Hvordan man løser rationelle ligninger med brøker. "løsning af rationelle brøkligninger"

Gips

29.09.2019

Vi introducerede ligningen ovenfor i § 7. Lad os først huske, hvad et rationelt udtryk er. dette - algebraisk udtryk, sammensat af tal og variablen x ved hjælp af operationerne addition, subtraktion, multiplikation, division og eksponentiering med en naturlig eksponent.

Hvis r(x) er et rationelt udtryk, så kaldes ligningen r(x) = 0 en rationel ligning.

Men i praksis er det mere bekvemt at bruge en lidt bredere fortolkning af begrebet "rationel ligning": dette er en ligning på formen h(x) = q(x), hvor h(x) og q(x) er rationelle udtryk.

Indtil nu kunne vi ikke løse nogen rationel ligning, men kun en, der som følge af forskellige transformationer og ræsonnementer blev reduceret til lineær ligning. Nu er vores muligheder meget større: vi vil være i stand til at løse en rationel ligning, der reducerer ikke kun til lineær
mu, men også til andengradsligningen.

Lad os huske, hvordan vi før løste rationelle ligninger, og forsøge at formulere en løsningsalgoritme.

Eksempel 1. Løs ligningen

Løsning. Lad os omskrive ligningen i formen

I dette tilfælde udnytter vi som sædvanligt, at lighederne A = B og A - B = 0 udtrykker det samme forhold mellem A og B. Dette gjorde det muligt for os at flytte udtrykket til venstre side af ligningen med modsat fortegn.

Lad os transformere venstre side af ligningen. Det har vi

Lad os huske betingelserne for ligestilling brøker nul: hvis og kun hvis to relationer er opfyldt samtidigt:

1) brøkens tæller er nul (a = 0); 2) brøkens nævner er forskellig fra nul).
Ved at sidestille tælleren for brøken på venstre side af ligning (1) med nul, får vi

Det er tilbage at kontrollere opfyldelsen af den anden betingelse angivet ovenfor. Relationen betyder for ligning (1), at . Værdierne x 1 = 2 og x 2 = 0,6 opfylder de angivne sammenhænge og tjener derfor som rødderne til ligning (1), og samtidig rødderne til den givne ligning.

1) Lad os omdanne ligningen til formen

2) Lad os transformere venstre side af denne ligning:

(skiftede samtidig tegnene i tælleren og
brøker).
Således antager den givne ligning formen

3) Løs ligningen x 2 - 6x + 8 = 0. Find

4) Kontroller opfyldelsen af betingelsen for de fundne værdier . Tallet 4 opfylder denne betingelse, men tallet 2 gør det ikke. Det betyder, at 4 er roden af den givne ligning, og 2 er en uvedkommende rod.
SVAR: 4.

2. Løsning rationelle ligninger ved at indføre en ny variabel

Metoden til at introducere en ny variabel er bekendt for dig, vi har brugt den mere end én gang. Lad os med eksempler vise, hvordan det bruges til at løse rationelle ligninger.

Eksempel 3. Løs ligningen x 4 + x 2 - 20 = 0.

Løsning. Lad os introducere en ny variabel y = x 2 . Da x 4 = (x 2) 2 = y 2, kan den givne ligning omskrives som

y 2 + y - 20 = 0.

Dette er en andengradsligning, hvis rødder kan findes ved hjælp af kendte formler; vi får y 1 = 4, y 2 = - 5.
Men y = x 2, hvilket betyder, at problemet er blevet reduceret til at løse to ligninger:
x2=4; x 2 = -5.

Fra den første ligning finder vi, at den anden ligning ikke har nogen rødder.
Svar: .
En ligning på formen ax 4 + bx 2 +c = 0 kaldes en biquadratisk ligning ("bi" er to, dvs. en slags "dobbelt kvadratisk" ligning). Ligningen, der netop blev løst, var præcis biquadratisk. Enhver andengradsligning løses på samme måde som ligningen fra eksempel 3: indfør en ny variabel y = x 2, løs den resulterende andengradsligning med hensyn til variablen y, og vend derefter tilbage til variablen x.

Eksempel 4. Løs ligningen

Løsning. Bemærk, at det samme udtryk x 2 + 3x optræder to gange her. Det betyder, at det giver mening at indføre en ny variabel y = x 2 + 3x. Dette vil give os mulighed for at omskrive ligningen i en enklere og mere behagelig form (hvilket faktisk er formålet med at introducere en ny variabel- og forenkling af optagelsen
bliver tydeligere, og ligningens struktur bliver tydeligere):

Lad os nu bruge algoritmen til at løse en rationel ligning.

1) Lad os flytte alle ligningens led i én del:

= 0
2) Transformer venstre side af ligningen

Så vi har transformeret den givne ligning til formen

3) Ud fra ligningen - 7y 2 + 29y -4 = 0 finder vi (du og jeg har allerede løst en del andengradsligninger, så det er nok ikke værd altid at give detaljerede beregninger i lærebogen).

4) Lad os tjekke de fundne rødder ved hjælp af betingelse 5 (y - 3) (y + 1). Begge rødder opfylder denne betingelse.
Så den andengradsligning for den nye variabel y er løst:
Da y = x 2 + 3x, og y, som vi har fastslået, tager to værdier: 4 og , skal vi stadig løse to ligninger: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Rødderne af den første ligning er tallene 1 og - 4, rødderne af den anden ligning er tallene

I de betragtede eksempler var metoden til at introducere en ny variabel, som matematikere ynder at sige, passende til situationen, det vil sige, den svarede godt til den. Hvorfor? Ja, fordi det samme udtryk tydeligt optrådte i ligningen flere gange, og der var grund til at betegne dette udtryk nyt brev. Men dette sker ikke altid en ny variabel "dukker op" kun under transformationsprocessen. Det er præcis, hvad der vil ske i det næste eksempel.

Eksempel 5. Løs ligningen
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Løsning. Det har vi
x(x-3) = x2-3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.

Det betyder, at den givne ligning kan omskrives i formen

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Nu er en ny variabel "dukket op": y = x 2 - 3x.

Med dens hjælp kan ligningen omskrives i formen y (y + 2) = 24 og derefter y 2 + 2y - 24 = 0. Rødderne til denne ligning er tallene 4 og -6.

Vender vi tilbage til den oprindelige variabel x, får vi to ligninger x 2 - 3x = 4 og x 2 - 3x = - 6. Fra den første ligning finder vi x 1 = 4, x 2 = - 1; den anden ligning har ingen rødder.

SVAR: 4, - 1.

Lektionens indhold lektionsnotater understøttende frame lektion præsentation acceleration metoder interaktive teknologier Praksis opgaver og øvelser selvtest workshops, træninger, cases, quests lektier diskussion spørgsmål retoriske spørgsmål fra elever Illustrationer lyd, videoklip og multimedier fotografier, billeder, grafik, tabeller, diagrammer, humor, anekdoter, vittigheder, tegneserier, lignelser, ordsprog, krydsord, citater Tilføjelser abstracts artikler tricks for de nysgerrige krybber lærebøger grundlæggende og yderligere ordbog over begreber andet Forbedring af lærebøger og lektionerrette fejl i lærebogen opdatering af et fragment i en lærebog, elementer af innovation i lektionen, udskiftning af forældet viden med ny Kun for lærere perfekte lektioner kalenderplan i et år metodiske anbefalinger diskussionsprogrammer Integrerede lektioner

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personlige oplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

Når du sender en anmodning på webstedet, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse e-mail osv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, retssager og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra offentlige myndigheder på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt fortrolighedspraksis.

§ 1 Heltals- og brøkrationelle ligninger

I denne lektion vil vi se på begreber som rationel ligning, rationelt udtryk, hele udtryk, brøkudtryk. Lad os overveje at løse rationelle ligninger.

En rationel ligning er en ligning, hvor venstre og højre side er rationelle udtryk.

Rationelle udtryk er:

Brøkdel.

Et heltalsudtryk er opbygget af tal, variable, heltalspotenser ved hjælp af operationerne addition, subtraktion, multiplikation og division med et andet tal end nul.

For eksempel:

Brøkudtryk involverer division med en variabel eller et udtryk med en variabel. For eksempel:

Et brøkudtryk giver ikke mening for alle værdier af de variable, der er inkluderet i det. For eksempel udtrykket

ved x = -9 giver det ikke mening, da ved x = -9 går nævneren til nul.

Det betyder, at en rationel ligning kan være heltal eller brøk.

En hel rationel ligning er en rationel ligning, hvor venstre og højre side er hele udtryk.

For eksempel:

En rationel brøkligning er en rationel ligning, hvor enten venstre eller højre side er brøkudtryk.

For eksempel:

§ 2 Løsning af en hel rationel ligning

Lad os overveje løsningen af en hel rationel ligning.

For eksempel:

Gang begge sider af ligningen med den mindste fællesnævner nævnere af de brøker, der indgår i den.

Sådan gør du:

1. find fællesnævneren for nævnerne 2, 3, 6. Den er lig med 6;

2. find en ekstra faktor for hver brøk. For at gøre dette skal du dividere fællesnævneren 6 med hver nævner

yderligere faktor for brøk

3. gange brøkernes tællere med deres tilsvarende yderligere faktorer. Dermed får vi ligningen

som svarer til den givne ligning

Lad os åbne parenteserne til venstre, flytte den højre del til venstre, og ændre ordets fortegn, når vi flytter den til den modsatte.

Lad os bringe lignende udtryk for polynomiet og få

Vi ser, at ligningen er lineær.

Efter at have løst det, finder vi, at x = 0,5.

§ 3 Løsning af en rationel brøkligning

Lad os overveje at løse en rationel brøkligning.

For eksempel:

1. Multiplicer begge sider af ligningen med den mindste fællesnævner af nævnerne af de rationelle brøker, der er inkluderet i den.

Lad os finde fællesnævneren for nævnerne x + 7 og x - 1.

Det er lig med deres produkt (x + 7)(x - 1).

2. Lad os finde en ekstra faktor for hver rationelle brøk.

For at gøre dette skal du dividere fællesnævneren (x + 7)(x - 1) med hver nævner. Yderligere faktor for brøker

lig med x - 1,

yderligere faktor for brøk

er lig med x+7.

3. Multiplicer brøkernes tællere med deres tilsvarende yderligere faktorer.

Vi får ligningen (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), som svarer til denne ligning

4. Multiplicer binomialet med binomialet til venstre og højre og få følgende ligning

5. Vi flytter højre side til venstre og ændrer tegnet for hvert led, når vi overfører til det modsatte:

6. Lad os præsentere lignende udtryk for polynomiet:

7. Begge sider kan divideres med -1. Vi får en andengradsligning:

8. Når vi har løst det, finder vi rødderne

Siden i lign.

venstre og højre side er brøkudtryk, og i brøkudtryk kan nævneren for nogle værdier af variablerne blive nul, så er det nødvendigt at kontrollere, om fællesnævneren ikke går til nul, når x1 og x2 findes .

Ved x = -27 forsvinder fællesnævneren (x + 7)(x - 1) ikke ved x = -1, fællesnævneren er heller ikke nul.

Derfor er både rødder -27 og -1 rødder til ligningen.

Når du løser en rationel brøkligning, er det bedre straks at angive regionen acceptable værdier. Eliminer de værdier, hvor fællesnævneren går til nul.

Lad os overveje et andet eksempel på løsning af en rationel brøkligning.

Lad os for eksempel løse ligningen

Vi faktoriserer nævneren af brøken på højre side af ligningen

Vi får ligningen

Lad os finde fællesnævneren for nævnerne (x - 5), x, x(x - 5).

Det vil være udtrykket x(x - 5).

Lad os nu finde intervallet af acceptable værdier af ligningen

For at gøre dette sætter vi lighedstegn mellem fællesnævneren og nul x(x - 5) = 0.

Vi får en ligning, der løser, hvor vi finder, at ved x = 0 eller ved x = 5 går fællesnævneren til nul.

Det betyder, at x = 0 eller x = 5 ikke kan være rødderne til vores ligning.

Yderligere multiplikatorer kan nu findes.

En yderligere faktor for rationelle brøker

yderligere faktor for fraktionen

vil være (x - 5),

og fraktionens yderligere faktor

Vi multiplicerer tællerne med de tilsvarende yderligere faktorer.

Vi får ligningen x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Lad os åbne parenteserne til venstre og højre, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Lad os flytte termerne fra højre mod venstre og ændre tegnet for de overførte termer:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Og efter at have bragt lignende udtryk, får vi en andengradsligning x2 - 3x - 10 = 0. Efter at have løst det, finder vi rødderne x1 = -2; x2 = 5.

Men vi har allerede fundet ud af, at ved x = 5 går fællesnævneren x(x - 5) til nul. Derfor roden til vores ligning

vil være x = -2.

