= 0 eller b= 0 , så bliver ligningen meningsløs; Hvis -en№ 0, b№ 0, a=–b , Det x– ethvert tal undtagen nul; Hvis -en№ 0, b№ 0,a№ –b, At x=–a, x=–b .

Eksempel 5. Bevis, at ligningen for enhver værdi af parameteren n bortset fra nul har en enkelt rod lig med –n .

Løsning.

dvs. x=–n, hvilket var det, der skulle bevises.

Hjemmeopgave.

1. Find heltalsløsninger til ligningen

2. Ved hvilke parameterværdier c ligning har:
a) to rødder; b) den eneste rod?

3. Find alle ligningens heltalsrødder Hvis -en OM N .

4. Løs ligningen 3xy – 5x + 5y = 7: a) relativt y; b) relativt x .

1. Ligningen er opfyldt af alle heltal lige værdier af x og y bortset fra nul.
2. a) Hvornår
b) ved eller
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Hvis der så ingen rødder er; Hvis
b) hvis der så ikke er nogen rødder; Hvis

Prøve

Mulighed 1

1. Bestem typen af ligning 7c(c + 3)x2 +(c-2)x-8=0 hvornår: a) c=–3; b) c=2; V) c=4 .

2. Løs ligningerne: a) x 2 –bx=0 ; b) cx 2 –6x+1=0; V)

3. Løs ligningen 3x–xy–2y=1:

a) relativt x ;
b) relativt y .

nx 2 – 26x + n = 0, at vide, at parameteren n kun accepterer heltalsværdier.

5. For hvilke værdier af b gør ligningen har:

a) to rødder;
b) den eneste rod?

Mulighed 2

1. Bestem typen af ligning 5c(c + 4)x2 +(c-7)x+7=0 hvornår: a) c=–4; b) c=7; V) c=1 .

2. Løs ligningerne: a) y2+cy=0; b) ny 2 –8y+2=0 ; V)

3. Løs ligningen 6x–xy+2y=5:

a) relativt x ;
b) relativt y .

4. Find ligningens heltalsrødder nx 2 –22x+2n=0 , at vide, at parameteren n kun accepterer heltalsværdier.

5. For hvilke værdier af parameteren a gør ligningen har:

a) to rødder;
b) den eneste rod?

Svar

B-1. 1. a) Lineær ligning;
b) ufuldstændig andengradsligning; c) andengradsligning.
2. a) Hvis b=0, Det x=0; Hvis b№ 0, Det x=0, x=b;
b) Hvis cО (9;+Ґ ), så er der ingen rødder;
c) hvis -en=–4 , så bliver ligningen meningsløs; Hvis -en№ –4 , Det x=– -en .
3. a) Hvis y=3, så er der ingen rødder; Hvis);
b) -en=–3, -en=1.

Yderligere opgaver

Løs ligningerne:

Litteratur

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Om parametrene helt fra begyndelsen. – Tutor, nr. 2/1991, s. 3-13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Forudsætninger i problemer med parametre. – Kvant, nr. 11/1991, s. 44-49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavay V.V. Problemløsning indeholdende parametre. Del 2. – M., Perspektiv, 1990, s. 2-38.
4. Tynyakin S.A. Fem hundrede og fjorten problemer med parametre. – Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Problemer med parametre. – M., Uddannelse, 1986.

Ligninger med brøker i sig selv er ikke vanskelige og er meget interessante. Lad os se på typerne af brøkligninger og hvordan man løser dem.

Sådan løses ligninger med brøker - x i tælleren

Hvis der er givet en brøkligning, hvor det ukendte er i tælleren, kræver løsningen ikke yderligere betingelser og løses uden unødvendigt bøvl. Generel visning sådan en ligning er x/a + b = c, hvor x er det ukendte, a, b og c er almindelige tal.

Find x: x/5 + 10 = 70.

For at løse ligningen skal du af med brøker. Multiplicer hvert led i ligningen med 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x og 5 annulleres, 10 og 70 ganges med 5 og vi får: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Find x: x/5 + x/10 = 90.

