C 15 fraktionelle rationelle ligninger. Løsning af heltals- og brøkrationelle ligninger

Lektionens mål:

Uddannelsesmæssigt:

• dannelse af begrebet rationelle brøkligninger;
• overveje forskellige måder at løse brøker på rationelle ligninger;
• overveje en algoritme til løsning af rationelle brøkligninger, herunder betingelsen om, at brøken er lig nul;
• lære at løse rationelle brøkligninger ved hjælp af en algoritme;
• kontrollere niveauet af beherskelse af emnet ved at udføre en test.

Udviklingsmæssigt:

• at udvikle evnen til at fungere korrekt med erhvervet viden og tænke logisk;
• udvikling af intellektuelle færdigheder og mentale operationer - analyse, syntese, sammenligning og generalisering;
• udvikling af initiativ, evnen til at træffe beslutninger og ikke stoppe der;
• udvikling af kritisk tænkning;
• udvikling af forskningskompetencer.

Uddannelse:

• fremme kognitiv interesse for emnet;
• fremme uafhængighed ved løsning af uddannelsesmæssige problemer;
• pleje vilje og vedholdenhed for at opnå endelige resultater.

Lektionstype: lektion - forklaring af nyt stof.

Under timerne

1. Organisatorisk øjeblik.

Hej gutter! Der er skrevet ligninger på tavlen, se nøje på dem. Kan du løse alle disse ligninger? Hvilke er ikke og hvorfor?

Ligninger, hvor venstre og højre side er rationelle brøkudtryk, kaldes rationelle brøkligninger. Hvad tror du, vi skal læse i klassen i dag? Formuler emnet for lektionen. Så åbn dine notesbøger og skriv emnet ned i lektionen "Løsning af rationelle brøkligninger."

2. Opdatering af viden. Frontalundersøgelse, mundtligt arbejde med klassen.

Og nu vil vi gentage det vigtigste teoretiske materiale, som vi skal bruge for at studere et nyt emne. Svar venligst på følgende spørgsmål:

1. Hvad er en ligning? ( Ligestilling med en variabel eller variable.)
2. Hvad hedder ligning nummer 1? ( Lineær.) Løsning lineære ligninger. (Flyt alt med det ukendte til venstre side af ligningen, alle tal til højre. At føre lignende vilkår. Find ukendt faktor).
3. Hvad hedder ligning nummer 3? ( Firkant.) Metoder til løsning af andengradsligninger. ( Isolering af et komplet kvadrat ved hjælp af formler ved hjælp af Vietas sætning og dets følger.)
4. Hvad er proportion? ( Ligestilling mellem to forhold.) Hovedegenskaben ved proportion. ( Hvis forholdet er korrekt, så er produktet af dets ekstreme led lig med produktet af mellemleddet.)
5. Hvilke egenskaber bruges ved løsning af ligninger? ( 1. Hvis du flytter et led i en ligning fra en del til en anden, ændrer dets fortegn, får du en ligning svarende til den givne. 2. Hvis begge sider af ligningen ganges eller divideres med det samme ikke-nul tal, får du en ligning svarende til den givne.)
6. Hvornår er en brøk lig med nul? ( En brøk er lig med nul, når tælleren er nul, og nævneren ikke er nul..)

3. Forklaring af nyt materiale.

Løs ligning nr. 2 i dine notesbøger og på tavlen.

Svar: 10.

Hvilken rationel brøkligning Kan du prøve at løse ved hjælp af den grundlæggende egenskab af proportioner? (nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Løs ligning nr. 4 i dine notesbøger og på tavlen.

Svar: 1,5.

Hvilken rationel brøkligning kan du prøve at løse ved at gange begge sider af ligningen med nævneren? (nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Svar: 3;4.

Prøv nu at løse ligning nummer 7 ved hjælp af en af ​​følgende metoder.

Forklar hvorfor dette skete? Hvorfor er der tre rødder i det ene tilfælde og to i det andet? Hvilke tal er rødderne til denne rationelle brøkligning?

Indtil nu har eleverne ikke mødt begrebet en uvedkommende rod; det er faktisk meget svært for dem at forstå, hvorfor dette skete. Hvis ingen i klassen kan give en klar forklaring på denne situation, så stiller læreren ledende spørgsmål.