§ 4 Kort opsummering lektie

Vigtigt at huske:

Når du løser rationelle brøkligninger, skal du fortsætte som følger:

1. Find fællesnævneren for de brøker, der indgår i ligningen. Desuden, hvis nævnerne af brøker kan faktoriseres, så faktor dem og find derefter fællesnævneren.

2. Gang begge sider af ligningen med en fællesnævner: find yderligere faktorer, gang tællerne med yderligere faktorer.

3.Løs den resulterende hele ligning.

4. Fjern dem fra rødderne, der får fællesnævneren til at forsvinde.

Liste over brugt litteratur:

Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Redigeret af Telyakovsky S.A. Algebra: lærebog. for 8. klasse. almen uddannelse institutioner. - M.: Uddannelse, 2013.
Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse: I to dele. Del 1: Lærebog. til almen uddannelse institutioner. - M.: Mnemosyne.
Rurukin A.N. Lektionsudvikling i algebra: 8. klasse - M.: VAKO, 2010.
Algebra 8 klasse: lektionsplaner ifølge lærebogen af Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Lærer, 2005.

Smirnova Anastasia Yurievna

Lektionstype: lektion om at lære nyt materiale.

Organisationsform pædagogiske aktiviteter : frontal, individuel.

Formålet med lektionen: at introducere en ny type ligninger - rationelle brøkligninger, at give en idé om algoritmen til løsning af rationelle brøkligninger.

Lektionens mål.

Uddannelsesmæssigt:

dannelse af begrebet en rationel brøkligning;
overveje en algoritme til løsning af rationelle brøkligninger, herunder betingelsen om, at brøken er lig nul;
lære at løse rationelle brøkligninger ved hjælp af en algoritme.

Udviklingsmæssigt:

skabe betingelser for at udvikle færdigheder i at anvende erhvervet viden;
fremme udviklingen af elevernes kognitive interesse for faget;
udvikle elevernes evne til at analysere, sammenligne og drage konklusioner;
udvikling af færdigheder til gensidig kontrol og selvkontrol, opmærksomhed, hukommelse, mundtlig og skriftlig tale, uafhængighed.

Uddannelse:

fremme kognitiv interesse for emnet;
fremme uafhængighed ved løsning af uddannelsesmæssige problemer;
pleje vilje og vedholdenhed for at opnå endelige resultater.

Udstyr: lærebog, tavle, farveblyanter.

Lærebog "Algebra 8". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, redigeret af S.A. Telyakovsky. Moskva "Oplysningstiden". 2010

Der er afsat fem timer til dette emne. Denne lektion er den første. Det vigtigste er at studere algoritmen til løsning af rationelle brøkligninger og øve denne algoritme i øvelser.

Lektionens fremskridt

1. Organisatorisk øjeblik.

Hej gutter! I dag vil jeg gerne starte vores lektion med et kvad:
For at gøre livet lettere for alle,
Hvad ville blive besluttet, hvad ville være muligt,
Smil, held og lykke til alle,
Så der ikke er problemer,
Vi smilede til hinanden og skabte godt humør og begyndte at arbejde.

Der er skrevet ligninger på tavlen, se nøje på dem. Kan du løse alle disse ligninger? Hvilke er ikke og hvorfor?

Ligninger, hvor venstre og højre side er rationelle brøkudtryk, kaldes rationelle brøkligninger. Hvad tror du, vi skal læse i klassen i dag? Formuler emnet for lektionen. Så åbn dine notesbøger og skriv emnet ned i lektionen "Løsning af rationelle brøkligninger."

2. Opdatering af viden. Frontalundersøgelse, mundtligt arbejde med klassen.

Og nu vil vi gentage det vigtigste teoretiske materiale, som vi skal bruge for at studere et nyt emne. Svar venligst på følgende spørgsmål:

Hvad er en ligning? ( Ligestilling med en variabel eller variable.)
Hvad hedder ligning nummer 1? ( Lineær.) Løsning lineære ligninger. (Flyt alt med det ukendte til venstre side af ligningen, alle tal til højre. Føre lignende vilkår. Find ukendt faktor).
Hvad hedder ligning nummer 3? ( Firkant.) Metoder til løsning af andengradsligninger. (S om formler)
Hvad er proportion? ( Ligestilling mellem to forhold.) Hovedegenskaben ved proportion. ( Hvis forholdet er korrekt, så er produktet af dets ekstreme led lig med produktet af mellemleddet.)
Hvilke egenskaber bruges ved løsning af ligninger? ( 1. Hvis du flytter et led i en ligning fra en del til en anden, ændrer dets fortegn, får du en ligning svarende til den givne. 2. Hvis begge sider af ligningen ganges eller divideres med det samme ikke-nul tal, får du en ligning svarende til den givne.)
Hvornår er en brøk lig nul? ( En brøk er lig med nul, når tælleren er nul, og nævneren ikke er nul..)

3. Forklaring af nyt materiale.

Løs ligning nr. 2 i dine notesbøger og på tavlen.

Svar: 10.

Hvilke rationel brøkligning Kan du prøve at løse ved hjælp af den grundlæggende egenskab af proportioner? (nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Løs ligning nr. 4 i dine notesbøger og på tavlen.

Svar: 1,5.

Hvilken rationel brøkligning kan du prøve at løse ved at gange begge sider af ligningen med nævneren? (nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Svar: 3;4.

Vi vil se på løsning af ligninger som ligning nr. 7 i de følgende lektioner.

Forklar hvorfor dette skete? Hvorfor er der tre rødder i det ene tilfælde og to i det andet? Hvilke tal er rødderne til denne rationelle brøkligning?

Indtil nu har eleverne ikke mødt begrebet en uvedkommende rod, det er virkelig meget svært for dem at forstå, hvorfor dette skete. Hvis ingen i klassen kan give en klar forklaring på denne situation, så stiller læreren ledende spørgsmål.

Hvordan adskiller ligning nr. 2 og 4 sig fra ligning nr. 5 og 6? ( I ligning nr. 2 og 4 er der tal i nævneren, nr. 5-6 - udtryk med en variabel.)
Hvad er roden til en ligning? ( Værdien af den variabel, ved hvilken ligningen bliver sand.)
Hvordan finder man ud af, om et tal er roden til en ligning? ( Lav et tjek.)

Når de tester, bemærker nogle elever, at de skal dividere med nul. De konkluderer, at tallene 0 og 5 ikke er rødderne til denne ligning. Spørgsmålet opstår: er der en måde at løse rationelle brøkligninger på, der giver os mulighed for at eliminere denne fejl? Ja, denne metode er baseret på den betingelse, at brøken er lig nul.

Lad os prøve at formulere en algoritme til løsning af rationelle brøkligninger på denne måde. Børn formulerer selv algoritmen.

Algoritme til løsning af rationelle brøkligninger:

Flyt alt til venstre side.
Reducer brøker til en fællesnævner.
Opret et system: en brøk er lig med nul, når tælleren er lig med nul, og nævneren ikke er lig med nul.
Løs ligningen.
Tjek ulighed for at udelukke uvedkommende rødder.
Skriv svaret ned.

4. Indledende forståelse af nyt materiale.

Arbejd i par. Eleverne vælger selv, hvordan de løser ligningen afhængigt af ligningstypen. Opgaver fra lærebogen “Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: nr. 600(b,c); nr. 601(a,e). Læreren overvåger færdiggørelsen af opgaven, besvarer eventuelle spørgsmål, der opstår, og yder assistance til dårligt præsterende elever. Selvtest: svar skrives på tavlen.

b) 2 - uvedkommende rod. Svar: 3.

c) 2 - uvedkommende rod. Svar: 1.5.

a) Svar: -12.5.

5. Opsætning af lektier.

Læs afsnit 25 fra lærebogen, analyser eksempel 1-3.
Lær en algoritme til løsning af rationelle brøkligninger.
Løs i notesbøger nr. 600 (d, d); nr. 601(g,h).

6. Opsummering af lektionen.

Så i dag i lektionen stiftede vi bekendtskab med rationelle brøkligninger, lærte at løse disse ligninger på forskellige måder. Hvad skal du huske på, uanset hvordan du løser rationelle brøkligninger? Hvad er "udspekulationen" ved rationelle brøkligninger?

Tak til alle, lektionen er slut.

Oplæg og lektion om emnet: "Rationelle ligninger. Algoritme og eksempler på løsning af rationelle ligninger"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Pædagogiske hjælpemidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 8. klasse
En manual til lærebogen af Makarychev Yu.N. En manual til lærebogen af Mordkovich A.G.

Introduktion til irrationelle ligninger

Gutter, vi har lært at løse andengradsligninger. Men matematik er ikke begrænset til kun dem. I dag vil vi lære at løse rationelle ligninger. Begrebet rationelle ligninger ligner på mange måder begrebet rationelle tal. Kun ud over tal har vi nu en eller anden variabel $x$ introduceret. Og dermed får vi et udtryk, hvor operationerne addition, subtraktion, multiplikation, division og hæve til en heltalspotens er til stede.

Lad $r(x)$ være rationelt udtryk. Et sådant udtryk kan være et simpelt polynomium i variablen $x$ eller et forhold mellem polynomier (en divisionsoperation er indført, som for rationelle tal).
Ligningen $r(x)=0$ kaldes rationel ligning.
Enhver ligning af formen $p(x)=q(x)$, hvor $p(x)$ og $q(x)$ er rationelle udtryk, vil også være rationel ligning.

Lad os se på eksempler på løsning af rationelle ligninger.

Eksempel 1.
Løs ligningen: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Løsning.
Lad os flytte alle udtrykkene til venstre side: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Hvis venstre side af ligningen var repræsenteret ved almindelige tal, ville vi reducere de to brøker til en fællesnævner.
Lad os gøre dette: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Vi fik ligningen: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

En brøk er lig med nul, hvis og kun hvis brøkens tæller er nul, og nævneren er ikke-nul. Derefter sidestiller vi separat tælleren med nul og finder rødderne af tælleren.
$3(x^2+2x-3)=0$ eller $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Lad os nu tjekke nævneren for brøken: $(x-3)*x≠0$.
Produktet af to tal er lig med nul, når mindst et af disse tal er lig med nul. Derefter: $x≠0$ eller $x-3≠0$.
$x≠0$ eller $x≠3$.
Rødderne opnået i tæller og nævner er ikke sammenfaldende. Så vi skriver begge rødder af tælleren ned i svaret.
Svar: $x=1$ eller $x=-3$.

Hvis en af tællerens rødder pludselig falder sammen med roden af nævneren, skal den udelukkes. Sådanne rødder kaldes uvedkommende!

Algoritme til løsning af rationelle ligninger:

1. Flyt alle udtryk indeholdt i ligningen til venstre side af lighedstegnet.
2. Konverter denne del af ligningen til algebraisk brøk: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Sæt lighedstegn mellem den resulterende tæller med nul, det vil sige løs ligningen $p(x)=0$.
4. Sæt lighedstegn mellem nævneren og nul, og løs den resulterende ligning. Hvis nævnerens rødder falder sammen med tællerens rødder, skal de udelukkes fra svaret.

Eksempel 2.
Løs ligningen: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Løsning.
Lad os løse i henhold til algoritmens punkter.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Sæt lighedstegn mellem tælleren og nul: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Sæt lighedstegn mellem nævneren og nul:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ og $x=-1$.
En af rødderne $x=1$ falder sammen med tællerens rod, så skriver vi den ikke ned i svaret.
Svar: $x=-1$.

Det er praktisk at løse rationelle ligninger ved hjælp af ændring af variable-metoden. Lad os demonstrere dette.

Eksempel 3.
Løs ligningen: $x^4+12x^2-64=0$.

Løsning.
Lad os introducere erstatningen: $t=x^2$.
Så vil vores ligning have formen:
$t^2+12t-64=0$ - almindelig andengradsligning.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
Lad os introducere den omvendte substitution: $x^2=4$ eller $x^2=-16$.
Rødderne til den første ligning er et talpar $x=±2$. Den anden ting er, at den ikke har nogen rødder.
Svar: $x=±2$.

Eksempel 4.
Løs ligningen: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Løsning.
Lad os introducere en ny variabel: $t=x^2+x+1$.
Så vil ligningen have formen: $t=\frac(15)(t+2)$.
Dernæst vil vi fortsætte i henhold til algoritmen.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - rødderne falder ikke sammen.
Lad os introducere en omvendt substitution.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Lad os løse hver ligning separat:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nej rødder.
Og den anden ligning: $x^2+x-2=0$.
Rødderne til denne ligning vil være tallene $x=-2$ og $x=1$.
Svar: $x=-2$ og $x=1$.

Eksempel 5.
Løs ligningen: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Løsning.
Lad os introducere erstatningen: $t=x+\frac(1)(x)$.
Så:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ eller $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Vi fik ligningen: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Rødderne til denne ligning er parret:
$t=-3$ og $t=2$.
Lad os introducere den omvendte substitution:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Vi afgør separat.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Lad os løse den anden ligning:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Roden af denne ligning er tallet $x=1$.
Svar: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.