Dette eksempel er en lidt mere kompliceret version af den første. Der er to mulige løsninger her.

Mulighed 1: Vi slipper for brøker ved at gange alle led i ligningen med en større nævner, det vil sige med 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
Mulighed 2: Tilføj venstre side af ligningen. x/5 + x/10 = 90. Fællesnævneren er 10. Divider 10 med 5, gange med x, vi får 2x. Divider 10 med 10, gange med x, vi får x: 2x+x/10 = 90. Derfor 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Ofte fundet brøkligninger, hvor X'erne er placeret ved forskellige sider lighedstegn. I sådanne situationer er det nødvendigt at flytte alle brøkerne med X'er til den ene side og tallene til den anden.

Find x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
Flyt 2x/5 til højre med det modsatte fortegn: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
Vi reducerer 5x/5 og får: x = 130.

Sådan løses en ligning med brøker - x i nævneren

Denne type brøkligninger kræver skrivning af yderligere betingelser. Angivelsen af disse forhold er en obligatorisk og integreret del af den rigtige beslutning. Ved ikke at tilføje dem risikerer du, da svaret (selvom det er korrekt) måske simpelthen ikke tælles med.

Den generelle form for brøkligninger, hvor x er i nævneren, er: a/x + b = c, hvor x er det ukendte, a, b, c er almindelige tal. Bemærk, at x muligvis ikke er et tal. For eksempel kan x ikke være lig med nul, da det ikke kan divideres med 0. Det er netop den yderligere betingelse, vi skal specificere. Dette kaldes rækken af tilladte værdier, forkortet VA.

Find x: 15/x + 18 = 21.

Vi skriver straks ODZ for x: x ≠ 0. Nu hvor ODZ er angivet, løser vi ligningen i henhold til standardskemaet, idet vi slipper af med brøker. Vi multiplicerer alle led i ligningen med x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Ofte er der ligninger, hvor nævneren ikke kun indeholder x, men også en anden operation med den, for eksempel addition eller subtraktion.

Find x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Vi ved allerede, at nævneren ikke kan være lig med nul, hvilket betyder x-3 ≠ 0. Vi flytter -3 til højre, ændrer "-" tegnet til "+", og vi får, at x ≠ 3. ODZ er angivet.

Vi løser ligningen, gange alt med x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Flyt X'erne til højre, tal til venstre: 24 = 3x => x = 8.

Brøkligninger. ODZ.

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

Vi fortsætter med at mestre ligningerne. Vi ved allerede, hvordan man arbejder med lineære og andengradsligninger. Opholdt sig sidste udsigt – brøkligninger. Eller de kaldes også meget mere respektabelt - rationelle brøkligninger. Det er det samme.

Brøkligninger.

Som navnet antyder, indeholder disse ligninger nødvendigvis brøker. Men ikke kun brøker, men brøker, der har ukendt i nævneren. I hvert fald i én. For eksempel:

Lad mig minde dig om, at hvis nævnerne kun er tal, disse er lineære ligninger.

Hvordan man beslutter sig brøkligninger? Først og fremmest skal du slippe af med fraktioner! Herefter bliver ligningen oftest lineær eller kvadratisk. Og så ved vi, hvad vi skal gøre... I nogle tilfælde kan det blive til en identitet, såsom 5=5 eller et forkert udtryk, såsom 7=2. Men dette sker sjældent. Jeg vil nævne dette nedenfor.

Men hvordan slipper man af med brøker!? Meget simpelt. Anvendelse af de samme identiske transformationer.

Vi skal gange hele ligningen med det samme udtryk. Så alle nævnere reduceres! Alt bliver straks nemmere. Lad mig forklare med et eksempel. Lad os løse ligningen:

Hvordan blev du undervist i folkeskolen? Vi flytter alt til den ene side, bringer det til en fællesnævner osv. Glem det som en ond drøm! Dette er, hvad du skal gøre, når du tilføjer eller trækker brøker fra. Eller du arbejder med uligheder. Og i ligninger multiplicerer vi straks begge sider med et udtryk, der vil give os mulighed for at reducere alle nævnere (dvs. i det væsentlige med fællesnævner). Og hvad er dette udtryk?