• Hvordan adskiller ligning nr. 2 og 4 sig fra ligning nr. 5,6,7? ( I ligning nr. 2 og 4 er der tal i nævneren, nr. 5-7 er udtryk med en variabel.)
• Hvad er roden til en ligning? ( Værdien af ​​den variabel, ved hvilken ligningen bliver sand.)
• Hvordan finder man ud af, om et tal er roden til en ligning? ( Lav et tjek.)

Når de tester, bemærker nogle elever, at de skal dividere med nul. De konkluderer, at tallene 0 og 5 ikke er rødderne til denne ligning. Spørgsmålet opstår: er der en måde at løse rationelle brøkligninger på, der giver os mulighed for at eliminere denne fejl? Ja, denne metode er baseret på den betingelse, at brøken er lig nul.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Hvis x=5, så er x(x-5)=0, hvilket betyder, at 5 er en uvedkommende rod.

Hvis x=-2, så x(x-5)≠0.

Svar: -2.

Lad os prøve at formulere en algoritme til løsning af rationelle brøkligninger på denne måde. Børn formulerer selv algoritmen.

Algoritme til løsning af rationelle brøkligninger:

1. Flyt alt til venstre side.
2. Reducer brøker til en fællesnævner.
3. Opret et system: en brøk er lig med nul, når tælleren er lig med nul, og nævneren ikke er lig med nul.
4. Løs ligningen.
5. Tjek ulighed for at udelukke uvedkommende rødder.
6. Skriv svaret ned.

Diskussion: hvordan man formaliserer løsningen, hvis den grundlæggende egenskab af proportion bruges og begge sider af ligningen ganges med fællesnævner. (Føj til løsningen: udeluk fra dens rødder dem, der får fællesnævneren til at forsvinde).

4. Indledende forståelse af nyt materiale.

Arbejde i par. Eleverne vælger selv, hvordan de løser ligningen afhængigt af ligningstypen. Opgaver fra lærebogen “Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: nr. 600(b,c,i); nr. 601(a,e,g). Læreren overvåger færdiggørelsen af ​​opgaven, besvarer eventuelle spørgsmål, der opstår, og yder assistance til dårligt præsterende elever. Selvtest: svar skrives på tavlen.

b) 2 – uvedkommende rod. Svar: 3.

c) 2 – uvedkommende rod. Svar: 1.5.

a) Svar: -12.5.

g) Svar: 1;1,5.

5. Opsætning af lektier.

1. Læs afsnit 25 fra lærebogen, analyser eksempel 1-3.
2. Lær en algoritme til løsning af rationelle brøkligninger.
3. Løs i notesbøger nr. 600 (a, d, e); nr. 601(g,h).
4. Prøv at løse nr. 696(a) (valgfrit).

6. Udførelse af en kontrolopgave om det undersøgte emne.

Arbejdet udføres på stykker papir.

Eksempel på opgave:

A) Hvilke af ligningerne er brøkrationelle?

B) En brøk er lig med nul, når tælleren er _______________ og nævneren er _______________________.

Q) Er tallet -3 roden af ​​ligning nummer 6?

D) Løs ligning nr. 7.

Bedømmelseskriterier for opgaven:

• "5" gives, hvis eleven har udført mere end 90% af opgaven korrekt.
• "4" - 75 %-89 %
• "3" - 50%-74%
• "2" gives til en elev, der har gennemført mindre end 50 % af opgaven.
• En vurdering på 2 er ikke givet i journalen, 3 er valgfri.

7. Refleksion.

Skriv på de uafhængige arbejdsark:

• 1 – hvis lektionen var interessant og forståelig for dig;
• 2 – interessant, men ikke klart;
• 3 – ikke interessant, men forståeligt;
• 4 – ikke interessant, ikke klart.

8. Opsummering af lektionen.

Så i dag i lektionen stiftede vi bekendtskab med rationelle brøkligninger, lærte at løse disse ligninger forskellige veje, testet deres viden ved hjælp af en uddannelse selvstændigt arbejde. Du lærer resultaterne af dit selvstændige arbejde i næste lektion, og derhjemme får du mulighed for at konsolidere din viden.

Hvilken metode til at løse rationelle brøkligninger er efter din mening nemmere, mere tilgængelig og mere rationel? Hvad skal du huske, uanset metoden til løsning af rationelle brøkligninger? Hvad er "udspekulationen" ved rationelle brøkligninger?

Tak alle sammen, lektionen er slut.

Ligninger med brøker i sig selv er ikke vanskelige og er meget interessante. Lad os overveje typerne brøkligninger og måder at løse dem på.

Sådan løses ligninger med brøker - x i tælleren

Hvis der er givet en brøkligning, hvor det ukendte er i tælleren, kræver løsningen ikke yderligere betingelser og løses uden unødvendigt bøvl. Generel form sådan en ligning er x/a + b = c, hvor x er det ukendte, a, b og c er almindelige tal.

Find x: x/5 + 10 = 70.

For at løse ligningen skal du af med brøker. Multiplicer hvert led i ligningen med 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x og 5 annulleres, 10 og 70 ganges med 5 og vi får: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Find x: x/5 + x/10 = 90.

Dette eksempel er en lidt mere kompliceret version af den første. Der er to mulige løsninger her.

• Mulighed 1: Vi slipper for brøker ved at gange alle led i ligningen med en større nævner, det vil sige med 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
• Mulighed 2: Tilføj venstre side af ligningen. x/5 + x/10 = 90. Fællesnævneren er 10. Divider 10 med 5, gange med x, vi får 2x. Divider 10 med 10, gange med x, vi får x: 2x+x/10 = 90. Derfor 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Ofte er der brøkligninger, hvor x'erne er placeret iflg forskellige sider lighedstegn. I sådanne situationer er det nødvendigt at flytte alle brøkerne med X'er til den ene side og tallene til den anden.

• Find x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
• Flyt 2x/5 til højre med det modsatte fortegn: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Vi reducerer 5x/5 og får: x = 130.

Sådan løses en ligning med brøker - x i nævneren

Denne type brøkligninger kræver skrivning af yderligere betingelser. Angivelsen af ​​disse forhold er en obligatorisk og integreret del af den rigtige beslutning. Ved ikke at tilføje dem risikerer du, da svaret (selvom det er korrekt) måske simpelthen ikke tælles med.

Den generelle form for brøkligninger, hvor x er i nævneren, er: a/x + b = c, hvor x er det ukendte, a, b, c er almindelige tal. Bemærk, at x muligvis ikke er et tal. For eksempel kan x ikke være lig med nul, da det ikke kan divideres med 0. Det er netop den yderligere betingelse, vi skal specificere. Dette kaldes rækken af ​​tilladte værdier, forkortet VA.

Find x: 15/x + 18 = 21.

Vi skriver straks ODZ for x: x ≠ 0. Nu hvor ODZ er angivet, løser vi ligningen i henhold til standardskemaet, idet vi slipper af med brøker. Gang alle led i ligningen med x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Ofte er der ligninger, hvor nævneren ikke kun indeholder x, men også en anden operation med den, for eksempel addition eller subtraktion.

Find x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Vi ved allerede, at nævneren ikke kan være lig med nul, hvilket betyder x-3 ≠ 0. Vi flytter -3 til højre, ændrer "-" tegnet til "+", og vi får, at x ≠ 3. ODZ er angivet.

Vi løser ligningen, gange alt med x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Flyt X'erne til højre, tal til venstre: 24 = 3x => x = 8.

Indtil videre har vi kun løst heltalsligninger med hensyn til det ukendte, det vil sige ligninger, hvor nævnerne (hvis nogen) ikke indeholdt det ukendte.

Ofte skal man løse ligninger, der indeholder en ukendt i nævnerne: Sådanne ligninger kaldes brøkligninger.

For at løse denne ligning multiplicerer vi begge sider med det vil sige med polynomiet, der indeholder det ukendte. Vil den nye ligning svare til denne? For at besvare spørgsmålet, lad os løse denne ligning.

Hvis vi multiplicerer begge sider med , får vi:

Ved at løse denne ligning af første grad finder vi:

Så ligning (2) har en enkelt rod

Hvis vi erstatter det i ligning (1), får vi:

Det betyder, at det også er en rod af ligning (1).

Ligning (1) har ingen andre rødder. I vores eksempel kan det for eksempel ses ud fra, at i ligning (1)

Hvordan den ukendte divisor skal være lig med udbyttet 1 divideret med kvotienten 2, dvs

Så ligning (1) og (2) har en enkelt rod, hvilket betyder, at de er ækvivalente.

2. Lad os nu løse følgende ligning:

Den enkleste fællesnævner: ; gange alle led i ligningen med det:

Efter reduktion får vi:

Lad os udvide parenteserne:

Med lignende udtryk har vi:

Ved at løse denne ligning finder vi:

Substituerer vi i ligning (1), får vi:

På venstre side modtog vi udtryk, der ikke giver mening.

Det betyder, at ligning (1) ikke er en rod. Det følger heraf, at ligning (1) og ikke er ækvivalente.

I dette tilfælde siger de, at ligning (1) har fået en uvedkommende rod.

Lad os sammenligne løsningen af ​​ligning (1) med løsningen af ​​de ligninger, vi har overvejet tidligere (se § 51). I løsningen af ​​denne ligning skulle vi udføre to operationer, der ikke var blevet stødt på før: For det første gangede vi begge sider af ligningen med et udtryk, der indeholdt det ukendte (fællesnævner), og for det andet reducerede vi algebraiske brøker med faktorer, der indeholdt det ukendte .

Ved at sammenligne ligning (1) med ligning (2), ser vi, at ikke alle værdier af x, der er gyldige for ligning (2), er gyldige for ligning (1).

Det er tallene 1 og 3, der ikke er acceptable værdier ukendte for ligning (1), og som et resultat af transformationen blev de tilladte for ligning (2). Et af disse tal viste sig at være en løsning til ligning (2), men det kan selvfølgelig ikke være en løsning til ligning (1). Ligning (1) har ingen løsninger.

Dette eksempel viser, at når du multiplicerer begge sider af en ligning med en faktor, der indeholder det ukendte og annullerer algebraiske brøker Der kan opnås en ligning, der ikke svarer til denne, nemlig: fremmede rødder kan forekomme.

Herfra drager vi følgende konklusion. Når man løser en ligning, der indeholder en ukendt i nævneren, skal de resulterende rødder kontrolleres ved substitution i den oprindelige ligning. Uvedkommende rødder skal kasseres.

Vi har allerede lært, hvordan man løser andengradsligninger. Lad os nu udvide de undersøgte metoder til rationelle ligninger.

Hvad er et rationelt udtryk? Vi har allerede stødt på dette koncept. Rationelle udtryk er udtryk, der består af tal, variable, deres magter og symboler for matematiske operationer.

Derfor er rationelle ligninger ligninger af formen: , hvor - rationelle udtryk.

Tidligere betragtede vi kun de rationelle ligninger, der kan reduceres til lineære. Lad os nu se på de rationelle ligninger, der kan reduceres til andengradsligninger.

Eksempel 1

Løs ligningen:.

Løsning:

En brøk er lig med 0, hvis og kun hvis dens tæller er lig med 0 og dens nævner ikke er lig med 0.

Vi får følgende system:

Systemets første ligning er andengradsligning. Før vi løser det, lad os dividere alle dets koefficienter med 3. Vi får:

Vi får to rødder: ; .

Da 2 aldrig er lig med 0, skal to betingelser være opfyldt: . Da ingen af ​​rødderne af ligningen opnået ovenfor falder sammen med de ugyldige værdier af variablen, der blev opnået ved løsning af den anden ulighed, er de begge løsninger til denne ligning.

Svar:.

Så lad os formulere en algoritme til løsning af rationelle ligninger:

1. Flyt alle led til venstre side, så højre side ender med 0.

2. Transformer og forenkle venstre side, bring alle brøker til en fællesnævner.

3. Sæt lighedstegn mellem den resulterende brøk og 0 ved hjælp af følgende algoritme: .

4. Skriv de rødder ned, der blev opnået i den første ligning, og opfyld den anden ulighed i svaret.

Lad os se på et andet eksempel.

Eksempel 2

Løs ligningen: .

Løsning

Allerede i begyndelsen flytter vi alle led til venstre, så 0 forbliver til højre. Vi får:

Lad os nu bringe venstre side af ligningen til en fællesnævner:

Denne ligning svarer til systemet:

Systemets første ligning er en andengradsligning.

Koefficienter for denne ligning: . Vi beregner diskriminanten:

Vi får to rødder: ; .

Lad os nu løse den anden ulighed: Produktet af faktorer er ikke lig med 0, hvis og kun hvis ingen af ​​faktorerne er lig med 0.

To betingelser skal være opfyldt: . Vi finder, at af de to rødder af den første ligning, er kun den ene egnet - 3.

Svar:.

I denne lektion huskede vi, hvad et rationelt udtryk er, og lærte også, hvordan man løser rationelle ligninger, som reducerer til andengradsligninger.

I den næste lektion vil vi se på rationelle ligninger som modeller for virkelige situationer, og også se på bevægelsesproblemer.

Bibliografi

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. klasse. - M.: Uddannelse, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. og andre Algebra, 8. 5. udg. - M.: Uddannelse, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. klasse. Tutorial til uddannelsesinstitutioner. - M.: Uddannelse, 2006.

1. Festival pædagogiske ideer "Offentlig lektion" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Lektier

Et heltalsudtryk er et matematisk udtryk, der består af tal og bogstavelige variable ved hjælp af addition, subtraktion og multiplikation. Heltal inkluderer også udtryk, der involverer division med et hvilket som helst andet tal end nul.

Begrebet et fraktioneret rationelt udtryk

Et brøkudtryk er et matematisk udtryk, der udover operationerne addition, subtraktion og multiplikation udført med tal og bogstavvariable, samt division med et tal ikke lig med nul, også indeholder division i udtryk med bogstavvariable.

Rationelle udtryk er alle hele og brøkudtryk. Rationelle ligninger er ligninger, hvor venstre og højre side er rationelle udtryk. Hvis venstre og højre side i en rationel ligning er heltalsudtryk, så kaldes en sådan rationel ligning et heltal.

Hvis venstre eller højre side i en rationel ligning er brøkudtryk, så kaldes en sådan rationel ligning brøkdel.

Eksempler på rationelle brøkudtryk

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Skema til løsning af en rationel brøkligning

1. Find fællesnævneren for alle brøker, der indgår i ligningen.

2. Gang begge sider af ligningen med en fællesnævner.

3. Løs den resulterende hele ligning.

4. Tjek rødderne og udelad dem, der får fællesnævneren til at forsvinde.

Da vi løser rationelle brøkligninger, vil der være variable i brøkernes nævnere. Det betyder, at de bliver en fællesnævner. Og i det andet punkt i algoritmen multiplicerer vi med en fællesnævner, så kan der opstå uvedkommende rødder. Ved hvilken fællesnævneren vil være lig med nul, hvilket betyder at gange med det vil være meningsløst. Derfor er det i slutningen nødvendigt at kontrollere de opnåede rødder.

Lad os se på et eksempel:

Løs den rationelle brøkligning: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Vi vil holde os til det generelle skema: find først fællesnævneren for alle brøker. Vi får x*(x-5).

Gang hver brøk med en fællesnævner og skriv den resulterende hele ligning.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Lad os forenkle den resulterende ligning. Vi får:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Vi får en simpel reduceret andengradsligning. Vi løser det ved en af ​​de kendte metoder, vi får rødderne x=-2 og x=5.

Nu tjekker vi de opnåede løsninger:

Sæt tallene -2 og 5 ind i fællesnævneren. Ved x=-2 forsvinder fællesnævneren x*(x-5) ikke, -2*(-2-5)=14. Det betyder, at tallet -2 vil være roden til den oprindelige rationelle brøkligning.

Ved x=5 bliver fællesnævneren x*(x-5) nul. Derfor er dette tal ikke roden til den oprindelige rationelle brøkligning, da der vil være en division med nul.