En indskrevet vinkel er halvt så stor som en bue. Cirkel. Central vinkel

29.09.2019

Lad os først forstå forskellen mellem en cirkel og en cirkel. For at se denne forskel er det nok at overveje, hvad begge tal er. Disse er et uendeligt antal punkter på planet, placeret i lige stor afstand fra et enkelt centralt punkt. Men hvis cirklen består af indre rum, så hører den ikke til kredsen. Det viser sig, at en cirkel både er en cirkel, der begrænser den (cirkel(r)), og et utalligt antal punkter, der er inde i cirklen.

For ethvert punkt L, der ligger på cirklen, gælder ligheden OL=R. (Længden af segmentet OL er lig med radius af cirklen).

Et segment, der forbinder to punkter på en cirkel, er dets akkord.

En akkord, der går direkte gennem midten af en cirkel er diameter denne cirkel (D). Diameteren kan beregnes ved hjælp af formlen: D=2R

Omkreds beregnet med formlen: C=2\pi R

Arealet af en cirkel: S=\pi R^(2)

Cirkelbue kaldes den del af den, der er placeret mellem dens to punkter. Disse to punkter definerer to cirkelbuer. Akkord-cd'en har to buer: CMD og CLD. Identiske akkorder har lige store buer.

Central vinkel En vinkel der ligger mellem to radier kaldes.

Buens længde kan findes ved hjælp af formlen:

Brug af gradmåling: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
Brug af radianmål: CD = \alpha R

Diameteren, som er vinkelret på akkorden, deler akkorden og de buer, der er kontraheret af den, i to.

Hvis akkorderne AB og CD i cirklen skærer hinanden i punktet N, så er produkterne af segmenterne af akkorderne adskilt af punktet N lig med hinanden.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tangent til en cirkel

Tangent til en cirkel Det er sædvanligt at kalde en ret linje, der har ét fælles punkt med en cirkel.

Hvis en linje har to fælles punkter, kaldes den sekant.

Hvis du tegner radius til tangentpunktet, vil den være vinkelret på tangenten til cirklen.

Lad os tegne to tangenter fra dette punkt til vores cirkel. Det viser sig, at tangentsegmenterne vil være lig med hinanden, og midten af cirklen vil være placeret på halveringslinjen af vinklen med toppunktet på dette punkt.

AC = CB

Lad os nu tegne en tangent og en sekant til cirklen fra vores punkt. Vi opnår, at kvadratet af længden af tangentsegmentet vil være lig med produktet af hele sekantsegmentet og dets ydre del.

AC^(2) = CD \cdot BC

Vi kan konkludere: produktet af et helt segment af den første sekant og dens ydre del er lig med produktet af et helt segment af den anden sekant og dens ydre del.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Vinkler i en cirkel

Gradmålene for den centrale vinkel og den bue, den hviler på, er lige store.

\angle COD = \kop CD = \alpha ^(\circ)

Indskrevet vinkel er en vinkel, hvis toppunkt er på en cirkel, og hvis sider indeholder akkorder.

Du kan beregne det ved at kende størrelsen af buen, da den er lig med halvdelen af denne bue.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Baseret på en diameter, indskrevet vinkel, ret vinkel.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Indskrevne vinkler, der ligger under den samme bue, er identiske.

Indskrevne vinkler, der hviler på en akkord, er identiske, eller deres sum er lig med 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

På den samme cirkel er hjørnerne af trekanter med identiske vinkler og en given base.

En vinkel med et toppunkt inde i cirklen og placeret mellem to akkorder er identisk med halvdelen af summen af vinkelværdierne af cirklens buer, der er indeholdt i de givne og lodrette vinkler.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \venstre (\kop DmC + \kop AlB \right)

En vinkel med et toppunkt uden for cirklen og placeret mellem to sekanter er identisk med halvdelen af forskellen i vinkelværdierne af cirklens buer, der er indeholdt i vinklen.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \venstre (\kop DmC - \kop AlB \right)

Indskrevet cirkel

Indskrevet cirkel er en cirkel, der tangerer siderne af en polygon.

På det punkt, hvor halveringslinjen af hjørnerne af en polygon skærer hinanden, er dens centrum placeret.

En cirkel må ikke være indskrevet i hver polygon.

Arealet af en polygon med en indskrevet cirkel findes ved formlen:

S = pr,

p er polygonens halvperimeter,

r er radius af den indskrevne cirkel.

Det følger, at radius af den indskrevne cirkel er lig med:

r = \frac(S)(p)

Summer af længder modsatte sider vil være identisk, hvis cirklen er indskrevet i en konveks firkant. Og omvendt: en cirkel passer ind i en konveks firkant, hvis summen af længderne af modstående sider er identiske.

AB + DC = AD + BC

Det er muligt at indskrive en cirkel i enhver af trekanterne. Kun en enkelt. På det punkt, hvor halveringslinjerne skærer hinanden indvendige hjørner figur, vil midten af denne indskrevne cirkel ligge.

Radius af den indskrevne cirkel beregnes med formlen:

r = \frac(S)(p) ,

hvor p = \frac(a + b + c)(2)

Omkreds

Hvis en cirkel passerer gennem hvert hjørne af en polygon, kaldes en sådan cirkel normalt beskrevet om en polygon.

I skæringspunktet mellem de vinkelrette halveringslinjer på siderne af denne figur vil være midten af den omskrevne cirkel.

Radius kan findes ved at beregne den som radius af cirklen, der er omskrevet omkring trekanten defineret af 3 vilkårlige hjørner af polygonen.

Der er følgende betingelse: en cirkel kan kun beskrives omkring en firkant, hvis summen af dens modstående vinkler er lig med 180^( \cirkel) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

Omkring enhver trekant kan du beskrive en cirkel, og kun én. Centrum af en sådan cirkel vil være placeret på det punkt, hvor de vinkelrette halveringslinjer på trekantens sider skærer hinanden.

Radius af den omskrevne cirkel kan beregnes ved hjælp af formlerne:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c er længderne af trekantens sider,

S er arealet af trekanten.

Ptolemæus' sætning

Overvej endelig Ptolemæus' sætning.

Ptolemæus' sætning siger, at produktet af diagonaler er identisk med summen af produkterne af modsatte sider af en cyklisk firkant.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Central vinkel- er vinklen dannet af to radier cirkel. Et eksempel på en central vinkel er vinkel AOB, BOC, COE og så videre.

OM midterste hjørne Og bue indgået mellem dets parter siges at være korrespondere hinanden.

1. hvis centrale vinkler buer er lige.

2. hvis centrale vinkler ikke er ens, så svarer den største af dem til den større bue.

Lad AOB og COD være to centrale vinkler, lige eller ulige. Lad os dreje sektoren AOB rundt om midten i den retning, pilen angiver, så radius OA falder sammen med OC. Så, hvis midtervinklerne er ens, så vil radius OA falde sammen med OD og buen AB med buen CD .

Det betyder, at disse buer vil være ens.

Hvis centrale vinkler ikke er ens, så vil radius OB ikke gå langs OD, men i en anden retning, for eksempel langs OE eller OF. I begge tilfælde svarer en større vinkel naturligvis til en større bue.

Sætningen, vi beviste for én cirkel, forbliver sand for lige store cirkler, fordi sådanne cirkler ikke adskiller sig fra hinanden i andet end deres position.

Omvendte tilbud vil også være sandt . I én cirkel eller i lige store cirkler:

1. hvis buer er lige, så deres tilsvarende centrale vinkler er lige.

2. hvis buer ikke er ens, så svarer den største af dem til den større midtervinkel.

I en cirkel eller i lige store cirkler er centrale vinkler relateret som deres tilsvarende buer. Eller parafraserer vi, at den centrale vinkel proportional dens tilsvarende bue.

Instruktioner

Hvis radius (R) af cirklen og længden af buen (L) svarende til den ønskede midtervinkel (θ) er kendt, kan den beregnes både i grader og i radianer. Summen bestemmes af formlen 2*π*R og svarer til en midtervinkel på 360° eller to Pi-tal, hvis der bruges radianer i stedet for grader. Gå derfor ud fra forholdet 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Udtryk derfra den centrale vinkel i radianer θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R eller grader θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) og beregn ved hjælp af den resulterende formel.

Baseret på længden af korden (m), der forbinder de punkter, der bestemmer den centrale vinkel (θ), kan dens værdi også beregnes, hvis radius (R) af cirklen er kendt. For at gøre dette skal du overveje en trekant dannet af to radier og . Dette er en ligebenet trekant, alle er kendt, men du skal finde vinklen modsat basen. Sinusen af dens halvdel er lig med forholdet mellem længden af basen - akkorden - og to gange længden af siden - radius. Brug derfor den omvendte sinusfunktion til beregninger - arcsinus: θ = 2*arcsin(½*m/R).

Den centrale vinkel kan angives i brøkdele af en omdrejning eller fra en drejet vinkel. For eksempel, hvis du skal finde den centrale vinkel svarende til en kvart fuld omdrejning, divider du 360° med fire: θ = 360°/4 = 90°. Den samme værdi i radianer skal være 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Den udfoldede vinkel er lig med en halv hel omdrejning, derfor vil for eksempel den centrale vinkel svarende til en fjerdedel af den være halvdelen af værdierne beregnet ovenfor i både grader og radianer.

Det omvendte af sinus kaldes en trigonometrisk funktion arcsine. Det kan tage værdier inden for halvdelen af Pi, både positive og negative målt i radianer. Målt i grader vil disse værdier være henholdsvis i området fra -90° til +90°.

Instruktioner

Nogle "runde" værdier skal ikke beregnes; de er nemmere at huske. For eksempel: - hvis funktionsargumentet er nul, så er arcsinus af det også nul; - af 1/2 er lig med 30° eller 1/6 Pi, hvis det måles; - arcsinus af -1/2 er -30° eller -1/6 fra tallet Pi in; - arcsinus af 1 er lig med 90° eller 1/2 af tallet Pi i radianer; - arcsinus af -1 er lig med -90° eller -1/2 af tallet Pi i radianer;

For at måle værdierne af denne funktion ud fra andre argumenter er den nemmeste måde at bruge en standard Windows-lommeregner, hvis du har en ved hånden. For at starte skal du åbne hovedmenuen på "Start"-knappen (eller ved at trykke på WIN-tasten), gå til sektionen "Alle programmer" og derefter til undersektionen "Tilbehør" og klikke på "Lommeregner".

Skift lommeregnergrænsefladen til den driftstilstand, der giver dig mulighed for at beregne trigonometriske funktioner. For at gøre dette skal du åbne sektionen "View" i menuen og vælge "Engineering" eller "Scientific" (afhængigt af typen af operativ system).

Indtast værdien af det argument, som arctangensen skal beregnes ud fra. Dette kan gøres ved at klikke på knapperne på lommeregnerens interface med musen, eller ved at trykke på tasterne på , eller ved at kopiere værdien (CTRL + C) og derefter indsætte den (CTRL + V) i indtastningsfeltet på lommeregneren.

Vælg de måleenheder, som du skal bruge for at få resultatet af funktionsberegningen. Under indtastningsfeltet er der tre muligheder, hvorfra du skal vælge (ved at klikke på det med musen) en - , radianer eller rader.

Marker afkrydsningsfeltet, der inverterer de funktioner, der er angivet på lommeregnerens grænsefladeknapper. Ved siden af er en kort indskrift Inv.

Klik på synd-knappen. Lommeregneren inverterer den funktion, der er knyttet til den, udfører beregningen og præsenterer dig for resultatet i de angivne enheder.

Video om emnet

Et af de almindelige geometriske problemer er at beregne arealet af et cirkulært segment - den del af cirklen, der er afgrænset af en akkord og den tilsvarende akkord af en cirkelbue.

Arealet af et cirkulært segment er lig med forskellen mellem arealet af den tilsvarende cirkulære sektor og arealet af trekanten dannet af radierne af sektoren, der svarer til segmentet, og korden, der begrænser segmentet.

Eksempel 1

Længden af akkorden, der underspænder cirklen, er lig med værdien a. Gradmålet for den bue, der svarer til akkorden, er 60°. Find arealet af det cirkulære segment.

Løsning

En trekant dannet af to radier og en akkord er ligebenet, så højden trukket fra toppunktet af midtervinklen til siden af trekanten dannet af akkorden vil også være halveringslinjen for den centrale vinkel, dividere den i to, og median, dividere akkorden i to. Ved at vide, at vinklens sinus er lig med forholdet mellem det modsatte ben og hypotenusen, kan vi beregne radius:

Sin 30° = a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, hvor h er højden trukket fra toppunktet af den centrale vinkel til akkorden. Ifølge Pythagoras sætning h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

Følgelig er S▲=√3/4*a².

Arealet af segmentet, beregnet som Sreg = Sc - S▲, er lig med:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

Erstatning numerisk værdi I stedet for værdien a kan du nemt beregne den numeriske værdi af segmentområdet.

Eksempel 2

Cirkel radius lig med værdien EN. Gradmålet for den bue, der svarer til segmentet, er 60°. Find arealet af det cirkulære segment.

Løsning:

Arealet af sektoren svarende til en given vinkel kan beregnes ved hjælp af følgende formel:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

Arealet af trekanten, der svarer til sektoren, beregnes som følger:

S▲=1/2*ah, hvor h er højden trukket fra toppunktet af den centrale vinkel til akkorden. Ifølge Pythagoras sætning h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

Følgelig er S▲=√3/4*a².

Og endelig er området af segmentet, beregnet som Sreg = Sc - S▲, lig med:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a².

Løsningerne i begge tilfælde er næsten identiske. Således kan vi konkludere, at for at beregne arealet af et segment i det enkleste tilfælde er det nok at kende værdien af vinklen svarende til segmentets bue og en af to parametre - enten radius af cirklen eller længden af akkorden, der underspænder buen af den cirkel, der danner segmentet.

Kilder:

Segment - geometri

Oftest begynder processen med at forberede sig til Unified State Exam i matematik med en gentagelse af grundlæggende definitioner, formler og teoremer, herunder om emnet "Centrale og indskrevne vinkler i en cirkel." Som regel studeres dette afsnit af planimetri i Gymnasium. Det er ikke overraskende, at mange studerende står over for behovet for at gentage basale koncepter og sætninger om emnet "Centralvinkel på en cirkel." Efter at have forstået algoritmen til at løse sådanne problemer, vil skolebørn være i stand til at regne med at modtage konkurrencedygtige resultater baseret på resultaterne af at bestå den unified state-eksamen.

Hvordan forbereder man sig nemt og effektivt til at bestå certificeringstesten?

Når de studerer, før de har bestået den forenede statseksamen, står mange gymnasieelever over for problemet med at finde de nødvendige oplysninger om emnet "Centrale og indskrevne vinkler i en cirkel." Det er ikke altid, at en skolebog er lige ved hånden. Og det tager nogle gange meget tid at søge efter formler på internettet.

Vores team hjælper dig med at "pumpe op" dine færdigheder og forbedre din viden inden for et så vanskeligt afsnit af geometri som planimetri uddannelsesportal. "Shkolkovo" tilbyder gymnasieelever og deres lærere en ny måde at opbygge processen med at forberede sig til den forenede statseksamen. Alt grundmateriale præsenteres af vores specialister i den mest tilgængelige form. Efter at have læst informationen i afsnittet "Teoretisk baggrund" vil eleverne lære, hvilke egenskaber en cirkels centrale vinkel har, hvordan man finder dens værdi osv.

Derefter anbefaler vi, at du udfører passende øvelser for at konsolidere den erhvervede viden og øvede færdigheder. Stort udvalg opgaver til at finde værdien af en vinkel indskrevet i en cirkel og andre parametre er præsenteret i afsnittet "Katalog". For hver øvelse skrev vores eksperter en detaljeret løsning og angav det rigtige svar. Listen over opgaver på siden bliver løbende suppleret og opdateret.

Gymnasieelever kan forberede sig til Unified State-eksamenen ved at øve øvelser, for eksempel for at finde størrelsen af en central vinkel og længden af en cirkelbue, online, fra enhver russisk region.

Om nødvendigt kan den afsluttede opgave gemmes i afsnittet "Favoritter" for at vende tilbage til den senere og igen analysere princippet om dens løsning.

Indskrevet vinkel, teori om problemet. Venner! I denne artikel vil vi tale om opgaver, som du har brug for at kende egenskaberne for en indskrevet vinkel. Dette er en hel gruppe af opgaver, de er inkluderet i Unified State Exam. De fleste af dem kan løses meget enkelt i én handling.

Der er mere vanskelige problemer, men de vil ikke give meget vanskeligheder for dig; du skal kende egenskaberne for en indskrevet vinkel. Efterhånden vil vi analysere alle prototyper af opgaver, jeg inviterer dig til bloggen!

Nu nødvendig teori. Lad os huske, hvad en central og indskrevet vinkel, en akkord, en bue er, som disse vinkler hviler på:

Den centrale vinkel i en cirkel er en plan vinkel medspids i midten.
Den del af en cirkel, der er placeret inden for en plan vinkelkaldes en cirkelbue.
Gradmålet for en cirkelbue kaldes gradsmål den tilsvarende midtervinkel.
En vinkel siges at være indskrevet i en cirkel, hvis vinklens toppunkt liggerpå en cirkel, og vinklens sider skærer denne cirkel.

Et segment, der forbinder to punkter på en cirkel kaldesakkord. Den største akkord går gennem midten af cirklen og kaldesdiameter.

At løse problemer, der involverer vinkler indskrevet i en cirkel,du skal kende følgende egenskaber:

1. Den indskrevne vinkel er lig med halvdelen af midtervinklen, baseret på den samme bue.

2. Alle indskrevne vinkler under den samme bue er lige store.

3. Alle indskrevne vinkler baseret på den samme akkord, og hvis toppunkter ligger på samme side af denne akkord, er lige store.

4. Ethvert par af vinkler baseret på den samme akkord, hvis toppunkter ligger langs forskellige sider akkorder summer op til 180°.

Følge: de modsatte vinkler af en firkant indskrevet i en cirkel summerer til 180 grader.

5. Alle indskrevne vinkler med en diameter er rette vinkler.

Generelt er denne ejendom en konsekvens af ejendom (1); dette er dens særlige tilfælde. Se - den centrale vinkel er lig med 180 grader (og denne udfoldede vinkel er ikke mere end en diameter), hvilket betyder, ifølge den første egenskab, den indskrevne vinkel C er lig med halvdelen af den, det vil sige 90 grader.

At kende denne egenskab hjælper med at løse mange problemer og giver dig ofte mulighed for at undgå unødvendige beregninger. Når du har mestret det godt, vil du være i stand til at løse mere end halvdelen af problemerne af denne type mundtligt. To konklusioner, der kan drages:

Følge 1: hvis en trekant er indskrevet i en cirkel, og en af dens sider falder sammen med diameteren af denne cirkel, så er trekanten retvinklet (toppunkt ret vinkel ligger på cirklen).

Konsekvens 2: midten af den beskrevne om retvinklet trekant cirkel falder sammen med midten af dens hypotenus.

Mange prototyper af stereometriske problemer løses også ved at bruge denne egenskab og disse konsekvenser. Husk selve faktum: hvis diameteren af en cirkel er en side af en indskrevet trekant, så er denne trekant retvinklet (vinklen modsat diameteren er 90 grader). Du kan selv drage alle andre konklusioner og konsekvenser; du behøver ikke at lære dem.

Som regel er halvdelen af opgaverne på en indskrevet vinkel givet med en skitse, men uden symboler. For at forstå ræsonnementsprocessen ved løsning af problemer (nedenfor i artiklen) introduceres notationer for hjørner (vinkler). Du behøver ikke at gøre dette på Unified State Examination.Lad os overveje opgaverne:

Hvad er værdien af en spids indskreven vinkel underspændt af en korde svarende til cirklens radius? Giv dit svar i grader.

Lad os konstruere en central vinkel for en given indskrevet vinkel og udpege toppunkterne:

Ifølge egenskaben af en vinkel indskrevet i en cirkel:

Vinkel AOB er lig med 60 0, da trekanten AOB er ligesidet, og i en ligesidet trekant er alle vinkler lig med 60 0. Trekantens sider er ens, da betingelsen siger, at korden er lig med radius.

Således er den indskrevne vinkel ACB lig med 30 0.

Svar: 30

Find akkorden understøttet af en vinkel på 30 0 indskrevet i en cirkel med radius 3.

Dette er i bund og grund det omvendte problem (af det foregående). Lad os konstruere den centrale vinkel.

Den er dobbelt så stor som den indskrevne, det vil sige, at vinkel AOB er lig med 60 0. Ud fra dette kan vi konkludere, at trekant AOB er ligesidet. Således er akkorden lig med radius, det vil sige tre.

Svar: 3

Cirklens radius er 1. Find størrelsen af den stumpe indskrevne vinkel overtrukket af korden lig med roden af to. Giv dit svar i grader.

Lad os konstruere den centrale vinkel:

Ved at kende radius og akkord kan vi finde den centrale vinkel ASV. Dette kan gøres ved hjælp af cosinussætningen. Når vi kender den centrale vinkel, kan vi nemt finde den indskrevne vinkel ACB.

Cosinus-sætning: kvadrat enhver side af trekanten lig med summen kvadrater af de to andre sider uden at fordoble produktet af disse sider med cosinus af vinklen mellem dem.

Derfor er den anden centrale vinkel 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Vinkel ACB, ifølge egenskaben af en indskrevet vinkel, er lig med halvdelen af den, det vil sige 135 grader.

Svar: 135

Find akkorden underspændt af en vinkel på 120 grader indskrevet i en cirkel med radius rod af tre.

Lad os forbinde punkt A og B til midten af cirklen. Lad os betegne det som O:

Vi kender radius og indskrevne vinkel ASV. Vi kan finde den centrale vinkel AOB (større end 180 grader), og derefter finde vinklen AOB i trekant AOB. Og beregn derefter AB ved hjælp af cosinussætningen.

Ifølge egenskaben for den indskrevne vinkel vil den centrale vinkel AOB (som er større end 180 grader) være lig med to gange den indskrevne vinkel, det vil sige 240 grader. Det betyder, at vinkel AOB i trekant AOB er lig med 360 0 – 240 0 = 120 0.

Ifølge cosinussætningen:

Svar: 3

Find den indskrevne vinkel overtrukket af en bue, der er 20 % af cirklen. Giv dit svar i grader.

Ifølge egenskaben for den indskrevne vinkel er den halvt så stor som den centrale vinkel baseret på den samme bue, i I dette tilfælde Vi taler om bue AB.

Det siges, at buen AB er 20 procent af omkredsen. Det betyder, at den centrale vinkel AOB også er 20 procent af 360 0.*En cirkel er en vinkel på 360 grader. Midler,

Således er den indskrevne vinkel ACB 36 grader.

Svar: 36

Cirkelbue A.C., der ikke indeholder et punkt B, er 200 grader. Og buen af en cirkel BC, der ikke indeholder et punkt EN, er 80 grader. Find den indskrevne vinkel ACB. Giv dit svar i grader.

For klarhedens skyld, lad os betegne de buer, hvis vinkelmål er givet. Bue svarende til 200 grader – Blå farve, buen svarende til 80 grader er rød, den resterende del af cirklen er gul.