På venstre side kræver reduktion af nævneren gange med x+2. Og til højre kræves multiplikation med 2. Det betyder, at ligningen skal ganges med 2(x+2). Gange:

Dette er en almindelig multiplikation af brøker, men jeg vil beskrive det i detaljer:

Bemærk venligst, at jeg ikke åbner beslaget endnu (x + 2)! Så i sin helhed skriver jeg det:

På venstre side trækker den sig helt sammen (x+2), og til højre 2. Hvilket var det, der krævedes! Efter reduktion får vi lineær ligning:

Og alle kan løse denne ligning! x = 2.

Lad os løse et andet eksempel, lidt mere kompliceret:

Hvis vi husker, at 3 = 3/1, og 2x = 2x/ 1, kan vi skrive:

Og igen slipper vi af med det, vi egentlig ikke kan lide - brøker.

Vi ser, at for at reducere nævneren med X, skal vi gange brøken med (x – 2). Og nogle få er ikke en hindring for os. Nå, lad os formere os. Alle venstre side og alle højre side:

Parentes igen (x – 2) Jeg afslører ikke. Jeg arbejder med beslaget som helhed, som om det var ét nummer! Dette skal altid gøres, ellers reduceres intet.

Med en følelse af dyb tilfredshed reducerer vi (x – 2) og vi får en ligning uden brøker, med en lineal!

Lad os nu åbne parenteserne:

Vi bringer lignende, flytter alt til venstre side og får:

Men før det vil vi lære at løse andre problemer. På renter. Det er i øvrigt en rive!

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Løsning af rationelle brøkligninger

Referencevejledning

Rationelle ligninger er ligninger, hvor både venstre og højre side er rationelle udtryk.

(Husk: rationelle udtryk er heltals- og brøkudtryk uden radikaler, inklusive operationerne addition, subtraktion, multiplikation eller division - for eksempel: 6x; (m – n)2; x/3y osv.)

Fraktionelle rationelle ligninger reduceres normalt til formen:

Hvor P(x) Og Q(x) er polynomier.

For at løse sådanne ligninger skal du gange begge sider af ligningen med Q(x), hvilket kan føre til fremkomsten af fremmede rødder. Derfor, når man løser rationelle brøkligninger, er det nødvendigt at kontrollere de fundne rødder.

En rationel ligning kaldes hel eller algebraisk, hvis den ikke dividerer med et udtryk, der indeholder en variabel.

Eksempler på en hel rationel ligning:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Hvis der i en rationel ligning er en division med et udtryk, der indeholder en variabel (x), så kaldes ligningen brøkrationel.

Eksempel på en rationel brøkligning:

15
x + - = 5x – 17
x

Fraktionelle rationelle ligninger løses normalt som følger:

1) find fællesnævneren for brøkerne og gange begge sider af ligningen med den;

2) løse den resulterende hele ligning;

3) udelukke fra sine rødder dem, der reducerer brøkernes fællesnævner til nul.

Eksempler på løsning af heltals- og brøkrationelle ligninger.

Eksempel 1. Lad os løse hele ligningen

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Løsning:

At finde den laveste fællesnævner. Dette er 6. Divider 6 med nævneren og gange det resulterende resultat med tælleren for hver brøk. Vi får en ligning svarende til dette:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Da venstre og højre side har samme nævner, kan den udelades. Så får vi en enklere ligning:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Vi løser det ved at åbne parenteserne og kombinere lignende udtryk:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Eksemplet er løst.

Eksempel 2. Løs en rationel brøkligning

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

At finde en fællesnævner. Dette er x(x – 5). Så:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Nu slipper vi for nævneren igen, da den er ens for alle udtryk. Vi reducerer lignende led, sidestiller ligningen til nul og får en andengradsligning: